概率论第五章统计量及其分布
(概率论与数理统计 茆诗松) 第5章 统计量及其分布
均匀分布，分布列为
x0 1 2
p 1/3 1/3 1/3
现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有 33=27种， (表5.3.6)
x0 1 2
p 1/3 1/3 1/3
P(x(1)=0) = ?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可给出的 x(1) , x(2), x(3) 分布列如下 ：
n
(x x ) 0. i i1
定理5.3.2 数据观测值与均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函数中，
(xi x)2最小，其中c为任意给定常数。
样本均值的抽样分布：
定理5.3.3 设x1, x2, …, xn 是来自某个总体的样本，
x 为样本均值。
(1) 若总体分布为N(, 2)，则
是将样本观测值由小到大排列后得到的第 i 个 观测值。
其中， x(1)=minx1, x2,…, xn称为该样本的最小次序统计量， 称 x(n)=maxx1,x2,…,xn为该样本的最大次序统计量。
在一个样本中，x1, x2,…,xn 是独立同分布的，而 次序统计量 x(1), x(2),…, x(n) 则既不独立，分布也 不相同，看下例。
则
p R ( r ) 0 1 r n ( n 1 ) [ ( y r ) y ] n 2 d y n ( n 1 ) r n 2 ( 1 r )
这正是参数为(n1, 2)的贝塔分布。
5.3.6 样本分位数与样本中位数
样本中位数也是一个很常见的统计量，它也是 次序统计量的函数，通常如下定义：
在n
不大时，常用
s2
1 n n1i1
(xi
x)2
《概率论与数理统计》统计量及其分布
但数理统计以概率论为基础，更着重于根据试验得
到的数据来对研究对象的客观规律作出种种合理的估
计和判断.
4
第5章
统计量及其分布
数
描述统计学
理
对随机现象进行观测、试验, 以取得有代表
统
性的观测值.
计
的
推断统计学
分
对已取得的观测值进行整理、分析, 作出推
类
断、决策,从而找出所研究的对象的规律性.
O
5
n 10
10
15
20
x
32
01
抽样分布
2. t 分布
2
X
~
N
(0,1)
，
Y
~
x
(n)，且X与Y 独立，则
设随机变量
X
T
Y /n
服从自由度为n的t分布，记为t(n).
性质 密度f(t)是偶函数，且t分布的极限分布是标准正
态分布.
33
01
抽样分布
t分布的密度函数
n 1
n 1
那么如何来利用样本呢?
列表?
画图?
统计量!
样本来自于总体，含有总体性质的信息，但较为分
散. 为了进行统计推断，需要把分散的信息进行整理，
针对不同的研究目的，构造不同的样本函数，这种函
数在统计学中称为统计量.
18
本讲内容
01
总体与个体
02
样本
03
统计量
03
统计量
3.统计量
统计量——不含有未知参数的样本函数
f ( x)
n1
n2
x
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案
（2）上班所需时间在半小时以内有 25 + 60 + 85 = 170 人． 5． 40 种刊物的月发行量（单位：百册）如下： 5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 4508 1208 3852 618 3008 1268 1978 7963 2048 3077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047 714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 2280 1223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为 1700（百册） ； （2）画出直方图． 解： （1）最大观测值为 353，最小观测值为 14667，则组距为 d = 1700， 区间端点可取为 0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300， 频率分布表为 组序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 （2）作图略．
1091 1572 775 1044 738
3． 假若某地区 30 名 2000 年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下： 909 1086 1120 999 1320 1071 1081 1130 1336 967 825 914 992 1232 950 1203 1025 1096 808 1224 871 1164 971 950 866 （1）构造该批数据的频率分布表（分 6 组） ； （2）画出直方图． 解： （1）最大观测值为 1572，最小观测值为 738，则组距为 d =
样本的分布为 p ( x1 , x2 , L , xn ) = λ eλ x1 ⋅ λ eλ x2 L λ eλ xn = λ n e
第五章《概率论与数理统计教程》课件
试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布
2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，
Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本 方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,
n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2
第5章 概率分布与统计量抽样分布优秀课件
P(a X b) a f (x)dx F(b) F(a)
分布函数与密度函数的图示
1. 密度函数曲线下的面积等于1 2. 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
F ( x0 )
x0
x
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
2. 方差为
第5章 概率分布与 统计量抽样分布
随机变量的概念
随机变量
(random variables)
1. 一次试验的结果的数值性描述 2. 一般用 X、Y、Z 来表示 3. 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 4. 根据取值情况的不同分为离散型随机变
量和连续型随机变量
离散型随机变量
(discrete random variables)
n
E( X ) xi pi i 1
( X取有限个值）
E( X ) xi pi i 1
( X取无穷个值）
离散型随机变量的方差
(variance)
1. 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平 方和的数学期望，记为D(X)
2. 描述离散型随机变量取值的分散程度 3. 计算公式为
D( X ) E[ X E( X )]2 若X是离散型随机变量，则
概率是曲线下的面积
b
P(a X b) a f (x)dx
f(x)
ab
x
分布函数
(distribution function)
1. 连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x) 来表示
2. 分布函数定义为
x
F(x) P(X x) f (t)dt ( x )
3. 根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
概率论与数理统计课件第5章-PPT精品文档
PX Q 0 . 5 2
1
第三四分位数Q3： PX Q 0 . 7 5 3
例1
为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽
取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位： 厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随
机变量X的分布状况。
87 99 86 87 84 85 96 90 103 88 91 94 94 91 88 109 83 89 111 98 102 92 82 80 91 84 88 91 110 99 86 94 83 80 91 85 73 98 89 102 99 81 80 87 95 70 97 104 88 102 69 94 95 92 92 90 94 75 91 95 102 76 104 98 83 94 90 96 80 80 90 92 105 92 92 90 94 97 86 91 95 94 88 96 80 94 92 91 77 83
样本方差( X X i n 1i 1
几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n) 样本均方差或标准差
2 1 n S X i X n 1i 1
它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总 体X取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。
几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n)
子样的K阶（原点）矩
1 n k Ak X i n i 1
子样的K阶中心矩
1 B k X i X n i1
n
k
数据的简单处理
为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据. 一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章
第五章 统计量及其分布
For personal use only in study and research;not for commercial use第五章 统计量及其分布§ 5.1 总体与样本内容概要1 总体 在一个统计问题中,研究对象的全体称为总体,构成总体的每个成员称为个体若关心的是总体中每个个体的一个数量指标,则该总体称为一维分布。
若关心的是总体中的每个个体的两个数量指标,则该总体称为二维总体,二维总体就是一个二维分布,余此类推。
2 有限总体与无限总体 若总体中的个数是有限的,此总体称为有限总体。
若总体中的个数是无限的,此总体称为无限总体。
实际中总体的个体数大多是有限的。
当个体数充分大时,将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象。
3 样本 从总体中随机抽取的部分个体组成的集合称为样本,样本的个体称为样本,样本个数称为样本容量或样本量。
样本常用n 个指标值1x ,2x , ,n x 表示.它可看作n 维随机变量,又可看作其观察值,这由上下文加以区别。
4 分组样本 只知样本观测值所在区间,而不知具体值的样本称为分组样本。
缺点：与完全样本相比损失部分信息。
优点：在样本量较大时,用分组样本即简明扼要,又能帮助人们更好的认识总体。
5 简单随机样本 若样本 1x ,2x , ,n x 是n 个相互独立的具有同一分布（总体分布）的随机变量,册称该样本为简单随机样本,仍简称样本。
若总体的分布函数为F(x),则其样本的（联合）分布函数为()∏=ni ix F 1；若总体的密度函数为P(x),则其样本的（联合）密度函数为∏=ni x p 1)(；若总体的分布列为{p(x i )},则其样本的（联合）分布列为∏=ni x p 1)(；习题与解答5.11. 某地电视台想了解某电视栏目（如：每晚九点至九点半的体育节目）在该 地区的收视率情况,于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查。
（1）该项研究的总体是什么？ （2）该项研究的样本是什么？解：(1)该项研究的总体是该地区全体电视观众；(2)该项研究的样本上一该地区被电话访查的电视观众。
概率论与数理统计(茆诗松)课后第五章习题参考答案
