5-3 矩阵相似变换下化为对角

定义 设0是n阶方阵A的r重特征根, 数r称为特 征值0的代数重数. 属于特征值0的线性无关的 特征向量的个数称为特征值0的几何重数.
定理3.3 任一特征值的几何重数不超过代数重数. (不要求会证.) 定理3.4 设1, 2, …, m是n阶矩阵A的m个互异 的特征值, A的属于i (i=1, 2, …, m)的线性无关 的特征向量分别为 x11 , x12 ,, x1r ; x21 , x22 ,, x2 r ;; xm1 , xm 2 ,, xmr ,
1 2 x1 x 2 x n n 1 2 P 即 1 2 1 . n P AP n 必要性逆推即得.
1 2 m
则上述特征向量线性无关.
证明 若存在一组数 k11 , k12 ,, k1r ; k21 , k22 ,, k2 r ;; km1 , km 2 ,, kmr ,
1 2 m
使得 k11 x11 k1r x1r k 21 x21 k 2 r x2 r
1 1 2 2
k m 1 xm 1 k mr xmr 0 (*)
m m
令 i k ij xij , i 1,2,, m .
j 1
ri
1 2 m 0 则(*)可写成 则这m个向量必为零向量. 否则若i 0(1 i m), 则i必是A的特征向量. 说明属于互异特征值的 特征向量是线性相关的, 与定理3.2矛盾.
注：若n阶矩阵的某一特征值的几何重数小于 它的代数重数, 那么此矩阵线性无关的特征向 量总个数就小于n, 就不能通过相似变换化为对 角形矩阵. 而实对称矩阵总可用相似变换化为 对角形矩阵.
二.实对称矩阵的特征值与特征向量p2百度文库1.
定义 对复数域上的矩阵(或向量)取共轭就是 对它的每个元素取共轭. 记为 A (aij ) mn , 并称 A 是A的共轭矩阵.
因此 i k ij x ij 0, i 1,2,, m .
j 1
ri
而 xi 1 , xi 2 ,, xir 线性无关, 从而
i
kij 0, i 1,2,, m; j 1,2,ri .
所以上述向量线性无关. 即属于不同特征值的特征向量线性无关. 推论 在复数范围内, n阶矩阵相似于对角形矩 阵的充分必要条件是每个特征值的几何重数 等于它的代数重数.
定理 3.2 设1, 2, …, m是n阶矩阵A的m个互 异的特征值(mn), 则分别属于它们的特征向 量x1, x2, …, xm必线性无关.
证明: 数学归纳法 m=1时, 一个非零向量总是线性无关的. 成立. 假设对m1个互异的特征值定理成立. 要证 明对m个互异的特征值结论成立, 即证m个特 征向量x1, x2, …, xm线性无关. 设 k1 x1 k2 x2 km xm 0. (1) 由 Axi i xi (左乘A)得
注：证明中1, 2, …, n的顺序与x1, x2, …, xn 对应. 不管顺序如何, 对角矩阵的主对角线元 素总是A的n个特征值. 因此在不考虑顺序时, 与矩阵A相似的对角阵唯一.
问题：是否任一n阶矩阵都有n个线性无关的 特征向量呢? 1 1 0 只有两个线性无 §2例1中矩阵A 4 3 0 关的特征向量. 1 0 2 1 2 2 §2例2中矩阵 有三个线性无 B 2 1 2 2 2 1 关的特征向量.
定理 3.1 n阶矩阵A与对角矩阵相似A有n个 线性无关的特征向量. 证明 ()若A有n个线性无关的分别属于特征值1, 2, …, n的特征向量x1, x2, …, xn, 以x1, x2, …, xn为列向量作矩阵P=(x1, x2, …, xn), 显然P满 秩. 且
AP ( Ax1 , Ax2 ,, Axn ) (1 x1 , 2 x2 ,, n xn )
k11 x1 k22 x2 km m xm 0 (2)
(1)两端同乘m(令m0), 得 k1m x1 k2m x2 km m xm 0 (3) (3)(2)得 k1 (m 1 ) x1 k 2 (m 2 ) x2
k m 1 (m m 1 ) xm 1 0 由假设x1, x2, …, xm1线性无关, 且mi 0, 因此 k1 k2 km1 0 k m xm 0 这样(1)变为
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矩阵相似变换下化为对角形
一.矩阵相似变换下化为对角形
对n阶矩阵A的特征值及属于的特征向量x, 有 Ax x . 矩阵A相似于一个对角矩阵的条件 1 2 相当于 Api i pi 1 P AP (i=1, 2, …, n). n
而xm0, 故 km=0. 因此 x1, x2, …, xm线性无关.
所以结论对任何自然数m都成立.
推论 在复数范围内, 如果n阶矩阵A有n个互异 的特征值(均为特征方程的单根), 在A定能通过 相似变换化为对角形矩阵. 推论给出了方阵相似于对角形矩阵的一个充 分条件, 但不是必要条件.
§2例2中矩阵B有一个二重特征值1, 它仍 有三个线性无关的特征向量. 用这三个向量作 为列向量构造满秩矩阵P, 则P –1AP必为对角阵. 例1中矩阵A也有二重特征值1, 但属于1的线性 无关的特征向量的个数只有一个. 这样A的线 性无关的特征向量的个数不足3个, A不能用相 似变换化为对角形.