电路分析基础-向量分析法(精品课件)
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第3章正弦交流电路的向量分析法ppt课件
电工与电子技术
RI2T
直流电流I流过电阻时， 在相同时间消耗的能量
R Ti2dt 0 周期电流i 流过电阻时， 在相同时间消耗的能量。
有效值的定义式： I 1 T i 2 dt
T0
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
电工与电子技术
第三章正弦交流电路的向量分析法
3.1 正弦交流电压电流的相量 3.2 电路基本定律的相量形式 3.3 RLC串并联交流电路的分析 3.4 正弦交流电路的功率和功率因数 3.5 电路的谐振
a
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
复数四则运算回顾
电工与电子技术
（1）相等。任意一个复数 A 和B相等，则
A = B， a1 + j a2 = b1 + j b2 , a1 = b1 , a2 = b2 ,
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
注意：
电工与电子技术
• 工业上所说的电压和电流的值一般是指有效值，如电 工设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平 、耐压值指的是最大值
4. 视在功率
电路分析基础正弦量的相量向量法
基尔霍夫定律的相量形式 R、L、C元件VCR的相量形式
X
1.基尔霍夫定律的相量形式
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i
k 1
K
k
0
j t K k 1
ik
k 1
K
j t Re[ I e ] Re[ I e km km ] k 1
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下正弦电源可以有多个但频率完全相同进入稳态时各处的电压电流都为同频率的正弦量
§7-2 正弦量的相量 相量法
北京邮电大学电子工程学院
退出
开始
内容提要
变换方法的概念 正弦量的相量表示 相量的线性性质和微分性质 相量图
X
1.变换方法的概念
2.65 求解指数方程： x 5 两边取对数 2.65lg x lg 5
du d j t i (t ) C C {Re[ 2Ue ]} dt dt j t Re 2(j CU )e
I
U
1 j C
X
2.R、L、C元件VCR的相量形式
I I i j CU j CU u I CU CU u 90 i u 90
X
3.相量的线性性质和微分性质
若： f ( t ) F F
d f ( t ) 则 ：f ( t ) j F F 90 dt
'
推广到 n 阶导数：
n d f (t ) ( n) f (t ) dt n
(j ) F
n
X
例题2 已知 i1 (t ) 5 2 cos( t 53.1ห้องสมุดไป่ตู้)A ,
X
1.基尔霍夫定律的相量形式
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i
k 1
K
k
0
j t K k 1
ik
k 1
K
j t Re[ I e ] Re[ I e km km ] k 1
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下正弦电源可以有多个但频率完全相同进入稳态时各处的电压电流都为同频率的正弦量
§7-2 正弦量的相量 相量法
北京邮电大学电子工程学院
退出
开始
内容提要
变换方法的概念 正弦量的相量表示 相量的线性性质和微分性质 相量图
X
1.变换方法的概念
2.65 求解指数方程： x 5 两边取对数 2.65lg x lg 5
du d j t i (t ) C C {Re[ 2Ue ]} dt dt j t Re 2(j CU )e
I
U
1 j C
X
2.R、L、C元件VCR的相量形式
I I i j CU j CU u I CU CU u 90 i u 90
X
3.相量的线性性质和微分性质
若： f ( t ) F F
d f ( t ) 则 ：f ( t ) j F F 90 dt
'
推广到 n 阶导数：
n d f (t ) ( n) f (t ) dt n
(j ) F
n
X
例题2 已知 i1 (t ) 5 2 cos( t 53.1ห้องสมุดไป่ตู้)A ,
