相似矩阵与矩阵可对角化的条件

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矩阵相似于对角矩阵的条件

矩阵相似于对角矩阵的条件矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种关系，即它们有着相同的特征值和特征向量。

在实际应用中，矩阵相似性常常被用于矩阵的对角化，即将一个矩阵转化为对角矩阵的形式，以方便计算和分析。

本文将介绍矩阵相似于对角矩阵的条件及其应用。

一、矩阵相似的定义设A、B是两个n阶矩阵，若存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，记为AB。

其中，P-1表示P的逆矩阵。

矩阵相似是一种等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。

具体而言，对于任意n阶矩阵A，有AA（自反性）；若AB，则BA（对称性）；若AB，BC，则AC（传递性）。

根据矩阵相似的定义，我们可以得出以下结论：- 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量。

- 相似矩阵具有相同的秩、迹、行列式、特征多项式和伴随矩阵。

二、对角矩阵的定义对角矩阵是指只有对角线上有非零元素，其余元素均为零的矩阵。

例如：$$begin{bmatrix}a_1 & 0 & 00 & a_2 & 00 & 0 & a_3end{bmatrix}$$对角矩阵具有很多优良的性质，例如易于计算行列式、逆矩阵和幂等等。

三、相似于对角矩阵的条件一个矩阵A相似于对角矩阵的条件是存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D为对角矩阵。

具体而言，相似于对角矩阵的条件有以下两个定理：定理1：设A为n阶矩阵，则A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

证明：若A相似于对角矩阵D，则A和D有相同的特征多项式和特征值。

设λ1，λ2，...，λk（k≤n）为A的所有不同特征值，对于每个特征值λi，都可以找到一个属于它的特征向量组成的集合Vi。

因此，A的所有特征向量的集合可以表示为V1∪V2∪...∪Vk，其中V1，V2，...，Vk两两之间线性无关。

由于A有n个特征向量，因此k=n，即A有n个线性无关的特征向量。

相似矩阵和矩阵对角化的条件

3 0 0 1 ,2 ,3线性无关，三个， A ~ 0 1 0 ，共 0 0 1 0 2 -1 相应的可逆阵 (1,2,3 ) 1 1 0 P 1 0 1
例2
1 1 0 A 4 3 0 是否和对角矩阵相似．判断矩阵 1 0 2 若相似，求出可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP .
三. 矩阵可对角化的条件
条件1(充要条件）：A有n个线性无关的特征向量．
证明：必要性
若 A
1 , n
~
2
则存在阶可逆矩阵， n P
使得P1AP . 设P (1 , 2 ,, n )
显然， i (i 1, 2,, n) , 且1 ,2 ,,n 线性无关．
设P (1 , 2 ,, n )
由于 1 ,2 ,,n 线性无关，故Ｐ可逆．于是，
AP A(1 ,2 ,,n )
( A1 , A2 ,, An ) (11 , 22 ,, n n )
AP (11 , 22 ,, nn )
i
i 是A的特征值，i 是A的属于 i 的特征向量．
又 1 , 2 ,, n 线性无关
A有n个线性无关的特征向量
充分性
设Ａ有n个线性无关的特征向量：1 , 2 ,, n , 它们所对应的特征值依次为： 1 , 2 ,, n , 则有
Ai ii (i 1, 2,, n)
第二节
相似矩阵和矩阵对角化的条件
一．相似的定义设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得
P AP B
记作 A B 则称A相似于B．
1

相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件

【注】逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
1
1 0 2
例2 判断 A 1 2 1 是否可以相似对角化.
1
3
0
解：解出A的特征值为 1 1 ，2 1(二重)
属于特征值-1的特征向量为
3
1 1
0
属于特征值 1 的特征向量为
1
2 0
1
因为仅有2个线性无关的特征向量
所以，A不能相似于对角阵.
定理2 矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
若A～B , 则 ( A) ~ (B)
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
Ak P k P1, ( A) P() P1. 对于对角矩阵,有
k
1
( )
1
k
k 2
,
()
( ) 2
,
定理3 设是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于的
线性无关的特征向量最多 k 个.
即设 A 的不同的特征值：
1，2，… m
重数分别为：
k1，k2，… km
线性无关特征向量的个数： s1，s2，… sm
则有 si ki ， i=1,2,…,m，及
s1＋ s2＋ … ＋ sm k1＋ k2＋ … ＋ km n

