5-3 矩阵相似变换下化为对角
矩阵相似对角化方法
矩阵相似对角化方法矩阵相似对角化方法是线性代数中的重要概念。
在许多应用领域，对角化矩阵是一种十分有用的工具，可以简化复杂的计算过程，提取矩阵的特征信息等。
相似对角化方法就是一种将矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的技术。
在本文中，我们将介绍矩阵相似对角化方法的基本原理、应用场景以及具体操作步骤。
基本原理要理解矩阵相似对角化方法，首先需要了解相似矩阵的概念。
两个矩阵A和B 被称为相似矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P−1AP。
而对角化矩阵是指将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
对角化矩阵对于矩阵的特征值和特征向量有着重要的意义。
对角化矩阵能够帮助我们快速计算矩阵的幂运算、矩阵的逆等，同时也能够揭示矩阵的特征信息。
应用场景矩阵相似对角化方法在许多领域都有重要的应用。
其中，最常见的应用场景之一是在线性代数和矩阵论中。
通过对角化矩阵，我们可以简化矩阵的运算，求解矩阵的特征值和特征向量，从而分析矩阵的性质。
此外，在信号处理、图像处理、控制理论等领域，矩阵相似对角化方法也有着广泛的应用。
例如，在控制系统设计中，我们常常需要将状态空间表示的系统转化为对角形式，以便分析和设计控制器。
操作步骤要对一个矩阵进行相似对角化，通常需要以下步骤：1.计算矩阵的特征值和特征向量；2.构造特征向量矩阵，并将其逆作为相似变换矩阵；3.计算相似对角矩阵。
具体的操作步骤会根据矩阵的具体形式和要求略有不同，但以上步骤是相似对角化的基本流程。
总结：矩阵相似对角化方法是一种重要的线性代数技术，能够简化矩阵的运算并提取矩阵的特征信息。
在许多应用场景中都有着广泛的应用，是线性代数学习中的重要内容之一。
希望通过本文的介绍，读者能对矩阵相似对角化方法有一个全面的了解。
矩阵相似与对角化问题
矩阵相似与对角化问题引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
在研究矩阵的性质和应用时，矩阵相似与对角化问题是常见且重要的问题之一。
本文将对矩阵相似和对角化的概念、性质和关系加以讨论。
矩阵相似定义给定两个 n × n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = B，则称A 和 B 相似。
记作A ∼ B。
性质矩阵相似具有以下性质：1.若A ∼ B，则B ∼ A。
2.若A ∼ B，B ∼ C，则A ∼ C。
（相似关系是传递的）3.若A ∼ B，那么 A 的特征多项式和 B 的特征多项式相同。
4.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 具有相同的特征值和特征向量。
相似对角化对于相似矩阵 A 和 B，我们可以进行相似对角化，即将 A 变换为一个对角矩阵B。
具体步骤如下：1.设 A 是一个 n × n 矩阵，A 有 n 个线性无关的特征向量。
2.将这 n 个特征向量按列组成矩阵 P。
3.计算P⁻¹AP，得到对角矩阵 B。
对角化的好处是简化了矩阵的计算和处理，形式更加规整，便于求解特定的问题。
对角化问题定义给定矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则称 A 可对角化。
充分条件一个矩阵 A 可对角化的充分条件是存在 n 个线性无关的特征向量。
如果 A 的 n 个特征向量线性无关，则 A 必定可对角化。
对角化步骤求解矩阵对角化的步骤如下：1.解特征方程 |A - λI| = 0，得到矩阵 A 的特征值λ1, λ2, …, λn。
2.对于每个特征值λi，解特征方程 (A - λiI)xi = 0，得到特征向量 xi。
3.如果通过步骤 2 得到的 n 个特征向量线性无关，则 A 可对角化。
将这些特征向量按列组成矩阵 P，并将对应的特征值按对角线排列得到对角矩阵D。
可对角化的性质可对角化的矩阵具有以下性质：1.可对角化的矩阵 A 的迹等于其特征值之和。
线性代数同济大学第五版课件5-3
f(A) 与 f(B) 相似.
