2021年高考数学大数据分析预测高考中常见的不等式(选做题)解法
2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题19不等式选讲含解析
专题19不等式选讲解答题1.(2021•高考全国甲卷•理T23)已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x ag x +≥，求a 的取值范围．【解析】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.2.(2021•高考全国乙卷•文T23)已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a>-，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ .（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.3.(2021•河南郑州三模•理T23)已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|2x ﹣4|．（Ⅰ）在平面直角坐标系中画出函数f （x ）的图象；（Ⅱ）若对∀x ∈R ，f （x ）≤t 恒成立，t 的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c ＝m ，求的最小值．【解析】（Ⅰ），图象如图所示，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）max ＝3，则t ≥3，故m ＝3，即a +2b +3c ＝3，由柯西不等式有，，∴的最小值为3，当且仅当a +c ＝b +c ＝1时等号成立．4.(2021•河南开封三模•文理T23)已知函数，g （x ）＝|x ﹣1|．（1）求函数y ＝f （x ）+g （x ）的最小值；（2）已知θ∈[0，2π），求关于θ的不等式的解集．【解析】（1）由已知可得，当且仅当即时等号成立，所以函数y ＝f （x ）+g （x ）的最小值为．（2）由已知，原不等式可化为，①当时，，原不等式化为sin θ﹣cos θ＞2，此时无解，②当时，，原不等式化为sin θ+cos θ＜﹣1，即，所以，，综上所述，不等式的解集为（π，）．5.(2021•河南焦作三模•理T23)已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣5|﹣7．（Ⅰ）在如图所示的网格中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）若当x＜1时，f（x）＞f（x+a）恒成立，求a的取值范围．【解析】（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）＝﹣x﹣1﹣2x+5﹣7＝﹣3x﹣3，当﹣1≤x≤时，f（x）＝x+1﹣2x+5﹣7＝﹣x﹣1，当x＞时，f（x）＝x+1+2x﹣5﹣7＝3x﹣11，综上f（x）＝，则对应的图象如图：（Ⅱ）当a＝0时，不等式不成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移﹣a个单位得到y＝f（x+a）的图象，此时对任意x＜1时，y＝f（x+a）总在y＝f（x）的上方，不满足条件．当a＞0时，y＝f（x+a）的图象最多平移到与y＝f（x）的图象交于点（1，﹣2）的位置，此时a＝2，此时a的取值范围是（0，2].6.(2021•四川内江三模•理T23)已知a＞0，b＞0，4a+b＝2ab．（1）求a+b的最小值；（2）若a+b≥|2x﹣1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围．【解析】（1）因为a＞0，b＞0，所以，所以a+b＝（a+b）（（4+）＝，当且仅当且，即a＝，a+b的最小值；（2）若a+b≥|2x﹣2|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，则，当x时，原不等式可化为2x﹣1+4x+2，所以；当时，原不等式可化为﹣2x+4+3x+2，所以，当x时，原不等式可化为﹣2x+8﹣3x﹣2，所以﹣，综上，x的取值范围[﹣]．7.(2021•安徽蚌埠三模•文T23)已知函数f（x）＝m﹣|x|﹣|x﹣1|，m∈R，且f（x）的最大值为1，（1）求实数m的值；（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求证：．【解析】（1）解：∵|x|+|x﹣1|≥|x﹣（x﹣1）|＝1，当x（x﹣1）≤0时取到等号，∴f（x）max＝m﹣1＝1，∴m＝2．（2）证明：由a＞0，b＞0，a+b＝2≥2，∴ab≤1，∴++＝+＝≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号．8.(2021•贵州毕节三模•文T23)已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜x+4；（Ⅱ）若k是f（x）的最小值，已知m＞0，n＞0，且（k+1）m+n＝1，求证：k2mn≤m+n．【解析】（Ⅰ）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，故当x＞2时，f（x）＜x+4⇔2x﹣1＜x+4，解得：x＜5，∴2＜x＜5．当﹣1≤x≤2时，f（x）＜x+4⇔3＜x+4，解得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤2．当x＜﹣1时，f（x）＜x+4⇔﹣2x+1＜x+4，解得x＞﹣1，∴此时x无解．综上，f（x）＜x+4的解集为{x|﹣1＜x＜5}；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）≥3，∴k＝3．由（k+1）m+n＝1，得4m+n＝1，要证k2mn≤m+n，即9mn≤m+n，即证，就是证，又∵m＞0，n＞0，∵，当且仅当，即时取“＝”，∴k2mn≤m+n成立．9.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣m|x+1|．（1）若m＝﹣2，求不等式f（x）≥8的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤m|x+3|对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|x+2|+2|x+1|＝，当x≤﹣2时，﹣3x﹣4≥8，解得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，不等式无解；当x≥﹣1时，3x+4≥8，解得x≥．综上，不等式的解集为（﹣∞﹣4]∪[，+∞）．（2）关于x的不等式f（x）≤m|x+3|对于任意实数x恒成立，即为|x+2|≤m（|x+1|+|x+3|），由于|x+1|+|x+3|≥|x+1﹣x﹣3|＝2，当且仅当﹣3≤x≤﹣1时，等号成立，所以m≥，记g（x）＝，当x≥﹣1时，g（x）＝＝；当x≤﹣3时，g（x）＝＝．则g（x）＝，所以g（x）∈[0，]，所以m≥，所以实数m的取值范围为[，+∞）．10.(2021•四川泸州三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+6|﹣|x2﹣2x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c＝+，求证：．【解析】（Ⅰ）∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，∴f（x）＝|x+6|﹣x2+2x﹣2，不等式f（x）≥6等价于|x+6|﹣x2+2x﹣2≥6，即或，解得1≤x≤2或∅，∴不等式f（x）≥6的解集为[1，2]；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当时，，∴，又∵a，b，c为正实数，a+b+c＝4，∴，∴，当且仅当时等号成立，原命题得证．11.(2021•宁夏中卫三模•理T23．)设函数f（x）＝|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+＝Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6＝？并说明理由．【解析】（1）分三类讨论如下：①当x＜﹣1时，f（x）＝x+4，单调递增，f（x）＜3；②当﹣1≤x≤时，f（x）＝﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max＝f（﹣1）＝3，③当x＞时，f（x）＝﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（）＝﹣，综合以上讨论得，f（x）的最大值M＝3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6＝≥2＝2a3b3，所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①又因为+＝Mab＝3ab≥2•，所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②显然①②相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6＝．12.(2021•江西南昌三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x﹣3|+2|x﹣1|．（Ⅰ）求f（x）的最小值m；（Ⅱ）已知a＞0，b≥0，若a+2b＝m时，正常数t使得ta+ab的最大值为2，求t的值．【解析】（Ⅰ）因为，所以当x＝1时，f（x）min＝m＝2，（Ⅱ）因为m＝2，所以a+2b＝2，则a+2（b+t）＝2t+2，又因为，所以，则，所以，则t＝1或t＝﹣3（舍），当且仅当a＝2（b+1），即a＝2，b＝0时，等号成立．13.(2021•江西上饶三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若_____，求a的最小值．①不等式f（x）≥a2+3a有解；②不等式f（x）≥a2+5a恒成立．请从上述两种情形中任选一种作答．【解析】（1）f（x）＝，因为f（x）≥2，当x≤﹣2时，﹣4≥2不成立，解得x∈∅；当﹣2＜x＜2时，由2x≥2，得1≤x＜2；当x≥2时，由4≥2恒成立，解得当x≥2；综上，f（x）≥2解集为[1，+∞）；（2）若选①不等式f（x）≥a2+3a有解，则f（x）max≥a2+3a，由（1）知，f（x）max＝4，所以a2+3a﹣4≤0，解得﹣4≤a≤1；所以a min＝﹣4；若选②不等式f（x）≥a2+5a恒成立，则f（x）min≥a2+3a，由（1）知，f（x）min＝﹣4，所以a2+5a+4≤0，解得﹣4≤a≤﹣1；所以a min＝﹣4．