指数函数的图象与性质练习题

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指数函数的性质及常考题型(含解析)

故选：A.
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =

指数函数的图象和性质专题训练卷(含答案详解)

2.1.2指数函数的图象和性质1．下列函数是指数函数的是( )．A ．y ＝x 5B ．y ＝4x 3C ．43x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝13x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2 2．函数f (x )＝132a ⎛⎫- ⎪⎝⎭·a x 是指数函数，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )．A ．2B ．－2C ．-D ．3．函数||12x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是( )．4．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x ，y 都有( )．A ．f (xy )＝f (x )f (y )B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )5．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( )．A ．a ＞0B ． a ＞1C ．a ＜1D ．0＜a ＜16．函数y ( )．A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)7．若f (x )是指数函数，且f (2)－f (1)＝6，则f (x )＝__________.8．已知(a 2＋2a ＋5)3x ＞(a 2＋2a ＋5)1－x ，则x 的取值范围是__________．9．函数y =的定义域是__________．10．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a ，求a 的值．参考答案1. 答案： C2. 答案：D解析：∵函数f (x )是指数函数， ∴12a －3＝1，a ＝8.∴f (x )＝8x ，12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭3. 答案：B4. 答案：C解析：f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝f (x )·f (y )，故选C ．5. 答案：D 解析：由于f (x )＝a －x ＝1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而f (－2)＞f (－3)，说明f (x )是递增函数，从而11a >，0＜a ＜1，故选D ．6. 答案：C解析：∵4x ＞0，∴16－4x ＜16.∴函数y =[0,4)．7. 答案：3x解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则a 2－a ＝6，解得a ＝3，即f (x )＝3x .8. 答案：14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，解析：对于任意实数a ，a 2＋2a ＋5＝(a ＋1)2＋4≥4＞1，故y ＝(a 2＋2a ＋5)x 是递增函数，因此有3x ＞1－x ，即14x >. 9. 答案：(－∞，0] 解析：由21402x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得22－x ≥22，∴2－x ≥2，x ≤0.10. 解：当a ＞1时，y ＝a x 在[1,2]上是递增函数，∴y max ＝f (2)＝a 2，y min ＝f (1)＝a .∴f (2)－f (1)＝2a ，即a 2－a ＝2a .∴32a =. 当0＜a ＜1时， y ＝a x 在[1,2]上是递减函数， ∴y max ＝f (1)，y min ＝f (2)，即f (1)－f (2)＝2a ，即a －a 2＝2a . ∴12a =. 综上所述，12a =或32a =.。

指数函数的图象与性质-高中数学知识点讲解(含答案)

指数函数的图象与性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2018秋•西城区校级期中）已知函数2()()3x f x =，则函数(1)y f x =+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．（2017秋•海淀区校级期中）已知实数a ，b 满足等式20162017a b =，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<：④0b a <<；⑤a b =．其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2017秋•朝阳区校级期中）若函数||1()()13x f x m =+-的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围为( )A ．1m 且1)a ≠的图象恒过定点A ，则点A 的坐标是． 6．（2017秋•通州区期中）设30.2a =，0.23b =，则两个数的大小关系是a b ．（填“>”或“<” ) 7．（2017秋•西城区校级期中）已知42a =，则a = ．8．（2016•北京模拟）已知满足3020x y x y +-⎧⎨-⎩的点(,)P x y 不在函数x y a =的图象上，则实数a 的取值范围为．9．（2015秋•顺义区期末）已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0n >，则mn 的最大值为．三．解答题（共4小题）10．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1-，2]上的最大值是最小值的8倍．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1a >时，解不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+．11．（2017秋•通州区期中）集合A 是由满足以下性质的函数()f x 构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有12121[()()]()22x x f x f x f ++>．（1）若()f x A ∈，同时()g x A ∈，求证：()()f x g x A +∈．（2）试判断()f x lgx =是否在集合A 中，并说明理由．（3）设()f x A ∈且定义域为(0,)+∞，值域为(1,2)，3(1)2f <，试求出一个满足以上条件的函数()f x 的解析式． 12．（2017秋•丰台区期中）已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过点1(1,)2．()I 求函数()y f x =的解析式；()II 若不等式满足(21)1f x +>，求x 的取值范围． 13．（2016•丰台区二模）设函数()()ax f x e a R =∈．()I 当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值；（Ⅱ）若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围．指数函数的图象与性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2018秋•西城区校级期中）已知函数2()()3x f x =，则函数(1)y f x =+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，先求(1)f x +的表达式，可得1222(1)()()333x x f x ++==，进而分析可得()f x 单调递减，且其图象与y 轴交点在(0,1)之下，比较选项可得答案．【解答】解：根据题意，可得1222(1)()()333x x f x ++==，()f x 单调递减；同时有2(0)13f =<，213<，即函数图象与y 轴交点在(0,1)之下；A 、D 选项的图象为增函数，不符合；C 选项的图象与y 轴交点在(0,1)之上，不符合；只有B 的图象符合两点，故选：B ．【点评】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．2．（2017秋•海淀区校级期中）已知实数a ，b 满足等式20162017a b =，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<：④0b a <<；⑤a b =．其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】直接利用指数函数的性质求出结果．【解答】解：根据指数函数的性质： ①当a b =时，关系式成立； ②当0a b >>时，关系式也成立； ③当0a b <<时，关系式也成立．故：①②⑤正确．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：指数函数的性质和图象的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3．（2017秋•朝阳区校级期中）若函数||1()()13x f x m =+-的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围为( )A ．1m <B ．1mC ．01mD ．01m <【分析】直接利用函数的解析式转化为方程的形式，进一步利用指数函数的性质求出参数的取值范围．【解答】解：函数||1()()13x f x m =+-的图象与x 轴有公共点，即||11()3x m -=-有交点，由于||11()03x --<，故：110m --<，解得：01m <，故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：指数函数的性质的应用，利用函数的图象求函数的交点问题．二．填空题（共6小题）4．（2017秋•海淀区校级期末）已知3a π=，b e π=，3c e =，则a ，b ，c 按从小到大的顺序排序为 c b a << ．【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性判断即可．【解答】解：由x y e =是增函数，得3b e c e π=>=，由y x π=是增函数，得3a b e ππ=>=，故c b a <<，故答案为：c b a <<．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道基础题．5．（2017秋•丰台区校级期中）函数27(0x y a a -=->且1)a ≠的图象恒过定点A ，则点A 的坐标是 (2,6)- ．【分析】由函数2x y =恒过定点(0,1)，结合函数图象的平移得答案．【解答】解：函数2x y =恒过定点(0,1)，而函数27x y a -=-的图象是把函数x y a =的图象向右平移2个单位，再向下平移7个单位得到的，∴函数27x y a -=-的图象恒过定点(2,6)A -，故答案为：(2,6)-．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，考查函数图象的平移问题，是基础题．6．（2017秋•通州区期中）设30.2a =，0.23b =，则两个数的大小关系是a ”或“<” ) 【分析】利用指数函数0.2x y =和函数3x y =的单调性分别比较a 、b 与1的大小关系，从而得出答案．【解答】解：0.2x y =在R 上单调减，300.20.21a ∴=<=，3x y =在R 上单调增，0.20331b ∴=>=，1a b ∴<<，得a b <．故答案为：<．【点评】本题考察指数函数的单调性，问题的关键在于合理选择中间值来比较大小，属于中等题． 7．（2017秋•西城区校级期中）已知42a =，则a = 12．【分析】根据指数，对数的转化求出a 的值即可．【解答】解：42a =， 41log 22a ∴==，故答案为：12．【点评】本题考查了指数，对数的转化，考查对应思想，是一道基础题．8．（2016•北京模拟）已知满足3020x y x y +-⎧⎨-⎩的点(,)P x y 不在函数x y a =的图象上，则实数a 的取值范围为 (2,)+∞ ．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最小值【解答】解：由3020x y x y +-⎧⎨-⎩画出满足条件的可行域，由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，得到点(1,2)A ，当(1,2)A 在函数x y a =的图象上，此时2a =，由于点(,)P x y 不在函数x y a =的图象上，所以实数a 的取值范围为(2,)+∞．【点评】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．9．（2015秋•顺义区期末）已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0n >，则mn 的最大值为14．【分析】由指数函数的图象变换求得函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点(1,1)A ，代入一次函数y mx n =+，得到1m n +=，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：(0,1)x y a a a =>≠的图象恒过定点(0,1)，1(0,1)x y a a a -∴=>≠的图象恒过定点(1,1)A ，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上， 1m n ∴+=，又0m >，0n >，2211()()224m n mn +∴==（当且仅当12m n ==时等号成立）．故答案为：14．【点评】本题考查指数函数的图象变换，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．三．解答题（共4小题）10．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1-，2]上的最大值是最小值的8倍．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1a >时，解不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+．【分析】（Ⅰ）分类讨论当1a >时，当01a <<时，求出最大值，最小值，即可求解答案．（Ⅱ）转化222log (42)log (1)x x +<+得出得出不等式组224202421230x x x x x x +>>-⎧⎧⎨⎨+<+-->⎩⎩，求解即可213x x x >-⎧⎨-⎩或【解答】解：2()max f x a =，1()min f x a -=，则2318a a a -==，解得2a =；当01a <<时，1()max f x a -==，2()min f x a =，则1328a a a --==，解得12a =；故2a =或12a =（Ⅱ）当1a >时，由前知2a =，不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+ 即得解集为(2-，1)(3-⋃，)+∞．【点评】本题考察了指数函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题，关键是分类得出方程，不等式组．11．（2017秋•通州区期中）集合A 是由满足以下性质的函数()f x 构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有12121[()()]()22x x f x f x f ++>．（1）若()f x A ∈，同时()g x A ∈，求证：()()f x g x A +∈．（2）试判断()f x lgx =是否在集合A 中，并说明理由．（3）设()f x A ∈且定义域为(0,)+∞，值域为(1,2)，3(1)2f <，试求出一个满足以上条件的函数()f x 的解析式．【分析】（1）直接利用已知定义代入，作和即可证明结论；（2）利用对数函数的运算性质判断；（3）1()()13x f x =+，0x >满足(0,)x ∈+∞时，()(1f x ∈，2)，且3(1)2f <，进一步证明满足12121[()()]()22x x f x f x f ++>即可．【解答】（1）证明：()f x A ∈，()g x A ∈，∴对1x ∀，2x R ∈，12121[()()]()22x x f x f x f ++>，12121[()()]()22x x g x g x g ++>， ∴121211221[()()()()]()()222x x x x f x g x f x g x f g +++++>+， ()()f x g x A ∴+∈．（2）解：()f x lgx =不在集合A 中．证明如下：当11x =，210x =时，12111[()()](110)222f x f x lg lg +=+=，1211()22x x f lg +=，112，∴11122lg>=，∴1101()[(1)(10)]22f f f +>+，故()f x A ∉．（3）解：1()()13x f x =+，0x >，(0,)x ∈+∞时，1()(0,1)3x ∈，()(1f x ∈，2)．∴1()()1(1,2)3x f x =+∈，143(1)1332f =+=<，又1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，12121[()()]()22x x f x f x f ++-121212122211111111[()()2][()1][()()2()]23332333x xx x x x x x ++=++-+=+-12121222222222211111111[[()][()]2()()][()()]023333233xxxxxx=+-=->， ()f x A ∴∈．综上，1()()13x f x =+，0x >满足条件．【点评】本题考查指数式的图象和性质，考查推理运算能力，是中档题． 12．（2017秋•丰台区期中）已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过点1(1,)2．()I 求函数()y f x =的解析式；()II 若不等式满足(21)1f x +>，求x 的取值范围．【分析】（Ⅰ）因为指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过点1(1,)2，构造方程，可得函数()y f x =的解析式；()II 利用指数函数的单调性，可将(21)1f x +>化为：210x +<，解得答案．【解答】（本小题9分）解：（Ⅰ）因为指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过点1(1,)2，所以12a =⋯（2分）所以指数函数的解析式为1()2x y =．⋯（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(21)1f x +>等价于211()12x +>⋯（6分）因为函数1()2x y =在R 上单调递减，所以210x +<，解得12x <-⋯（8分）综上，x 的取值范围是12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．⋯（9分）【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，求出指数函数的解析式，是解答的关键． 13．（2016•丰台区二模）设函数()()ax f x e a R =∈．()I 当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值；（Ⅱ）若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）2a =-时，利用导数求出函数()g x 在区间(0,)+∞内的最大值即可；（Ⅱ）根据题意，求出函数()h x 的导数()h x '，则()h x 在(0,16)内有两个零点，根据()h x 在(0,16)的最值列出不等式组，从而求出a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当2a =-时，函数2()x f x e -=，∴函数22()x g x x e -=，2222()2(2)2(1)x x x g x xe x e x x e ---∴'=+-=-，令()0g x '=，解得0x =或1x =；∴当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 是增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 是减函数；∴在区间(0,)+∞内()g x 的最大值是g （1）2e -=；（Ⅱ）函数22()11()ax x h x x e f x -=-=-，22()2()(2)ax ax ax h x xe x a e e ax x ---∴'=+-=-+，令()0h x '=，0ax e ->，220ax x ∴-+=，解得0x =或2(0)x a a=≠；又()h x 在(0,16)内有两个零点， ()h x ∴在(0,16)内不是单调函数；∴2(0,16)a ∈，解得18a >①；又2(0,)x a ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数，2(x a∈，16)时，()0h x '<，()h x 是减函数，∴在(0,16)上2224()()1max h x h e a a -==-；令22410e a -->，解得22a e e-<<②；又(0)0(16)0h h <⎧⎨<⎩，即161025610ae --<⎧⎨-<⎩，解得122a ln >③；由①②③组成不等式组，解得1222ln a e<<；∴实数a的取值范围是1222ln ae<<．【点评】本题考查了函数的性质与导数的综合应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．。