电路分析基础ppt课件
详细描述
欧姆定律是电路分析中最基本的定律 之一，它指出在纯电阻电路中，电压 、电流和电阻之间的关系为 V=IR，其 中 V 是电压，I 是电流，R 布问题的 定律
VS
详细描述
基尔霍夫定律包括两个部分：基尔霍夫电 流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（ KVL）。基尔霍夫电流定律指出，对于电 路中的任何节点，流入节点的电流之和等 于流出节点的电流之和；基尔霍夫电压定 律指出，对于电路中的任何闭合回路，沿 回路绕行一圈，各段电压的代数和等于零 。
电路分析基础PPT 课件
目 录
• 电路分析基础概述 • 电路元件和电路模型 • 电路分析的基本定律和方法 • 交流电路分析 • 动态电路分析 • 电路分析的应用实例
01
电路分析基础概述
电路分析的定义
电路分析
电路分析的方法
通过数学模型和物理定律，研究电路 中电压、电流和功率等参数的分布和 变化规律的科学。
时不变假设
电路中的元件参数不随时间变化， 即电路的工作状态只与输入信号的 幅度和相位有关，而与时间无关。
02
电路元件和电路模型
电阻元件
总结词
表示电路对电流的阻力，是电路中最基本的元件之一。
详细描述
电阻元件是表示电路对电流的阻力的一种元件，其大小与材料的电导率、长度 和截面积等因素有关。在电路分析中，电阻元件主要用于限制电流，产生电压 降落和消耗电能。
二阶动态电路的分析
总结词
二阶RLC电路的分析
详细描述
二阶RLC电路是指由一个电阻R、一个电感L和一个电容C 组成的电路，其动态行为由二阶微分方程描述。通过求解 该微分方程，可以得到电路中电压和电流的变化规律。
总结词
二阶动态电路的响应
欧姆定律是电路分析中最基本的定律 之一，它指出在纯电阻电路中，电压 、电流和电阻之间的关系为 V=IR，其 中 V 是电压，I 是电流，R 布问题的 定律
VS
详细描述
基尔霍夫定律包括两个部分：基尔霍夫电 流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（ KVL）。基尔霍夫电流定律指出，对于电 路中的任何节点，流入节点的电流之和等 于流出节点的电流之和；基尔霍夫电压定 律指出，对于电路中的任何闭合回路，沿 回路绕行一圈，各段电压的代数和等于零 。
电路分析基础PPT 课件
目 录
• 电路分析基础概述 • 电路元件和电路模型 • 电路分析的基本定律和方法 • 交流电路分析 • 动态电路分析 • 电路分析的应用实例
01
电路分析基础概述
电路分析的定义
电路分析
电路分析的方法
通过数学模型和物理定律，研究电路 中电压、电流和功率等参数的分布和 变化规律的科学。
时不变假设
电路中的元件参数不随时间变化， 即电路的工作状态只与输入信号的 幅度和相位有关，而与时间无关。
02
电路元件和电路模型
电阻元件
总结词
表示电路对电流的阻力，是电路中最基本的元件之一。
详细描述
电阻元件是表示电路对电流的阻力的一种元件，其大小与材料的电导率、长度 和截面积等因素有关。在电路分析中，电阻元件主要用于限制电流，产生电压 降落和消耗电能。
二阶动态电路的分析
总结词
二阶RLC电路的分析
详细描述
二阶RLC电路是指由一个电阻R、一个电感L和一个电容C 组成的电路，其动态行为由二阶微分方程描述。通过求解 该微分方程，可以得到电路中电压和电流的变化规律。
总结词
二阶动态电路的响应
教学课件PPT电路定律的向量形式
i u
eL i
N L i
或
N L i i
u
L为线圈的电感(或自感)，它是线圈 的结构参数。 进而：
eL
L
di u e L L dt
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
二、正弦交流电路中的电感元件(Inductance)
1、瞬时分析 2、相量分析 3、相量电路 4、相量图 5、瞬时功率
容对电流的阻力情况，描述电容电路中电压、电流 有效值之间的关系，且只对正弦量有效。
I U C IX C C
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
2、相量分析
i 2 I cos( t i ) 2 CU cos( t u u 2U cos( t u )
7.4
电路定律的相量形式
相量形式KCL
瞬时形式KCL ∑i=0
I 0
U 0
瞬时形式KVL
∑u=0
相量形式KVL
欧姆定律
u=Ri
相量形式
U RI
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
