矩阵的相似对角形
矩阵相似于对角矩阵的条件
矩阵相似于对角矩阵的条件
1、对角矩阵：
对角矩阵是指矩阵的非零元素只存在主对角线上，根据主对角线类型的不同，还可以将对角矩阵分为两大类：单位对角矩阵和非单位对角矩阵。
单位对角矩阵非零元素全为1；而非单位对角矩阵的非零元素有不同的系数。
2、相似于对角矩阵的条件：
一个矩阵相似于对角矩阵，就必须满足三个要素：首先，矩阵中每一行和每一列的非零元素只有一个；其次，每一行和每一列上不同的非零元素的值必须不相等；最后，每一行和每一列的不同的非零元素的位置一定是主对角线上的相邻位置，例如，第一行第一列的非零元素，只能是矩阵的第一行第二列的非零元素的相邻位置，或者是第二行第一列的非零元素的相邻位置。
3、相似于对角矩阵的例子：
一个 3×3 的矩阵：
3 4 0
5 0 8
0 9 7
此时，第一行和第一列上都只有一个非零元素 3，而在主对角线上非零元素有两个 4 和 7，并且都是相邻的位置在第一行第二列和第二行第一列，所以这个矩阵就不相似于对角矩阵。
再比如如下矩阵：
1 6 0
4 0 5
0 3 7
第一行和第一列同样只有一个非零元素 1，且主对角线上非零元素有 6 和 7，这两个非零元素在第一行第二列和第二行第一列互为相邻，这个矩阵就相似于对角矩阵。
矩阵相似对角化
矩阵相似对角化
矩阵的相似对角化，是一种基变换，或者说是坐标系变换，本质上是将线性变换在原坐标系（标准坐标系）中的表示变换为在新的坐标系下的表示，而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组线性无关的特征向量作为基建立的。
在n维空间中的n个线性无关的向量张成了这个n维空间，它们是这个n维空间的一组基底。
一般地，二维空间，我们用i和j两个单位正交基来建立坐标系表示，也就是我们的x轴和y轴。
同样的道理，我们也可以用任意一组基底建立坐标系描述，将原来的坐标系下的一个或者一组向量变换到新基底下的表示方式，就是基变换。
对于一组原空间下的向量（或者说一个变换），我们如何将其转化为用新的一组基底表示呢？
考虑原坐标系（标准坐标系）下的一线性变换A，以基底P建立的新坐标系下有一向量X，X各个维度的值是基底P中各个基底向量方向的坐标，P中的各个基底还是原坐标系（标准坐标系）下的表示方式，那么X在原坐标系下的表示自然就是PX，X在原坐标系下线性变换后得到的结果自然就是APX。
我们既然将新坐标系下的某个向量左乘基底P得到原坐标系下的向量，那么再左乘一个P-1，就可以变换回新坐标系。
因此，P-1APX 就是X经过原坐标系下的线性变换A后在新坐标系下得到的向量。
换个角度看，P-1AP就是原坐标系下的线性变换A在新坐标系下的表示。
一般矩阵的相似对角形
0 1 0
P
(1,2
,3 )
1
0
1 ,
2 1 0
1 0 0
P1
AP
0
2
0 .
0 0 3
矩阵相似对角化的步骤：
(i)求出A的所有特征值1,2,, n， 若1,2,, n互异，则A与对角阵相似； 若1,2,, n中互异的为1,2,, m, 每个i的重数 为ri，当r( A iE) n ri时(i 1,2,, m),
设为k重特征值，只要r( A E) n k, 则 ( A E) X O就有k个线性无关的解向量，即A有k个线
性无关的特征向量。
定 理 2：设A的相异特征值为1，2，，m, 其重数分别为
m
r1, r2 ,, rm , ri n, 则 A ~ r( A iE) n ri.
i 1
2
APi iPi, i 1,2,, n.
n
（Pi是否为特征向量？）
(1P1,2P2,, nPn)
P 0 P1, P2,, Pn为非零向量。（且线性无关。）
1, 2,, n是特征值 P1, P2,, Pn是特征向量。
反之设1,2,, n是A的特征值, 对应的特征向量为
P1, P2,, Pn.