高中数学：指数函数的图像和性质练习及答案

高中数学：指数函数的图像和性质练习及答案指数函数的图象与性质1.指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是( )A．b<a<d<cB．a<b<d<cC．b<a<c<dD．b<c<a<d2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )A．B．C．D．3.函数y＝a x－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A．B．C．D．4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋2＋2B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2D．f(x)＝2x－2－25.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，)6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.指数函数的定义域7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是( ) A．(0，1)B．(2，4)C．(，1)D．(1，2)8.函数y＝的定义域是________．指数函数的值域9.函数y＝的值域为________．10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．指数函数的性质11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数12.关于指数函数，有下列几个命题：①指数函数的定义域为(0，＋∞)；②指数函数的值域是不包括1的；③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；④指数函数都是单调函数．其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．13.指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)指数幂的大小比较14.a＝与b＝()5的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．大小关系不定15.设<()b<()a<1，那么( )A．a a<a b<b aB．a a<b a<a bC．a b<a a<b aD．a b<b a<a a16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f()指数方程的解法17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于( )A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．指数不等式的解法20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围( )A．－≤x<3B．≤x<3C．RD．≤x<21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( ) A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<122.不等式<2－2x的解集是________．指数函数的单调性23.函数y＝的递减区间为( )A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( ) A．(，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，)D．(－，)25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(7，8)C．[7，8)D．(4，8)26.函数y＝的递增区间是________．27.已知函数f(x)＝.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．指数函数的最值28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为( ) A．B．2C．3D．429.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y＝的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )A．2B．C．D．a233.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．答案1.指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是( )A．b<a<d<cB．a<b<d<cC．b<a<c<dD．b<c<a<d【答案】A【解析】作直线x＝1与各图象相交，交点的纵坐标即为底数，故从下到上依次增大．所以b<a<d<c.故选A.2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由1>n>m>0可知①②应为两条递减指数函数曲线，故只可能是选项C或D，进而再判断①②与n和m的对应关系，不妨选择特殊点，令x＝1，则①②对应的函数值分别为m和n，由m<n知选C.故选C.3.函数y＝a x－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当a>1时，y＝a x－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.当0<a<1时，y＝a x－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋2＋2B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2D．f(x)＝2x－2－2【答案】C【解析】y＝2x向上，向右分别平移2个单位得f(x)的图象，所以f(x)＝2x－2＋2.5.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，)【答案】D【解析】方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y＝|a x－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<.6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.【答案】(1)f(x)＝其图象如图所示．(2)证明由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，所以2a＋2c<4.综上知，总有2a＋2c<4.7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是( )A．(0，1)B．(2，4)C．(，1)D．(1，2)【答案】A【解析】根据题意可知1<2x<2，则0<x<1，所以函数f(2x)的定义域是(0，1)．8.函数y＝的定义域是________．【答案】(－∞，]【解析】要使函数y＝有意义，则必须()3x－1－≥0，即()3x－1≥()3，∴3x－1≤3，解得x≤.∴函数y＝的定义域是(－∞，]．故答案为(－∞，]．9.函数y＝的值域为________．【答案】[0，4)【解析】∵2x>0，∴0≤16－2x<16，则0≤<4，故函数y＝的值域为[0，4)．10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．【答案】[3，5]【解析】因为指数函数y＝3x在区间[0，1]上是增函数，所以30≤3x≤31，即1≤3x≤3，于是1＋2≤3x＋2≤3＋2，即3≤f(x)≤5.11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数【答案】B【解析】因为f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.12.关于指数函数，有下列几个命题：①指数函数的定义域为(0，＋∞)；②指数函数的值域是不包括1的；③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；④指数函数都是单调函数．其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．【答案】③④【解析】①指数函数的定义域为R，故①错误；②指数函数的值域是(0，＋∞)，故②错误；③∵f(x)＝()x＝2－x，∴指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称，故③正确；④当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数，所以指数函数都是单调函数，故④正确．故答案为③④.13.指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)【答案】＝【解析】∵对于指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)，任意取x 1、x2∈R，有f(x1)f(x2)＝＝＝f(x1＋x2)．故答案为＝.14.a＝与b＝()5的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．大小关系不定【答案】A【解析】考察函数y＝()x与y＝()x知，前者是一个增函数，后者是一个减函数，∴>()0＝1，()5<()0＝1，∴>()5，即a>b，故选A.15.设<()b<()a<1，那么( )A．a a<a b<b aB．a a<b a<a bC．a b<a a<b aD．a b<b a<a a【答案】C【解析】∵<()b<()a<1，且y＝()x在R上是减函数．∴0<a<b<1，∴指数函数y＝a x在R上是减函数，∴a b<a a，∴幂函数y＝x a在R上是增函数，∴a a<b a，∴a b<a a<b a，故选C.16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f()【答案】B【解析】∵y＝f(x＋1)是偶函数，故函数的图象关于直线x＝1对称，则f()＝f()，f()＝f()，又∵当x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且<<，故f()<f()<f()，即f()<f()<f()，故选B.17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于( )A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}【答案】D【解析】因为2是它们的公共元素，所以2a＝2，a＝1，b＝2，因此M∪N＝{1，2，3}，选D.18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.【答案】(3，0)，(2，2)【解析】方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13变形为3n(2m－3)＋2m＝13.(*)∵m，n为非负整数，∴当m＝0，1时，经验证无解，应舍去．当m＝2时，(*)化为3n＋22＝13，解得n＝2.此时方程的非负整数解为(2，2)．当m＝3时，(*)化为5·3n＋23＝13，即3n＝1，解得n＝0.当m≥4时，2m－3≥13，左边>右边，(*)无非负整数解．综上可知：方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝(3，0)，(2，2)．故答案为(3，0)，(2，2)．19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】令()x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0，1)．方程转化为t2＋2t＋a＝0，∴a＝1－(t＋1)2.∵t∈(0，1)，∴a∈(－3，0)．20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围( )A．－≤x<3B．≤x<3C．RD．≤x<【答案】A【解析】由题意可得≤3x≤33，再根据函数y＝3x在R上是增函数，可得－≤x<3，故选A.21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<1【答案】D【解析】∵f(－2)＝a2，f(－3)＝a3.f(－2)>f(－3)，即a2>a3，故0<a<1.选D.22.不等式<2－2x的解集是________．【答案】{x|x>3，或x<－1}【解析】原不等式化为<()2x，又y＝()x为减函数，故x2－3>2x，解得{x|x>3，或x<－1}．23.函数y＝的递减区间为( )A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)【答案】B【解析】设u＝(x＋3)2，y＝()u，∵u＝(x＋3)2在(－∞，－3]上递减，在[－3，＋∞)上递增，而y＝()u在R上递减，∴y＝在[－3，＋∞)上递减．24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )A．(，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，)D．(－，)【答案】B【解析】由题意知函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(7，8)C．[7，8)D．(4，8)【答案】D【解析】因为函数f(n)＝是增函数，所以解得4<a<8.26.函数y＝的递增区间是________．【答案】[2，＋∞)【解析】函数y＝的单调递增区间即为y＝x2－4x＋3的单调递增区间，∵y＝x2－4x＋3的单调递增区间为[2，＋∞)，故答案为[2，＋∞)．27.已知函数f(x)＝.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．【答案】(1)a＝1，得f(x)＝，∵∈(0，1)，∴f(x)的外层函数是一个递减的指数函数；令t＝x2－4x＋3，则其减区间为(－∞，2)，增区间为(2，＋∞)．∴f(x)的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)(2)∵f(x)有最大值为3，∈(0，1)，函数t＝ax2－4x＋3有最小值－1，∴函数t＝ax2－4x＋3在区间(－∞，)上是减函数，在区间(，＋∞)上是增函数由此可得，a>0且f()＝＝3，得－＋3＝－1，解之得a＝1.综上所述，当f(x)有最大值3时，a的值为1.28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为( ) A．B．2C．3D．4【答案】B【解析】y＝a x(a>1)在[1，2]上是增函数，最大值为a2，最小值为a1，所以a2－a1＝2，解得a＝2或a＝－1(舍)．29.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．【答案】令3x＝t，∵－1≤x≤1，∴≤t≤3，∴y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2(其中≤t≤3)．∴当t＝1时(即x＝0时)，y取得最小值－2，当t＝3时(即x＝1时)，y取得最大值2. 30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．【答案】(1)∵t＝3x在[－1，2]是单调增函数，∴t max＝32＝9，t min＝3－1＝.(2)令t＝3x，∵x∈[－1，2]，∴t∈[，9]，原方程变为：f(x)＝t2－2t＋4，∴f(x)＝(t－1)2＋3，t∈[，9]，∴当t＝1时，此时x＝0，f(x)min＝3，当t＝9时，此时x＝2，f(x)max＝67.题组10 与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y＝的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称【答案】A【解析】设函数y＝f(x)＝，则此函数的定义域为R.f(－x)＝＝＝－f(x)，故函数是奇函数，故它的图象关于原点O对称，故选A.32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )A．2B．C．D．a2【答案】B【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝.33.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．【答案】(1)由已知得∴k＝1，a＝，∴f(x)＝2x.(2)函数g(x)为奇函数．证明：g(x)＝，其定义域为R，又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．。