必可相似对角化的条件

必可相似对角化的条件在数学的世界里，有些东西就像是交响乐团里的乐器，和谐又美妙。

说到对角化，简直就是这场音乐会的主旋律，特别是那种必可相似对角化的条件，简直让人想跳起来欢呼。

想象一下，如果一个矩阵能被对角化，那简直就像你在找到一块宝藏，打开那扇神秘的门，里面全是闪闪发光的黄金。

不过，别着急，先把这事儿弄明白了再说。

咱们得聊聊什么叫“相似”。

对，你没听错，就是“相似”这俩字儿。

一个矩阵如果能跟另一个矩阵“长得像”，那就说它们是相似的。

这就好比你和朋友合照时，你俩都做个鬼脸，结果发现你们的脸型、发型都差不多，嘿，真有点相似的感觉。

矩阵相似就意味着，它们描述的是同样的线性变换，只不过换了个外衣。

对角化呢，就是把这个外衣换成了一个更简单的样子，方便咱们去研究。

那什么情况下，咱们才能确保一个矩阵能“顺利”对角化呢？这就要说到特征值和特征向量了。

想象一下，特征值就像是一把钥匙，特征向量就是那扇门。

要想打开这扇门，你得确保钥匙足够多。

也就是说，矩阵的特征值必须是“重根”，这个重根就像是那些吃了灵丹妙药的仙人掌，根深叶茂。

要不然，你可能只能在门口徘徊，无法进去，真是让人沮丧。

好，咱们再深入点，谈谈几何重数。

它可不是随便一个数。

几何重数就是特征向量的数量，只有特征值的几何重数和代数重数相等，才能确保矩阵能够成功对角化。

想象一下，参加派对的朋友如果都带上了不同的礼物，最后大家都能开开心心地享受派对。

可如果有人没带礼物，那气氛可就尴尬了。

所以说，特征值的几何重数必须跟代数重数“齐心协力”，才能把对角化的这件大事儿给办妥了。

咱们会碰到一些特殊的矩阵，比如说对称矩阵。

这种矩阵就像是那种完美的情侣，互相欣赏，互相映衬。

对称矩阵总能找到足够的特征向量，保证它们可以完美地对角化。

简直就是数学里的“天作之合”，对吧？你要知道，任何对称矩阵都能被对角化，真是一个无条件的爱啊！这可不是每个矩阵都能享受到的待遇。

再说了，什么叫可对角化？可对角化的矩阵就是可以被变换成对角矩阵的那种“幸运儿”。

关于矩阵等价、合同、相似以及可对角化的性质和判别条件的总结

是
判
求出r iE A，
别
k n r iE A是否成立
程
否
序
A可对角化
A的特征值全为正数 A的顺序主子式全大于0
0
A
a11a22 L
L
ann
aii 0,i 1, 2,L L , n.
5.矩阵A与B相似：即可逆矩阵P，使得B P1AP.
r A r B
A、B具有相同的特征多项式，即
E
A
E
B
矩阵A、B具有许多相同的性质
A、B具有相同的特征值 AB
A
A为实对称矩阵
必可以与对角矩阵相似必可以用正交变换对角化 3.实对称矩阵A的性质不同特征值的特征向量必线性无关且正交
特征值全为实数对应的特征向量全为实向量
k重特征值必有k个线性无关的特征向量
合同于单位矩阵，即可逆矩阵C，使得A CTC
A的正惯性指数等于n
4.n阶实对称矩阵A为正定矩阵
矩阵A与B的相似问题一般只对实对称矩阵而言，
即矩阵A与B均为实对称矩阵。
实对称矩阵A与B相似 A与B具有相同的特征值
此外还可以根据A与B相似的必要条件进行判别
A
Ann
是
否
是
A是否为实对称矩阵
可
否
对由A的特征多项式 E A 是
角求出A的所有特征值，A是
化否有n个不同的特征值
否
的
对于A的k重特征值i
tr A tr B,即： aii bii
A1 : B1、AT : B、A* B、f ( A) f (B)于实对称矩阵A、B，A : B A与B合同，反之不成立
A : B A和B具有相同的特征值 A与B合同