14.(2021•安徽宿州三模•文理T23．)已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为m，且正实数a，b满足2a+b＝m，求证：a2+4b2≥．【解析】（Ⅰ）|x﹣2|与|x+1|的零点分别是x＝2，x＝﹣1，整个定义域被划分成3个区间，分别讨论如下：1）当x≤﹣1时，f（x）＝﹣x+2+x+1＝3，f（x）≤1的解集为空集∅，2）当﹣1＜x≤2时，f（x）＝﹣x+2﹣x﹣1＝﹣2x+1，﹣2x﹣2x+1≤1，x≤0，取交集得f （x）≤1的解集为[0，2]，3）当2＜x时，f（x）＝x﹣2﹣x﹣1＝﹣3，f（x）≤1的解集为[2，+∞），对以上三种情况的结果取并集，不等式f（x）≤1的解集为[0，+∞），（II）证明：分段函数的最值在分段点处取得，由此可以比较函数在三个分段区间上的最大值，取最大者得m＝3．由2a+b＝3，，原不等式等价于，即17（a2+4b2）≥4（2a+b）2，做差比较证明（a﹣8b）2≥0，这是显然的．15.(2021•安徽马鞍山三模•文理T23．)已知函数f（x）＝|2x+3|．（1）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤8；（2）已知关于x的不等式f（x）+|x+a|≤x+5，在x∈[﹣1，1]上有解，求实数a的取值范围．【解析】（1）函数f（x）＝|2x+3|．不等式f（x）≤5﹣f（x﹣3），即|3x+3|+|3x﹣3|≤5，等价于或或，解得：﹣2≤x≤2，所以原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）+|x+a|≤x+5，即|x+a|≤2﹣x，所以|x+a|≤2﹣x在[﹣1，1]上有解，即﹣2≤a≤2﹣2x在[﹣1，1]上有解，所以﹣2≤a≤4．实数a的取值范围：[﹣2，4]．16.(2021•江西九江二模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求证：f（x）+f（﹣x）≤0．【解析】（Ⅰ）当a＝2时，f（x）≥1即|x+2|﹣|2x﹣2|≥1等价为或或，解得x∈∅或≤x＜1或1≤x≤3，所以原不等式的解集为[，3]；（Ⅱ）证明：当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|＝x+2﹣|ax﹣2|，f（﹣x）＝2﹣x﹣|ax+2|，f（x）+f（﹣x）＝4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|），因为|ax﹣2|+|ax+2|≥|ax﹣2﹣（ax+2）|＝4，当（ax﹣2）（ax+2）≤0时，取得等号，所以4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|）≤0，即f（x）+f（﹣x）≤0．17.(2021•江西上饶二模•理T23．)设函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|+2ax，a∈R．（1）若，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数a的取值范围．【解析】（1）当a＝时，不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|﹣|x+1|+x＞0，则或或，解得x≤﹣1或﹣1＜x＜0或x＞1，∴不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞）；（2）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|+2ax ＝0，得|2x ﹣1|﹣|x +1|＝﹣2ax ，设g （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|＝，h （x ）＝﹣2ax ，如图，要使y ＝g （x ）与y ＝﹣2ax 有3个不同交点，则﹣3＜﹣2a ＜﹣1，即＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（，）．18.(2021•江西鹰潭二模•理T23．)设x ，y ，z ∈R ，z （x +2y ）＝m ．（1）若x 2+2y 2+3z 2的最小值为4，求m 的值；（2）若，证明：m ≤﹣1或m ≥1．【解析】（1）x 2+2y 2+3z 2＝（x 2+z 2）+2（y 2+z 2）≥2xz +4yz ＝2（xy +2yz ），当且仅当x ＝y ＝z ，上式取得等号，由题意可得2（xy +2yz ）＝2m ＝4，∴m ＝2．（2）证明：∵a 2+b 2≥2|ab |，∴2（a 2+b 2）≥（a +b ）2，∴，∴|m |≥1，可得m ≤﹣1或m ≥1．19.(2021•吉林长春一模•文T23．)已知0,0, 4.a b a b >>+=(I)求证:;(Ⅱ)求证:1212223a b+++.【解析】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()22a b +=,(当且仅当2a b ==时取等号)(5分)(2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1123623+=+,)2a b +=时取等号(10分)20.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T23．)已知a ，b ∈R +，（a ﹣b ）2＝（ab ）3，a +b ≤2ab ．（Ⅰ）求证：a +b ≥2ab ；（Ⅱ）求a 与b 的值．【解析】（Ⅰ）证明：∵a ，b ∈R +，（a ﹣b ）2＝（ab ）3，∴（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ＝（ab ）3+4ab ，则a +b ≥2ab ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a +b ≥2ab ，又a +b ≤2ab ，∴a +b ＝2ab ，又取等号时，（ab ）3＝4ab ，即ab ＝2，联立，解得或．21.(2021•安徽淮北二模•文T23．)设函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x +|（a ＞0）．（Ⅰ）证明：f （x ）≥2；（Ⅱ）若f （1）＜4，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）证明：∵f （x ）＝|2x ﹣a |+|x +|＝，∴f （x ）在（﹣∞，﹣）单调递减，在[﹣，]单调递减，在（，+∞）上单调递减，∴f （x ）min ＝f （）＝+≥2，当且仅当x ＝且a ＝2时取最小值，∴f （x ）≥2；（Ⅱ）∵f（1）＝|2﹣a|+|1+|＜4（a＞0），∴|2﹣a|＜3﹣，∴3﹣＞0，解得：a＞①，当a≤2时，有2﹣a＜3﹣，∴a＜﹣2或a＞1，结合①得：1＜a≤2，当a＞2时，有a﹣2＜3﹣，∴2＜a＜，综上：实数a的取值范围是（1，）．22.(2021•宁夏银川二模•文T23．)已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣b|的最大值为2，求的最小值．【解析】（1）当a＝b＝1时，f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|，①当x≤﹣1时，f（x）＝﹣（x+1）+2（x﹣1）＝x﹣3＞0，∴x＞3，∴无解，②当﹣1＜x＜1时，f（x）＝（x+1）+2（x﹣1）＝3x﹣1＞0，∴＜x＜1，③当x≥1时，f（x）＝（x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣x+3＞0，∴1≤x＜3，综上所述：不等式f（x）＞0的解集为（，3）．（2）g（x）＝）＝|x+a|﹣2|x﹣b|+|x﹣b|＝|x+a|﹣|x﹣b|，∵|x+a|﹣|x﹣b|≤|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|，∴g（x）max|＝|a+b|＝2，∵a＞0，b＞0，∴a+b＝2，∴+＝（+）（a+b）×＝（++5）×≥（2+5）×＝，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，∴+的最小值为．23.(2021•山西调研二模•文T23)(1)证明：2+1≥(2)若>0，>0，求B+2+2+1的最大值.【解析】(1)证明：∵≥r2，当且仅当=时，等号成立，∴令=1，则有2≥r1，当且仅当=1时，等号成立，即2+1≥2+1≥(r1)22，当且仅当=1时，等号成立，(2)解：由(1)得2+1≥∴B+2+2+1=(r1)(22(r1)(r1)22+，又∵(r1)22+2≥=2(+1)⋅，=时，等号成立，即+1= 2，即=12时，等号成立，∴(r1)(r1)22+2≤=，即B+2+2+1≤∴当=1=2时，B+22取得最大值，且最大值为【解析】(1)≥r2，令=1即可得证；(2)利用(1)的结论可得B+2+2+1≤本题考查不等式的证明，考查最值的求解，考查逻辑推理能力，属于中档题．24.(2021•河南郑州二模•文T23．)已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（Ⅰ）若a＝1，不等式f（x）≥5即为|2x﹣4|+|x+1≥5，等价为或或，解得x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥4，所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[4，+∞）：（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，即为（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，而|2x﹣4|+|x+a|＝|x﹣2|+（|x﹣2|+|x+a|）≥|2﹣2|+|x﹣2﹣x﹣a|＝|a+2|＝a+2，当x＝2时，上式取得等号，所以a2﹣2a+4≤a+2，即a2﹣3a+2≤0，解得1≤a≤2，即a的取值范围是[1，2]．。
2021年高考数学题型：不等式解题方法总结题型归纳
2021年高考数学题型：不等式解题方法总结题型归纳任两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
