电磁场的矢势和标势
电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势
A(x)
0 4
J (x ')dV r
'
• 式中x '是源点，x是场点，r为由x ' 到x的距离。
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9
矢势的多级展开
• 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离 该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。 取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得
A(x)
0 4
E A .
t
• 因此，一般情况下电场的表示式为
E A .
t
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17
用势描述电磁场
B A
E
A t
• 把电磁场用矢势和标势表示出来。
• 注意现在电场E不再是保守力场，一般不存在势能的概 念，标势φ失去作为静电场中势能的意义。
• 因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。
• 在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢
势和标势作为一个整体来描述电磁场。
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18
规范变换和规范不变性
• 用矢势A和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定 的E和B并不对应唯一的A和φ 。
• 这是因为对矢势A可以加上一个任意函数的梯度 ▽ψ ，结果不影响B，而这加在A上的梯度部分在 E式中有可以从-∂ψ/∂t中除去，结果亦不影响E。
B 0J
B0
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7
静磁场的矢势
• 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若
B 0
• 则 B 可表为另一矢量的旋度
B A
• A 称为磁场的矢势。
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2020年清华大学电子工程系957 电子信息科学专业基础(含信号与系统和电磁场理论)考试大纲——盛世清北
2020年清华大学电子工程系957 电子信息科学专业基础（含信号与系统和电磁场理论）考试大纲——盛世清北本文由盛世清北查阅整理，专注清华大学考研信息，为备考清华大学考研学子服务。
以下为2020年清华大学电子工程系957 电子信息科学专业基础（含信号与系统和电磁场理论）考研考试大纲：电磁场理论部分：一、矢量分析与场论1. 矢量概念&运算矢量、位矢、点乘、差乘、导数、梯度、通量、散度、旋度、代数运算公式2. 矢量微分算子及恒等式微分算子、二重微分算子、包含微分算子的恒等式3. 矢量积分定理高斯散度定理、斯托克斯定理4. 正交曲线坐标系直角坐标、柱坐标、球坐标，及梯度、散度、旋度5.场的唯一性定理二、电磁场的基本规律1. 电荷和电场库仑定律、电荷激发的电场、高斯定理（微/积分形式）、静电场旋度2. 电流和磁场电荷守恒定律、毕奥-萨伐尔定律、磁场的散度和旋度（以及积分形式）3. 时变电磁场和麦克斯韦方程组电磁感应定律、位移电流（麦克斯韦-安培定律）、麦克斯韦方程组4. 介质的电磁性质电偶极子、电偶极矩、电极化强度矢量、束缚电荷密度、束缚电荷面密度、介质中的高斯定理、电位移矢量5. 磁偶极矩、磁化强度矢量、磁化电流（密度）、极化电流密度、磁场强度、磁导率、介质中的麦克斯韦-安培定律、介质中的麦克斯韦方程组6. 电磁场的边值关系电场、磁场法向和切向边值关系三、静电场1. 电势电势的定义、点电荷激发的电势、连续电荷激发的电势、均匀电场的电势、电荷、电场、电势的“三角关系”2. 电势的微分方程、电势的边值关系3. 标量位多极展开适用的情形、展开式各项的意义和形式4. 静电场的能量与力5. 唯一性定理6. 分离变量法直角坐标系、球坐标系分离变量法7. 镜像法导体存在情况下镜像法、无限大介质平面的镜像法8. 格林函数法求解相应情况下的格林函数、利用格林公式求解复杂边界情况下的电势分布9. 有限差分方法四、静磁场1. 磁矢势及微分方程磁矢势的定义、磁矢势微分方程、磁矢势边值关系、电流-磁场-矢势的三角关系2. 磁标势及微分方程磁标势的定义、应用条件、磁标势泊松方程、磁标势边值关系、磁荷的定义和意义3. 静磁场的唯一性定理4. 磁多极矩和磁场的能量磁标势的多极展开、磁偶极矩、磁场的储能五、电磁波的传播1. 时谐电磁波和Maxwell方程组时谐电磁波的复数形式、时谐场的Maxwell方程组、时谐场波动方程2. 坡印廷定理坡印廷定理（时域）、坡印廷矢量（瞬时形式和复数形式）、物理含义3. 平面波平面波表达式、平面波的特征、波长、波矢、相速度、群速度、偏振（极化）、波阻抗、能量、能流4．