矩阵可以相似对角化的充要条件

矩阵可以相似对角化的充要条件
矩阵可以相似对角化的充要条件【一个矩阵An可相似对角化的充分必要条件有两个：一是An有n个线性无关的特征向量，二是An的k重特征值满足n-r(E-A)=k。

相似对角化的概念
矩阵的相似对角化，是一种基变换，或者说是坐标系变换，本质上是将线性变换在原坐标系（标准坐标系）中的表示变换为在新的坐标系下的表示，而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组线性无关的特征向量作为基建立的。

可相似对角化矩阵的介绍
可相似对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。

如果一个方块矩阵A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵P 使得P （-1）AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

如果V 是有限维度的向量空间，则线性映射T ：V →V 被称为可对角化的，如果存在V 的一个基，T 关于它可被表示为对角矩阵。

对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。

可相似对角化的充分条件
除了充要条件外，一个矩阵An可相似对角化的充分条件是：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

充分必要条件的概念
充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。

如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件(简称：充要条件)，反之亦然。

精选】。

第二十五讲方阵相似于对角阵的充分必要条件

7
得当
时，齐次线性方程组为
得基础解系
当
时，齐次线性方程组为
得基础解系
8
线性无关
即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。
相似变换矩阵
相似对角阵
9
当得基础解系
时，解所以不能化为对角矩阵.
10
实对称矩阵的相似对角化
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
定理2 设A为 n 阶实对称矩阵，λ是A的特征方程的r 重根,则矩阵A-λE的秩R(A-λE)=n-r，从
4
Step2 : 对 A 的基础解系, 设为 pi1 , pi 2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s ) . 以这些向量为列构造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1 ,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
12
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
p1
1
对 2 3 4,由A 4E x 0,得基础解系 1
1
p2
0
,
0
0
p3
1
.
1
0 1 0
2 0 0
记P
p1 ,
p2 ,
p3
1
0
1
则
P 1 AP
0
4
0
.
1 0 1
Λ diag(λ1,,λ1, λ2,,λ2,, λs ,,λs ),
n1
n2
ns
5
则 P-1AP = . 要注意矩阵 P 的列与对角矩阵主对角线
上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.

相似矩阵与矩阵的对角化

相似矩阵与矩阵的对角化
用A左乘式（6-11），得 x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0 x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12）式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得 x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0 按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－ λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得 xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得 xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关. 因此有以下定理：
相似矩阵与矩阵的对角化
解若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人员总数（单位：万人），则已知
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵与矩阵的对角化
一、相似矩阵的概念
定义6-5
对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P－1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B. 矩阵的相似是一种等价关系c，满足以下三个性质：（1）反身性：A与自身相似. （2）对称性：若A与B相似，则B与A相似. （3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.
在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：
相似矩阵与矩阵的对角化
自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若 A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有