整理了不等式解题方法总结，帮助广大高中学生学习数学知识!不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
知识整合1。
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
2。
整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。
3。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。
4。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。
高考数学中的不等式求解方法总结
高考数学中的不等式求解方法总结高考数学中不等式求解是一个重要的知识点，也是备战高考时需要重点掌握的内容之一。
不等式本身在数学领域具有广泛的应用，掌握不等式的求解方法也有助于学生更好地理解和应用数学知识。
在本文中，我们将总结高考数学中的不等式求解方法。
一、最值法当不等式的二次项系数为正数（即$ax^2+bx+c$，其中$a>0$）时，可使用最值法。
该方法的基本思路是，先确定 $x$ 的取值范围，然后通过求函数的最值来确定函数的正负性和取值范围。
如下例子：$$ x^2 - 6x + 5 > 0 $$该不等式中 $a=1$，所以最值法适用。
首先，我们需要求出二次函数 $y=x^2 - 6x + 5$ 的对称轴，即 $\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$，也就是说，当 $x=3$ 时，函数取到最小值 $y=-1$。
因此我们可以将不等式转化为 $(x-3)^2-1>0$，进一步化简为 $|x-3| >1$。
根据绝对值的定义可知，$|x-3| >1$ 相当于$x<2$ 或 $x>4$。
因此该不等式的解集为 $(-\infty,2)\cup(4,+\infty)$。
二、配方法配方法是不等式求解的一种比较通用的方法，它的基本思路是，将不等式中的项按一定的方式加减或乘除，使得原不等式变为一个可以比较的简单的不等式。
常见的配方法有以下几种：1. 同除法通过同除法，将不等式中的一次项的系数变为 $1$，例如：$$ \frac{1}{x} + \frac{2}{x+2} < 1 $$可同除以 $x(x+2)$，得到：$$ 1< x(x+2)+2x $$化简得：$$ -x^2 -4x +1 <0 $$代数式的符号是问题的重点，由于 $a<0$，所以合法解集为 $-2+\sqrt{3} < x < -2-\sqrt{3}$。
2. 变量代换通过将不等式中的变量做适当的代换，将原不等式转化为一个更容易求解的不等式。
怎样解决高中数学的不等式问题
怎样解决高中数学的不等式问题在高中数学学习中，不等式问题是一个重要的内容，也是学生们常常遇到的挑战之一。
解决不等式问题需要一定的方法和技巧，本文将介绍几种常用的解不等式问题的方法，并提供相应的例子进行说明。
一、图像法图像法是解决一元一次不等式问题的常用方法之一。
这种方法将不等式以函数图像的形式表示出来，通过观察图像来确定不等式的解集。
例如，解不等式2x - 3 < 5，我们可以绘制出函数y = 2x - 3的图像，然后观察函数图像与y = 5的关系。
通过观察可以发现，函数图像在y= 5的下方，因此解集为x < 4。
二、代数法代数法是解决一元一次不等式问题的另一种常用方法。
这种方法通过对不等式进行代数变换，将不等式转化为等价的形式，从而求得解集。
例如，解不等式3x + 2 > 7，我们可以通过代数变换来求解。
首先，将不等式两边减去2，得到3x > 5，然后将不等式两边除以3，得到x > 5/3。
因此，解集为x大于5/3。
三、区间法区间法是解决一元一次不等式问题的另一种有效的方法。
这种方法将不等式中的未知数x的取值范围分成若干个区间，然后通过讨论每个区间的符号关系来确定解集。
例如，解不等式2x - 3 ≥ 1，我们可以通过区间法来求解。
首先，将不等式转化为等价的形式2x - 3 - 1 ≥ 0，化简得到2x - 4 ≥ 0，然后求解等式2x - 4 = 0，得到x = 2。
接下来，我们将x的取值范围分成三个区间：x < 2, x = 2, x > 2。
通过在每个区间内代入x的值来判断符号关系，进而确定解集。
根据符号关系的判断，可以得到解集为x ≥ 2。
四、分段讨论法分段讨论法适用于解决一元二次不等式问题，通过将一元二次不等式分成若干个区间，分别讨论每个区间内的不等式关系，进而确定解集。
例如，解不等式x² - 3x + 2 ≤ 0，首先，我们将不等式化简得到(x - 1)(x - 2) ≤ 0。
2021年高考数学分项汇编 专题7 不等式(含解析)理
2021年高考数学分项汇编专题7 不等式（含解析）理一．基础题组1. 【xx全国卷Ⅰ，理3】不等式||＜1的解集为…（）A.{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|-1＜x＜0}D.{x|x＜0}【答案】：D2. 【xx全国，理14】设x，y满足约束条件130,x yx yxy≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩－－，＋，，，则z＝x－2y的取值范围为__________．【答案】：[－3,3］3. 【xx全国1，理13】若满足约束条件则的最大值为．【答案】：9．4. 【xx全国，理14】设，式中变量x、y满足下列条件则z的最大值为。
【答案】115. 【xx 全国1，理13】若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m mm 则【答案】155二．能力题组1. 【xx 课标Ⅰ，理9】不等式组的解集为D,有下面四个命题：， ，，其中的真命题是（ ）A ．B ． C． D ．【答案】B x y–1–2–3–41234–1–2–3–41234O A2. 【xx 全国1，理9】在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】B3. 【xx高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【考点定位】线性规划解法三．拔高题组1. 【2011全国新课标，理13】若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为__________．【答案】-634017 84E1 蓡36611 8F03 較22408 5788 垈25533 63BD 掽32762 7FFA 翺21068 524C 剌L]L26426 673A 机 36249 8D99 趙:31784 7C28 簨31869 7C7D 籽。
高考数学中的解不等式题技巧
高考数学中的解不等式题技巧高中数学中的解不等式是一个常见、重要而又复杂的话题，这也是每年高考必考的内容之一。
为了在高考中拿到更高的数学成绩，解不等式题的优秀技巧和方法就是必不可少的。
本文将为大家详细介绍高考数学中的解不等式题技巧。
一、确定不等式类型解不等式首先要确定不等式的类型，例如一次不等式、二次不等式以及一次不等式与二次不等式混合形式。
不同类型的不等式可能需要不同的解题方法和工具，所以正确地区分不同类型的不等式是解题的第一要素。
二、移项变号不等式中的每项都可以加上或减去相同的数，也可以乘以或除以相同的数，但是要注意判断是不是乘以负数。
在移项变号的过程中，必须保证不等式的方向不变，因为在不等式两侧同时加上一个正数，不等式转化成一个更大的不等式，而在不等式两侧同时加上一个负数，不等式转化成一个更小的不等式。
三、化简如果一个不等式的系数较复杂或有分数，可以通过合并同类项、约分、通分等等化简的方式，使其变得更简单明了，从而更方便地应用解不等式的技巧。
四、双边平方在处理二次不等式时，我们可以使用“双边平方”的方式将其化简成一次不等式，并继续应用一次不等式的解题方法。
不过，需要注意的是，双边平方的过程会使原不等式一些根号项的变化，并且有时会引入不合法解。
因此，在解二次不等式时，需要先判断根号里面的内容的正负，再进行双边平方，确定解的范围，并得出正确的解。
五、裂项在解不等式时，有时我们发现一个不等式的系数和项数都很复杂，难以应用一般的解题方法，这时候可以尝试使用“裂项”的方法，将不等式分解成几个部分，然后分别处理每个部分，最后得到整个不等式的解。
裂项方法的使用需要观察不等式的因式分解式，找到化简的方法，并找出合理的间隔点以及分段条件。
六、代入对于较复杂的不等式，我们可以先猜测一个解，然后代入验证是否成立，从而快速或全面地解出不等式的解。
这种方法的优点是简单易行，而且针对某些形式的不等式，代入还可以直接得到答案，缩短解题时间。
高中数学不等式求解方法及应用
高中数学不等式求解方法及应用引言：在高中数学中，不等式是一个重要的概念和工具。
它不仅在数学理论中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有着重要的意义。
本文将介绍高中数学中常见的不等式求解方法，并通过具体的例题来分析和说明这些方法的应用。
一、一元一次不等式的求解方法一元一次不等式是高中数学中最简单的不等式之一。
常见的一元一次不等式形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
对于这种类型的不等式，我们可以使用图像法或代数法进行求解。
1. 图像法图像法是一种直观的方法，通过绘制一元一次不等式的图像，可以直观地看出不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3 > 0，我们可以绘制出一元一次函数y = 2x + 3的图像，并找出图像上y > 0的部分，即为不等式的解集。
2. 代数法代数法是一种更为常用和通用的方法，通过对不等式进行代数运算，可以得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3 > 0，我们可以通过移项和分析系数的正负来得到解集。
首先，移项得到2x > -3，然后除以2得到x > -3/2，即x的取值范围为(-3/2, +∞)。
二、一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是高中数学中常见的不等式之一。
常见的一元二次不等式形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
对于这种类型的不等式，我们可以使用图像法或代数法进行求解。
图像法同样是一种直观的方法，通过绘制一元二次不等式的图像，可以直观地看出不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出一元二次函数y = x^2 - 4x + 3的图像，并找出图像上y > 0的部分，即为不等式的解集。
