二次函数图象性质及应用(习题及答案)

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初中数学二次函数的性质图像及应用练习题(附答案)

初中数学二次函数的性质图像及应用练习题一、单选题1.设()()()1232,,1,,2,A y B y C y -是抛物线()213y x =-++上的三点,则123,,y y y 的大小关系为( ) A. 123y y y >> B. 132y y y >> C. 321y y y >>D. 312y y y >>2.对于函数()223y x =--，下列说法不正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是直线3x = C.最大值为0D.与y 轴不相交3.下列说法中错误的是( )A.在函数2y x =-中,当0x =时y 有最大值0B.在函数22y x =中,当0x >时y 随x 的增大而增大C.抛物线222,1,22y x y x y x ==-=-中,抛物线22y x =的开口最小,抛物线2y x =-的开口最大 D.不论a 是正数还是负数,抛物线2y ax =的顶点都是坐标原点4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列关系式中正确的是( )A.0ac >B.20b a +<C.240b ac >﹣D.0a b c -+<5.抛物线212y x =，2y x =，2y x =-的共同性质是： ①都是开口向上； ②都以点(0,0)为顶点； ③都以y 轴为对称轴； ④都关于x 轴对称. 其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 6.二次函数22(2)1y x =+-的图象是( )A.B. C. D.7.二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =.若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在14-<的范围内有解，则t 的取值范围是（）A.1t ≥-B.13t -≤<C.18t -≤<D.38t <<A.0B.1C.2D.39.根据下列表格的对应值判断一元二次方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解的范围是（）B.3.3 3.4x <<C.3.4 3.5x <<D.3.5 3.6x <<10.已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a ≠）经过点(1,0),(0,3)-，其对称轴在y 轴右侧，有下列结论： ①抛物线经过点(1,0)；②方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③33a b -<+<.其中，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、解答题11.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值;(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值;如果没有，请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x 的取值范围.12.如图,抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点(3,0)A -和点B ,交y 轴于点(0,3)C1.求抛物线的函数表达式2.若点P 在抛物线上,且4AOP BOC S S =△△,求点P 的坐标;3.如图b,设点Q 是线段AC 上的一动点,作DQ x ⊥轴,交抛物线于点D ,求线段DQ 长度的最大值 13.已知二次函数2221y x mx m =-+-.(1)当二次函数的图象经过坐标原点(0,0)O 时,求二次函数的解析式;(2)如图,当2m =时,该抛物线与y 轴交于点,C 顶点为,D 求,C D 两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点,P 使得PC PD +最短?若P 点存在.求出P 点的坐标,若P 点不存在.请说明理由.14.已知二次函数2y x bx c =-++的图象过点(),(30,0),1A C -.(1)求二次函数的解析式;(2)如图,点P 是二次函数图象的对称轴上的一个动点,二次函数的图象与y 轴交于点B ,当PB PC +最小时,求点P 的坐标;(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q ,当QAB △的面积最大时,求点Q 的坐标. 三、填空题15.在二次函数23m y mx -=的图象的对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，则m 的值为 .16.如图,这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字,则被墨迹污染的二次项系数是__________.17.已知二次函数的图象过点(32)--，，且它的顶点坐标为(23)--，，则此二次函数的解析式为 .18.某抛物线型拱桥如图所示，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加 m.参考答案1.答案：A解析：抛物线()2213y x =-++的开口向下，对称轴是直线1x =-，当1x >-时，y 随x 的增大而减小，∵1232,,1,,()2(,())A y B y C y -是抛物线()2213y x =-++上的三个点， ∴点A 关于对称轴x =−1的对称点是1(0,)y ， ∴123y y y >>，故选：A. 2.答案：D解析：由题意可得，二次函数的图象开口方向向下，对称轴是直线3x =，顶点坐标为(3)0,，函数的最大值为0，故A 、B 、C 说法正确；当0x =时，18y =-，∴函数()223y x =--与y 轴相交，∴D 说法错误 3.答案：C 解析： 4.答案：C 解析：5.答案：B 解析：抛物线221,2y x y x ==的开口向上，抛物线2y x =-的开口向下，①错误；抛物线221,2y x y x ==，2y x =-的顶点均为(0,0)，对称轴为y 轴，故②③正确，④错误.故选B.6.答案：C解析：20a =>，∴抛物线开口方向向上. 二次函数的解析式为22(2)1y x =+-，∴顶点坐标为(2,1)--，对称轴为2x =-.故选C.7.答案：C解析：二次函数2y x bx =+图象的对称轴为直线1x =，20x bx t +-=，22x x t ∴-=方程220x x t --=(t 为实数)在14x -<<的范围内有解，∴令1x =-，可求得()()21213t =--⨯-=，令4x =，可求得24248t =-⨯=. 而函数()22211y x x x =-=--，∴当1x =时，二次函数有最小值1. ∴t 的取值范围是18-≤.故选C8.答案：C与y 轴相交于(0)1，.故抛物线与坐标轴有2个交点. 9.答案：C解析：观察表格中的数据，当 3.4x =时，函数值0y <；当 3.5x =时，函数值0y >，则当3.4 3.5x <<时，存在x ，使得2y ax bx c =++的函数值为0，由此可判断一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的一个解的范围为3.4 3.5x <<.10.答案：C解析：2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a ≠）经过点(1,0)-，其对称轴在y 轴右侧，故抛物线不能经过点(1,0)，因此①错误；抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a ≠）经过点(1,0),(0,3)-，其对称轴在y 轴右侧，可知抛物线开口向下，与直线2y =有两个交点，因此方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故②正确；对称轴在y 轴右侧，02b a ∴->0,0a b <∴>2y ax bx c =++经过点(1,0)-，0a b c ∴-+= 2y ax bx c =++经过点(0,3)，3c ∴=3a b ∴-=-33b a a b ∴=+=-，3003a b ∴-<<<<，33a b ∴-<+<.故③正确.故选C.11.答案：1.根据题意得()30272x x -=,解得3x =12x =,∵30218x -≤,∴6x ≥,∴12x =.2. 依题意，得830218x ≤-≤.解得611x ≤≤. 面积215225(302)2()(611)22S x x x x =-=--+≤≤. ①当152x =时，S 有最大值，2252S =最大；②11x =时，S 有最大值，11(3022)88S =⨯-=最小. 3. 由题意得2230100x x -+≥， 30218x -≤， 610x ≤≤.解析：12.答案：1.解:把(3,0)A -,(0,3)C 代入2y x bx c =-++,得093{3b c c =--+=解得:2{3b c =-=故该抛物线的解析式为:223?y x x =--+2.由(1)知,该抛物线的解析式为223?y x x =--+,则易得(1,0)B ∵4AOP BOC S S =△△ ∴21132341322x x ⨯⨯--+=⨯⨯⨯ 整理,得2(1)0x +=或2270x x +-=解得1x =-或1x =-±则符合条件的点P 的坐标为: (1,4)-或()14-±-或()14-- 3.设直线AC 的解析式为y kx t =+,将(3,0),(0,3)A C -代入得30{3k t t -+==解得: 1{3k t ==即直线AC 的解析式为3y x =+设Q 点坐标为(,3)x x +,(30)x -≤≤,则D 点坐标为2(,23)x x x --+()2223923(3)324QD x x x x x x ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭∴当32x =-时, QD 有最大值94解析：13.答案：(1)将点(0,0)O 代入二次函数2221y x mx m =-+-中，得201m =-.解得1m =±.∴二次函数的解析式为22y x x =+或22y x x =-.(2)当2m =时，二次函数的解析式为2243(2)1y x x x =-+=--.(0,3),(2,1)C D ∴-. (3)存在.连接CD ,根据“两点之间，线段最短”可知，当点P 为CD 与x 轴的交点时，PC PD +最短.设经过,C D 两点的直线解析式为(0)y kx b k =+≠，则将(0,3),(2,1)C D -代入解析式中，得2,3k b =-=.23y x ∴=-+.令0y =,可得230x -+=,解得32x =.∴当P 点坐标为3(,0)2时，PC PD +最短.解析：14.答案：(1)把点(),(30,0),1A C -代入2y x bx c =-++中，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++.(2)连接AB .与对称轴交于点P ,此时PB PC +最小.在223y x x =-++中，当0x =时，3y =，则(0,3)B .设直线AB 的解析式为y mx n =+.y mx n =+.303m n n +=⎧∴⎨=⎩,13m n =-⎧∴⎨=⎩,∴直线AB 的解析式为3y x =-+.2223(1)4y x x x =-++=--+,∴对称轴是直线1x =.当1x =时，132y =-+=，(1,2)P ∴.(3)连接,QA QB ，过点Q 作y 轴的平行线交直线AB 于点,E 设2(,23)Q m m m -++，则(,3)E m m -+.1()2QAB A B S QE x x ∴=⋅-△21[(23)(3)](30)2m m m =-++--+⨯-23327()228m =--+.∴当32m =时，QAB S △最大，此时315(,)24Q .解析： 15.答案：5解析：23my mx -=是二次函数，232m ∴-=且0m ≠，解得m =，在对称轴左侧的图象上，y 随x 的增大而增大，∴抛物线开口向下，m ∴=16.答案：-2 解析：17.答案：241y x x =++解析：设二次函数的解析式为()2230()y a x a =+-≠，把点(32)--，代入得()23232a -+-=-，解得1a =，所以二次函数的解析式为()222341y x x x =+-=++18.答案：4解析：以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系依题意可得2020()()()02A B C -，，，，，，设经过A B C ，，三点的抛物线的解析式为()()22y a x x =-+，2()0C ，在此抛物线上，1∴此抛物线的解析式为水面下降∴下降之后的水面宽为42m。

二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案

练习一21．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿yax＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。

12222．关于，yx，y3x的图像，下列说法中不正确的是（）yx3A．顶点相同B．对称轴相同C．图像形状相同D．最低点相同223．两条抛物线yx与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）yxA．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相反D．都有最小值24．在抛物线上，当y＜0时，x的取值范围应为（）yxA．x＞0B．x＜0C．x≠0D．x≥0225．对于抛物线yx与yx下列命题中错误的是（）xA．两条抛物线关于轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点26．抛物线y=－bx＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。

127．抛物线y=－(x2)－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿2＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。

28．抛物线y2(x1)3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，3）C．（1，3）D．（1，3）为（）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过达式（1，10），则这条抛物线的表22A．y=3(x1)－2B．y=3(x1)＋222C．y=3－2D．y=－3－2(x1)(x1)210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达yax式为（）22A．y=a＋3B．y=a－3(x2)(x2)22C．y=a(x2)＋3D．y=a(x2)－324411．抛物线的顶点坐标是（）yxxA．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）2212．对抛物线y=2(x2)－3与y=－2(x2)＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反213．函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）x243243214．化yxx为y=xx为ya(x h)k的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

二次函数的图像与性质(含答案)

九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义：形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。

（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况：若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。

二次函数的图象和性质(含详细参考答案10页)