练习
2 0 0
A 1 3 1能否与对角阵相似?
1 0 1
1 1,2 2, 3 3 A ~
1 1 1
B
2
4
2
能否与对角阵相似？
1
2
2, 3
6.
3 3 5
当 1 2 2 时
1 1 1 1 1 1
B
2E
2
3
2 3
2
0
3 0
矩阵的相似性与对角化
矩阵的相似性与对⾓化概要介绍相似矩阵、对⾓化以及⼀⼤堆性质.相似矩阵的定义从⼀节中，我们了解到每⼀个可逆矩阵都是⼀个可变换基的矩阵，每⼀个可变换基的矩阵也都是可逆的. 设 B 是向量空间V的⼀组基，T是V上的⼀个线性变换，A=B[T]B, 则T的所有基表⽰的集合是{B1[I]B⋅B[T]B⋅B[I]B1:B1is a basis of V}={S−1AS:S∈M n(F)is invertible}这恰是所有与A的相似的矩阵的集合，说明了相似矩阵正好就是单个线性变换的不同的基表⽰. 于是研究相似性可以看成是研究线性变换固有的性质或者是它们所有的基表⽰共有的性质。
与任何等价关系类似，相似性将集合M n分划成不相交的等价类。
每个等价类是M n中⼀个给定矩阵（这个类的⼀个代表元）相似的所有矩阵组成之集合。
⼀个等价类中所有的矩阵是相似的，不同等价类中的矩阵是不相似的，关键的结论是处于⼀个相似类中的矩阵共同享有许多重要的性质。
相似矩阵的性质相似矩阵有相同的特征多项式 **证明**：计算 \\begin{align\*} p\_B(t)&=\mathrm{det}(tI-B)=\mathrm{det}(tS^{-1}S-S^{-1}AS)=\mathrm{det}(S^{-1}(tI-A)S) \\\\ &=\mathrm{det}\\,S^{-1} \mathrm{det}(tI-A) \mathrm{det}S=( \mathrm{det}\\,S)^{-1}(\mathrm{det}\\,S) \mathrm{det}(tI-A)=\mathrm{det}(tI-A)=p\_{A}(t) \\end{align\*} 基于此有个简单的推论，对相似性来说，有相同的特征值是⼀个必要但⾮充分的条件，⽐如01 00与0000有相同的特征值但不相似。
### 对⾓矩阵的相似性由于对⾓矩阵特别简单且有很好的性质，我们乐于知道何种矩阵与对⾓矩阵相似. **证明**：假设k<n, 且="" n="" 元向量=""x(1)="",=""⋯="",x(k)="" 是线性⽆关的，⼜对每个="" i="1,"⋯,=""k="" 有="" ax(i)="λi x(i)." 设="" λ="diag(λ1,"λk),=""s1=""x(1)=""⋯=""x(k)="",="" 并选取任意⼀个="" s2=""∈=""m n,="" 使得="" s=""s1s2="" 是⾮奇异的.="" 计算="" \\begin{align\*}="" s^{-1}as="" &="S^{-1}"=""ax(1)⋯ax(k)as_2="S^{-1}" \lambda\_1="" x^{(1)}&\cdots&\lambda\_k="" x^{(k)}&as\_2\end{bmatrix}="" \\\\="" s^{-1}="" &s^{-1}as\_2\end{bmatrix}=""e_1=""⋯λ_k=""e_k=""s−1as_2="" \lambda="" c="" 0="" d="" \end{bmatrix},\quad="" \end{bmatrix}="S^{-1}AS\_2" \\end{align\*}="" 反过来，如果="" s="" 是⾮奇异的，s−1as=""且我们给分划=""s1s2,="" 其中="" m_{n,k},=""那么=""s_1=""的列就是线性⽆关的，且=""=""as1as2="AS=S"s1λ=""s1c+s2=""d.=""于是，as_1="S_1\Lambda,"所以=""的每⼀列都是=""a=""的特征向量。
线性代数 第5.2节 矩阵相似对角化
2 2 得基础解系 p1 1 , p2 0 . 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 8 2 2 1 0 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
求矩阵 A.
