最新高二下学期第二次月考数学(理)
河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析
河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A． a B． a C． a D． a参考答案：A【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．【解答】解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d（设d是点C到平面A1DM的距离）∴=故选A．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．2. 如果函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：，因为函数的导数是偶函数，所以满足，即，，，所以在原点处的切线方程为，即，故选A.考点：导数的几何意义3. 若集合，，则是A．B．C．D．参考答案：B略4. 设，记，若则（）A． B．- C． D．参考答案：B5. 下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：C6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至少有一个大于60度D．假设三内角至多有二个大于60度参考答案：B略7. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B．C．D．参考答案：D8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是( )A. 假设三内角都大于60°B. 假设三内角都不大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个大于60°参考答案：B【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60°不成立，即假设三内角都不大于60°，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.9. 对于幂函数，若，则，大小关系是（）A． B．C． D．无法确定参考答案：A10. 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数，又，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：C∵是偶函数，，∴，∵，∴∵在上减函数，∴，∴或∴不等式的解集为或，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率为＿＿＿＿.参考答案：12. 若x 2dx=9，则常数T的值为 ．参考答案：3【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解： ==9，解得T=3，故答案为：3．13. 给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若且，则，其中真命题的序号为 ▲ ．参考答案：14. 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．参考答案： 336 略15. 设变量满足约束条件则的最大值为________参考答案：4 16. 若在展开式中x 3的系数为－80，则a = ．参考答案：－2；17. 已知，且是第二象限角，则____________参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二下学期第二次月考理科数学试题
【详解】解：∵ A = {x 1 < x < 2}， B = {x 1 £ x £ 2} ，
∴ A Ç B = {x 1 < x < 2} ，
故选：D． 2．C 【分析】由复数运算法则可得 z 代数形式，后可得其虚部.
【详解】
z
=
3 + 2i 1+ i
=
(3 + 2i)(1- i) (1+ i)(1- i)
=
5
2
i
=
5 2
-
1 2
i
，则
z
的虚部是
-
1 2
.
故选：C 3．B
【分析】根据点 P ( x, y) 在椭圆上得
x2 a2
+
y2 b2
= 1，且 -a
£
x
£ a ，再利用两点距离求得
PF1
=
c a
x + a ，从而可确定
PF1
a, c 的最大值与最小值，即可求得 的值，即可得离心率
e
=
c a
的值.
【详解】设椭圆的半焦距为 c ，若椭圆上一点 P ( x,
为圆柱下底面圆
O
的直径，C
是下底面圆周上一点，已知
ÐAOC
=
π 3
，
OA
=
2
，圆柱的高为
5．若点
D
在圆柱表面上运动，且满足
uuur BC
×
uuur CD
=
0
，则点
D
的轨
迹所围成图形的面积为________．
试卷第31 页，共33 页
16．已知函数 f ( x) = aln2x +1- x (a Î R) 有且仅有一条切线经过点 (0, 0) .若"x Î[1, +¥) ， f ( x) + mlnx £ 0 恒成立，则实数 m 的最大值是______.
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高二数学下学期第二次月考试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。
高二数学(理)下学期第二次月考试题(含答案)
上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟 满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（ ）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ ）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。
福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题
福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．
为了了解中国人均GDP x （单位：万元）和总和生育率y 以及女性平均受教育年限z
（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据(),,(1,2,,10)i i i
x y z i =L 绘制了
散点图，并得到回归方程ˆ7.540.33z x =+，ˆ 2.880.41y x =-，对应的相关系数分别为1
r ，2r ，则（ ）
A ．人均
GDP 和女性平均受教育年限正相关
B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C ．22
12
r r <D ．未来三年总和生育率将继续降低
10．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2
四、解答题
17．某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.
征后，计划用()
ln
=+作为月销售量y关于产品研发投资额
y bx a
根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；
(2)根据回归方程和参考数据，当投资额为11百万元时，预测。
实验中学高二数学下学期第二次月考试题理含解析
A. 144B。120C. 72D. 24
【答案】D
【解析】
试题分析：先排三个空位,形成4个间隔，然后插入3个同学，故有 种
考点：排列、组合及简单计数问题
11。若随机变量 ，则 最大时， 的值为（ )
A. 1或2B. 2或3C. 3或4D。 5
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，两边取对数得,化简得 ，构造函数 ，然后作图可求得答案。
【详解】由 ，两边取对数得, ，然后化简得 ，
设 ,然后可以画出 的图像，如图，
明显地,当 ，且 时，只有阴影部分内的取值能成立，此时， 和 的取值在阴影部分，即 ，从图像观察可得， 的最大值是 ,没有最小值，但是 ,综上， 的范围为
【点睛】本题考查了根据函数过点和公切线求参数,求公切线，意在考查学生的计算能力和转化能力。
20。“石头、剪刀、布"是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是:用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势 次记为 次游戏，“石头”胜“剪刀”,“剪刀"胜“布”，“布”胜“石头"；双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的。
4。从集合｛0，1，2，3，4，5,6｝中任取两个互不相等的数 ， 组成复数 ，其中虚数有（ ）
A。 30个B. 42个C. 36个D。 35个
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵a，b互不相等且为虚数，
∴所有b只能从{1，2,3，4,5，6}中选一个有6种，
a从剩余的6个选一个有6种，
∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36(个）．
河北省邢台二中2013-2014学年高二数学下学期第二次月考试题 理 新人教A版
高二下学期第二次月考数学（理）试题一、选择题（60分）1．复数2i 1i -3⎪⎭⎫⎝⎛+＝( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3－4iD ．3＋4i2曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（ ）A.34 B.37 C.35 D.38 3、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ）A.e 2 B.e 1- C.e 1 D.e2- 4.设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件8. 设,,x y R ∈ 则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9、设常a R ∈，集合A ＝{|(1)()0x x x a --≥}，B ＝{|1x x a ≥-}，若AB ＝R ，则a 的取值范围为（ ）A ．（－∞，－2）B ．（－∞，2］C ．（2，＋∞）D ．［2，＋∞）10．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( ) A ．一定大于0 B ．一定等于0 C ．一定小于0 D ．正负都有可能11．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．[0，π2)B ．[0，π2)∪[2π3，π)C ．[2π3，π)D ．[0，π2)∪(π2，2π3]12.等比数列{a n }中a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215二、填空题（20分）13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为： 14.由曲线2y x =与2x y =所围成的曲边形的面积为________________ 15．观察下列不等式213122+< 353121122<++474131211222<+++……照此规律，第五个．．．不等式为 . 16. 函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，则a 的取值范围是________．三、解答题（共6题，70分）17．(10分)已知集合P ＝{x |x 2－8x -20≤0}， S ＝{x |1-m ≤x ≤1+m }(1)是否存在实数m ，使”x ∈P ”是”x ∈S ”的充要条件？若存在，求m 的取值范围；若不存在说明理由；(2)是否存在实数m ，使”x ∈P ”是”x ∈S ”的必要条件？若存在，求m 的取值范围。
2023-2024学年河南省南阳市高二下学期第二次月考联考(6月)数学检测试题(含答案)
2023-2024学年河南省南阳市高二下学期第二次月考联考（6月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 抛物线的焦点为F ，点M 在C 上，，则M 到y 轴的距离是（）2:16C y x =12MF =A. 4 B. 8 C. 10 D. 122. 如图，四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是菱形，且，60BAD SAB SAD ∠=∠=∠=︒AB ＝AS ＝1，则SC=（）A. 1110,022a b <<<<ξC ．减小，增大D ．减小，减小4. 已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：x y y =c·we kxz =lny x 16171819z50344131由上表可得线性回归方程，则( )z =?4x +?a c =A. B. C. D. 4e4109e1096.若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）(1,b )y =ln (x +1)A ．B ．ln2<b <2b >1C ．D ．0<b <ln2b >ln27. 数列的前n 项和为，对一切正整数n ，点在函数的图象上，{}n a n S (),n n S 2()2f x x x =+且，则数列的前n 项和（）n b n *=∈N )1n ≥{}n b n T =A B1--C --8. 若其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是( )e )a b c A. B. C. D. c <b <ac <a <b c <a <bb <c <a a <c <b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，，，为//,//BC AD EF AD 4,2AD AB BC EF ====ED FB ==M 的中点，则下列说法正确的是（ ）AD A ．BD AD ⊥B ．平面//BM CDEC ．与平面BF EMBD ．平面与平面所成夹角的正弦值为BFM EMB 111310．已知函数，则（ ）()()()1ln 1f x ax x x=-+-图A ．()()()1ln 1,(0)1a x f x a x x x+=-+->+'B ．当时，的极大值为，无极小值2a =-()f x 0C ．当时，的极小值为，无极大值2a =-()f x 0D ．当时，恒成立，的取值范围为0x ≥()0f x ≥a 12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，11. 已知双曲线：，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、C x 2a 2y 2b2=1(a >0,b >0)A B F 1F 2右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，|F 1F 2|=2c a b c P C B 记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是( )PA PB k 1k 2 A. 当轴时，PF 2⊥x B. 双曲线的离心率e =1+52C. 为定值k 1k 21+52D. 若为的内心，满足，则I S △IPF 1=S △IPF 2+xS △IF1F 2(x ∈R )x =5?12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知数列满足 ，若 为数列 的前{a n }S n {a n }n 项和，则___S 10=13．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>12F F 、2F y C 于A ，B 两点，若，则C 的离心率为．1||13,||10F A AB ==14. 已知关于 的不等式 (其中 ). 的解集中恰有两个整数，则x 2x <(ax ?a )e x(x ∈R )a <1实数的取值范围是_________a 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省名校协作体2023-2024学年高二下学期2月月考数学试题含答案
