指数函数的图象与性质练习题

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指数函数的性质及常考题型(含解析)

指数函数的性质及常考题型(含解析)
故选:A.
【变式 1-2】下列函数:① = 3 ;② = 6 ;③ = 6 ⋅ 2 ;④ = 8 + 1;⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有(
A.0 个

B.1 个
C.2 个
D.3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可;
【解答过程】解:形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数,其解析式需满足①底数为大于




如图是指数函数(1)y=ax,
(2)y=bx,
(3)y=cx,(4)y=dx 的图象,底数 a,b,c,
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律:在 y 轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.
3.比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法(分三种情况)

(1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性来判断;




【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2),(2,4).

(1)求()的解析式;

(2)解不等式( + 3) > (4).







【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1).
(1)求实数 b;
B.0 < < 1,0 < < 1

C.0 < < 1, > 1
D. > 1,0 < < 1


【变式 6-2】如图中,①②③④中不属于函数 = 3 , = 2 , =

指数函数的图象和性质 专题训练卷(含答案详解)

指数函数的图象和性质 专题训练卷(含答案详解)

2.1.2指数函数的图象和性质1.下列函数是指数函数的是( ).A .y =x 5B .y =4x 3C .43x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .y =13x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+2 2.函数f (x )=132a ⎛⎫- ⎪⎝⎭·a x 是指数函数,则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ).A .2B .-2C .-D .3.函数||12x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是( ).4.函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)对于任意的实数x ,y 都有( ).A .f (xy )=f (x )f (y )B .f (xy )=f (x )+f (y )C .f (x +y )=f (x )f (y )D .f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知f (x )=a -x (a >0且a ≠1),且f (-2)>f (-3),则a 的取值范围是( ).A .a >0B . a >1C .a <1D .0<a <16.函数y ( ).A .[0,+∞)B .[0,4]C .[0,4)D .(0,4)7.若f (x )是指数函数,且f (2)-f (1)=6,则f (x )=__________.8.已知(a 2+2a +5)3x >(a 2+2a +5)1-x ,则x 的取值范围是__________.9.函数y =的定义域是__________.10.函数y =a x (a >0且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a ,求a 的值.参考答案1. 答案: C2. 答案:D解析:∵函数f (x )是指数函数, ∴12a -3=1,a =8.∴f (x )=8x ,12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭3. 答案:B4. 答案:C解析:f (x +y )=a x +y =a x ·a y =f (x )·f (y ),故选C .5. 答案:D 解析:由于f (x )=a -x =1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭,而f (-2)>f (-3),说明f (x )是递增函数,从而11a >,0<a <1,故选D .6. 答案:C解析:∵4x >0,∴16-4x <16.∴函数y =[0,4).7. 答案:3x解析:设f (x )=a x (a >0且a ≠1),则a 2-a =6,解得a =3,即f (x )=3x .8. 答案:14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,解析:对于任意实数a ,a 2+2a +5=(a +1)2+4≥4>1,故y =(a 2+2a +5)x 是递增函数,因此有3x >1-x ,即14x >. 9. 答案:(-∞,0] 解析:由21402x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,得22-x ≥22,∴2-x ≥2,x ≤0.10. 解:当a >1时,y =a x 在[1,2]上是递增函数,∴y max =f (2)=a 2,y min =f (1)=a .∴f (2)-f (1)=2a ,即a 2-a =2a .∴32a =. 当0<a <1时, y =a x 在[1,2]上是递减函数, ∴y max =f (1),y min =f (2),即f (1)-f (2)=2a ,即a -a 2=2a . ∴12a =. 综上所述,12a =或32a =.。

指数函数的图象与性质-高中数学知识点讲解(含答案)

指数函数的图象与性质-高中数学知识点讲解(含答案)