22
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。
因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
1 1 1 其中 P 1 0 2 , 1 1 1
求得 P 1
1 3 1 2 1 6 1 3 0 1 3
A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为
A Ex 0
5 5 1 1 系数矩阵 A E 2 2 0 0
x1 x2
1 令 x2 1 得基础解系: p1 1
25
当
2 2 时， 齐次线性方程组为 A 2 E x 0 2 5 2 5 系数矩阵 A 2 E 2 5 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
6 A 2 E 3 3 6 3 6 0 1 0 0 3 0 0 1 0 1 1 0
可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例3：已知方阵 A 的特征值是
1 0, 2 1, 3 3, 1 1 1 1 , 0 , 2 , 相应的特征向量是 1 2 3 1 1 1
线性代数-矩阵的相似对角化
即 y1 0.9 z1 0.1
0.2 0.8
y0 z0
,
矩 阵
第 k 年末城乡人口为
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
yk 1 zk 1
,
即
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
k
y0 z0
,
记 A 0.9 0.1
0.2 , 0.8
则有
yk zk
Ak
y0 z0
,
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r), 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 从而有 P 1 AP Λ;
有
y0 z0
a
X1
b
X
2
,
X2
1 3
1 , 1
(线性无关)
故第 k 年末城乡人口为
yk zk
Ak
y0 z0
a Ak X1 b Ak X2
ak1 X1 bk2 X2 a X1 b(0.7)k X 2 ,
y z
a
X
1
1 2a , 3a
y : z 2 :1.
25
§5.2 矩阵的相似对角化
13
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
试将矩阵
A
a
a
1
相似对角化。
章
a
相 解 令 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 a , (三重根)
矩阵论-第八讲
D k ( ) , k 2,3, , n, 称为A( )的不变因式。 Dk 1 ( ) 把所有次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的幂的乘积， 这些一次因式的幂称为初级因子。
设n阶矩阵A的全部初级因子为： ( 1)k1 , ( 2)k 2 ,, ( s )k s 则每个初级因子( i )k i 对应一个约当块矩阵： i 0 Ji 0 0 0 1 0 i 1 0 i 0 0 0 0 i 1 0 , 或 J i 0 0 1 0 i 0 0 i 0 1 i 0 0 1 0 0 0 i
第八讲
矩阵的相似对角形 矩阵的约当标准形
一、矩阵的相似对角形 定理：设A是复数域C上的n×n矩阵，则A与对角 形矩阵相似的充要条件是，A有n个线性无关的特 征向量。 定理：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对 角形矩阵相似 。
例： 1 0 （ 1 ） 0 2 2 0 3 1 2 3 （ 2 ） 3 2 2 1 2 2 2 0 2 （ 3 ） 1 0 -1 0 -1 2 4 4
二、矩阵的约当标准形
定义：n阶矩阵A的特征矩阵A( ) I A中所有非零的 k阶子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式 Dk ( )称为A( )的一个k阶行列式因子。 D n ( ) I A , Dk 1 ( )能整除 Dk ( )，k 2,3, , n 定义： d 1 ( ) D1 ( ), d k ( )
由约当块构成的分块对角矩阵： J1 J J2 J s 称为约当标准形矩阵。 定理：每个复数方阵A都相似于一个约当标准形矩阵。