一、 正弦交流电路中的电阻元件
二、 正弦交流电路中的电感元件
i
u
i
R
根据 欧姆定律
u iR
2 RI cos t i ) （
则
u Ri
比较两个电压表达式得：
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
结论：（1）U=RI
欧姆定律的有效值形式 电阻上电压、电流同相
（2） i u
u,i
0
t
7.5 正弦交流电路的三种基本元件
二、相量分析
《电路向量法》课件
相量图与波形图的转换
1 2
将相量图转换为波形图
根据相量图的长度和角度，绘制各元件的电压和 电流波形图。
将波形图转换为相量图
根据电压和电流的波形图，确定各元件的相量图 。
3
分析转换结果
比较相量图和波形图的计算结果，验证电路分析 的正确性。
06
习题与解答
习题一：向量法基础知识
题目
什么是向量？向量有哪些基本性质？
向量的基本概念
详细描述
向量可以用几何表示法和代数表 示法来表示，几何表示法包括有 向线段和向量模，代数表示法则 使用坐标和分量表示。
总结词：向量的定义、向量的表 示方法、向量的模。
向量定义为具有大小和方向的量 ，通常用有向线段表示，箭头表 示方向，长度表示大小。
向量的模是指向量的长度或大小 ，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$ 。
标明向量长度和角度
根据电压和电流的实际值，标明向量图的长度和角度。
向量图的分析与计算
计算电压和电流
01
根据向量图的长度和角度，计算各元件的电压和电流。
分析功率
02
根据向量图，分析各元件的功率关系，判断是否符合能量守恒
定律。
判断电路状态
03
通过向量图的分析，判断电路的工作状态，如是否处于稳态或
暂态。
稳态工作状态。
相量法
将正弦波表示为复数形式，即 相量，用于简化分析和计算。
阻抗
正弦稳态下，电路中的元件对 电流的阻碍作用，用复数表示 。
功率
正弦稳态下，电路中元件吸收 或发出的功率，计算公式为 P
= I * V * cos(theta)。
功率计算与功率因数
功率因数
电路分析基础课件第6章 相量法
+j
设相量
相量 乘以 ，
将逆时针旋转 90， 得到
A
0ψ +1
相量 乘以
，
- A
将顺时针旋转 90，得到
应用举例
例： 6-5 在图示相量图中， 己知I1=10A， I2=5A, U=110V， f=50Hz，试分别写出 它们的 相量表达式和瞬时值表达式，并说明它们之间的相位关系。
解： 相量表达式为 I1 10 30 A I2 5 45 A
F2
(1) 加法运算：
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
F1 +1
F1 F2 F2
(2) 减法运算：
作图方法：首尾相连
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形
(3) 乘法运算：
F1 F2 F1 F2 (1 2 )
试分别画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率及相位差。
解：u 10 2sin(314t 30)
i、u
10 2cos(314t 120)
ui
i、u波形图如图所示。其有效值为
I 20 14.142Α 2
0 π 2π ωt
U 10V
i、u 的频率为 f ω 314 50Hz
2π 2 3.14
u、i 的相位差为：
ψu ψi 120 60 180
应用举例
例： 6-3已知正弦电压 u 311cos(314t 60)V，试求：(1)角频率ω、频率f、周期T、
最大值Um和初相位Ψu ；(2)在t=0和t=0.001s时，电压的瞬时值；(3)用交流电压 表去测量电压时，电压表的读数应为多少？
电路课件 向量法
1 U= T
def
∫
T
0
u ( t )dt
2
i(t)=Imcos(ω t+Ψ
)
1 T 2 I= Im cos2 ( ω t +Ψ ) dt ∫0 T
∵
∫
T
0
cos ( ω t +Ψ ) dt = ∫
2
T
0
1+ cos 2(ω t +Ψ ) 1 dt = t 2 2
T 0
1 = T 2
1 2 T Im Im = ∴ I= = 0.707Im T 2 2
ω = 2π f = 2π T
单位: 单位: rad/s ,弧度 / 秒 i Im O T 2π π tωt
初相位(initial phase angle) ψ (3) 初相位 反映正弦量的计时起点. 反映正弦量的计时起点.