第五章 统计量及其分布习题5.11． 某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查． （1）该项研究的总体是什么？ （2）该项研究的样本是什么？ 解：（1）总体是该地区的全体用户；（2）样本是被访查的电话用户．2． 某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查100名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？解：总体是任意100名成年男子中的吸烟人数；样本是这50名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数；总体用二项分布描述比较合适．3． 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p 未知，每m 件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任意抽取n 盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体是全体盒装产品中每一盒的不合格品数；样本是被抽取的n 盒产品中每一盒的不合格品数；总体的分布为X ~ b (m , p )，x m x qp x m x X P −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==}{，x = 0, 1, …, n ， 样本的分布为nn x m x n x m x x m x n n q p x m q p x m q p x m x X x X x X P −−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====L L 2211212211},,,{ ∑∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−=∏ni tni tx mn x ni i q px m 111．4． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n 条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m 条鱼，而涂有红漆的鱼则有k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？ 解：设鱼塘里有N 条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为Nn ， 而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为m k，估计mk N n ≈，故估计出鱼塘里大概有kmnN ≈条鱼；总体是鱼塘里的所有鱼；样本是一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼． 5． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出n 件产品测其使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体是该厂生产的全体电容器的寿命；样本是被抽取的n 件电容器的寿命；总体的分布为X ~ e (λ )，p (x ) = λ e λ x ，x > 0，样本的分布为11212(,,,)e e e enin i x x x x n n p x x x λλλλλλλλ=∑=⋅=L L ，x i > 0．6． 美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元，你对此有何评论？ 解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体，样本的抽取不具有随机性，不能反应全体毕业生的情况．习题5.21． 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图． 解：经验分布函数0,138,0.1,138149,0.3,149153,()0.5,153156,0.8,156160,0.9,160169,1,169.n x x x F x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩ 作图略．2． 下表是经过整理后得到的分组样本组序 1 2 3 4 5分组区间 (38,48] (48,58] (58,68] (68,78] (78,88] 频数 3 4 8 3 2试写出此分布样本的经验分布函数．解：经验分布函数0,37.5,0.15,37.547.5,0.35,47.557.5,()0.75,57.567.5,0.9,67.577.5,1,77.5.n x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎪⎩3． 假若某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1336 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738（1）构造该批数据的频率分布表（分6组）； （2）画出直方图． 解：（1）最大观测值为1572，最小观测值为738，则组距为15727381406d −=≈， 区间端点可取为735，875，1015，1155，1295，1435，1575， 频率分布表为 组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率 1 (735, 875] 805 6 0.2 0.2 2 (875, 1015] 945 8 0.2667 0.4667 3 (1015, 1155] 1085 9 0.3 0.7667 4 (1155, 1295] 1225 4 0.1333 0.95 (1295,0.96672 0.066671435]13651 0.03333150516 (1435,1575]合计30 1（2）作图略．4．某公司对其250名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了调查，下面是其不完整的频率分布表：所需时间频率0~10 0.1010~20 0.2420~3030~40 0.1840~50 0.14 （1）试将频率分布表补充完整．（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？解：（1）频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率10] 5 25 0.1 0.11 (0,20] 15 60 0.24 0.342 (10,30] 25 85 0.34 0.683 (20,40] 35 45 0.18 0.864 (30,50] 45 35 0.14 15 (40,合计250 1（2）上班所需时间在半小时以内有25 + 60 + 85 = 170人．5．40种刊物的月发行量（单位：百册）如下：5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 45081208 3852 618 3008 1268 1978 7963 20483077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 22801223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为1700（百册）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为353，最小观测值为14667，则组距为d = 1700，区间端点可取为0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1700] 850 9 0.225 0.2251 (0,25509 0.225 0.453400]2 (1700,42505 0.125 0.5755100]3 (3400,59504 0.1 0.6756800]4 (5100,76504 0.1 0.7758500]5 (6800,1 0.025 0.893506 (8500,10200]1 0.025 0.825110507 (10200,11900]3 0.075 0.9127508 (11900,13600]4 0.1 11445015300]9 (13600,合计30 1（2）作图略．6．对下列数据构造茎叶图472 425 447 377 341 369 412 399400 382 366 425 399 398 423 384418 392 372 418 374 385 439 408429 428 430 413 405 381 403 479381 443 441 433 399 379 386 387 解：茎叶图为34 135369, 6377, 2, 4, 9382, 4, 5, 1, 1, 6, 7399, 8, 2400, 5, 3412, 9, 8, 8, 3, 9425, 5, 3, 8, 9, 8439, 0, 3447, 3, 14546472, 97．根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：千元）数据如下：40.6 39.6 37.8 36.2 38.838.6 39.6 40.0 34.7 41.738.9 37.9 37.0 35.1 36.737.1 37.7 39.2 36.9 38.3试画出茎叶图．解：茎叶图为34.735. 136.2, 7, 937.0, 1, 738. 639.6, 6, 240.6, 8, 041.742.43.844.9, 545. 4习题5.31．在一本书上我们随机的检查了10页，发现每页上的错误数为：4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．解：样本均值3)41654(101=+++++=L x ； 样本方差7778.3])34()31()36()35()34[(91222222≈−+−++−+−+−=L s ；样本标准差9437.17778.3≈=s ．2． 证明：对任意常数c , d ，有11()()()()()()n niiiii i x c y d x x y y n x c y d ==−−=−−+−−∑∑．证：∑∑==−+−−+−=−−ni i i n i i i d y y y c x x x d y c x 11)]())][(()[())((∑=−−+−−+−−+−−=ni i i i i d y c x d y x x y y c x y y x x 1)])(())(())(())([())(()()()()())((111d y c x n x x d y y y c x y y x x ni i ni i ni i i −−+−−+−−+−−=∑∑∑===))(())(())((00))((11d y c x n y y x x d y c x n y y x x ni i i ni i i −−+−−=−−+++−−=∑∑==．3． 设x 1 , …, x n 和y 1 , …, y n 是两组样本观测值，且有如下关系：y i = 3 x i − 4，i = 1, …, n ，试求样本均值x和y 间的关系以及样本方差2x s 和2y s 间的关系．解：4343431)43(111111−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−==∑∑∑∑====x x n n x n x n y n y ni i n i i n i i n i i ； 212121229(19)]43()43[(11)(11x n i i n i i n i i ys x x n x x n y y n s =−−=−−−−=−−=∑∑∑===． 4． 记∑==n i i n x n x 11，∑=−−=n i i n x x n s 122)(11，n = 1, 2, …，证明 )(1111n n n n x x n x x −++=++，21221)(111n n nn x x n s n n s −++−=++． 证：)(111111111111111111n n n n n n n i i n i i n x x n x x n x n n x n x n n n x n x −++=+++=++⋅+=+=+++=+=+∑∑； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=−=++=+=++∑∑21112112121))(1()(1)(1n n n i n i n i n i n x x n x x n x x n s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⋅+−−+−=++=∑2122112)()1(1)1()()(1n n n n n i n i x x n n x x x x n 2122112)(111)(1)(11)1(1n n n n n n i n i x x n s n n x x n n x x n n n −++−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−−−=++=∑．5． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，样本均值分别为1x , 2x ，样本方差分别为21s , 22s ，将两组样本合并，其均值、方差分别为x , s 2，证明：12nx mx x n m+=+，)1)(()(1)1()1(22122212−++−+−+−+−=m n m n x x nm m n s m s n s ． 