指数函数的图象与性质(北京习题集)(教师版)一.选择题(共3小题)1.(2018秋•西城区校级期中)已知函数2()()3x f x =,则函数(1)y f x =+的图象大致是( )A .B .C .D .2.(2017秋•海淀区校级期中)已知实数a ,b 满足等式20162017a b =,下列五个关系式:①0b a <<;②0a b <<;③0a b <<:④0b a <<;⑤a b =.其中不可能成立的关系式有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个3.(2017秋•朝阳区校级期中)若函数||1()()13x f x m =+-的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围为( )A .1m <B .1mC .01mD .01m <二.填空题(共6小题)4.(2017秋•海淀区校级期末)已知3a π=,b e π=,3c e =,则a ,b ,c 按从小到大的顺序排序为 . 5.(2017秋•丰台区校级期中)函数27(0x y a a -=->且1)a ≠的图象恒过定点A ,则点A 的坐标是 . 6.(2017秋•通州区期中)设30.2a =,0.23b =,则两个数的大小关系是a b .(填“>”或“<” ) 7.(2017秋•西城区校级期中)已知42a =,则a = .8.(2016•北京模拟)已知满足3020x y x y +-⎧⎨-⎩的点(,)P x y 不在函数x y a =的图象上,则实数a 的取值范围为 .9.(2015秋•顺义区期末)已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y mx n =+的图象上,其中0m >,0n >,则mn 的最大值为 . 三.解答题(共4小题)10.(2019秋•海淀区校级期末)已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1-,2]上的最大值是最小值的8倍. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)当1a >时,解不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+.11.(2017秋•通州区期中)集合A 是由满足以下性质的函数()f x 构成的:对于定义域内任意两个不相等的实数1x ,2x ,都有12121[()()]()22x x f x f x f ++>.(1)若()f x A ∈,同时()g x A ∈,求证:()()f x g x A +∈. (2)试判断()f x lgx =是否在集合A 中,并说明理由. (3)设()f x A ∈且定义域为(0,)+∞,值域为(1,2),3(1)2f <,试求出一个满足以上条件的函数()f x 的解析式. 12.(2017秋•丰台区期中)已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过点1(1,)2.()I 求函数()y f x =的解析式;()II 若不等式满足(21)1f x +>,求x 的取值范围. 13.(2016•丰台区二模)设函数()()ax f x e a R =∈.()I 当2a =-时,求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值;(Ⅱ)若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点,求实数a 的取值范围.指数函数的图象与性质(北京习题集)(教师版)参考答案与试题解析一.选择题(共3小题)1.(2018秋•西城区校级期中)已知函数2()()3x f x =,则函数(1)y f x =+的图象大致是( )A .B .C .D .【分析】根据题意,先求(1)f x +的表达式,可得1222(1)()()333x x f x ++==,进而分析可得()f x 单调递减,且其图象与y 轴交点在(0,1)之下,比较选项可得答案.【解答】解:根据题意,可得1222(1)()()333x x f x ++==,()f x 单调递减;同时有2(0)13f =<,213<,即函数图象与y 轴交点在(0,1)之下;A 、D 选项的图象为增函数,不符合;C 选项的图象与y 轴交点在(0,1)之上,不符合;只有B 的图象符合两点, 故选:B .【点评】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化,掌握指数函数的性质是解题的关键.2.(2017秋•海淀区校级期中)已知实数a ,b 满足等式20162017a b =,下列五个关系式:①0b a <<;②0a b <<;③0a b <<:④0b a <<;⑤a b =.其中不可能成立的关系式有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个【分析】直接利用指数函数的性质求出结果. 【解答】解:根据指数函数的性质: ①当a b =时,关系式成立; ②当0a b >>时,关系式也成立; ③当0a b <<时,关系式也成立.故:①②⑤正确. 故选:B .【点评】本题考查的知识要点:指数函数的性质和图象的应用.主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.3.(2017秋•朝阳区校级期中)若函数||1()()13x f x m =+-的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围为( )A .1m <B .1mC .01mD .01m <【分析】直接利用函数的解析式转化为方程的形式,进一步利用指数函数的性质求出参数的取值范围. 【解答】解:函数||1()()13x f x m =+-的图象与x 轴有公共点,即||11()3x m -=-有交点,由于||11()03x --<,故:110m --<, 解得:01m <, 故选:D .【点评】本题考查的知识要点:指数函数的性质的应用,利用函数的图象求函数的交点问题. 二.填空题(共6小题)4.(2017秋•海淀区校级期末)已知3a π=,b e π=,3c e =,则a ,b ,c 按从小到大的顺序排序为 c b a << . 【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性判断即可. 【解答】解:由x y e =是增函数, 得3b e c e π=>=, 由y x π=是增函数, 得3a b e ππ=>=, 故c b a <<, 故答案为:c b a <<.【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查函数值的大小比较,是一道基础题.5.(2017秋•丰台区校级期中)函数27(0x y a a -=->且1)a ≠的图象恒过定点A ,则点A 的坐标是 (2,6)- . 【分析】由函数2x y =恒过定点(0,1),结合函数图象的平移得答案. 【解答】解:函数2x y =恒过定点(0,1),而函数27x y a -=-的图象是把函数x y a =的图象向右平移2个单位,再向下平移7个单位得到的,∴函数27x y a -=-的图象恒过定点(2,6)A -,故答案为:(2,6)-.【点评】本题考查指数函数的图象和性质,考查函数图象的平移问题,是基础题.6.(2017秋•通州区期中)设30.2a =,0.23b =,则两个数的大小关系是a < b .(填“>”或“<” ) 【分析】利用指数函数0.2x y =和函数3x y =的单调性分别比较a 、b 与1的大小关系,从而得出答案. 【解答】解:0.2x y =在R 上单调减,300.20.21a ∴=<=,3x y =在R 上单调增,0.20331b ∴=>=,1a b ∴<<,得a b <. 故答案为:<.【点评】本题考察指数函数的单调性,问题的关键在于合理选择中间值来比较大小,属于中等题. 7.(2017秋•西城区校级期中)已知42a =,则a = 12. 【分析】根据指数,对数的转化求出a 的值即可. 【解答】解:42a =, 41log 22a ∴==, 故答案为:12. 【点评】本题考查了指数,对数的转化,考查对应思想,是一道基础题.8.(2016•北京模拟)已知满足3020x y x y +-⎧⎨-⎩的点(,)P x y 不在函数x y a =的图象上,则实数a 的取值范围为 (2,)+∞ .【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域,再用图象判断,求出目标函数的最小值 【解答】解:由3020x y x y +-⎧⎨-⎩画出满足条件的可行域,由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,得到点(1,2)A ,当(1,2)A 在函数x y a =的图象上, 此时2a =,由于点(,)P x y 不在函数x y a =的图象上, 所以实数a 的取值范围为(2,)+∞.【点评】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.9.(2015秋•顺义区期末)已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y mx n =+的图象上,其中0m >,0n >,则mn 的最大值为14. 【分析】由指数函数的图象变换求得函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点(1,1)A ,代入一次函数y mx n =+,得到1m n +=,然后利用基本不等式求最值.【解答】解:(0,1)x y a a a =>≠的图象恒过定点(0,1),1(0,1)x y a a a -∴=>≠的图象恒过定点(1,1)A , 又点A 在一次函数y mx n =+的图象上, 1m n ∴+=,又0m >,0n >,2211()()224m n mn +∴==(当且仅当12m n ==时等号成立). 故答案为:14. 【点评】本题考查指数函数的图象变换,考查了利用基本不等式求最值,是基础题. 三.解答题(共4小题)10.(2019秋•海淀区校级期末)已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1-,2]上的最大值是最小值的8倍. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)当1a >时,解不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+.【分析】(Ⅰ)分类讨论当1a >时,当01a <<时,求出最大值,最小值,即可求解答案.(Ⅱ)转化222log (42)log (1)x x +<+得出得出不等式组224202421230x x x x x x +>>-⎧⎧⎨⎨+<+-->⎩⎩, 求解即可213x x x >-⎧⎨-⎩或【解答】解:2()max f x a =,1()min f x a -=,则2318a a a -==,解得2a =;当01a <<时,1()max f x a -==,2()min f x a =,则1328a a a --==,解得12a =;故2a =或12a =(Ⅱ) 当1a >时,由前知2a =,不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+ 即得解集为(2-,1)(3-⋃,)+∞.【点评】本题考察了指数函数的性质,分类讨论的思想,属于中档题,关键是分类得出方程,不等式组.11.(2017秋•通州区期中)集合A 是由满足以下性质的函数()f x 构成的:对于定义域内任意两个不相等的实数1x ,2x ,都有12121[()()]()22x x f x f x f ++>.(1)若()f x A ∈,同时()g x A ∈,求证:()()f x g x A +∈. (2)试判断()f x lgx =是否在集合A 中,并说明理由. (3)设()f x A ∈且定义域为(0,)+∞,值域为(1,2),3(1)2f <,试求出一个满足以上条件的函数()f x 的解析式. 【分析】(1)直接利用已知定义代入,作和即可证明结论; (2)利用对数函数的运算性质判断;(3)1()()13x f x =+,0x >满足(0,)x ∈+∞时,()(1f x ∈,2),且3(1)2f <,进一步证明满足12121[()()]()22x x f x f x f ++>即可.【解答】(1)证明:()f x A ∈,()g x A ∈,∴对1x ∀,2x R ∈,12121[()()]()22x x f x f x f ++>,12121[()()]()22x x g x g x g ++>, ∴121211221[()()()()]()()222x x x x f x g x f x g x f g +++++>+, ()()f x g x A ∴+∈.(2)解:()f x lgx =不在集合A 中.证明如下:当11x =,210x =时,12111[()()](110)222f x f x lg lg +=+=,1211()22x x f lg +=,112,∴11122lg>=,∴1101()[(1)(10)]22f f f +>+,故()f x A ∉. (3)解:1()()13x f x =+,0x >,(0,)x ∈+∞时,1()(0,1)3x ∈,()(1f x ∈,2).∴1()()1(1,2)3x f x =+∈,143(1)1332f =+=<, 又1x ∀,2(0,)x ∈+∞,12x x ≠,12121[()()]()22x x f x f x f ++-121212122211111111[()()2][()1][()()2()]23332333x xx x x x x x ++=++-+=+-12121222222222211111111[[()][()]2()()][()()]023333233xxxxxx=+-=->, ()f x A ∴∈.综上,1()()13x f x =+,0x >满足条件.【点评】本题考查指数式的图象和性质,考查推理运算能力,是中档题. 12.(2017秋•丰台区期中)已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过点1(1,)2.()I 求函数()y f x =的解析式;()II 若不等式满足(21)1f x +>,求x 的取值范围.【分析】(Ⅰ)因为指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过点1(1,)2,构造方程,可得函数()y f x =的解析式;()II 利用指数函数的单调性,可将(21)1f x +>化为:210x +<,解得答案. 【解答】(本小题9分)解:(Ⅰ)因为指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过点1(1,)2,所以12a =⋯(2分)所以指数函数的解析式为1()2x y =.⋯(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得,(21)1f x +>等价于211()12x +>⋯(6分)因为函数1()2x y =在R 上单调递减,所以210x +<,解得12x <-⋯(8分)综上,x 的取值范围是12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭.⋯(9分)【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质,求出指数函数的解析式,是解答的关键. 13.(2016•丰台区二模)设函数()()ax f x e a R =∈.()I 当2a =-时,求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值;(Ⅱ)若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点,求实数a 的取值范围.【分析】(Ⅰ)2a =-时,利用导数求出函数()g x 在区间(0,)+∞内的最大值即可;(Ⅱ)根据题意,求出函数()h x 的导数()h x ',则()h x 在(0,16)内有两个零点,根据()h x 在(0,16)的最值列出不等式组,从而求出a 的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当2a =-时,函数2()x f x e -=,∴函数22()x g x x e -=,2222()2(2)2(1)x x x g x xe x e x x e ---∴'=+-=-, 令()0g x '=,解得0x =或1x =;∴当(0,1)x ∈时,()0g x '>,()g x 是增函数,当(1,)x ∈+∞时,()0g x '<,()g x 是减函数;∴在区间(0,)+∞内()g x 的最大值是g (1)2e -=;(Ⅱ)函数22()11()ax x h x x e f x -=-=-,22()2()(2)ax ax ax h x xe x a e e ax x ---∴'=+-=-+, 令()0h x '=,0ax e ->,220ax x ∴-+=,解得0x =或2(0)x a a=≠;又()h x 在(0,16)内有两个零点, ()h x ∴在(0,16)内不是单调函数;∴2(0,16)a ∈,解得18a >①; 又2(0,)x a ∈时,()0h x '>,()h x 是增函数,2(x a∈,16)时,()0h x '<,()h x 是减函数,∴在(0,16)上2224()()1max h x h e a a -==-; 令22410e a -->,解得22a e e-<<②; 又(0)0(16)0h h <⎧⎨<⎩,即161025610ae --<⎧⎨-<⎩,解得122a ln >③; 由①②③组成不等式组,解得1222ln a e<<;∴实数a的取值范围是1222ln ae<<.【点评】本题考查了函数的性质与导数的综合应用问题,也考查了转化思想的应用问题,是综合性题目.。