2. 代数法代数法同样是一种常用和通用的方法，通过对不等式进行代数运算，可以得到不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过求解二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，并分析二次函数的凹凸性质来得到解集。
高考数学如何解决复杂的不等式题目
高考数学如何解决复杂的不等式题目不等式是高考数学中一个重要的考点，也是考生们容易遇到困惑的难题。
通过掌握一定的解题思路和技巧，我们可以有效地解决复杂的不等式题目。
本文将介绍一些解决不等式题目的方法和策略，帮助考生们应对高考中的挑战。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程相似。
我们可以通过移项和化简的方式来求解。
首先，将所有的项都移到同一边，得到一个等式。
然后我们可以根据系数的正负以及零的位置来判断解集的情况，最后得到不等式的解。
二、二次不等式的解法二次不等式的解法相对复杂一些，需要通过因式分解或配方法等方式来求解。
在解二次不等式时，我们首先要将其转化为一个二次方程，然后再找到方程的解集。
我们可以通过以下两种方法来解二次不等式：1. 因式分解法：将二次不等式化为一个二次方程，通过因式分解将其展开为二个一次因式相乘的形式，然后根据因式的正负来确定解的范围。
2. 配方法：对于一般的二次不等式，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
通过将方程配成完全平方后，我们可以通过解方程的方式来求解不等式。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种特殊的不等式形式，在解法上需要注意绝对值的性质。
对于一元绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其分为两种情况来解决：1. 绝对值的定义：|a| = a (a≥0); |a| = -a (a<0)。
2. 情况一：如果不等式中的绝对值对应的是一个非负数，我们可以直接去掉绝对值符号，根据非负数的性质来解不等式。
3. 情况二：如果不等式中的绝对值对应的是一个负数，我们需要将绝对值转化为相反数的形式，然后在解不等式。
四、多元不等式的解法多元不等式是由多个变量构成的不等式，其解法要考虑多个变量之间的关系。
在解多元不等式时，我们可以通过以下步骤来进行：1. 将所有的项移到同一边，化简成一个等式。
2. 利用一元不等式的解法，将多元不等式转化为一元不等式。
2021年高考数学试题分项版—不等式(解析版)
2021年高考数学试题分项版——不等式（解析版）一、选择题1.(2021·全国乙文，5)若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A.18B.10C.6D.4【答案】C 2.(2021·浙江，5)若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（）A.2- B.32- C.12- D.110【答案】B二、填空题1.(2021·天津，13)若0 , 0a b >>，则21a b a b ++的最小值为____________．【答案】三、解答题1.(2021·全国甲理，23)已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．解：（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.2.(2021·全国甲文，23)已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．解：（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.3.(2021·全国乙理，23)已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．解：（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ .（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.4.(2021·全国乙文，23)已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．解：（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ .（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.。
高中数学中的不等式求解方法
高中数学中的不等式求解方法在高中数学中，不等式是一个重要的概念和工具，它在数学建模、优化问题等方面有着广泛的应用。
不等式求解是解决不等式问题的关键步骤，本文将介绍一些常见的不等式求解方法。
一、一元一次不等式的求解方法对于一元一次不等式，我们可以使用图像法和代数法两种方法进行求解。
1. 图像法：首先，我们可以将不等式转化为方程，然后绘制方程的图像。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以将其转化为2x + 3 = 5，然后绘制出这条直线。
根据直线的斜率和截距，我们可以确定不等式的解集。
在这个例子中，解集为x > 1。
2. 代数法：代数法是一种更常用的方法。
对于一元一次不等式，我们可以使用加减法、乘除法等基本运算将不等式化简为最简形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以首先将其化简为2x > 2，然后除以2得到x > 1。
这样，我们得到了不等式的解集。
二、一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式，我们可以使用图像法和代数法两种方法进行求解。
1. 图像法：对于一元二次不等式，我们可以将其转化为方程，并绘制出方程的图像。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为x^2 - 4x + 3 = 0，然后绘制出这条曲线。
根据曲线的形状和方向，我们可以确定不等式的解集。
在这个例子中，解集为1 < x < 3。
2. 代数法：代数法是一种更常用的方法。
对于一元二次不等式，我们可以使用因式分解、配方法等技巧将不等式化简为最简形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x +3 > 0，我们可以进行因式分解得到(x - 1)(x - 3) > 0。
然后，我们可以根据因式的正负确定不等式的解集。
在这个例子中，解集为1 < x < 3。
三、多元不等式的求解方法对于多元不等式，我们可以使用图像法和代数法两种方法进行求解。
2021年高考数学重难点复习：破解函数不等式
2021年高考数学重难点复习妙解函数不等式一．方法综述对于仅利用函数的奇偶性、单调性即可求解的不等式问题，师生已有应对的良好方法，重在应用转化与化归思想，转化成解答具体不等式或不等式组问题.在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数、导数、不等式交汇的重要题型，这类问题由于涉及抽象函数，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍，不能从容应对不等式的求解问题．实际上，根据所给不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．常见的构造函数方法有如下几种：(1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx .(2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数()()()()()0f x F x g x g x ≠＝． (3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式'()xf x ＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝()xf x ；②对于不等式'()xf x －f(x)>0(或<0)，构造函数()()()0f x F x x x ≠＝； ③对于不等式'()xf x ＋()nf x >0(或<0)，构造函数F(x)＝()n x f x ；④对于不等式'()xf x －()nf x >0(或<0)，构造函数()()()0n f x F x x x ≠＝； ⑤对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝()x e f x ；⑥对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数()()xf x F x e ＝； ⑦对于不等式f(x)＋f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin ()xf x ；⑧对于不等式f(x)－f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数()()()sin 0sin f x F x x x≠＝； ⑨对于不等式f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos ()xf x ； ⑩对于不等式f′(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数()()()cos 0cos f x F x x x≠＝． ⑪(理)对于不等式f′(x)＋()kf x >0(或<0)，构造函数F(x)＝()kx e f x ；⑫(理)对于不等式f′(x)－()kf x >0(或<0)，构造函数()()kx f x F x e＝； 二．解题策略类型一 构造具体函数求解【例1】【2020届河北冀州中学期中】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a ++…，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，2]3 B ．2[,0]3- C ．[0，)+∞ D ．(-∞，0]【答案】B【解析】Q 2()()x f x e f x -=，∴()()()x x xf x e f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，当0x <时()()0f x f x '+>，∴()[()()]0x g x e f x f x '''=+>，即函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减， (21)(1)a e f a f a ++Q …，211(21)(1)a a e f a e f a ++∴++…，(21)(1)g a g a ∴++…，|21||1|a a ++„， 解可得，203a -剟，故选B ． 【指点迷津】对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.对于复合函数问题，先换元，再构造函数，是常用的方法.。