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三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
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0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
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一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
上页 下页
可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·
矩阵的对角化方法
矩阵的对角化方法矩阵的对角化是一种重要的矩阵变换方法，在线性代数中具有广泛的应用。
对于一个可对角化的矩阵，可以将其通过相似变换转化为对角矩阵，这样可以简化矩阵的计算和分析过程。
在本文中，我将介绍矩阵的对角化方法，并详细解释其原理和应用。
首先，我们需要明确一下矩阵的对角化定义。
一个n×n的矩阵A称为可对角化的，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
其中，对角矩阵是指非对角线上的元素全部为0的方阵。
对角化的主要目的是将原矩阵化简为对角形式，以方便计算和理解。
对于一个可对角化的矩阵A，其对应的对角矩阵D的对角线元素是A的特征值，而P的列向量组成的矩阵则是对应于特征值的特征向量。
因此，对角化的关键在于求解矩阵A的特征值和特征向量。
求解矩阵A的特征值和特征向量的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法：特征值分解和相似对角化。
一、特征值分解方法特征值分解方法是求解矩阵特征值和特征向量的最常用方法之一。
对于一个n×n的矩阵A，其特征值和特征向量的计算步骤如下：1. 求解特征多项式。
将A的特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I为n阶单位矩阵，λ为特征值。
解特征多项式可以得到n个特征值λ1，λ2，...，λn。
2. 求解特征向量。
对于每一个特征值λi，将其代入方程组(A-λiI)X=0，并求解出特征向量X。
3. 归一化特征向量。
将每个特征向量进行归一化处理，使其模长等于1。
4. 构造P和D矩阵。
将特征向量按列组成P矩阵，特征值按对角线组成D矩阵，得到P和D满足P-1AP=D。
特征值分解方法的优点是求解过程直观简单，容易理解，适用于一般情况。
但是，对于大规模矩阵，求解特征多项式和连续的特征值比较困难，计算量较大。
二、相似对角化方法相似对角化方法是通过相似变换将矩阵A转化为对角矩阵的方法。
它的基本思路是寻找一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D。
P矩阵的列向量正好是A的特征向量。
相似对角化的步骤如下：1. 求解矩阵A的特征值和特征向量。
线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件
(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
矩阵的相似与对角化求解
矩阵的相似与对角化求解矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个关键的概念。
本文将为您介绍矩阵的相似性和对角化求解方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的相似性矩阵的相似性是指两个矩阵具有相同的特征值和特征向量。
当两个矩阵相似时，它们的性质也会类似。
在数学中，我们用矩阵P表示可逆矩阵，如果矩阵A和B满足P^-1AP=B，那么我们称A和B是相似矩阵。
矩阵的相似性具有以下三个性质：1. 相似性是一种等价关系。
即对于任意的矩阵A，A与自身相似；若A与B相似，则B与A相似；若A与B相似，B与C相似，则A 与C相似。
2. 相似矩阵具有相同的行列式、迹和秩。
这意味着相似矩阵在行列式、迹和秩等方面具有相似的性质。
3. 相似矩阵具有相似的特征值和特征向量。
这是矩阵相似性的核心概念，相似的矩阵具有相同的特征值和特征向量。
二、矩阵的对角化求解方法对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。
对角化的求解可以简化矩阵的运算，方便研究矩阵的性质。
下面介绍一种常用的对角化求解方法——特征值分解。
特征值分解是将一个n阶矩阵A分解为A=PDP^-1的形式，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，D的主对角线上的元素是A的n个特征值。
特征值分解的步骤如下：1. 求出矩阵A的特征值。
特征值可以通过求解特征方程det(A-λI)=0来获得，其中λ是特征值，I是单位矩阵。
2. 根据特征值求出对应的特征向量。
对于每一个特征值λ，通过求解(A-λI)x=0来获得对应的特征向量x。
3. 构造可逆矩阵P。
将所有的特征向量按列组成矩阵P，即P=[x1,x2,...,xn]。
4. 构造对角矩阵D。
将特征值按照对应的特征向量顺序放在D的主对角线上。
5. 得到对角化的矩阵A。
通过A=PDP^-1可以得到矩阵A的对角化形式。