2013年中考数学专题复习二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数名师提醒：二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是，按一次排列2、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条，其定点坐标为对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a ≠0)中：（1）当a>0时，y 口向，当x<-2ba 时，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而增大，（2）当a<0时，开口向当x<-2ba时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小.名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴定点坐标2、y= ax 2+k ，对称轴定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴定点坐标三、二次函数同象的平移名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用判断b=0时，对称轴是 c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过点名师提醒：在抛物线y= ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x2-7x+152，若自变量x分别取x1，x2，x 3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．【聚焦中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是A． B． C． D．4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-38．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：旋钮角度（度）20 50 70 80 90所用燃气量（升）73 67 83 97 115（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32．（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞33．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤34．（2012•北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（）A．（-2，-1） B．（2，1）C．（2，-1） D．（-2，1）5．（2012•广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-26．（2012•西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A.当x=0时，y的值大于1B.当x=3时，y的值小于0C.当x=1时，y的值大于1D.y的最大值小于06．（2012•巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-17．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个8．（2012•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜19．（2012•扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-210．（2012•宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）11．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6二、填空题12．（2012•玉林）二次函数y=-（x-2）2+94的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．13．（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．14．（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．15．（2012•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．16．（2012•成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．17．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．18．（2012•宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．19．（2012•贵港）若直线y=m （m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．19．（2012•广安）如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三、解答题20．（2012•柳州）已知：抛物线y=34（x-1）2-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．21．（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi0 1 2 3 4 5 …yi0 1 4 9 16 25 …y i+1﹣yi1 3 5 7 9 11 …由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取2时所对应的点离对称轴最近，∴y3＞y2＞y1．故选B．1．（2012•衢州）解：∵二次函数y=12-x2-7x+152，∴此函数的对称轴为：x=2ba-=7712()2--=-⨯-，∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，∴对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：A．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）解：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；②∵当x≤1时y随x 的增大而减小，∴函数的对称轴x=-22m --≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则22m--≥1，即m ≥1，故本选项错误；③将m=-1代入解析式，得y=x 2+2x-3，当y=0时，得x 2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x 1=1，x 2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=420082+=1006，则22m--=1006，m=1006，原函数可化为y=x 2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）．对应训练2．（2012•河北）解：①∵抛物线y 2=12（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x 轴的上方，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，故本小题正确；②把A （1，3）代入，抛物线y 1=a （x+2）2-3得，3=a （1+2）2-3，解得a=23，故本小题错误；③由两函数图象可知，抛物线y 1=a （x+2）2-3过原点，当x=0时，y 2=12（0-3）2+1=112，故y 2-y 1=112，故本小题错误；④∵物线y 1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），∴y 1的对称轴为x=-2，y 2的对称轴为x=3，∴B （-5，3），C （5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC ，故本小题正确．故选D ．考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；∵抛物线的对称轴为x=2ba-=1，∴2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax 2+bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且2b a -=1，及b a -=2，∴x 1+x 2=ba-=2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C 对应训练3．（2012•重庆）解：A 、∵开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴交与负半轴，∴c ＜0，∵对称轴在y 轴左侧，∴2ba-＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故本选项错误；B 、∵对称轴：x=2b a -=12-，∴a=b ，故本选项错误；C 、当x=1时，a+b+c=2b+c ＜0，故本选项错误；D 、∵对称轴为x=12-，与x 轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2，∴当x=-2时，4a-2b+c ＜0，即4a+c ＜2b ，故本选项正确．故选D ．考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）解：∵A 在直线y=x 上，∴设A （m ，m ），∵OA=2，∴m 2+m 2=（2）2，解得：m=±1（m=-1舍去），m=1，∴A （1，1），∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，故选：C ．对应训练4．（2012•南京）解：原式可化为：y=（x+1）2-4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x 2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．故答案为：①③．【聚焦中考】1．解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选C ． 2．解：A 、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y 的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B 、由图象知，当x=0时，y 的值就是函数图象与y 轴的交点，而图象与y 轴的交点在（1，1）点的左边，故y ＜1；故本选项错误；C 、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y 的值小于x=-1时，y 的值1，即当x=-1时，y 的值小于1；故本选项错误；D 、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y 的值小于0；故本选项正确．故选D ． 3．解：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=2ba-＜0，∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数ay x=位于第二四象限，纵观各选项，只有C 选项符合．故选C ． 4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A ′是（0，y 1），那么点A ′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ． 6．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，选项①正确；又对称轴为直线x=1，即2ba-=1，可得2a+b=0（i ），选项②错误；∵-2对应的函数值为负数，∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，选项③错误；∵-1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii ），联立（i ）（ii ）可得：b=-2a ，c=-3a ，∴a ：b ：c=a ：（-2a ）：（-3a ）=-1：2：3，选项④正确，则正确的选项有：①④．故选D ． 7．A8．解：（1）若设y=kx+b （k ≠0），由7320 6750k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1577k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以y=15-x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；若设k y x =（k ≠0），由73=20k ，解得k=1460，所以y=1460x，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；若设y=ax 2+bx+c ，则由7340020 67250050 83490070a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1 508 597a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以y=150x 2-85x+97（18≤x ≤90），把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．所以二次函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律；（2）由（1）得：y=150x 2-85x+97=150（x-40）2+65，所以当x=40时，y 取得最小值65．即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升）设该家庭以前每月平均用气量为a 立方米，则由题意得：50115a=10，解得a=23（立方米），即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．【备考真题过关】1．C 2．D 解：根据题意得：y=|ax 2+bx+c|的图象如右图：所以若|ax 2+bx+c|=k （k ≠0）有两个不相等的实数根，则k ＞3，故选D ．3．B 解：∵当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c ≤0②，①②联立解得：c ≥3，故选B ． 4．B 5．C6.解：由图可知，当x ＞﹣1时，函数值y 随x 的增大而减小，A 、当x=0时，y 的值小于1，故本选项错误；B 、当x=3时，y 的值小于0，故本选项正确；C 、当x=1时，y 的值小于1，故本选项错误；D 、y 的最大值不小于1，故本选项错误．6．C 解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式，A 、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确； D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．故选C ． 7．B 解：根据图象可得：a ＞0，c ＜0，对称轴：2bx a=-＞0，①∵它与x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴2ba-=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a ＞0，∴b ＜0，∵c ＜0，∴abc ＞0，故②错误；③∵a-b+c=0，∴c=b-a ，∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a ）=2b-3a ，又由①得b=-2a ，∴a-2b+4c=-7a ＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y ＞0，∴16a+4b+c ＞0，由①知，b=-2a ，∴8a+c ＞0；故④正确；故正确为：③④两个．8．B 解：∵二次函数y=ax 2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（-1，0），∴易得：a-b+1=0，a ＜0，b ＞0，由a=b-1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，所以0＜b ＜1①，由b=a+1＞0得到a ＞-1，结合上面a ＜0，所以-1＜a ＜0②，∴由①②得：-1＜a+b ＜1，且c=1，得到0＜a+b+1＜2，∴0＜t ＜2．故选：B ． 9．B 10．D 11．B 解：当x=0时，y=-6，故函数与y 轴交于C （0，-6），当y=0时，x 2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得x=-2或x=3，即A （-2，0），B （3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2．二、填空题12．7 解：∵二次项系数为-1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2，94），当y=0时，-（x-2）2+94=0，解得x 1=12，得x 2=72．可画出草图为：（右图）图象与x 轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．13．解：∵抛物线y=a （x-3）2+k 的对称轴为x=3，且AB ∥x 轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC 的周长=3×6=18．故答案为：18． 14．①②③ 解：根据图象可得：a ＜0，c ＞0，对称轴：x=2b a -=1，2b a=-1，b=-2a ，∵a ＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；把x=-1代入函数关系式y=ax 2+bx+c 中得：y=a-b+c ，由图象可以看出当x=-1时，y ＜0，∴a-b+c ＜0，故②正确；∵b=-2a ，∴a-（-2a ）+c ＜0，即：3a+c ＜0，故③正确；由图形可以直接看出④错误．故答案为：①②③． 15．y 1＞y 2 解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞． 16．37解：∵x 2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴[-2（a-1）]2-4a （a-3）＞0，∴a ＞-1，将（1，0）代入y=x 2-（a 2+1）x-a+2得，a 2+a-2=0，解得（a-1）（a+2）=0，a 1=1，a 2=-2．可见，符合要求的点为0，2，3．∴P=3 7 ．故答案为37． 17．y=x 2+x-2 18．y=-（x+1）2-2 解：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．故答案为：y=-（x+1）2-2．18 解：分段函数y=的图象如图：故要使直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m 的取值范围为0＜m ＜2，故答案为：0＜m ＜2．19．272解：如图，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （-6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=-3，得出二次函数解析式为：y=12（x+3）2+h ，将（-6，0）代入得出：0=12（-6+3）2+h ，解得：h=92-，∴点P 的坐标是（-3，92-），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S=|-3|×|92-|=272．故答案为：272．三、解答题20．解：（1）抛物线y=34（x-1）2-3，∵a=34＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=1；（2）∵a=34＞0，∴函数y 有最小值，最小值为-3；（3）令x=0，则y=34（0-1）2-3=94-，所以，点P 的坐标为（0，94-），令y=0，则34（x-1）2-3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，点Q 的坐标为（-1，0）或（3，0），当点P （0，94-），Q （-1，0）时，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，则940b k b ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得9494kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线PQ的解析式为y=94-x94-，当P（0，94-），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n ，则9430nm n⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得3494mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，直线PQ的解析式为y=34x94-，综上所述，直线PQ的解析式为y=94-x94-或y=34x94-．3．（2012•佛山）解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。

二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)