指数函数的图象与性质

指数函数的图象与性质例题讲解一、选择题：１．下列说法中，正确的是（）①任取x ∈R 都有3x ＞2x②当a ＞1时，任取x ∈R 都有a x ＞a －x③y =(3)－x是增函数 ④y =2|x |的最小值为1⑤在同一坐标系中，y =2x与y =2－x的图象对称于y 轴 A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤２.设713=x，则 .A 21x -<<- .B 32x -<<- .C 10x -<< .D 01x <<３、已知集合{}11M =-，，11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =.A {}11-， .B {}1-.C {}0 .D {}10-，4.函数(),(0,1)xf x a a a =>≠对于任意的实数都有（）。

Ａ ()()()f xy f x f y = Ｂ ()()()f xy f x f y =+ Ｃ ()()()f x y f x f y += Ｄ ()()()f x y f x f y +=+ 二、填空题：5.(1)函数y ＝4x 与函数y=－4x 的图像关于________对称， (2)函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称． (3)函数y ＝4x 与函数、y=－4-x 的图像关于________对称．小结：根据以上三个小题的结论，你能否把它们推广到一般情形。

6.不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为7.求不等式2741x x aa -->中的x 的取值范围8.如果函数x a x f )1()(2-=在),(+∞-∞上是单调减函数，则a 的取值范围是9.定义符号函数,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=x x x x 则不等式x x x sgn )12(2->+的解集是10.函数(0,1)x y a a a =>≠在[1,2]上的最大值比最小值大，则a 的值是___________. 三、解答题：11.比较下列各组数的大小：（1） 1.8 1.91.01,1.01；（2）0.680.670.75,0.75-- （3） 3.1 2.112,()3--12.已知下列不等式，比较的大小（1）33mn< （2）0.10.1mn< （3）mna a > 13.设31212,x x y a y a +-==其中01a a >≠且，确定x 为何值时，有：（1）12y y =；（2） 12y y < 14.对于函数2(),()21xf x a a R =-∈+：（1）探究函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？课外思考：一、选择题1.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，,)31()(xx f =那么)21(f 的值A ．33B ．3C ．3-D ．9 2.8y ．已知函数＝，下列结论正确的是3131x x -+ [ ]A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 3函数f(x )的图象与函数g (x )=(21)x 的图象关于直线y =x 对称，则f (2x -x 2)的单调减区间为（）A ．（-∞，1）B ．[1，+∞]C ．（0，1）D ．[1，2]4.已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1，则x 的范围是.A []4,2 .B )0,(-∞ .C [](0,1)2,4 .D (][],01,2-∞二填空题 5函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的递减区间为；最大值是6.若函数,)2(,2)2(),2()(⎩⎨⎧≥<+=-x x x f x f x 则)3(-f 的值为三、解答题7.已知11()()4()542x xf x =-++，求该函数的定义域、值域和单调区间。

指数函数的图像和性质(分层作业含答案详解)