高中数学:指数函数的图像和性质练习及答案

高中数学:指数函数的图像和性质练习及答案

高中数学:指数函数的图像和性质练习及答案指数函数的图象与性质1.指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x在同一坐标系内的图象如图所示,则a、b、c、d的大小顺序是( )A.b<a<d<cB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.b<c<a<d2.已知1>n>m>0,则指数函数①y=m x,②y=n x的图象为( )A.B.C.D.3.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )A.B.C.D.4.把函数y=f(x)的图象向左,向下分别平移2个单位,得到y=2x的图象,则f(x)的解析式是( ) A.f(x)=2x+2+2B.f(x)=2x+2-2C.f(x)=2x-2+2D.f(x)=2x-2-25.若关于x的方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( )A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,)6.已知函数f(x)=|2x-1-1|.(1)作出函数y=f(x)的图象;(2)若a<c,且f(a)>f(c),求证:2a+2c<4.指数函数的定义域7.已知函数f(x)的定义域是(1,2),则函数f(2x)的定义域是( ) A.(0,1)B.(2,4)C.(,1)D.(1,2)8.函数y=的定义域是________.指数函数的值域9.函数y=的值域为________.10.当x∈[0,1]时,函数f(x)=3x+2的值域为________.指数函数的性质11.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( ) A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数12.关于指数函数,有下列几个命题:①指数函数的定义域为(0,+∞);②指数函数的值域是不包括1的;③指数函数f(x)=2x和f(x)=()x关于y轴对称;④指数函数都是单调函数.其中正确的命题有________(填写正确命题的序号).13.指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)对于任意的x1、x2∈R,都有f(x1)f(x2)________f(x1+x2).(填“>”,“<”或“=”)指数幂的大小比较14.a=与b=()5的大小关系是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.大小关系不定15.设<()b<()a<1,那么( )A.a a<a b<b aB.a a<b a<a bC.a b<a a<b aD.a b<b a<a a16.设函数f(x)定义在实数集上,且y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( ) A.f()<f()<f()B.f()<f()<f()C.f()<f()<f()D.f()<f()<f()指数方程的解法17.集合M={3,2a},N={a,b},若M∩N={2},则M∪N等于( )A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3}18.方程2m·3n-3n+1+2m=13的非负整数解(m,n)=________.19.若方程()x+()x-1+a=0有正数解,则实数a的取值范围是________.指数不等式的解法20.已知不等式为≤3x<27,则x的取值范围( )A.-≤x<3B.≤x<3C.RD.≤x<21.已知f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是( ) A.a>0B.a>1C.a<1D.0<a<122.不等式<2-2x的解集是________.指数函数的单调性23.函数y=的递减区间为( )A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.(-∞,3]D.[3,+∞)24.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数,则实数a的取值范围为( ) A.(,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,)D.(-,)25.已知函数f(n)=是增函数,则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.(7,8)C.[7,8)D.(4,8)26.函数y=的递增区间是________.27.已知函数f(x)=.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值.指数函数的最值28.已知函数y=ax(a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值为( ) A.B.2C.3D.429.已知函数y=9x-2·3x-1,求该函数在区间x∈[-1,1]上的最大值和最小值.30.已知f(x)=9x-2·3x+4,x∈[-1,2].(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;(2)求f(x)的最大值与最小值.与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y=的图象( )A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)等于( )A.2B.C.D.a233.函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8),(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性,并给出证明.答案1.指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x在同一坐标系内的图象如图所示,则a、b、c、d的大小顺序是( )A.b<a<d<cB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.b<c<a<d【答案】A【解析】作直线x=1与各图象相交,交点的纵坐标即为底数,故从下到上依次增大.所以b<a<d<c.故选A.2.已知1>n>m>0,则指数函数①y=m x,②y=n x的图象为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】由1>n>m>0可知①②应为两条递减指数函数曲线,故只可能是选项C或D,进而再判断①②与n和m的对应关系,不妨选择特殊点,令x=1,则①②对应的函数值分别为m和n,由m<n知选C.故选C.3.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】当a>1时,y=a x-为增函数,且在y轴上的截距为0<1-<1,排除A,B.当0<a<1时,y=a x-为减函数,且在y轴上的截距为1-<0,故选D.4.把函数y=f(x)的图象向左,向下分别平移2个单位,得到y=2x的图象,则f(x)的解析式是( ) A.f(x)=2x+2+2B.f(x)=2x+2-2C.f(x)=2x-2+2D.f(x)=2x-2-2【答案】C【解析】y=2x向上,向右分别平移2个单位得f(x)的图象,所以f(x)=2x-2+2.5.若关于x的方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( )A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,)【答案】D【解析】方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y=|a x-1|与y=2a有两个交点.①当0<a<1时,如图(1),∴0<2a<1,即0<a<.②当a>1时,如图(2),而y=2a>1不符合要求.综上,0<a<.6.已知函数f(x)=|2x-1-1|.(1)作出函数y=f(x)的图象;(2)若a<c,且f(a)>f(c),求证:2a+2c<4.【答案】(1)f(x)=其图象如图所示.(2)证明由图知,f(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故结合条件知必有a<1.若c≤1,则2a<2,2c≤2,所以2a+2c<4;若c>1,则由f(a)>f(c),得1-2a-1>2c-1-1,即2c-1+2a-1<2,所以2a+2c<4.综上知,总有2a+2c<4.7.已知函数f(x)的定义域是(1,2),则函数f(2x)的定义域是( )A.(0,1)B.(2,4)C.(,1)D.(1,2)【答案】A【解析】根据题意可知1<2x<2,则0<x<1,所以函数f(2x)的定义域是(0,1).8.函数y=的定义域是________.【答案】(-∞,]【解析】要使函数y=有意义,则必须()3x-1-≥0,即()3x-1≥()3,∴3x-1≤3,解得x≤.∴函数y=的定义域是(-∞,].故答案为(-∞,].9.函数y=的值域为________.【答案】[0,4)【解析】∵2x>0,∴0≤16-2x<16,则0≤<4,故函数y=的值域为[0,4).10.当x∈[0,1]时,函数f(x)=3x+2的值域为________.【答案】[3,5]【解析】因为指数函数y=3x在区间[0,1]上是增函数,所以30≤3x≤31,即1≤3x≤3,于是1+2≤3x+2≤3+2,即3≤f(x)≤5.11.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( )A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数【答案】B【解析】因为f(x),g(x)的定义域均为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,故选B.12.关于指数函数,有下列几个命题:①指数函数的定义域为(0,+∞);②指数函数的值域是不包括1的;③指数函数f(x)=2x和f(x)=()x关于y轴对称;④指数函数都是单调函数.其中正确的命题有________(填写正确命题的序号).【答案】③④【解析】①指数函数的定义域为R,故①错误;②指数函数的值域是(0,+∞),故②错误;③∵f(x)=()x=2-x,∴指数函数f(x)=2x和f(x)=()x关于y轴对称,故③正确;④当a>1时,y=ax是增函数;当0<a<1时,y=ax是减函数,所以指数函数都是单调函数,故④正确.故答案为③④.13.指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)对于任意的x1、x2∈R,都有f(x1)f(x2)________f(x1+x2).(填“>”,“<”或“=”)【答案】=【解析】∵对于指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1),任意取x 1、x2∈R,有f(x1)f(x2)===f(x1+x2).故答案为=.14.a=与b=()5的大小关系是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.大小关系不定【答案】A【解析】考察函数y=()x与y=()x知,前者是一个增函数,后者是一个减函数,∴>()0=1,()5<()0=1,∴>()5,即a>b,故选A.15.设<()b<()a<1,那么( )A.a a<a b<b aB.a a<b a<a bC.a b<a a<b aD.a b<b a<a a【答案】C【解析】∵<()b<()a<1,且y=()x在R上是减函数.∴0<a<b<1,∴指数函数y=a x在R上是减函数,∴a b<a a,∴幂函数y=x a在R上是增函数,∴a a<b a,∴a b<a a<b a,故选C.16.设函数f(x)定义在实数集上,且y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( ) A.f()<f()<f()B.f()<f()<f()C.f()<f()<f()D.f()<f()<f()【答案】B【解析】∵y=f(x+1)是偶函数,故函数的图象关于直线x=1对称,则f()=f(),f()=f(),又∵当x≥1时,f(x)=3x-1为增函数,且<<,故f()<f()<f(),即f()<f()<f(),故选B.17.集合M={3,2a},N={a,b},若M∩N={2},则M∪N等于( )A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3}【答案】D【解析】因为2是它们的公共元素,所以2a=2,a=1,b=2,因此M∪N={1,2,3},选D.18.方程2m·3n-3n+1+2m=13的非负整数解(m,n)=________.【答案】(3,0),(2,2)【解析】方程2m·3n-3n+1+2m=13变形为3n(2m-3)+2m=13.(*)∵m,n为非负整数,∴当m=0,1时,经验证无解,应舍去.当m=2时,(*)化为3n+22=13,解得n=2.此时方程的非负整数解为(2,2).当m=3时,(*)化为5·3n+23=13,即3n=1,解得n=0.当m≥4时,2m-3≥13,左边>右边,(*)无非负整数解.综上可知:方程2m·3n-3n+1+2m=13的非负整数解(m,n)=(3,0),(2,2).故答案为(3,0),(2,2).19.若方程()x+()x-1+a=0有正数解,则实数a的取值范围是________.【答案】(-3,0)【解析】令()x=t,∵方程有正根,∴t∈(0,1).方程转化为t2+2t+a=0,∴a=1-(t+1)2.∵t∈(0,1),∴a∈(-3,0).20.已知不等式为≤3x<27,则x的取值范围( )A.-≤x<3B.≤x<3C.RD.≤x<【答案】A【解析】由题意可得≤3x≤33,再根据函数y=3x在R上是增函数,可得-≤x<3,故选A.21.已知f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是( )A.a>0B.a>1C.a<1D.0<a<1【答案】D【解析】∵f(-2)=a2,f(-3)=a3.f(-2)>f(-3),即a2>a3,故0<a<1.选D.22.不等式<2-2x的解集是________.【答案】{x|x>3,或x<-1}【解析】原不等式化为<()2x,又y=()x为减函数,故x2-3>2x,解得{x|x>3,或x<-1}.23.函数y=的递减区间为( )A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.(-∞,3]D.[3,+∞)【答案】B【解析】设u=(x+3)2,y=()u,∵u=(x+3)2在(-∞,-3]上递减,在[-3,+∞)上递增,而y=()u在R上递减,∴y=在[-3,+∞)上递减.24.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数,则实数a的取值范围为( )A.(,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,)D.(-,)【答案】B【解析】由题意知函数为指数函数,且为实数集R上的增函数,所以底数1-2a>1,解得a<0.25.已知函数f(n)=是增函数,则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.(7,8)C.[7,8)D.(4,8)【答案】D【解析】因为函数f(n)=是增函数,所以解得4<a<8.26.函数y=的递增区间是________.【答案】[2,+∞)【解析】函数y=的单调递增区间即为y=x2-4x+3的单调递增区间,∵y=x2-4x+3的单调递增区间为[2,+∞),故答案为[2,+∞).27.已知函数f(x)=.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值.【答案】(1)a=1,得f(x)=,∵∈(0,1),∴f(x)的外层函数是一个递减的指数函数;令t=x2-4x+3,则其减区间为(-∞,2),增区间为(2,+∞).∴f(x)的增区间为(-∞,2),减区间为(2,+∞)(2)∵f(x)有最大值为3,∈(0,1),函数t=ax2-4x+3有最小值-1,∴函数t=ax2-4x+3在区间(-∞,)上是减函数,在区间(,+∞)上是增函数由此可得,a>0且f()==3,得-+3=-1,解之得a=1.综上所述,当f(x)有最大值3时,a的值为1.28.已知函数y=ax(a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值为( ) A.B.2C.3D.4【答案】B【解析】y=a x(a>1)在[1,2]上是增函数,最大值为a2,最小值为a1,所以a2-a1=2,解得a=2或a=-1(舍).29.已知函数y=9x-2·3x-1,求该函数在区间x∈[-1,1]上的最大值和最小值.【答案】令3x=t,∵-1≤x≤1,∴≤t≤3,∴y=t2-2t-1=(t-1)2-2(其中≤t≤3).∴当t=1时(即x=0时),y取得最小值-2,当t=3时(即x=1时),y取得最大值2. 30.已知f(x)=9x-2·3x+4,x∈[-1,2].(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;(2)求f(x)的最大值与最小值.【答案】(1)∵t=3x在[-1,2]是单调增函数,∴t max=32=9,t min=3-1=.(2)令t=3x,∵x∈[-1,2],∴t∈[,9],原方程变为:f(x)=t2-2t+4,∴f(x)=(t-1)2+3,t∈[,9],∴当t=1时,此时x=0,f(x)min=3,当t=9时,此时x=2,f(x)max=67.题组10 与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y=的图象( )A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称【答案】A【解析】设函数y=f(x)=,则此函数的定义域为R.f(-x)===-f(x),故函数是奇函数,故它的图象关于原点O对称,故选A.32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)等于( )A.2B.C.D.a2【答案】B【解析】∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,②①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,∴f(2)=22-2-2=.33.函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8),(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性,并给出证明.【答案】(1)由已知得∴k=1,a=,∴f(x)=2x.(2)函数g(x)为奇函数.证明:g(x)=,其定义域为R,又g(-x)===-=-g(x),∴函数g(x)为奇函数.。