新华师大版九年级下册数学第26章二次函数的图象和性质部分练习题姓名____________ 时间: 90分钟满分:120分总分____________一、选择题（每小题10分,共30分）1. 将抛物线2x y =向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得新抛物线对应的函数表达式为【】（A ）()122++=x y （B ）()122-+=x y（C ）()122+-=x y （D ）()122--=x y2. 将抛物线()312+-=x y 向左平移1个单位,得到的抛物线与y 轴的交点坐标是【】（A ）（0 , 2）（B ）（0 , 3）（C ）（0 , 4）（D ）（0 , 7）3. 抛物线321532-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x y 的顶点坐标是【】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3,214. 抛物线322++=x x y 的对称轴是【】（A ）直线1=x （B ）直线1-=x （C ）直线2-=x （D ）直线2=x5. 在平面直角坐标系中,将抛物线221x y -=先向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为【】（A ）23212---=x x y （B ）21212-+-=x x y （C ）23212-+-=x x y （D ）21212---=x x y6. 关于抛物线()212--=x y ,下列说法错误的是【】（A ）顶点坐标为()2,1- （B ）对称轴是直线1=x（C ）开口向上（D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小7. 如图所示,把抛物线2x y =沿直线x y =向右平移2个单位后,其顶点在直线上的A 处,平移后的抛物线解析式是【】（A ）()112-+=x y （B ）()112++=x y（C ）()112+-=x y （D ）()112--=x y第 7 题图8. 关于二次函数1422-+=x x y ,下列说法正确的是【】（A ）图象与y 轴的交点坐标为（0 , 1）（B ）图象的对称轴在y 轴的右侧（C ）当0<x 时,y 的值随x 值的增大而减小（D ）y 的最小值为3-9. 抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为【】（A ）（7,2-）（B ）（2 , 7）（C ）（2 ,25-）（D ）（2 ,9-）10. 已知二次函数()12+-=h x y ,在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为【】（A ）1或5- （B ）1-或5 （C ）1或3- （D ）1或3 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 抛物线()5232+-=x y 的顶点坐标为_________.12. 将抛物线2x y =向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为________________.13. 用配方法将二次函数982--=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为________________.14. 抛物线132+-=x x y 的顶点坐标为_________. 15. 抛物线x x y 92+-=的最大值为_________.16. 将抛物线()2432+-=x y 向右平移1个单位,再向下平移3个单位,平移后抛物线的解析式是________________. 17. 已知点()1,4y A ,()2,2y B,()3,2y C -都在二次函数()122--=x y 的图象上,则321,,y y y 的大小关系是__________.18. 抛物线m x x y +-=22与x 轴只有一个交点,则m 的值为_________.19. 已知点()11,y x A ,()22,y x B 为函数()3122+--=x y 图象上的两点,若121>>x x ,则21,y y 的大小关系是__________.20. 如图,把抛物线221x y =平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点()0,8-A 和原点O （0 , 0）,它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线221x y =交于点Q ,则图中阴影部分的面积为_________.三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴;（2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式.22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标.23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.yxDC BA O25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; （2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标;（3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值.26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.新华师大版九年级下册数学第26章二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. （2 , 5） 12. ()522-+=x y 13. ()2542--=x y 14. ⎪⎭⎫⎝⎛-45,2315.481 16. ()1532--=x y 17. 312y y y << 18. 1 19. 21y y < 20. 32三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴; （2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式. 解:（1）开口向上,对称轴为直线1=x ; ……………………………………………2分（2）函数y 有最小值,最小值为3-=y ; ……………………………………………4分（3）令0=x ,则()49310432-=--⨯=y ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ……………………………5分令0=y ,则()031432=--x 解之得:3,121=-=x x∴()0,1-Q 或Q （3 , 0）……………………………………………6分设直线PQ 的函数表达式为b kx y +=当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ,()0,1-Q 时⎪⎩⎪⎨⎧=+--=049b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4949b k∴直线PQ 的函数表达式为4949--=x y ; ……………………………………………8分当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P , Q （3 , 0）时⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0349b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4943b k∴直线PQ 的函数表达式为4943-=x y …………………………………………10分综上所述,直线PQ 的函数表达式为4949--=x y 或4943-=x y . 22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标. 解:（1）由题意可设该函数的关系式为()k h x a y +-=2∵其顶点为()4,1-A ∴4,1-==k h……………………………………………2分 ∴()412--=x a y把()5,2-B 代入()412--=x a y 得:()54122-=--⨯a解之得:1-=a……………………………………………4分 ∴该函数的关系式为()412---=x y ;（2）令0=x ,则()54102-=---=y∴该函数的图象与y 轴的交点为()5,0-;……………………………………………7分令0=y ,则()0412=---x∴()412-=-x∴方程无实数解∴该函数的图象与x 轴无交点.…………………………………………10分 23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.解:由题意可设该抛物线为()k h x a y +-=2∵其顶点坐标为()1,4- ∴1,4-==k h……………………………………………4分 ∴()142--=x a y把（0 , 3）代入()142--=x a y 得:()31402=--⨯a……………………………………………6分解之得:41=a …………………………………………10分 ∴这条抛物线的函数表达式为()14412--=x y . 24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y 轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.解:（1）平移后,抛物线的解析式为()412-+=x y……………………………………………3分 ∴4,1-=-=k h ;……………………………………………5分（2）令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x ∵点A 在点B 的左边 ∴()0,3-A ,B （1 , 0）……………………………………………6分 ∴3=OA令0=x ,则()34102-=-+=y∴()3,0-C……………………………………………7分 ∴3=OC∴OC OA =∴△AOC 为等腰直角三角形∴︒=∠45ACO∵点D 为抛物线()412-+=x y 的顶点∴()4,1--D……………………………………………8分过点D 作y DE ⊥轴 ∴4,1==OE DE∴134=-=-=OC OE CE ∴CE DE =∴△DCE 为等腰直角三角形∴︒=∠45DCE∴︒=︒-︒-︒=∠904545180ACD ∴△ACD 为直角三角形.…………………………………………10分 25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标; （3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值. 解:（1）()222212221--=-+-=x x x y ……………………………………………1分开口向下,对称轴为直线2=x ,顶点坐标为（2 , 0）;……………………………………………4分（2）令0=y ,则()02212=--x 解之得:2=x∴抛物线与x 轴的交点为（2 , 0）……………………………………………5分令0=x ,则()220212-=-⨯-=y ∴抛物线与y 轴的交点为()2,0-;……………………………………………6分（3）由题意可设抛物线的解析式为k ax y +=2∵其顶点为A ()2,0- ∴2-=k……………………………………………7分 ∴22-=ax y把B （2 , 0）代入22-=ax y 得:024=-a 解之得:21=a……………………………………………8分∴2212-=x y开口向上,函数的最小值为2-.…………………………………………10分 26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.解:（1）()11222-++=++=m x m x x y∵其图象1C 与x 轴有且只有一个公共点 ∴01=-m ∴1=m……………………………………………3分∴()21+=x y∴1C 的顶点坐标为()0,1-;……………………………………………4分（2）设2C 的函数关系式为()k x y ++=21把()0,3-A 代入()k x y ++=21得:()0132=++-k解之得:4-=k∴2C 的函数关系式为()412-+=x y……………………………………………7分令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x∴2C 与x 轴的另一个交点坐标为（1 , 0）; ……………………………………………8分（3）2>n 或4-<n .…………………………………………10分。

二次函数的图像及性质(内有经典例题及详解)

二次函数的图象和性质一、选择题1. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（）．A ．y = x 2B ．y = x －１C ． y = 34xD ．y = 1x【答案】D3. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【答案】B4. （2011山东德州6,3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是第6题图5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1B ． a －b =－1C ． b <2aD ． ac <0【答案】B6. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x =1时，y 的值为A.5B.-3C.-13D.-27 【答案】D7. （2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（）． A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞3【答案】A8. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h【答案】A9. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值【答案】D10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A．a>0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c>0【答案】D11.（2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？【答案】A12. （2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数228999931＋－＝x x y 的图形画在坐标平面上，判断方程式0899993122＝＋－x x 的两根，下列叙述何者正确？A ．两根相异，且均为正根B ．两根相异，且只有一个正根C ．两根相同，且为正根D ．两根相同，且为负根【答案】A13. （2011台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数c bx ax y ++=2的图形，且此图形通（－1 ,1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？A ．y 的最大值小于0B ．当x ＝0时，y 的值大于1C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．当x ＝3时，y 的值小于0 【答案】Ｄ14. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）【答案】A15. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。

二次函数的图像和性质(内有经典例题和详细讲解)

(完整版)二次函数的图像与性质练习题及答案

二次函数的图像和性质练习题一、选择题1．下列函数是二次函数的有（）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y (6) y=2(x+3)2－2x 2A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个 2.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为（）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定 5.已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（）A 、321y y y <<B 、123y y y <<C 、231y y y <<D 、132y y y <<6．两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32)1(-x +29．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A .23(1)2y x =-- B.23(1)2y x =+- C.23(1)2y x =++ D.23(1)2y x =-+10．抛物线244y x x =--的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）11.与抛物线y=－12x 2+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（）A. y = x 2+3x －5B. y=－12x 2xC. y =12x 2+3x －5D. y=12x 212．对抛物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的说法不正确的是（）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反13.对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（）A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)，C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，14．抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1 15.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）16．函数y=12-2x ＋2x －5的图像的对称轴是（） A ．直线x=2 B ．直线a=－2 C ．直线y=2 D ．直线x=4 17.二次函数y=221x x --+图像的顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 18．如果抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（）A ．0B ．6C ．3D ．9ＡＢＣＤ19．已知二次函数2y ax bx c =++，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 20.已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数222k x kx y +-= 21．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（）22.若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2二、填空题：23.二次函数2y ax =（0<a ）的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)