线性代数3.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件

取
2 1 2 ， 1 1 1 。 A 0 2 3 0 0 1 8
属于2的特征向量为属于1的线性无关特征向量为 T 1 (1, 0, 0)T 3 (1, 1, 0) 根据定理4.1知该矩阵不可对角化。
特征值 1 2 （二重） 1
1 1 1 1 1 1 1 1 31 31 2 1 0 32 2 3 2 62 94 62 2 0 1 32 2 2 11 62 62 30
有 A 1 ~ B 1 。定理3.7 设 A ~ B ，则矩阵 A, B具有相同的特征多项式，具有相同的特征值。证明： A ~ B P 1 AP B 从而具有相同的特征值。 det(E B) det(E P 1 AP ) det( P 1 (E A) P) det( P 1 ) det(E A) det P det(E A) 这表明矩阵 A, B 具有相同的特征多项式，
所以 A ~ B 。
附注1：对于可逆矩阵 Q 4 1 ， 5 1 可以有
4 1 3 4 4 1 2 0 Q AQ C 5 1 5 2 5 1 0 7
1
1
于是 A ~ C 。附注2： 1）与矩阵A相似的矩阵不是唯一的，也不都全是对角矩阵； 2）可以构造许多矩阵与A相似，哪些可以得到
1
1 3 2 5 10 1 6 1
1
4 1 1 2 1 3 4 1 1 2 1 2 1 1 5 2 1 2 1 1 9 B 2 2 4