电磁波在介质界面的反射和折射反射/折射定理、振幅关系和相位关系、N波和P波、TE波和TM波、布儒斯特角、半波损失、全反射、快波和慢波、消逝场（全反射时的透射波）5. 有导体存在时的电磁波传播良导体、理想导体、导体内部电磁波、衰减常数、非均匀平面波、穿透深度、趋肤效应、导体表面电磁波反射求解6. 金属波导和谐振腔波导/谐振腔、本征模式及其求解、TE/TM/TEM模式、截止频率/波长7. 介质和导体的色散色散的概念、介电常数实部/虚部的意义六、电磁波的辐射1. 电磁场的矢势、标势和推迟势电磁场矢势和标势、库伦规范、洛伦兹规范、达朗贝尔方程、推迟势2. 电磁辐射电偶极辐射、短天线、半波天线、天线阵、辐射电阻信号与系统部分一、基本概念信号的定义和分类，典型信号的表示方法，系统的定义和分类，线性时不变系统的性质和判别方法，因果性的定义和判别方法。
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
2 1 2 A 1 A ( A ) 0 J c 2 t 2 c 2 t 2 A t 0
标势 φ满足泊松方程，与静电场方程相同，其解为库仑势 标势与矢势的方程不对称 例：以单色平面电磁波为例，讨论两种规范的特点
解： 1. 如果采用洛伦兹规范条件，当单色平面电磁波在没有电荷、 电流分布的自由空间中传播时，势方程变为如下的齐次波动方程：
2 1 2 c 2 A 1 c2 2 0 2 t 2 A 0 2 t
i ( k x t ) e 0 其解为： i ( k x t ) A A e 0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势φ=0，有
14
1 2 A A 2 0 2 c t
2
其解的形式为 A A0 ei ( k x t )
由库仑规范条件 A ik A 0 可知 库仑规范条件已经保证了A 只有横向分量，从而得到电磁场为
B A ik A A A E i A t t
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
ik
k 0 0
c
k
c2
k B cek BB Biblioteka A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
第1节矢势和标势
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
电磁场的矢势和标势
f (t r c) 1 Q(t r c)
4 0
1 f (t r c) 1 Q(t r c)
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
c2
k•
A横
0
E
A
ik
iA
iA
t
B ik A
由库仑规范，势方程为：
2 0
2 A
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
且：
•
A
ik •
A
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势为0
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
2
t 2
0
点电荷所产生电场有球对称性
上式的解是一个球面波，考虑到 增大时 减小 令
这个方程是一维空间的波动方程,其通解为 f,g为两个任意函数
此解中第一项表示由场源向外辐射的球面波，第 二项表示向场源汇聚的球面波。 f,g的形式由场源条件而定
b)在时变场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须 把 和 作为一个整体来描述电磁场
思考？当 与时间无关时，电磁场的特点？
已自动成立
规范变换和规范不变性 规范变换
规范不变性 当势作规范变换时，所有物理量和物理规 律都保持不变，这就是规范不变性。
第09讲讯变电磁场的失势和标势
第9讲 讯变电磁场的失势和标势第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(4)§2.4讯变电磁场的失势和标势§2.4.1 讯变电磁场的失势和标势1. 用势描述电磁场 为简单起见，我们只讨论真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为0t t μμερε∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂∇=∇=B E E B J E B 000 (2.4---1)在恒定场中， 由B 的无源性引入矢势A ，使.=∇⨯B A （2.4---2） 在一般情况下，B 仍然保持无源性，所以B 与矢势A 的关系（2.4---2）式普遍成立的。
矢势A 的物理意义是：在任一时刻，A 沿任意闭合回路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。
在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。
电场E 一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。
因此在一般情况，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。