新华师大版九年级下册数学第26章二次函数的图象和性质练习题姓名____________ 时间: 90分钟满分:120分总分____________一、选择题（每小题3分,共30分）1. 在二次函数122++-=x x y 的图象中,若y 随x 的增大而增大,则x 的取值范围是【】（A ）1<x （B ）1>x （C ）1-<x （D ）1->x2. 若二次函数142-++=m x mx y 的最小值是2,则m 的值是【】（A ）4 （B ）3 （C ）1- （D ）4或1-3. 已知二次函数m x x y +-=32（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1 , 0）,则关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两个实数根是【】（A ）1,121-==x x （B ）2,121==x x （C ）0,121==x x （D ）3,121==x x4. 如图,由二次函数c bx ax y ++=2的图象可知,不等式02<++c bx ax 的解集是【】（A ）13<<-x （B ）1>x （C ）3-<x 或1>x （D ）3-<x第 4 题图第 5 题图5. 如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分,它的对称轴是直线1=x ,若抛物线x 轴的一个交点为A （3 , 0）,则不等式02<++c bx ax 的解集是【】（A ）3>x （B ）3<x （C ）30<<x （D ）31<<-x6. 若一次函数()a x a y ++=1的图象过第一、三、四象限,则二次函数ax ax y -=2 【】（A ）有最大值4a （B ）有最大值4a - （C ）有最小值4a （D ）有最小值4a-7. 将抛物线216212+-=x x y 向左平移2个单位后,所得新抛物线的解析式为【】（A ）()58212+-=x y （B ）()54212+-=x y（C ）()38212+-=x y （D ）()34212+-=x y8. 二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线1-=x ,则这个二次函数的表达式为【】（A ）322++-=x x y （B ）322++=x x y （C ）322-+-=x x y （D ）322+--=x x y第 8 题图第 9 题图9. 如图,若二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）图象的对称轴为直线1=x ,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、点B ()0,1-,则①二次函数的最大值为c b a ++; ②0<+-c b a ;③042<-ac b ; ④当0>y 时,31<<-x .其中正确的个数是【】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410. 若二次函数12+=ax y 的图象经过点()0,2-,则关于x 的方程()0122=+-x a 的实数根为【】（A ）4,021==x x （B ）6,221=-=x x （C ）25,2321==x x （D ）0,421=-=x x 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 若抛物线()12-++=m m x y 的对称轴是直线1=x ,则它的顶点坐标是_________.12. 若抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与抛物线342+-=x x y 关于y 轴对称,则函数c bx ax y ++=2的关系式为________________.13. 已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）,其中c b a ,,满足0=++c b a 和039=+-c b a ,则该二次函数图象的对称轴是直线_________.14. 若二次函数n x x y +-=42的图象与x 轴只有一个公共点,则实数n 的值为_________. 15. 二次函数542++=x x y ,当3-≤x ≤0的最小值为_________.16. 如果将抛物线122-+=x x y 向上平移,使它经过点()3,0A ,那么所得新抛物线的表达式为________________.17. 经过A （4 , 0）,)0,2(-B ,C （0 , 3）三点的抛物线的解析式是___________.18. 若二次函数c bx ax y ++=2（0<a ）的图象经过点（2 , 0）,且其对称轴为直线1-=x ,则使函数值0>y 成立的x 的取值范围是__________.19. 将一条抛物线向上平移4个单位,再向左平移2个单位后,得到新的抛物线为442++=x x y ,则原抛物线的解析式为________________.20. 已知抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴交于A 、B 两点,若点A 为()0,2-,抛物线的对称轴为直线2=x ,则线段AB 的长为_________. 三、解答题（共60分）21.（10分）如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点. （1）求这条抛物线的函数解析式; （2）求直线AB 的函数解析式.yxCA BO22.（10分）如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A （3 , 0）,另一个交点为B ,且与y 轴交于点C . （1）求m 的值; （2）求点B 的坐标;（3）若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO23.（10分）如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A （6 , 0）和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D . （1）求一次函数的关系式;（2）求过A、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.x24.（10分）如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C （0 , 5）,另抛物线经过点（1 , 8）,点M 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式; （2）求△MCB 的面积.y xMCBA O25.（10分）已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D .（1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.yxD C AB OFPyx备用图D C AB O FP 26.（10分）如图所示,抛物线c bx x y ++=2与直线1-=x y 交于A 、B 两点,点A 的纵坐标为4-,点B 在y 轴上,直线AB 与x 轴交于点F ,点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m ,过点P 作PC x ⊥轴于C ,交直线AB 于D .（1）求抛物线的解析式;（2）当m 取何值时,线段PD 的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.新华师大版九年级下册数学第26章二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. ()2,1- 12. 342++=x x y 13. 1-=x 14. 4 15. 1 16. 322++=x x y 17. ()()4283-+-=x x y 18. 24<<-x 19. 42-=x y 20. 8三、解答题（共60分）21.（10分）如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点.（1）求这条抛物线的函数解析式; （2）求直线AB 的函数解析式.yxCA BO解:（1） ∵抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A∴()0422=-=∆a a……………………………………………2分 ∴02=-a a 解之得:1,021==a a……………………………………………4分 ∵0≠a ∴1=a……………………………………………5分 ∴这条抛物线的函数解析式为()22112+=++=x x x y ;（2）∵点A 为抛物线()21+=x y 的顶点∴()0,1-A……………………………………………6分 ∵点C 是线段AB 的中点∴点B 的横坐标为1对于()21+=x y ,当1=x 时,4=y∴B （1 , 4）……………………………………………7分设直线AB 的函数解析式为b kx y += 把()0,1-A , B （1 , 4）分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+-40b k b k 解之得:⎩⎨⎧==22b k∴直线AB 的函数解析式为22+=x y . 附中点坐标公式中点坐标公式在平面直角坐标系中,如果线段AB 的端点A 、B 的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ,则其中点P ),(n m 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y n x x m 图形说明如图（1）所示.图（1）22.（10分）如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A （3 , 0）,另一个交点为B ,且与y 轴交于点C .（1）求m 的值; （2）求点B 的坐标;（3）若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO解:（1）把A （3 , 0）代入m x x y ++-=22得:069=++-m解之得:3=m……………………………………………3分 ∴该抛物线的解析式为322++-=x x y ; （2）令0=x ,则0322=++-x x 解之得:3,121=-=x x ∴点B 的坐标为()0,1-;……………………………………………6分（3）令0=x ,则3=y∴C （0 , 3）……………………………………………7分∵ABC ABD S S ∆∆=∴点C 与点D 的纵坐标相等令3=y ,则3322=++-x x 解之得:2,021==x x ∴点D 的坐标为（2 , 3）.…………………………………………10分 23.（10分）如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A （6 , 0）和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D .（1）求一次函数的关系式;（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.解:（1）把A （6 , 0）和()32,0B 分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+3206b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233b k∴一次函数的关系式为3233+-=x y ; ……………………………………………4分（2）连结BC.∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴BC AC =∵A （6 , 0）()32,0B ∴32,6==OB OA设x BC AC ==,则x AC OA OC -=-=6 在Rt △BOC 中,由勾股定理得:222BC OC OB =+∴()()222632x x =-+解之得:4=x ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C （2 , 0）……………………………………………7分设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分x第（2）问另解: ∵A （6 , 0）()32,0B ∴32,6==OB OA 在Rt △AOB 中 ∵33632tan ===∠OA OB BAO ∴︒=∠30BAO……………………………………………5分 ∴342==OB AB∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴3221==AB AD 在Rt △ACD 中 ∵233230cos ===︒AC AC AD ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C （2 , 0）……………………………………………7分设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分注意:若抛物线与x 轴交于A )0,(1x 、B )0,(2x 两点,则可设抛物线的解析式为:()()21x x x x a y --=.24.（10分）如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C （0 , 5）,另抛物线经过点（1 , 8）,点M 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式; （2）求△MCB 的面积.解:（1）把()0,1-,（0 , 5）,（1 , 8）分别代入c bx ax y ++=2得:⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-85c b a c c b a 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a∴该抛物线的解析式为542++-=x x y ;……………………………………………4分（2）∵542++-=x x y ∴()922+--=x y……………………………………………5分∵点M 是抛物线()922+--=x y 的顶点∴M （2 , 9）……………………………………………6分令0=y ,则()0922=+--x解之得:5,121=-=x x ∴B （5 , 0）……………………………………………7分作y ME ⊥轴 ∴9,2==OE ME∴459=-=-=OC OE CE ∴BOC MCE MEOB MCB S S S S ∆∆∆--=梯形()552124212529⨯⨯-⨯⨯-+⨯=15=…………………………………………10分 25.（10分）已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D . （1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.解:（1）把A ()0,3-、()3,2--D 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=+-=+-324039c b c b 解之得:⎩⎨⎧-==32c b∴抛物线的解析式为322-+=x x y ; ……………………………………………4分（2）令0=y ,则0322=-+x x 解之得:3,121-==x x ∴B （1 , 0）,1=OB……………………………………………6分 ∵A 、B 两点是抛物线322-+=x x y 与x 轴的两个交点∴A 、B 两点关于直线1-=x 对称如图,连结BD ,与直线1-=x 的交点即为PD PA +的值最小时,点P 的位置,作x DE ⊥轴,并连结P A .∴PB PA =∴BD PD PB PD PA =+=+……………………………………………7分∵()3,2--D ∴2,3==OE DE∴321=+=+=OE OB BE 在Rt △BDE 中,由勾股定理得:23332222=+=+=DE BE BD∴PD PA +的最小值为23.…………………………………………10分关于两条线段之和取得最小值的问题有许多几何问题都涉及到两条线段之和最小的问题,解决这类问题的主要方法是依据“两点之间线段最短”,将两条线段的和转化为一条线段,该线段的长度即为两条线段之和的最小值.怎么转化是解决问题的关键-----借助于图形变换中的轴对称可以实现转化.另外还要用到线段垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识,有些题目还与函数知识相结合,难度较高.也有部分几何问题涉及到三条线段之和最小,情形比较复杂,但解决问题的依据和思路基本上是不变的.要求:（1）会作出一个点关于某条直线的对称点. （2）熟悉并掌握线段垂直平分线的性质定理.（3）通过合理添加辅助线构造直角三角形,使用勾股定理求解线段（边）的长度. （4）掌握两点关于坐标轴对称时坐标之间的关系,如两点关于y轴对称时,它们的横坐标互为相反数,纵坐标相等.（5）学会并掌握用待定系数法求一次函数的关系式.26.（10分）如图所示,抛物线cbxxy++=2与直线1-=xy交于A、B两点,点A的纵坐标为4-,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC x⊥轴于C,交直线AB于D.（1）求抛物线的解析式;（2）当m取何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P,使△P AD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.yxDC FABOP解:（1）对于1-=xy令4-=y,则41-=-x,解之得:3-=x∴()4,3--A令0=x,则1-=y∴()1,0-B把()4,3--A 和()1,0-B 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=-=+-1439c c b 解之得:⎩⎨⎧-==14c b∴抛物线的解析式为142-+=x x y ; ……………………………………………3分（2）∵点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m∴()14,2-+m m m P （03<<-m ） ∵PC x ⊥轴,点D 在直线1-=x y ∴()1,-m m D ∵点D 在点P 的上方∴()m m m m m PD 314122--=-+--=∴49232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m PD……………………………………………5分∴当23-=m 时,线段PD 的长度取得最大值,最大值为49;……………………………………………6分（3）存在点P ,使△P AD 是直角三角形. 对于1-=x y 令0=y ,则01=-x 解之得:1=x ∴F （1 , 0）∴1==OF OB∴△BOF 和△DCF 都是等腰直角三角形 ∴︒=∠=∠45ADP CDF分为两种情况:①当︒=∠90PAD 时,△P AD 是等腰直角三角形作PC AE ⊥ ∴()m m PD AE 321212--==∵()4,3--A ,()0,m C ∴()m m AE +=--=33 ∴()m m m +=--33212 整理得:0652=++m m 解之得:3,221-=-=m m ∵03<<-m ∴2-=m∴()()512421422-=--⨯+-=-+m m∴()5,2--P ;……………………………………………8分 ②当︒=∠90APD 时,PD PA =∴()m m m 332--=-- 整理得:0342=++m m 解之得:3,121-=-=m m ∵03<<-m ∴1-=m∴()()411411422-=--⨯+-=-+m m∴()4,1--P ;…………………………………………10分综上所述,存在点P ,使△P AD 是直角三角形,点P 的坐标为()5,2--或()4,1--.yxDCFABO P注意:对于讨论的第①种情况,我们还可以用下面的方法予以求解,希望借此拓宽大家的视野.先补充知识点: 对于两条直线:222111::b x k y l b x k y l +=+=若21l l ⊥,则121-=k k .注意此结论通常用来求一次函数的解析式.例如:直线1l 的解析式为2+-=x y ,直线2l 与1l 垂直,且直线2l 经过点)2,1(-,求直线2l 的解析式.解:由题意可设直线2l 为:b x y +=∵其图象经过点)2,1(- ∴3,21-=-=+b b∴直线2l 的解析式为3-=x y . 回到本题:①当︒=∠90PAD 时,AB AP ⊥ 设直线AP 为n mx y += ∵直线AB 为1-=x y ∴1-=m∴n x y +-= 把()4,3--A 代入n x y +-=得:43-=+n∴7-=n∴直线AP 为7--=x y 解方程7342--=-+x x x 得:3,221-=-=x x （不合题意,舍去）∴()5,2--P .学生整理用图。

二次函数图象与性质(含解析)

