19-20版 第1讲 1 2.基本不等式

2.基本不等式学习目标：1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数.2.理解定理1和定理2(基本不等式)．(重点)3.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．(难点、易混点)教材整理1 两个定理及算数平均与几何平均 阅读教材P 5～P 6“例3”以上部分，完成下列问题． 1．两个定理如果a ，b 都是正数，我们称a ＋b2为a ，b a ，b 的几何平均．下列不等式中，正确的个数是()①若a，b∈R，则a＋b2≥ab；②若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2≥2；③若x∈R，则x2＋1＋1x2＋1≥2；④若a，b为正实数，则a＋b2≥ab.A．0B．1 C．2 D．3C[显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝1x2＋2无解，但x2＋2＋1x2＋2＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.]教材整理2利用基本不等式求最值阅读教材P6～P8，完成下列问题．已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值S2 4.若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x 2的最大值是__________，取得最值时x 的值是________．[解析] f (x )＝2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x 2≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x 2，即x ＝±2时取等号． [答案] －10 ±2【例1】已知a，b，c都是正数，求证：ab＋bc＋ca≥a＋b＋c.[精彩点拨]观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．[自主解答]∵a>0，b>0，c>0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，同理：b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加得：a2b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．1．已知x，y，z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.[证明]∵x，y，z都是正数，∴xyz＋yzx＝1z⎝⎛⎭⎪⎫xy＋yx≥2z.同理可得yzx＋zxy≥2x，zxy＋xyz≥2y.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .【例2】 设x ，y ，z 均是正数，x －2y ＋3z ＝0，则y xz 的最小值为________． [精彩点拨] 由条件表示y ，代入到y 2xz 中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．[自主解答] 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2， ∴y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6≥14⎝⎛⎭⎪⎫2x z ·9z x ＋6＝3. 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz 取得最小值3. [答案] 31．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．2．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，试求x ＋y 的最小值． [解] ∵x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时等号成立． 又1x ＋9y ＝1，∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.里某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2020年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2020年生产的化妆品正好能销售完，试将2020年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2020年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ [精彩点拨] (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．[自主解答] (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1(k ＞0)， 将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. ∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时，年销售收入为 150%×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t .由题意，生产x 万件化妆品正好销完， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42，∴当促销费定在7万元时，年利润最大．设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――――→“＝”成立的条件结论3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?[解]法一设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝kab，其中k为比例系数(k>0)．根据题意，得2×2b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，∴b＝30－a2＋a(由a>0，b>0，可得a<30)．∴y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a .令t ＝a ＋2，则a ＝t －2.从而30a －a 22＋a ＝30(t －2)－(t －2)2t ＝34t －t 2－64t ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋64t ，∴y ＝k ab ≥k34－2t ·64t＝k 18.当且仅当t ＝64t ，即a ＋2＝64a ＋2时，取“＝”，∴a ＝6.由a ＝6，可得b ＝3.综上所述：当a ＝6 m ，b ＝3 m 时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．法二 设流出的水中杂质的质量分数为y ，依题意y ＝kab ，其中k 为比例系数(k >0)．要求y 的最小值必须先求出ab 的最大值．依题设4b ＋2ab ＋2a ＝60，即ab ＋a ＋2b ＝30(a >0，b >0)． ∵a ＋2b ≥22ab (当且仅当a ＝2b 时取“＝”)， ∴ab ＋22ab ≤30，可解得0<ab ≤18. 由a ＝2b 及ab ＋a ＋2b ＝30，可得a ＝6，b ＝3， 即a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值，从而y 的值最小．1．在基本不等式a ＋b2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?[提示] 对于不等式a ＋b2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a ，b 都为负数时，不等式不成立；当a ，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．2．利用a ＋b2≥ab 求最值的条件是怎样的？[提示] 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．3．你能给出基本不等式的几何解释吗？[提示] 如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．【例4】 命题：①任意x >0，lg x ＋1lg x ≥2；②任意x ∈R ，a x＋1a x ≥2；③任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2；④任意x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2.其中真命题有( ) A ．③ B ．③④ C ．②③D ．①②③④[精彩点拨] 按基本不等式成立的条件进行判定．C [在①④中，lg x ∈R ，sin x ∈[－1,1]，不能确定lg x >0与sin x >0.因此①④是假命题；在②中，a x >0，a x ＋1a x ≥2a x ·1a x ＝2，当且仅当x ＝0时，取等号，则②是真命题；在③中，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >0，有tan x ＋1tan x ≥2，且x ＝π4时取等号，∴③是真命题．]