在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。
把（2.4---2）式代入（2.4---1）第一式得()0t∂∇⨯+=∂A E 该式表示矢量E + ∂A /∂t 是无旋场，因此它可以用标势φ描述，.tϕ∂+=-∇∂A E 因此，一般情况下电场的表示式为.tϕ∂=-∇-∂A E （2.4---3） （2.4---2）和（2.4---3）式把电磁场用矢势和标势表示出来。
注意现在电场E 不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势φ失去作为电场中势能的意义。
因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。
在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。
2. 规范变换和规范不变性 用矢势A 和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定的E 和B 并不对应唯一的A 和φ 。
这是因为对矢势A 可以加上一个任意函数的梯度，结果不影响B ，而这加在A 上的梯度部分在（2.4---3）式中有可以从▽φ中除去，结果亦不影响E 。
5.1电磁场的失势和标势
（2）电磁场一旦从源中辐射出来就独立于源而存在。
当给定 、 J 后，可由（2.12） 、 （2.13）式求出势，再 由 （ 式 （1.2） 、1.3）
B A
求出空间点的电磁场。
A E t
5.3
电偶极辐射
现代物理导论I
电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。 宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产 生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即 可产生辐射。 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动， 且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的 情况。
如设?为任意时空函数有????ba????t?t????a?a???????a???a????????????a????????e由此可见?们可以作变换???a与???a描写的是同一电磁场我t?????????????????????aaa14t????????????at?????a现代物理导论i由于1213式中b和e并没有对a的散度作出规定故我们可以取??a为任意值作为辅助条件
其特点参见以下推导结果。 3、达朗贝尔方程
将（1.2） 、 （1.3）式代入（1.1）式中第二、三式，整 理后有
2 2 1 A 1 0 J A 2 2 A 2 c t c t 2 A t 0
必须 E L 0 （无纵场） 。证毕Βιβλιοθήκη .21、标势的达朗贝尔方程
2
推迟势
现代物理导论I
1 （2.1） 2 2 0 c t 设在原点有一电荷 Qt ，其密度 x, t Qt x ，
2
这时（2.1）式为
2 1 1 2 2 2 Qt x （2.2） 0 c t 由于球对称性， 只依赖于 r 、 t ， （2.2）式用球坐
电磁场的矢势和标势
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节 电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势
电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势
E B t
B
0
J
0 0
E t
E
0
B0
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1
Maxwell方程组
B
l
E
dl
s
t
dS
l
B
d l 0I 00
s
E t
dS
• 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的
表示式必然包含矢势A在内。
•把
B A.
• 代入 E B , t
• 得 (E A ) 0 t
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用势描述电磁场
• 该式表示矢量 E+∂A/∂t 是无旋场，因
此它可以用标势φ描述，
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推迟势
• 现在我们求达朗贝尔方程的解。标势φ 的达朗贝尔方程为
2 1 2
c2 t2
0
• 式中ρ =ρ（x，t）是空间电荷的密度。
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38
推迟势
• 该式是线性方程，反映电磁场的叠加性。 由于场的叠加性，可以先考虑某一体元 内的变化电荷所激发的势，然后对电荷 分布区域积分，即得总的标势。
J
(x')
1 R
x'
1 R
1 x'x' : 2!