二次函数图象与性质一．选择题（共12小题）1．（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y =14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间【分析】根据：总利润＝每个房间的利润×入住房间的数量﹣每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【解析】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W ＝（x ﹣28）（80﹣y ）﹣5000＝（x ﹣28）[80﹣（14x ﹣42）]﹣5000 =−14x 2+129x ﹣8416=−14（x ﹣258）2+8225，∵当x ＝258时，y =14×258﹣42＝22.5，不是整数， ∴x ＝258舍去，∴当x ＝256或x ＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x ＝260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．故选：B ．2．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：m ）与时间t （单位：min ）的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A ．25min ～50min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为s ＝32t +400（25≤t ≤50）C ．5min ～20min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为s ＝﹣3（t ﹣20）2+1200（5≤t ≤20）【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．【解析】A 、25min ～50min ，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m ，故A 没错；B 、设线段CD 的函数解析式为s ＝kt +b ，把（25，1200），（50，2000）代入得，{1200=25k +b 2000=50k +b解得：{k =32b =400， ∴线段CD 的函数解析式为s ＝32t +400（25≤t ≤50），故B 没错；C 、在A 点的速度为5255=105m /min ，在B 点的速度为1200−52520−5=67515=45m /min ，故C 错误；D 、当t ＝20时，由图象可得s ＝1200m ，将t ＝20代入s ＝﹣3（t ﹣20）2+1200（5≤t ≤20）得s ＝1200，故D 没错．故选：C ．3．（2018•连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式h ＝﹣t 2+24t +1．则下列说法中正确的是（）A ．点火后9s 和点火后13s 的升空高度相同B ．点火后24s 火箭落于地面C ．点火后10s 的升空高度为139mD ．火箭升空的最大高度为145m【分析】分别求出t ＝9、13、24、10时h 的值可判断A 、B 、C 三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D 选项．【解析】A 、当t ＝9时，h ＝136；当t ＝13时，h ＝144；所以点火后9s 和点火后13s 的升空高度不相同，此选项错误；B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．4．（2017•无锡）关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（）A．对称轴为直线x＝1B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小C．与x轴没有交点D．与y轴交于点（0，﹣2）【分析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．【解析】抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确；∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2），∴与x轴有2个交点，故选项C错误；当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误．故选：B．5．（2017•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．2√5cm D．3√2cm【分析】根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ=√PC2+CQ2=√(6−t)2+t2=√2(t−3)2+18，于是得到结论．【解析】∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ=√PC2+CQ2=√(6−t)2+t2=√2(t−3)2+18，∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2√5，故选：C．6．（2017•苏州）若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1=32，x2=52D．x1＝﹣4，x2＝0【分析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a=−14，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．【解析】∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1＝0，∴a=−1 4，∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程−14（x﹣2）2+1＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：A．7．（2017•扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣2【分析】对称轴x=−b2≤1时，二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点．【解析】抛物线y＝x2+bx+1与y轴的交点为（0，1），∵C（2，1），∴对称轴x =−b 2≤1时，二次函数y ＝x 2+bx +1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，∴b ≥﹣2．故选：C ．8．（2017•盐城）如图，将函数y =12（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A '、B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A ．y =12(x −2)2−2B ．y =12(x −2)2+7C ．y =12(x −2)2−5D ．y =12(x −2)2+4 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A 、B 两点的坐标，再过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，112），AC ＝4﹣1＝3，根据平移的性质以及曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA ′＝3，然后根据平移规律即可求解．【解析】∵函数y =12（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），∴m =12（1﹣2）2+1＝112，n =12（4﹣2）2+1＝3， ∴A （1，112），B （4，3），过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，112）， ∴AC ＝4﹣1＝3，∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC •AA ′＝3AA ′＝9，∴AA ′＝3，即将函数y =12（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=12（x﹣2）2+4．故选：D．9．（2017•宿迁）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解析】将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y ＝（x﹣2）2+1．故选：C．10．（2017•连云港）已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．【解析】∵抛物线y＝ax2（a＞0），∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．又∵a＞0，0＜1＜2，∴y2＜y1．故选：C．11．（2016•常州）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：x…﹣1024…y1…0135…x… ﹣1 1 3 4 … y 2 … 0 ﹣4 0 5 …当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是（）A ．x ＜﹣1B ．x ＞4C ．﹣1＜x ＜4D ．x ＜﹣1或x ＞4【分析】方法一：先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用y 2＞y 1建立不等式，求解不等式即可．方法二：直接由表得出两函数图象的交点坐标（﹣1，0），（4，5），再结合变化规律得出结论．【解答】解法一：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在一次函数y 1＝kx +m 的图象上，∴{−k +m =0m =1， ∴{k =1m =1∴一次函数y 1＝x +1，由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函数y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象上，∴{a −b +c =0a +b +c =−49a +3b +c =0，∴{a =1b =−2c =−3∴二次函数y 2＝x 2﹣2x ﹣3当y 2＞y 1时，∴x 2﹣2x ﹣3＞x +1，∴（x ﹣4）（x +1）＞0，∴x ＞4或x ＜﹣1，故选D ，解法二：如图，由表得出两函数图象的交点坐标（﹣1，0），（4，5），∴x＞4或x＜﹣1，故选：D．12．（2016•宿迁）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．【解析】∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax2﹣2ax+c＝0一定有一个解为：x＝﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=−−2a2a=1，∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．故选：C．二．填空题（共15小题）13．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y ＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．【解析】①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝m ，当x ＞m 时，y 随x 的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x ＝m 时，函数y 有最大值m 2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．14．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，则最佳加工时间为 3.75 min ．【分析】根据二次函数的性质可得．【解析】根据题意：y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，当x =− 1.52×(−0.2)=3.75时，y 取得最大值，则最佳加工时间为3.75min ．故答案为：3.75．15．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴： y ＝x 2 ．【分析】根据形如y ＝ax 2的二次函数的性质直接写出即可．【解析】∵图象的对称轴是y 轴，∴函数表达式y ＝x 2（答案不唯一），故答案为：y ＝x 2（答案不唯一）．16．（2020•无锡）二次函数y ＝ax 2﹣3ax +3的图象过点A （6，0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．【分析】把点A （6，0）代入y ＝ax 2﹣3ax +3得，0＝36a ﹣18a +3，得到y =−16x 2+12x +3，求得B （0，3），抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32，设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°，过B 作BD ⊥对称轴于D ，当∠M ′AB ＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】把点A （6，0）代入y ＝ax 2﹣3ax +3得，0＝36a ﹣18a +3，解得：a =−16，∴y =−16x 2+12x +3，∴B （0，3），抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32，设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°，过B 作BD ⊥对称轴于D ，则∠1＝∠2＝∠3，∴tan ∠2＝tan ∠1=63=2，∴DM BD =2，∴DM ＝3，∴M （32，6），当∠M ′AB ＝90°，∴tan ∠3=M′N AN =tan ∠1=63=2，∴M ′N ＝9，∴M ′（32，﹣9），综上所述，点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．17．（2020•淮安）二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +3的图象的顶点坐标为（﹣1，4）．【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．【解析】∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x 2+2x +1﹣1）+3＝﹣（x +1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．18．（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点P （2，2），顶点为O （0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为 y =12（x ﹣4）2 ．【分析】设原来的抛物线解析式为：y ＝ax 2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P 的坐标代入即可．【解析】设原来的抛物线解析式为：y ＝ax 2（a ≠0）．把P （2，2）代入，得2＝4a ，解得a =12．故原来的抛物线解析式是：y =12x 2．设平移后的抛物线解析式为：y =12（x ﹣b ）2．把P （2，2）代入，得2=12（2﹣b ）2．解得b ＝0（舍去）或b ＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y =12（x ﹣4）2．故答案是：y =12（x ﹣4）2．19．（2019•镇江）已知抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1（a ≠0）过点A （m ，3），B （n ，3）两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a +1的最小值是74．【分析】根据题意得4a +1≥3，解不等式求得a ≥12，把x =12代入代数式即可求得．【解析】∵抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1＝a （x +2）2+1（a ≠0）， ∴顶点为（﹣2，1），过点A （m ，3），B （n ，3）两点， ∴a ＞0，∴对称轴为直线x ＝﹣2，线段AB 的长不大于4， ∴4a +1≥3 ∴a ≥12∴a 2+a +1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．20．（2018•镇江）已知二次函数y ＝x 2﹣4x +k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是 k ＜4 ．【分析】先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在x 轴的下方得出△＞0，求出即可．【解析】∵二次函数y ＝x 2﹣4x +k 中a ＝1＞0，图象的开口向上，又∵二次函数y ＝x 2﹣4x +k 的图象的顶点在x 轴下方， ∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k ＞0，解得：k ＜4，故答案为：k ＜4．21．（2018•淮安）将二次函数y ＝x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 y ＝x 2+2 ．【分析】先确定二次函数y ＝x 2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解析】二次函数y ＝x 2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y ＝x 2+2．故答案为：y ＝x 2+2．22．（2017•常州）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3自变量x 的部分取值和对应函数值y 如下表：则在实数范围内能使得y ﹣5＞0成立的x 取值范围是 x ＜﹣2或x ＞4 ．x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y…5﹣3﹣4﹣3…【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y ＝5的自变量x 的值即可．【解析】∵x ＝0，x ＝2的函数值都是﹣3，相等， ∴二次函数的对称轴为直线x ＝1， ∵x ＝﹣2时，y ＝5， ∴x ＝4时，y ＝5，根据表格得，自变量x ＜1时，函数值逐点减小，当x ＝1时，达到最小，当x ＞1时，函数值逐点增大， ∴抛物线的开口向上，∴y ﹣5＞0成立的x 取值范围是x ＜﹣2或x ＞4 故答案为：x ＜﹣2或x ＞4．23．（2017•镇江）若二次函数y＝x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝4．【分析】二次函数y＝x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则b2﹣4ac＝0，据此即可求得．【解析】y＝x2﹣4x+n中，a＝1，b＝﹣4，c＝n，b2﹣4ac＝16﹣4n＝0，解得n＝4．故答案是：4．24．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y＝x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b＜c（用“＞”或“＜”号填空）【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解析】∵二次函数y＝x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x＝a，二次项系数1＞0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y＝x2﹣2ax+3的图象上，∴b＜c，故答案为：＜．25．（2016•徐州）若二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是m＞1．