例： 1 0 2 0 - 1 1 0 - 2 3 - 1 - 2 0 0 - 1 1 0
相似矩阵对角化问题
相似矩阵对角化问题
相似矩阵对角化问题是一个重要的线性代数问题，涉及到矩阵的特征值和特征向量。
如果一个矩阵A可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP是对角矩阵，那么矩阵A就被称为可对角化的。
可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
具体来说，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=∧是对角矩阵，其中∧是对角线上为A的特征值的对角矩阵。
因此，A的相似对角化可以通过求解特征值和特征向量来实现。
此外，如果矩阵A的n个特征值互不相等，那么A一定可对角化。
这是因为如果特征值互不相等，那么对应的特征向量一定线性无关，从而满足可对角化的条件。
因此，对于一个给定的矩阵A，我们可以通过求解特征值和特征向量来判断其是否可对角化，并进一步通过相似对角化来简化矩阵的表示和计算。
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
矩阵的相似对角化
信息系 刘康泽
二、矩阵可对角化的条件 并非任何方阵 A 都可对角化，那么当方阵 A 满足什
么条件时可对角化呢？
【定理】 n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件 是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 证明：充分性 设 A 有 n 个线性无关的特征向量 1 , 2 ,, n ，对应的特征值依次为 1 , 2 ,, n ，
1 3 2 3 4 1 2。 3 5 2
（2）由题设 A 40 ，又若 A 有特征值 ，则 A* 有特征
40 40 40 , , 值 ， 所以 A 的特征值为 ， A* 的特征 即 2 4 5 值为 20 , 10 , 8 。
1 , 2 ,, n 线性无关。
【注】从定理证明过程知, 若 A 与对角阵 相似，则 （1）与 A 相似的对角矩阵 的主对角线上的元素 1 , 2 ,, n 恰好是 A 的 n 个特征值；
（2） P AP 中的可逆阵 P 的各列 1 , 2 ,, n
1
恰好是 A 的属于 j 的特征向量。
征向量组中所含向量的个数为 n j ，j 1, 2,, m ， A 可 则 对角化的充分必要条件是：
n
j 1
m
j
n。
【推论 3】 如果 n 阶方阵 A 有 m 个互不相同的特征 值 1 , 2 ,, m ， m n ，依次分别为 r1 ,r2 , , rm 重特征 根，且
PP 1 Pk P 1
信息系 刘康泽
1 1k k 2 2 P 1 。 P 1 P P k n n 同理，当 A 时，若 f ( x ) a0 x m a1 x m 1 am 1 x am 是 m 次多项式，则 f ( A) ~ f () ，即 f (1 ) f (2 ) P 1 。 f ( A) Pf () P 1 P f (n )
相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
A 有n 个线性无关的特征向量.
【注】 ①若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.
②证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法： 即用 A 的n个线性无关的特征向量 1,2 ,,n
构成可逆矩阵U，U (1 2 n ) ，则
1
U 1 AU
2
n
其中i 是属于特征 值i 的特征向量.
【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要
～A
【注】单位矩阵 E 只与自己相似
因为对任意可逆矩阵 U，U 1 EU E
数量矩阵 aE 只与自己相似 U 1aEU aE
2. 相似矩阵的性质 （1）基本性质
反身性，即A～A， 对称性，即A～B，则B～A 传递性， 如果A～B，B～C，则A～C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值(包括重数),迹,行列式.
【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
相互对应.
例1
判断
1 A 2
2 1
2 2
是否可以相似对角化.
