相似矩阵与矩阵可对角化的条件

即i 0(i 1, 2,L n).因此，i是A的属于特征值i的特征向量， 并且1,2, L ,n线性无关.
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充分性：设1,2, L ,n是A的n个线性无关的特征向量，它们对应的
特征值依此为1, 2, L , n.记矩阵P=(1,2, L ,n ). 则P可逆.
而
AP =A(1,2, L ,n )
=(A1, A2 , L , An )
中恰含有ni个特征值.
例2 在上节例4中，我们已求得矩阵
3 2 4
A
2
0
2
4 2 3
的特征值1 2 1(二重)和3＝8.A的属于特征值(-1)的特征向量为
1＝（-1，2，0）T ,2＝（-1，0，1）T .A的属于特征值8的特征向量为
3＝（2，1，2）T .根据定理4.10，A可对角化.实际上，设
证 由A : B，存在可逆矩阵P，有P-1AP B，于是 Bm (P-1 AP)m (P-1 AP)(P-1 AP)L (P-1 AP) P-1 Am P. 所以Am : Bm.
对于相似矩阵还有以下性质： 1. 相似矩阵的行列式相等. 2. 相似矩阵的秩相等. 3. 相似矩阵或都可逆或都不可逆.
证明 必要性 : 设A ~ .其中
diag(1, 2 L n ) 则存在可逆矩阵P, 使得
P1AP ,或AP P.
（4.10)
把矩阵P按列分块，记P
(1,2 , L
,
n
)，其中
是P的第j列
j
则（4.10）可以写成
1
A(1,2 , L
,n )=(1,2 , L
,
n
)
2
O
n
由此可得Ai ii (i 1, 2,L n).因P可逆，P必不含有零列.
0 0 1
例4
设矩阵A
x
1
y
可相似于一个对角矩阵，试讨论
1 0 0
x,y应满足的条件.
解 矩阵A的特征多项式
0 1 det(E A) x 1 y ( 1)2( 1)
1 0
所以，A的特征值为1 2 1, 3 1.根据定理4.10，对于 二重特征值1 2 1，矩阵A应有两个线性无关的特征向量.
4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件
对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶 矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A 的许多原有的性质，在理论和应用方面都具 有重要意义
一.相似矩阵及其性质
定义4.3 设A,B为n阶矩阵.如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P－1 AP＝B
则称矩阵A与B相似，记作A : B.
故对应齐次线性方程组(E-A)X=0的系数矩阵(E-A)的秩r(E-A)=1.
又
1 0 -1 1 0
E-A=
-x
0
-y
0
0
-1 0 1 0 0
由此可得：A可对角化时，必有x y 0.
-1
x+y
0
相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质：
设A,B,C为n阶矩阵，则
1.反身性 A : A
证明 由E1AE A,可以直接得到结论.
2.对称性 如果A : B，则B : A
证明 由A : B可知，存在可逆矩阵P，有P-1AP B. 于是，A PBP1 (P1)1 BP1，所以B : A.
3.传递性 如果A : B, B : C，则A : C.
证明 由A : B, B : C,必存在n阶可逆矩阵P,Q，有 P1AP B,Q1BQ C.
于是Q（1 P1AP）Q C.即(PQ)1 A(PQ) C. 由此可得，A : C.
相似矩阵还有下面的性质：
定理4.7 设矩阵A : B,则A, B之间具有相同的特征值.
在矩阵A的特征值中有重根的情形，可设A的所有
不同特征值为1，2 L m (m n).而i是A的ni重
特征值.于是n1 n2 L nm n.
如果对应每一个相异特征值i(i 1, 2,....m), 特征矩阵 (iE-A)的秩等于n-ni , 则齐次方程组(iE-A)X=0的基
础解系一定含有ni个线性无关的特征向量.由定理4.5， 矩阵A就有n个线性无关的特征向量，这时，矩阵A 一定可以对角化. 反之，如果矩阵A相似于对角矩阵，则可以证明：
对A的ni重特征值i (i 1, 2,L m),矩阵(iE-A)的秩恰
为n-ni ,总结可得
定理4.10 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是
对于A的每一个ni重特征值i ,特征矩阵(iE-A)的秩为n-ni.
也可以叙述为：n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于
A的每一个ni重特征值i ,齐次线性方程组(iE-A)X=0的基础解系
-1 -1 2 1
P=(1，
2
,
3
)=
2
0
0
1
,
1 2
1
8
则P1AP .
例3 在上节例5中，我们求得矩阵
1 1 1
A
0 0
2 0
13
的特征值1 2 1, 3 2, 但是A的属于二重特征值1的线性无关的
向量只有1＝（1，0，0）T .由定理4.10，可知A不能对角化.
二.矩阵可对角化的条件
如果n阶矩阵A可以与相似于一个n阶对角矩阵, 则称 A可对角化. 称为A的相似标准形（矩阵）.
由例1说明，如果适当选取可逆矩阵P，就可能使P1AP 成为对角矩阵然而，并非所有的n阶矩阵都可以对角化. 下面将讨论矩阵可对角化的充要条件.
定理4.9 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条 件是A有 n个线性无关的特征向量
=(11, 22 , L , nn ).
1
=(1,2 , L
,
n
)
2
O
n
两边左乘P1，得P1AP .即矩阵A与对角矩阵相似.
推论 如果n阶矩阵A有n个互不相同得特征值1，2 L n， 则A与对角矩阵相似.其中的主对角线的元依此是1，2 L n.
应注意，由n阶矩阵A可对角化，并不能断定A 必含有n个互不相同的特征值.
例1
设
A
3 5
4 2
，P=
1 1
21 , Q
4 5
11，则矩阵P, Q都可逆，
由P1
AP
1 1
11 3
2
5
4 1
2
1
1
2
1 2
9 4
.
可知A :
1
2
9
4
.
又
Q 1
AQ
4 5
11 3
1
5
4 4
2
5
1 2
1
0
0 7
.所以A
:
2
0
0
7
由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是 对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P， 就可能使 P1AP 成为对角矩阵
证明 只需证明 A, B具有相同的特征多项式.实际上， 由A : B必存在可逆矩阵P，使得P1AP＝B，于是
det(E-B)=det(E-P 1 AP)=det(P 1 (E-A) P) =det(P1) det(E-A) det（ P)＝det(E-A).
所以，A,B具有相同的特征值.
定理4.8 设矩阵A : B,则Am : Bm ,其中m为正整数.