第二章 有限差分法初步-1

2 2 1 1 T T T i , j i 1 , j 2 2 2 2 i , j 1 (y ) (x) (x) (x)
q T T （2.22） i , j 1 i , j 1 2 2 k (y) (y) 1 1
若x y ， q 0，则式（2.22）又被
O(x)
由式（2.8）可得
（2.9）
T ( x) T ( x x) x T ( x) T ( x) x 2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
T ( x x) T ( x x) (x) T ( x) T ( x) 2x 3!
而用中心差商代替微商，其截断误差是与 同量级的小量；
(x)
2
中心差商的截断误差小于向右差商或向左差商。
（V）二阶差商
上述一阶差商一般仍是x的函数，对它们还可以 求差商。这种一阶差商的差商称为二阶差商， 它是二阶微商的近似，常用向右差商的向左差 商来近似二阶微商，即：
T ( x x) T ( x) T ( x) T ( x x) 2 d T x x 2 x dx
(x) 2 T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2! 3 (x) 4 T ( x) O(x) （2.8） 3!
由式（2.7）可得
T ( x x) T ( x) x T ( x) T ( x) x 2!
2 2
（2.13）
对区域内各个点都成立的，当然对任意一个内节 点（i，j）也成立。
2T 在（i，j）处存在二阶偏微商 x 2 与 i , j
这些二阶偏微商所对应的差商可表示成：
2T y 2 i , j
Ti 1, j 2Ti, j Ti 1, j 2T 2 x 2 (x) i ,j
在问题的提法已经明白之后，差分格 式的构成：
（i） 区域离散法 （ii） 建立区域内差分方程 （iii） 边界条件的差分形式 （vi） 构成差分格式 下面分别予以说明:
1．区域离散化 所谓离散化，就是把几何上连续的区域用一系列网 格线把它划分开。一般说来，网格形式应视几何区 域的不同而不同，对于矩形区域而言，用矩形的网 格，如图 2.2 ，用五条水平网线与五条垂直网线把 矩形区域离散掉。网线与网线的交点称之为“节 点”，节点与节点的距离称之为步长， x 方向的步 y 。 x ，y方向的步长表示为 长表示为
与二阶偏微商的差别为 (x)
2 2 与 (y) 的数量级。
将式（2.18）与（2.19）代入方程（2.13），得
Ti 1, j 2Ti, j Ti 1, j (x)
2

Ti, j 1 2Ti, j Ti, j 1 (y)
2
（2.20）
q 2 2 O(( x) (y ) ) 0 k
节点（i，j）处的温度表示成 Ti , j 。
2．差分方程代替微分方程 在上节我们已对有限差分法的数学基础作了简要 的介绍，说明了如何用差商代替微商，以及由此 带来的误差。这里介绍用差商代替微商的办法来 处理导热方程（2.13），得到相应的差分方程。 方程（2.13）
T T q 2 0 2 k x y
y0
0 y L2
0 x L1
T k h(T T ) x T k q y
（2.14） （2.15） （2.16） （2.17）
x L1 0 y L2
y L2 0 x L1
T 0 x
T Tw
式（2.13）~（2.17）构成定解问题。
成为如下差分形式 ：
k
或
Ti 1, j Ti, j x
h(Ti, j T )
（2.24）
hx hx 1Ti, j Ti 1, j T k k
（i=1；j=2，3，4）
热流边界条件：
T k q y
y20）中去掉 O((x)2 (y)2 ) 项，得到
Ti 1, j 2Ti, j Ti 1, j (x)
2

Ti, j 1 2Ti, j Ti, j 1 (y)
2
（2.21）
q 0 k
（i=2，3，4；j=2，3，4）
式（2.21）被称为对应于方程（2.13）的 差分方程。方程（2.21）被改写成：

在区域内的节点称“内节点”，在边界上的节点称 “边界节点”。图 2.2 所示边界是规则的 ,则节点或 在区域内，或正好落在边界上。
步长: 步长x 或 y 可以是不变的常量，即等步长，也可以 在区域内的不同处是不同的，即变步长。如果区域 内各处的温度梯度变化很大，则在温度变化剧烈处， 网格布得密些；在温度变化不剧烈处，网格布得疏 些。至于网格布置多少，步长取多大为宜，要根据 具体问题，兼顾到计算的精确度与计算的工作量等 因素而定。
n n
（2.2）
稍加整理后可写成：
T T ( x x) T ( x) dT x d T 2 x x dx 2! dx
2
(x) n! T 可见 与 x
偏差为： (x)
n 1
d T n dx
dT dx
n
（2.3）
只能是近似相等。
（iii）微商与差商的几何意义 图2-1 差商与微商的比较
区域离散化物理理解:

从物理方面对区域离散化可作这样的理解，即 认为区域内离散的每个节点，都集中着它周围 区域（尺度为步长）的热容，或者说，区域内 连续分布的热容都被分别地集中到离散的节点 上去了。这样，节点的温度代表着它周围区域 的某种平均温度。一系列离散的节点温度值代 表着连续区域内的温度分布。
第二章：有限差分法初步
§1 有限差分法基本概念 一、差商与微商 （i）、有限差分的数学基础是用差商代替微商。 有如下两种数学形式： （i）微商（导数）的定义 若T ( x ) 是连续函数，则它的导数为：
dT T ( x x) T ( x) T lim lim x 0 x dx x 0 x
节点编号：为便于计算，需对节点逐个编号。 常用（i，j） 表示节点位置，其中，i、j是 与网线相对应的正整数。
i，j 的排列：可有不同的方式。 习惯上，与x、y 轴相一致，i 由左而右逐个增长， j 由下而上逐个增长。 但也有，考虑到与矩阵的格式相一致， i 表示行数， 由上而下逐个增长，j 表示列数，由左而右逐个增长。 这种从上到下，从左到右的编排与一般书写 习惯也是一致的，因此，在计算机上算题也常被采用。 在本课程中，大都采用与坐标相一致的编排方法。
T ( x x) T ( x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
(x) T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2 3
2
将Taylor级数写成：
(x) T ( x) O(x) 4 3!
（2.7）
Taylor级数还可写成：
O(x )
（i=2，3，4；j=2，3，4）
2
（2.18）
Ti , j 1 2Ti, j Ti , j 1 2T 2 y 2 (y) i ,j
O(y )
（i=2，3，4；j=2，3，4）
2
（2.19）
2 O ( x ) 与 O(y 2 ) 表示相应的二阶差商 其中，
2
O(x)
2
（2.11）
比较式（ 2.9 ）、（ 2.10 ）、（ 2.11 ）可看到，用不同 的差商形式去代替微商，所带来的偏差是不同的。这 些偏差都是截去了 Taylor级数展开式中的高阶项而引 起的，常称“截断误差”。
讨论：
用向右差商与向左差商代替微商，其截断误差为与
x
同量级的小量 O(x) ；
T 是有限的差商。 式（2.1）右边 x
（2.1）
当
x 趋于零时极限情形下的差商，称之微商。 在 x 没有到达零之前， T 只是 dT 的近似。
x dx
T dT x 与 T 都不为零， 而式（2.1）左边 是 x dx
T dT 趋于 的过程认为是近似向精确过渡， x dx
. . . . .
(i, j+1) (i-1, j) (i, j) (i, j-1) q’’
(i+1, j)
L1
x
图2.2 矩形区域离散化
问题是求图2.2所示的边值问题的解，其数学表达 如下，方程：
T T q 2 0 2 k x y
2 2
（2.13）

边界条件：
x0
3．边界条件的差分形式
这里介绍用差商代替微商的办法把定解问题中 的各种边界条件表示成差分的形式.
对流换热边界条件：
T k h(T T ) x
x 0, 0 y L2
（2.14）
---用T 对 x 的向前差商代替式（2.14）中的 T 对 x 的一阶偏微商，使式（2.14）变
（2.15）
用T 对 y 的向前差商代替式（2.15）中T 对 y 的一阶偏微商，使式（2.15）变成为如下差分 形式:
T(x+x) T(x) T(x-x)
dT(x) dx T(x+x) -T(x) x T(x+x) -T(x-x) 2x T(x) -T(x-x) x x-x x x+x
（iV）差商的几种表示 图2.1表示了差商与微商之间的关系。应当指出， 用不同方法得到的差商去代替微商，它们带来 的偏差是不同的。 向右（前）差商：

结论： 由于用差商代替微商必然带来截断误差， 相应地用差分方程代替微分方程也必然带 来截断误差。这是有限差分法固有的。因 此，在应用有限差分法进行数值解时，必 须对差分的构成及其对方程造成的误差引 起注意。