高考数学如何快速解决复杂的不等式问题
高考数学如何快速解决复杂的不等式问题不等式问题在高考数学中占据重要的位置，解决复杂的不等式问题需要灵活运用相关的数学知识和技巧。
本文将介绍一些方法和策略，帮助同学们快速解决复杂的不等式问题。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式问题之一，其解的思路与方程类似。
首先，将不等式中的常数项移项，使得不等式变为等式，并写出其解集；然后，根据不等号的性质确定解集的范围。
例如，对于不等式2x+3>5，可以将常数项移项得到2x>2，然后除以2得到x>1，即解集为(1,+∞)。
二、一元二次不等式一元二次不等式在高考数学中出现频率较高，解决这类不等式问题可以使用图像法、开口方向法和根判别法等方法。
1. 图像法：将一元二次不等式转化为一元二次方程，并绘制出关于x的二次函数图像。
通过观察函数图像与x轴的位置关系，确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2-4x+3<0，可以将其转化为方程x^2-4x+3=0，求得方程的根x=1和x=3，在图像上标出这两个根，并观察函数图像在根之间的部分与x轴的位置关系，确定解集为(1,3)。
2. 开口方向法：将一元二次不等式转化为标准形式，并确定开口的方向。
例如，对于不等式2x^2+5x+3>0，可以通过求解方程2x^2+5x+3=0，得到方程的根x=-1和x=-3/2，再观察二次曲线的开口方向，确定解集为(-∞,-3/2)∪(-1,+∞)。
3. 根判别法：对于一元二次不等式ax^2+bx+c（a>0），通过求解方程ax^2+bx+c=0，得到方程的两个根x1和x2。
根据二次函数的凹凸性，确定解集的范围。
例如，对于不等式x^2+6x+9>0，方程的根为x=-3，因为a=1>0，所以二次曲线开口向上，根据函数图像与x轴的关系，确定解集为(-∞,-3)∪(-3,+∞)。
三、绝对值不等式绝对值不等式是高考数学中常见的一类问题，可以通过分情况讨论的方法求解。
全国卷压轴题中含参数不等式问题的两种解法
全国卷压轴题中含参数不等式问题的两种解法含参数的不等式问题是指，在不等式中存在一个或多个参数（未知数），需要求解参数取值范围满足不等式的问题。
下面将介绍两种解法：图像法和参数法。
一、图像法：图像法是通过绘制函数的图像来解决含参数不等式的方法。
1.简单不等式问题的图像法解法：假设我们需要求解不等式f(x)<0，其中f(x)是一个含有参数a的函数。
我们可以通过绘制f(x)关于x的图像，并查找f(x)<0的x区间，来求解a的取值范围。
举个例子：求解不等式(ax-1)(ax+2) < 0 ，其中 a 是一个参数。
解法：首先确定不等式的定义域，即(ax-1)(ax+2) 的取值范围。
当a≠0 时，不等式的定义域为一次函数 (ax-1)(ax+2) 的根，即 x = -2/a 和 x = 1/a ；当 a=0 时，不等式的定义域为整个数轴（因为 (ax-1)(ax+2) = -x(x+1) ）。
接下来，我们将 f(x) = (ax-1)(ax+2) 的图像绘制出来。
根据函数的性质，我们可以确定函数的增减性，并找出 f(x)<0 的 x 区间。
在这个例子中，我们可以看出当 a>0 时， f(x)<0 的解集为 (-∞, -2/a) ∪ (1/a, +∞) ；当 a<0 时， f(x)<0 的解集为 (-2/a, 1/a)。
最后，我们根据a>0和a<0，得到参数a的取值范围为a>0或a<0。
2.复杂不等式问题的图像法解法：对于含有多个参数的复杂不等式问题，图像法可以先通过绘制函数图像（或者利用软件），确定函数的性质和f(x)<0的解集。
然后，通过观察函数图像和性质，进行推论和分析，进一步确定参数的取值范围。
二、参数法：参数法是通过对含有参数的不等式进行化简和变形，转化为关于参数的代数不等式来求解。
举个例子：求解不等式 ax^2 + bx + c > 0 ，其中 a 是正数。
2021高考备考 数学选择题十大解法
2021高考备考数学选择题十大解法【优易课高考团队整理】一、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。
二、特值代验包括选取符合题意的特殊数值、特殊位臵和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。
这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
三、筛选判断包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。
四、等价转化解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。
至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。
在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。
五、巧用定义定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。
六、直觉判断数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。
逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。
两者具有辨证互补的关系。
因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。
七、趋势判断趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。
具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。
八、估值判断有些问题，属于比较大小或者确定位臵的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位臵进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。
九、直接解答并不是所有的选择题都要用间接法求解，一般来讲，高考卷的前5、6道选择题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到，那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达。
八种方法解决高中数学不等式问题
八种方法解决高中数学不等式问题下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题： 例题：224x y ，求34x y 的最大值.【解法一】柯西不等式先备知识：柯西不等式（二维下的）解：3,4,,a b c x d y ，由柯西不等式得：222223434x y x y 所以：3410x y ，当且仅当34x y ，即68,55x y 时，取得最大值10.【总结】柯西不等式常用，建议理解记忆。
【解法二】线性规划解：令34x y t ，则344t y x （将t 看作是直线的截距，转化为求直线截距的范围） ,x y 满足直线方程344t y x ，也满足方程224x y ，因此：显然，由图像得： 2.5104t t .【总结】数形结合典型做法，但是线性规划新高考不考。
建议从数形结合角度理解。
【解法三】判别式法解：令34x y t ，则344t y x ，代入方程：224x y ，得： 223444t x x ， 整理，得：222534016816t x tx ………………（*） 一元二次方程（*）有解，则：2232544081616t t210010t t . 【总结】常用方法之一，解决“条件极值”问题的常用手段。
【解法四】三角换元224x y 22144x y ，不妨令：cos ,sin 22x y x x . 则：34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x，（3tan 4 ）. 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。
【解法五】对偶式先备知识： 34x y 的对偶式为43x y2223492416x y x xy y (1)2224316249x y x xy y (2)(1)+(2)，得：222234432525100x y x y x y223410043100x y x y .【总结】进阶方法，学有余力可了解。
【解法六】向量法（类似柯西不等式）34x y 可以看作向量 3,4,,a b x y 的数量积：34a b x y .所以：cos ,10a b a b a b.【总结】注意观察代数式的结构特征。
[精品]三年高考2021 2021高考数学试题分项版解析专题15不等式
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[精品]三年高考2021 2021高考数学试题分项版解析专题15不等式[精品]三年高考2021-2021高考数学试题分项版解析专题15不等式三年高考2021_2021高考数学试题分项版解析专题15不等式性质线性规划与基本不等式理含解析69考纲解读明方向考点内容解读要求不等式的了解现实世界和日常生活中的不等关概念和性质系,了解不等式(组)的实际背景高考示例2021山东,7;理解2021北京,5;2021陕西,10常考题型选择题预测热度★★☆分析解读1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.内容阐释①可以从实际情境中抽象化出来二元一次不等式组;1.平面区域②介绍二元一次不等式的几何意问题义,能够用平面区域则表示二元一次不等式组与2.线性规划可以从实际情境中抽象化出来一些直观的问题二元线性规划问题,并能够加以解决考点建议中考示例常考题型预测热度2021浙江,3;2021山东,4;认知2021课标ⅰ,15;2021课标ⅰ,92021课标全国ⅱ,5;2021课标全国ⅰ,14;2021课标全国ⅲ,13;2021课标全国ⅲ,13选择题填空题★★★认知选择题填空题★★★分析阐释1.多考查线性目标函数的最值问题,兼具面积、距离、斜率等问题.2.会用线性规划的方法化解关键的实际问题,并使接到的效益最小,花费的人力、物力资源最少等.3.应当注重数形融合的思想方法.4.本节在中考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分后,属于中低档题.内容解读①了解基本不等式的证明过程;利用基本不等式求最②会用基本不等式解决简单的最值大(小)值问题考点要求高考示例常考题型2021天津,12;选择题掌握2021江苏,10;填空题2021陕西,9预测热度★★☆分析解读1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构永定元年，周文育等败给沌口，为王琳所荣获。