1 R
... dV
'
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5.1 电磁场的矢势和标势(1)
§5.1.2 规范变换和规范不变性
规范不变性 （ 对用势描述电磁场这种方法的要求）
在作规范变换时，所有物理量和物理规律都保持不变 各种规范描述同一电磁场E和B 用势来描述电磁场，客观规律跟势的特殊规范选择无关 规范不变性：物理学的一条基本原理。 规范不变性 物理学的一条基本原理。 物理学的一条基本原理 规范场：具有规范不变性的场称为规范场。 规范场 具有规范不变性的场称为规范场。 具有规范不变性的场称为规范场
在任意t，A沿任一闭合回路线积分等于该时刻通过回路内的磁通量
注意： 注意： (1)：时变场的磁场矢势同静磁场的矢势具有相同的形式， (2)：时变场的磁场矢势是随时间变化的 是随时间变化的
时变场
v ∂B ∇× E = − ∂t
时变电磁场标势 ϕ 的引入 v
v ∇⋅ D = ρ
v ∇⋅ B = 0
v r r v ∂B v B = ∇× A ∇× E = − v ∂B ∂t ∇× E 变 磁 激 化 场 发 =− ∂t v 不能象静电场那样直接引入标量势函数 ∇× E ≠ 0 v r r r r ∂A ∂ ∂A ∇× E = − ∇× A = −∇× ∇× (E + ) = 0 ∂t ∂t ∂t r r 不 ϕ r ∂A 引入标量势函数 r ∂A E = −∇ϕ − E + = −∇ϕ 唯 ∂t 一 ∂t
r r 成立。 使 f =∇× A 成立。 A称为无源场f的矢量势函数
3. 标量场的梯度必为无旋场。 ∇ × ∇ϕ ≡ 0 标量场的梯度必为无旋场 无旋场。 4. 矢量场的旋度必为无散场。 矢量场的旋度必为无散场。 无散场
v ∇ ⋅∇× f ≡ 0
讨论电磁场辐射问题的出发点
辐射问题比较复杂，必须要考虑时变的影响 时变的影响
矢势和标势_45p
5-1 矢势 标势 13
r §5-1-1 用势 A , ϕ 描述电磁场
本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论电磁辐射问题 （仅讨论均匀介质）。 仅讨论均匀介质）。 与静电场不同, 引入的矢势与时间相关 (1) 矢势的引入 r ∇⋅D = ρ r 为简单起见, 只讨论真空中电磁场. r ∂B ∇×E = − 由Maxwell’s equations出发 ∂t r r r ∇⋅B = 0 r 齐次方程 , 显然 的散度为零 B ∇ ⋅ B = 0 r r r r ∂D r ∇×H = j + 意味着 B 是某个矢量的旋度, 即 B = ∇ × A ∂t r v r v r r r r r A ⋅ dl = B ⋅ ds D = ε0E , B = µ0H A 的物理意义
2
二、 研究电磁辐射的目的及意义 脱离场源的电磁波在空间运动时, 与周围物质发生相互作用, 影响电磁波的传播． 影响电磁波的传播．并发生各种重要的物理现象． 并发生各种重要的物理现象． 无线电通讯、 无线电通讯、电视、 电视、遥控、 遥控、遥测等等， 遥测等等，都是利用电磁波来进 行的， 行的，都与辐射和传播问题密切相关； 都与辐射和传播问题密切相关；光的反射、 光的反射、折射、 折射、干涉 、衍射、 衍射、偏振， 偏振，以及散射、 以及散射、吸收、 吸收、色散等等现象， 色散等等现象，也都能从变 化电磁场理论得到解释． 化电磁场理论得到解释． 电磁波辐射和传播的理论， 电磁波辐射和传播的理论，是经典电磁场理论中最重要的部 分，也是无线电物理和物理光学的理论基础； 也是无线电物理和物理光学的理论基础； 因此研究电磁波的辐射和传播问题， 因此研究电磁波的辐射和传播问题，对于科学研究、 对于科学研究、生产实 践、基础理论以及实验科学， 基础理论以及实验科学，都是十分重要的． 都是十分重要的． 无论是天线辐射还是其他辐射， 无论是天线辐射还是其他辐射，本质上都是时变电荷、 本质上都是时变电荷、电 流与电磁场之间的相互作用。 流与电磁场之间的相互作用。 时变电荷、 时变电荷、电流激发电磁场， 电流激发电磁场，而电磁场又反过来影响电荷、 而电磁场又反过来影响电荷、电 流分布。 流分布。 因此， ， 电磁波的辐射问题也是一个边值问题 因此 5-1 矢势 标势
电动力学复习题
电动力学复习题一．选择题1. Maxwell能够创立统一的电磁场理论，关键是他发现了A . 电流的磁效应；B．电磁感应定律;C．电荷守恒定律；D．位移电流。
( D )2. 毕奥-萨伐尔(Biot-Savart)定律给出了A. 一个电流元Idl在磁场中所受的力;B. 二个电流元之间的相互作用力;C．运动电荷在磁场中所受的力;D．恒定电流激发的磁场。