2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.抛物线24x y =的准线方程为（）A.=2y -B.2x =- C.1y =- D.=1x -【答案】C 【解析】【分析】求出焦参数p ，根据焦点的位置确定准线方程．【详解】由题意焦点在y 轴正半轴，24p =，2p =，所以准线方程为1y =-．故选：C ．2.数列1，53，52，…的通项公式可能是（）A.211n n a n +=+ B.211n n a n +=+ C.221n n a n =- D.221n n a n -=【答案】A 【解析】【分析】代入即可结合选项逐一排除.【详解】当2n =时，对于B 中2221352153a +==≠+，当3n =时，对于C 中2339523152a ==≠⨯-，对于D 中3223155392a ⨯-==≠，四个选项中只有211n n a n +=+同时满足11a =，253a =，352a =.故选：A3.已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12//l l ，则m 的值为（）A.1B.－3C.1或－3D.－1或3【答案】B 【解析】【分析】根据直线平行得到方程，求出3m =-或1，检验后得到答案.【详解】由题意得()230m m +-=，解得3m =-或1，当3m =-时，直线1l ：310x y -++=，2l ：390x y --=，两直线平行，满足要求.当1m =时，直线1l ：10x y ++=，2l ：10x y ++=，两直线重合，舍去，故选：B4.已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，则下列命题正确的是（）A.若//m n 且n ⊂α，则//m αB.若//m α且n ⊂α，则//m nC.若m α⊥且n ⊂α，则m n ⊥D .若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行，线面垂直，面面垂直的判定和性质依次判断各选项.【详解】对于A ，若//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，故A 错误；对于B ，若//m α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 异面，故B 错误；对于C ，由线面垂直的性质定理可知C 正确；对于D ，若αβ⊥，m α⊂，则m 可能在β内，可能与β平行，可能与β相交，故D 错误.故选：C.5.已知点()4,2P -和圆Q ：()()224216x y -+-=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题可得以PQ 为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案.【详解】由题可得()4,2Q ，则以PQ 为直径的圆的圆心坐标为()0,2，半径为4，则PQ 为直径的圆的方程为：()22216x y +-=.将两圆方程相减可得公共弦方程为：2x =.则圆Q 圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q 半径为4，则公共弦长为：=.故选：D6.江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（）A.米 B. C.米D.30米【答案】D 【解析】【分析】设双曲线方程为()222210,0y x a y a a-=><，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD ，设D (),5x a --.由题可得()10B a --，代入方程可得a ，后可得x ，即可得答案.【详解】设双曲线方程为()222210,0y x a y a a-=><，如图建立直角坐标系.水面上升5米后，设水面宽为CD ，设D (),5x a --，其中0x >.又由题可得()10B a --，代入双曲线方程可得：()()222221050011050020a a a a a a+-=⇒+-=⇒=，则D (),25x -.将D 点坐标代入双曲线方程可得：2625115400400x x -=⇒=，则D ()15,25-.又由对称性可得()15,25C --，则水面上升5米，则水面宽为30米.故选：D7.在正三棱台111ABC A B C -中，111132A B AA AB ===，11A B AB O ⋂=，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，根据向量法求异面直线所成角.【详解】取AB 中点1O ，取11A B 中点Q ，连接1QO ，O 在1QO 上，且1332QO =，因为在正三棱台111ABC A B C -中，所以1O C AB ⊥，111QC A B ⊥，又111132A B AA AB ===，113333,2O C QC ==，在梯形11O CC Q 中，过点1C 作11C R O C ⊥，垂足为R ，过点Q 作1QS O C ⊥，垂足为S ，过点O 作1OT O C ⊥，垂足为T ，所以//OT QS ，则1111OT OO O T QSO QO S==，设1,C R h RC x ==，在1Rt C RC 和1Rt QSO 中，2222221111CC RC C R QS QO O S -===-，即22223333322x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3x =6h =，因为1A OQ 与1BOO 相似，所以11112OQ A Q OO O B==，即112623,3333OT QS O T O S ====，如图，分别以11,O B O C 所在直线为x 轴，y 轴，过1O 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，11A B AB O ⋂=，所以()()(13263,0,0,,0,,0,,33B C C O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(13,,0,,33BC CO ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线OC 与1BC 所成角为α，则111cos cos ,3BC COBC CO BC COα⋅===，故选：B.8.如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A -===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（）A.87B.88C.89D.90【答案】B【解析】【分析】根据等差数列、放缩法、裂项求和法等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意知，1122311n n OA A A A A A A -===⋅⋅⋅==，且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A -△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a -=+，所以数列{}2n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()20242111111,1ni ia n n a ==+-⨯==∑，1111++<++121=+++1189=<=，11+++21=++288==，即188891<++，所以所求整数部分都是88.故选：B.【点睛】方法点睛：定义法：若1n n a a +-=常数，则{}n a 是等差数列；等差中项法：若122n n n a a a ++=+，则{}n a 是等差数列.数列求和的方法可以考虑等差数列的前n 项和公式，也即公式法，也可以考虑利用裂项求和法.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分.9.已知向量()1,2,0a =- ，()2,4,0b =-，则下列正确的是（）A.//a bB.a b⊥ C.2b a= D.a 在b方向上的投影向量为()1,2,0-【答案】ACD 【解析】【分析】ABC 选项，根据2b a =得到//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，利用投影向量的求解公式得到答案.【详解】ABC 选项，由题意得2b a =，故//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，a 在b方向上的投影向量为()01,2,a b b b b-⋅--⋅⋅=-，D 正确.故选：ACD10.若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（）A.数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B.数列{}lg n a 是等差数列C.若{}n a 是递减数列，则01q <<D.若13n n S r -=-，则1r =【答案】ABC 【解析】【分析】设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，则通项公式11n n a a q-=，利用等比、等差数列的定义可判定A 、B ，由10n n a a +-<，可求q 的范围，判断C ，由n S 求出1a ，再由正项数列的条件，得r 的范围，判断D .【详解】设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，则通项公式11n n a a q-=，则()2212111n n a a q -=，所以()2221122212111111n n n n a a q q a a q +-==，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为211a ，公比为21q 的等比数列，A 正确；则()1lg 1lg lg n a n q a =-+，所以数列{}lg n a 是以1lg a 为首项，以lg q 为公差的等差数列，故B 正确；若{}n a 是递减数列，则()110n n n n n a a a q a a q +-=-=-<，因为0n a >，则0q >，则01q <<，C 正确；若13n n S r -=-，则1110a S r ==->，则1r <，D 错误.故选：ABC11.如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（）A.A ，B 两点的纵坐标之和为常数B.在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>︒C.1,,A O B 三点共线D.在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：设出直线方程，与抛物线联立，通过韦达定理来判断；对于B ：通过计算PA PB ⋅的正负来判断；对于C ：通过计算1,OA OB k k 是否相等来判断；对于D ：求出重心，代入抛物线方程，看方程是否有解来判断.【详解】对于A ：设直线AB 的方程为2px ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pty p --=，所以122y y pt +=，不为常数，A 错误；对于B ：设,2p P m ⎛⎫-⎪⎝⎭，122y y pt +=，212y y p =-，则()()11221212,,2222p p p p PA PB x y m x y m x x y m y m⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅+-=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()221212121224p p x x x x y y m y y m =++++-++()()()221221212122424y y p p t y t p y y m y y m p =+++++-++⎡⎤⎣⎦42222222424p p p pt p p ptm m p ⎡⎤=+++--+⎣⎦()222220p t ptm m pt m =-+=-≥则90APB ∠≤ ，故在直线l 上不存在点P ，使90APB ∠>︒，B 错误；对于C ：由题可得112212,2OA OB y y yk k p x p ===--，则1121121121112222OA OB p py y ty y y py x y k k x p px px ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭-=+==()221212112220p y y ty y p t p tpx px ++-===，所以1=OA OB k k ，即1,,A O B 三点共线，C 正确；对于D ：设,2p P m ⎛⎫-⎪⎝⎭，又()212122x x t y y p pt p +=++=+，则APB △的重心坐标为12122,33p x x y y m ⎛⎫+- ⎪++ ⎪⎪⎝⎭，即2222,33p pt pt m ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得22222233p pt pt m p ++⎛⎫=⋅⎪⎝⎭整理得22224830m ptm p t p +--=，()222222221648348120p t p t p p t p ∆=++=+>，所以在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上，D 正确.故选：CD12.在正三棱锥S ABC -中，,,SA SB SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（）A.53°B.60°C.75°D.89°【答案】AB 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BM 与平面α所成角的正弦，求其范围，然后比较角的大小即可.【详解】因为,,SA SB SC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则)()(2,,,0,0,2AB C M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭则(,0,2AC BM ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设面α的法向量为(),,n x y z =，则0n AC ⋅=+=，取1x =可得()1,,1n y =，所以sin BM nBM nθ⋅==⋅ ，令12y t -=，则12y t =+==当0=t时，0=，sin 0θ=，则0θ=，当0t ≠时，=又229113188142399t t t ⎛⎫⎛⎫++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=，所以sin θ≤=又sin 602︒=<，()1sin 75sin 304522224+︒=︒+︒=⨯则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是AB.故选：AB.【点睛】方法点睛：对于线面角，可通过建立空间直角坐标系将其表示出，然后求其范围.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______.【答案】6【解析】【分析】先求出{}n a 的通项公式，当111n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，其前n 项积n T 最大，得解.【详解】由题意可得11632n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，*N n ∈，12n n T a a a ∴=⋅L ，且0n a >，当111n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，n T 最大，即11631216312n n-⎧⎛⎫⨯≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得6n =.故答案为：6.15.已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______.【答案】32π9##32π9【解析】【分析】画出圆锥的轴截面后进行分析，注意利用三角形面积公式与内切圆半径的关系()12S a b c r =++，然后利用圆锥体积公式即得.【详解】圆锥的轴截面如图所示：设该圆锥的底面直径为6x ，则底面半径为3x .因为底面直径与母线长之比为6:5，所以母线长5x ，所以该圆锥的高4h x ==,因为内切球的半径为1，根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为()1164556122x x x x x ⨯⨯=++⨯，解得23x =，所以圆锥的底面半径为2，高为83，所以此圆锥的体积211832ππ23339V Sh ==⨯⨯=.故答案为：32π9.16.已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______.【答案】43##113【解析】【分析】先设(),P x y ，根据3PA PB =列出方程，得到222502x ax y a -++=，联立椭圆方程得到53,44P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，作出辅助线，得到tan 3APD ∠=，1tan 3BPD ∠=，利用正切的差角公式求出答案.【详解】不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa -=>，A ，B 为左右顶点.设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=-+，化简得：222502x ax y a -++=，则222222502x y a x ax y a ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得5434x a y a⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以53,44P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，不妨设P 在第一象限，作PD x ⊥轴于D ，则34PD a =，544a a BD a =-=，94AD AB BD a =+=，故94tan 334a AD APD a PD ∠===，14tan 334a BD BPD a PD ∠===，()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD -∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⨯.故答案为：43四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749=S ，59a =.（1）求n S ；（2）若3S 、118S S -、k S 成等比数列，求k 的值.【答案】（1）2n S n =（2）19k =【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得到方程组，解得1a 、d ，即可求出通项公式与n S ；（2）由（1）可得3S 、118S S -、k S 的值，再根据等比中项的性质得到方程，求出k .