2
2
1
A的属于特征值5的特征向量为
1
1 1
1
A的属于特征值
-1（二重）2
1
的特征向量为
0
1
3
1,2 ,3 线性无关 ，A可以相似对角化
1
0
1
令U
矩阵相似对角化
例如，对于矩阵$A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$，其特征值为 $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3$，对 应的特征向量分别为$x_1 = begin{bmatrix} -2 -4 -6 end{bmatrix}, x_2 = begin{bmatrix} -1 -2 -3 end{bmatrix}, x_3 = begin{bmatrix} 1 2 3 end{bmatrix}$。选取可逆矩阵$P = begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 -6 & -3 & 3 end{bmatrix}$， 则有$P^{-1}AP = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$。
性质
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征多项式和特征值。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征子空间和特征向 量。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 行列式值。
相似矩阵的判定
如果一个矩阵具有n个线性无关 的特征向量，则该矩阵可相似 对角化。
如果一个矩阵的所有特征值都 是单重的，则该矩阵可相似对
矩阵分解
矩阵相似对角化是矩阵分解的一 种形式，可以将一个复杂的矩阵 分解为易于处理的几个部分，如 三角矩阵、对角矩阵等。
线性变换
矩阵相似对角化可以用于研究线 性变换的性质。通过对矩阵进行 相似对角化，可以了解线性变换 在各个方向上的拉伸、压缩、旋 转等效应。
矩阵的相似对角化
2 4
2
4 2
2 7
0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入 A 1 E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系
3 1,1,1T .
所以 A 可对角化. 0 1 0 1 1 1
0 1 0 . 0 2 0
由于 1 , 2 , 3 线性无关. 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0 1 1 则有 P AP 0 0
§2
矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的概念 义1 设 A , B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P ,
使 P 1 AP B , 则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似.
记为 A ~ B
显然，矩阵的相似满足如下三个基本性质： (1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性 A~A； A ~ B ，则 B ~ A ； A ~ B, B ~ C, 则A ~ C 。
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
注意
2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例 3
故A 不能化为对角矩阵.
6 0 4 例2 设A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵P , 使P 1 AP为对角阵.
解
相似矩阵及对角化
相似矩阵及对角化
相似对角化的条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特征向量；如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵；如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。
相似对角化是指设m为元素取自交换体k中的n阶方阵，将m对角化，就是确定一个对角矩阵d及一个可逆方阵p，使m=pdp-1。
设f为典范对应于m的kn的自同态，将m对角化，就是确定kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。
相近对角化就是线性代数中最重要的知识点之一。
如果一个方阵a相近于对角矩阵，也就是说存有一个对称矩阵p，使就是对角矩阵，则就被称作可以相近对角化的。
可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。
如果一个方块矩阵a相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵p对角矩阵，则它就被称为可对角化的。
如果v是有限维度的向量空间，则线性映射t存在v→v被称为可对角化的，如果存在v的一个基，t关于它可被表示为对角矩阵。
对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
准确对角化法本身的物理概念极为直观，若是只须要获得极小尺寸的结果，在程式编写方面也很难，然而减少系统尺寸时，随着所需的内存激增，程式设计显得非常困难。
精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。
主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个重要的概念。
本文将介绍矩阵的相似和对角化以及它们在数学和实际问题中的意义。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指对于两个矩阵A和B，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
其中，P被称为相似变换矩阵。
相似的概念可以帮助我们判断矩阵之间是否具有一些相似的性质。
在矩阵相似的条件下，它们具有以下几点性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值：设A和B是相似矩阵，若c是A的特征值，则c也是B的特征值。
2. 相似矩阵具有相同的特征多项式：特征多项式是一个与矩阵相关的特征方程，相似矩阵的特征多项式相同。
3. 相似矩阵具有相同的迹和行列式：设A和B是相似矩阵，它们的迹和行列式相等。
相似的概念在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。
通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和求解问题。
而且，相似关系也有助于我们研究矩阵的特征值和特征向量，进一步分析矩阵的性质和应用。
二、矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为一个对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角元素都为0。
对于一个n阶方阵A，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，则称A可对角化。
对角化的过程可以表示为A = PDP^-1。
其中，D是由A的特征值按对角线排列而成的对角矩阵。
一个矩阵是否可以对角化，与它的特征值和特征向量密切相关。
对角化的条件如下：1. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量的个数等于n，则A可对角化。
2. 若矩阵A的特征向量的个数少于n，则A不可对角化。
对角化的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵简化为一个对角矩阵，从而更容易进行计算和分析。
对角化还有助于我们研究矩阵的性质和应用，比如求解线性方程组、计算幂矩阵等。
矩阵的相似及对角化
最大个数与该特征值的重数相等；
⑤ 对 的任意特征值 ，其重数 满足
2010年秋季四川大学邓传现
例 矩阵
能对角化吗？若能，求出可逆
矩阵 使得
为对角阵.