4.2.2 指数函数的图像和性质（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）函数e xy -=(e 是自然底数)的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.【详解】解析 10ee e 0xxx x y x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪<⎩，，，函数exy -=为偶函数，且过()0,1，e0xy -=>，函数在(),0∞-上递增，在()0,∞+上递减，故C 符合. 故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）函数①x y a =；②xy b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．54313，12B 354，12，13C ．12，13354D ．13，12，543【答案】C【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而5113423>>>，所以a ，b ，c ，d 的值分别是12，13，3，54，故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）函数327x y =- ） A ．(3⎤-∞⎦ B ．()3-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案. 【详解】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥．故选：C.4．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()1232,1,,14,x x f x x x ⎧-⎪=⎨⎪<⎩则函数()f x 值域是（）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域.【详解】当1x 时，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--，所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-，因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，所以142x x +≥-，解得1≥x ，故选：A.6．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <>，所以30.10.30.31<<，又0.121>， ∴b c a <<．故选：C ．7．（2022·四川宜宾·高一期末）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a b C ．22a b > D ．a b >【答案】B【分析】根据给定条件，举例说明判断A ，C ，D ；利用指数函数单调性判断B 作答. 【详解】取1,2a b ==-，满足a b >，显然有11a b>、22a b <、a b <成立，即选项A ，C ，D 都不正确；指数函数2x y =在R 上单调递增，若a b >，则必有22a b >，B 正确. 故选：B8．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（） A ．c a b <> D ．a b c >>【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解： 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=，而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<. 故选：A.9．（2022·全国·高一课时练习）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值为（） A ．13B 3C 3D 33【答案】D【分析】分01a <<与1a >两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a 的值.【详解】当01a <<时，函数()xf x a =在[]22-,上为减函数，则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=-+=+=，解得：33a =，当1a >时，函数()xf x a =在[]22-,上为增函数，则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=+-=+=，解得：3a =．综上，33a =或3．故选：D10．（2022·全国·高一）已知函数()()201xf x a a =-<<，则函数的图像经过（）．A ．第一、二、四象限B ．第二、三、四象限C ．第二、四象限D ．第一、二象限【答案】B【分析】根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果. 【详解】因为01a <<，所以函数()x f x a =的图象经过一、二象限，又()2x f x a =-的图象是由()x f x a =的图象沿y 轴向下平移2个单位得到，所以函数()2x f x a =-的图象经过二、三、四象限，如图，故选：B11．（2022·湖北武汉·高一期末）函数y x a =+与x y a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据y x a =+单调递增可排除AC ，再根据y x a =+与y 轴交点位置可排除B. 【详解】0a >，则y x a =+单调递增，故排除AC ；对于BD ，x y a =单调递减，则01a <<，∴y x a =+与y 轴交于0和1之间，故排除B. 故选：D.12．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知130440.6,,5a b c a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b a c < ⎪⎝⎭，所以a c b <<．故选：B ．二、多选题13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()33x xf x -=-，则（）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【分析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-得到()f x 的值域为R ，判断A 正确，D 错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B 选项，根据函数奇偶性定义判断得到C 选项.【详解】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误；因为()3x g x =是递增函数，而()3xh x -=-是递增函数，所以()33x x f x -=-是递增函数，B 正确；因为定义域为R ，且()()33x xf x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选：ABC三、填空题14．（2022·全国·高一课时练习）若0a >且1a ≠，则函数()43x f x a -=+的图像恒过的定点的坐标为______．【答案】()4,4【分析】任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.【详解】令40x -=，得4x =，所以()0434f a =+=，所以函数()43x f x a -=+的图像恒过定点()4,4．故答案为：()4,415．（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数()42xf x a -=+（0a >且1a ≠）恒过一定点________ .【答案】()4,3【分析】令40x -=，求出x 的值后，再代入函数解析式，即可得解.【详解】令40x -=可得4x =，则()0423f a =+=，因此，函数()f x 的图象恒过定点()4,3.故答案为：()4,3.16．（2022·广东广州·高一期末）函数1()211xf x x =--的定义域为______．【答案】[)()0,11,+∞【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2101x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，因此定义域为[)()0,11,+∞.故答案为：[)()0,11,+∞.17．（2022·上海市延安中学高一期末）函数()23xy x =<的值域为___________.【答案】(0,8)【分析】根据指数函数的性质，结合自变量范围求值域. 【详解】由3x <，又2x y =递增， ∴函数值域为(0,8). 故答案为：(0,8).四、解答题18．（2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试）已知函数21()2x f x -=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（3）解不等式()f x 4≥．【答案】（1）R ；（2）详见解析；（3）{|3x x ≥或3}x ≤-. 【分析】（1）由指数函数的定义域可得解；（2）由()()f x f x -=可知函数为偶函数；（3）利用对数函数的单调性可知212242x-≥=，得212x -≥，从而得解.【详解】（1）易知函数()212x f x -=，x R ∈. 所以定义域为R . （2）由()()()221122x xf x f x ----===，从而知()f x 为偶函数；（3）由条件得212242x-≥=，得212x -≥，解得3x ≥或3x ≤-.所以不等式的解集为：{|3x x ≥或3}x ≤-.【点睛】本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题. 19．（2022·全国·高一课时练习）已知x 满足311x ≥+，求函数142x x y +=-的最大值及最小值．【答案】max 8y =，min 1y =-【分析】先求x 的范围，再通过换元法求最值.【详解】由311x ≥+可得：201x x -≥+可得：(]1,2x ∈-，令2x t =，(]1,2x ∈-，则()222(2)22211x x y t t t =-⨯=-=--，1,42t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当1t =即0x =时，min 1y =-；当4t =即2x =时，max 8y =．20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为7．(1)求a 的值；(2)证明：函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数．【答案】(1)2a = (2)证明见解析【分析】（1）根据()1(1)xf x a a =+>单调性代入计算即可；（2）根据定义法证明函数为增函数即可. （1）因为()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上单调递增，所以函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为()()207f f +=，所以20117a a +++=，解得2a =±，又因为1a ＞，所以2a =．（2）由（1）知，()()()22x x F x f x f x -=--=-，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则 ()()()()1122122222x x x x F x F x ---=--- 1221112222x x x x =-+- 121221222222x x x x x x -=-+⋅()122112212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为12x x <，所以12220x x -<，211102x x ++>，所以()()120F x F x -<，即()()12F x F x <，所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 21．（2022·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内作出函数3x y =与3x y -=的图象. 【答案】作图见解析【分析】直接在平面直角坐标系中作出两个指数函数的图象即可. 【详解】解：作出函数3x y =与3x y -=的图象如下图所示：22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩（1）在给出的坐标系中画出函数()f x 的图象．（2）根据图象写出函数的单调区间和值域．【答案】（1）图见解析；（2）函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞，单调递减区间为[0,)+∞，值域为(,1]-∞. 【解析】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象；（2）根据图象观察可知即可得出结果.【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩的图象为：（2）由函数的图像可知，函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞ 单调递减区间为[0,)+∞，函数()f x 的值域为(,1]-∞23．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知定义域为R 的函数()2122x xf x a =-+是奇函数. (1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的R x ∈，不等式()()2240f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析(3)()4242，-【分析】（1）由()f x 是奇函数可得()00f =，求出a 的值，再验证此时()f x 是奇函数；（2）()f x 先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数()f x 在R 上单调递增；（3）利用()f x 的奇偶性和单调性将不等式变成224x mx x ->--，再利用二次函数恒成立求出实数m 的取值范围. （1）因为函数的定义域为R ，所以()110012f a =-=+，∴1a =. 经检验当1a =时，有()()f x f x -=-，所以1a =.()211111111212212221x x x xf x +-=-=--=-+++，函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以()()()()12212112112*********x x x x x x f x f x --=-=++++，因为1222x x >，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递增. （3）∵()f x 是奇函数，由已知可得()()()22244f x mx f x f x ->-+=--224x mx x ->--，则2240x mx -+>，∴∆<0，故24240m -⨯⨯<，4242m -<<.∴实数m 的取值范围为()4242，-. 24．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上最大值和最小值的和为12，令()3x x f x a =+．(1)求实数a 的值.(2)并探究()()1f x f x +-是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由； (3)解不等式：()()2121f x f x -+<．【答案】(1)3a = (2)是定值，证明见解析 (3)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由单调性得最大值与最小值的和，从而求得a 值；（2）由（1）所得参数值，直接计算()(1)f x f x +-可得；（3）根据（2）的结果化简不等式求得1()2f x <，再解之可得．（1）因为函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上为单调函数，所以212a a +=，解得3a =或4a =-．因为0a >且1a ≠，所以3a =；由（1）得， ()333xx f x =+，所以()()1133331333333333x x x x x x x f x f x --+-=+=+++++⨯3313333x x x=+=++；（3）由（2）得，()()11f x f x -=-，且()0f x >，所以()()()2211f x f x f x <--=，所以 ()12f x <，所以31233x x<+，整理得，33x <，解得12x <，所以原不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数1()323xx f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2()(2)4f a f a +->，则实数a的取值范围是（） A ．(,1)-∞ B ．(),2(1,)-∞-+∞ C ．()2,1- D ．(1,2)-【答案】B【分析】构造函数()()2g x f x =-，可证得()g x 是奇函数，且在R 上单调递增. 2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而可解得结果.【详解】令1()()233xxg x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（R x ∈），则()11()()23333xxxx g x f x g x --⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 是奇函数；又13,3xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭都是R 上增函数，所以()g x 在R 上单调递增.所以2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而有()()22g ag a >-，所以220a a +->，解得2a <-或1a >. 故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习）若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【分析】问题转化为13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()0,+∞上能成立，根据右侧的单调性求值域，进而求参数范围.【详解】由题意知13xx a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-，所以实数a 的取值范围是()1,-+∞．故选：C二、多选题3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数()2+1x xf x a =（0a >，1a ≠），则下列说法正确的是（）A ．函数图象关于y 轴对称B ．函数的图像关于(0,0)中心对称C ．当1a >时，函数在(0,)+∞上单调递增D ．