相似矩阵与矩阵可对角化的条件

对于相似矩阵还有以下性质： 1. 相似矩阵的行列式相等. 2. 相似矩阵的秩相等. 3. 相似矩阵或都可逆或都不可逆.
二.矩阵可对角化的条件
如果n阶矩阵A可以与相似于一个n阶对角矩阵Λ, 则称 A可对角化.Λ称为A的相似标准形（矩阵）.
由例1说明，如果适当选取可逆矩阵P，就可能使P 1 AP 成为对角矩阵然而，并非所有的n阶矩阵都可以对角化. 下面将讨论矩阵可对角化的充要条件. 定理4.9 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条 件是A有 n个线性无关的特征向量
证明
必要性 : 设A ~ Λ.其中
Λ = diag (λ1 , λ2 λn ) 则存在可逆矩阵P, 使得
P 1 AP = Λ, 或AP = PΛ. （4.10) 把矩阵P按列分块，记P = (α1 , α 2 , , α n )，其中α j是P的第j列
则（4.10）可以写成 λ1 λ2 A(α1 , α 2 , , α n )=(α1 , α 2 , , α n ) λn
推论 如果n阶矩阵A有n个互不相同得特征值λ1，λ2 λn， 则A与对角矩阵Λ相似.其中Λ的主对角线的元依此是λ1，λ2 λn .
应注意，由n阶矩阵A可对角化，并不能断定A 必含有n个互不相同的特征值.
在矩阵A的特征值中有重根的情形，可设A的所有 不同特征值为λ1，λ2 λm (m ≤ n).而λi是A的ni重 特征值.于是n1 + n 2 + + n m = n.
例3
在上节例5中，我们求得矩阵
1 1 1 A = 0 2 3 0 0 1 的特征值λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2, 但是A的属于二重特征值1的线性无关的
T 向量只有α1＝（1，0，0）由定理4.10，可知A不能对角化. .
0 0 1 例4 设矩阵A = x 1 y 可相似于一个对角矩阵，试讨论 1 0 0 x,y应满足的条件.
由此可得Aα i = λiα i (i = 1, 2, n).因P可逆，P必不含有零列.
即α i ≠ 0(i = 1, 2, n).因此，α i是A的属于特征值λi的特征向量， 并且α1 , α 2 , , α n线性无关.
充分性：设α1 , α 2 , , α n是A的n个线性无关的特征向量，它们对应的 特征值依此为λ1 , λ2 , , λn .记矩阵P=(α1 , α 2 , , α n ). 则P可逆.
证明
如果A B，则B A
由A B可知，存在可逆矩阵P，有P -1 AP = B.
于是，A = PBP 1 = ( P 1 ) 1 BP 1，所以B A.
3.传递性
证明
如果A B, B C，则A C.
由A B, B C , 必存在n阶可逆矩阵P, Q，有 P 1 AP = B, Q 1 BQ = C.
4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件
对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶 A A 矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A 的许多原有的性质，在理论和应用方面都具 有重要意义
一.相似矩阵及其性质
定义4.3 设A,B为n阶矩阵.如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P－1 AP＝B 则称矩阵A与B相似，记作A B.
定理4.8 设矩阵A B, 则Am B m , 其中m为正整数.
证 由 A B，存在可逆矩阵P，有P -1 AP = B，于是 B m = ( P -1 AP ) m = (P -1 AP )(P -1 AP ) (P -1 AP ) = P -1 A m P. 所以 A m B m .
例1 3 4 1 1 4 1 设A= ，P= ,Q = ，则矩阵P, Q都可逆， 5 2 1 2 5 1
1 1 3 4 1 1 1 9 由P AP = = . 1 2 5 2 1 2 2 4
1
1
1 9 可知A . 2 4
又 4 1 3 4 4 1 2 0 2 0 Q 1 AQ = = .所以A 5 1 5 2 5 1 0 7 0 7
于是Q 1 P 1 AP）Q = C.即( PQ ) 1 A( PQ) = C. （ 由此可得，A C.
相似矩阵还有下面的性质：
定理4.7 设矩阵A B, 则A, B之间具有相同的特征值.
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明
只需证明 A, B具有相同的特征多项式实际上， .
由A B必存在可逆矩阵P，使得P AP＝B，于是 det(λE-B)=det(λE-P1 AP)=det(P1 (λE-A)P) =det(P1 ) det(λE-A)det（P)＝det(λE-A). 所以，A,B具有相同的特征值.
定理4.10 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是 对于A的每一个ni重特征值λi , 特征矩阵(λi E-A)的秩为n-ni .
也可以叙述为：n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于 A的每一个ni重特征值λi , 齐次线性方程组(λi E-A)X=0的基础解系 中恰含有ni个特征值.
例2 在上节例4中，我们已求得矩阵 3 2 4 A = 2 0 2 4 2 3 的特征值 λ1 = λ2 = 1(二重 )和 λ3＝8. A的属于特征值(-1)的特征向量为
1
由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是 对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P， 就可能使 P 1 AP 成为对角矩阵 相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质： 设A,B,C为n阶矩阵，则
1.反身性 A A
证明 由 E 1 AE = A, 可以直接得到结论.
2.对称性
T T α 1＝（-1，2，0）,α 2＝（-1，0，1）.A的属于特征值8的特征向量为 T α 3＝（2，1，2）.根据定理 4.10，A可对角化.实际上，设
-1 -1 2 1 P=(α 1， α 2 ,α 3 )= 2 0 1 , Λ = 1 0 1 2 8 则 P 1 AP = Λ.
解
矩阵A的特征多项式
λ
0
1
det(λ E A) = x λ 1 y = (λ 1) 2 (λ + 1) λ 1 0
所以，A的特征值为λ1 = λ2 = 1, λ3 = 1.根据定理4.10，对于 二重特征值λ1 = λ2 = 1，矩阵A应有两个线性无关的特征向量. 故对应齐次线性方程组(E-A)X=0的系数矩阵(E-A)的秩r(E-A)=1. 又 1 0 -1 1 0 -1 E-A= -x 0 -y → 0 0 x+y -1 0 1 0 0 0 由此可得：A可对角化时，必有x + y = 0.
如果对应每一个相异特征值λi (i = 1, 2,....m), 特征矩阵 (λiE-A)的秩等于n-ni , 则齐次方程组(λiE-A)X=0的基 础解系一定含有ni个线性无关的特征向量由定理4.5， . 矩阵A就有n个线性无关的特征向量，这时，矩阵A 一定可以对角化. 一定可以对角化.
反之，如果矩阵A相似于对角矩阵Λ，则可以证明： 对A的ni重特征值λi (i = 1, 2, m), 矩阵(λi E-A)的秩恰 为n-ni , 总结可得
而
AP =A(α1 , α 2 , , α n )
=(Aα1 , Aα 2 , , Aα n ) =(λ1α1 , λ2α 2 , , λnα n ). λ1 λ2 =(α1 , α 2 , , α n ) λn
两边左乘P 1，得P 1 AP = Λ.即矩阵A与对角矩阵Λ相似.