解 矩阵 A 的特征多项式为
即三阶矩阵 有 3个不同的特征值 故 可对角化.
2010年秋季四川大学邓传现
对
令
得
对
初等行变换
的基础解系为
2010年秋季四川大学邓传现
令 从而有 所以
，则
且
2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可对角化理论的应用 应用之二：由特征值及特征向量反求矩阵
例题 设 于特征值
为 的分别属 的特征向量，求
解答 设
则
2010年秋季四川大学邓传现
于是 从而有
2010年秋季四川大学邓传现
课堂练习
1 若矩阵
有相同的特征值，也都有 个
线性无关的特征向量，则（ ）
分别取
即得
的基
础解系为
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对特征根
，因
初等行变换
取
得
令
的基础解系 则
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矩阵可对角化理论的应用
应用之一：利用对角化理论求可对角化方阵的幂
例题 矩阵
，求
解答 因 两个不同特征值易求源自即二阶矩阵 有 故 可对角化.
的基础解系为
的基础解系为
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矩阵可对角化的充要条件
定理 阶矩阵 可对角化的充要条件为 有 个线性 无关的特征向量.
证明 必要性 若矩阵 可对角化，则存在 及可逆阵 使得 从而有
矩阵的对角化与相似矩阵
矩阵的对角化与相似矩阵矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在各种数学和应用领域都有广泛的应用。
在矩阵的理论中，对角化是一个重要的概念，它与相似矩阵密切相关。
本文将介绍矩阵的对角化以及相似矩阵的概念与性质。
一、矩阵的对角化矩阵的对角化是指将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵D，即P^{-1}AP = D其中D是一个对角矩阵，那么我们说矩阵A是可对角化的，且P是对A的对角化矩阵。
对角化的一个重要性质是对角矩阵的特殊性，对角矩阵的非零元素位于主对角线上，其余元素均为0。
对于一个可对角化的矩阵A，我们可以通过矩阵的特征值与特征向量来进行对角化。
特征值与特征向量是矩阵理论中的另外两个重要概念，特征值表示线性变换后特征向量方向上的缩放比例。
设矩阵A的特征值为λ_1, λ_2, ..., λ_n，对应的特征向量为v_1,v_2, ..., v_n，那么我们可以将这些特征向量按列排成一个矩阵P，即P = [v_1, v_2, ..., v_n]根据特征值与特征向量的定义，我们有AP = PD其中D是一个对角矩阵，其主对角线上的元素为矩阵A的特征值，其余元素为0。
由此可得到可逆矩阵P和对角矩阵D的关系P^{-1}AP = D因此，如果我们找到了矩阵A的特征向量和特征值，就可以通过特征向量构成的矩阵P来实现矩阵的对角化。
二、相似矩阵在矩阵的理论中，还有一个与对角化相关的概念是相似矩阵。
如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和B之间存在如下关系B = P^{-1}AP那么我们称矩阵A和B是相似的，且P是从矩阵A到矩阵B的相似变换矩阵。
相似矩阵具有许多重要的性质。
首先，相似矩阵具有相同的特征值，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的特征值是相同的。
其次，相似矩阵具有相似的行列式、迹等性质。
此外，相似变换不改变矩阵的秩和行列式的性质。
相似矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
可相似于对角矩阵的条件
可相似于对角矩阵的条件
一个矩阵可相似于对角矩阵的条件是：矩阵是可对角化的。
也就是说，存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是一个对角矩阵。