ψ/ω Ψ
同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同. 同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同.
直流I
R
交流i
R
W = RI T
2
W = ∫ Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I= ∫0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 root-meen(root-meen-square)
同样,可定义电压有效值: 同样,可定义电压有效值: 正弦电流, 正弦电流,电压的有效值 设
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅, 最大值)Im 振幅, 最大值) 反映正弦量变化幅度的大小. 反映正弦量变化幅度的大小. 角频率(angular frequency)ω (2) 角频率 相位变化的速度, 反映正弦量变化快慢. 相位变化的速度, 反映正弦量变化快慢.
电路理论课件-向量法
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej=–1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8. 4 正弦量的相量表示
两个正弦量
i1
i2
w
w
Im1
Im2
1
2
i1+i2 i3
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) 20 j5
19.2427.9 7.21156.3
180.2 j126.2
20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536 (3) 旋转因子：
i
R2
2U ω2 L2
sin(ωt
Ψu
tg1
ωRL ) R
8. 5, 6 电阻、电感和电容元件的正
弦电压电流及相量关系
一. 电阻
时域形式：
i(t)
已知 i(t) 2I sin(ωt Ψi )
Im A2
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
O
加减法可用图解法。
A1 Re
8. 3 复数复习
(2) 乘除运算——极坐标
若 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2
则 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2
A1 | A1 |θ 1 | A1 | e jθ1 | A1 | e j(θ1θ2 ) | A1 |
W2=I 2RT
I 2 RT T i 2 (t )Rdt 0
《电路分析基础》PPT课件..课件
基尔霍夫电压方程也叫回路电压方程（KCL方程）
精品
基尔霍夫电压定律（KVL）
基尔霍夫电压定律的另一种描述：集总参数电
路中，沿任意闭合回路绕行一周，电压降的代数 和=电压升的代数和。
基尔霍夫电压定律是能量守恒的结果，体现了
电压与路径无关这一性质，是任一回路内电压必 须服从的约束关系。
精品
KVL示例
电阻消耗的瞬时功率
参考方向一致时 参考方向不一致时
电阻消耗的能量
精品
1.5 独立电源
术语
电路中的电源：
独立电源：就是电压源的电压或电流源的电流不受外电 路的控制而独立存在的电源。 受控电源：是指电压源的电压和电流源的电流，是受电 路中其它部分的电流或电压控制的电源。 电压源和电流源
精品
电压源
精品
支路、节点、回路、网孔
支路： 1、2、3、4、5、6、7 节点： ①、②、③、④、⑤ 简单节点： ④
回路： ①-②-③-④-① ①-②-⑤-① ①-②-⑤-③-④-①等等。 网孔： ①-②-③-④-① ①-②-⑤-① ②-③-⑤-② 思考:①-②-③-⑤-①是网孔吗? 网孔一定是回路，但回路不一定是网孔。精品
电路的组成(component)
激励与响应
精品
1.1电路和电路模型
电路的作用：能量和信息两大领域
1.电力系统：实现电能的传输和转换。 能量是主要的着眼点。涉及大规模电能的产生、 传输和转换(为其他形式的能量)，构成现代工业生产、 家庭生活电气化等方面的基础。
精品
1.1电路和电路模型
电路分析基础
精品
电路第8章向量法
到达最大值)；
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角, i 比 u 先
到达最大值）。
u, i u
i
0
u
wt i
特殊相位关系
= (180 ) ，反相
o
＝ 0， 同相
u i o o
u i wt
wt
u
= /2：u 领先 i /2
i o
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
w 2π f 2π
(3) 初相位
T
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
=0
一般规定：| | 。
o
=/2
wt
=－/2
例
解
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
def
1 T
T
0
u (t ) d t