【小问1详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749=S ，59a =，所以715176749249S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-，则()21212n n n S n +-==.【小问2详解】由（1）可知2339S ==，11857S S -=，2k S k =，又3S 、118S S -、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S -=⋅，即22579k =⨯，解得19k =或19k =-（舍去），19k ∴=.18.已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A -，()2,6B 两点.（1）求圆C 的方程；（2）已知l ：()()()131510m x m y m ++--+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.【答案】（1）()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）（2）35m =或3m =【解析】【分析】（1）方法一：设出圆心(),a b ，根据CA CB =和圆心在直线25y x =+上得到方程组，求出0a =，5b =，得到圆心和半径，得到答案；方法二：求出AB 的中垂线方程，联立25y x =+得到圆心坐标，进而得到半径，得到圆的方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出实数m 的值.【小问1详解】方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+，又CA CB =，则=，即250a b +-=，解得0a =，5b =，所以圆C 的半径r AC ==，所以圆C 的方程是()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）.方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =-+.则2525y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C 的半径r AC ==，所以圆C 的方程是()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）.【小问2详解】设圆心C 到直线的距离为d ，由题意可得d ==，平方整理后可得251890m m -+=，解得35m =或3m =.19.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =.（1）求证：1BC AA ⊥；（2）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ，即可证明AM BC ⊥、1A M BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1AA M ，即可得证；（2）解法一：连接MN ，1A N ，利用余弦定理求出AMN ∠，在平面1NMAA 中，过点M 作1MD A N ⊥交1A N 于点D ，则DM AM ⊥，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法二：连接MN ，利用余弦定理求出AMN ∠，作MF AN ⊥于F ，连接BF ，即可得到BFM ∠为二面角B AN M --的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ，∵三棱柱111ABC A B C -中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AB A AC ∠=∠，∴11A AB A AC ≌△△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥，又1A M AM M = ，1,A M AM ⊂平面1AA M ，∴BC ⊥平面1AA M ，又1AA ⊂平面1AA M ，∴1BC AA ⊥.【小问2详解】方法一：连接MN ，1A N ，在AMN 中，13AN =，3AM =2MN =，所以222cos 22AM MN AN AMN AM MN +-∠==-⋅，则150AMN ∠=︒，显然1//MN BB 且1MN BB =，11//BB AA 且11BB AA =，所以1MN AA //且1MN AA =，所以四边形1NMAA 为平行四边形，则1//MA NA ，在平面1NMAA 中，过点M 作1MD A N ⊥交1A N 于点D ，则DM AM ⊥，则60NMD ∠=︒，所以sin 301DM MN =︒=，如图建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B，()N ，所以)1,0BA =-，()AN =-，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z =，则0n BA y n AN z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(n =，又平面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,4n m n m n m ⋅==，所以平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值为34.方法二：显然1//MN BB 且1MN BB =，11//BB AA 且11BB AA =，所以1MN AA //且1MN AA =，所以四边形1NMAA 为平行四边形，连接MN ，在AMN中，AN =，AM =2MN =，即2223cos 22AM MN AN AMN AM MN +-∠==-⋅，即150AMN ∠=︒.作MF AN ⊥于F ，连接BF .因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ，,BC MF ⊂平面BMF所以AN ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥，所以BFM ∠为二面角B AN M --的平面角.在AMN 中，11sin15022AN FM AM MN =︒，解得13FM =.则BF =，所以cos 4FM BFM BF ∠==.所以平面1A AN 与平面ANB的夹角的余弦值为4.20.已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=-，求证：直线l 过定点.【答案】（1）2y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义与点()0,1A x 在抛物线C 上列式求解即可；（2）方法一：分直线斜率存在于不存在两种情况，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而表达12k k ⋅再化简即可；方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，代入1212k k ⋅=-化简，结合直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t --=--即可.【小问1详解】由题意得：0052421p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得0121p x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或0214p x =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =.【小问2详解】方法一：①当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得20ky y m -+=，则140km ∆=->，121y y k +=，12m y y k⋅=，而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y --⋅=⋅==--+++++112k m k ==-++，整理得310m k ++=，所以13m k =--，所以直线l ：()1331y kx k k x =--=--，所以直线l 过定点()3,1-.②当直线l 斜率不存在时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则1211111112k k m m m --⋅=⋅==----，得3m =，所以直线l ：3x =，则点()3,1-在直线l 上.综上：直线l 过定点()3,1-.方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t --⋅=⋅==---++，则()12123t t t t =--+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t --=--，则()()12122112211221311131t t t t y x x x t t t t t t t t t t --+=+=+=--+++++，所以直线l 过定点()3,1-.21.已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na pa n a +-=+-∈N .（1）若0p =，求数列{}3nn a ⋅的前n 项和n S ；（2）若1p =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）1321344n n n S ++=-+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由数列{}n a 递推公式可得其通项公式，再由错位相减法求数列{}3nn a ⋅的前n 项和；（2）若1p =，可得()111n n n a a a +-=-，从而111111n n n a a a +=---，利用裂项相消法推导出前n 项和为n T ，再由n T 的单调性可证明不等式成立.【小问1详解】当0p =时，则111n na a +-=，得11n n a a +-=，所以11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列.所以()2111n a n n =+-⨯=+，则()313nnn a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +-=+++++-+⋅ ()()21131361313n n n -+⨯-=+-+⋅-，所以1321344n n n S ++=-+⋅.【小问2详解】当1p =时，由111n n na a a +-=-，得211n n n a a a +=-+，所以()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=->，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥，又由111n n na a a +-=-，可得()111n n n a a a +-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---，则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以1111n n T a +=--，易知1111n a +⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=-≤-<--，即：112n T ≤<.【点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，利用裂项相消法求和.22.已知离心率为2的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B .（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，的取值范围.【答案】（1）22143x y -=（2）,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆与双曲线的基本量求解即可；（2）方法一：设直线AP ：()0022y y x x =++，()11,D x y ，联立直线与双曲线的方程，结合()00,P x y 在双曲线上，化简可得104x x =，同理04Q x x =，代入20Q x x λ=化简，结合双曲线方程可得233,P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，结合sin sin BDP ADB ∠=∠代入化简可得=，再根据102λ<<求解范围即可；方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，联立方程得出韦达定理，再根据P ，A ，D 三点共线，P ，B ，E 三点共线，列式化简可得002222x m m x --=++，进而可得02x λ=，结合双曲线方程可得2,P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，结合sin sin BDP ADB ∠=∠=再根据102λ<<求解范围即可.【小问1详解】由题意得：22222c a c a b a ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得b =所以双曲线1C 的方程为22143x y -=.【小问2详解】方法一：设直线AP ：()0022y y x x =++，()11,D x y ，则()0022223412y y x x x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x ⎡⎤+++-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，得：()()220012200161222324y x x x y-+-=++，又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y -=，即22004312y x =-，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x -+--+-+--====+++++-，即104x x =.同理设直线BP ：()0022y y x x =--，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =.因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=.把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ-=，解得033y λ=，则点2,P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设DBP 与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=︒，所以sin sin BDP ADB ∠=∠.12BP r r AB===因为102λ<<，所以12λ>13,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，则223412x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，消x 得：()2223463120t y tmy m +++-=，所以122634tm y y t -+=+，212231234m y y t -=+，得()2121242m y y y y mt-=+，因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =--，两式相除得()()1202102222y x x y x x --=++，而()()()()()()()()()()()()2121121212122121122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y-++--+-+-===+++++-+++()()()()()()121222222222m m y m y m mm m y m y ⎡⎤-++--⎣⎦==+⎡⎤+++-⎣⎦.因为20Q x x λ=，所以20m x λ=.因为002222x m m x --=++，所以2002002222x x x x λλ--=++，得02x λ=，把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ-=，解得033y λ=，则点2,P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设DBP 与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=︒，所以sin sin BDP ADB ∠=∠，12BP r r AB===因为102λ<<，所以12λ>13,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点晴：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，注意判别式的判断;（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +，12x x （或12y y +，12y y ）的形式；。
云南省昆明市第八中学2023-2024学年高二下学期月考二数学试卷
圆心到直线的距离为 d = 2 - k ，因为 l 与圆 O 相切，所以 d = 5 ， 1+ k2
答案第11 页，共22 页
即
2-k =
1+ k2
5
，解得
k
=
-
1 2
，即
l
的方程为
x
+
2
y
-
5
=
0
.