如果一个矩阵满足上述条件，那么它的特征值一定可以找到对应的线性无关的特征向量，这样就可以将矩阵分解为特征向量和特征值的形式，从而得到一个对角矩阵。
需要注意的是，不是所有的矩阵都可以相似于对角矩阵。
例如，如果一个矩阵没有线性无关的特征向量，那么它就不能被对角化，也就不能相似于对角矩阵。
相似对角化充分条件
相似对角化充分条件1. 你知道吗，矩阵的特征向量线性无关不就是相似对角化的充分条件之一呀！就好比一群各自有特点且相互不干扰的小伙伴，这多重要啊！比如一个矩阵，它的特征向量互不干扰，那就能实现相似对角化啦。
2. 相似对角化的充分条件还有矩阵有 n 个不同的特征值呢！这就像一把钥匙能打开一扇独特的门，很神奇吧！像那个有着不同特征值的矩阵，不就满足相似对角化啦。
3. 要是矩阵的每个特征值的代数重数等于几何重数，哇，这也是相似对角化充分条件呢！就好像一个东西的内在和外在表现完全一致，多难得呀！像某个矩阵就是这样，顺利实现相似对角化咯。
4. 当矩阵可化为对角形矩阵时，这也是相似对角化充分条件呀，你想想看，这不就是找到了一条捷径嘛！比如说那个特殊的矩阵，因为可以化为对角形，所以就实现了相似对角化。
5. 相似对角化充分条件里还有矩阵能相似于一个对角矩阵呢！这就如同找到了自己的完美替身，厉害吧！像那个能找到相似对角矩阵的矩阵，不就成功啦。
6. 要是存在可逆矩阵使得矩阵相似于对角矩阵，这也是个重要条件哦！这不就是有了一个神奇的魔法棒嘛！比如那个在可逆矩阵帮助下的矩阵，就实现了相似对角化。
7. 矩阵的特征多项式能完全分解成一次因式的乘积，这也是相似对角化充分条件呢！就好像把一个难题轻松拆解了，多棒呀！像那样的矩阵，就因为这个条件实现了相似对角化。
8. 你说，有 n 个线性无关的特征向量是不是相似对角化的充分条件呀？这简直就是一组强大的生力军呀！就像那个有着 n 个线性无关特征向量的矩阵，顺利走向相似对角化。
9. 相似对角化充分条件还有矩阵的最小多项式没有重根呢！这就好像走的路没有阻碍，多顺畅呀！像某个矩阵因为最小多项式没重根，就实现了相似对角化。
10. 当矩阵满足一定条件时，它能相似于单位矩阵，这也是相似对角化充分条件呢！这就好像找到了最完美的榜样，太厉害啦！比如那个可以相似于单位矩阵的矩阵，就完成了相似对角化。
我的观点结论就是：相似对角化的充分条件有很多，这些条件都很关键，能帮助我们更好地理解和运用相似对角化。
矩阵相似对角化的充要条件
矩阵相似对角化的充要条件
假设矩阵为A,则充要条件为:1)A有n个线性无关的特征向
量.2)A的极小多项式没有重根.充分非必要条件:1)A没有重特征值2)A*A^H=A^H*A必要非充分条件:f(A)可对角化,其中是收敛半径大于A的谱半径的任何解析函数拓展资料1、如果这个矩阵可以化为对角矩阵的话那求特征值吧,它的特征值就是对角矩阵的元素,前提是该矩阵是可化为对角矩阵的，如果是对称矩阵那对称矩阵一定可以化为对角矩阵。
2、相似对角化是指将原矩阵化为对角矩阵，且对角矩阵对角线上的每个矩阵的特征值。
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推论：
n阶矩阵A的相异特征值为1，2，，m ,i1,i2 ,,iri
m
是特征值i所对应的线性无关的特征向量，则 ri个特征
i 1
向量11,12 ,,1r1 ,21,22 ,,2r2，，m1,m2 ,,mrm
线性无关。
性质2：相似矩阵有相同的特征值。
证明矩阵 有相同特
A ~ B A E B E
矩阵的相似对角形
矩阵的特征值与特征向量
一、相似矩阵：
1.定义1：设A与B都是n阶矩阵，若存在一个n阶可逆阵P，使
B P1AP，则称矩阵A与B相似，记作 A~B
可逆阵P称为相似变换矩阵。
(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。
(2) A~B AB,反之不对。
相似与等价的关系
2.相似矩阵的简单性质：
量只有一个。
其全部特征向量为 k1(k 0).