三、应用示例矩阵的相似性和对角化在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 线性系统求解：矩阵的相似性可以将一个复杂的线性方程组转化为一个简单的对角形式，从而求解线性系统变得更加方便。
矩阵相似对角化条件
矩阵相似对角化条件矩阵的相似对角化是矩阵分析中一个重要的概念。
对于一个方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，那么我们就说矩阵A是可对角化的。
矩阵相似对角化的条件可以从多个角度来考虑，以下是主要的几个：1. 特征值条件：矩阵A是可对角化的当且仅当A的特征值都是实数，并且对于每个特征值$\lambda$，都有恰好对应于$\lambda$的线性无关的特征向量$v_1, \ldots, v_n$。
2. 几何重数等于代数重数：对于一个给定的矩阵A，其特征值的几何重数（即特征向量的个数）必须等于其代数重数（即特征值的重数）。
如果这两个数量不相等，那么矩阵A无法被对角化。
3. 满秩条件：如果矩阵A的秩等于其最小多项式的次数，那么A是可对角化的。
这是因为最小多项式的次数等于矩阵的特征值的个数，而矩阵的秩等于其最大线性无关组的个数，所以如果秩等于特征值的个数，那么就存在一组特征向量，它们可以线性无关并且覆盖所有特征值，这样就可以找到一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
4. Jordan标准型：任何一个方阵都可以通过初等行变换变为Jordan标准型。
如果这个Jordan标准型只包含不同特征值的块，那么这个矩阵就是可对角化的。
5. 多项式矩阵：对于一个多项式矩阵$f(x)$，如果存在一个可逆矩阵P，使得$f(x)=P^{-1}XP$，那么我们就说f(x)是可对角化的。
在这种情况下，我们可以找到一个多项式矩阵S，使得$f(x)=S^{-1}x^nS$，其中x^n是n阶单位矩阵。
这些条件从不同的角度提供了对于矩阵是否可以相似对角化的判断方法。
在实际应用中，我们通常会使用其中的一个或多个条件来判断一个给定的矩阵是否可以相似对角化。
矩阵对角化的方法
矩阵对角化的方法
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。
常用的矩阵对角化方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。
首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。
2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。
首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。
3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。
首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。
需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。
只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。
矩阵对角化的步骤
矩阵对角化的步骤引言矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个矩阵变换为对角矩阵，从而简化一些运算和求解问题的过程。
本文将通过介绍矩阵对角化的基本概念、性质和步骤来深入探讨该主题。
什么是矩阵对角化矩阵对角化是指通过相似变换将一个矩阵变换为对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非主对角线上的元素全都是0，而主对角线上的元素可以是任意的数。
对角矩阵在一些问题的求解过程中具有简化运算的作用。
矩阵对角化的条件要将一个矩阵对角化，需要满足以下条件： 1. 矩阵必须是方阵，即行数和列数相等。
2. 矩阵必须有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵的维度。
矩阵对角化的步骤对于一个满足对角化条件的矩阵，下面是进行矩阵对角化的步骤：步骤1：求矩阵的特征值首先，我们需要求出矩阵的特征值。
矩阵的特征值是一个标量，它满足方程Ax=λx，其中A是矩阵，λ是特征值，而x是对应于特征值λ的特征向量。
步骤2：求特征值对应的特征向量在求得矩阵的特征值之后，我们需要求解特征值对应的特征向量。
通过解方程(A−λI)x=0，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵，x是特征向量，可以得到特征向量。
步骤3：构成特征向量矩阵将步骤2中求得的特征向量按列构成一个矩阵P，这个矩阵称为特征向量矩阵。
步骤4：构成特征值矩阵将步骤1中求得的特征值按对角线排列成一个对角矩阵Λ，其它位置上的元素为0。
步骤5：对角化通过相似变换，即A=PΛP−1，将矩阵A变换为对角矩阵Λ。
这个过程中，矩阵P是特征向量矩阵，Λ是特征值矩阵。
矩阵对角化的意义和应用矩阵对角化在数学和工程中有着广泛的应用。
其主要意义在于简化问题的求解过程和分析矩阵的性质。
以下是矩阵对角化的一些具体应用：1.矩阵求幂一步计算: 对角化可以将矩阵的幂指数形式A n化简为PΛn P−1的形式，其中Λn是对角矩阵每个元素分别进行幂运算，大大简化了计算的复杂度。