指数函数的图象与性质

指数函数的图象与性质

指数函数的图象与性质例题讲解一、选择题:1.下列说法中,正确的是( )①任取x ∈R 都有3x >2x②当a >1时,任取x ∈R 都有a x >a -x③y =(3)-x是增函数 ④y =2|x |的最小值为1⑤在同一坐标系中,y =2x与y =2-x的图象对称于y 轴 A .①②④ B .④⑤ C .②③④ D .①⑤2.设713=x,则 .A 21x -<<- .B 32x -<<- .C 10x -<< .D 01x <<3、已知集合{}11M =-,,11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ,,则M N =.A {}11-, .B {}1-.C {}0 .D {}10-,4.函数(),(0,1)xf x a a a =>≠对于任意的实数都有( )。

A ()()()f xy f x f y = B ()()()f xy f x f y =+ C ()()()f x y f x f y += D ()()()f x y f x f y +=+ 二、填空题:5.(1)函数y =4x 与函数y=-4x 的图像关于________对称, (2)函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称. (3)函数y =4x 与函数、y=-4-x 的图像关于________对称.小结:根据以上三个小题的结论,你能否把它们推广到一般情形。

6.不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为7.求不等式2741x x aa -->中的x 的取值范围8.如果函数x a x f )1()(2-=在),(+∞-∞上是单调减函数,则a 的取值范围是9.定义符号函数,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=x x x x 则不等式x x x sgn )12(2->+的解集是10.函数(0,1)x y a a a =>≠在[1,2]上的最大值比最小值大,则a 的值是___________. 三、解答题:11.比较下列各组数的大小: (1) 1.8 1.91.01,1.01; (2)0.680.670.75,0.75-- (3) 3.1 2.112,()3--12.已知下列不等式,比较的大小(1)33mn< (2)0.10.1mn< (3)mna a > 13.设31212,x x y a y a +-==其中01a a >≠且,确定x 为何值时,有: (1)12y y =; (2) 12y y < 14.对于函数2(),()21xf x a a R =-∈+: (1)探究函数()f x 的单调性;(2)是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数?课外思考:一、选择题1.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0<x 时,,)31()(xx f =那么)21(f 的值A .33B .3C .3-D .9 2.8y .已知函数=,下列结论正确的是3131x x -+ [ ]A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数 3函数f(x )的图象与函数g (x )=(21)x 的图象关于直线y =x 对称,则f (2x -x 2)的单调减区间为( )A .(-∞,1)B .[1,+∞]C .(0,1)D .[1,2]4.已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1,则x 的范围是.A []4,2 .B )0,(-∞ .C [](0,1)2,4 .D (][],01,2-∞二填空题 5函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的递减区间为 ;最大值是6.若函数,)2(,2)2(),2()(⎩⎨⎧≥<+=-x x x f x f x 则)3(-f 的值为三、解答题7.已知11()()4()542x xf x =-++,求该函数的定义域、值域和单调区间。

指数函数的图像和性质(分层作业含答案详解)

指数函数的图像和性质(分层作业含答案详解)