当01a <<时，函数有最大值，且最大值为2a 【答案】AD【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.【详解】()2+1x xf x a=的定义域为{}0x x ≠，当0x ≠时，则()()22+1+1==()x x xxf x aaf x ---=，故()f x 是偶函数，因此图象关于y 轴对称，故A 正确，B 错误，当0x >时，()2+11x x xxf x a a+==，令1u x x=+，则()u f u a =，当1a >时，()u f u a =单调递增，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，由复合函数的单调性可知:()2+11x x xxf x a a+==在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故C 错误，当01a <<时，当0x >时，由于()uf u a =单调递减，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()2+11x x x x f x a a +==在01x <<上单调递增，在1x >上单调递减，故当1x =时，()f x 取最大值，且最大值为2(1)f a =，当0x <时，由于()f x 是偶函数，故最大值为()21f a -=，故D 正确，故选：AD4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【分析】首先换元，设3x t =，[]1,1x ∈-，()2224212y t t t =-+=--+，再结合复合函数的单调性，判断AB ；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.【详解】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确．故选:ACD ．三、填空题5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，若对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立，则实数k 的取值范围为_______.【答案】11k ≥【分析】由2(2)0xxk f ⋅-≥得(2)2x xf k ≥使得不等式一边是参数k ，另一边是不含k 关于x 的式子，分离参数.【详解】由83y x x=+为奇函数，可得其图像关于(0,0)对称，所以f x （）的图像关于(0,)a 对称，由题目可知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，可得12a =-，对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立8[1,1],2(3212)02x x xx k ⇔∀∈-⋅-⋅+-≥恒成立，即8232122x xxk ⋅≥⋅+-在[1,1]x ∈-恒成立，所以28123(2)2x x k ≥-+，令12x t =，由[1,1]x ∈-，可得1[,2]2t ∈，设2233()81238()42h t t t t =-+=--，当2t =时，h t （）取得最大值11，所以k 的取值范围是11k ≥. 故答案为：11k ≥.【点睛】①分离参数法：遇到类似()()k f x g x ⋅≥或()()k f x g x +≥等不等式恒成立问题，可把不等式化简为()k h x ≥或()k h x ≤的形式，达到分离参数的目的，再求解y h x =（）的最值处理恒成立问题；②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.四、解答题6．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知实数a 大于0，定义域为R 的函数3()13x x af x a =++是偶函数.(1)求实数a 的值并判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)对任意的t ∈R ，不等式()()212f t f t m -≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1a =，()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析； (2)14m =.【分析】（1）利用偶函数的性质求a ，利用单调性的定义证明函数()f x 的单调性即可；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可. （1）因为()313x x a f x a =++为偶函数，且()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，所以()()f x f x =-，解得1a =±，又0a >，所以1a =,()1313xx f x =++；设120x x >>，则()()()121212121211131313313333x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭，因为120x x >>，所以12330x x ->，1212121133101103333x xx x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()()212f t f t m -≥-，所以212t t m -≥-，平方得()22344140t m t m +-+-≥，又因为对任意R t ∈不等式恒成立，所以()()224443140m m ∆=--⨯⨯-≤，解得14m =. 7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a = (2)()1,1- (3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用函数是奇函数(0)0f =求解a 即可．（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可．（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =，当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x<<+，所以22021x-<-<+，所以211121x-<-<+，所以函数()f x 的值域为()1,1-；（3）由()220x mf x +->可得()22xmf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立，令()211,3xt -=∈，则()()2121t t t t m t -=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥，所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【答案】(1)103a b += (2)36t <【分析】（1）将点M N 、代入函数()f x ，即可求出a b 、的值，则可求出答案；（2）当3x ≤-时，函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方可等价于当3x ≤-时，不等式13203x x t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，利用参变分离可得当3x ≤-时，min1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，易知函数1323x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，由此即可求出答案. （1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=；（2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．9．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图像过点3,8⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)设函数()()1=-g x f x ，求()g x 的定义域；(2)已知二次函数()h x 的图像经过点()0,0，()()121+=-+h x h x x ，求函数()()f h x 的单调递增区间．【答案】(1)[)0,+∞ (2)[)1,+∞【分析】（1）根据条件求出()f x 解析式，再列出不等式即可求得()g x 定义域. （2）由待定系数法求得()h x 解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果. （1）由题意知318a =，解得12a =，所以()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()112xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得0x ≥．所以()g x 的定义域为[)0,+∞．（2）设()()20h x mx bx c m =++≠，则()()()()()221112h x m x b x c mx m b x m b c +=++++=+++++，()()22121h x x mx b x c -+=+-++，由()()121+=-+h x h x x ，得221m b b m b c c +=-⎧⎨++=+⎩，解得12m b =-⎧⎨=⎩，则()22h x x x c =-++，又()00h c ==，所以()()22211h x x x x =-+=--+，所以()22h x x x =-+在[)1,+∞上单调递减，又()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，所以函数()()f h x 的单调递增区间为[)1,+∞．10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2x x a f x a =+．(1)求a 的值；(2)求证：()()1f x f x +-为定值； (3)求12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】(1)4a = (2)证明见解析 (3)100【分析】（1）函数x y a =在[]1,2上单调，得到220a a +=，排除5a =-，得到答案. （2）()442xx f x =+，代入数据计算得到()()11f x f x +-=，得到证明.（3）根据()()11f x f x +-=，两两组合计算得到答案. （1）解：因为函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上单调，所以当1x =和2x =时，函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上取得最值，即220a a +=，解得4a =或5a =-（舍去），所以4a =．（2）解：由（1）知，4a =，所以()442xx f x =+，故()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅．（3）解：由（2）知，()()11f x f x +-=，因为12001201201+=，21191201201+=，，1001011201201+=，所以12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12001192012012020121f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1001011100100201201f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x xf x a a =+-（0a >，且1a ≠），求函数()f x 在[)0,+∞上的值域．【答案】答案见解析．【分析】应用换元法，令x t a =则()()212g t t =+-，讨论1a >、01a <<，注意定义域的范围，结合二次函数性质判断g t 单调性，根据单调性求值域即可.【详解】令x t a =，则()f x 可化为()()222112g t t t t =+-=+-．当1a >，0x ≥时，1t ≥，又g t 在[)1,+∞上单调递增， ∴()()12g t g ≥=，即()2f x ≥；当01a <<，0x ≥时，01t <≤，又g t 在(]0,1上单调递增， ∴()12g t -<≤，即()12f x -<≤．综上，当1a >时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是[)2,+∞；当01a <<时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是1,2．12．（2022·全国·高一课时练习）对于函数1()2(1)+=-x a f x a （0a >且1a ≠）．(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)当24a <<时，求函数()f x 在[][]3,11,3--⋃上的最大值和最小值．【答案】(1)奇函数(2)最大值为11(1)12f a =+-，最小值为11(1)12f a -=---．【分析】（1）利用奇函数的定义判断可得答案；．（2）利用单调性的定义判断可得函数()f x 为减函数，再由奇偶性可得答案. （1）由题意得11()12x f x a =+-，由10x a -≠，得0x ≠，∴函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，又11111()()121212x xx x a f x f x a a a --=+=+=--=----， ∴函数()f x 为奇函数；（2）任取1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x <，则()()12121111x x f x f x a a -=-=--()()211211x x x x a a a a ---，∵120x x <<，当24a <<时，2101x x a a a >>=， ∴120x x a a ->，110x a ->，210x a ->， ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减．又函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，∴当24a <<时，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(0,)+∞，即函数()f x 在区间[1,3]和[3,1]--上单调递减． ∴当13x ≤≤时，max 11()(1)012f x f a ==+>-，min 311()(3)012f x f a ==+>-，当31x -≤≤-时，max ()(3)(3)0f x f f =-=-<，min ()(1)(1)0f x f f =-=-<， ∴函数()f x 在[3,1][1,3]--上的最大值为11(1)12f a =+-，最小值为11(1)12f a -=---． 13．（2022·湖南常德·高一期末）已知()12f x x x -=+-．(1)若0[1,1]x ∃∈-时，()00220x xf k -⋅≥，求实数k 的取值范围；(2)设()2xg x e =-若方程2(())30()kf g x k g x +-=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)(,1]-∞；(2)[14，＋∞）【分析】（1）将含参不等式，进行参变分离()212122x xk ≤+-，转换为二次函数求最值即可求函数最值，得k 的取值范围；（2）将原方程转换为()()22232120x x e k e k --+-++=，利用整体换元2xt e =-，结合二次函数的实根分布即可求解. (1)解： ()220xxf k -⋅≥即()2112222,1222x xx x xk k +-≥⋅≤+-，令11,222xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，记()221F t t t =-+． ∴()()max 21F t F ==，∴1k ≤ 即k 的取值范围是(,1]-∞． (2)解：由()22302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭得()1222302xx e e k k +-+-+=-，即()()22232120x x e k e k --+-++=，且20xe -≠，令2x t e =-，则方程化为()()()2231200t k t k t -+++=≠．又方程2(2)302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，由2x t e =-的图象可知，()()()2231200t k t k t -+++=≠有两个根1t ，2t 且1202t t <<<或1202,2t t <<=．记()()()22312t t k t k ϕ=-+++，则(0)120(2)410k k ϕϕ=+>⎧⎨=-+<⎩ 或(0)120(2)41023022k k kϕϕ⎧⎪=+>⎪=-+=⎨⎪+⎪<<⎩，解得14k >或14k = 综上所述，k 的取值范围是[14，＋∞）．14．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()e e x x f x k -=+为奇函数． (1)求实数k 的值；(2)若对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使21()1e x t f x -≤成立，求实数t 的取值范围．【答案】(1)1k =- (2)1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据奇函数满足()00f =求解即可；（2）将不等式转换为对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex xx t--≤-成立，根据单调性只需“对任意的[]20,1x ∈，21e e et t x t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值，再分当12t ≥与12t 两种情况讨论即可 (1)（1）因为函数()e e x x f x k -=+为奇函数，故()00e e 010f k k =+=+=，故1k =-，此时()e e x x f x -=-为奇函数，故1k =- (2)因为e x y =为增函数，e x y -=为减函数，故()e e x xf x -=-为增函数，故“对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex x x t--≤-成立”，即“对任意的[]20,1x ∈， 21e e et tx t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值.①当12t ≥时，2x t -在20x =时取最大值，故1e e e t tt -≤-，即2e 2t ≤，22ln t ≤，因为ln 2122<，故不成立； ②当12t时，2x t -在21x =时取最大值，11e e et tt --≤-成立，即2e 11e t -≤，即1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为111ln 22e 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭时满足条件. 综上所述，1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