2.线性差分方程的求解: 微分方程可以用矩阵表示，对角化可以将不易求解的高阶微分方程转化为一组一阶方程，从而简化求解过程。
矩阵相似对角化
例如，对于矩阵$A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$，其特征值为 $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3$，对 应的特征向量分别为$x_1 = begin{bmatrix} -2 -4 -6 end{bmatrix}, x_2 = begin{bmatrix} -1 -2 -3 end{bmatrix}, x_3 = begin{bmatrix} 1 2 3 end{bmatrix}$。选取可逆矩阵$P = begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 -6 & -3 & 3 end{bmatrix}$， 则有$P^{-1}AP = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$。
性质
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征多项式和特征值。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征子空间和特征向 量。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 行列式值。
相似矩阵的判定
如果一个矩阵具有n个线性无关 的特征向量，则该矩阵可相似 对角化。
如果一个矩阵的所有特征值都 是单重的，则该矩阵可相似对
矩阵分解
矩阵相似对角化是矩阵分解的一 种形式，可以将一个复杂的矩阵 分解为易于处理的几个部分，如 三角矩阵、对角矩阵等。
线性变换
矩阵相似对角化可以用于研究线 性变换的性质。通过对矩阵进行 相似对角化，可以了解线性变换 在各个方向上的拉伸、压缩、旋 转等效应。
5-3矩阵的相似对角化
（2） P A P 中的可逆阵 P 的各列 1 , 2 , , n 恰好是 A 的属于 j 的特征向量。
1
信息系 刘康泽
特别的，若 A 的特征多项式的根都是单根时, 有： 【推论 1】如果 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值 （或 A 的特征值都是其特征多项式的单根） 则 A 必与对 ， 角阵相似。 事实上，对 n 个互异的特征值各取一个特征向量，由 于 A 的不同特征值对应的特征向量线性无关，则得到 A 的 n 个线性无关的特征向量，故 A 必与对角矩阵相似。
j2
,
jn j
是 A 的属于特征值 j 的 n j n r ( j E A ) 个线性无
第三步： 如果
n
j 1
m
j
n ， A 没有 n 个线性无关的 则
特征向量，故 A 不可对角化； 如果 n j n ，则 A 有 n 个线性无关的特征向量，
j 1 m
故 A 可对角化。
征向量组中所含向量的个数为 n j ，j 1, 2, , m ， A 可 则 对角化的充分必要条件是： n j n 。
j 1 m
【推论 3】 如果 n 阶方阵 A 有 m 个互不相同的特征 值 1 , 2 , , m ， m n ，依次分别为 r1 , r2 , , rm 重特征 根，且 r j n ，则 A 可对角化的充分必要条件是
即
r
j 1
s
j
n , 或 [ n r ( j E A )] n ，
j 1
s
由上面的推论 2 即得结论。
一般地称 r j 为特征值 j 的代数重数，而称
n r ( j E A ) 为特征值 j 的几何重数，
线性代数 5-3 第5章3讲-相似矩阵(1)
(2) 若A ~ B，设f (x)am xm am1xm1 a1 x a0，则f ( A) ~ f (B；) (3) 若A ~ B，且A可逆，则B也可逆，且A1 ~ B1.
3
一、相似矩阵的定义及性质
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第三讲 相似矩阵(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 相似矩阵的定义及性质 02 方阵的相似对角化(1)
一、相似矩阵的定义及性质
定义5.3 设A 与B 都是n 阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵 A与B相似，记作A ~ B. 可逆矩阵P 称为相似变换矩阵.
5
一、相似矩阵的定义及性质
例2 若A与B相似，则
(A) E A E B
(C) A* B*
(B) E A E B
(D) A1 B1
解 选项(B)：由A与B相似得 P1AP B，
B
则P1( A)P B，这说明 A与 B相似.
根据定理5.2得 E ( A) E (B) ， 即 E A E B .
2 0 0 例4 判断A 1 3 1 能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵P，
1 0 1 使P1AP 为对角阵.
2 0 0
解 AE 1
1
3 1 (2 )(3 )(1 ) 0 1
1 1, 2 2, 3 3 A~
1
对1 1，A E 1
1
0 2 0
0 1 1 0 0 0
定理5.2 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同.