故选：A 5．D
【分析】利用双曲线可得到渐近线方程，然后利用点到直线的距离算出 PF2 = 3 ，继而求
=
g
(e)
=
1 e
，所以 a
³
1 e
.
故选：C. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1） a ³ f ( x) 恒成立 Û a ³ f ( x)max ；
（2） a £ f ( x) 恒成立 Û a £ f ( x)min .
8．B
【分析】主要是用 P ( AB) = P ( A) P ( B) 判断事件的相互独立性.
= 2πRh （如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图 所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 4 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球 心与正方体的中心重合），即一个球去掉了 6 个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周
长为 2π ，则该工艺品的表面积为（ ）
三、填空题 12． (x- 1 )6 展开式中的常数项为 ．
x 13．数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定 理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
12 = 32 +12 +12 +12 = 22 + 22 + 22 + 02 ．设 25 = a2 + b2 + c2 + d 2 ，其中 a，b，c，d 均为自然数，
2022-2023学年广西柳州高级中学高二下学期2月月考数学试卷
2022-2023学年广西柳州高级中学高二下学期2月月考数学试卷1.已知，，且，则（）A．1B．2C．3D．42.已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．B．1C．D．3.是直线与直线平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知曲线.下列正确的是（）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，则是两条直线5.若函数的极值点为（）A．B．C．D．6.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A．6种B．24种C．64种D．81种7.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（）升粟.A．B．C．D．8.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9.已知数列满足，，则下列结论中正确的是（）A．B．为等比数列C．D．10.已知抛物线过点，焦点为F，则（）A．点M到焦点的距离为3B．直线MF与x轴垂直C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切D．过点M与C相切的直线方程为11.在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.下列说法正确的是（）A．点到直线的距离为4B．直线与的距离为C．点到平面的距离为D．直线与的距离为12.已知函数（a，b，），则（）A．若，则曲线在处的切线方程为B．若，，，则函数在区间上的最大值为C．若，，且在区间上单调递增，则实数a的取值范围是D．若，，函数在区间内存在两个不同的零点，则实数c的取值范围13.若数列满足，，，则____.14.函数在处取得极值10，则___________.15.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A 1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________.16.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，如图.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质，已知某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，其中，分别为该双曲线的左、右焦点，从发出的两条光线（共线反向）分别经过双曲线右支上的点和点，且经过点的光线反射后经过点，，若点在以点为圆心、为半径的圆上，则该双曲线的离心率为____.17.某大学艺术专业的400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据按[20,30），[30,40），…，[80,90]分成7组，并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计总体的众数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女学生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且．(1)求A的大小；(2)若、，D为直线BC上一点，且，求△ABD的周长．19.如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．20.已知等差数列的前项和为，，.数列满足，为数列的前项和(1)求的通项公式；(2)求证(3)是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.已知，是椭圆的两个顶点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于，，与直线交于点，求的值．22.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，都有.。
河南省新乡市第十一中学2020-2021学年高二下学期第二次月考理科数学试题(含答案解析)
河南省新乡市第十一中学2020-2021学年高二下学期第二次月考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知20211i z =+，则2z i -=（）AB ．C ．2D2．用反证法证明“若a ，b ∈R ，220a b +≠，则a ，b 不全为0”时，假设正确的是（）A ．a ，b 中只有一个为0B ．a ，b 至少一个不为0C ．a ，b 至少有一个为0D ．a ，b 全为03．下列运算正确的个数是（）①(sin )cos 88ππ'=；②1(3)3x x x '-=⋅；③2()1log ln 2x x '=；④561()5x x -'-=-.A ．1B ．2C ．3D ．44．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于A ．110B ．18C ．16D ．155．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若218a =，580S =，则数列{}n a 的通项公式为n a =（）A ．222n +B ．222n -C ．202n-D ．()21n n -6．若直线y x a =+和曲线ln 2y x =+相切，则实数a 的值为（）A ．12B ．2C ．1D ．327．函数()cos sin f x x x x =-的导函数为()f x '，则函数()f x '的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8．已知数列{n a }为等差数列，且1815πa a a ++=，()412cos a a +的值为a ，则1d ax x =⎰（）A ．1B ．2C ．－1D ．39．某校开设了素描､摄影､剪纸､书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程.则以下说法错误．．的是（）A ．丙有可能没有选素描B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10．已知定义在()0,+¥上的函数()f x ，()f x ¢是()f x 的导函数，满足()()0xf x f x '-<，且()2f ＝2，则()0x xf e e ->的解集是（）A ．()20,eB ．()ln2+∞,C ．()ln2-∞,D ．()2e +∞,11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列选项不正确的是（）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈.A ．若红玫瑰日销售量范围在()30,280μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.341312．一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（）A ．4500元B ．4000元C ．2880元D ．2380元二、填空题13．已知函数()f x x =，则1()f x dx ⎰＝_______．14．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =.且47522a a +=，则5S =______.15．已知函数()||x x f x e=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________.三、双空题16．从分别标有1，2，…，5的5张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的奇偶性不同的概率是______，记随机变量X 为两张卡片的数字和，则EX =______.四、解答题17．设ABC 的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，且有2sinBcosA sinAcosC cosAsinC+＝（1）求角A 的大小；（2）若21b c ＝，＝，D 为BC 中点，求AD 的长．18．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．19．甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率为23外，其余每局甲队获胜的概率都是12，假设每局比赛结果相互独立．（1）求甲队分别以3:0,3:2获胜的概率；（2）若比赛结果为3:0，胜方得3分，对方得0分，比赛结果为3:1，胜方得3分，对方得1分，比赛结果为3:2，胜方得3分，对方得2分，求甲队得分的分布列和数学期望．20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1A -，（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()2,1P 的直线与椭圆E 交于不同两点B 、C .求证：直线AB 和AC 的斜率之和为定值.21．已知函数()(1),()a f x x a lnx a R x=--+∈．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若0a >，求()f x 的单调区间．22．在平面直角坐标xOy 中，已知曲线C 的参数方程为3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()74πθ+=．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 上的两个动点M ，N 满足MN =P 在曲线C 上，以M ，N ，P 为顶点构造平行四边形MNPQ ，求平行四边形MNPQ 面积的最大值．参考答案：1．D【分析】化简得1z i =+，即得解.【详解】由题得1z i =+，所以21,z i i -=-所以|2||1|z i i -=-=故选：D 2．D【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【详解】由于“a ，b 不全为0”的否定为：“a ，b 全为0”，所以假设正确的是a ，b 全为0.故选：D ．3．A【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解.【详解】①(sin )08π'=，所以该运算错误；②3l 3)n (3'=x x ，所以该运算错误；③2()1log ln 2x x '=，所以该运算正确；④56()5x x -'-=-，所以该运算错误.所以正确的个数为1.故选：A.【点睛】易错点睛：(sin )cos 808ππ'=≠，因为sin 8π是一个实数，所以要代公式0C '=,不能代公式(sin )cos x x '=.所以代导数公式时，要看清函数的类型.4．D【详解】考点：古典概型及其概率计算公式．分析：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C 64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C 64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于315=15故选D ．5．B【分析】联立218a =，580S =，求出首项和公差，按照公式求通项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则21511851080a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得1202a d =⎧⎨=-⎩，所以()()2012222n a n n =+-⨯-=-．故选：B ．6．C【分析】先求导1()f x x'=，再设切点坐标为00(,)x x a +，求出0x 即得解.【详解】因为()=ln 2y f x x =+，所以1()f x x'=，设切点坐标为00(,)x x a +，所以0001()=1,1f x x x '=∴=.所以00()=ln12=2=1,1f x x a a a ++=+∴=.故选：C【点睛】结论点睛：函数()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-.7．B【解析】先求出()f x '，判断()f x '的奇偶性可排除AD ，再判断0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin 0x >可排除C.【详解】 ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，显然()()()=sin =sin f x x x x x f x '---=，故()f x '为偶函数，排除AD ．又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，sin 0x >，()0f x '∴<，排除C.故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．B【分析】由{}n a 为等差数列，且1815πa a a ++=，利用等差数列的性质得到412a a a =+的值，然后求定积分即可．