4.2.2 指数函数的图像和性质(分层作业)(夯实基础+能力提升)【夯实基础】一、单选题1.(2022·全国·高一专题练习)函数e xy -=(e 是自然底数)的大致图像是( )A .B .C .D .【答案】C【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.【详解】解析 10ee e 0xxx x y x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪<⎩,,, 函数exy -=为偶函数,且过()0,1,e0xy -=>,函数在(),0∞-上递增,在()0,∞+上递减,故C 符合. 故选:C.2.(2022·全国·高一课时练习)函数①x y a =;②xy b =;③x y c =;④x y d =的图象如图所示,a ,b ,c ,d 分别是下列四个数:54313,12中的一个,则a ,b ,c ,d 的值分别是( )A .54313,12B 354,12,13C .12,13354D .13,12,543【答案】C【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ,d ,a ,b 即可求解. 【详解】解:直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ,d ,a ,b ,而5113423>>>, 所以a ,b ,c ,d 的值分别是12,13,3,54,故选:C.3.(2022·全国·高一课时练习)函数327x y =- ) A .(3⎤-∞⎦ B .()3-∞C .[)3,+∞D .()3,+∞【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负,列出不等式,求解不等式可得答案. 【详解】由题意得3270x -≥,即333x ≥,解得3x ≥. 故选:C.4.(2022·河南开封·高一期末)已知函数()1232,1,,14,x x f x x x ⎧-⎪=⎨⎪<⎩则函数()f x 值域是( )A .(],2-∞B .(]2,2-C .(]1,4D .(],4∞-【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域.【详解】当1x 时,32x y =-单调递增,值域为(]2,1-;当14x <时,12y x =单调递增,值域为(]1,2,故函数值域为(]2,2-. 故选:B5.(2022·全国·高一课时练习)若函数()2021x x f x x ππ-=-+,则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为( ) A .[1,)+∞ B .(,1]-∞ C .(0,1] D .[1,1]-【答案】A【分析】判断出函数的奇偶性和单调性,再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--, 所以()f x 是奇函数,所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-, 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数, 所以()f x 在R 上为增函数, 所以142x x +≥-,解得1≥x , 故选:A.6.(2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试)已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A .a b c << B .c b a << C .b c a << D .a c b <<【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小.【详解】∵0.3x y =是减函数,30.10>>,所以30.10.30.31<<, 又0.121>, ∴b c a <<. 故选:C .7.(2022·四川宜宾·高一期末)已知a b >,则下列不等式一定成立的是( ) A .11a b< B .22a b > C .22a b > D .a b >【答案】B【分析】根据给定条件,举例说明判断A ,C ,D ;利用指数函数单调性判断B 作答. 【详解】取1,2a b ==-,满足a b >,显然有11a b>、22a b <、a b <成立,即选项A ,C ,D 都不正确; 指数函数2x y =在R 上单调递增,若a b >,则必有22a b >,B 正确. 故选:B8.(2022·全国·高一专题练习)已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===,则( ) A .c a b << B .a b c << C .b c a >> D .a b c >>【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解: 1.6x y =是增函数,故0.30.81.6 1.6a b =<=, 而0.30.81.610.7c >>=,故c a b <<. 故选:A.9.(2022·全国·高一课时练习)若函数()xf x a =(0a >且1a ≠)在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103,则a 的值为( ) A .13B 3C 3D 33【答案】D【分析】分01a <<与1a >两种情况,结合函数单调性表达出最值,列出方程,求出a 的值.【详解】当01a <<时,函数()xf x a =在[]22-,上为减函数, 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=-+=+=,解得:33a =, 当1a >时,函数()xf x a =在[]22-,上为增函数, 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=+-=+=,解得:3a =. 综上,33a =或3. 故选:D10.(2022·全国·高一)已知函数()()201xf x a a =-<<,则函数的图像经过( ).A .第一、二、四象限B .第二、三、四象限C .第二、四象限D .第一、二象限【答案】B【分析】根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果. 【详解】因为01a <<,所以函数()x f x a =的图象经过一、二象限,又()2x f x a =-的图象是由()x f x a =的图象沿y 轴向下平移2个单位得到, 所以函数()2x f x a =-的图象经过二、三、四象限,如图,故选:B11.(2022·湖北武汉·高一期末)函数y x a =+与x y a =,其中0a >,且1a ≠,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】根据y x a =+单调递增可排除AC ,再根据y x a =+与y 轴交点位置可排除B. 【详解】0a >,则y x a =+单调递增,故排除AC ;对于BD ,x y a =单调递减,则01a <<,∴y x a =+与y 轴交于0和1之间,故排除B. 故选:D.12.(2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习)已知130440.6,,5a b c a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为( ) A .b a c << B .a c b << C .c b a << D .a b c <<【答案】B【分析】根据中间值1比较大小即可.【详解】解:根据题意,01c a ==,134450.61,154a b -⎛⎫=<==> ⎪⎝⎭,所以a c b <<.故选:B .二、多选题13.(2022·全国·高一单元测试)已知函数()33x xf x -=-,则( )A .()f x 的值域为RB .()f x 是R 上的增函数C .()f x 是R 上的奇函数D .()f x 有最大值【答案】ABC【分析】()()30,x g x ∞=∈+,而()()3,0xh x ∞-=-∈-得到()f x 的值域为R ,判断A 正确,D 错误,根据增函数加增函数还是增函数进行判断B 选项,根据函数奇偶性定义判断得到C 选项.【详解】()()30,x g x ∞=∈+,而()()3,0xh x ∞-=-∈-,所以()33x x f x -=-值域为R ,A 正确,D 错误; 因为()3x g x =是递增函数,而()3xh x -=-是递增函数,所以()33x x f x -=-是递增函数,B 正确;因为定义域为R ,且()()33x xf x f x --=-=-,所以()f x 是R 上的奇函数,C 正确;故选:ABC三、填空题14.(2022·全国·高一课时练习)若0a >且1a ≠,则函数()43x f x a -=+的图像恒过的定点的坐标为______.【答案】()4,4【分析】任意指数函数一定过定点(0,1),根据该性质求解.【详解】令40x -=,得4x =,所以()0434f a =+=,所以函数()43x f x a -=+的图像恒过定点()4,4.故答案为:()4,415.(2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习)函数()42xf x a -=+(0a >且1a ≠)恒过一定点________ .【答案】()4,3【分析】令40x -=,求出x 的值后,再代入函数解析式,即可得解.【详解】令40x -=可得4x =,则()0423f a =+=,因此,函数()f x 的图象恒过定点()4,3.故答案为:()4,3.16.(2022·广东广州·高一期末)函数1()211xf x x =--的定义域为______. 【答案】[)()0,11,+∞【分析】根据题意,结合限制条件,解指数不等式,即可求解.【详解】根据题意,由2101x x ⎧-≥⎨≠⎩,解得0x ≥且1x ≠,因此定义域为[)()0,11,+∞.故答案为:[)()0,11,+∞.17.(2022·上海市延安中学高一期末)函数()23xy x =<的值域为___________.【答案】(0,8)【分析】根据指数函数的性质,结合自变量范围求值域. 【详解】由3x <,又2x y =递增, ∴函数值域为(0,8). 故答案为:(0,8).四、解答题18.(2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试)已知函数21()2x f x -=.(1)求函数()f x 的定义域;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明; (3)解不等式()f x 4≥.【答案】(1)R ;(2)详见解析;(3){|3x x ≥或3}x ≤-. 【分析】(1)由指数函数的定义域可得解;(2)由()()f x f x -=可知函数为偶函数; (3)利用对数函数的单调性可知212242x-≥=,得212x -≥,从而得解.【详解】(1)易知函数()212x f x -=,x R ∈. 所以定义域为R . (2)由()()()221122x xf x f x ----===,从而知()f x 为偶函数;(3)由条件得212242x-≥=,得212x -≥,解得3x ≥或3x ≤-.所以不等式的解集为:{|3x x ≥或3}x ≤-.【点睛】本题主要考查了指数型函数的定义域,奇偶性及解指数不等式,属于基础题. 19.(2022·全国·高一课时练习)已知x 满足311x ≥+,求函数142x x y +=-的最大值及最小值. 【答案】max 8y =,min 1y =-【分析】先求x 的范围,再通过换元法求最值.【详解】由311x ≥+可得:201x x -≥+可得:(]1,2x ∈-,令2x t =,(]1,2x ∈-, 则()222(2)22211x x y t t t =-⨯=-=--,1,42t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,当1t =即0x =时,min 1y =-;当4t =即2x =时,max 8y =.20.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为7.(1)求a 的值;(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 【答案】(1)2a = (2)证明见解析【分析】(1)根据()1(1)xf x a a =+>单调性代入计算即可;(2)根据定义法证明函数为增函数即可. (1)因为()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上单调递增,所以函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为()()207f f +=,所以20117a a +++=,解得2a =±,又因为1a >,所以2a =. (2)由(1)知,()()()22x x F x f x f x -=--=-, 任取12,x x ∈R ,且12x x <,则 ()()()()1122122222x x x x F x F x ---=--- 1221112222x x x x =-+- 121221222222x x x x x x -=-+⋅()122112212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为12x x <,所以12220x x -<,211102x x ++>,所以()()120F x F x -<,即()()12F x F x <,所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 21.(2022·湖南·高一课时练习)在同一直角坐标系内作出函数3x y =与3x y -=的图象. 【答案】作图见解析【分析】直接在平面直角坐标系中作出两个指数函数的图象即可. 【详解】解:作出函数3x y =与3x y -=的图象如下图所示:22.(2022·全国·高一课时练习)已知函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩(1)在给出的坐标系中画出函数()f x 的图象. (2)根据图象写出函数的单调区间和值域.【答案】(1)图见解析;(2)函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞,单调递减区间为[0,)+∞,值域为(,1]-∞. 【解析】(1)利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象; (2)根据图象观察可知即可得出结果.【详解】(1)利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩的图象为:(2)由函数的图像可知,函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞ 单调递减区间为[0,)+∞, 函数()f x 的值域为(,1]-∞23.