6
一、相似矩阵的定义及性质
矩阵相似对角化的条件
矩阵相似对角化的条件一、前言矩阵相似对角化是研究矩阵理论中的一个重要问题。
在数学、物理和工程学科中，矩阵相似对角化有着广泛的应用。
本文将从定义、性质与条件三个方面探讨矩阵相似对角化的相关条件。
二、定义矩阵相似对角化是将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
相似变换是指存在一个可逆矩阵P，使得相似变换前的矩阵A与相似变换后的矩阵B之间存在如下关系：B=P^-1AP其中，A与B是相似矩阵，P是相似变换矩阵。
三、性质1. 相似矩阵具有相同的特征值设A与B是相似矩阵，其相似变换矩阵为P，则有：|B-λE|=|P^-1AP-λE|=|P^-1AP-P^-1λEP|=|P^-1||A-λE||P|=0因此，相似矩阵A与B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。
2. 相似矩阵的特征向量基相同设A与B是相似矩阵，其相似变换矩阵为P，则有：AP=PB设x是A的特征向量，则有Ax=λx。
将其代入上式得：P^-1APx=P^-1PBx即B(Px)=λ(Px)，从而Px是B的特征向量。
因此，相似矩阵A与B的特征向量基是相同的。
3. 两个矩阵同时相似于一个对角矩阵设A、B和C是三个相似矩阵，其相似变换矩阵分别为P、Q和R，则有：B=Q^-1AQ, C=R^-1AR因此，有：C=(R^-1Q)Q^-1AQ(R^-1Q)^-1也就是说，A、B和C同时相似于对角矩阵。
四、条件矩阵相似对角化的条件具有如下几个方面：1. 矩阵可对角化如果一个矩阵能够对角化，那么就存在一个矩阵P，使得A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。
这意味着，A具有n个线性无关的特征向量。
2. 矩阵相似于对角矩阵如果A相似于对角矩阵D，那么相似变换矩阵P的列向量应该是A的特征向量。
3. 不同特征值的特征向量线性无关如果A的不同特征值的特征向量线性无关，那么就存在P，使得A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。
这是因为，在这种情况下，就有n个线性无关的特征向量可以组成相似变换矩阵P的列向量。
新5-3线性代数第三节相似矩阵及实对称阵的对角化
对应特征值 i (i = 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs = n知, 这样的特征向量共可得 n个.
(2) A = - 5 3 - 3
1 0 2
2- -1
2
A - E = 5 - 3 - 3 = - 13
-1
0 -2-
所以A的特征值为1 = 2 = 3 = -1.
把 = -1代入A - E x = 0, 解之得基础解系
= (1,1,-1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
=
4 -3
对应的特征向量,
即
Ax = x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量 ,
则 A x = A x = Ax = x = x.
于是有 xT Ax = xT Ax = xT x = xT x,
及 xT Ax = xT AT x = Ax T x = xT x= xT x.
1
1
0
,
1 0 1
则有
P -1 AP
=
-2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例3
设矩阵A
=
1 4
1 1
0 t ,
0 0 3
(1)求A100的特征值 .
(2)确定t,使A相似于对角阵 ，并求出 及可逆阵 P，
使 P-1AP = .
2. P -1A1 A2 P = P -1 A1P P -1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
相似于对角矩阵的条件
相似于对角矩阵的条件对角矩阵是一种非常特殊的矩阵形式，它的特点是只有主对角线上的元素非零，而其他位置的元素均为零。
因此，对角矩阵在矩阵运算中有着非常特殊的性质，比如方便进行矩阵乘法和求逆等操作。
而相似于对角矩阵的矩阵条件则是指，一个矩阵在相似变换下可以化为对角矩阵的条件。
通俗来说，就是当一个矩阵可以通过一个相似变换变成对角矩阵时，我们就称这个矩阵是相似于对角矩阵的。
那么，什么样的矩阵可以相似于对角矩阵呢？下面我们将从不同角度来探讨这个问题。
一、对角化定理对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆阵P，使得 $P^{-1}$AP是对角矩阵，即$P^{-1}$AP=D，则称矩阵A可相似对角化，其中矩阵D为A的相似标准形。
根据这个定义，我们可以得出一个结论：一个矩阵A可以相似于对角矩阵的充要条件是存在一个可逆阵P，使得$P^{-1}$AP是对角矩阵。
这个定理也是相似对角化的基本定理，对于很多线性代数问题，我们可以通过相似对角化的方法来求解。
二、特征值与特征向量对于一个n阶方阵A，设λ是它的一个特征值，v是对应的一个特征向量，那么我们有：Av=λv。
$\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$也就是说，A相似于对角矩阵D的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，且这些特征向量可以组成一个可逆矩阵P。
在实际问题中，我们可以通过求解特征值和特征向量的方法来判断一个矩阵是否可以相似于对角矩阵。
三、可对角化的充要条件总结一下，矩阵相似于对角矩阵的条件有很多种表述方式。
5-3相似矩阵
得基础解系
0
p1
0
,
1
所以kp1 (k 0)是对应于1 2的全部特征值.