证：m n x m x n x x m n x x m n x m j j n i i m j j n i i ++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=∑∑∑∑====211211121111； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−+=∑∑==m j jn i i x x x x m n s 1221212()(11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−+−−+=∑∑==221222211211)()()()(11x x m x x x x n x x m n m j j n i i ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−−+=221222221121)1()1(11m n x m x n x m s m m n x m x n x n s n m n 2212222122221)()()(111)1()1(m n x x mn x x nm m n m n s m s n +−+−⋅−++−+−+−=)1)(()(1)1()1(2212221−++−+−+−+−=m n m n x x nm m n s m s n ． 6． 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为A x ，样本标准差为s A ，样本极差为R A ，样本中位数为m A ．现对样本中每一个观测值施行如下变换：y = ax + b ，如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标准差、极差和中位数．解：b x a b x n a nb x a n b ax n y n y A ni i n i i n i i n i i B +=+⋅=+=+==∑∑∑∑====11111)(1)(11；A n i A i n i A i n iB i B s a x x n a b x a b ax n y y n s ||)(11||)(11)(11121212=−−⋅=−−+−=−−=∑∑∑===； R B = y (n ) − y (1) = a x (n ) + b − a x (1) − b = a [x (n ) − x (1)] = a R A ； 当n 为奇数时，b am b ax y m A n n B +=+==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+5.021215.0，当n 为偶数时，b am b x x ab ax b ax y y m A n n n n n n B +=++=+++=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛5.01221221225.0][2][21][21，故m B 0.5 = a m A 0.5 + b ．7． 证明：容量为2的样本x 1 , x 2的方差为2212)(21x x s −=． 证：221212221221222112)(214)(4)(])2()2[(121x x x x x x x x x x x x s −=−+−=+−++−−=． 8． 设x 1 , …, x n 是来自U (−1, 1) 的样本，试求)(X E 和Var(X ．解：因X i ~ U (−1, 1)，有0211)(=+−=i X E ，3112)11()(Var 2=+=i X ，故0)(1)1()(11===∑∑==ni i n i i X E n X n E X E ，n n nXnX n X ni in i i 31311)(Var 11Var )(Var 2121=⋅⋅==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==． 9． 设总体二阶矩存在，X 1 , …, X n 是样本，证明X X i −与)(j i X X j ≠−的相关系数为 − (n − 1) − 1．证：因X 1 , X 2 , …, X n 相互独立，有Cov (X l , X k ) = 0，（l ≠ k ）， 则),(Cov ),(Cov ),(Cov ),(Cov ),(Cov X X X X X X X X X X X X j i j i j i +−−=−−)(Var ),1(Cov )1,(Cov 0X X X nX n X j j i i +−−= 22221111)(Var )(Var 1)(Var 1σσσσnn n n X X n X n j i −=+−−=+−−=，且)1,(Cov 21),(Cov 2)(Var )(Var )(Var 22i i i i i X nX n X X X X X X −+=−+=−σσ)(Var 1212222X X nn n n j −=−=−+=σσσσ，故11111)(Var )(Var ),(Cov ),(Corr 222−−=−⋅−−=−⋅−−−=−−n nn n n n X X X X X X X X X X X X j i j i j i σσσ． 10．设x 1 , x 2 ,…, x n 为一个样本，∑=−−=ni i x x n s 122)(11是样本方差，试证： 22)()1(1s x x n n ji j i =−−∑<． 证：因⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−=∑∑==21212211)(11x n x n x x n s n i i n i i ， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+=−=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========<n i n j j i n i n j j n i n j i n i n j j i j i n i n j j i j i j i x x x x x x x x x x x x 1111211211221122221)2(21)(21)( 221212111212)1(2221221s n n x n x n x n x n x n x x x n x n n i i n i i n i n j j i n j j n i i −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑∑∑∑∑======， 故22)()1(1s x x n n ji j i =−−∑<． 11．设总体4阶中心矩ν4 = E [X − E (X )]4存在，试对样本方差∑=−−=ni i X X n S 122(11，有 2442442442)1(3)1()2(2)1()()Var(−−+−−−−−=n n n n n S σνσνσν，其中σ 2为总体X 的方差．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµX n X n X X n S n i i n i i ，其中µ = E (X )， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=∑=21222)()(Var )1(1)Var(µµX n X n S n i i⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=∑∑==])(Var[)(,)(Cov 2)(Var )1(12212122µµµµX n X n X X n n i i n i i ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−−=∑∑==22122122)Var())(,)Cov((2)Var()1(1µµµµX n X X n X n n i i n i i ， 因E (X i − µ)2 = σ 2，E (X i − µ)4 = ν4，则)(})({}])([)({)Var(441224122412σνσνµµµ−=−=−−−=−∑∑∑===n X E X E X ni ni i i ni i ，因E (X i − µ) = 0，221)Var()(σµnX X E ==−，且当i ≠ j 时，X i − µ 与X j − µ 相互独立， 则∑∑==−−−−−=−−ni i i ni i X E X E X X E X X 12222122})()(])()[({))(,)Cov((µµµµµµ∑∑==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅−=ni nk k i n X n X E 1222121)(1)(σσµµ∑∑=≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−+−=n i i k k i i n X E X E X E n1422421)()()(1σµµµ)(11])1([144142242σνσσσν−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅+=∑=n n n nni ，且224122421)(1])([)()Var(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−=−∑=σµµµµn X n E X E X E X n i i42221441)()(24)(1σµµµn X X X E n j i j i n i i −⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∑∑<= 42221441)()(6)(1σµµµn X E X E X E n j i j i ni i −⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−=∑∑<= 42443424444222442)3(11])1(3[11261σσνσσνσσσνn n n n n n n n n n n +−=−−+=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+=， 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−⋅−−−=4244324444222)3(1)(12)()1(1)Var(σσνσνσνn n n n n n n S⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+−−−−=444444422)3(1)(2)()1(1σσνσνσνn n n 2442442444444442)1(3)1()2(2)1()()3(1)2(2)()1(1−−+−−−−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−=n n n n n n n n σνσνσνσνσνσν． 12．设总体X 的3阶矩存在，设X 1 , X 2 ,…, X n 是取自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，试证：nS X 32),Cov(ν=，其中ν3 = E [X − E (X )]3．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµX n X n X X n S n i i n i i ，其中µ = E (X )， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−=−=∑=21222)()(11,Cov ),Cov(),Cov(µµµµX n X n X S X S X n i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=∑=))(,Cov())(,Cov(11212µµµµX X n X X n n i i ， 因0)()(=−=−µµi X E X E ，E (X i − µ)2 = σ 2，E (X i − µ)3 = ν3，且当i ≠ j 时，X i − µ 与X j − µ 相互独立，则∑∑∑∑====−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−n i i i ni i n k k ni i X X n X X n X X 1212112))(,Cov(1)(,)(1Cov ))(,Cov(µµµµµµ331231])()()([1ννµµµ=⋅=−−−−=∑=n nX E X E X E n n i i i i ， 且31232)(1)()()())(,Cov(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−−=−−∑=n i i X n E X E X E X E X X µµµµµµ323313313311)(1)(1ννµµn n n X E n X E n n i i n i i =⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∑∑==，故n nn n n n n S X 333232111111),Cov(νννν=−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=． 