2
正弦电流、电压的有效值 设
i(t)=Imcos(w t+ )
I
T
2
1
T
0
I cos ( w t ) dt
2 m 2
T
T
0
cos ( w t ) dt 1 2
T
1 cos 2(w t ) 2
0
dt
t
0
1 2
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角, i 比 u 先
到达最大值）。
u, i u
i
0
u
wt i
特殊相位关系
= (180 ) ，反相
o
＝ 0， 同相
u i o o
u i wt
wt
u
= /2：u 领先 i /2
i o
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
w 2π f 2π
(3) 初相位
T
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
=0
一般规定：| | 。
o
=/2
wt
=－/2
例
解
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
def
1 T
T
0
u (t ) d t
2
正弦电流、电压的有效值 设
i(t)=Imcos(w t+ )
I
T
2
1
T
0
I cos ( w t ) dt
2 m 2
T
T
0
cos ( w t ) dt 1 2
T
1 cos 2(w t ) 2
0
dt
t
0
1 2
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
电路理论课件 第8章 向量法
基尔霍夫电压定律的向量表示
在电路中，对于任意闭合路径，电压降矢量和电压升矢量在数值上相等，方向 相反。
欧拉公式及其在电路中的应用
欧拉公式
将复数表示为三角形式，即 $z = r(cos theta + i sin theta)$，其中 $r$ 是模，$theta$ 是幅角。
在电路中的应用
利用欧拉公式可以将正弦稳态电路中 的电压和电流表示为复数形式，从而 方便计算和分析。
在电机控制中，向量法可以用于分析电机的转矩控制、速度控制和位置控制等。通过向量化处理，可 以将电机的物理量转化为数学表达式，便于分析和计算。同时，向量法还可以用于电机的故障诊断和 性能评估，提高电机的可靠性和稳定性。
无功补偿装置的向量分析
无功补偿装置是电力系统中用于改善功率因数、减少无功损 耗的重要设备。向量法在无功补偿装置的分析中也有着重要 的应用价值。
向量模表示法
通过向量模表示电压和电流的大小，可以方便地计算功率和 能量。
交流电路的分析方法
相量法
利用复数表示电压和电流，通过代数运算分析电路。
阻抗三角形法
利用阻抗三角形分析阻抗、电感和电容之间的关系。
04
CATALOGUE
复杂电路的向量分析
串联和并联电路的向量分析
串联电路的向量分析
在串联电路中，各电压源的向量相加等于总电压的向量，各电流源的向量相等且等于总电流的向量。
通过向量法，可以对无功补偿装置的电容、电感等元件进行 向量化分析和计算。同时，向量法还可以用于分析无功补偿 装置在不同运行状态下的性能表现，为无功补偿装置的优化 设计和运行提供依据。
THANKS
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三相电路的向量分析
三相电源和负载
三相电源由三个相位差为120度的正 弦波组成，三相负载则分为对称和不 对称两类。
在电路中，对于任意闭合路径，电压降矢量和电压升矢量在数值上相等，方向 相反。
欧拉公式及其在电路中的应用
欧拉公式
将复数表示为三角形式，即 $z = r(cos theta + i sin theta)$，其中 $r$ 是模，$theta$ 是幅角。
在电路中的应用
利用欧拉公式可以将正弦稳态电路中 的电压和电流表示为复数形式，从而 方便计算和分析。
在电机控制中，向量法可以用于分析电机的转矩控制、速度控制和位置控制等。通过向量化处理，可 以将电机的物理量转化为数学表达式，便于分析和计算。同时，向量法还可以用于电机的故障诊断和 性能评估，提高电机的可靠性和稳定性。
无功补偿装置的向量分析
无功补偿装置是电力系统中用于改善功率因数、减少无功损 耗的重要设备。向量法在无功补偿装置的分析中也有着重要 的应用价值。
向量模表示法
通过向量模表示电压和电流的大小，可以方便地计算功率和 能量。
交流电路的分析方法
相量法
利用复数表示电压和电流，通过代数运算分析电路。
阻抗三角形法
利用阻抗三角形分析阻抗、电感和电容之间的关系。
04
CATALOGUE
复杂电路的向量分析
串联和并联电路的向量分析
串联电路的向量分析
在串联电路中，各电压源的向量相加等于总电压的向量，各电流源的向量相等且等于总电流的向量。
通过向量法，可以对无功补偿装置的电容、电感等元件进行 向量化分析和计算。同时，向量法还可以用于分析无功补偿 装置在不同运行状态下的性能表现，为无功补偿装置的优化 设计和运行提供依据。
THANKS
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三相电路的向量分析
三相电源和负载
三相电源由三个相位差为120度的正 弦波组成，三相负载则分为对称和不 对称两类。
《电路》第八章_向量法
I m I m Ψ I m e
jwt
)]
２.