第三讲：相似矩阵与对角化

主讲人：同济大学殷俊锋相似矩阵及可对角化是线性代数中的非常重要的知识点包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、相似对角化的方法，实对称矩阵的特征值、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵等基本概念.广泛用于今后惯性定理、用正交变换化二次型为标准型等高级知识.一、知识要点1、定义:设A和B是两个n阶方阵，如果存在可逆矩阵P满足B=P-1AP，则称矩阵A和B是相似的，记作A～B. 矩阵的相似关系是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性.设A～B，则有（1）矩阵A和B具有相同的行列式；（2）矩阵A和B具有相同的特征多项式、特征方程以及相同的特征值；（3）A T～B T，A-1～B-1（可逆时），一般地，若φ(t)=a0+a1t+a2t2+…+a m t m，则有φ(A) ～φ(B).2、矩阵可相似对角化的充分必要条件若矩阵A和对角矩阵Λ是相似的，则称矩阵A可对角化.定理设A是一个n阶方阵，则A 可对角化的充分必要条件是：A有n 个线性无关的特征向量.由于不同特征值对应的特征向量一定是线性无关的，因此，当矩阵A的特征值互异时，必可相似对角化.定理设A是一个n 阶方阵，则A 可对角化的充分必要条件是：对于A 的任意一个k重特征值λ，矩阵A 的属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数为k，即r(A-λ E) =n-k.将矩阵相似对角化的方法：设n 阶方阵有n 个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn ，对应的特征值分别为λ1,λ 2,…,λ n ，即A ξ1=λ1 ξ1 (i =1,2,…,n)，则有若记（可逆），则.需要注意的是：①相似矩阵P 不唯一；②矩阵P 的列与对角矩阵Λ的列的对应关系.()()()()121212112212,,,,,,,,,,,,λλξξξξξξλξλξλξξξξλ⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭n n n n n n A A A A ()12,,,ξξξ=n P 121λλλ-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n P AP3、实对称矩阵的性质（1）特征值全为实数；（2）不同特征值对应的特征向量必正交；（3）A必可正交相似于一个对角阵，即存在正交矩阵P，使得P-1AP=P T AP=Λ，其中Λ是以A的特征值为对角元的对角矩阵.4、将n阶对称实方阵A正交相似对角化的方法（1）求出矩阵A 的互异特征值λ1,λ 2,…,λ n，其重数分别为k1,k2,…,k n （k1+k2+…+k n =n）；（2）对每个特征值λi，求齐次线性方程组(A-λi E) x=0 的基础解系，得矩阵A 的属于特征值λi的k i个线性无关的特征向量，将其正交化，单位化，得k i 个两两正交的单位特征向量，一共可以得到n个两两正交的单位特征向量；（3）将（2）中得到的n 个两两正交的单位特征向量按列构成正交矩阵P，则有P-1AP=P T AP=Λ，注意Λ中的对角元的排列次序与矩阵P中的列向量的排列次序相对应.特别地，如果矩阵A的特征值为λ1,λ 2,…,λ n互异，则只需要将对应的特征向量单位化即可(特征向量已经正交).二、教学要求1、理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件；2、掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；三、例题精讲例1、矩阵与相似的充分必要条件是解：由于已知矩阵都是对称矩阵，且1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭a a b a a 20000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b ()()21111022111111λλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎪⎡⎤-=-=-=----⎣⎦ ⎪⎪--⎝⎭a a ab a E a b a a b a b a a a a 故，矩阵相似两个矩阵具有相同的特征值，的根为0，2，b ，⇔⇔⇔()()2220λλλ⎡⎤----=⎣⎦b a 0=a例2、设矩阵可对角化,则a,b 满足什么条件？解：先求特征值0011100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A a b ()()20111110λλλλλλ--=-=--+-A E a b 故矩阵A 的特征值为：1（2重），-1，所以,矩阵A 可对角化属于特征值1的线性无关的特征向量的个数为2()1⇔-=r A E ⇔另一方面，101101()000101000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E a b a b 所以，a+b=0.例3、设为3阶方阵,且,求.解:由题意,可知矩阵A 20,20,30+=+=-=A E A E A E A 2001~002003A -⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从而()123 3.2⎛⎫=--= ⎪⎝⎭A例4、求可逆矩阵P 将方阵对角化.解：先求特征值200121143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 当时，()()220012121143λλλλλλ--=--=--+--A E 故矩阵A 的特征值为：2（2重），-1，2λ=0002141,141⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 12411,0;01ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，当时，1λ=-300111,144⎛⎫ ⎪+=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 301,1ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解得，所以，所求矩阵410101,011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 1200020.001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P AP 使得例5、设,求.解：先求特征值111111111-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ()21111113111λλλλλλ---=---=-+---A E 10A 当时，0λ=1110111,111-⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A E 12111,0;01ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，当时，3λ=-2113121,112⎛⎫⎪+=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 311;1ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解得，111101,011-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 1000000.003-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭A P P 所以,找到矩阵使得10101110110000000031110001111010001010110030111113111111--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A P P 从而例6、设矩阵问为何值时，矩阵A 可对角化？解：矩阵A 的特征多项式为：102014.522⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+--⎝⎭A a a a 故特征值为，下面分三个情形.a ()[]1021020142110(1)(2)(21)522522λλλλλλλλλλλ---=-=---=-----+---+---A E a a a a a a a 1,2,21-a情形1 当，即，时，矩阵A 有三个不同的特征值，此时A 可对角化；情形2 当，即，时，矩阵A 的特征值为1和2（二重），此时211,2-≠a 31,2≠a 矩阵A 的属于特征值2的线性无关的特征向量只有一个，故A 不可对角化；212-=a 32=a ()1022014,(2)2,137122⎛⎫⎪-⎪-=--= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭A E r A E情形3 当，即，时，矩阵A 的特征值为1（二重）和2，此时矩阵A 的属于特征值1的线性无关的特征向量只有一个，故A 不可对角化；211-=a 1=a ()002004,()2,631A E r A E ⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭综上，当时，矩阵A 可对角化.31,2≠a例7、设A 为3阶矩阵，是3个线性无关的三维列向量，且满足解：（1）由已知条件得：所以矩阵123,,ααα1123223323,2,23.αααααααααα=++=+=+A A A （1）求矩阵B , 使得；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P 使得P -1AP 为对角阵.()()123123,,,,αααααα=A B ()()123123100,,,,122,113αααααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 100122.113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B（2）记，因是3个线性无关的三维列向量，故矩阵可逆. 由(1)知：即B 与A 相似，B 与A 具有相同的特征值. 另一方面,123,,ααα()1123,,ααα=P 1P 11111,,-==AP PB B P AP ()()210012214,113λλλλλλ--=-=----B E 故矩阵B 的特征值为1,1,4，所以矩阵A 的特征值也为1,1,4；当时，相应的特征向量为11λ=()000112112000,112000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B E ()()121,1,0,2,0,1,ξξ=-=-T T 当时，相应的特征向量为24λ=()3001004122011,111000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B E ()30,1,1,ξ=T（3）先将矩阵B 对角化，()2123,,,ξξξ=P 令则有122100010,004-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P BP 结合上述条件，则有112112100010,004--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P P APP 取使得P -1AP 为对角阵，其中12=P PP ()()12123121323120,,101,2,,011ααααααααα⎛⎫ ⎪==-=--+ ⎪ ⎪-⎝⎭P PP谢谢！。