13．设1X 与2X 是从同一正态总体N (µ, σ 2)独立抽取的容量相同的两个样本均值．试确定样本容量n ，使得两样本均值的距离超过σ 的概率不超过0.01． 解：因µ==)()(21X E X E ，nX X 221)Var()Var(σ==，1X 与2X 相互独立，且总体分布为N (µ, σ 2)，则0)(21=−=−µµX X E ，n n n X X 222212)Var(σσσ=+=−，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−n N X X 2212,0~σ， 因01.0222212}|{|21≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=>−n n X X P σσσ，有995.02≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φn ，5758.22≥n ，故n ≥ 13.2698，即n 至少14个．14．利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在 (0.4, 0.6) 间的概率至少为0.9．如何才能更精确的计算这个次数？是多少？解：设⎩⎨⎧=,,0,,1次反面朝上第次正面朝上第i i X i 有X i ~ B (1, 0.5)，且正面朝上的频率为∑==ni i X n X 11，则E (X i ) = 0.5，Var (X i ) = 0.25，且5.0(=X E ，n X 25.0)(Var =， 由切比雪夫不等式得n nX P X P 2511.025.01}1.0|5.0{|}6.04.0{2−=−≥<−=<<，故当9.0251≥−n时，即n ≥ 250时，9.0}6.04.0{≥<<X P ；利用中心极限定理更精确地计算，当n 很大时∑==ni i X n X 11的渐近分布为正态分布25.0,5.0(n N ， 则)2.0()2.0()25.05.04.0(25.05.06.0()4.0()6.0(}6.04.0{n n nnF F X P −Φ−Φ=−Φ−−Φ=−=<<9.01)2.0(2≥−Φ=n ，即95.0)2.0(≥Φn ，64.12.0≥n ，故当n ≥ 67.24时，即n ≥ 68时，9.0}6.04.0{≥<<X P ．15．从指数总体Exp (1/θ ) 抽取了40个样品，试求X 的渐近分布．解：因θ==)((X E X E ，2401)(Var )(Var θ==n X X ，故X 的渐近分布为)401,(2θθN ．16．设X 1 , …, X 25是从均匀分布U (0, 5) 抽取的样本，试求样本均值X 的渐近分布．解：因25)()(==X E X E ，1211225)05()(Var )(Var 2=×−==n X X ，故X 的渐近分布为)121,25(N ． 17．设X 1 , …, X 20是从二点分布b (1, p ) 抽取的样本，试求样本均值X 的渐近分布．解：因p X E X E ==)((，20)1()(Var )(Var p p n X X −==，故X 的渐近分布为20)1(,(p p p N −．18．设X 1 , …, X 8是从正态分布N (10, 9) 中抽取的样本，试求样本均值X 的标准差．解：因89)(Var )(Var ==n X X ，故X 的标准差为423)(Var =X ． 19．切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而用剩下的当中的值为计算样本均值，其计算公式是][2])[()2]([)1]([αααααn n X X X X n n n n −+++=−++L ，其中0 < α < 1/2是切尾系数，X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (n ) 是有序样本．现我们在高校采访了16名大学生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间：15 14 12 9 20 4 17 26 15 18 6 10 16 15 5 8 取α = 1/16，试计算其切尾均值．解：因n α = 1，且有序样本为4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 20, 26，故切尾均值8571.12)20865(216116/1=++++−=L x ． 20．有一个分组样本如下：区间 组中值 频数 (145,155) 150 4 (155,165) 160 8 (165,175) 170 6 (175,185) 180 2试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度．解：163)2180617081604150(201=×+×+×+×=x ；2338.9]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(1912222=×−+×−+×−+×−=s ； 因81]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20122222=×−+×−+×−+×−=b ， 144]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20133333=×−+×−+×−+×−=b ，14817]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20144444=×−+×−+×−+×−=b ，故样本偏度1975.02/3231==b b γ，样本峰度7417.032242−=−=b b γ．21．检查四批产品，其批次与不合格品率如下：批号批量不合格品率1 100 0.052 300 0.063 250 0.04 4 150 0.03试求这四批产品的总不合格品率．解：046875.0)03.015004.025006.030005.0100(8001=×+×+×+×=p ． 22．设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5，现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求X (1) 和X (4) 的分布． 解：因总体分布函数为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,54,43,53,32,52,21,51,1,0)(x x x x x x x F则F (1) (x ) = P {X (1) ≤ x } = 1 − P {X (1) > x } = 1 − P {X 1 > x , X 2 > x , X 3 > x , X 4 > x } = 1 − [1 − F (x )]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625624,43,625609,32,625544,21,625369,1,0x x x x x x且F (4) (x ) = P {X (4) ≤ x } = P {X 1 ≤ x , X 2 ≤ x , X 3 ≤ x , X 4 ≤ x } = [F (x )]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625256,43,62581,32,62516,21,6251,1,0x x x x x x故X (1) 和X (4) 的分布为6251625156256562517562536954321)1(P X ； 6253696251756256562515625154321)4(PX ． 23．设总体X 服从几何分布，即P {X = k } = pq k − 1，k = 1, 2, …，其中0 < p < 1，q = 1 − p ，X 1, X 2, …, X n 为该总体的样本．求X (n ) , X (1)的概率分布．解：因k k kj j q qq p pqk X P −=−−==≤∑=−11)1(}{11，k = 1, 2, …，故n k n k ni i ni i n n n q q k X P k X P k X P k X P k X P )1()1(}1{}{}1{}{}{111)()()(−==−−−=−≤−≤=−≤−≤==∏∏；且nk k n ni i ni i q q k X P k X P k X P k X P k X P −=>−−>=>−−>==−==∏∏)1(11)1()1()1(}{}1{}{}1{}{．24．设X 1 , …, X 16是来自N (8, 4) 的样本，试求下列概率（1）P {X (16) > 10}； （2）P {X (1) > 5}．解：（1）1616161)16()16()]2810([1)]10([1}10{1}10{1}10{−Φ−=−=≤−=≤−=>∏=F X P X P X P i i = 1 − [Φ(1)]16 = 1 − 0.841316 = 0.9370；（2）3308.09332.0)]5.1([285(1[)]5(1[}5{}5{16161616161)1(==Φ=−Φ−=−=>=>∏=F X P X P i i ． 25．设总体为韦布尔分布，其密度函数为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−mmm x mx m x p ηηηexp ),;(1，x > 0, m > 0, η > 0． 现从中得到样本X 1 , …, X n ，证明X (1) 仍服从韦布尔分布，并指出其参数． 解：总体分布函数mm mmx xt xmt xt mm xt t mtt t p x F ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===∫∫∫ηηηηηηe1e d ed ed )()(00010，x > 0，则X (1) 的密度函数为111(1)11()[1()]()eeemmmmx x x m m m n n n mmmxmnxp x n F x p x n ηηηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−−−−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠=−=⋅==，故X (1) 服从参数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛m n m η,的韦布尔分布． 26．设总体密度函数为p (x ) = 6 x (1 − x ), 0 < x < 1，X 1 , …, X 9是来自该总体的样本，试求样本中位数的分布． 解：总体分布函数3203223)23(d )1(6d )()(x x t t t t t t t p x F xxx−=−=−==∫∫，0 < x < 1，因样本容量n = 9，有样本中位数)5(215.0x x m n ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+，其密度函数为)1(6)231()23(!4!4!9)()](1[)]([!4!4!9)(432432445x x x x x x x p x F x F x p −⋅+−−⋅=−⋅=． 27．证明公式∫∑−−=−−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛110)1()!1(!!)1(p r n r rk k n k dx x x r n r n p p k n ，其中0 ≤ p ≤ 1． 证：设总体X 服从区间(0, 1)上的均匀分布，X 1, X 2, …, X n 为样本，X (1), X (2), …, X (n )是顺序统计量，则样本观测值中不超过p 的样品个数服从二项分布b (n , p )，即最多有r 个样品不超过p 的概率为∑=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=>rk kn k r p p k n p X P 0)1()1(}{，因总体X 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(x x x x x F则X (r + 1)的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−+.,0,10,)1()!1(!!)()](1[)]([)!1(!!)(111其他x x x r n r n x p x F x F r n r n x p r n r r n r r 故∫∑−−+=−−−−=>=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)1(0)1()!1(!!