高一数学指数函数练习题

高一数学指数函数练习题考点1：指数函数的图象1. 已知f (x )=2x ，利用图象变换作出下列函数的图象：① f (x −1)； ②f (x +1)+1； ③−f (|x |)； ④f (−x )； ⑤−f (x )．【练习1】（2013北京理5）函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=（）A ．e x+1B ．e x−1C ．e −x+1D ．e −x−1【练习2】要得到函数y =21−2x 的图象，只要将函数y =(14)x的图象（）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位2.在下图中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(b a )x的图象只能是（）【练习3】函数f(x)＝a x −1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )3. ((2019·金版创新)已知实数a ，b 满足等式2018a ＝2019b ，下列五个关系式：①00且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．5. (2019·广东佛山模拟)已知函数f(x)＝|2x －1|，a f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )A ． a <0,b <0,c <0B ．a <0,b ≥0,c >0C ．2−a <2cD ．2a +2c <2考点2：指数函数的单调性 ⚫ 比大小1.试比较下列各数的大小:(23)−13，(35)12，323，(25)12，(32)23，(56)0，(53)−25．【练习1】设 1.8112y −⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.62y =，332y −⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【练习2】比较下列各组数的大小．① a 1.2，a 1.1（a >0且a ≠1）；② 4222，3333； ③ 0.8−2，(43)−13．④(12)13，(13)12⚫ 单调区间2.函数f (x )={(13)x ,x ≤0(2a −1)x +1−a,x >0在(−∞,+∞)上是减函数，则a 的取值范围是（）A ．(0,12)B ．[0,12)C ．(−∞ ,12]D ．(12,+∞)【练习】(2019·西安)若函数f(x)＝a |2x−4|(a >0，且a ≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( )A ．(−∞,−2)B ．[2,+∞)C ．[−2,+∞)D ．(−∞,−2]3. 已知函数y =9x +m ·3x −3在区间[－2,2]上单调递减，则m 的取值范围为________．⚫ 解函数不等式4. 设函数f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)＝3x －9，则f(x －3)>0的解集是( )A ．{x|x <−2或x >2}B ．{x|x <－2或x >4}C ．{x|x <0或x >6}D ．{x|x <1或x >5} 【练习3】(a 2－a +2018)−x−1<(a 2－a +2018)2x+5的解集为( )A ．(−∞,−4)B ．(−4,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−2,+∞)【练习4】(2019·宜昌调研)设函数f (x )={(12)x −7,x <0√x,x ≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(−∞,−3)B ．(1,+∞)C ．(−3,1)D ．(−∞,−3)∪(1,+∞)5. ((2018·湖北咸宁11月联考)设函数f (x )=(2k −1)a x −a −x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数 (1)求k 的值；(2)若f(1)＝－56，不等式f(3x －t)+f(－2x +1)≥0对x ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的最小值．考点3：与指数函数相关的基本性质1.求下列函数的定义域和值域：①y=31x−2；②y=5−√x−1; ③y=2 2x−12.已知函数f(x)={−(12)x,a≤x<0−x2+2x,0≤x≤4的值域是[−8,1]，则实数a的取值范围是( )A.(−∞,−3]B．[−3,0)C．[−3,−1]D．{−3}3.函数y=a2x−4+3（0a 且a≠1）必过定点___________.4.（目标班专用）已知函数f(x)=(12)x−1(12)x+2．⑴ 求f(x)的定义域，值域；⑵ 讨论f(x)的奇偶性；⑶ 讨论f(x)的单调性．5.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b（b为常数），则f(−1)=（）A．3 B．1 C．−1D．−36.已知函数f(x)=9x9x+3，则f(0)+f(1)=，若g(k)=f(1k)+f(2k)+f(3k)+⋯+f(k−1k)(k≥2 ， k∈Z)，则g(k)=（用含有k的代数式表示）．【练习】(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)=2x1+a·2x 的图象关于点(0,12)对称，则a＝________．7.已知函数f(x)满足对一切x∈R，f(x+2)＝－1f(x)都成立，且当x∈(1,3]时，f(x)＝2−x，则f(7)＝( )A.14B. 18C.116D132考点4：指数函数与二次函数的复合1.已知函数f(x)=(13)ax2−4x+3.(1)若a=−1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0,+∞)，求a的值．【练习1】(2018·桂林模拟)已知函数y=2−x2+ax+1在区间(－∞,3)内单调递增，则a的取值范围为________．2.（目标班专用）求函数f(x)=(14)x−(12)x+1(x∈[−3,2])的单调区间及其值域．【练习2】如果函数y=a2x+2a x−1(a>0,a≠1)在区间[−1,1]上的最大值是14，求a的值．3.定义：若对定义域内任意x，都有f(x+a)>f(x)（a为正常数），则称函数f(x)为“a距”增函数．（1）若f(x)=2x−x，x∈(0，+∞)，试判断f(x)是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若f(x)=x3−14x+4，x∈R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若f(x)=2x2+k|x|，x∈(−1,+∞)，其中k∈R，且为“2距”增函数，求f(x)的最小值．。

指数与指数函数图像及性质(学生版)

指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

指数函数的性质与图像练习题含答案

指数函数的性质与图像练习题（1）1. 下列函数中，既是偶函数又在(−∞, 0)上是单调递减的是（）A.y ＝−cos xB.y ＝lg |x|C.y ＝1−x 2D.y ＝e −x2. 函数f(x)=cos x x 的图象大致为（）A. B.C.D.3. 指数函数y ＝a x 的图象经过点(3, 27)，则a 的值是（）A.3B.9C.D.4. 已知a ＝(35)−13，b =(35)−14，c ＝(23)−14，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.c <a <bB.a <b <cC.b <a <cD.c <b <a5. 若P =√2,Q =√6−√2，则P ，Q 中较大的数是________．6. 函数y =lg (4+3x −x 2)的单调增区间为________．7. 函数y =a x+1−2的图象恒过一定点，这个定点是________．8. 已知指数函数f(x)=(3m 2−7m +3)m x 是减函数，求实数m 的值．lg(x+1)的定义域为A，集合B={x||x|≤2}．9. 已知函数f(x)=√2−x(1)求A;(2)求A∩B.10. 已知函数f(x)＝x2+(1−a)x−a(a∈R)．（1）解关于x的不等式f(x)<0；（2）若∀a∈[−1, 1]，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案与试题解析指数函数的性质与图像练习题（1）一、选择题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）1.【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝−cos x，为偶函数，但在区间(−∞, 0)上不是单调函数，不符合题意；对于B，y＝lg|x|，既是偶函数又在(−∞, 0)上是单调递减，符合题意；对于C，y＝1−x2，为偶函数，但在区间(−∞, 0)上是增函数，不符合题意；对于D，y＝e−x，不是偶函数，不符合题意；2.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势．【解答】f(−x)=cos(−x)−x =−cos xx=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=π3时，f(π3)=12π3=6π3.【答案】A【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】指数函数的图象与性质【解析】根据指数函数的性质判断即可．【解答】y =(35)x 是减函数，故a ＝(35)−13>b =(35)−14，而b =(35)−14>c ＝(23)−14，故c 0，∴ P >Q ．6.【答案】(−, 32] 【考点】复合函数的单调性【解析】函数y =lg (4+3x −x 2)的增区间即为函数y =4+3x −x 2的增区间且4+3x −x 2>0，由此即可求得．【解答】解：由4+3x −x 2>0，解得−1<x <4，所以函数的定义域为(−1, 4)．函数y =lg (4+3x −x 2)的增区间即为函数y =4+3x −x 2的增区间且4+3x −x 2>0，因此所求增区间为(−1, 32]．故答案为：(−1, 32]． 7.【答案】(−1, −1)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令解析式中的指数x +1=0求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【解答】解：令x +1=0解得，x =−1，代入y =a x+1−2得，y =−1，∴ 函数图象过定点(−1, −1)，故答案为：(−1, −1)．三、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）8.【答案】解：由题意得，得3m −7m +3=1，解得m =13或m =2，又f(x)是减函数，则0<m <1，所以m =13．【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】由指数函数的概念得3m −7m +3=1，求出m 的值，再由指数函数的单调性和f(x)是减函数，对m 的值进行取舍．【解答】解：由题意得，得3m −7m +3=1，解得m =13或m =2，又f(x)是减函数，则0<m <1，所以m =13． 9.【答案】解：(1)据题意，得{x +1>0，2−x >0，∴ −1<x <2，∴ A =(−1,2)．(2)据(1)求解知 A =(−1,2)．又∵ B ={x||x|≤2}={x|−2≤x ≤2}，∴ A ∩B =(−1,2)．【考点】函数的定义域及其求法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)据题意，得{x +1>0，2−x >0，∴ −1<x <2，∴ A =(−1,2)．(2)据(1)求解知 A =(−1,2)．又∵ B ={x||x|≤2}={x|−2≤x ≤2}，∴ A ∩B =(−1,2)．10.【答案】不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，当a <−1时，不等式的解集为(a, −1)；当a ＝−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1, a)．x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，即{x 2+2x +1≥0,x 2−1≥0,解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，通过a 与−1的大小比较，求解即可．（2）x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，求解即可．【解答】不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，当a <−1时，不等式的解集为(a, −1)；当a ＝−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1, a)．x 2+(1−a)x −a ＝−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)＝−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1, 1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1, 1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，即{x 2+2x +1≥0,x 2−1≥0,解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}．。

(完整版)指数函数及其性质习题(含答案)