备战2021年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题29常见不等式的解法
备战2021年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题29常见不等式的解法【热点聚焦与扩展】高中时期解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直截了当解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，专门是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考查学生的观看能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路.（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点 2、高次不等式（1）可考虑采纳“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >） ①求出()0f x =的根12,,x x② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观看图象，()0f x >⇒ 查找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 查找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中能够忽略，然而要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可依照符号特点得到只需()(),f x g x 同号即可，因此将分式不等式转化为()()()0f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解 4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直截了当利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）关于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段确实是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的差不多性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >⇒+>+，可发觉不等式的两边做了相同的变换（均加上c ），将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，因此可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立，再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩ 由以上两个例子我们能够得出：关于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性.增函数→不变号，减函数→变号在这种方法的支持下，我们能够对不等式的变形加以扩展，例如：a b >，则11,a b 的关系如何？设()1f x x=，可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞，由此可判定出：当,a b 同号时，11a b a b>⇒<（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回忆指对数函数的性质：不管是xy a =依旧()log 0,1a y x a a =>≠，其单调性只与底数a 有关：当1a >时，函数均为增函数，当01a <<时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：1a >时，x y >log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y >log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔<⇔<>进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了 （3）关于对数的两个补充① 对数能够成立，要求真数大于0，因此在解对数不等式时第一要考虑真数大于0那个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁 6、利用换元法解不等式（1）换元：属于化归经常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把生疏问题进行化归，转化为能够解决的问题.（2）在换元的过程中，用新字母代替原先的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范畴.即若换元，则先考虑新元的初始范畴 （3）利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观看不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范畴，并将原不等式转化为新变量的不等式 ③解出新元的范畴④在依照新元的范畴解x 的范畴 （二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易查找入手点.因此处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常能够确定入手点（2）在构造函数时要依照条件的特点进行猜想，例如显现轮番求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.因此假如能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了. （三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质确实是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图关心观看.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则能够作出草图（不比关怀单调增的情形是否符合()f x ，可不能阻碍结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：假如所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类确实是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范畴即可.【经典例题】例1.解下列一元二次不等式：（1）2340x x --< （2）2410x x -+> （3）2450x x -+> （4）2430x x --+<【答案】（1）()1,4-；（2）((),223,-∞-++∞；（3）R ；（4）((),227,-∞---++∞【解析】（1）2340x x --<()()410x x ⇔-+< 即()234f x x x =--与x 轴的交点为1,4x x =-=由图象可得满足()0f x <的x 的范畴为14x -<<∴ 不等式的解集为()1,4-【名师点睛】由（1）（2）我们发觉，只要是0a >，开口向上的抛物线与x 轴相交，其图象差不多上类似的，在小大根之间的部分()0f x <，在小大根之外的部分()0f x >，发觉那个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀① 让最高次项系数为正② 解()0f x =的方程，若方程有解，则()0f x >的解集为小大根之外，()0f x <的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图象观看即可（4）解：先将最高次项系数变为正数：22430430x x x x --+<⇔+-> 方程2430x x +-=的根为42727x -±==-±∴ 不等式的解集为()(),2727,-∞---++∞例2.解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x ---> （2）()()()21230x x x +--<【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =--- 则()0f x =的根1231,2,3x x x === 作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象关心判定每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是什么缘故不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的缘故，因为现在()f x 的符号一定为正），当通过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，因此()f x 的符号发生一次改变，在图象上的表达确实是穿根下来，而后通过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.因此图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.例3.解不等式：（1）2113x x -≥+ （2）221x x +≥+ （3）21612x x x ≥-+ 【答案】（1）()[),34,-∞+∞；（2）(][)1,01,-+∞；（3）[]3,4. 