1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理2中，“a ＝b ”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)a ＋b2≥ab 是a 2＋b 2≥2ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求a ，b 均为正数，后者只要求a ，b ∈R ；(2)a ，b 大于0是a ＋b2≥ab 的充分不必要条件；a ，b 为实数是a 2＋b 2≥2ab 的充要条件．2．当b ≥a >0时，有变形不等式a ≤2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22≤b .4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是() A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2abC．1a＋1b>2abD．ba＋ab≥2D[A选项中，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，则排除A；当a<0，b<0时，a＋b<0<2ab，1a＋1b<0<2ab，则排除B，C选项；D选项中，由ab>0，则ba>0，ab>0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2，当且仅当a＝b时取“＝”，所以选D.]1．下列结论中不正确的是( ) A ．a ＞0时，a ＋1a ≥2 B.b a ＋a b ≥2C ．a 2＋b 2≥2abD ．a 2＋b 2≥(a ＋b )22B [选项A ，C 显然正确；选项D 中，2(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22成立；而选项B 中，b a ＋ab ≥2不成立，因为若ab ＜0，则不满足不等式成立的条件．]2．下列各式中，最小值等于2的是( ) A ．x y ＋y x B ．x 2＋5x 2＋4C ．tan θ＋1tan θD ．2x ＋2－xD [∵2x ＞0,2－x ＞0，∴2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．故选D.]3．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1C [∵5x ＋3y ≥215xy (当且仅当x ＝10，y ＝6时，取等号)，∴215xy ≤1，∴xy ≥60，故xy 的最小值为60.]4．已知lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值为______． [解析] ∵lg x ＋lg y ＝2，∴x ＞0，y ＞0，lg(xy )＝2，∴xy ＝102， ∴1x ＋1y ≥21xy ＝15，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立．[答案] 155．已知a ，b 是正数，求证： (1)a 2＋b 22≥a ＋b 2； (2)ab ≥21a ＋1b. [证明] (1)左边＝a 2＋b 2＋a 2＋b 24≥a 2＋b 2＋2ab4＝(a ＋b )24＝a ＋b 2＝右边，原不等式成立．(2)右边＝21a ＋1b≤221ab＝ab ＝左边，原不等式成立．课时分层作业(二) 基本不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题 1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( ) A ．25 B ．12 C ．22D ．1B [显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0； 当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12， 当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴f (x )max ＝12.]2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜bB [取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b .故选B.]3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值为54 B ．最小值为54 C ．最大值为1D ．最小值为1D [∵x ≥52，∴x －2≥12，∴f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝12(x －2)＋12(x －2)≥2x －22·12(x －2)＝1，当且仅当x －22＝12(x －2)， 即x ＝3时，等号成立，∴f (x )min ＝1.]4．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C．2 D．4 D[由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴(a＋b)2cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．]5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的关系是()A．x>y B．y>x C．x>2y D．y>2xB[因为a，b是不相等的正数，所以x2＝a＋b2＋ab<a＋b2＋a＋b2＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.]二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．[解析]x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(x＋y)24＝34(x＋y)2，∴(x＋y)2≤43，∴|x＋y|≤233，即x＋y的最大值为23 3.[答案]23 37．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．[解析]因为x＞0，y＞0，所以x3＋y4≥2x3·y4＝xy3，即xy3≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.[答案] 38．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．[解析]∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2) ＝2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”， ∴所求最小值为2. [答案] 2 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .[解] ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx 时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18. ① 又a ＋b ＝10，②由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝2.10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.[证明] ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. [能力提升练]1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2D [因为x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y 2，∴xy ≤x ＋4y 4＝10，∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.]2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处A [由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x ＝8. 当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．]3．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x ＞0)的最小值是________． [解析] ∵x ＞0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1. 当且仅当x ＋1＝3时取等号． [答案] 23－14．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围． [解] 由x >0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x ＋3恒成立．又x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴x ＋1x ＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5，从而0<1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。