( D )3．矩形波导中的截止波长λC为A 2×（m2／a2＋n2／b2）－(1/2)B 2×（m2／a2＋n2／b2）(1/2)C 2(1/2)×（m2／a2＋n2／b2）－(1/2)D [2×（m2／a2＋n2／b2）]－(1/2)( A )4. 波导内截止波长λC的物理意义是A．只有波长λ大于λC的波才能够通过；B．只有波长λ等于λC的波才能够通过；C．只有波长λ小于λC的波才能够通过；D．以上答案都不对。
( C )5．质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的3倍时，其质量为静止质量的A．两倍；B. 四倍; C. 六倍; D. 八倍。
( B )6．统一的电磁场理论主要是由下列哪位物理学家创立的。
A．安培；B.法拉弟； C.库仑；D麦克斯韦。
（ D ）7．电磁波斜入射到两种介质的界面时，其场强振幅的关系叫A．麦克斯韦公式; B. 亥姆霍兹公式; C. 达朗贝尔公式; D. 菲涅耳公式。
（ D ）8．电荷量为Q 距电位是零的平面导体表面为D 的点电荷，其象其电荷是A. Q ; B.εQ; C. －Q；D. Q／ε。
（ C ）9．下列说法正确的是A．磁单极总是存在的；B．矩形波导管和圆柱形波导管都不能传播TEM波；C．高斯定理只适用于静电场；D．毕奥-萨伐尔定律只适用于感应电场。
（ B ）10．下列说法错误的是A．光是一种电磁波；B．声波也是一种电磁波；C．电磁波不一定是偏振的；D．TE10波也是横波。
（ B ）11. 电场强度和电位的关系是__C_。
5.1 电磁场的矢势和标势(2)
A A A B
t t A A t
E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
2
A
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. 真空中标势所满足的微分方程
Β Α
Ε Α t
D
D 0E
D 0 E E / 0 A t 0
A
1 c
2
t
0
得
0
c
2
( i ) 0
k A0
由此可见，只要给定了A0，就可以确定单色平面电磁波。
B A ik A
E i c
2
A t
ik iA ik (
2
c
2
k A) iA
2
c
2
t
2
0 J
2
1
2
c
2
t
2
0
注意：两种规范，方程不同，所得矢势和标势不同，但由
其所得E和B是完全相同的，即E和B波动性质和规范无关。
例：讨论单色平面电磁波的势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播
的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程：
2
1
2
c A
2
2
t
2
0 0
1 A
2
电磁场的矢势和标势
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
由叠加原理，一般电荷分布所激发标势为
r,t
V
(r, t 4
R) c dV
0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
r,t
V
(r,t R )
c dV
§1、电磁场的矢势和标势
引入矢势 的物理意义
在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路的线积 分等于该时刻通过回路内的磁通量
是无旋场，引入标势
电磁势 和
和 完全由电磁势决定
a)此处的标势 与静电场中的电势不能混为一谈。 因为在非稳恒的情况下， 不再是保守力场，不存 在势能的概念.因此，在高频系统中，电压的概念 失去确切的意义
c dV
4 0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内的变化电荷和变化电 流在空间任意点激发的标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中的时刻是t R c，而不是 t 这说明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生的场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一个传输时
线性方程 ---- 叠加原理 对于源分布在有限体积内的势，可先求出场 源中某一体积元所激发的势，然后对场源区 域积分，即可得出总的势
设坐标原点处有一假想变化电荷
2
1 c2
2
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
电磁场矢势和标势从洛伦兹势变换到库仑势的证明_李伙全
这正是库仑规范下的矢势 Ａ 所满足的方程 ． 其次证明 φ库 满足库仑规范下的势方程 ．
ψ 表达式代入洛伦兹规范下满 将 φ洛 ＝φ库 ＋ ｔ