【解析】（1）212111033x x x x --≥⇒-≥++ ()()430404330x x x x x x -+≥⎧-∴≥⇒⇒≥⎨++≠⎩或3x <（3）思路：观看发觉分母()22612330x x x -+=-+>专门成立，因此考虑直截了当去分母，不等号的方向也可不能改变，如此直截了当就化为整式不等式求解了 解：221612612xx x x x x ≥⇒≥-+-+ ()()27120340x x x x ∴-+≤⇒--≤ 34x ∴≤≤∴不等式的解集为[]3,4【名师点睛】分式不等式在分母符号不定的情形下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为()()0f x g x >再进行求解 例4.解不等式：（1）23x x x +≤ （2）125x x -++< （3）2120x x ---< 【答案】（1）[]0,2；（2）()3,2-；（3）()1,1-. 【解析】解：（1）方法一：所解不等式可转化为22234033023x x x x or x x x x x x x x x ⎧+≥-≤-≥⎧⎪-≤+≤⇒⇒⎨⎨≤≤+≤⎪⎩⎩02x ∴≤≤方法二：观看到若要使得不等式23x x x +≤成立，则300x x ≥⇒≥，进而2x x +内部恒为正数，绝对值直截了当去掉，即只需解23x x x +≤即可.解得02x ≤≤∴不等式的解集为[]0,2（2）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论令两个绝对值分别为零，解得：2,1x x =-=，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论 ①1x > 不等式变为1252x x x -++<⇒< 12x ∴<<②21x -<≤时，不等式变为12535x x -++<⇒< 21x ∴-<≤时不等式均成立 ③2x ≤- 不等式变为1253x x x ---<⇒>- 32x ∴-<≤-23311x x ∴<⇒-<< ∴不等式的解集为()1,1-【名师点睛】1.含绝对值的不等式要注意观看式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范畴可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论适应提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观看可得不等式的解. 例5.解不等式)1(log )52(log ->-x x a a .【答案】当1>a 时，解集为}4|{>x x ；当10<<a 时，解集为}425|{<<x x .试题分析：借助题设条件运用对数函数单调性转化分析求解.例6.【2020届上海市徐汇区二模】函数的定义域为_____________．【答案】【解析】由题意，依照对数函数的概念及其定义域可得，，即，由指数函数与的图象可知，如图所示，当时，恒成立，因此正确答案为.例7．【2020届广东佛山市检测二】若使得10101017n -⎛⎫< ⎪⎝⎭成立的最小整数44n =，则使得4171010m⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的最小整数m =__________．【解析】解指数不等式10101017n-⎛⎫< ⎪⎝⎭，可利用取对数的方法求解，再由题意估量出17lg 10的范畴，同样用取对数的方法解不等式17410m⎛⎫> ⎪⎝⎭得417lg 10m >，由刚才的10lg 17的范畴，得出417lg 10的范畴，从而可得要求的最小整数m .解：由10101017n-⎛⎫< ⎪⎝⎭得10lg 1017n <-，∴1044lg 1017<-， 1043lg 1017>-，即101710lg 441043<<， 1724176171010lg 10<<，即4171817lg 10<<，由17410m⎛⎫> ⎪⎝⎭得17lg 410m >， 417lg 10m >，∴18m ≥，即最小整数m 为18， 故答案为18.点睛：解指数不等式一样采纳两边取对数的方程，化指数不等式为一样的多项式不等式，从而求解.例8.【2020届天津市部分区高三上学期期末】已知函数()2xf x =，且()()2log 2f m f >，则实数m 的取值范畴为（ ）A. ()4,+∞B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()1,4,4⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D. ()10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】Df x为偶函数，故其图象关于y轴对称，解答本题的关键是利用函数的性质将问题进行合理的转化，由于函数()因此可依照所给出的函数值的大小，将问题转化成自变量到对称轴的距离的大小的问题，然后依照不等式的相关知识解决．例9.【2020年5月2020届高三第三次全国大联考】已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若，则实数的取值范畴为（）A. B. C. D.【答案】D例10.【2020届安徽省六安市毛坦厂中学四月模拟】已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判定出的单调性，结合列不等式求解即可.引入函数，则，，，又，函数在区间上单调递增，故不等式的解集是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点确实是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①依照导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可依照选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】1.【2020届新疆乌鲁木齐市三诊】设：，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题设知，，因为，因此满足，但 ，依照充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知是的充分不必要条件.故选A. 2.【2020届浙江省嘉兴市4月模拟】已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范畴是（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】设，(为的两根)，因为，因此且点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合，依照一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合，得出和，即可求出实数的取值范畴.3.【2020届江西师范大学附属中学4月模拟】数列{a n }的通项a n 是关于x 的不等式x 2﹣x ＜nx （n∈N *）的解集中的整数个数，则数列{a n }的前n 项和S n =（ ） A. n 2B. n(n+1)C. ()12n n + D. (n+1)(n+2）【答案】C【解析】不等式()2*x x nx n N -<∈的解集为{}|01x x n <<+，∵通项n a 是解集中的整数个数，∴()*n a n n N =∈，∵111n n a a n n +-=+-=（常数），∴数列{}n a 是第一为1，公差为1的等差数列，∴前n 项和()12n n n S +=，故选C.4．已知函数223log ,0,()23,0,x x f x x x x +>⎧=⎨-≤⎩则不等式()5f x ≤的解集为（ ）A ．[]1,1-B ．(](),10,1-∞-C ．[]1,4-D ．(][],10,4-∞-【答案】C 【解析】试题分析：当0x >时，()5f x ≤即为223log 5,log 2,x x +≤∴≤解得04;x <≤当0x ≤时，()5f x ≤即为22235,2350,x x x x -≤∴--≤解得10x -≤≤，因此不等式的解集为[]1,4-.5．【2020届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得成立的取值范畴是（ ） A. B.C.D.【答案】B【解析】分析：先判定出偶函数在上单调递减，然后依照对称性将函数不等式化为绝对值不等式求解．∵， ∴，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范畴是．故选B ．点睛：①解题时要注意函数性质的综合运用，关于图象具有对称性的函数，在解不等式时，可将不等式转化为变量到对称轴的距离的大小关系求解．②解绝对值不等式时，要依照绝对值不等式的特点进行求解，解题时要注意绝对值的几何意义的利用． 6．【2020届四川省高三“联测促改”】已知函数()f x 在区间[]2,2-上单调递增，若()()()24log log 2f m f m <+成立，则实数m 的取值范畴是（ ）A. 1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (]1,4D. []2,4 【答案】A7．【2020届湖南省邵阳市高三上学期期末】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范畴为（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】由题得在（0,1）上恒成立，设，因此，由于函数是增函数，因此，故选B.8.【2020届四川省成都七中二诊（3月）】若实数满足，则的取值范畴是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】依照对数函数的性质，由，可得，由，得，综上，的取值范畴是，故选C.9.【2020届安徽省六安市毛坦厂中学四月模拟】已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C又，因此不等式等价于，又，因此，因此，又因为函数在区间上单调递增，因此，解得，又函数的定义域为，得，故不等式的解集为，故选C．点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常第一要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范畴；也可分离变量，构造函数，直截了当把问题转化为函数的最值问题.．10.【2020届高三下学期第二次调研】已知定义在R 上的函数恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B.C. D.【答案】D且，因此的解集为，即，即 因此不等式的解集为，故选D.11.设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()2f f a ≤⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范畴是________【答案】(2-∞【解析】通过数形结合处理，()f x 的图象如图所示，令()t f a =，则先解()2f t ≤，由图可得：2t ≥-即()2f a ≥-，再由图可知2a ≤12.现定义一种运算“⊕”：对任意实数b a ,，⎩⎨⎧<-≥-=⊕1,1,b a a b a b b a ．设)3()2()(2+⊕-=x x x x f ，若函数k x f x g +=)()(的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值范畴是_________．【答案】(]21-, 【解析】【方法点晴】本题要紧考查了新定义下函数解析式的求解、函数的图象的应用及函数的零点与方程根的关系，着重考查了学生对新定义的同意与应用能力及分段的图象的应用和数形结合的思想方法，本题的解答中，利用函数新定义得到函数()f x 的解析式，作出函数()f x 的图象，把方程的根转化为函数图象与y k =的交点，得到实数k 的取值范畴．。