(2022·广东·东莞市石龙中学高一期中)已知定义域为R 的函数()2122x xf x a =-+是奇函数. (1)求实数a 的值;(2)判断函数()f x 的单调性,并用定义加以证明;(3)若对任意的R x ∈,不等式()()2240f x mx f x -++>成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(2)函数在定义域内单调递增,证明见解析(3)()4242,-【分析】(1)由()f x 是奇函数可得()00f =,求出a 的值,再验证此时()f x 是奇函数; (2)()f x 先分离常数,再判断其单调性,利用定义证明函数()f x 在R 上单调递增;(3)利用()f x 的奇偶性和单调性将不等式变成224x mx x ->--,再利用二次函数恒成立求出实数m 的取值范围. (1)因为函数的定义域为R ,所以()110012f a =-=+,∴1a =. 经检验当1a =时,有()()f x f x -=-,所以1a =.()211111111212212221x x x xf x +-=-=--=-+++, 函数在定义域内单调递增,证明如下:设12x x >,所以()()()()12212112112*********x x x x x x f x f x --=-=++++,因为1222x x >,所以()()12f x f x >,所以函数()f x 在R 上单调递增. (3)∵()f x 是奇函数,由已知可得()()()22244f x mx f x f x ->-+=--224x mx x ->--,则2240x mx -+>,∴∆<0,故24240m -⨯⨯<,4242m -<<.∴实数m 的取值范围为()4242,-. 24.(2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习)已知函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上最大值和最小值的和为12,令()3x x f x a =+.(1)求实数a 的值.(2)并探究()()1f x f x +-是否为定值,若是定值,写出证明过程;若不是定值,请说明理由; (3)解不等式:()()2121f x f x -+<. 【答案】(1)3a = (2)是定值,证明见解析 (3)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)由单调性得最大值与最小值的和,从而求得a 值; (2)由(1)所得参数值,直接计算()(1)f x f x +-可得; (3)根据(2)的结果化简不等式求得1()2f x <,再解之可得. (1)因为函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上为单调函数,所以212a a +=,解得3a =或4a =-.因为0a >且1a ≠,所以3a =;由(1)得, ()333xx f x =+,所以()()1133331333333333x x x x x x x f x f x --+-=+=+++++⨯3313333x x x=+=++;(3)由(2)得,()()11f x f x -=-,且()0f x >,所以()()()2211f x f x f x <--=,所以 ()12f x <,所以31233x x<+,整理得,33x <,解得12x <, 所以原不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【能力提升】一、单选题1.(2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习)已知函数1()323xx f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若2()(2)4f a f a +->,则实数a的取值范围是( ) A .(,1)-∞ B .(),2(1,)-∞-+∞ C .()2,1- D .(1,2)-【答案】B【分析】构造函数()()2g x f x =-,可证得()g x 是奇函数,且在R 上单调递增. 2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->,进而可解得结果.【详解】令1()()233xxg x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,(R x ∈),则()11()()23333xxxx g x f x g x --⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()g x 是奇函数;又13,3xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭都是R 上增函数,所以()g x 在R 上单调递增.所以2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->,进而有()()22g ag a >-,所以220a a +->, 解得2a <-或1a >. 故选:B.2.(2022·全国·高一课时练习) 若存在正数x ,使得关于x 的不等式()31xx a -<成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[)3,+∞ B .[)1,-+∞C .()1,-+∞D .()0,+∞【答案】C【分析】问题转化为13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()0,+∞上能成立,根据右侧的单调性求值域,进而求参数范围.【详解】由题意知13xx a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立,即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立.令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=,显然()f x 在()0,+∞上单调递增,所以0x ∀>,()()01f x f >=-, 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞. 故选:C二、多选题3.(2022·浙江·杭州四中高一期末)已知函数()2+1x xf x a =(0a >,1a ≠),则下列说法正确的是( )A .函数图象关于y 轴对称B .函数的图像关于(0,0)中心对称C .当1a >时,函数在(0,)+∞上单调递增D .当01a <<时,函数有最大值,且最大值为2a 【答案】AD【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.【详解】()2+1x xf x a=的定义域为{}0x x ≠,当0x ≠时,则()()22+1+1==()x x xxf x aaf x ---=,故()f x 是偶函数,因此图象关于y 轴对称,故A 正确,B 错误, 当0x >时,()2+11x x xxf x a a+==,令1u x x=+,则()u f u a =, 当1a >时,()u f u a =单调递增,1u x x=+在01x <<上单调递减,在1x >上单调递增,由复合函数的单调性可知:()2+11x x xxf x a a+==在01x <<上单调递减,在1x >上单调递增,故C 错误,当01a <<时,当0x >时, 由于()uf u a =单调递减,1u x x=+在01x <<上单调递减,在1x >上单调递增,故()2+11x x x x f x a a +==在01x <<上单调递增,在1x >上单调递减,故当1x =时,()f x 取最大值,且最大值为2(1)f a =,当0x <时,由于()f x 是偶函数,故最大值为()21f a -=,故D 正确,故选:AD4.(2022·全国·高一课时练习)(多选)定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅,则下列结论中正确的是( )A .()f x 的单调递减区间是[]0,1B .()f x 的单调递增区间是[]1,1-C .()f x 的最大值是()02f =D .()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【分析】首先换元,设3x t =,[]1,1x ∈-,()2224212y t t t =-+=--+,再结合复合函数的单调性,判断AB ;根据函数的单调性,再判断函数的最值,判断CD.【详解】设3x t =,[]1,1x ∈-,则3x t =是增函数,且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]1,3上单调递减,因此()f x 在[]1,0-上单调递增,在[]0,1上单调递减,故A 正确,B 错误;()()max 02f x f ==,故C 正确;()1019f -=,()16f =-,因此()f x 的最小值是6-,故D 正确. 故选:ACD .三、填空题5.(2022·全国·高一专题练习)已知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称,若对任意的[1,1]x ∈-,2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立,则实数k 的取值范围为_______.【答案】11k ≥【分析】由2(2)0xxk f ⋅-≥得(2)2x xf k ≥使得不等式一边是参数k ,另一边是不含k 关于x 的式子,分离参数.【详解】由83y x x=+为奇函数,可得其图像关于(0,0)对称,所以f x ()的图像关于(0,)a 对称,由题目可知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称,可得12a =-, 对任意的[1,1]x ∈-,2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立8[1,1],2(3212)02x x xx k ⇔∀∈-⋅-⋅+-≥恒成立, 即8232122x xxk ⋅≥⋅+-在[1,1]x ∈-恒成立, 所以28123(2)2x x k ≥-+,令12x t =,由[1,1]x ∈-,可得1[,2]2t ∈, 设2233()81238()42h t t t t =-+=--,当2t =时,h t ()取得最大值11, 所以k 的取值范围是11k ≥. 故答案为:11k ≥.【点睛】①分离参数法:遇到类似()()k f x g x ⋅≥或()()k f x g x +≥等不等式恒成立问题,可把不等式化简为()k h x ≥或()k h x ≤的形式,达到分离参数的目的,再求解y h x =()的最值处理恒成立问题;②恒成立问题最终转化为最值问题,而分离参数法,最好之处就是转化后的函数不含参,避免了麻烦的分离讨论.四、解答题6.(2022·浙江·杭州高级中学高一期末)已知实数a 大于0,定义域为R 的函数3()13x x af x a =++是偶函数.(1)求实数a 的值并判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性;(2)对任意的t ∈R ,不等式()()212f t f t m -≥-恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1a =,()f x 在()0,∞+上单调递增,证明见解析; (2)14m =.【分析】(1)利用偶函数的性质求a ,利用单调性的定义证明函数()f x 的单调性即可; (2)利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可. (1)因为()313x x a f x a =++为偶函数,且()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅,所以()()f x f x =-,解得1a =±,又0a >,所以1a =,()1313xx f x =++;设120x x >>,则()()()121212121211131313313333x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭,因为120x x >>,所以12330x x ->,1212121133101103333x xx x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅,所以()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增. (2)因为()f x 为定义在R 上的偶函数,且在()0,∞+上单调递增,()()212f t f t m -≥-,所以212t t m -≥-,平方得()22344140t m t m +-+-≥,又因为对任意R t ∈不等式恒成立,所以()()224443140m m ∆=--⨯⨯-≤,解得14m =. 7.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数.(1)求a 的值;(2)求函数()f x 的值域;(3)当()1,2x ∈时,()220xmf x +->恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)2a = (2)()1,1- (3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)利用函数是奇函数(0)0f =求解a 即可.(2)利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可.(3)利用函数恒成立,参变分离,利用换元法,结合函数的单调性求解最大值,推出结果即可. (1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()002420022a a a f a a a -+-===++,解得2a =, 当2a =时,()2121x x f x -=+,此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++,所以2a =时,()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =; (2)由(1)可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++,因为20x >,可得211x +>,所以10121x<<+, 所以22021x-<-<+, 所以211121x-<-<+, 所以函数()f x 的值域为()1,1-; (3)由()220x mf x +->可得()22xmf x >-,即122221x x xm ->+-⋅,可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立, 令()211,3xt -=∈,则()()2121t t t t m t -=-++>,函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增,所以221013133t t -+<-+=,所以103m ≥, 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈(λ是实参数)恒成立,将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立,进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈,求()g x 的最值即可.8.