正弦波与旋转相量:
jy
旋转相量
Im e
+1
jw t
i Re[I m e
jt
]
ω
Im
O
t1 t2 t1 t2
+j
O
T
t
正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。
三. 相量的运算
1. 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) u2 ( t ) 2 U 1 cos(w t Ψ 1 ) Re( 2 U 1 e
O
+1
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
2、减法 用代数形式进行，设 F a jb 1 1 1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j
F1 F2
F2
§8-2 正弦量
一. 正弦量 1、振幅Im
i(t)=Imcos(w t+y i)
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 2、角频率ω i T 相位变化的速度，反映正弦量 Im 变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2
O
T
2
wt
频率f ：赫兹（Hz） yi 周期T：秒（s） 如：f =50Hz, T = 0.02s，ω =314 rad/s
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 正弦量 复数
实际是变 换的思想
jwt
)]
２.
正弦波与旋转相量:
jy
旋转相量
Im e
+1
jw t
i Re[I m e
jt
]
ω
Im
O
t1 t2 t1 t2
+j
O
T
t
正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。
三. 相量的运算
1. 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) u2 ( t ) 2 U 1 cos(w t Ψ 1 ) Re( 2 U 1 e
O
+1
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
2、减法 用代数形式进行，设 F a jb 1 1 1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j
F1 F2
F2
§8-2 正弦量
一. 正弦量 1、振幅Im
i(t)=Imcos(w t+y i)
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 2、角频率ω i T 相位变化的速度，反映正弦量 Im 变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2
O
T
2
wt
频率f ：赫兹（Hz） yi 周期T：秒（s） 如：f =50Hz, T = 0.02s，ω =314 rad/s
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 正弦量 复数
实际是变 换的思想
电路理论课件__向量法
udt
2U sin ( wt ψ)dt 2U wt ψ) ω cos( 2U sin ( ω wt ψ π 2 ) Im [ 2U e j(ω t ψπ / 2 ) ]
8. 3
复数复习
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。 ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej=–1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8. 4
两个正弦量
正弦量的相量表示
i1 i2
w
Im1
w
Im2
i1+i2 i3
w
Im3
1
2
3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和最大值(或有效值)就行了。于是想到复数， 复数向量也是一个大小、一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
8. 2
i(t)
R I
周期性电流、电压的有效值
W (t ) i 2 (t ) Rdt
0 T
W2=I 2RT
I RT i 2 ( t ) Rdt
2 0
T
R
1 I T
T
0
i 2 ( t )dt
同样，可定义电压有效值：
1 T 2 U u ( t )dt 0 T
def
8. 2
周期性电流、电压的有效值
8. 1
正弦量的三要素：
正弦量的基本概念
(1) 幅值 ( 振幅、 最大值 )Im ：反映正弦量变化幅度 的大小。
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量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概
念。
4.2.1 相量
与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量。
为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。
例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，
其最大值相量为： •
I m 14.1/ 36.9A
有效值相量为：
•
I 10/ 36.9A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量
只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量
的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相。
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8
按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的 有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
例 已知 u1 2U1 sin t 1 ，u2 2U 2 sin t 2 ，
利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则， U 由相量图可以清楚地看出：
U2
2 U1
1
U1cosψ1+U2cosψ2