【详解】因为{}n a 为等差数列，由等差数列的性质，得181583πa a a a ++==，即8π3a =.所以41282π23a a a +==，所以()4122π1cos cos 32a a a =+==-，所以()11111220d d 22102a x x x x x-===-=⎰⎰.故选：B 9．C【解析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．【详解】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描.那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描.综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确.不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况:由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确.故选:C.【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.10．C【解析】由导数公式得出2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，从而得出函数()f x x 的单调性，将不等式()0xxf ee->可化为()(2)2x xf e f e >，利用单调性解不等式即可.【详解】因为2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x x 在区间()0,+¥上单调递减不等式()0xxf e e->可化为()(2)2x xf e f e >，即2xe <，解得ln 2x <故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数()f x x的单调性，利用单调性解不等式.11．C【分析】求出μ的值，可判断A 选项的正误；比较红玫瑰日销售量和白玫瑰日销售量方差的大小，可判断BC 选项的正误；计算()280320P X <<的值，可判断D 选项的正误.【详解】若红玫瑰的日销售量范围在()30,280μ-的概率是0.6826，则30280μ+=，解得250μ=，A 对；红玫瑰日销售量的方差为21900σ=，白玫瑰日销售量的方差为221600σ=，且2212σσ<，故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，B 对C 错；因为32028040=+，所以，()()0.6826280320280280400.34132P X P X <<=<<+==，D 对.故选：C.12．B【分析】根据题意，先求得正四棱柱的底面棱长和高，由体积公式即可求得正四棱柱的体积，减去文物的体积，即可求得罩内的气体体积，进而求得所需费用.【详解】由题意可知，文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米所以由正方形与圆的位置关系可知：底面正方形的边长为0.920.3 1.5m +⨯=文物高1.8，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米所以正四棱柱的高为1.80.22m +=则正四棱柱的体积为231.52 4.5m V =⨯=因为文物体积为30.5m 所以罩内空气的体积为34.50.54m -=气体每立方米1000元所以共需费用为410004000⨯=元故选：B 13．142π+【分析】先利用数形结合求出4π=⎰，再利用定积分的运算和微积分基本原理求解.【详解】令221),+1(0,01)y x x y y x =≤≤∴=≥≤≤，它表示单位圆在第一象限的14个圆，因为⎰表示14个圆的面积，所以21144ππ=⨯⨯=⎰.所以1121000011()|4242f x dx xdx x ππ=+=+=+⎰⎰⎰.故答案为：142π+【点睛】方法点睛：定积分的计算常用的方法有：（1）利用微积分基本原理求解；（2）数形结合转化为几何图形的面积求解.要根据已知条件灵活选择方法求解.14．31【解析】化简得到42a =，714a =，故12q =，116a =，在计算5S 得到答案.【详解】21744a a a ==，故42a =，47522a a +=，故714a =，故37418a q a ==，故12q =，116a =.551121631112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：31.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，求和，意在考查学生对于等比数列公式的灵活运用.15．1(1,1)e+【分析】方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，即方程()[]()1()10f x m f x ⎡⎤---=⎣⎦有四个不相等的实数根，则()()=1f x m -或()=1f x 有四个不相等的实数根，结合图象利用分类讨论()=1f x 与()()=1f x m -的根的情况，其中当0x >时分别构造函数()xg x e x =-与()()1x h x m e x =--分析，最后由转化思想将函数()h x 有两个零点转化为()min h x 小于0构造不等式求得答案.【详解】方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，即方程()[]()1()10f x m f x ⎡⎤---=⎣⎦有四个不相等的实数根，则()()=1f x m -或()=1f x 有四个不相等的实数根，因为函数()||0101xx f x m m e =≥⇒-≥⇒≥，对方程()=1f x 的根分析，令||1||x x x x e e=⇒=，由图象分析可知，当0x <时，必有一根，当0x >时，令()xg x e x =-，则()10x g x e '=->，所以函数()g x 单调递增，故()()00010g x g e >=-=>，所以当0x >时，方程()=1f x 无根，故方程()=1f x 只有1个根，那么方程()()=1f x m -应有3个根，对方程()()=1f x m -的根分析，令()||1||1x x x m x m e e=-⇒=-，由图象分析可知，当0x <时，必有一根，当0x >时，方程()||1x x m e =-应有2两个不等的实根，其等价于方程()1||0x m e x --=有2个不等的实根，令()()1x h x m e x =--，则()()11x h x m e '=--，且其在0x >内有两个零点，显然当()()()211020x m h x m e h m ''≥⇒=-->=-≥，函数()h x 单调递增，不满足条件，则2m <；令()()110110ln 011x x h x m e e x m m '=⇒--=⇒=⇒=>--，则函数()h x 在区间10,ln 1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭单调递增；所以函数()h x 在1ln 1x m =-取得极小值，同时也为最小值，()()()1ln 1min 11ln 1ln ln 111m h x h m e e m m m -⎛⎫==--=-⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭，函数()h x 若要有两个零点，则()()()min 10ln 10111h x e m e m m e<⇒-<⇒-<⇒<+⎡⎤⎣⎦，综上所述，实数m 的取值范围是1(1,1)e+.故答案为：1(1,1)e+【点睛】本题考查了函数与方程的数学思想，还考查了由函数零点个数求参数取值范围与利用导数分析方程的根的个数，属于难题.16．356【分析】结合组合的思想分别求出抽取2次的组合数以及奇偶性不同的组合数，即可求出概率；写出X 的可能取值，并且求出每种取值下的概率，即可求出EX .【详解】解：5张卡片中不放回地随机抽取2次共有25C 种可能，其中奇偶性不同共有3211C C 种，所以2张卡片上的奇偶性不同的概率是11322535C C C =；由题意知，3,4,5,...,9X =，则()1310P X ==，()1410P X ==，()215105P X ===，()216105P X ===，()217105P X ===，()1810P X ==，()1910P X ==，所以11111113456789610105551010EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为:35;6.【点睛】本题考查了组合数的计算，考查了古典概型概率的求解，考查了离散型随机变量的数学期望的求解.17．（1）A ＝3π；（2）2.【分析】（1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得；（2）用余弦定理求出a ,利用已知数据得2B π=,在直角三角形中利用勾股定理求解.【详解】解（1）由题设知，)2(sinBcosA sin A C sinB＝＋＝因为sinB 0≠，所以1cos 2A =由于0A π<<，故3A π＝（2）因为222124122132a b c bccosA 创＝＋－＝＋－，所以222a c b ＋＝，所以2B π=.因为D 为BC中点，所以12BD AB ＝＝，所以AD =【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．18．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ,由于AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.19．（1）甲队分别以3:0,3:2获胜的概率分别为11,84；（2）分布列见解析；期望为178．【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）由题意知，随机变量X 的所有可能的取值，根据事件的互斥性计算概率值，从而写出X 的分布列，求出所对应的数学期望．【详解】解：（1）甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，记“甲队以3:0获胜”为事件A ，记“甲队以3:2获胜”为事件B ，3223234111121(),()1282234P A C P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⋅⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭，所以甲队分别以3:0,3:2获胜的概率分别为11,84．（2）若甲队得3分，则甲胜，结果可以为3:0,3:1,3:2，若甲队得0分，1分，2分，则甲败，结果可以为0:3,1:3,2:3，设甲队得分为X 则X 的可能取值为0、1、2、3，0303111(0)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎭⋅⎝，12131113(1)1122216P X C ⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224111(2)1122382P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅302122322334111111129(3)112222222316P X C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅X 的分布列为：X0123P 1831618916甲队得分的数学期望31917()123168168E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）利用a b c 、、的关系直接求解即可；（2）设出BC 的方程为()()210y k x k =-+>，联立椭圆方程，再表示出AB 和AC 的斜率，最后说明之和为定值.【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1A -得，1b =.设半焦距为c ，由离心率为2得，2c a =又因为222a b c =+，所以22314a a =+，解得2a =故椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）因为直线BC 过点()2,1P 且与轨迹E 有两个不同交点所以直线BC 的斜率一定存在且大于零.于是可设直线BC 的方程为()()210y k x k =-+>.代入2244x y +=并整理得()()()22418211610k x k k x k k +--+-=.()()()222=8124141616640k k k k k k ∆--+-=>⎡⎤⎣⎦设()11,B x y ，()22,C x y ，则()12282141k k x x k -+=+，()12216141k k x x k -=+.设直线AB 和AC 的斜率分别为1k 和2k ，则()()1212121212222211k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()()()1212211612122161k x x k k k k k x x k k -+--=-=--()2211k k =--=为定值，此题得证.【点睛】考查椭圆方程的求法以及根据直线和椭圆的位置关系求两条直线的斜率之和为定值.直线和椭圆相交时，采用设交点坐标而不求出的方法，一定注意判别式大于零，同时用上韦达定理，可使解题简单；难题.21．（1）极大值1-；极小值132ln -；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）首先求函数的导数，2232()(0)x x f x x x -+'=>，判断函数的单调性后得到函数的极值；（2）222(1)()(1)()x a a x x a x f x x x +-+--'==，分1a >，1a =和01a <<三种情况讨论求函数的单调递减区间.【详解】解：（1）因为当2a =时，2()3f x x lnx x =--，所以2232()(0)x x f x x x -+'=>，由()0f x '=得1x =或2x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况列表如下：x(0,1)1(1,2)2(2,)+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增1-单调递减132ln -单调递增所以当1x =时，()f x 取极大值1-；当2x =时，()f x 取极小值132ln -．（2）222(1)()(1)()x a a x x a x f x x x +-+--'==，12()0,1f x x a x '=⇒==①当1a >时，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．②当1a =时，()0f x '≥在(0,)+∞恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当01a <<时，当(0,)x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,1)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，①当1a >时，()f x 单调递增区间为(0,1)，(,)a +∞．单调递减区间为(1,)a ；②当1a =时，()f x 单调增区间为(0,)+∞，无减区间；③当01a <<时，()f x 单调递增区间为(0,)a ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)a ．22．（1）221916x y +=；70x y --=；（2）【分析】（1）曲线C 的参数方程消去参数θ，即可求出C 的普通方程，再把极坐标化为直角坐标即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 上的点坐标为(3cos ,4sin )P αα，利用点到直线的距离公式和辅助角公式求出d 的最大值，再利用求面积的公式代入即可.【详解】解：（1）曲线C 的参数方程为3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，消去参数θ，可得曲线C 的标准方程为221916x y +=．直线l cos()74πθ+=，化简可得cos sin 7ρθρθ-=，∵cos ,sin x y ρθρθ==,∴70x y --=．（2）设(3cos ,4sin )P αα，则点P 到直线70x y --=的距离d =所以max d =当且仅当cos()1αϕ+=-，即2,k k Z αϕππ+=+∈取到最大值，所以平行四边形MNPQ 面积的最大值max S ==.。