}{)1(p r n r r rk kn k dx x x r n r n p X P p p k n ． 28．设总体X 的分布函数F (x )是连续的，X (1), …, X (n )为取自此总体的次序统计量，设ηi = F (X (i ))，试证： （1）η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn ，且ηi 是来自均匀分布U (0, 1)总体的次序统计量；（2）1)(+=n iE i η，)2()1()1()Var(2++−+=n n i n i i η，1 ≤ i ≤ n ； （3）ηi 和ηj 的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−2)1(2)1(2)1(2)1(22212111n a a n a a n a a n a a 其中11+=n i a ，12+=n j a ． 注：第（3）问应要求i < j ． 解：（1）首先证明Y = F (X )的分布是均匀分布U (0, 1)，因分布函数F (x )连续，对于任意的y ∈ (0, 1)，存在x ，使得F (x ) = y ， 则F Y ( y ) = P {Y = F (X ) ≤ y } = P {F (X ) ≤ F (x )} = P {X ≤ x } = F (x ) = y ， 即Y = F (X )的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y可得Y = F (X )的分布是均匀分布U (0, 1)，即F (X 1), F (X 2), …, F (X n )是均匀分布总体U (0, 1)的样本， 因分布函数F (x )单调不减，ηi = F (X (i ))，且X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (n )是总体X 的次序统计量， 故η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn ，且ηi 是来自均匀分布U (0, 1)总体的次序统计量； （2）因均匀分布U (0, 1) 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他y y p Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y则ηi = F (X (i ))的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−.,0,10,)1()!()!1(!)()](1[)]([)!()!1(!)(11其他y y y i n i n y p y F y F i n i n y p i n i Y in Y i Y i即ηi 服从贝塔分布Be (i , n − i + 1)，即Be (a , b )，其中a = i ，b = n − i + 1，故1)(+=+=n i b a a E i η，)2()1()1()1()()Var(22++−+=+++=n n i n i b a b a ab i η，1 ≤ i ≤ n ； （3）当i < j 时，(ηi , ηj )的联合密度函数为z y Y Y j n Y i j Y Y i Y ij z p y p z F y F z F y F j n i j i n z y p <−−−−−−−−−−=I )()()](1[)]()([)]([)!()!1()!1(!),(111011I )1()()!()!1()!1(!<<<−−−−−−−−−−=z y j n i j i z y z y j n i j i n ， 则∫∫∫∫−−−+∞∞−+∞∞−−⋅−−−−−=⋅=1001)1()()!()!1()!1(!),()(z j n i j i ij j i dy z z y z y dz j n i j i n dydz z y p yz E ηη， 令y = zu ，有dy = zdu ，且当y = 0时，u = 0；当y = z 时，u = 1，则∫∫⋅−−=−⋅−−−−−−−1101)()()1()1()(zdu zu z zu z z dy z z y z y i j i j n zj n i j ij n j j n j i j i j j n z z j i j i i j i B z z du u u z z z −+−+−−−−−−=−+⋅−=−⋅−=∫)1(!)!1(!),1()1()1()1(1111，即∫−+−−−−−−−=101)1(!)!1(!)!()!1()!1(!)(dz z z j i j i j n i j i n E jn j j i ηη )1,2(!)!1(!)!()!1()!1(!+−+−−⋅−−−−=j n j B j i j i j n i j i n)2)(1()1()!2()!()!1(!)!1(!)!()!1()!1(!+++=+−+⋅−−⋅−−−−=n n j i n j n j j i j i j n i j i n ， 可得)2()1()1(11)2)(1()1()()()(),Cov(2++−+=+⋅+−+++=−=n n j n i n j n i n n j i E E E j i j i j i ηηηηηη， 因11+=n i a ，12+=n j a ， 则2)1()2()1()1(),Cov(212+−=++−+=n a a n n j n i j i ηη， 且2)1()2()1()1()Var(112+−=++−+=n a a n n i n i i η，2)1()2()1()1()Var(222+−=++−+=n a a n n j n j jη， 故ηi 和ηj 的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2)1(2)1(2)1(2)1()Var(),Cov(),Cov()Var(22212111n a a n a a n a a n a a j j i j i i ηηηηηη． 29．设总体X 服从N (0, 1)，从此总体获得一组样本观测值x 1 = 0, x 2 = 0.2, x 3 = 0.25, x 4 = −0.3, x 5 = −0.1, x 6 = 2, x 7 = 0.15, x 8 = 1, x 9 = −0.7, x 10 = −1．（1）计算x = 0.15（即x (6)）处的E [F (X (6))]，Var[F (X (6))]； （2）计算F (X (6))在x = 0.15的分布函数值．解：（1）根据第28题的结论知1)]([)(+=n iX F E i ，)2()1()1()](Var[2)(++−+=n n i n i X F i ，且n = 10， 故116)]([)6(=X F E ，2425121156)](Var[2)6(=××=X F ； （2）因F (X (i ))服从贝塔分布Be (i , n − i + 1)，即这里的F (X (6))服从贝塔分布Be (6, 5)，则F (X (6))在x = 0.15的分布函数值为∫−⋅=15.00456)1(!4!5!10)15.0(dx x x F ， 故根据第27题的结论知0014.085.015.0101)1(!4!5!10)15.0(501015.00456=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−⋅=∑∫=−k k k k dx x x F ． 30．在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数m 0.5的渐近分布．（1）p (x ) = 6x (1 − x )，0 < x < 1；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=222)(exp π21)(σµσx x p ； （3）⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p （4）||e 2)(x x p λλ−=．解：样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅)(41,5.025.0x p n x N ，其中p (x )是总体密度函数，x 0.5是总体中位数， （1）因p (x ) = 6x (1 − x )，0 < x < 1，有35.025.003205.023)23()1(6)(5.05.05.0x x x x dx x x x F x x −=−=−==∫，则x 0.5 = 0.5，有nn p n 91)5.05.06(41)5.0(4122=×××=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 91,5.0；（2）因⎭⎫⎩⎨⎧−−=222)(exp π21)(σµσx x p ，有0.5 = F (x 0.5) = F (µ)， 则x 0.5 = µ ，有n n p n 2ππ2141)(41222σσµ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2π,2σµ；（3）因⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 有25.00205.05.05.02)(5.0x x xdx x F x x ====∫， 则215.0=x ，有n n p n 8121241214122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛××=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 81,21； （4）因||e 2)(x x p λλ−=，有0.5 = F (x 0.5) = F (0)，则x 0.5 = 0，有2221241)0(41λλn n p n =⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛21,0λn N ．31．设总体X 服从双参数指数分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=.,0;,exp 1)(µµσµx x x x F其中，−∞ < µ < +∞，σ > 0，X (1) ≤ … ≤ X (n )为样本的次序统计量．试证明)(2)1()1()(−−−−i i X X i n σ服从自由度为2的χ 2分布（i = 2, …, n ）． 注：此题有误，讨论的随机变量应为)(2)1()1()(−−+−i i X X i n σ．证：因(X (i − 1), X (i ))的联合密度函数为z y i n i i i z p y p z F y F i n i n z y p <−−−−−−=I )()()](1[)]([)!()!2(!),(2)1( z y in i z y z y i n i n <<−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−−=µσµσσµσσµσµI exp 1exp 1exp exp 1)!()!2(!2z y i n i z y y i n i n <<+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=µσµσµσµσI exp exp 1exp )!()!2(!122，则T = X (i ) − X (i − 1)的密度函数为∫+∞∞−−⋅⋅+=dy t y y p t p i i T 1),()()1(∫∞++−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=µσµσµσµσdy t y y y i n i n i n i 122exp exp 1exp )!()!2(!∫∞+−+−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎫⎩⎨⎧−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=µσµσσµσµσσy d y y t i n i n i i n i n exp )(exp 1exp exp )!()!2(!2112∫−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=−+−+−012112)()1(exp )!()!2(!du u ut i n i n i i n i n σσσ∫−+−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=1021)1()1(exp )!()!2(!du u ut i n i n i n i i n σσ )1,2()1(exp )!()!2(!