【分析】由题意可得二次方程无实根，得出判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．【解析】∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，∴方程x2+2x+m＝0没有实数根，∴判别式△＝22﹣4×1×m＜0，解得：m＞1；故答案为：m＞1．26．（2016•泰州）二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2√3个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+√7，3）或（2，﹣3）．【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2√3，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y＝±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．【解析】∵△ABC是等边三角形，且AB＝2√3，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y＝±3代入y＝x2﹣2x﹣3，∴x＝1±√7或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x＝1+√7或x＝2∴C（1+√7，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+√7，3）或（2，﹣3）27．（2016•扬州）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为0＜a＜6．【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【解析】设未来30天每天获得的利润为y，y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−260−4a2×(−4)＞29.5解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．三．解答题（共23小题）28．（2020•盐城）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A （0，2）．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与该函数的图象交于点B （异于点A ）．满足△ACN 是等腰直角三角形，记△AMN 的面积为S 1，△BMN 的面积为S 2，且S 2=52S 1．（1）抛物线的开口方向上（填“上”或“下”）；（2）求直线l 相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式．【分析】（1）根据题意借助图象即可得到结论；（2）由点A （0，2）及△CAN 是等腰直角三角形，可知C （﹣2，0），N （2，0），由A 、C 两点坐标可求直线l ；（3）由S 2=52S 1，可知B 点纵坐标为5，代入直线AB 解析式可求B 点横坐标，将A 、B 、N 三点坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，可求抛物线解析式．【解析】（1）如图，如二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）． ∴抛物线开口向上，故答案为：上；（2）①若∠ACN ＝90°，则C 与O 重合，直线l 与抛物线交于A 点，因为直线l 与该函数的图象交于点B （异于点A ），所以不合题意，舍去； ②若∠ANC ＝90°，则C 在x 轴的下方，与题意不符，舍去； ③若∠CAN ＝90°，则∠ACN ＝∠ANC ＝45°，AO ＝CO ＝NO ＝2， ∴C （﹣2，0），N （2，0），设直线l 为y ＝kx +b ，将A （0，2）C （﹣2，0）代入得{b =2−2k +b =0，解得{k =1b =2，∴直线l 相应的函数表达式为y ＝x +2；（3）过B 点作BH ⊥x 轴于H ， S 1=12MN ⋅OA ，S 2=12MN ⋅BH ， ∵S 2=52S 1， ∴OA =52BH ， ∵OA ＝2， ∴BH ＝5，即B 点的纵坐标为5，代入y ＝x +2中，得x ＝3， ∴B （3，5），将A 、B 、N 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c 得{c =24a +2b +c =09a +3b +c =5，解得{a =2b =−5c =2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2﹣5x +2．29．（2020•南京）小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地．设小丽出发第xmin 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1m 、y 2m ．y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝﹣180x +2250，y 2与x 之间的函数表达式是y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为 250 m ．（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【分析】（1）根据题意和函数解析式，可以计算出小丽出发时，小明离A 地的距离；（2）根据题目中的函数解析式和题意，利用二次函数的性质，可以得到小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．【解析】（1）∵y1＝﹣180x+2250，y2＝﹣10x2﹣100x+2000，∴当x＝0时，y1＝2250，y2＝2000，∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250﹣2000＝250（m），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则s＝（﹣180x+2250）﹣（﹣10x2﹣100x+2000）＝10x2﹣80x+250＝10（x﹣4）2+90，∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90，答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．30．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．【分析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40，即可求解；（2）参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40（0＜x＜10）；（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，S乙＝﹣2x2+40x，则﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，即可求解．【解析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，同理S乙＝﹣2x2+40x，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，解得：x≤6，故0＜x≤6，而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．31．（2019•南通）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，则可求得其顶点坐标、对称轴及开口方向；（2）根据二次函数的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，则x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1的方程的△＞0，求得a＜2，把x＝4和代入y＝2x﹣1，求得函数值7，把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2，得到关于a的方程，解方程求得a=53，根据题意求出a的取值即可．【解析】（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，解得a ＜2，把x ＝4代入y ＝2x ﹣1，解得y ＝2×4﹣1＝7，把（4，7）代入y ＝x 2﹣4x +3a +2得7＝16﹣16+3a +2，解得a =53，故该二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x ﹣1的图象有两个交点，a 的取值为53≤a ＜2．32．（2019•宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润2250元”即可得到结论；（3）根据题意得到w =−12（x ﹣30）2+2450，根据二次函数的性质得到当x ＜30时，w 随x 的增大而增大，于是得到结论．【解析】（1）根据题意得，y =−12x +50（0＜x ≤20）；（2）根据题意得，（40+x ）（−12x +50）＝2250，解得：x 1＝50，x 2＝10， ∵每件利润不能超过60元， ∴x ＝10，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；（3）根据题意得，w ＝（40+x ）（−12x +50）=−12x 2+30x +2000=−12（x ﹣30）2+2450， ∵a =−12＜0，∴当x ＜30时，w 随x 的增大而增大， ∵40+x ≤60，x ≤20， ∴当x ＝20时，w 最大＝2400，答：当x为20时w最大，最大值是2400元．33．（2019•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．（1）求该二次函数的表达式；（2）求tan∠ABC．【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，将A（1，0）代入解析式来求a的值．（2）由锐角三角函数定义解答．【解析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）．把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，解得a=1 3．故该二次函数解析式为y=13（x﹣4）2﹣3；（2）令x＝0，则y=13（0﹣4）2﹣3=73．则OC=73．因为二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），A（1，0），则点B与点A关系直线x＝4对称，所以B（7，0）．所以OB＝7．所以tan∠ABC=OCOB=737=13，即tan∠ABC=13．34．（2018•无锡）已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（√3m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴正半轴交于点A，与直线y=√3x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．【分析】（1）由题意得：OA=√3m＝3√3，将x＝3√3代入y=√3x，可得：y＝9，即可求解；（2）由CD：DA＝BP：P A＝1：2，PD：BC＝P A：PB＝2：3，求出：OC=√32m，CD=√32m，AD=√3m，利用OA=√32m+√32m+√3m＝6，即可求解．【解析】（1）由题意得：OA=√3m＝3√3，将x＝3√3代入y=√3x，可得：y＝9，故：点B的坐标（3√3，9），∴BP＝6；（2）过点B作BC⊥OA于点C，过点P作PD⊥OA，由题意得：∠BOC＝60°，∵PD∥BC，∴CD：DA＝BP：P A＝1：2，PD：BC＝P A：PB＝2：3，∵PD＝m，OD=√3m，∴BC=32m，在Rt△OBC中，OC=√32m，∴CD=√32m，AD=√3m，∴OA=√32m+√32m+√3m＝6，解得：m=√3，∴点B （32，3√32），P （3，√3），故抛物线表达式为：y ＝a （x −32）2+3√32，将点P 坐标代入上式并解得：a =−2√39，故抛物线的表达式为：y =−2√39（x −32）2+3√32． 35．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2−52k （k 为常数）．（1）若抛物线经过点（1，k 2），求k 的值；（2）若抛物线经过点（2k ，y 1）和点（2，y 2），且y 1＞y 2，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值−32，求k 的值．【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；（2）分别把点（2k ，y 1）和点（2，y 2）代入函数解析式，表示y 1、y 2利用条件构造关于k 的不等式；（3）根据平移得到新顶点，用k 表示顶点坐标，找到最小值求k ．【解析】（1）把点（1，k 2）代入抛物线y ＝x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2−52k ，得k 2＝12﹣2（k ﹣1）+k 2−52k解得k =23（2）把点（2k ，y 1）代入抛物线y ＝x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2−52k ，得y 1＝（2k ）2﹣2（k ﹣1）•2k +k 2−52k ＝k 2+32k把点（2，y 2）代入抛物线y ＝x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2−52k ，得y 2＝22﹣2（k ﹣1）×2+k 2−52k ＝k 2−132k +8∵y 1＞y 2∴k 2+32k ＞k 2−132k +8 解得k ＞1（3）抛物线y ＝x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2−52k 解析式配方得y ＝（x ﹣k +1）2+（−12k −1）将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为y＝（x﹣k）2+（−12k−1）当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2−12k﹣1＝k2−52k，∴k2−52k=−32，解得k1＝1，k2=32都不合题意，舍去；当1≤k≤2时，y最小=−12k﹣1，∴−12k﹣1=−32解得k＝1；当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2−12k﹣1＝k2−92k+3，∴k2−92k+3=−32解得k1＝3，k2=32（舍去）综上，k＝1或3．36．（2018•苏州）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．【解析】（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣2，0），∵直线y＝x+m经过点A，∴﹣2+m＝0，解得，m＝2，∴点D的坐标为（0，2），∴AD=√OA2+OD2=2√2；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，y＝x2+bx+2＝（x+b2）2+2−b24，则点C′的坐标为（−b2，2−b24），∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，∴2−b24=−b2−4，解得，b1＝﹣4，b2＝6，∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．37．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．【分析】（1）与x轴相交令y＝0，解一元二次方程求解；（2）应用配方法得到顶点A 坐标，讨论点A 与直线l 以及x 轴之间位置关系，确定m 取值范围．（3）在（2）的基础上表示△ABO 的面积，根据二次函数性质求m ．【解析】（1）当m ＝﹣2时，抛物线解析式为：y ＝x 2+4x +2令y ＝0，则x 2+4x +2＝0解得x 1＝﹣2+√2，x 2＝﹣2−√2抛物线与x 轴交点坐标为：（﹣2+√2，0）（﹣2−√2，0）（2）∵y ＝x 2﹣2mx +m 2+2m +2＝（x ﹣m ）2+2m +2∴抛物线顶点坐标为A （m ，2m +2）∵二次函数图象的顶点A 在直线l 与x 轴之间（不包含点A 在直线l 上）∴当直线l 在x 轴上方时{2m +2＜m −1m −1＞02m +2＞0不等式无解当直线l 在x 轴下方时{2m +2＞m −12m +2＜0m −1＜0解得﹣3＜m ＜﹣1（3）由（1）点A 在点B 上方，则AB ＝（2m +2）﹣（m ﹣1）＝m +3△ABO 的面积S =12（m +3）（﹣m ）=−12m 2−32m∵−12＜0∴当m =−b 2a =−32时，S 最大=9838．（2018•淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 180 件；（2）当每件的销售价x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y 最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【解析】（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），故答案为：180；（2）由题意得：y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．39．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（3√5，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（−4√55，0），求这条抛物线的函数表达式．【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m（2）由∠APQ＝90°，构造△PQD∽△APE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式．【解析】（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C作CE⊥AF于点E设AC＝n，则CD＝n∵点B坐标为（0，﹣1）∴CH＝n+1，AF＝m+1∵CH ∥AF ，BC ＝2AC∴CH AF =BC AB =23即：n+1m+1=23整理得：n =2m−13Rt △AEC 中，CE 2+AE 2＝AC 2∴5+（m ﹣n ）2＝n 2把n =2m−13代入5+（m −2m−13）2＝（2m−13）2解得m 1＝5，m 2＝﹣3（舍去）∴n ＝3∴把A （3√5，5）代入y ＝kx ﹣1得k =2√55∴y =2√55x ﹣1（2）如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E设点P 坐标为（2√5，n ），由已知n ＞0由已知，PD ⊥x 轴∴△PQD ∽△APE∴QD PD =PE AE∴14√55n =√5解得n1＝7，n2＝﹣2（舍去）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k∴y＝a（x﹣2√5）2+7把A（3√5，5）代入y＝a（x﹣2√5）2+7解得a=−2 5∴抛物线解析式为：y=−25x2+8√55x−140．（2018•南京）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？【分析】（1）代入y＝0求出x的值，分m+3＝1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．【解答】（1）证明：当y＝0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝m+3．当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）解：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝2m+6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．41．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．。