河南省高二下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，则一100122100333=++⋯+a a a x 1a 2a ⋯100a x 定不属于 ()A ．，B ．，C ．D ． [01)(01]12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】运用特殊值法，逐个排除、、，即可得出答案为．A B D C 【详解】解：本题可以用特殊值法进行排除，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，1a 2a ⋯100a 当得，，故错误，1231000a a a a ===⋯==0x =A 当，，，故、错误， 12a =231000a a a ==⋯==23x =B D 故选：．C 【点睛】本题根据选择题的特点，可以运用特例法进行排除得出结论，考查学生灵活运用数学方法解决问题的能力，属于基础题．2．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则{}n a n n S 3110S S -=124,,a a a （ ）3a =A ．B ．C ．或D ．265612【答案】B【解析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求. 3a 【详解】设等差数列的公差为，则 ， d ()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得或（舍），故， 122a d =⎧⎨=⎩150a d =⎧⎨=⎩()322316a =+⨯-=故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．3．已知等比数列满足，，则 {}n a 118a =35421a a a =-2a =A ． B ． C ．1 D ．21412【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及，代入首项即可求得公比q ，进而求得的值．35421a a a =-2a 【详解】由等比数列通项公式及，可得 ，代入 35421a a a =-24311121a q a q a q ⋅=-118a =化简得 ，即 6316640q q -+=()2380q -=所以2q =由等比数列通项公式可得 2111284a a q ==⨯=所以选A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题．4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为{}n a {}n b n n S n T 1n n S n T n =+87a b （ ）A ．B ．C ．D ． 1312141315141615【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首{}n a {}n b 1d 2d 项、公差之间的关系,可得结论. 【详解】设等差数列的公差分别为和{}{},n n a b 1d 2.d ,即 11111,12n n S S a n T n T b =∴==+1112a b =,即 ① 2112122223S a d T b d +∴==+11232b d d =-,即 ② 311312333334S a d T b d +∴==+21143d d b =-由①②解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C5．已知为等差数列，公差，，则（ ）{}n a 2d =24618a a a ++=57a a +=A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】利用等差数列的性质求解.【详解】， 24618a a a ++=，4318a ∴=解得，46a =，64210a a d ∴=+=.576220a a a ∴+==故选：D6．四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若P ABCD -，则等于（ ）23AE x AB yBC z AP =++ x y z ++A ．1B ．C ．D ．21112116【答案】B 【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可111222AE AB BC AP =++ ,,x y z 得选项.【详解】因为， ()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++- 所以，所以，所以 ， 2AE AB BC AP =++ 111222AE AB BC AP =++ 111,2,3222x y z ===解得，所以， 111,,246x y z ===11111++24612x y z ++==故选：B.7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（n a n ）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4*9,≤∈n n N {}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数个圆环所需的最少移动次数为 （ ）A ．7B ．10C ．12D ．22【答案】A【分析】由递推式依次计算．【详解】由题意知，，， 21212111=-=⨯-=a a 32222124=+=⨯+=a a 43212417=-=⨯-=a a 故选：A.【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．8．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）A ．545B ．547C ．549D ．551【答案】C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有个数，可求出前行共有个数，根据12m -m 21m -以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第行有个数，m 12m -所以前行共有个数，所以前8行共255个数.m 21m -因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.()127512549+-⨯=故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律n 是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，1F 2F C 221y x b -=2F x C A B 若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）1ABF AA ．B ．的焦距是2b =CC ．D ．的面积为C1ABF A 【答案】ACD【分析】设，则，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心2||AF t =1||2AF t =率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】设，则，离心率C 正确， 2||AF t =1||2AF t =1212||||F F e AF AF ==-∴，，选项A正确，e =2b =，选项B 错误，12F F ==设，将，()AA A x y ，A x =的面积为D 正确，1ABF A 12122A S F F y =⋅⋅=故选:ACD.10．已知数列满足，下列说法中正确的有（）{}n a ()*,01N n n a n k n k =⋅∈<<A ．当时，数列为递减数列12k ={}n a B ．当时，数列不一定有最大项112k <<{}n a C ．当时，数列为递减数列 102k <<{}n a D ．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项1kk -{}n a 【答案】CD【分析】由于，再根据k 的条件讨论即可得出. ()()1111n n n n n kn k a a n k n +++⋅+==⋅【详解】选项A ，当时，，12k =12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴，当时，，()111112212n n n n n a n a n n ++⎛⎫+⋅⎪+⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭1n =12a a =因此数列不是递减数列，故A 不正确．{}n a 选项B ，当时，，112k <<()()1111n n n n n k n ka a n k n +++⋅+==⋅∵随n 的增大逐渐减小，当时，， 111n n n +=+1n =()121n kk n +⋅=>当时，，且小于1， n →+∞()1n k k n+⋅→∴数列一定有最大项，故B 不正确． {}n a 选项C ．当时，，102k <<()()1111112n n n n n k n k a n a n k n n +++⋅++==<≤⋅∴，因此数列为递减数列，故C 正确．1n n a a +<{}n a 选项D ，∵为正整数，∴，∴． 1k k -1k k ≥-112k ≤<， ()()1111n n n n n k n k a a n k n+++⋅+==⋅当时，， 12k =1234a a a a =>>> 当时，令，则， 112k <<()*N 1k m m k =∈-1m k m =+∴，又，，总有成立， ()()111n n n m a a n m ++=+*N m ∈*N n ∈m n =∴， 11n na a +=因此数列必有两项相等的最大项，故D 正确．{}n a 综上可知，只有CD 正确．故选：CD.11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为{}n a n n S ，则下面对该数列描述正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．共有202项11a =333S =437a a -=【答案】AB【分析】利用等差数列的定义、通项公式、前项和公式进行逐一判断即可.n 【详解】将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列， L 所以，所以，因此选项A 正确；109n a n =-11a =，因此选项B 正确； 31313210332S =⨯+⨯⨯⨯=，所以选项C 不正确；4310a a -=，∴．∴共有203项，所以选项D 不正确，1092021n -≤203n ≤故选：AB12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，记，则下列结论正确的是（ ）{}n a 12211,n n n a a a a a ++===+121ni n i a a a a ==+++∑ A ．B ．C ．D ．1055a =()2233n n n a a a n -+=+≥201920211i i a a ==∑20212202120221i i a a a ==∑A 【答案】ABD【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.【详解】依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A 正{}n a 1055a =确；依题意，当时，，得，B 正3n ≥12n n n a a a --=+21213n n n n n n n n a a a a a a a a ---+=+++=++22n n a a -+=+确；由给定的递推公式得：，，…，，累加得321a a a -=432a a a -=202120202019a a a -=，20212122019a a a a a -=+++ 于是有，即，C 错误；1220192021220211a a a a a a +++=-=- 2019202111i i a a ==-∑，，，…，2121a a a =⋅()222312321a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅()233423432a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅ ()22021202120222020a a a a =⋅-，因此，，D 正确.2021202220212020a a a a =⋅-⋅22212202120212022a a a a a +++=⋅ 故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题13．记为等差数列的前n 项和，已知，，则______n S {}n a 40S =510a =n n a S +=【答案】22410n n --【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，d 因为，，40S =510a =所以，解得， 1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩164a d =-⎧⎨=⎩所以， 2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--故答案为： 22410n n --14．已知数列满足则___.