指数函数及其性质习题（含答案）一、单选题的图象可能是( ) 1．在同一坐标系内，函数y=x a(a≠0)和y=ax+1aA．B．C．D．−1，若f(a)=1，则f(−a)=（）2．已知函数f(x)=(e x+e−x)ln1−x1+xA．1B．−1C．3D．−33．已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x ＋b的图象大致是( )A．B．.C．D．4．已知a=log40.7，b=log23，c=0.20.6，则a,b,c的大小关系是( )A．c<b<a B．a<c0，且a≠1）的图象一定经过的点是( )A．(0，−2)B．(−1,−3)C．(0，−3)D．(−1,−2)6．在同一坐标系中，函数y=2−x与y=−log2x的图象都正确的是（）A．B．C．D ．7．设a =20.5,b =0.52,c =log 20.5，则a,b,c 的大小关系为A ． c >a >bB ． c >b >aC ． a >b >cD ． b >a >c8．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，）A ．B ．C ．D ．9．若a ，b ，c 满足2a =3，b =log 25，3c =2，则（）A ． c <a <bB ． b <c <aC ． a 0且a≠1)的图象恒过定点________.13．求值：2log 323−log 3427−31+log 32=__________．14．函数f(x)=(12)−x2+2x+1的单调减区间为________． 15，.16．计算：． 17．若函数()()23x f x a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________18．已知函数()x f x a b =+ ()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．三、解答题19．（1）计算：(−3)−(1−0.5−2)÷(338)13；（2）已知a =log 32,3b =5用a,b 表示log 3√30．20．(1)(2)已知15a a-+=,求22a a -+和.21．计算：（1）)213013210.027163217---⎛⎫--+-+⋅ ⎪⎝⎭. （222．化简求值 (1) (827)23+(0.008)−23×225(2) 12523+(12)−2−(127)−13+10012+lg3+14lg9−lg √3lg81−lg2723．已知定义在R 上的函数f(x)=b−2x2x +a 是奇函数．⑴求a ， b 的值，并判断函数f(x)在定义域中的单调性（不用证明）；⑵若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．24．若函数f(x)=a x −1(a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值.25．（本小题满分10分）已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)是偶函数．（1）求实数k 的值;（2）设g(x)=log 4(a ⋅2x +a),若f(x)= g(x)有且只有一个实数解,求实数a 的取值范围．26．计算：(1) (−338)−23+0.002−12−10(√5−2)−1+(√2−√3)0； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg 22＋lg 16＋lg 0.06. 27．已知f(x)=4x−1−2x +5,x ∈[−2,2]．（1）求f(x)的值域．（2）若f(x)>3m 2+am +2对任意a ∈[−1,1]和x ∈[−2,2]都成立，求m 的取值范围．28．计算下列各式的值;(1)(2)参考答案1．B【解析】【分析】分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果【详解】若a>0,y=x a在(0,+∞)递增，排除A,B选项，y=ax+1a递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即a>0时，不合题意；若a<0，y=x a在(0,+∞)递减，可排除C,D选项，由y=ax+1a递减可排除A，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→0+,x→0−,x→+∞,x→−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．D【解析】分析：先化简f(a)=1得到(e a+e−a）ln1+a1−a=−2，再求f(−a)的值.详解：由题得(e a+e−a）ln1−a1+a −1=1,∴(e a+e−a）ln1−a1+a=2,∴−(e a+e−a）ln1+a1−a=2,∴(e a+e−a）ln1+a1−a=−2.所以f(−a)=(e−a+e a）ln1+a1−a−1=−2−1=−3.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.3．D【解析】【分析】根据二次函数的图象得到−1<b<0,a>1,继而得到g(x)=a x+b的图象经过一二三象限，问题得以解决.【详解】因为a,b 是二次函数的零点，由二次函数f (x )=(x −a )(x −b )（其中a >b ）的图象可知−11，所以g (x )=a x +b 的图象经过一二三象限，只有选项D 符合题意，故选D.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象4．B【解析】【分析】利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。

《指数函数的图像和性质》教案、导学案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》《4.2.2指数函数的图像和性质》教案【教材分析】本节课在已学指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。

另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。

【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【教学重难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测指数函12,()2x x y y ==数有哪些性质？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-117页，思考并完成以下问题1.结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？2.指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、指数函数的图象和性质四、典例分析、举一反三题型一指数函数的图象问题题点一：指数型函数过定点问题例1函数y＝a x－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．【答案】(3,4)【解析】因为指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．题点二：指数型函数图象中数据判断例2函数f(x)＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D.0＜a ＜1，b ＜0【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b ＞0，即b ＜0.题点三：作指数型函数的图象例3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝－2x .【答案】见解析【解析】如图．(1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位长度得到的；(2)y ＝－2x 的图象与y ＝2x 的图象关于x 轴对称．解题技巧：（指数函数的图像问题）1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a 如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.2.因为函数y=ax 的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b 均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).3.指数函数y=ax 与y=(1a )x(a>0,且a≠1)的图象关于y 轴对称.4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.跟踪训练一1、如图是指数函数:①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是( )A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c2、已知函数f(x)=a x+1+3的图象一定过点P,则点P 的坐标是 .3、函数y=的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?【答案】1.B2.(-1,4)3.原函数的图象关于y 轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).【解析】1、解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y 轴右边,底数越小,图象向下越靠近x 轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y 轴右边,底数越大, 图象向上越靠近y 轴,故有d<c.故选B.(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D 四点, 将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值, 所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大. 由图可知b<a<1<d<c.故选B. 答案:B2、解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a 0+3=4恒成立,故函数f(x)=a x+1+3恒过(-1,4)点.3、解:∵y=(12)|x|={(12)x,x≥0,(12)-x ,x<0,∴其图象由y=(12)x(x≥0)和y=2x (x<0)的图象合并而成.||1()2x而y=(12)x(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y 轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).题型二指数函数的性质及其应用题点一：比较两个函数值的大小例4比较下列各题中两个值的大小: （1）1.72.5与1.73 （2）0.8−√2与0.8−√3 （3）1.70.3与0.93.1【答案】(1)1.72.5<1.73(2)0.8−√2<0.8−√3（3）1.70.3>0.93.1【解析】(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R 上是增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73(2)(单调性法)由于0.8−√2与0.8−√3的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R 上是减函数.又0.8−√2<0.8−√3（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.70.3>1.70=1,则1.70.3>0.93.1题点二：指数函数的定义域与值域问题例5求下列函数的定义域与值域 (1)y=21x−4; (2)y=(23)-|x|.【答案】(1)定义域为{x|x ∈R,且x≠4},值域为(0,1)∪(1,+∞). (2)定义域为R,值域为[1,+∞). 【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,∴函数的定义域为{x|x ∈R,且x≠4}.∵1x−4≠0,∴21x−4≠1.∴y=21x−4的值域为(0,1)∪(1,+∞).（2）函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y=(23)-|x|=(32)|x|≥(32)0=1.故y=(23)-|x|的值域为[1,+∞).解题技巧：（指数函数的性质及其应用） 1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:(1)定义域的求法.函数y=a f(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x ∈D; ③求t=f(x)的值域t ∈M;④利用y=a t的单调性求y=a t(t ∈M)的值域. 2.比较幂的大小的常用方法:跟踪训练二1、比较下面两个数的大小: (a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2). 2、比较下列各题中两个值的大小: ①2.53,2.55.7; ②1.5-7,(827)4;③2.3-0.28,0.67-3.1.【答案】1.当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4. 2.①2.53<2.55.7..②1.5-7>(827)4.③2.3-0.28<0.67-3.1.【解析】1、因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1, 若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x 是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4. 故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4; 当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R 上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7. ②(化同底)1.5-7=(32)-7=(23)7,(827)4=[(23)3]4=(23)12,构造函数y=(23)x.∵0<23<1,∴y=(23)x 在R 上是减函数.又7<12,∴(23)7>(23)12,即1.5-7>(827)4. ③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本118页习题4.2 【教学反思】本节通过运用指数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.2.2 指数函数的图像和性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.核心素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【重点与难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。

专题32 高中数学指数函数的概念、图象与性质(原卷版)

专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x2．下列函数一定是指数函数的是( )C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．4个4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．06．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1.7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠19．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________.10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )C ．3D ．111．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________．13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2 D ．017．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，则x ＝________.18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009题型二指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )2．函数y＝3－x的图象是()A B C D3．函数y＝2－|x|的大致图象是()4．函数y＝a－|x|(0<a<1)的图象是()A B C D5．函数y＝－2－x的图象一定过第________象限．6．函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<07．已知0<m<n<1，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为()8．若a >1，－10，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <010．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜111．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )13．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)19．已知函数y＝2a x－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝()A．1 B．3C．4 D．220．函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．21．若函数y＝2－|x|－m的图象与x轴有交点，则()A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1C．0＜m≤1 D．m≥022．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.23．已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0，且a≠1)．(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．题型三指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值．3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠16．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(2，＋∞)7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x (x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，011．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________．13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________．17．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．。

指数函数经典例题(答案)

指数函数1．指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到的图象和性质。

a>1 0<a<1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例 1 已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．解：∵，∴函数的对称轴是．故，又，∴．∴函数在上递减，在上递增．若，则，∴；若，则，∴．综上可得，即．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2 已知，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵，∴函数在上是增函数，∴，解得．∴x的取值范围是．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3 求函数的定义域和值域．解：由题意可得，即，∴，故．∴函数的定义域是．令，则，又∵，∴．∴，即．∴，即．∴函数的值域是．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例 4 函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．解：令，则，函数可化为，其对称轴为．∴当时，∵，∴，即．∴当时，．解得或（舍去）；当时，∵，∴，即，∴时，，解得或（舍去），∴a的值是3或．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5 解方程．解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）．A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（2）由，故．又，故．从而．（3）由，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数 ,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3，求下列函数的定义域与值域.(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

高中试卷-4.2.2 指数函数的图像和性质练习(含答案)

第四章指数函数与对数函数4.2.2 指数函数的图像和性质一、选择题1．（2019·全国高一课时练）已知函数f (x )＝a x (0<a <1)，对于下列命题：①若x >0，则0<f (x )<1；②若x <1，则f (x )>a ；③若f (x 1)>f (x 2)，则x 1<x 2.其中正确命题的个数为( )A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】D【解析】因为0<a <1 ，所以函数f (x )=a x 在(―∞,+∞) 上递减，可得③正确；x >0 时，0<f (x )<a 0=1，可得①正确；x <1 时，f (x )>a 0=1，可得②正确；即①②③都正确，故选D.2．（2019·安徽马鞍山二中高一期中考试）若2535a æö=ç÷èø，3525b æö=ç÷èø，2525c æö=ç÷èø，则（）A ．b c a <ç÷ç÷èøèø，所以a c >；则b c a <<，故选：A.3．（2019·全国高一课时练）函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a >0且a ≠1.当0<a <1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a,在y 轴上的截距大于0且小于1；当a >1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D.4．（2019·全国高一课时练）函数f(x)＝a x―3 ＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,2)D ．(3,2)【答案】D【解析】当x －3＝0，即x ＝3时，＝1；f(3)＝1＋1＝2，故选D.5．（2019·全国高一课时练）函数xx y a x=(01)a <<的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为0,0x x x a x xa y x a x ì>==í-<î，且01a <<，所以根据指数函数的图象和性质，(0,)x Î+¥函数为减函数，图象下降；(,0)x Î-¥函数是增函数，图象逐渐上升，故选D.6．（2019·全国高一课时练）函数11()()3x f x -=在区间[2,1]--上的最大值是（）．A.1B.3C.9D.27【答案】D【解析】()[]x 11f x 2,13-æö=--ç÷èø在区间上单调递减,当x=-2时取得最大值为27.二、填空题7．（2019·江苏高一课时练）若指数函数f(x)=(2a +1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是__________．【答案】―12<a <0【解析】因为f(x)为减函数，所以0<2a +1<1，解得―12<a <0，填。