−+−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=i i n B t i n i n i n σσ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−+−=−+−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=σσσσt i n i n n i i n t i n i n i n )1(exp 1!)!2()!1()1(exp )!()!2(!，t > 0，可得T i n X X i n S i i σσ2)1()(2)1()1()(+−=−+−=−的密度函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=+−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−=+−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=2exp 21)1(22exp 1)1(2)1(2)(s i n s i n i n s i n p s p T S σσσσ，s > 0， 故)(2)1()1()(−−+−=i i X X i n S σ服从参数为21的指数分布，也就是服从自由度为2的χ 2分布． 32．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,3)(2其他x x x p X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (5)为容量为5的取自此总体的次序统计量，试证)4()2(X X 与X (4)相互独立．z −证：因总体X 的密度函数和分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,3)(2其他x x x p ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(3x x x x x F 则(X (2), X (4))的联合密度函数为)4()2(I )()()](1[)]()([)]([!1!1!1!5),()4()2(1)4(1)2()4(1)2()4()2(24x x x p x p x F x F x F x F x x p <−−⋅⋅=103)4(3)2(3)4(2)4(5)2(102)4(2)2(3)4(3)2(3)4(3)2()4()2()4()2(I )1)((1080I 33)1)((120<<<<<<−−=⋅⋅−−=x x x x x x x x x x x x x x x ，设)4()2(1X X Y =，Y 2 = X (4)，有X (2) = Y 1Y 2，X (4) = Y 2，则(X (2), X (4))关于( Y 1 , Y 2 )的雅可比行列式为21221)4()2(1),(),(y y y y y x x J ==∂∂=，且0 < X (2) ≤ X (4) < 1对应于0 < Y 1 < 1, 0 < Y 2 < 1，可得(Y 1 , Y 2 )的联合密度函数为210,10323213222521221242121I )1]()([)(1080||),(),(y y y y y y y y J y y y p y y p y y ⋅−−=⋅=<<<<103211210315121I )1(I )1(1080<<<<−⋅−=y y y y y y ，由于(Y 1 , Y 2 , …, Y n )的联合密度函数p ( y 1 , y 2)可分离变量， 故)4()2(1X X Y =与Y 2 = X (4)相互独立．33．（1）设X (1)和X (n )分别为容量n 的最小和最大次序统计量，证明极差R n = X (n ) − X (1)的分布函数∫+∞∞−−−+=dy y p y F x y F n x F n R n )()]()([)(1其中F ( y )与p ( y )分别为总体的分布函数与密度函数；（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布Exp (λ)时，样本极差R n 的分布． 注：第（1）问应添上x > 0的要求． 解：（1）方法一：增补变量法因(X (1), X (n ))的联合密度函数为z y n z y n n z p y p y F z F n n z p y p y F z F n n z y p <−<−−−=−−=I )()()]()()[1(I )()()]()([)!2(!),(221， 对于其函数R n = X (n ) − X (1)，增补变量W = X (1)，⎩⎨⎧−==.;y z r y w 反函数为⎩⎨⎧+==.;r w z w y 其雅可比行列式为11101==J ，则R n 的密度函数为∫+∞∞−>−+−+−=dw r w p w p w F r w F n n r p r n R n 02I )()()]()()[1()(，故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫∫∞−+∞∞−>−∞−+−+−==x r n x R R dw r w p w p w F r w F n n dr dr r p x F n n 02I )()()]()()[1()()(∫∫+∞∞−∞−>−+−+−=xr n dr r w p w p w F r w F n n dw 02I )()()]()()[1(∫∫+∞∞−−+−+−=xn dr r w p w F r w F dw w p n n 02)()]()([)()1(∫∫+∞∞−−+−+−=xn r w dF w F r w F dw w p n n 02)()]()([)()1(∫+∞∞−−−+−⋅−=x n w F r w F n dw w p n n 01)]()([11)()1(∫+∞∞−−−+=dw w p w F x w F n n )()]()([1 ∫+∞∞−−−+=dy y p y F x y F n n )()]()([1，x > 0；方法二：分布函数法因(X (1), X (n ))的联合密度函数为z y n z y n n z p y p y F z F n n z p y p y F z F n n z y p <−<−−−=−−=I )()()]()()[1(I )()()]()([)!2(!),(221， 故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫+∞∞−+∞−=≤−==xy n n n R dz z y p dy x X X R P x F n ),(}{)(1)1()(∫∫+∞∞−+−−−=xy yn dz z p y p y F z F dy n n )()()]()([)1(2∫∫+∞∞−+−−⋅−=xy yn z F d y F z F y p dy n n )]([)]()([)()1(2∫∫+∞∞−−+∞∞−+−−+=−−⋅⋅−=dy y p y F x y F n y F z F n y p dy n n n x y y n )()]()([)]()([11)()1(11，x > 0；（2）因指数分布Exp (λ)的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x λλ ⎩⎨⎧≤>−=−.0,0;0,e 1)(x x x F x λ故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫+∞−−−+−+∞∞−−⋅−−−=−+=01)(1e )]e 1()e 1[()()]()([)(dy n dy y p y F x y F n x F y n y x y n R n λλλλ101011)e 1()(e 1)e 1(e )1()e 1()(e −−+∞−−−+∞−−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=−⋅−=∫n x n y n x y n x n y n n d n λλλλλλ，x > 0．34．设X 1 , …, X n 是来自U (0, θ ) 的样本，X (1) ≤ … ≤ X (n ) 为次序统计量，令)1()(+=i i i X X Y ，i = 1, …, n − 1，Y n = X (n ) ，证明Y 1 , …, Y n 相互独立．。
《统计量及其分布》课件
假设检验用于验证关于总体特征的假设， 通过比较样本统计量和期望值来进行判 断。
总结
统计量及其分布的重要性
统计量及其分布是统计学中的核 心概念，对于数据分析和推断具 有重要意义。
相关理论的进一步学习
通过学习统计量及其分布，可以 为进一步学习相关统计理论打下 坚实的基础。
统计学在实际生活中的应用
统计量的应用
1
样本方差与总体方差的关系
2
样本方差可以估计总体方差，并用于比
较不同组或处理之间的方差差异。
3பைடு நூலகம்
置信区间的计算
4
置信区间提供了对总体参数的估计范围， 通常用于估计均值或比例。
5
样本均值与总体均值的关系
通过样本均值可以估计总体均值，并通 过假设检验来判断两者之间是否显著不 同。
方差分析
方差分析用于比较三个或更多组之间的 均值是否显著不同，并确定哪个组之间 存在差异。
统计学在各个领域都有广泛的应 用，可以帮助我们理解和解决现 实生活中的问题。
常见的分布
正态分布
正态分布是一种常见的概率分布，具有对称性和 钟形曲线。它在自然和社会科学中经常出现。
F 分布
F 分布是用于方差分析和回归分析的概率分布。 它衡量了不同组之间的方差差异。
t 分布
t 分布是用于小样本假设检验和置信区间估计的 概率分布。它与正态分布密切相关。
卡方分布
卡方分布是用于计数数据分析和拟合度检验的概 率分布。它与正态分布有一定的关系。
《统计量及其分布》PPT 课件
统计量及其分布的PPT课件，涵盖了统计学的基本概念、统计量的分类、常见 的分布以及统计量的应用。
引言
统计学的基本概念是研究和应用数据收集、分析、解释和呈现的科学。而统计量是对样本数据进行总结和描述 的指标，用来估计总体参数和推断总体特征。 在这一部分，我们将介绍统计量的定义和作用，以及不同类型的统计量。
(概率论与数理统计 茆诗松) 第5章 统计量及其分布(5.4)
当随机变量 2 2(n) 时，对给定 (01)， 称满足 P(2 12(n)) 的 12(n) 是自由度为 n1的卡方分布的 1 分位数. 分位数 12(n) 可以从附表3 中查到。
P{ X
2 1
(n)} ,
该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
E 2 n, Var( 2 ) 2n
习题5.4：
Q4
5.4.2 F 分布
定义5.4.2 设X1 2(m), X2 2(n), X1与X2独立， 则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称为分子自 由度，n 称为分母自由度。
t ( n)
t
(n)
当随机变量t t(n) 时，称满足 P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数. 分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得
t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 . 由于 t 分布的密度函数关于0 对称, 故其分位数 间有如下关系
~ t (m n 2)
1 4 5 7 9 14 16
• n2时，t 分布的方差存在，且为n/(n2)；
• 当自由度较大 (如n30) 时， t 分布可以用正态分布 N(0,1)近似。
当随机变量t t(n) 时，称满足 P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
注:
t (n) t1 (n)
在推论5.4.1的记号下，设 12 =22 = 2 ，
2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1 i 1 m n
概率论数理统计基础知识第五章
C
]
（A）Y ~ 2 (n). （B）Y ~ 2 (n 1). （C）Y ~ F (n,1). （D）Y ~ F (1, n).
【例】设 随机变量X和Y都服从标准正态分布，则[ C ]
（A）X+Y服从正态分布.
2 2 2
（B）X2 +Y2服从 2分布. Y
2
2 X （C）X 和Y 都服从 分布. （D）
(X ) ~ t ( n 1) S n
客、考点 10，正态总体的抽样分布
33/33
34/33
35/33
【例】设总体 X ~ N (0,1)，X 1 , X 2 , X1 X 2
2 2 X3 X4
, X n 是简单随机
2 X i. i 4 n
样本 , 试问下列统计量服从什么分布？ （1 ） ; （2 ） n 1X1
记：F分布是两个卡方分布的商
2. F 分布的上侧分位数
设 F ~ F (k1 , k2 ) ，对于给定的 a (0,1) ，称满足条件
P{F Fa (k1 , k2 )}
Fa ( k1 ,k2 )
f F ( x)dx a
的数 Fa (k1 , k2 ) 为F 分布的上侧a 分位数。
服从F分布.