矩阵的相似与对角化

矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个重要的概念。

本文将介绍矩阵的相似和对角化以及它们在数学和实际问题中的意义。

一、矩阵的相似矩阵的相似是指对于两个矩阵A和B，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称矩阵A和B相似。

其中，P被称为相似变换矩阵。

相似的概念可以帮助我们判断矩阵之间是否具有一些相似的性质。

在矩阵相似的条件下，它们具有以下几点性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值：设A和B是相似矩阵，若c是A的特征值，则c也是B的特征值。

2. 相似矩阵具有相同的特征多项式：特征多项式是一个与矩阵相关的特征方程，相似矩阵的特征多项式相同。

3. 相似矩阵具有相同的迹和行列式：设A和B是相似矩阵，它们的迹和行列式相等。

相似的概念在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。

通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和求解问题。

而且，相似关系也有助于我们研究矩阵的特征值和特征向量，进一步分析矩阵的性质和应用。

二、矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为一个对角矩阵的过程。

对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角元素都为0。

对于一个n阶方阵A，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，则称A可对角化。

对角化的过程可以表示为A = PDP^-1。

其中，D是由A的特征值按对角线排列而成的对角矩阵。

一个矩阵是否可以对角化，与它的特征值和特征向量密切相关。

对角化的条件如下：1. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量的个数等于n，则A可对角化。

2. 若矩阵A的特征向量的个数少于n，则A不可对角化。

对角化的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。

通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵简化为一个对角矩阵，从而更容易进行计算和分析。

对角化还有助于我们研究矩阵的性质和应用，比如求解线性方程组、计算幂矩阵等。

相似矩阵与矩阵可对角化的条件

1 0
所以，A的特征值为1 2 1, 3 1.根据定理4.10，对于二重特征值1 2 1，矩阵A应有两个线性无关的特征向量.
故对应齐次线性方程组(E-A)X=0的系数矩阵(E-A)的秩r(E-A)=1.
又
1 0 -1 1 0
E-A=
-x
0
-y
0
0
-1 0 1 0 0
由此可得：A可对角化时，必有x y 0.
对于相同矩阵还有下列性质： 1. 相同矩阵旳行列式相等. 2. 相同矩阵旳秩相等. 3. 相同矩阵或都可逆或都不可逆.
二.矩阵可对角化旳条件
如果n阶矩阵A可以与相似于一个n阶对角矩阵, 则称 A可对角化. 称为A的相似标准形（矩阵）.
由例1阐明，假如合适选用可逆矩阵P，就可能使P1AP 成为对角矩阵然而，并非全部旳n阶矩阵都能够对角化. 下面将讨论矩阵可对角化旳充要条件.
-1
x+y
0
相同使同阶矩阵之间旳一种主要关系，具有下述性质：
设A,B,C为n阶矩阵，则
1.反身性 A A
证明由E1AE A,可以直接得到结论.
2.对称性如果A B，则B A
证明由A B可知，存在可逆矩阵P，有P-1AP B. 于是，A PBP1 (P1)1 BP1，所以B A.
3.传递性如果A B, B C，则A C.
例1
设
A
3 5
4 2
，P=
1 1
1
2
,Q
4 5
11，则矩阵P, Q都可逆，
由P
1
AP
1 1
11 3
2
5
4 1
2
1
1
2
1 2
9