对3 2,
3
B 2E 4
1 1
0 0
1 4
0 1
0 0
1 0
0 1
0
0
1 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0
0
1
0
x1 0, x2 0, x3任意； 3 (0，0，1)T
0
0
0
其全部特征向量为 k3(k 0).
征值的方法
注：属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于 这一特征值 的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的 非零线性组合一般就不 是特征向量了。
A E
0
满足 A E 0的数为特征值；
方程组( A E) X O的非零解为特征向量。(或基础解系)
例1：求矩阵的特
1
征 值与特征向量。A 2
解：
2
1 2
2 2 2 4 4 2
2
1 1 0 B 4 3 0
1 0 2
A E 2 2 4
2
4 2
(1 )(2 )2 16 16 4(2 ) 16(1 ) 4(2 )
(2) A与对角阵相似时，可逆阵 P及对角阵怎样求？
二、矩阵的特征值与特征向量：
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量，
使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向
量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
特征向量为非零向量！
2.矩阵的特征值与特征向量的求法：
A ( A E) O
是方程组( A E)X O的非零解
2 4
1 0
2 0
2
0
x1
2 x2
2x3
2 4 4 0 0 0
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T
为属于特征值2的线性无关的特征向量；其全部特征向量为
k11 k22（, k1, k2不全为零）。
同理可求3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
其全部特征向量为 k3(k 0).
(1 )(4 4 2) 24 32
3 32 24 28
经试根知，2是一个根。故
上式 ( 2)(2 5 14) ( 2)( 7)( 2)
1 2 2, 3 7 （这就是特征值。）
（下面求特征向量。）
对1 2 2, (解( A 2E) X O)
1 2 A 2E 2 4
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值；
2.对每一个 ，求方程组 ( A E) X O的基础解系；即得到属 于这个
特征值的线性无关的特 征向量。
1 1 0
B 4
3
0
1 2 1, 3 2
线性无关 的特征向
1
对1 2
0 2 1, 1 (1,2,1)T
5 EX : C 1
1 5
3 3,
r(C
)
2,
求a及C的特征值与特征向量。
3 3 a
3.特征值的求法公式：设为A的特征值，则
(i) k为kA的特征值； (ii) m为Am的特征值；
非常重要的公 式，一定要背过。
(iii) f ( )为f (A)的特征值；
(iv)
(v)
A为1为AA的1特的征特值征；值；A可逆。
(vi) 为AT的特征值.
4.特征值与矩阵的关系公式：1, 2 ,, n是A的特征值，则
(i) 12 n A;
在求行列式时特别有用。
(ii) 1 2 n a11 a22 ann .
证明详见课本。
例1：设三阶方阵A的特征值为1， 2， 3，求 A及A1，A，
A2 2A E的特征值。 A 6
A1的特征值: 1, 1 , 1 ; A的特征值 : 6,3,2;
23
A2 2 A E的特征值 : 4,1,4.
(4,2,5)
例2：设三阶方阵A的特征值为1，1，2，求 A 3E . 40
三、特征值与特征向量的性质：
性质1：n阶矩阵A的相异特征值1，2，，m所对应的 特征向量1, 2 ,, m线性无关。
(i) A ~ B r( A) r(B)
(ii) A ~ B A B
(iii) ~ B A与B同时可逆或同时不可逆，且当可逆时A1 ~ B1
(iv) A ~ B f ( A) ~ f (B), f (x) amxm am1xm1 a1 x a0
问题：
(1) A满足什么条件时能与对 角阵相似？