§5.5 正态总体统计量的分布
一、单个正态总体情形 总体
X ~ N ( , 2 ) ，样本 X1 , X 2 , , Xn ，
1 n 样本均值 X X i n i 1
n 1 2 样本方差 S 2 ( X X ) i n 1 i 1
1. 定理1 若设总体X~N(μ,σ2), 则统计量
有一约束条件
(X
i 1
(概率论与数理统计茆诗松)第5章统计量及其分布
统计量用于评估和 预测经济趋势例如 GDP、CPI等。
统计量用于研究经济 现象之间的相关性例 如通过回归分析探究 收入与消费的关系。
统计量用于风险评估 和决策制定例如在投 资组合优化中应用统 计量来降低风险。
统计量用于市场调研和 消费者行为分析例如通 过调查数据了解消费者 的购买意愿和偏好。
统计量用于描述大量粒子系统的宏观性质如温度、压强等。 在高能物理实验中统计量用于分析粒子碰撞数据以发现新粒子或研究基本粒子的相互作用。 在天体物理中统计量用于研究星系分布、宇宙射线等以揭示宇宙的演化历史和结构。 在凝聚态物理中统计量用于描述量子多体系统的性质如超导、量子相变等。
单击此处添加标题
性质：二项分布具有可加性即如果有两个独立的二项分布的随机变量X和Y那么 X+Y仍然服从二项分布。
单击此处添加标题
应用：二项分布在统计学、生物学、医学等领域有广泛的应用例如在遗传学中 研究基因的遗传规律在可靠性工程中研究设备的寿命等。
定义：泊松分布是一种离散概率分布描述了在单位时间内（或单位面积内）随机事件发生的次数。
适用范围：非参数检验适用于总体分布未知或已知分布不满足参数检验条件的情况能够更加灵活地处理 各种数据类型和分布。
添加标题
常见方法：常见的非参数检验方法包括符号检验、秩次检验、中位数检验等这些方法都是基于样本数据 本身的特性进行统计推断不需要对总体参数进行假设检验。
添加标题
优点与局限性：非参数检验具有适用范围广、灵活性高等优点但也存在一定的局限性如对于小样本数据 可能不太稳定等。因此在选择统计检验方法时需要根据具体情况进行综合考虑。
性
构造方法：利 用样本数据和 适当的数学方 法来构造有效
估计
应用：在统计 学、经济学、 社会学等领域
概率论与数理统计第五章知识点
概率论与数理统计第五章知识点第五章的概率论与数理统计的知识点主要涉及到概率函数、统计推断、分布函数和多元正态分布等内容，这其中包括了多项式概率分布、超几何分布、二项分布、线性回归、假设检验、多重切线回归、卡方检验、小抽样检验、检验均值和协方差等内容。
首先，多项式概率分布是一种特殊的概率分布，它建立了在有限次试验中某个事件出现次数的概率，它由定义性的概率空间和一组完备的事件集合组成，并可以使用不同的统计技术来计算它们。
其次，超几何分布是一种分布，用于计算取样观测中某种特征发生次数的概率，它与多项式分布有着很大的不同，它建立了一个独立的取样模型，它是一种独立取样模型，它利用概率论中的概率空间来分析一个独立取样实验中观测到一个特征发生次数的概率。
再次，二项分布也是一种概率分布，它用来计算一系列试验中出现某种特征的次数的概率。
它是一种特殊的多项式分布，可以使用概率论的工具来应用二项式分布，以确定两个不同事件之间的概率。
此外，线性回归也是第五章概率论与数理统计中一个重要的概念，它是一种统计方法，用来预测一个变量的变化可能会导致另一个变量的变化。
线性回归的基本原理是拟合两个变量的关系，使回归线能够最佳地拟合所有数据，以找到其中的趋势。
另外，假设检验是一种重要的统计技术，在假设检验中，需要使用概率空间，以便计算假设检验中备择假设的概率，并判断假设是否成立。
另外，多重切线回归也是一种重要的统计方法，它是以多元关系作为因变量和因变量之间的关系来拟合数据，以确定多元回归线的最佳拟合方式，让其效果最好。
此外，卡方检验、小抽样检验和检验均值和协方差等也是第五章概率论与数理统计的重要内容。
其中，卡方检验是一种特殊的假设检验，用来判断一组数据的差异是否大于预期，以确定数据的分布情况。
而小抽样检验是一种统计方法，用于给出总体参数的精确估计，以帮助确定相关的总体统计量，用来估计总体参数。
最后，检验均值和协方差也是一种重要的统计方法，它可以帮助分析两个变量之间的关系，以确定两个变量之间的相关程度。
概率第五章 统计量及其分布
2 ( n)的 值 依 赖 于 和
2
自由度 ，可查表获得。 n
例：
P{
2
2 0.95
(10)} 0.95
02.95 ( 10 ) 3.94
t 分布
若随机变量X的密度函数为：
n 1 ( ) n 1 2 x 2 f ( x) (1 ) 2 , n n n ( ) 2
U
( X Y ) ( 1 2 )
1
n
2
2 2
~ N ( 0 ,1 )
m
证明：X~N(1 ,12/n)
Y~N(2 ,22/m) ，相互独立
X - Y~N(1 -2 ,12/n +22/m) 标准化得U~N（0，1）
2、样本均值和样本方差的分布
定理5.7：设总体X 服从正态分布N( , 2)，样本(X1, X2, …, Xn) 来自总体X ，有 (1) X 与 S2 相互独立；
X T n ~ t ( n 1) S X 证明：X~N( , 2/n) n ~ N ( 0 ,1 )
(n-1)S2/ 2 ~ 2(n–1) ,相互独立
X T
( n 1 )S 2
n /( n 1 )
~ t( n 1 )
2
例1：若 X~N ( , 2)，样本(X1,X2, …,X n+1)来自总体X。 Xn 与 Sn2 为样本均值和样本方差。求统计量 的分布
2 且相互独立 证明： X n ~ N ( , ) X n1 ~ N ( , 2 ) n X n1 X n ( n 1 ) 2 ~ N ( 0 ,1 ) X n 1 X n ~ N ( 0 , ) n1 n 2 n (n - 1)Sn ~ 2( n 1 ) 且相互独立，则由定义3.2知 2
概率论与数理统计-第五章
【数理统计简史】
1. 近代统计学时期
18 世纪末到 19 世纪，是近代统计学时期．这一 时期的重大成就是大数定律和概率论被引入统计 学．之后最小二乘法、误差理论和正态分布理论 等相继成为统计学的重要内容．这一时期有两大 学派：数理统计学派和社会统计学派．
【数理统计简史】 数理统计学派始于19世纪中叶，代表人物是比 利时的凯特莱（ A.Quetelet ， 1796-1874 ），著有 《概率论书简》《社会物理学》等，他主张用研 究自然科学的方法研究社会现象，正式把概率论 引入统计学，并最先用大数定律证明了社会生活 中随机现象的规律性，提出了误差理论．凯特莱 的贡献，使统计学的发展进入个了一个新的阶 段．
i =1 36
1 2 2 3 2 2 2 2 D( X ) = E ( X ) − E ( X ) = ( 0 + 1 + 2 + 3 ) − 4 2 5 = 4
2
二、样本与抽样 由于X1，X2，...，X36均与总体X同分布，且相互独 立，所以，Y的均值和方差分别为
E (Y ) = E ( ∑ X i ) = 36 E ( X ) = 54,
【数理统计简史】 18世纪到 19世纪初期，高斯从描述天文观测的 误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为估 计方法，是近代数理统计学发展初期的重大事件， 对社会发展有很大的影响．
【数理统计简史】 用正态分布描述观测数据的应用是如此普遍，以 至 在 19 世 纪 相 当 长 的 时 期 内 ， 包 括 高 尔 顿 （ Galton ）在内的一些学者，认为这个分布可用 于描述几乎是一切常见的数据．直到现在，有关 正态分布的统计方法，仍占据着常用统计方法中 很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在 20 世纪初以来，经过一些学者的发展，如今成了数 理统计学中的主要方法．
概率论与数理统计第五章
第 ×× 次课 2学时本次课教学重点：常用的统计量 本次课教学难点：总体，简单随机样本，统计量的概念。
本次课教学内容：第五章 数理统计的基础知识 第一节 数理统计的基本概念 教学组织： 一、引言在前五章中我们学习了概率论的基本内容，因为随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计规律性，所以在概率论的许多问题中，概率分布通常都是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在此基础上得出来的。
然而，实际情况往往并非如此。
一个随机现象所服从的分布概型可能完全不知道，或者只知道其概型而不知其分布函数中所含的参数。
例如，某工厂生产的灯泡的寿命服从什么分布是不知道的。
再如，某厂生产的一件产品是合格品还是不合格品，我们知道它服从两点分布，但其参数p 却不知道。
那么怎样才能知道一个随机现象的分布或其参数呢？这就是数理统计所要解决的一个首要问题。
为了获得灯泡的寿命分布，我们从所有的灯泡中抽出一部分进行观察与测试以取得相关信息，从而做出推断。
由于观察和测试是随机现象，依据有限个观察与测试对整体所做出的推断不可能绝对准确，这个不确定性我们用概率来表达。
数理统计学的基本问题就是依据观测或试验所取得的有限信息对整体做出推断，每个推断必须伴有一定的概率来表明其可靠程度。
这种伴有一定概率的推断称为统计推断。
二、总体与随机样本 1、总体在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一数量指标(如灯泡的寿命这一数量指标)。
为此，考虑与这一数量指标相联系的随机试验，对这一数量指标进行试验或观察。
我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为总体，总体中的每个对象称为个体。
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。
容量有限的总体称为有限总体，容量无限的总体称为无限总体。
例如，考察某批灯泡的质量，如这一批灯泡共有5000只，每个灯泡的寿命是一个可能的观察值，是一个个体。
所有5000只灯泡的寿命是一个有限总体。
概率论与数理统计统计量及其分布小结
概率论与数理统计第5章统计量与其分布
本章小结
01 知识点归纳
02 教学要求与学习建议
01 总体
基本概念样本均值样本方差样本矩样本统计量正态分布分布统计量
与其分布定义与上侧分位数抽样分布t 分布
F 分布单个正态总体下地常用统计量正态总体下地常用统计量 两个正态总体下地常用统计量3
01 知识点归纳
02 教学要求与学习建议
理解总体,个体与样本地概念; (1
)
(2 )理解统计量（样本均值,样本方差与样本矩）地概念并会计算;
(3 )掌握几种重要地抽样分布与其结论;理解分位数地概念并会查表计算;
(4了解正态总体地常用抽样分布.