二次函数的图像和性质练习(含答案)

二次函数的图像和性质一、选择题（每题3分）1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（）A ．21y x x=+ B ．y=ax 2+bx+c C ．y=x 2﹣（x+7）2 D ．y=（x+1）（2x ﹣1）【答案】D【解析】试题分析：因为形如y=ax 2+bx+c （0a ≠）的函数叫二次函数，所以选项A 、B 、C 错误，D 正确，故选：D ．考点：二次函数的概念.2．若函数y=-2(x-1)2+(a-1)x 2为二次函数，则a 的取值范围为（） A.a≠0 B.a≠1 C.a≠2 D.a≠3【答案】D ．【解析】试题分析：根据二次函数的定义化成一般式为()2342y a x x =-+-，则30a -≠3a ≠故选D ．考点：二次函数的定义．3.下列函数中，不是二次函数的是（）A ．y ＝1－x 2B ．y ＝2（x －1）2＋4C ．y ＝（x －1）（x ＋4）D ．y ＝（x －2）2－x 2【答案】D ．【解析】试题分析：选项A ，y=1-x 2=-x 2+1，是二次函数，选项A 正确；选项B ，y=2（x-1）2+4=2x 2-4x+6，是二次函数，选项B 正确；选项C ，y=（x-1）（x+4）=x 2+x-2，是二次函数，选项C 正确；选项 D ，y=（x-2）2-x 2=-4x+4，是一次函数，选项D 错误．故答案选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.若函数y ＝（m －3）是二次函数，则m ＝______．【答案】5．【解析】试题分析：已知函数y ＝（m －3）是二次函数，可得且m －3≠0，解得m=-5．考点：二次函数的定义．5.．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与底面半径r 的函数关系式为_________．【答案】S=4π2r【解析】试题分析：根据题意可得h=2r ，则S=2πrh=4π2r ．考点：二次函数的实际应用（时间：15分钟，满分25分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1.下列函数中，不属于二次函数的是（）A ．y=（x ﹣2）2B ．y=﹣2（x+1）（x ﹣1）C ．y=1﹣x ﹣x 2D ．y=211x 【答案】D【解析】试题分析：整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可：A 、整理为y=x 2﹣4x+4，是二次函数，不合题意；B 、整理为y=﹣2x 2+2，是二次函数，不合题意；C 、整理为y=﹣x 2﹣x+1，是二次函数，不合题意；D 、不是整式方程，符合题意．故选：D ．考点：二次函数的定义2．下列函数中属于二次函数的是（）A ．12-=x yB ．12-=ax yC ．222)1(2x x y --=D ．)2)(1(π+-=x x y【答案】D ．【解析】试题分析：A ．12-=x y 是一次函数，故本选项错误；B ．当0a =时，12-=ax y 不是二次函数，故本选项错误；C ．222)1(2x x y --==42x -+是一次函数，故本选项错误；D )2)(1(π+-=x x y 是二次函数，故本选项正确．故选D ．考点：二次函数的定义．3．若函数222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，则a 的取值范围为（）A ．0a ≠B ．1a ≠C ．2a ≠D ．3a ≠【答案】D ．【解析】试题分析：由原函数解析式得到：222(1)(1)y x a x =--+-=2(3)42a x x -+-．∵函数 222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，∴30a -≠，解得3a ≠．故选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.在边长为16cm 的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S （cm 2）与圆的半径r （cm ）之间的函数表达式为（不要求写自变量的取值范围）．【答案】2256r S π-=【解析】试题分析：剩下的面积为：正方形的面积-圆的面积=162-πr 2=256-πr 2故答案为：2256r S π-=考点：函数的表达式.5.．用长为8米的铝合金制成如图所示的窗框，若设窗框的宽为x 米，窗户的透光面积为S 平方米，则S 关于x 的函数关系式．【答案】S=x x 4232+-【解析】试题分析：设窗框的宽为x 米，则长为238x -米 ∴S=x x x x 4232382+-=⨯- 考点：实际问题抽象二次函数三、计算题（每题10分）6.已知，若函数2(1)3m y m x =-+是关于x 的一次函数．（1）求m 的值，并写出解析式；（2）若函数是关于x 的二次函数，求m 的值，．【答案】（1）1m =-；（2）m =．【解析】试题分析：（1）先根据一次函数的定义求出m 的值；（2）由22m =可得出m =试题解析：（1）∵函数2(1)3m y m x =-+是一次函数，∴21m =，解得1m =或1m =-，又∵10m -≠，∴1m ≠，∴1m =-，∴函数为：23y x =-+；m=可得出m=（2）由22考点：1．一次函数的定义；2．二次函数的定义．。

九年级数学上册《二次函数的图象及其性质》练习题及答案-人教版

九年级数学上册《二次函数的图象及其性质》练习题及答案-人教版一、选择题1.已知函数：①y＝ax2；②y＝3(x﹣1)2＋2；③y＝(x＋3)2﹣2x2；④y＝1x2＋x.其中，二次函数的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.二次函数y＝x2＋2x＋3中，自变量的取值范围为( )A.x＞0B.x为一切实数C.y＞2D.y为一切实数3.关于抛物线y＝x2﹣2x＋1，下列说法错误的是( )A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x＝1D.当x＞1时，y随x的增大而减小4.下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x＋4具有相同对称轴的是( )A.y＝4x2＋2x＋1B.y＝2x2﹣4x＋1C.y＝2x2﹣x＋4D.y＝x2﹣4x＋25.点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y3＞y2＞y1B.y3＞y1＝y2C.y1＞y2＞y3D.y1＝y2＞y36.如图，已知二次函数y＝(x＋1)2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值( )A.﹣3和5B.﹣4和5C.﹣4和﹣3D.﹣1和57.已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)如图所示.下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x＝1；③若抛物线经过点(2，y1)，(4，y2)，则y1＞y2；④顶点坐标是(1，－3).其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.48.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如表，则下列判断中正确的是 x … 0 1 3 4 … y…242﹣2…A.抛物线开口向上B.y 最大值为4C.当x ＞1时，y 随著x 的增大而减小D.当0＜x ＜2时，y ＞29.已知点(﹣1，y 1)、(﹣2，y 2)、(2，y 3)都在二次函数y ＝﹣3ax 2﹣6ax ＋12(a ＞0)上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为( )A.y 1＞y 3＞y 2B.y 3＞y 2＞y 1C.y 3＞y 1＞y 2D.y 1＞y 2＞y 3 10.给出一种运算：对于函数y ＝x n，规定y ′＝nx n ﹣1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的解是( ) A.x 1＝4，x 2＝﹣4 B.x 1＝2，x 2＝﹣2 C.x 1＝x 2＝0 D.x 1＝23，x 2＝﹣2 311.在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )12.已知二次函数y ＝－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6 二、填空题13.若()22m 2m 1y m m x--=+是二次函数，则m 的值是______.14.抛物线y ＝﹣x 2＋3x ﹣12的对称轴是 .15.已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________.16.二次函数y ＝x 2＋2x ﹣4的图象的开口方向是 .对称轴是 .顶点坐标是 .17.已知抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点A(﹣1，0)，求抛物线与x轴的另一个交点坐标.18.已知二次函数y＝﹣23x2﹣43x＋2的图象与x轴分别交于A，B两点(如图所示)，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB＋PC取得最小值时，点P的坐标为________.三、解答题19.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米?20.用配方法把二次函数y＝12x2﹣4x＋5化为y＝a(x-h)2＋k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标21.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝7；当x＝1时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝9.求它的函数表达式.22.如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(﹣1，0)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长.23.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)三点.(1)求此抛物线的函数解析式；(2)P为抛物线对称轴上一点，满足PA＝PB，求点P的坐标.24.如图，抛物线y＝－13x2＋bx＋c经过点A(3 3，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积.25.抛物线y＝ax2﹣32x﹣2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知点B的坐标为(4，0)(1)求抛物线的解析式.(2)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标.参考答案1.B.2.B.3.D.4.B5.D6.B7.C.8.D.9.D.10.B.11.D12.B13.答案为：3.14.答案为：直线x＝3 2 .15.答案为：m≥－1.16.答案为：向上,﹣1，(﹣1，﹣5).17.答案为：(﹣3，0).18.答案为：(﹣1，43 ).19.解：(1)S＝x(24﹣3x)，即S＝﹣3x2＋24x.(2)当S＝45时，﹣3x2＋24x＝45. 解得x1＝3，x2＝5.又∵当x＝3时，BC＞10(舍去)，∴x＝5. 答：AB的长为5米.20.解：y＝12x2﹣4x＋5＝12(x﹣4)2﹣3∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，﹣3).21.解：根据题意得∴它的函数表达式为y ＝﹣2x 2﹣5x ＋7.22.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0， 3)，B(﹣1，0) ∴，解得：∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2＋2x ＋3. (2)∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2＋2x ＋3∴顶点D 的坐标为(1，4)，点E 的坐标为(1，0) ∴BE ＝1﹣(﹣1)＝2，DE ﹣4 ∴BD ＝2 5.23.解：(1)根据题意，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－2x －3. (2)抛物线的对称轴为直线x ＝－－22×1＝1设P(1，t)，∵PA ＝PB∴(1－3)2＋t 2＝(1－2)2＋(t ＋3)2，解得t ＝－1 ∴点P 的坐标为(1，－1).24.解：(1)∵抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋c 经过点A(3 3，0)，B(0，3)∴⎩⎨⎧－9＋3 3b ＋c ＝0，c ＝3，解得b ＝2 33.∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋2 33x ＋3.(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x ＝ 3.把x ＝3代入y ＝－13x 2＋2 33x ＋3得y ＝4，则点C 的坐标为(3，4).∵直线AB 过点B(0，3)∴设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3. ∵A(3 3，0)，∴3 3k ＋3＝0，∴k ＝－33∴直线AB 的解析式为y ＝－33x ＋3. 过点C 作CH ⊥x 轴于点H则OH ＝3，CH ＝4，AH ＝OA －OH ＝3 3－3＝2 3. ∴S △ABC ＝S 四边形OHCB ＋S △CHA －S △AOB＝12(OB ＋CH)·OH ＋12AH ·CH －12OA ·OB ＝12×(3＋4)×3＋12×2 3×4－12×3×3 3＝3 3. 25.解：(1)将B(4，0)代入抛物线的解析式中，得： 0＝16a ﹣32×4﹣2，即：a ＝12；∴抛物线的解析式为：y ＝12x 2﹣32x ﹣2.(2)已求得：B(4，0)、C(0，﹣2)，可得直线BC 的解析式为：y ＝x ﹣2；设直线l ∥BC ，则该直线的解析式可表示为：y ＝x ＋b ，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x ＋b ＝x 2﹣x ﹣2，即：x 2﹣2x ﹣2﹣b ＝0，且△＝0； ∴4﹣4×(﹣2﹣b)＝0，即b ＝4； ∴直线l ：y ＝x ﹣4.由于S＝BC×h，当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时，△ABC的面积最大△MBC所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：得M(2，﹣3).。

二次函数图像和性质习题精选(含答案及解析)