足的势方程
２
１ φ洛 ρ， 得 ２ ２ ＝－ φ洛 － ｃ ｔ ε０
２
２ ２ ψ －１ ψ ＝－ρ φ库 ＋ ２ ２ φ库 ＋ ｔ ｃ ｔ ｔ ε０
Δ
Δ
Δ
２
１ φ洛 ＝－ ρ ２ ２ φ洛 －ｃ ｔ ε０
２
（ ） １
）得 将表达式 Ａ库 ＝Ａ洛 ＋ ψ 代入表达式 （ ９ ·（ Ａ洛 ＋ ψ） ＝０
Δ
·Ａ ＝－ρ φ ＋ ｔ ε０
Δ
Δ
Δ
Δ Δ
１ Ａ Ａ－ ２ ２ － ｃ ｔ
１ φ ＝－ Ｊ （ ·Ａ ＋ｃ ｔ） μ
Ｂ， 将 Ｂ ＝ × Ａ 代入 × Ｅ ＝－ 得 ｔ Ａ × Ｅ＋ ＝０ ｔ
（
）
因此可引入标势 φ ， 使得
Ａ Ｅ ＋ ＝－ φ ｔ
从而求出
１］ 由麦克斯韦方程组 ［
Ｂ ×Ｅ ＝－ ｔ
Ａ 中， 在表达式 Ｂ ＝ ×Ａ 和 Ｅ ＝－ φ － 对 ｔ
矢势 Ａ 可以加上任意一 个 函 数 的 梯 度 ， 结果不影响 而且加在 Ａ 上的梯度部分在Ｅ 的表达式中 ， 又可 Ｂ， 结果也不影响 Ｅ． 设 ψ 是具有二阶 以从 φ 中消去 ， 偏导数的任意时空函数 ， 作变换
即
即 －
２
）式代入 （ ）式得 将（ １ ７ １ ６
）式代入 （ ）式得 将（ １ ５ １ １
这正是库仑规范下所满足的势方程 ．
Ａ库 １ １ ２ Ａ库 － ２ Ｊ 库 ＝－ ２ － ２ μ０ ｔ φ ｃ ｔ ｃ
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
A E t
这里，仍用 φ来表示这个标量势函数，并且右边采用 “负号” 以便 A 与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为
A E t
4
可见，既可以直接用场量 E 和 B 来描述电磁场，也可以用矢势A 和 标势 φ一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁就是
2．规范变换 规范：给定一组 A, ，称为一种规范
A A 规范变换：不同规范之间满足的变换关系： t
规范不变性：在规范变换下物理量和物理规律满足的动力学方 程保持不变的性质 B A 注：所有可观测的物理量都具有规范不变性 A E t 规范场：具有规范不变性的场称为规范场
B A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
与洛伦兹规范的结果一样
库仑规范的优点是：它的标势φ描述库仑作用，可直接由电 荷分布ρ求出，它的矢势 A 只有横向分量，恰好足够描述辐射 电磁波的两种独立偏振，无需再加额外条件，因此在场论中 应用较多。 洛仑兹规范的优点是：它的标势φ和矢势A 构成的势方程具有对 称性。它的矢势 A 的纵向部分和标势φ的选择还可以有任意性， 即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性， 因而其应用也相当广泛。
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
电磁场理论课件 第五章 第1节 电磁场的矢势和标势
2．规范变换
长度不变，公制和英制表达不同。变换关系1英寸=25.4毫米
规范：给定一组 ( A, 称 )为一种规范；
规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换
两种规范间变换关系：
A A
t
●规范不变性：在规范变换下物理规律满足的动力学方程
)
t
0 J
2
A
t
0
b)
采用洛仑兹规范(
A
1 c2
t
0
)
上述方程化为
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1 c2
2 A t 2
0 J
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
2
1 c2
2
t 2
0
反映了电磁场的波动性2 A
1 c2
2 A t 2
0 J
洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因 此由它们求出的 ( A, ) 及 (E, B) 均为波动形式，反映 了电磁场的波动性。 两个方程具有高度的对称性且相互独立
保持不变的性质（在微观世界是一条物理学基本原理）
●规范场：具有规范不变性的场称为规范场。
3．两种规范
要使势函数减少任意性，必须给出 A ，它的 值被称为规范的条件。 A 值选择是任意的，但若
选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称
或物理意义明显。
l 库仑规范 规范条件： A 0
在库仑规范下 A 是一个有旋无源场（横场
)
0 J
0 0
t
(
A) t
0 J
0 0
t
( )