)
5
轻理论重实用只记结论不管推导会判断统计量地分布会求统计量地数字特征为后两章打下基础总体基本概念 样本均值样本样本方差样本矩统计量正态分布分布统计量与其
分布定义与上侧分位数抽样分布t 分布F 分布
单个正态总体下地常用统计量两个正态总体下地常用统计量正态总体下地常用统计量6
概率论与数理统计
学海无涯,祝你成功！。
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第五章 统计量及其分布
第22页
其经验分布函数为
Fn(x) =
0， 0.2， 0.4， 0.8， 1，
x < 344 344 x < 347 347 x < 351 344 x < 347 x 355
用有序样本定义如下函数
0, Fn ( x) k / n, 1,
x < x(1) x(k ) x x(k 1) , x(n ) x
k 1, 2,..., n1
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第五章 统计量及其分布
第20页
则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足 Fn() = 0 和 Fn() = 1
简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般 均用 x1, x2,… xn 表示，应能从上下文中加以区别。
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第五章 统计量及其分布
第11页
例5.1.3 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640 克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒 净含量均为640克。现从某厂生产的啤酒中随机 抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果：
以把该样本近似地看成简单随机样本。
思考：
若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
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第五章 统计量及其分布
第19页
§5.2 样本数据的整理与显示
5.2.1 经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
设总体X具有分布函数F(x),
x1, x2, …, xn 为取自该总体的容量为n的样本， 则样本联合分布函数为
n
F ( x , ..., x ) F ( x ).
1
n
i
i 1
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第五章 统计量及其分布
第16页
总体分为有限总体与无限总体
实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体 数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种 合理的抽象。
P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np1)/(N1)
而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合 格品的概率为
P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
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第五章 统计量及其分布
第18页
显然，如此得到的样本不是简单随机样本。 但是，当N 很大时，我们可以看到上述两种 情形的概率都近似等于p 。所以当N 很大， 而n不大（一个经验法则是 n N 0.1）时可
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第五章 统计量及其分布
第13页
表5.1.2 100只元件的寿命数据
寿命范围 ( 0 24] (24 48] (48 72] (72 96] (96 120] (120 144] (144 168] (168 192]
元件数 4 8 6 5 3 4 5 4
寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184]
641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640
这是一个容量为10的样本的观测值， 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。
这样的样本称为完全样本。
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第五章 统计量及其分布
第12页
例5.1.4 考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了100只进行寿命试验，得到 如下数据：
156
170 157 162 154
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第五章 统计量及其分布
第25页
对这20个数据(样本)进行整理,具体步骤如下:
(1) 对样本进行分组：作为一般性的原则，组数通 常在5~20个，对容量较小的样本;
(2) 确定每组组距：近似公式为 组距d = (最大观测值 最小观测值)/组数;
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第五章 统计量及其分布
第28页
二、茎叶图
把每一个数值分为两部分，前面一部分（百 位和十位）称为茎，后面部分（个位）称为 叶，然后画一条竖线，在竖线的左侧写上茎， 右侧写上叶，就形成了茎叶图。如：
数值 分开 茎 和 叶 112 11 | 2 11 和 2
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第五章 统计量及其分布
第5页
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第五章 统计量及其分布
第6页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X
0
1
p
0.983
0.017
X
0
1
p
0.915
0.085
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第五章 统计量及其分布
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第五章 统计量及其分布
第8页
图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图
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第五章 统计量及其分布
第9页
表5.1.1 各等级彩电的比例(%) 等级 I II III IV
美产 33.3 33.3 33.3 0
日产 68.3 27.1 4.3 0.3
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最 常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例5.2.2 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
160
196 164 148 170
175
178 166 181 162
161
168 166 162 172
第7页
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
原因在于总体的差异上！
1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
PsupFn(x) F(x)0 = 1
格里纹科定理表明：当n 相当大时，经验分布函 数是总体分布函数F(x)的一个良好的近似。 经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据， 其理由就在于此。
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第五章 统计量及其分布
第24页
5.2.2 频数--频率分布表
元件数 6 3 3 5 5 3 5 1
寿命范围 (384 408] (408 432] (432 456] (456 480] (480 504] (504 528] (528 552]
>552
元件数 4 4 1 2 2 3 1 13
表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。
5 (187，197] 192 1 0.05
合计
20 1
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累计频率(%) 20 60 85 95 100
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第五章 统计量及其分布
第27页
5.2.3 样本数据的图形显示
一、直方图
直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表 示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示 方法：频数，频率，最准确的是频率/组距，它 可使得诸长条矩形面积和为1。凡此三种直方图 的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并 无变化。
它样品的取值 -- x1, x2, …, xn 相互独立。
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第五章 统计量及其分布
第15页
用简单随机抽样方法得到的样本称为 简单随机样本，也简称样本。
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是 独立同分布( iid ) 的随机变量， 其共同分布即为总体分布。
2019年5月2029页
例5.2.3 某公司对应聘人员进行能力测试，测试 成绩总分为 150分。下面是50位应聘人员的测 试成绩（已经过排序）：
64 67 70 72 74 76 76 79 80 81 82 82 83 85 86 88 91 91 92 93 93 93 95 95 95 97 97 99 100 100 102 104 106 106 107 108 108 112 112 114 116 118 119 119 122 123 125 126 128 133
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第五章 统计量及其分布
第14页
样本的要求：简单随机样本
要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很 好地代表总体。通常有如下两个要求：
随机性: 总体中每一个个体都有同等机会
被选入样本 -- xi 与总体X有相同的分布。
独立性: 样本中每一样品的取值不影响其
由伯努里大数定律： 只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
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第五章 统计量及其分布
第23页
更深刻的结果也是存在的，这就是格里纹科定理。
定理5.2.1（格里纹科定理） 设x1,x2,…,xn是取自 总体分布函数为F(x)的样本, Fn(x) 是其经验分 布函数，当n时，有