{}n a 111,2(1),n n a na n a +==+8a =【答案】1024【分析】由可得，从而可得数列是以2为公比，1为首项的111,2(1),n n a na n a +==+121n n a a n n +=⋅+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等比数列，可求出通项公式，进而可求出8a 【详解】因为111,2(1),n n a na n a +==+所以， 121n n a a n n+=⋅+所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以， 112n n a n-=⨯12n n a n -=⋅所以，8137108822221024a -=⨯=⨯==故答案为：102415．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，{}n a 其公差为3，所以，解得， 515453602S a ⨯=+⨯=16a =所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．29a =故答案为：916．已知数列的首项，则_________． {}n a 1111,12n na a a +==-2021a =【答案】1-【分析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期1234,,,,a a a a {}n a 3性，即可求解.【详解】由，则， 1111,12n n a a a +==-234123111111,12,1,2a a a a a a =-=-=-==-= 以此类推可知，对任意的，都有，*n ∈N 3n n a a +=即数列是以为周期的周期数列，{}n a 3因为，所以.202136732=⨯+202121a a ==-故答案为：.1-四、解答题17．记是等差数列的前项和，若，n S {}n a n 535S =-721S =-(1)求的通项公式，{}n a (2)求的最小值n S 【答案】(1)419n a n =-(2)-36【分析】（1）设的公差为d ，由等差数列的前项和公式建立方程组，然后可得公差和首项，{}n a n 从而根据等差数列的通项公式即可得答案；（2）由解得，再根据等差数列的前项和公式及二次函数的性质即可求解. 0n a ≥194n ≥n 【详解】（1）解：设的公差为d ，则，， ()1{}n a 1545352a d ⨯+=-1767212a d ⨯+=-，，；115a ∴=-4d =()1541419n a n n ∴=-+-=-（2）解：由得， 4190n a n =-≥194n ≥，，，时，时，，1n ∴=2340n a <5n ≥0n a >的最小值为. n S ∴41434362S a d ⨯=+=-18．已知数列是等差数列，且，求：{}n a 11a =1028a a -=(1)的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值． 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S ()12n m S m N +≤∈n N +∈m 【答案】(1)n a n =(2)9【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出了通项公式； d （2）写出数列的前项和，再通过裂项相减法化简，放缩法求出的范围，最后结合所给条件n n S n S 数轴法求出的取值范围并求得最小值.m 【详解】（1）设数列公差为，则，{}n a d 1019a a d =+21a a d =+则，解得.102119()8a a a d a d -=+-+=1d =∴的通项公式为：{}n a 1(1)1n a n n =+-⋅=（2）根据题意， 1324221111111324n n n n n a a a a a a S a a ++=+++=+++⨯⨯ 21111111111111112324223342n n a a n n +⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ . ()()111132331221242124n n n n n ⎡⎤+⎛⎫=⨯+-+=-< ⎪⎢⎥++⋅+⋅+⎝⎭⎣⎦若对任意恒成立，则，解得. ()12n m S m N +≤∈N n +∈3124m ≥9m ≥∴的最小值为9.m 19．在数列中，，对，．{}n a 11a =*n N ∀∈1(1)(1)n n na n a n n +-+=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和． n b ={}n b n n S 【答案】（1）；（2） . 2n a n =1n n +【解析】（1）先由，进而说明数列是首项、公差均为11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1的等差数列，求出，即可求得； n a n n a （2）先由（1）中求得的求出，再利用裂项相消法即可求得其前项和．n a n b n n S 【详解】（1），1(1)(1)n n na n a n n +-+=+ ，又， ∴111n n a a n n +-=+111a =数列是首项、公差均为1的等差数列． ∴{)n a n ，所以； ∴()111n a n n n=+-⨯=2n a n =（2）由（1）得，2n a n =， 111(1)1n b n n n n ∴===-++． 111111(1()()1223111n n S n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为{}n a 13a =n n S {}n b 11b =，且. (1)≠q q 222212S b S q b +==，(1)求与；n a n b (2)证明：. 1211123n S S S +++< 【答案】(1)；13,3n n n a n b -==(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差d ，公比q 的方程组，解方程组即可计算作答. （2）由（1）的结论，求出，再利用裂项相消法求和推理作答.n S 【详解】（1）设的公差为，因，，，则，而，解{}n a d 13a =11b =222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩0q >得：，，3q =3d =于是得，3(1)33n a n n +-⨯==11133n n n b --=⨯=所以，.3n a n =13n n b -=（2）由（1）知，则，， (33)3(1)22n n n n n S ++==12211()3(1)31n S n n n n ==-++*N n ∈于是得， 12111211111111[()((()]31223341n S S S n n +++=-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+所以. 1211123n S S S +++< 21．已知数列的前项和满足，．{}1n a +n n S 3n n S a =*n ∈N （1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；{}1n a +n a n （2）若，求数列的前项和． ()32log 1n n b a =+(){}1n n a b +n n T 【答案】（1）证明详见解析；;（2）．312n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为，即，当时()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=12...3n n a a a n a ++++=2n ≥，两式相减再配凑得到数列是首项为，公比为的等比数1211...13n n a a a n a --++++-={}1n a +3232列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式；{1}n a +{}n a （2）根据（1）的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据{}n b {(1)}n n a b +通项公式的特点运用错位相减法计算出前项和．n n T 【详解】（1）由题设，()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=即①12...3n n a a a n a ++++=当时，，解得， 1n =1113a a +=112a =当时②2n ≥1211...13n n a a a n a --++++-=①－②得，即 1133n n n a a a -+=-13122n n a a -=+又 ()()131122n n a a n -+=+≥1312a +=所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 {}1n a +3232312n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故． 312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1），则， ()33223log 1log 2n n n b a n ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()312n n n a b n ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭ ()123133333123...+122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2341333333123...1222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111333333...+2222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1333122n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和，考查学生逻辑推理能力n 和数学运算能力．属中档题．22．已知为等差数列的前项和，，.n S {}n a n 5134a a a =+416S =（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 21n a n =-21n n T n =+【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； {}n a 1a d 1,a d （2）用裂项相消法求和．n T 【详解】（1）设数列的首项为，公差为.{}n a 1a d 由题意得 11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩解得 11,2.a d =⎧⎨=⎩∴数列的通项公式{}n a ()121n a n =+-.21n =-（2）由（1）得， ()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+∴． 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等n 求和方法．。
黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第二次月考(6月)数学试题
黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题一、单选题1．已知直线l ：1y x =+，且与曲线()y f x =切于点()2,3A ，则()()Δ02Δ2lim Δx f x f x→+-的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．已知随机变量X 的分布列如下：则()32D X +的值为（ ） A ．20B ．18C ．8D ．63．已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(1)1(5)5P P ξξ<=<，则(35)P ξ<<=（ ）A ．16B ．15C ．13D ．254．某种产品的广告支出费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下关系：已知y 与x 的线性回归方程为ˆ525yx =+，则当广告支出费用为6万元时，残差为（ ） A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．105．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A ．96种B ．132种C ．168种D ．204种6．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设,,(0)a b m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．若1222020202020C 2C 2C 2a =⋅+⋅++⋅L ，(mod8)a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2022B ．2023C ．2024D ．20257．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A 表示“乙获得比赛胜利”，事件B 表示“比赛进行了七局”，则()PBA =（ ） A ．716B ．516C ．316D ．1168．已知函数()1e xf x x =-与直线1y =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12x x -所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4二、多选题9．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．若随机事件A ，B 满足：(|)()1P A B P A +=，则A ，B 相互独立 B ．随机变量()4,X B p ～，若方差()34D X =，则()3164P X == C ．若相关系数r 的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强D ．对具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4-10．在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 相邻，则不同的排序种数有240种 B ．若C ，D 相隔一个实验，则不同的排序种数有96种C ．若E 不在第一个，F 不在最后一个，则不同的排序种数有504种D ．A 排在B ，C 之前的概率为1311．某届国际羽联世界锦标赛单打决赛在甲､乙两人之间进行，比赛采用五局三胜制.按以往比赛经验，每一局甲获胜的概率为(01)p p <<，则下列说法一定正确的有（ ）A ．当23p =时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率 B ．当23p =时，打三局结束比赛的概率最大C ．当16p =时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率D ．