§43相似矩阵与方阵可对角化的条件

§ 4.3
相似矩阵与方阵可对角化的条件
4.3.1
相似矩阵的概念
定义设 A, B 都是 n 阶方阵，若存在一个 n阶可逆矩阵 P 使
P AP B,
1
则称矩阵 A 与 B 相似或称 B 是 A 的相似矩阵，称 P为由 A 到 B 的相似变换矩阵或过渡矩阵，运算P AP 称为对A 进行相似变换.
λ2
λn
A p1 , p2 ,, pn λ1 p1 , λ2 p2 ,, λn pn
于是有 Api λi pi
i 1,2,, n .
由于P 可逆，知 p1 , p2 ,, pn 线性无关，即 A 有 n 个线性无关的特征向量 p1 , p2 ,, pn . 必要性设 A有 n个线性无关的特征向量
由相似的定义，存在可逆矩阵 P , 使
P 1 AP diag( λ1 , λ2 ,, λn ),
即 A PΛP 1 , 由相似矩阵的性质可知
f ( λ1 ) 1 f ( A) Pf ( Λ) P P 1 P f ( λn )
1
1
由定义，A 与 B 相似，A 与 C 也相似. 由此可知，与A 相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角阵，但可以适当选取 P 使 P 1 AP 成为对角阵.
相似矩阵的性质
（1）反身性：A 与 A 相似. （2）对称性：若 A 与 B 相似，则 B 与 A相似.
（3）传递性：若 A 与 B 相似， B与 C 相似，则
1 0 1 0 1 0 1 0 解 B P AP 1 1 1 2 1 1 0 2
1
1
3 2 1 0 3 2 13 10 C Q AQ 21 16 4 3 1 2 4 3

5.2相似矩阵和可对角化条件

对角矩阵若当形矩阵可对角化的矩阵
8
1.给定矩阵 A ,如何判断该矩阵是否与对角矩阵相似？ 2.判定矩阵 A 可以对角化后,如何求可逆矩阵 P 使得
P AP = B 就是与A相似的对角形矩阵? 定理数域 F 上的 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是: A 有 n 个线性无关的特征向量. 0 1 0 证明: 0 0 2 . 设 A , 其中矩阵 = n 0 0
(i) 求出A的全部特征值 1 , 2 , , s ; (ii)对每个 i ,求方程组 (i E − A) X = O的基础解系, 即为A的属于特征值 i 的线性无关特征向量; (iii)若A有n个线性无关特征向量 1 , 2 , , n ,则 A与对角矩阵相似.令 P = (1 , 2 , , n ),则
4. 相似矩阵具有相同的秩. Qs Q2Q1 AP1 P2 Pm = B 初等变换不改变矩阵的秩.
5. 相似矩阵同时可逆或者同时不可逆.
当它们可逆时, 它们的逆矩阵也相似. 证明: B −1 = ( P −1 AP )−1 = P −1 A−1 P . 6. 若 A B , 则 Ak B k . 两边同时取 k 次幂得： B k = ( P −1 AP )k
−1
存在可逆矩阵 P ,使得 P AP = , 即 AP = P . P = (1 , 2 , , n )
−1
9
0 1 0 0 0 2 . AP = A(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) 0 0 n ( A1 , A 2 , , A n ) = (11 , 2 2 , , n n ) A1 = 11 , A 2 = 2 2 , , A n = n n , i 是矩阵 A 的属于特征值i 的特征向量. 且1 , 2 , , n 线性无关. 1.给定矩阵 A ,如何判断该矩阵是否与对角矩阵相似？答： n 阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量.