二次函数图像和性质习题精选一．选择题（共30小题）1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．4．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=D．当﹣1＜x＜2时，y＞0C．当x＜，y随x的增大而减小7．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或28．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6B．5C．4D．39．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大11．如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=﹣1时，y的值大于1 D．当x=﹣3时，y的值小于012．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤313．如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞014．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．015．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1 C．1D．217．下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞219．已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=320．下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.5521．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．﹣2＜x＜823．在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．524．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 1 3 4 …y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．425．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣328．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4B．3C．2D．130．如图，已知抛物线，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x 值是或．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③二次函数图像和性质习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a 的正负，再与一次函数比较．）解答：解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．2．（2014•北海）函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．解答：解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），y=位于第一、三象限，没有选项图象符合，a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），y=位于第二、四象限，B选项图象符合．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．3．（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．解答：解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4．（2014•南昌）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．解答：解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：图表型．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．D．当﹣1＜x＜2时，y＞0当x＜，y随x的增大而减小考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c 的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．8．（2014•淄博）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6B．5C．4D．3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．9．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．解答：解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．10．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．11．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=﹣1时，y的值大于1 D．当x=﹣3时，y的值小于0考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答．解答：解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵﹣1＜1，∴x=﹣1时，y的值小于x=1时，y的值1，即当x=﹣1时，y的值小于1；故本选项错误；D、当x=﹣3时，函数图象上的点在点（﹣2，﹣1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识．12．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．解答：解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，①②联立解得：c≥3，故选B．点评：本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系．13．（2009•新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞0考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．解答：解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k=n不正确．故选：B．点评：本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．14．（2009•丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的性质解题．解答：解：①抛物线开口向下，a＜0，所以①错误；②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形，所以②该函数的图象关于直线x=1对称，正确；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，也正确．故选B．点评：本题考查了抛物线的开口方向，轴对称性和与x轴的交点等知识．15．（2009•南昌）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，逐一判断．解答：解：A、抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，所以ac＞0，错误；B、由图象可知，当x=1时，y＜0，错误；C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根小于1，一个根大于1，错误；D、存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大，正确．故选D．点评：本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，涉及的知识面比较广．16．（2008•仙桃）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1 C．1D．2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：由“对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得．解答：解：因为对称轴x=1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0．故选A．点评：巧妙利用了抛物线的对称性．17．（2007•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据坐标系的点的坐标特点，分别求出三角形的底和高，计算面积，再比较．解答：解：①与坐标轴的两个交点为（0，2）（2，0），阴影部分的面积为2×2÷2=2；②当x=1时，y=3，阴影部分的面积为1×3÷2=1.5；③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1，1，两点间的距离为：1﹣（﹣1）=2，与y轴的交点为（0，﹣1）．阴影部分的面积为2×1÷2=1；④当x=1时，y=4，阴影部分的面积为1×4÷2=2．①④面积相等．故选D．点评：解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高．18．（2007•达州）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞0时，x的取值范围．解答：解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．故选B．点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．19．（2007•泰州）已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=3考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：压轴题．分析：A、当x＜1时，在对称轴右侧，由此可以确定函数的单调性；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0，利用此即可判断是否正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集可以求出，然后就可以判断是否正确；D、根据平移规律可以求出a的值，然后判断是否正确．解答：解：二次函数为y=x2﹣4x﹣a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥﹣4，故选项错误；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4﹣a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3﹣a．函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=3．故选项正确．故选B．点评：此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及图象的平移规律．这些性质和规律要求掌握．20．（2009•塘沽区一模）下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.55考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：把三点代入解方程式，则代入y等于0时，x的值是多少即可．解答：解：代入各点坐标解得y=0.5x2﹣2.95x+4.23解得x=3.47左右则C最符合，故选C．点评：本题考查了一元二次方程的近似根，代入求近似值，再进行对比则最接近的即可．21．（2010•徐汇区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根考点：图象法求一元二次方程的近似根．专题：计算题．分析：结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．解答：解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．点评：此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．22．（2013•沙湾区模拟）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．﹣2＜x＜8考点：二次函数的性质．分析：根据两函数交点坐标得出，能使y1＜y2成立的x的取值范围即是图象y2在图象y1上面是x的取值范围，即可得出答案．解答：解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），∵结合图象，∴能使y1＜y2成立的x的取值范围是：﹣2＜x＜8，故选：D．点评：此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系，此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌握．23．（2012•北辰区一模）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：二次函数的性质；二次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据二次函数的性质，结合图象可判断①②③；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④；求出y2=2x+4与两坐标轴的交点画出直线y=2x+4，求出抛物线的解析式，根据y2﹣y1的符号即可判断出⑤．解答：解：由图象可知，在﹣3≤x≤0范围内，y1有最大值1、最小值﹣3，故①错误，②正确；由图象可知，当﹣3≤x＜﹣1时，y1随x的增大而增大，当﹣1＜x＜0时，y1随x的增大而减小，故③错误；由于y1的最大值是1，所以y1=ax2+bx+c与y=2没有交点，即方程ax2+bx+c=2无解，故④正确；如图所示，由于y2=2x+4经过点（0，4），（﹣2，0），由图可知，二次函数（a≠0）中，当x=1时，y=﹣1；x=﹣2时，y=0，所以，解得，故此二次函数的解析式为y1=﹣x2﹣2x，所以y2﹣y1=2x+4+x2+2x=（x+2）2，因为=（x+2）2≥0，所以y1≤y2，故⑤正确．故选B．点评：本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．24．（2011•苏州模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 1 34…y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标为（1，6），且函数值6为最大值，由此判断．解答：解：观察表格可知，抛物线的顶点坐标为（1，6），且抛物线开口向下，故①②③正确；∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），顶点坐标为（1，6），∴抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为×（4+2）×6=18，故④错误．其中正确说法是①②③．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质．关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标，开口方向及与x轴交点坐标．25．（2010•河北）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．解答：解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选D．点评：本题主要考查二次函数的对称性．26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．解答：解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，正确；③x=1时，y=a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选B．点评：主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：二次函数的性质．分析：抛物线开口向上，由x≤4时，y随x增大而减小，可知对称轴x=1﹣a≥4，解不等式即可．解答：解：∵二次函数对称轴为直线x=1﹣a，开口向上，∴当x≤1﹣a时，y随x增大而减小，∴1﹣a≥4，解得a≤﹣3．故选D．点评：本题考查了二次函数的增减性．抛物线开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小，右边y随x的增大而增大；抛物线开口向下时，在对称轴左边，y随x的增大而增大，右边y随x的增大而减小．28．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6个单位长度．解答：解：抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，即|y1﹣y2|=2．当直线l向右平移3个单位时，阴影部分的面积是：2×3=6．故选C．点评：主要考查了函数图象动态变化中的不变量，本题的关键点是能看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形．29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4B．3C．2D．1考点：二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：解：通过计算发现，当O与C重合时，S△ABC=2，据此据此推断出以AB为底边的三角形的高，从图上找到点C1、C2，再作CC3∥AB，使得C3与C到AB的距离相等，若求出C的坐标，则存在C3点，使得以AB为底的三角形面积为2．解答：解：∵S△ABC=×2×2=2，可见，当O与C重合时，S△ABC=2，作CD⊥AB，∵AO=BO=2，。

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思考小结
1. 借助函数增减性计算最值主要是利用数形结合．具体操作是：先判断开口方向、对称轴，再结合范围、端点值，确定最值．尝试使用上述方法解决下列问题，并体会操作思路：已知二次函数 y=-x2-6x-2． ①若-5≤x≤0，则 y 的取值范围是___________； ②若 1≤x＜2，则 y 的取值范围是____________； ③若-6＜x≤-2，则 y 的取值范围是____________．
中正确的有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
思路分析
由图象得 a 0 ，c 0 ，
由左同右异得， b 0 ，
∴ abc 0 ，故①正确．
由对称轴为直线 x=1 得， b 1， 2a
∴2a+b=0，故②正确．
1
D．4 个
由②得，b=-2a，根据图象知，当 x=-2 时， y 4a 2b c 0 ，
B(-3，y1)，C(3，y2)四点，则 y1 与 y2 的大小关系是（）
A． y1 y2
B． y1 y2
C． y1 y2
D．不能确定
6. 抛物线 y=-ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值
如下表：
x
… -1 2
3
5…
y
…0
3
0 -6 …
2
根据上表得出下列五种说法：①抛物线的对称轴是直线 x=1；
D．4 个
7. y=-x2+(a-2)x-2 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围是
1≤x≤3 时，y 在 x=1 时取得最小值，则实数 a 的取值范围是
（）
A．a=6
B．a≥6
C．a=4
D．a≥4
8. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线
1. 如图，已知抛物线 y x2 bx c 的对称轴为直线 x=2，点 A，
B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其中点 A 的坐标为
(0，3)，则点 B 的坐标为（）
A．(2，3)
B．(3，2)
C．(3，3)
D．(4，3)
2. 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，已知此图象经过
二次函数图象性质及应用（习题）
例题示范
例 1：设 A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线 y=-(x+1)2+m 上
的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为（）
A． y1 y2 y3
B． y1 y3 y2
C． y3 y2 y1
D． y3 y1 y2
思路分析
由题意得抛物线开口向下，对称轴为直线 x 1 ，
即 4a (4a) c 8a c 0 ，
故③正确．
根据抛物线的对称轴可知，
(1，0) 关于对称轴的对称点是 (3，0) ，
∵当 x=-1 时， y 0 ，
∴当 x=3 时， y 0 ，即 9a 3b c 0 ，4 个．
故选 D．
巩固练习
12. 已知二次函数 y=-x2-4x-3，若-5≤x≤3，则 y 的取值范围是 ____________；若-1≤x＜2，则 y 的取值范围是___________；若-6＜x≤1，则 y 的取值范围是_________．
13. 已知二次函数 y=x2+2x-3，若-1≤x≤3，则 y 的取值范围是 _________；若 2≤x＜4，则 y 的取值范围是____________．
x=-1．给出下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；
④a-b+c＜0．其中正确的是（）
A．②③
B．①③④ C．①②④ D．③④
3
9. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m(am+b)（m≠1）；④(a+c)2＜
根据点的横坐标确定点在对称轴的左侧还是右侧，
结合各点到对称轴的距离，画出草图如右图所示，
根据草图上各点的位置，容易判断当开口向下时，点到对称轴的
距离越远，函数值越小，
∴ y1 y2 y3 ．故选 A．例 2：已知二次函数 y ax2 bx c（a 0）的图象如图所示，有下
列结论：① abc 0 ；②2a+b=0；③ 8a c 0 ；④ 9a 3b c 0 ．其
②当 x＞1 时，y 的值随着 x 的增大而减小；③抛物线有最高
点，顶点坐标为 (2 ， 3 ) ； ④ 抛物线的表达式为 2
y 1 x2 x 3 ；⑤以抛物线的顶点、与 x 轴的两个交点三
2
2
点为顶点的三角形的面积为 4．其中正确的有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
2
4.
已知二次函数
y
1 2
x2
2x
k
，设自变量的值分别为
x1，x2，
x3，若 x1=-1，x2=1，x3=4，则对应的函数值 y1，y2，y3 的大小
关系是（）
A． y1 y2 y3
B． y1 y2 y3
C． y2 y3 y1
D． y2 y3 y1
5. 已知抛物线 y ax2 bx c （ a 0 ）过 A( 2 ，0)，O(0，0)，
4
【参考答案】巩固练习
1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. D 7. B 8. D 9. A 10. ②④ 11. m≥3 12. -24≤y≤1，-15＜y≤0，-15＜y≤1 13. -4≤y≤12，5≤y＜21
(-1，1)，(2，-1)两点，下列关于此二次函数的叙述，正确的是（） A．y 的最大值小于 0 B．当 x=0 时，y 的值大于 1 C．当 x=1 时，y 的值大于 1 D．当 x=3 时，y 的值小于 0 3. 二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（） A．有最小值 0，有最大值 3 B．有最小值-1，有最大值 0 C．有最小值-1，有最大值 3 D．有最小值-1，无最大值
b2；⑤a＞1．其中正确的是（）
A．①⑤
B．①②⑤ C．②⑤
D．①③④
第 9 题图
第 10 题图
10. 已知抛物线 y ax2 bx c 的图象如图所示，则下列结论：
①abc＞0；②a+b+c=2；③ a 1 ；④ b 1．其中正确的结论 2
是___________．（填写序号）
11. 已知二次函数 y (x m)2 1 ，当 x ≤3 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是___________．