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()xf x ba =(其中a ,b 为常数,且0a >,1a ≠)的图象经过点()1,1M ,()3,9N .(1)求a b +的值;(2)当3x ≤-时,函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方,求实数t 的取值范围.【答案】(1)103a b += (2)36t <【分析】(1)将点M N 、代入函数()f x ,即可求出a b 、的值,则可求出答案;(2)当3x ≤-时,函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方可等价于当3x ≤-时,不等式13203x x t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立,利用参变分离可得当3x ≤-时,min1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,易知函数1323x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减,由此即可求出答案. (1)∵函数()xf x ba =(其中a ,b 为常数,且0a >,1a ≠)的图象经过点()1,1M ,()3,9N ,∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =,∴3a =-(舍)或3a =,13b =,∴103a b +=; (2)由(1)得当3x ≤-时,函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方,即当3x ≤-时,不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立,亦即当3x ≤-时,min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭,∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减,2y x =-在(],3-∞-上单调递减,∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减,∴()()min 336g x g =-=, ∴36t <.9.(2022·全国·高一单元测试)已知指数函数()xf x a =(0a >且1a ≠)的图像过点3,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)设函数()()1=-g x f x ,求()g x 的定义域;(2)已知二次函数()h x 的图像经过点()0,0,()()121+=-+h x h x x ,求函数()()f h x 的单调递增区间. 【答案】(1)[)0,+∞ (2)[)1,+∞【分析】(1)根据条件求出()f x 解析式,再列出不等式即可求得()g x 定义域. (2)由待定系数法求得()h x 解析式,再根据复合函数的单调性即可得到结果. (1)由题意知318a =,解得12a =,所以()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()112xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,解得0x ≥.所以()g x 的定义域为[)0,+∞.(2)设()()20h x mx bx c m =++≠,则()()()()()221112h x m x b x c mx m b x m b c +=++++=+++++,()()22121h x x mx b x c -+=+-++,由()()121+=-+h x h x x , 得221m b b m b c c +=-⎧⎨++=+⎩,解得12m b =-⎧⎨=⎩,则()22h x x x c =-++, 又()00h c ==,所以()()22211h x x x x =-+=--+,所以()22h x x x =-+在[)1,+∞上单调递减,又()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数,所以函数()()f h x 的单调递增区间为[)1,+∞.10.(2022·全国·高一课时练习)已知函数x y a =(0a >且1a ≠)在[]1,2上的最大值与最小值之和为20,记()2x x a f x a =+.(1)求a 的值;(2)求证:()()1f x f x +-为定值; (3)求12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】(1)4a = (2)证明见解析 (3)100【分析】(1)函数x y a =在[]1,2上单调,得到220a a +=,排除5a =-,得到答案. (2)()442xx f x =+,代入数据计算得到()()11f x f x +-=,得到证明.(3)根据()()11f x f x +-=,两两组合计算得到答案. (1)解:因为函数x y a =(0a >且1a ≠)在[]1,2上的最大值与最小值之和为20,且函数x y a =(0a >且1a ≠)在[]1,2上单调,所以当1x =和2x =时,函数x y a =(0a >且1a ≠)在[]1,2上取得最值,即220a a +=, 解得4a =或5a =-(舍去),所以4a =. (2)解:由(1)知,4a =,所以()442xx f x =+,故()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅.(3)解:由(2)知,()()11f x f x +-=,因为12001201201+=,21191201201+=,,1001011201201+=, 所以12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12001192012012020121f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1001011100100201201f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 11.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()221x xf x a a =+-(0a >,且1a ≠),求函数()f x 在[)0,+∞上的值域.【答案】答案见解析.【分析】应用换元法,令x t a =则()()212g t t =+-,讨论1a >、01a <<,注意定义域的范围,结合二次函数性质判断g t 单调性,根据单调性求值域即可.【详解】令x t a =,则()f x 可化为()()222112g t t t t =+-=+-.当1a >,0x ≥时,1t ≥,又g t 在[)1,+∞上单调递增, ∴()()12g t g ≥=,即()2f x ≥;当01a <<,0x ≥时,01t <≤,又g t 在(]0,1上单调递增, ∴()12g t -<≤,即()12f x -<≤.综上,当1a >时,函数()f x 在[)0,+∞上的值域是[)2,+∞; 当01a <<时,函数()f x 在[)0,+∞上的值域是1,2.12.(2022·全国·高一课时练习)对于函数1()2(1)+=-x a f x a (0a >且1a ≠).(1)判断函数()f x 的奇偶性;(2)当24a <<时,求函数()f x 在[][]3,11,3--⋃上的最大值和最小值. 【答案】(1)奇函数(2)最大值为11(1)12f a =+-,最小值为11(1)12f a -=---.【分析】(1)利用奇函数的定义判断可得答案;.(2)利用单调性的定义判断可得函数()f x 为减函数,再由奇偶性可得答案. (1)由题意得11()12x f x a =+-, 由10x a -≠,得0x ≠,∴函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞,关于原点对称, 又11111()()121212x xx x a f x f x a a a --=+=+=--=----, ∴函数()f x 为奇函数; (2)任取1x ,2(0,)x ∈+∞且12x x <,则()()12121111x x f x f x a a -=-=--()()211211x x x x a a a a ---,∵120x x <<,当24a <<时,2101x x a a a >>=, ∴120x x a a ->,110x a ->,210x a ->, ∴()()120f x f x ->,即()()12f x f x >, ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减.又函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称,∴当24a <<时,函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞,(0,)+∞, 即函数()f x 在区间[1,3]和[3,1]--上单调递减. ∴当13x ≤≤时,max 11()(1)012f x f a ==+>-,min 311()(3)012f x f a ==+>-, 当31x -≤≤-时,max ()(3)(3)0f x f f =-=-<,min ()(1)(1)0f x f f =-=-<, ∴函数()f x 在[3,1][1,3]--上的最大值为11(1)12f a =+-, 最小值为11(1)12f a -=---. 13.(2022·湖南常德·高一期末)已知()12f x x x -=+-.(1)若0[1,1]x ∃∈-时,()00220x xf k -⋅≥,求实数k 的取值范围;(2)设()2xg x e =-若方程2(())30()kf g x k g x +-=有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围. 【答案】(1)(,1]-∞;(2)[14,+∞)【分析】(1)将含参不等式,进行参变分离()212122x xk ≤+-,转换为二次函数求最值即可求函数最值,得k 的取值范围;(2)将原方程转换为()()22232120x x e k e k --+-++=,利用整体换元2xt e =-,结合二次函数的实根分布即可求解. (1)解: ()220xxf k -⋅≥即()2112222,1222x xx x xk k +-≥⋅≤+-,令11,222xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,记()221F t t t =-+. ∴()()max 21F t F ==,∴1k ≤ 即k 的取值范围是(,1]-∞. (2)解:由()22302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭得()1222302xx e e k k +-+-+=-, 即()()22232120x x e k e k --+-++=,且20xe -≠,令2x t e =-,则方程化为()()()2231200t k t k t -+++=≠.又方程2(2)302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解,由2x t e =-的图象可知,()()()2231200t k t k t -+++=≠有两个根1t ,2t 且1202t t <<<或1202,2t t <<=.记()()()22312t t k t k ϕ=-+++,则(0)120(2)410k k ϕϕ=+>⎧⎨=-+<⎩ 或(0)120(2)41023022k k kϕϕ⎧⎪=+>⎪=-+=⎨⎪+⎪<<⎩,解得14k >或14k = 综上所述,k 的取值范围是[14,+∞).14.(2022·河南焦作·高一期末)已知函数()e e x x f x k -=+为奇函数. (1)求实数k 的值;(2)若对任意的[]20,1x ∈,总存在[)1,x t ∈+∞,使21()1e x t f x -≤成立,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)1k =- (2)1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据奇函数满足()00f =求解即可;(2)将不等式转换为对任意的[]20,1x ∈,总存在[)1,x t ∈+∞,使1121e e ex xx t--≤-成立,根据单调性只需“对任意的[]20,1x ∈,21e e et t x t--≤-成立”,故考虑21ex t-的最小值,即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值,再分当12t ≥与12t 两种情况讨论即可 (1)(1)因为函数()e e x x f x k -=+为奇函数,故()00e e 010f k k =+=+=,故1k =-,此时()e e x x f x -=-为奇函数,故1k =- (2)因为e x y =为增函数,e x y -=为减函数,故()e e x xf x -=-为增函数,故“对任意的[]20,1x ∈,总存在[)1,x t ∈+∞,使1121e e ex x x t--≤-成立”,即“对任意的[]20,1x ∈, 21e e et tx t--≤-成立”,故考虑21ex t-的最小值,即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值.①当12t ≥时,2x t -在20x =时取最大值,故1e e e t tt -≤-,即2e 2t ≤,22ln t ≤,因为ln 2122<,故不成立; ②当12t时,2x t -在21x =时取最大值,11e e et tt --≤-成立,即2e 11e t -≤,即1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为111ln 22e 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭,故1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭时满足条件. 综上所述,1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