矩阵相似对角化的充要条件

矩阵相似对角化的充要条件矩阵相似对角化是矩阵理论中的一种重要概念，它在很多数学和工程领域都有广泛的应用。

矩阵相似对角化可以使复杂的矩阵运算变得简单，因此对于理解矩阵的性质以及解决相关问题非常有帮助。

本文将介绍矩阵相似对角化的充要条件。

矩阵相似对角化的定义首先，我们来回顾一下矩阵的相似变换。

对于一个给定矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P−1AP是一个对角矩阵，则称矩阵A与对角矩阵D相似，P为A的相似变换矩阵，D为A的相似对角矩阵。

具体地说，如果P−1AP=D，则称矩阵A相似于对角矩阵D。

充要条件下面，我们将介绍矩阵相似对角化的充要条件。

充分条件充要条件之一是：一个n阶矩阵A可以相似对角化，当且仅当它有n个线性无关的特征向量。

特征向量是矩阵在线性代数中一个重要的概念，它是指在一个线性变换下保持方向不变的非零向量。

对于一个矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得 $Av =\\lambda v$，其中$\\lambda$是一个标量，则向量v称为A的一个特征向量，$\\lambda$称为A对应于特征向量v的特征值。

具体来说，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，表示为v1,v2,...,v n，并且这些特征向量对应的特征值分别是$\\lambda_1, \\lambda_2, ..., \\lambda_n$，则可以构造一个可逆矩阵P，其中列向量为特征向量，即P=[v1,v2,...,v n]。

则有$P^{-1}AP = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 & 0 & ... & 0 \\\\ 0 & \\lambda_2 & ... & 0\\\\ ... & ... & ... & ... \\\\ 0 & 0 & ... & \\lambda_n \\end{bmatrix}$。

这样，矩阵A就通过相似变换得到了对角矩阵。

关于矩阵等价合同相似以及可对角化的性质和判别条件的总结

6.对于实对称矩阵A、B，A B A与B合同，反之不成立
A B A和B具有相同的特征值 A与B合同
矩阵A与B等价、合同、相似的判别条件
矩阵A与B等价
可逆矩阵PQ,使得B PAQ r( A) r(B),且A与B为同型矩阵
故矩阵A与B等价 r( A) r(B)，反之不一定成立
r( A) r(B) A 与 B 同号矩阵A与B合同 A与B具有相同的特征值 A与B的正、负特征值个数分别相等，即正特征值个数相等，负特征值个数相等
可逆矩阵C，使得CT AC B
xT
Ax与xT
Bx有相同的正负惯性指数
1.矩阵A与B合同 A与B的特征值中，正特征值个数相等，负特征值个数相等
r A r B
A B
A有n个线性无关的特征向量
2.n阶矩阵A可对角化
对于A的每个特征值i ,其重数ki
A有n个不同的特征值
n
r iE
A
A为实对称矩阵
0
A
a11a22
ann
aii 0,i 1, 2, , n.
5.矩阵A与B相似：即可逆矩阵P，使得B P1AP.
r A r B
A、B具有相同的特征多B具有许多相同的性质
A、B具有相同的特征值 AB
tr A tr B,即： aii bii
A1 B1、AT B、A* B、f ( A) f (B)，其中f (x)为关于x的多项式
矩阵A与B的相似问题一般只对实对称矩阵而言，
即矩阵A与B均为实对称矩阵。
实对称矩阵A与B相似 A与B具有相同的特征值
此外还可以根据A与B相似的必要条件进行判别
A
Ann
是
否
是
A是否为实对称矩阵

相似矩阵与矩阵可对角化的条件

矩阵相似于对角矩阵的条件

相似矩阵和矩阵对角化的条件

相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件

必可相似对角化的条件

关于矩阵等价、合同、相似以及可对角化的性质和判别条件的总结

矩阵可以相似对角化的充要条件

第二十五讲方阵相似于对角阵的充分必要条件

相似矩阵与矩阵的对角化

线性代数3.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件

第三讲：相似矩阵与对角化

矩阵的相似与对角化

相似矩阵与矩阵可对角化的条件

§43相似矩阵与方阵可对角化的条件

5.2相似矩阵和可对角化条件

矩阵相似对角化的充要条件

关于矩阵等价 合同 相似以及可对角化的性质和判别条件的总结

关于矩阵等价合同相似以及可对角化的性质和判别条件的总结