高中数学-指数函数及其性质的应用练习
高中数学第三章习题课指数函数及其性质的应用课后习题北师大版必修第一册
第2课时 习题课 指数函数及其性质的应用A级必备知识基础练1.函数f(x)=(14)x−(12)x+1在区间[-2,2]上的最小值为( )A.1 4B.34C.1316D.132.若函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=f(x+1)2x-2的定义域为( )A.[0,3]B.[-1,2]C.[0,1)∪(1,3]D.[-1,1)∪(1,2]3.(多选题)若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是( )A.2B.12C.3 D.134.方程4x+2x+1-3=0的解是 .5.若函数y=√a x-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是 .6.函数y=(13)√x-2的定义域是 ,值域是 .7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f(12)=2,则不等式f(2x)>2的解集为.8.已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,12),其中a>0,且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.B级关键能力提升练9.设函数f(x)={(12)x-7,x<0,若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )√x,x≥0,A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-∞,-3)D.(1,+∞)10.若函数f(x)={(12)x,x<1,a+(14)x,x≥1的值域为(a,+∞),则实数a的取值范围为( )A.[14,+∞)B.[14,12]C.[12,1]D.(14,1]11.(2021浙江高一期末)已知不等式32x-k·3x≥-1对任意实数x恒成立,则实数k的取值范围是 .12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)= ;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为 .13.解下列关于x的不等式:(1)123x-1≤2;(2)a x 2-3x +1<a x+6(a>0,且a ≠1).14.已知函数f (x )=1-2x 1+2x .(1)判断f (x )的奇偶性并证明;(2)当x ∈(1,+∞)时,求函数f (x )的值域.15.已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R),(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.C级学科素养创新练16.已知函数f(x)=(12x-1+12)x3.(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)证明:f(x)>0.第2课时 习题课 指数函数及其性质的应用1.B 令t=(12)x,t∈[14,4],∴g(t)=t2-t+1,对称轴为直线t=12∈[14,4],∴g(t)min=g(12)=34.故选B.2.D 函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=f(x+1)2x-2中{0≤x+1≤3,2x-2≠0,解得-1≤x≤2,且x≠1,所以定义域为[-1,1)∪(1,2].故选D.3.AB 当a>1时,指数函数y=a x为增函数,所以在区间[-1,1]上的最大值y max=a,最小值y min=1a.所以a+1a =52,解得a=2,或a=12(舍去);当0<a<1时,指数函数y=a x为减函数,所以在区间[-1,1]上的最大值y max=1a,y min=a,所以a+1 a =52,解得a=2(舍去),或a=12.综上所述,a=2或者a=12.4.x=0 原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.5.(0,1) 由a x-1≥0,知a x≥1.又x≤0,所以0<a<1.6.{x|x≥2} {y|0<y≤1} 由x-2≥0得x≥2,所以定义域为{x|x≥2}.当x≥2时,√x-2≥0.又0<13<1,所以y=(13)√x-2的值域为{y|0<y≤1}.7.(-1,+∞) ∵f(x)是偶函数,且f(12)=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.由f(2x)>2,且2x>0得2x>12,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).8.解(1)因为函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,12),所以a2-1=a=12.(2)由(1)得f(x)=(12)x-1(x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值2,于是f(x)∈(0,2],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].9.A 当a<0时,f(a)<1,即(12)a-7<1⇔(12)a<8⇔2-a<23⇔-a<3⇔a>-3,∴-3<a<0.当a≥0时,f(a)<1,即√a<1⇔a<1,∴0≤a<1.综上,-3<a<1.故选A.10.B 当x<1时,f(x)=(12)x∈(12,+∞),当x≥1时,f(x)=a+(14)x∈(a,a+14].∵函数f(x)的值域为(a,+∞),∴{a+14≥12,a≤12,即a∈[14,12].故选B.11.(-∞,2] 令t=3x(t>0),则t2-kt≥-1,化简得k≤t+1t.因为t+1t≥2√t·1t=2,当且仅当t=1时,等号成立,所以k≤2.12.2-x-4 {x|x<0或x>4} 设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.于是f (x-2)>0可化为{x -2≥0,2x -2-4>0或{x -2<0,2-x +2-4>0,解得x>4或x<0.13.解(1)不等式123x-1≤2,即为21-3x ≤2,故1-3x ≤1,解得x ≥0,∴不等式的解集为{x|x ≥0}.(2)当a>1时,有x 2-3x+1<x+6,解得-1<x<5;当0<a<1时,有x 2-3x+1>x+6,解得x<-1或x>5.所以,当a>1时,不等式的解集为{x|-1<x<5};当0<a<1时,不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.14.解(1)函数f (x )是奇函数,证明如下:∵对任意x ∈R ,2x +1>1恒成立,且f (-x )=1-2-x 1+2-x =2x -2-x ·2x 2x +2-x ·2x =2x -12x +1=-f (x ),∴f (x )是奇函数.(2)令2x =t ,则f (x )可化为g (t )=1-tt +1=-1+2t +1,∵x ∈(1,+∞),∴t>2,∴t+1>3.∴0<2t +1<23,∴-1<g (t )<-13,∴f (x )的值域是(-1,-13).15.(1)证明f (x )的定义域为R ,任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a-12x 1+1-a+12x 2+1=2x 1-2x 2(1+2x 1)(1+2x 2).