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2021年高考数学大数据分析预测高考中常见的不等式（选做题）的解法目录一、基础知识点： (2)二、七种含有绝对值的不等式 (2))()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 (2)题型二：形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式 (3)()(x g x f <)()(x g x f >型不等式 (3)()(x g x f < (3))()(),()(x f x f x f x f ><型不等式 (3)c n x m x c n x m ≥-+-≥---,恒成立型不等式. (4)a x g x <±)()(型不等式 (4)三、2011—2020年十年高考题（不等式选做） (5)题型一：绝对值不等式的求解 (5)题型二：含绝对值不等式的恒成立问题 (8)题型三：不等式的证明 (14)四、大数据分析预测高考 (18)一、基础知识点：绝对值三角不等式1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 绝对值不等式的解法(1)|a x ＋b|≤c ⇔－c ≤a x ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ⇔a x ＋b ≥c 或a x ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a |＋|x －b |≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．绝对值不等式的解法(1)|a x ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、七种含有绝对值的不等式题型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当0>a 时，a x f a a x f <<-⇔<)()( a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)(2、当0=a a x f <)(，无解⇔>a x f )(使0)(≠x f 的解集3、当0<a 时，a x f <)(，无解 ⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集.例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ）A.)2,1(-B.)1,1(-C.)1,2(-D.)2,2(-解：因为 22<-x x ，所以222<-<-x x .即⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-020222x xx x ，解得：⎩⎨⎧<<-∈21x R x ，所以 )2,1(-∈x ，故选A. 题型二：形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(例2:不等式311<+<x 的解集为（ ）A ．)2,0( B.)4,2()0,2( - C ．)0,4(- D.)2,0()2,4( -- 解：311311<+<⇔<+<x x 或11,3-<+<-x20<<⇔x 或24-<<-x ，故选D 题型三：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解，即：)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<，)()()()(x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<例3设函数312)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 解：53125)(≤++-⇔≤x x x f 2122212+-≤-≤-⇔+-≤-⇔x x x x x⎩⎨⎧+-≤--≥-⇔212212x x x x 1111≤≤-⇔⎩⎨⎧≤-≥⇔x x x ，故填：[]1,1-. 题型四：形如)()(x g x f <型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：22)()()()(x g x f x g x f <⇔<0)]()()][()([0)]([)]([22<-+⇔<-⇔x g x f x g x f x g x f例4：不等式0212<---x x 的解集为解：2120212-<-⇔<---x x x x 0)2()12(2122222<---⇔-<-⇔x x x x0)]2()12)][(2()12[(<----+-⇔x x x x 11<<-⇔x 所以原不等式的解集为{}11<<-x x 题型五：形如)()(),()(x f x f x f x f ><型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：)()(x f x f <，无解0)()()(<⇔>x f x f x f 例5：解关于x 的不等式a x xa x x+-->+--1111 解：0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011（1） 当0=a 时，原不等式等价于：1011<⇔<-x x（2） 当0>a 时，原不等式等价于：111011<<-⇔<-<-x a x a（3） 当0<a 时，原不等式等价于：01<-x 或a x 11->-1<⇔x 或a x 11->综上所述（1） 当0=a 时，原不等式的解集为：{}1<x x（2） 当0>a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x（3） 当0<a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或 题型六：形如使c n x m x c n x m x ≥-+-≥---,恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：b a b a b a +≤±≤-，结合极端性原理即可解得，即：()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≥⇔---≥max ；()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ；例6不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(][)+∞-∞-,41, B.(][)+∞-∞-,52,C.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,解： 设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f所以4)(max =x f 而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或，故选择A 类型七：形如a x g x f <±)()(型不等式 还有如下：()为常数a a x g x f >-)()( )()()(x h x g x f <-，)()()(x h x g x f >-,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()( )()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7 （2009年高考福建理科卷）解不等式112+<-x x 分析：找出零点：21,0==x x 确定分段区间：21,210,0≥<≤<x x x 解：（1）当0<x 时，原不等式可化为：112+-<+-x x 解得：0>x 因为 0<x ，所以 x 不存在（2）当210<≤x 时，原不等式可化为：112+<+-x x 解得：0>x ，又因为 21<≤x x ，所以 21<<x x （3）当21≥x 时，原不等式可化为：112+<-x x ，解得2<x 又 21≥x ，所以221<≤x 综上所述，原不等式的解集为：{}20<<x x特别地，对于形如,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()( )()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：⇔<+)()()(x h x g x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-<+)()()()()()(x h x g x f x h x g x f )()()(x h x g x f >+⇔)()()(x h x g x f >+或)()()(x h x g x f >-例8设函数a x x x f -+-=1)(（1）若1-=a ，解不等式3)(≥x f （2）如果,2)(,≥∈∀x f R x 求a 的范围解：当时，1-=a 11)(++-=x x x f 由3)(≥x f 得：311)(≥++-=x x x f即：()()311≥++-x x 或 ()()311≥+--x x 解得：32≥x ，即：23-≤x 或 23≥x。