§3 相似矩阵
当2 3 1时, 解方程( A E)x 0.由
2 1 0 1 0 1
A
E
4
2
0
:
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1
p2
2
,
1
所以kp2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征值.
33xx1166xx22
0 0
3x1 6x2 0
2
0
得基础解系1
1
,
2
0
.
0
1
§3 相似矩阵
将3 2代入 A E x 0,
得方程组的基础解系
1
3
1
.
1
由于 1,2 ,3 线性无关,所以A可以对角化.3 相似矩阵2 0 1
令
P
1,2
,3
1
0
1
,
证明
因A与B相似,即有可逆阵P,使得P1AP B.
故 B E P1AP P1 E P P1 A E P
P1 A E P A E .
§3 相似矩阵
推论 若n阶矩阵A与对角阵
1
2
O
n
相似,则λ1 ,λ2 ,…,λn即是A的n个特征值.
§3 相似矩阵
说明:若有可逆矩阵P ,使P-1AP=Λ为对角阵,则 Ak Pk P1, ( A) P ()P1
而对于对角矩阵Λ ,有
k
1
k
k 2 O
k n
,
()
(
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个重要的概念。
本文将介绍矩阵的相似和对角化以及它们在数学和实际问题中的意义。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指对于两个矩阵A和B，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
其中，P被称为相似变换矩阵。
相似的概念可以帮助我们判断矩阵之间是否具有一些相似的性质。
在矩阵相似的条件下，它们具有以下几点性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值：设A和B是相似矩阵，若c是A的特征值，则c也是B的特征值。
2. 相似矩阵具有相同的特征多项式：特征多项式是一个与矩阵相关的特征方程，相似矩阵的特征多项式相同。
3. 相似矩阵具有相同的迹和行列式：设A和B是相似矩阵，它们的迹和行列式相等。
相似的概念在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。
通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和求解问题。
而且，相似关系也有助于我们研究矩阵的特征值和特征向量，进一步分析矩阵的性质和应用。
二、矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为一个对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角元素都为0。
对于一个n阶方阵A，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，则称A可对角化。
对角化的过程可以表示为A = PDP^-1。
其中，D是由A的特征值按对角线排列而成的对角矩阵。
一个矩阵是否可以对角化，与它的特征值和特征向量密切相关。
对角化的条件如下：1. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量的个数等于n，则A可对角化。
2. 若矩阵A的特征向量的个数少于n，则A不可对角化。
对角化的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵简化为一个对角矩阵，从而更容易进行计算和分析。
对角化还有助于我们研究矩阵的性质和应用，比如求解线性方程组、计算幂矩阵等。
(完整版)5-3.4相似矩阵
证 设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为 使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0
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因此 i k ij x ij 0, i 1,2,, m .
j 1
ri
而 xi 1 , xi 2 ,, xir 线性无关, 从而
i
kij 0, i 1,2,, m; j 1,2,ri .
所以上述向量线性无关. 即属于不同特征值的特征向量线性无关. 推论 在复数范围内, n阶矩阵相似于对角形矩 阵的充分必要条件是每个特征值的几何重数 等于它的代数重数.
1 2 m
则上述特征向量线性无关.
证明 若存在一组数 k11 , k12 ,, k1r ; k21 , k22 ,, k2 r ;; km1 , km 2 ,, kmr ,
1 2 m
使得 k11 x11 k1r x1r k 21 x21 k 2 r x2 r
1 1 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
k m 1 xm 1 k mr xmr 0 (*)
m m
令 i k ij xij , i 1,2,, m .
j 1
ri
1 2 m 0 则(*)可写成 则这m个向量必为零向量. 否则若i 0(1 i m), 则i必是A的特征向量. 说明属于互异特征值的 特征向量是线性相关的, 与定理3.2矛盾.