U (U1 cos 1 U 2 cos 2 )2 (U1 sin 1 U 2 sin 2 )2
arctan U1 sin 1 U 2 sin 2 U1 cos 1 U 2 cos 2
第4章 相量分析法
4.1 复数 及其运算
4.4 复功率
4.2 相量 和复阻抗
4.3 相量 分析法
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1
本章学习目的及要求
熟悉复数的几种表达方式及其加 减乘除运算规则；掌握正弦量的相量 表示法、相量的性能及其运算方法； 掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用 相量图进行正弦量的辅助分析；正确 理解正弦交流电路中几种功率的分析。
A 3 j4 第二象限 A 5/126.9(180 arctan 4 / 3)
A 3 j4 第三象限 A 5/ 126.9(arctan 4 / 3 180)
代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复 数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相 当于在复平面上顺时针旋转90°（数学课程中旋转因 子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。
单一电阻元件的复阻抗 Z R，只有实部没有虚部；
单一电感元件的复阻抗 Z jX L，只有虚部没实部；
单一电容元件的复阻抗 Z jX C，只有虚部没有实部。
如果几个理想元件相串联时，它们复阻抗的模 和幅角可由以下三角形求出：
XL |Z|
RL串联电路 R
R
|Z|
RC串联电路XC
XL-XC |Z|
U1sinψ1+U2sinψ2
利用相量图分析计算同频率正弦量之 间的加、减运算，显然能起到化隐含 为浅显的目的，根据相量与正弦量之 间的对应关系：u=Umsin(ωt +φ)
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10
4.2.2 复阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用 复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简 称复阻抗。各元件复阻抗的代数形式如下：
把它们表示为相量，并且画在相量图中。
用有效值相量表示，即： U1 = U1 ψ1
画在相量图中：
U2 = U2 ψ2
U2
也可以把复平面省略，直接画作
U2
2 U1
1
虚线可以不画
2 U1
1
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9
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正 弦量之间的加、减运算及其电路分析。
u1 2U1 sin t 1 ，u2 2U 2 sin t 2 ，求u u1 u2。
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2
4.1 复数及其运算
学习目标：复数的运算是相量分析的基础，了解复
数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解
复数进行加减乘除运算的规则。
4.1.1 复数及其表示方法
＋j
A
复数A在复平面上是一个点， 原点指向复数的箭头称为它的模,
a2
模a与正向实轴之间的夹角称为复 数A的幅角；
0
又可得到复数A的三角函数式为：
＋1
A=acosψ+jasinψ
a1 复数还可以表示为指数形式和极坐标形式：
A=ae jψ 或 A=a /ψ
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出 复数A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为：A=5/53.1°
a1 5cos 53.1 3 代数表达形式为：A=3+j4
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6
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
2. 已知复数A=17/24°，B=6/-65°。试求 A+B、A-B、A×B、A÷B。
A B (4 6) j(5 2) 10 j3 10.4/16.7
A B (4 6) j[5 (2)] 2 j7 7.28/106
A • B ab/ a b
A B
a b
/
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便； 复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
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5
在复数运算当中，一定要根据复数 所在象限正确写出幅角的值。如：
A 3 j4 第一象限 A 5/ 53.1(arctan 4 / 3)
A 3 j4 第四象限 A 5/ 53.1( arctan 4 / 3)
a
a1
＋1
A在实轴上的投影是它的实部； A在虚轴上的投影 称为其虚部。 复数A的代数表达式为：A=a1+ja2 由图又可得出复数A的模值a和幅角ψ分别为：
a
a12
a2 2，
arctan
a2 a1
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3
＋j
A 由图还可得出复数A与模 a1 a cos
a2 0
a
a及幅角ψ之间的关系为 a2 a sin
A 4 j5 6.4/ 51.3 B 6 j2 6.32/18.4
A B 6.4 6.32/ 51.3 (18.4) 40.4/ 32.9
A B 6.4 6.32/ 51.3 (18.4) 1.01/ 69.7
第2题自己练习。
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7
4.2 相量和复阻抗
学习目标：了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
R RLC串联电路
a2 5sin 53.1 4
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4
4.1.2 复数运算法则
设有两个复数分别为： A a/ a a1 ja2
B b/ b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时的运算公式
A 2 b2 )