∵x 1<x 2,∴2x 1−2x 2<0,(1+2x 1)(1+2x 2)>0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴不论a 为何实数,f (x )在(-∞,+∞)上为增函数.(2)解∵f (x )为奇函数,且x ∈R ,∴f (0)=0,即a-120+1=0,解得a=12.(3)解由(2)知,f (x )=12−12x +1,由(1)知,f (x )在(-∞,+∞)上为增函数,故f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1).∵f (1)=12−13=16,∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为16.16.(1)解由题意得2x -1≠0,即x ≠0,∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)解f (x )=2x +12(2x -1)·x 3,∴f (-x )=2-x +12(2-x -1)·(-x )3=-1+2x2(1-2x )·x 3=f (x ),∴f (x )为偶函数.(3)证明当x>0时,2x >1,x 3>0,∴2x -1>0,∴12x -1+12>0.∴f (x )>0.由偶函数的图象关于y 轴对称,知当x<0时,f (x )>0也成立.故对于x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f (x )>0.。
指数函数与对数函数的应用题
指数函数与对数函数的应用题指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将通过几个应用题的分析来探讨指数函数与对数函数的实际运用。
应用题一：物质的放射性衰变物质的放射性衰变是指由于放射性核的不稳定性，使核发生自发性变化的过程。
假设某种物质的衰变速率符合指数函数规律，即每个单位时间内剩余的物质量与当前的物质量成比例关系，如何求解衰变物质的半衰期？解析：设物质的初始质量为P0，经过时间t后的质量为P(t)，假设衰变常数为k。
由指数函数的性质可得：P(t) = P0 * e^(kt)当t = T (半衰期) 时，物质的质量减少了一半，即：P0 / 2 = P0 * e^(kT)化简后可得：e^(kT) = 1/2由此可以得到半衰期T的解。
应用题二：质量-时间关系某物质在一定条件下的质量随时间的变化满足指数函数的规律。
已知该物质在开始时间时的质量为M0，经过3小时后，质量降低为M0的1/4，求解质量随时间变化的指数函数关系。
解析：设物质的质量随时间t的变化满足指数函数：M(t) = M0 * e^(kt)已知M(3) = M0 * (1/4)，带入上述指数函数公式得：M0 * e^(3k) = M0 * (1/4)化简可得：e^(3k) = 1/4由此可以求得k的解，进而得到质量随时间变化的指数函数关系。
应用题三：货币贬值问题某国货币贬值的速度与该国的物价水平及其他因素有关。
假设某国的年物价水平p以指数函数形式增长，即p = p0 * e^(kt)，其中p0是初始物价水平，k是贬值系数。
求解该国货币的贬值率。
解析：货币贬值率是指货币购买力下降的速度，可以用物价水平的增长率来近似表示。
设t时刻物价水平为p(t)，t+1时刻物价水平为p(t+1)，则贬值率为：贬值率 = (p(t+1) - p(t)) / p(t)将p(t) = p0 * e^(kt)，p(t+1) = p0 * e^((k+k')t+1)带入上述公式，化简可得贬值率的解。
人教A版高中数学必修一第二章基本初等函数 2.1.3 指数函数性质及应用精选习题
指数函数性质及应用1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 2．下列判断正确的是( )A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．0.9－0.3＜1 D ．1.90.3＞0.92.53．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域是( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9] D ．[1，＋∞)4．函数y ＝(12)1－x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)5．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上( )A ．单调递减且无最小值B ．单调递减且有最小值C ．单调递增且无最大值D ．单调递增且有最大值6．若1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为()7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，(x <0)(a －3)x ＋4a ，(x ≥0)，满足对任意的x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，14]B ．(0,1)C ． [14，1) D ．(0,3)8．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称9．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________．10．若函数f (x )＝(13)ax 2－(a ＋2)x ＋3在区间[－1,＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是____________．11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝12x +1+a 是奇函数，则a =_____．13．函数y ＝2x2+4x +2的值域为 ，增区间为 ． 14．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则常数a ＝______.15．已知指数函数f (x )＝(2a －1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 ．16．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是____________．17．不等式0.52x >4x －1的解集为____________．(用区间表示)18．已知函数f (x )＝(a －2)a x (a ＞0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则a 的取值范围是______________．19．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝________.20.比较下列各组数的大小．(1)2.30.6和2.31.2； (2)(35)0..5和(35)0..8；(3)1.91.5和31.5； (4)3.10.6和0.63.1；21．比较大小：a ＝1.50.6，b ＝0.60.2，c ＝0.61.5．22.已知函数f (x )＝(12)x 2－2x ，求f (x )的值域和单调区间．23．已知函数y ＝2－x 2＋4x －1，求其单调区间及值域．24.已知函数f (x )＝2x －b2x ＋a是定义在R 上的奇函数．(1)求a 、b 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性； (3)求函数f (x )在R 上的值域．25．已知函数f (x )＝2x －12x ．