指数函数的图像及性质

第一章基本初等函数2指数函数的图像及性质一、学习目标1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质．二、知识梳理 1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2．指数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R ，值域(0，＋∞) 图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数三、典型例题知识点一指数函数的概念例1 给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 B解读 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．规律方法 1.指数函数的解读式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件．跟踪演练1 若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ＜43，且a ≠1}解读 y ＝(4－3a )x 是指数函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＞0，4－3a ≠1，解得a ＜43且a ≠1.故a 的取值范围为{a |a ＜43，且a ≠1}．知识点二指数函数的图象例2如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是()A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c 答案 B解读方法一在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．由指数函数图象的升降，知c ＞d ＞1，b ＜a ＜1. ∴b ＜a ＜1＜d ＜c .方法二作直线x ＝1，与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b ＜a ＜1＜d ＜c .故选B.规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象与直线x ＝1相交于点(1，a )，由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．跟踪演练2(1)函数y ＝|2x －2|的图象是()(2)直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案 (1)B(2)0＜a ＜12解读 (1)y ＝2x －2的图象是由y ＝2x 的图象向下平移2个单位长度得到的，故y ＝|2x －2|的图象是由y ＝2x －2的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的．(2)当a ＞1时，在同一坐标系中作出函数y ＝2a 和y ＝|a x －1|的图象(如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a ＜1，作出函数y ＝2a 和y ＝|a x －1|的图象(如图(2))．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个交点，由图象可知0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.知识点三指数型函数的定义域、值域例3求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝4-12x ；(2)y ＝1－2x ；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12322--x x . 解 (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝4-12x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}．又1x －4≠0，即4-12x ≠1，故y ＝4-12x 的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]．由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x ＜1， ∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝⎛⎭⎫12322--x x 的定义域为R . ∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝⎛⎭⎫12322--x x ≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12322--x x ＞0，故函数y ＝⎝⎛⎭⎫12322--x x 的值域为(0,16]．规律方法对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)这类函数， (1)定义域是使f (x )有意义的x 的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性求得此函数的值域．跟踪演练3(1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为() A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．答案 (1)A(2)[－89，2]解读 (1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3，∴－89≤⎝⎛⎭⎫13x －1≤2，∴值域为⎣⎡⎦⎤－89，2. 四、课堂练习1．下列各函数中，是指数函数的是() A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x 答案 D解读由指数函数的定义知a ＞0且a ≠1，故选D. 2．y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象可能是()答案 C解读 0＜34＜1且过点(0,1)，故选C.3．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是() A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞) 答案 B解读 y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B.4．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________．答案 18解读由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.5．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．答案 (0,2]解读 ∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫121-2x ≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y ＞0， ∴函数值域为(0,2]．1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f (0)＝1.2．当a ＞1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．当0＜a ＜1时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．五、巩固练习 1．y ＝2x－1的定义域是()A ．(－∞，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案 A解读不管x 取何值，函数式都有意义，故选A.2．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜2x ＋1＜4，x ∈Z ，则M ∩N 等于() A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0} 答案 B解读 ∵12＜2x ＋1＜4，∴2－1＜2x ＋1＜22，∴－1＜x ＋1＜2，∴－2＜x ＜1.又∵x ∈Z ，∴x ＝0或x ＝－1，即N ＝{0，－1}， ∴M ∩N ＝{－1}． 3．函数y ＝2x＋1的图象是()答案 A解读当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A. 4．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是()A ．(－89，8]B ．[－89，8]C ．(19，9)D ．[19，9]答案 A解读 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1＜y ≤32－1，即－89＜y ≤8.5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．答案 1＜a ＜2解读由题意可知，0＜2－a ＜1，即1＜a ＜2. 6．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．答案 (5,2)解读指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．7．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解 (1)∵f (x )的图象过点(2，12)，∴a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝(12)x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＜(12)x －1≤(12)－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]． 8．函数y ＝5－|x |的图象是()答案 D解读当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x ＝(15)x ，又原函数为偶函数，故选D.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于()A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解读依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2，∵2x ＞0，∴a ≤0，∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3， ∴选A.10．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是____________．答案 {a |a ≥1，或a ＝0}解读作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.11．求函数y ＝(12)x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域．解令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝(12)t ，又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵0≤x ≤3，∴当x ＝1时，t min ＝1，当x ＝3时，t max ＝5. 故1≤t ≤5，∴(12)5≤y ≤(12)1，故所求函数的值域[132，12]．12．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解 ①若a ＞1，则f (x )是增函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)． ∴f (2)－f (1)＝a 2，即a 2－a ＝a2.解得a ＝32.②若0＜a ＜1，则f (x )是减函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)，最小值为f (2)， ∴f (1)－f (2)＝a 2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12综上所述，a ＝12或a ＝32.13．设0≤x ≤2，y ＝421x －3·2x ＋5，试求该函数的最值．解令t ＝2x,0≤x ≤2， ∴1≤t ≤4.则y ＝22x －1－3·2x ＋5＝12t 2－3t ＋5.又y ＝12(t －3)2＋12，t ∈[1,4]，∴y ＝12(t －3)2＋12，t ∈[1,3]上是减函数；t ∈[3,4]上是增函数，∴当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝52.故函数的最大值为52，最小值为12.。

21-22版：4.2.2　指数函数的图象与性质(二)（步步高）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.函数f(x)＝3－x在[－2,1]上的值域是
A.[3,9]
√B.13，9
C.13，3
D.19，31
解析 ∵函数 f(x)＝3－x＝13x 在 R 上是减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝13－2＝9，f(x)min＝f(1)＝13，即函数 f(x)＝3－x 在[－2,1]上的值域是13，9.
(2)求f(x)在[1,3]上的值域.
解由(1)可知 f(x)＝4x＋41x，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝4x1
1 4x1
4x2
1 4x2
4x1 4x2
1
1 4x1 x2
.
因为0<x1<x2，所以4x1 4x2 ，
所以 4x1 4x2 <0.
√B.x＝32
C.x＝1
解析 ∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，∴x＝32.
D.x＝2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若142a＋1<148－2a，则实数 a 的取值范围是
√A.74，＋∞
B.(1，＋∞)
C.(－∞，1)
D.－∞，74
解析因为函数 y＝14x 在 R 上为减函数，且142a＋1<148－2a，所以 2a＋1>8－2a，所以 a>74.
4.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在
[0,1]上的最大值是
A.6
B.1
√C.3
3 D. 2

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指数函数的图象与性质练习题
1．下列函数是指数函数的是( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝2x ＋1
C ．y ＝2－x
D ．y ＝1x
【解析】 y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，符合指数函数的定义，故选C. 2．函数y ＝(a －2)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )
A ．a>0且a≠1 B．a>3
C ．a<3
D ．2<a<3
【解析】由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，
∴a－2>1，∴a>3，故选B.
3．已知a ＝5－12
，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵a＝
5－12∈(0,1)，故a m >a n ⇒m<n. 4．已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．
【解析】设指数函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)，
由题意得a 2
＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝2x ，
∴f(－3)＝2－3＝18.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y ＝a x －2＋1(a>0，a≠1)的图象必经过点( )
A ．(0,1)
B ．(1,1)
C ．(2,0)
D ．(2,2)
【解析】由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x －2经过定点(2,1)，
于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2,2)．
2．f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x|，x∈R ，那么f(x)是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
【解析】
因为函数f(x)= |x|= 图象如右图．
由图象可知答案显然是D.
【答案】 D
3．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )
A ．y ＝21x
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝2x ＋1
D ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－x 【解析】在A 中，∵1x ≠0，∴21x ≠1，即y ＝21x
的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．在B 中，2x －1≥0， ∴y＝2x －1的值域为[0，＋∞)．
在C 中，∵2x >0，
∴2x ＋1>1. ∴y＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)．
在D 中，∵2－x∈R ，∴y＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－x >0. ∴y＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－x 的值域为(0，＋∞)．故选D.
4．方程4x －1＝116
的解为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．1
【解析】 ∵4x －1＝116
＝4－2，∴x－1＝－2， ∴x＝－1.故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．
【解析】由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.
【答案】 (0,1)
6．函数f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1，x∈[－1,2]的值域为________．【解析】函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在区间[－1,2]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫132≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－1，即19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤3，于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89
≤f(x)≤2. 【答案】 [－89
，2] 三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝a x －2(x≥0)的图象经过点⎝
⎛⎭⎪⎫4，19，其中a>0且a≠1. (1)求a 的值；
(2)求函数y ＝f(x)(x≥0)的值域．
【解析】 (1)函数图象过点⎝
⎛⎭⎪⎫4，19，所以a 4－2＝19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，∴a＝13
， (2)f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －2(x≥0)，由x≥0，得x －2≥－2，
∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2＝9， ∴函数y ＝f(x)(x≥0)的值域为(0,9]．
8．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|；
(4)y＝－2x.
【解析】如图所示．
y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到；
y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到；
y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的；y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称．
9．(10分)函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a
2
，求a的值．
【解析】(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a2－a＝a
2
，即a＝
3
2
或a＝0(舍去)．
(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，
∴a－a2＝a
2
，即a＝
1
2
或a＝0(舍去)，
综上所述，所求a的值为1
2
或
3
2
.。