主要内容点播
矩阵相似变换下化为对角形
一.矩阵相似变换下化为对角形
对n阶矩阵A的特征值及属于的特征向量x, 有 Ax x . 矩阵A相似于一个对角矩阵的条件 1 2 相当于 Api i pi 1 P AP (i=1, 2, …, n). n
定理 3.1 n阶矩阵A与对角矩阵相似A有n个 线性无关的特征向量. 证明 ()若A有n个线性无关的分别属于特征值1, 2, …, n的特征向量x1, x2, …, xn, 以x1, x2, …, xn为列向量作矩阵P=(x1, x2, …, xn), 显然P满 秩. 且
AP ( Ax1 , Ax2 ,, Axn ) (1 x1 , 2 x2 ,, n xn )
k11 x1 k22 x2 km m xm 0 (2)
(1)两端同乘m(令m0), 得 k1m x1 k2m x2 km m xm 0 (3) (3)(2)得 k1 (m 1 ) x1 k 2 (m 2 ) x2
k m 1 (m m 1 ) xm 1 0 由假设x1, x2, …, xm1线性无关, 且mi 0, 因此 k1 k2 km1 0 k m xm 0 这样(1)变为
定义 设0是n阶方阵A的r重特征根, 数r称为特 征值0的代数重数. 属于特征值0的线性无关的 特征向量的个数称为特征值0的几何重数.
定理3.3 任一特征值的几何重数不超过代数重数. (不要求会证.) 定理3.4 设1, 2, …, m是n阶矩阵A的m个互异 的特征值, A的属于i (i=1, 2, …, m)的线性无关 的特征向量分别为 x11 , x12 ,, x1r ; x21 , x22 ,, x2 r ;; xm1 , xm 2 ,, xmr ,
1 2 x1 x 2 x n n 1 2 P 即 1 2 1 . n P AP n 必要性逆推即得.
注：若n阶矩阵的某一特征值的几何重数小于 它的代数重数, 那么此矩阵线性无关的特征向 量总个数就小于n, 就不能通过相似变换化为对 角形矩阵. 而实对称矩阵总可用相似变换化为 对角形矩阵.
二.实对称矩阵的特征值与特征向量p221.
定义 对复数域上的矩阵(或向量)取共轭就是 对它的每个元素取共轭. 记为 A (aij ) mn , 并称 A 是A的共轭矩阵.
定理 3.2 设1, 2, …, m是n阶矩阵A的m个互 异的特征值(mn), 则分别属于它们的特征向 量x1, x2, …, xm必线性无关.
证明: 数学归纳法 m=1时, 一个非零向量总是线性无关的. 成立. 假设对m1个互异的特征值定理成立. 要证 明对m个互异的特征值结论成立, 即证m个特 征向量x1, x2, …, xm线性无关. 设 k1 x1 k2 x2 km xm 0. (1) 由 Axi i xi (左乘A)得
注：证明中1, 2, …, n的顺序与x1, x2, …, xn 对应. 不管顺序如何, 对角矩阵的主对角线元 素总是A的n个特征值. 因此在不考虑顺序时, 与矩阵A相似的对角阵唯一.
问题：是否任一n阶矩阵都有n个线性无关的 特征向量呢? 1 1 0 只有两个线性无 §2例1中矩阵A 4 3 0 关的特征向量. 1 0 2 1 2 2 §2例2中矩阵 有三个线性无 B 2 1 2 2 2 1 关的特征向量.
而xm0, 故 km=0. 因此 x1, x2, …, xm线性无关.
所以结论对任何自然数m都成立.
推论 在复数范围内, 如果n阶矩阵A有n个互异 的特征值(均为特征方程的单根), 在A定能通过 相似变换化为对角形矩阵. 推论给出了方阵相似于对角形矩阵的一个充 分条件, 但不是必要条件.
§2例2中矩阵B有一个二重特征值1, 它仍 有三个线性无关的特征向量. 用这三个向量作 为列向量构造满秩矩阵P, 则P –1AP必为对角阵. 例1中矩阵A也有二重特征值1, 但属于1的线性 无关的特征向量的个数只有一个. 这样A的线 性无关的特征向量的个数不足3个, A不能用相 似变换化为对角形.