当16p =时，打三局结束比赛的概率最大三、填空题12．设盒中有大小相同的“中华”牌和“红星”牌玻璃球，“中华”牌的10个，其中3个红色，7个蓝色；“红星”牌的6个，其中2个红色，4个蓝色．现从盒中任取一个球，已知取到的是蓝色球的前提下，则它是“红星”牌的概率是．13．已知随机变量9~,122N ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()P a P b ξξ>=<，则n a b =+，则二项式nx ⎛⎝展开式中含6x 的项为14．若关于x 的不等式1e lnln x x mx m x++≥+恒成立，则实数m 的最大值为．四、解答题15．已知奇函数()32f x ax bx cx =++在1x =处取得极大值2．(1)求()f x 的解析式；(2)若[]4,3x ∃∈-，使得()29f x m m ≥-有解，求实数m 的取值范围．16．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下22⨯列联表：注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． (1)请完成上面22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；(2)将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X ，求X 的数学期望()E X 和方差()D X ；(3)将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++17．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(1)求a 的值;(2)若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多 1株高度低于23cm 的概率.18．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．(1)根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程； (3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据；1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-， 12555i ix =∑=，145979i ix =∑=，15390i i y =∑=，151221i i i x y =∑=，1254607.9i i i x y =∑=19．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标()123,,a a a 表示，其中{}()0,113,N i a i i ∈≤≤∈．而在n 维空间中()2,N n n ≥∈，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标()123,,,,n a a a a L L ，其中{}()0,11,N i a i n i ∈≤≤∈．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点()123,,,,n a a a a L L 与()123,,,,n b b b b L L 坐标差的绝对值之和，即为112233n n a b a b a b a b -+-+-++-L L ．回答下列问题： (1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X 的分布列与期望；②证明：在n 足够大时，随机变量X 的方差小于20.25n ．（已知对于正态分布()2,X N μσ~，P 随X 变化关系可表示为()()222,x x e μσμσϕ--=）。
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第Ⅰ卷(选择题 共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2(1)41i Z i -+=+，则Z 的虚部为 （ ）A.-1B.-3C.1D. 32.观察下列算式：122=，224=错误！未找到引用源。
，328=错误！未找到引用源。
，4216=错误！未找到引用源。
，5232=错误！未找到引用源。
，6264=，72128=错误！未找到引用源。
，82256=……用你所发现的规律可得20192错误！未找到引用源。
的末位数字是 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．83．设错误！未找到引用源。
为锐角三角形的两个内角，则复数()()i A B A B Z cos sin sin cos -+-=对应的点位于复平面的 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.用数学归纳法证明： “(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅+……错误！未找到引用源。
”．从“1n k n k ==+到”左端需增乘的代数式为 （ ）A.()()2122k k ++ 错误！未找到引用源。
B. ()221k + 错误！未找到引用源。
C.211k k ++ 错误！未找到引用源。
D. 231k k ++错误！未找到引用源。
5.6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 （ ）A.144B.120C.72D.246.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点各不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则()|B P A ＝ （ ）A.29B.13C.49D.59错误！未找到引用源。
7.已知⎰=π0sin xdx n 错误！未找到引用源。
，则)51(1)nx -错误！未找到引用源。
的展开式中4x 的系数为 （ ）A.-15B.15C.-5D.58.把15个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法 （ ）A.18B. 28C.38D.429.已知()()5260126221+x x a a x a x x +-=+++…a 错误！未找到引用源。
，则024a a a ++=错误！未找到引用源。
（ ）A ．123B ．91C ．-152D ．-12010.已知离散型随机变量X 服从二项分布()~B ,X n p ，且()()4,E X D X q ==，则11p q +的最小值为 （ ）A.2B.5211.若一个四位数的各位数字相加和为18，则称该数为“完美四位数”，如数字“4239”.试问用数字2,3,4,5,6,7,8,9组成的无重复数字且大于4239的“完美四位数”有 （ ）个A ．59B ．66C ．70D ．7112.已知函数()f x 的导数为()f x '，且()()()10x f x xf x '++≥对[)0,x ∀∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A.()()122f ef <B.()()12ef f <C.()10f < 错误！未找到引用源。
D.()()22ef e f <错误！未找到引用源。
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.若复数Z 满足2Z =，则34Z i +-（期中i 为虚数单位）的最小值为________．14.1227272727+S C C C =++…除以9的余数为________．15.已知随机变量()~1,4N ξ，且()30.84P ξ<=，则()11P ξ-<<=______．16.已知抛物线2:2C y x =错误！未找到引用源。
，过点（1,0）错误！未找到引用源。
任作一条直线和抛物线C 错误！未找到引用源。
交于B A ,两点，设点()2,0G 错误！未找到引用源。
，连接,AG BG 并延长，分别和抛物线C 交于点B A ''和，则直线B A ''过定点__________．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos cos C a B b A c +=． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆错误！未找到引用源。
，求ABC ∆的周长．18. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32． （Ⅰ）记甲击中目标的次数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．19.已知数列{}n a 的前n 项和为*,n S n N ∈错误！未找到引用源。
，且3122n n S a =-错误！未找到引用源。
．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1n n n b a +=错误！未找到引用源。
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．错误！未找到引用源。
20.已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止． （I ）求检验次数为4的概率；（II ）设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为3错误！未找到引用源。
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值．22.已知函数)1()(2++-=x x a e x f x 错误！未找到引用源。
．（1）若0=x 是错误！未找到引用源。
)(x f 的极大值点，求a 的值；（2）若)(x f 在()+∞,0上只有一个零点，求a 的取值范围.答案与解析1.【答案】D 【解答】解：∵∴复数的虚部为3．故选D ． 2. D 【详解】通过观察可知，末尾数字周期为错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
的末位数字与错误！未找到引用源。
末尾数字相同，都是错误！未找到引用源。
．故选D ．3.【答案】B 试题分析：因为错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
为锐角三角形的两个内角，所以A+B>2错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
<0，错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=－错误！未找到引用源。
=－错误！未找到引用源。
>0，所以选B 。
4.【答案】B 【解答】解: 当n=k 时，左端=（k+1）（k+2）（k+3）…（2k ），当n=k+1时，左端=（k+2）（k+3）…（2k ）（2k+1）（2k+2），从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是．故选B ．5.【答案】D 【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选D ．6.【答案】A 解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3×3×3=27种，所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27=108种，因为4个人去的景点不相同的可能性为4×3×2×1=24种，所以P （A|B ）==．故选：A ．7.【答案】D 【解答】解：，所以所以x 4的系数为.故选D.8.【答案】B 【解答】解：当a=1时，b+c=8，此时（b ，c ）的情况有（1,7）,（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2），（7,1）共7种情况；当a=2时，b+c=7，此时（b ，c ）的情况（1,6）,（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）共6种情况；当a=3时，b+c=6，此时（b ，c ）的情况类比上面，共5种情况；当a=4时，b+c=5，此时（b ，c ）的情况类比上面，共4种情况；当a=5时，b+c=4，此时（b ，c ）的情况类比上面，共3种情况；当a=6时，b+c=3，此时（b ，c ）的情况类比上面，共2种情况；当a=7时，b+c=2，此时（b ，c ）的情况类比上面，共1种情况；∴方程a ＋b ＋c ＝9的正整数解（a ，b ，c ）的个数有1+2+3+4+5+6+7=28种；故选B.9.C 【详解】在（x+2）（2x ﹣1）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，取x=1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=3，取x=﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6=﹣243，∴2（a 0+a 2+a 4+a 6）=﹣240，即a 0+a 2+a 4+a 6=﹣120，又a 6=32，则a 0+a 2+a 4=-152故答案为：C ．10.【答案】C 【解答】解：若X=11，则取11次停止，第11次取出的是红球，前10次中有8次是红球，则P （X=11）==，故选C ． 11. D 【解析】由题设中提供的信息可知：和为10四位数字分别是（0,1,2,7），（0,1,3,6），（0,1,4,5）（0,2,3,5），（1,2,3,4）共五组；其中第一组（0,1,2,7）中，7排首位有336A =种情形，2排首位，1、7排在第二位上时，有2224A =种情形，2排首位，0排第二位，7排第三位有1种情形，共64111++=种情形符合题设；第二、三组中3,、6与4、5分别排首位各有3322612A =⨯=种情形，共有21224⨯=种情形符合题设；第四、五组中2、3、5与2、3、4分别排首位各有3333618A =⨯=种情形，共有21836⨯=种情形符合题设。
依据分类计数原理可符合题设条件的完美四位数共有11243671n =++=种，应选答案D 。
12. A 解：构造函数F （x ）=xe x f （x ），则F ′（x ）=e x[（x+1）f （x ）+xf′（x ）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，∴函数F （x ）=xe x f （x ）在[0，+∞）上单调递增， ∴F（1）＜F （2）， ∴f（1）＜2ef （2）， 故选：A ．13.【答案】3 14.【答案】7解答】解：∵=227-1=89-1=（9-1）9-1=•99-•98+•97+…+•9--1，∴除了最后两项外，其余的各项都能被9整除，故该式除以9的余数即最后两项除以9的余数，为715.【答案】0.34【解答】解：随机变量ξ～N（1，4），∴函数曲线关于ξ=1对称，又P（ξ＜3）=0.84，∴P（ξ≥3）=1-P（ξ＜3）=0.16，∴P（-1＜ξ＜3）=1-0.16×2=0.68；∴P （-1＜ξ＜1）=P（-1＜ξ＜3）=0.34．故答案为0.34．16.【答案】错误！未找到引用源。