高一数学指数函数练习题

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高一数学 指数函数练习题考点1:指数函数的图象1. 已知f (x )=2x ,利用图象变换作出下列函数的图象:① f (x −1); ②f (x +1)+1; ③−f (|x |); ④f (−x ); ⑤−f (x ).【练习1】(2013北京理5)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y =e x 关于y 轴对称,则f (x )=( )A .e x+1B .e x−1C .e −x+1D .e −x−1【练习2】要得到函数y =21−2x 的图象,只要将函数y =(14)x的图象( )A .向左平移1个单位B .向右平移1个单位C .向左平移12个单位D .向右平移12个单位2.在下图中,二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(b a )x的图象只能是( )【练习3】函数f(x)=a x −1a(a >0,a ≠1)的图象可能是( )3. ((2019·金版创新)已知实数a ,b 满足等式2018a =2019b ,下列五个关系式:①0<b <a ;②a <b <0;③0<a <b ;④b <a <0;⑤a =b .其中不可能成立的关系式有( )A .1个B .2个C .3个D .4个4. 若曲线|y|=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________【练习4】若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是________.5. (2019·广东佛山模拟)已知函数f(x)=|2x -1|,a <b <c ,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A . a <0,b <0,c <0B .a <0,b ≥0,c >0C .2−a <2cD .2a +2c <2考点2:指数函数的单调性 ⚫ 比大小1.试比较下列各数的大小:(23)−13,(35)12,323,(25)12,(32)23,(56)0,(53)−25.【练习1】设 1.8112y −⎛⎫= ⎪⎝⎭,0.62y =,332y −⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,则( )A .y 3>y 1>y 2B .y 2>y 1>y 3C .y 1>y 2>y 3D .y 1>y 3>y 2【练习2】比较下列各组数的大小.① a 1.2,a 1.1(a >0且a ≠1);② 4222,3333; ③ 0.8−2,(43)−13.④(12)13,(13)12⚫ 单调区间2.函数f (x )={(13)x ,x ≤0(2a −1)x +1−a,x >0在(−∞,+∞)上是减函数,则a 的取值范围是( )A .(0,12)B .[0,12)C .(−∞ ,12]D .(12,+∞)【练习】(2019·西安)若函数f(x)=a |2x−4|(a >0,且a ≠1),满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是( )A .(−∞,−2)B .[2,+∞)C .[−2,+∞)D .(−∞,−2]3. 已知函数y =9x +m ·3x −3在区间[-2,2]上单调递减,则m 的取值范围为________.⚫ 解函数不等式4. 设函数f(x)是偶函数,当x ≥0时,f(x)=3x -9,则f(x -3)>0的解集是( )A .{x|x <−2或x >2}B .{x|x <-2或x >4}C .{x|x <0或x >6}D .{x|x <1或x >5} 【练习3】(a 2-a +2018)−x−1<(a 2-a +2018)2x+5的解集为( )A .(−∞,−4)B .(−4,+∞)C .(−∞,−2)D .(−2,+∞)【练习4】(2019·宜昌调研)设函数f (x )={(12)x −7,x <0√x,x ≥0,若f(a)<1,则实数a 的取值范围是( )A .(−∞,−3)B .(1,+∞)C .(−3,1)D .(−∞,−3)∪(1,+∞)5. ((2018·湖北咸宁11月联考)设函数f (x )=(2k −1)a x −a −x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数 (1)求k 的值;(2)若f(1)=-56,不等式f(3x -t)+f(-2x +1)≥0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数t 的最小值.考点3:与指数函数相关的基本性质1.求下列函数的定义域和值域:①y=31x−2;②y=5−√x−1; ③y=2 2x−12.已知函数f(x)={−(12)x,a≤x<0−x2+2x,0≤x≤4的值域是[−8,1],则实数a的取值范围是( )A.(−∞,−3]B.[−3,0)C.[−3,−1]D.{−3}3.函数y=a2x−4+3(0a 且a≠1)必过定点___________.4.(目标班专用)已知函数f(x)=(12)x−1(12)x+2.⑴ 求f(x)的定义域,值域;⑵ 讨论f(x)的奇偶性;⑶ 讨论f(x)的单调性.5.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(−1)=()A.3 B.1 C.−1D.−36.已知函数f(x)=9x9x+3,则f(0)+f(1)=,若g(k)=f(1k)+f(2k)+f(3k)+⋯+f(k−1k)(k≥2 , k∈Z),则g(k)=(用含有k的代数式表示).【练习】(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)=2x1+a·2x 的图象关于点(0,12)对称,则a=________.7.已知函数f(x)满足对一切x∈R,f(x+2)=-1f(x)都成立,且当x∈(1,3]时,f(x)=2−x,则f(7)=( )A.14B. 18C.116D132考点4:指数函数与二次函数的复合1.已知函数f(x)=(13)ax2−4x+3.(1)若a=−1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.【练习1】(2018·桂林模拟)已知函数y=2−x2+ax+1在区间(-∞,3)内单调递增,则a的取值范围为________.2.(目标班专用)求函数f(x)=(14)x−(12)x+1(x∈[−3,2])的单调区间及其值域.【练习2】如果函数y=a2x+2a x−1(a>0,a≠1)在区间[−1,1]上的最大值是14,求a的值.3.定义:若对定义域内任意x,都有f(x+a)>f(x)(a为正常数),则称函数f(x)为“a距”增函数.(1)若f(x)=2x−x,x∈(0,+∞),试判断f(x)是否为“1距”增函数,并说明理由;(2)若f(x)=x3−14x+4,x∈R是“a距”增函数,求a的取值范围;(3)若f(x)=2x2+k|x|,x∈(−1,+∞),其中k∈R,且为“2距”增函数,求f(x)的最小值.。

指数与指数函数图像及性质(学生版)

指数与指数函数图像及性质(学生版)

指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1.根式(1)如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ,且*∈N n 。

(2)如果a x n=,当n 为奇数时,n a x =;当n 为偶数时,n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ,且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ,且*∈N n 。

2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点:①分数指数幂是根式的另一种表示形式; ②根式与分数指数幂可以进行互化; ③0的正分数指数幂等于0; ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0;② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0;③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4.指数函数的概念:一般地,函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R 。

5.指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数,规定:1a a =;2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数;3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数,=a a αβαβ(). 【例1】计算下列各式的值.(1(2(3;(4)a b >.【变式1】 求下列各式的值:(1*1,n n N >∈且);(2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为( )A .5B .C .﹣D .﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0+148=________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时,0;b a > 2. 0a ≠时, 01a =; 3. 若,r s a a =则r s =;4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>; 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=,求下列各式的值.(1)11a a -+;(2)22a a -+;(3)22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根,且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <,求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=,求33221122a aa a----的值.【变式4】(1)已知122+=xa,求xx xx a a a a --++33;(2)已知a x=+-13,求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值:(1)246347625---+-;(2)()2x 3442<--+-x x x ;(3)12121751531311++-+++++++n n ;(4)()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式:(1)121316324(1243)27162(8)--+-+-;(2)化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛;(3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算:()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数,求实数a 的值。

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指数函数的图象与性质练习题
1.下列函数是指数函数的是( )
A .y =-2x
B .y =2x +1
C .y =2-x
D .y =1x
【解析】 y =2-x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,符合指数函数的定义,故选C. 2.函数y =(a -2)x 在R 上为增函数,则a 的取值范围是( )
A .a>0且a≠1 B.a>3
C .a<3
D .2<a<3
【解析】 由指数函数单调性知,底数大于1时为增函数,
∴a-2>1,∴a>3,故选B.
3.已知a =5-12
,函数f(x)=a x ,若实数m 、n 满足f(m)>f(n),则m 、n 的大小关系为________. 【解析】 ∵a=
5-12∈(0,1),故a m >a n ⇒m<n. 4.已知指数函数f(x)的图象过点(2,4),求f(-3)的值.
【解析】 设指数函数f(x)=a x (a>0且a≠1),
由题意得a 2
=4,∴a=2,
∴f(x)=2x ,
∴f(-3)=2-3=18.
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.函数y =a x -2+1(a>0,a≠1)的图象必经过点( )
A .(0,1)
B .(1,1)
C .(2,0)
D .(2,2)
【解析】 由于函数y =a x 经过定点(0,1),所以函数y =a x -2经过定点(2,1),
于是函数y =a x -2+1经过定点(2,2).
2.f(x)=⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x|,x∈R ,那么f(x)是( ) A .奇函数且在(0,+∞)上是增函数
B .偶函数且在(0,+∞)上是增函数
C .奇函数且在(0,+∞)上是减函数
D .偶函数且在(0,+∞)上是减函数
【解析】
因为函数f(x)= |x|= 图象如右图.
由图象可知答案显然是D.
【答案】 D
3.下列四个函数中,值域为(0,+∞)的函数是( )
A .y =21x
B .y =2x -1
C .y =2x +1
D .y =⎝ ⎛⎭
⎪⎫122-x 【解析】 在A 中,∵1x ≠0,∴21x ≠1,即y =21x
的值域为(0,1)∪(1,+∞). 在B 中,2x -1≥0, ∴y=2x -1的值域为[0,+∞).
在C 中,∵2x >0,
∴2x +1>1. ∴y=2x +1的值域为(1,+∞).
在D 中,∵2-x∈R ,∴y=⎝ ⎛⎭
⎪⎫122-x >0. ∴y=⎝ ⎛⎭
⎪⎫122-x 的值域为(0,+∞).故选D.
4.方程4x -1=116
的解为( ) A .2 B .-2 C .-1 D .1
【解析】 ∵4x -1=116
=4-2,∴x-1=-2, ∴x=-1.故选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数y =a x -1的定义域是(-∞,0],则实数a 的取值范围为________.
【解析】 由a x -1≥0,得a x ≥1=a 0,因为x∈(-∞,0],由指数函数的性质知0<a<1.
【答案】 (0,1)
6.函数f(x)=⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x -1,x∈[-1,2]的值域为________. 【解析】 函数y =⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在区间[-1,2]上是减函数, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫132≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫13-1,即19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤3, 于是19-1≤f(x)≤3-1,即-89
≤f(x)≤2. 【答案】 [-89
,2] 三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知函数f(x)=a x -2(x≥0)的图象经过点⎝
⎛⎭⎪⎫4,19,其中a>0且a≠1. (1)求a 的值;
(2)求函数y =f(x)(x≥0)的值域.
【解析】 (1)函数图象过点⎝
⎛⎭⎪⎫4,19, 所以a 4-2=19=⎝ ⎛⎭⎪⎫132,∴a=13
, (2)f(x)=⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x -2(x≥0), 由x≥0,得x -2≥-2,
∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫13-2=9, ∴函数y =f(x)(x≥0)的值域为(0,9].
8.画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x 的图象经过怎样的变换得到的.
(1)y =2x -1;(2)y =2x +1;(3)y =2|x|;
(4)y=-2x.
【解析】如图所示.
y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到;
y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到;
y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的;y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.
9.(10分)函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a
2
,求a的值.
【解析】(1)若a>1,则f(x)在[1,2]上递增,
∴a2-a=a
2
,即a=
3
2
或a=0(舍去).
(2)若0<a<1,则f(x)在[1,2]上递减,
∴a-a2=a
2
,即a=
1
2
或a=0(舍去),
综上所述,所求a的值为1
2

3
2
.。

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