(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)证明：f (x )为R 上的增函数；(3)若对于任意m ∈[－2，2]，不等式f (m 2－3m )＋f (m －k )<0恒成立，求k 的取值范围．26．设函数f (x )＝1－22x +1，(1)证明：f (x )为奇函数． (2)求f (x )的值域．27．求函数f (x )＝4－2x 2+2x －2的值域和单调区间．28．已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝81，g (x )＝1－a x1＋a x.(1)求g (x )的解析式并判断g (x )的奇偶性；(2)用定义证明：函数g (x )在R 上是单调递减函数； (3)求函数g (x )的值域.29．已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x +3.．(1)若f (x )有最大值3，求a 的值；(2)若f (x )在(－∞，1)上单调递增，求a 的取值范围．30．已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．。
指数函数练习题及答案
指数函数练习题及答案指数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解指数函数的概念和运算规则，并提供相应的答案。
1. 求解指数方程：2^x = 16解：将16写成2的幂次形式，即16 = 2^4，所以原方程可以写成2^x = 2^4。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到x = 4。
2. 简化指数表达式：(2^3)^4解：根据指数函数的性质，指数的乘法规则，可以将指数表达式简化为2^(3*4)，即2^12。
3. 求解指数方程：3^(2x+1) = 9解：将9写成3的幂次形式，即9 = 3^2，所以原方程可以写成3^(2x+1) =3^2。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到2x+1 = 2。
解方程得到x = 1/2。
4. 求解指数方程：e^x = 10解：将10写成自然对数的底数e的幂次形式，即10 = e^ln(10)，所以原方程可以写成e^x = e^ln(10)。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到x = ln(10)。
5. 求解指数方程：10^(2x-1) = 100解：将100写成10的幂次形式，即100 = 10^2，所以原方程可以写成10^(2x-1) = 10^2。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到2x-1 = 2。
解方程得到x = 3/2。
通过以上的练习题，我们可以看到指数函数在解方程中的应用。
指数函数的特点是底数不同，函数的性质也会有所不同。
在实际问题中，指数函数可以用来描述物质的衰减、增长和变化等现象，具有很强的实用性。
除了以上的练习题，我们还可以通过绘制指数函数的图像来更好地理解其特点。
以y = 2^x为例，我们可以绘制出其图像，发现随着x的增大，y的值呈指数级增长，这是因为指数函数的增长率是逐渐加大的。
总结起来，指数函数是高中数学中的重要内容，通过练习题和图像的分析，我们可以更好地理解指数函数的概念和运算规则。
2022版数学人教A版必修1基础训练：指数函数及其性质第2课时含解析
第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质第2课时 指数函数的性质及其应用基础过关练题组一 指数型函数的单调性及其应用1.(2020福建厦门双十中学高一月考)已知a =0.80.7,b =0.80.9,c =1.20.8,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A.a >b >cB.c >a >bC.b >a >cD.c >b >a2.若函数f (x )={(3-a )x -3,x ≤7,a x -6,x >7在定义域上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A.94,3B.94,3C.(1,3)D.(2,3)3.(2020广东普宁华美实验学校开学考试)设x >0,且1<b x <a x ,则 ( )A.0<b <a <1B.0<a <b <1C.1<b <aD.1<a <b4.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高一月考)已知函数f (x )=a |2x -4|(a >0,a ≠1),且满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是 ( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]5.(2020浙江杭州高级中学高一上期末)函数f (x )=(14)-|x |+1的单调增区间为 ;奇偶性为 (填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数).6.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ≥0时, f (x )=e -x (e 为自然对数的底数). (1)求函数f (x )在R 上的解析式,并作出函数f (x )的大致图象; (2)根据图象写出函数f (x )的单调区间和值域.7.(1)判断f(x)=(13)x2-2x的单调性,并求其值域;(2)求函数y=a x2+2x-3(a>0,且a≠1)的单调区间.题组二指数型方程与指数型不等式8.方程4x-3·2x+2=0的解构成的集合为()A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}9.(2020山东日照第一中学高一月考)已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|2x+1>1},则∁B A= ()A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)10.已知关于x的不等式(13)x-4>3-2x,则该不等式的解集为()A.{x|x≥4}B.{x|x>-4}C.{x|x≤-4}D.{x|-4<x≤1}11.已知函数f(x)=2x+b的图象过点(2,8).(1)求实数b的值;(2)求不等式f(x)>√323的解集.能力提升练一、选择题1.(2020河北保定一中高一月考,)若关于x的不等式a2x≥a3-x(0<a<1)的解集为A,则函数y=3x+1,x∈A的最大值为()A.1B.3C.6D.92.(2020湖南株洲二中高一月考,)对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),当f(x)=2-x时,下列结论中错误的是()A.f(x1+x2)=f(x1)f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0D.f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)23.(2020湖南衡阳第四中学高一月考,)函数f(x)=x|x|·2x的图象大致是()4.(2020安徽安庆高一上期末教学质量调研监测,)某数学课外兴趣小组对函数f (x )=2|x -1|的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论:①该函数的值域为(0,+∞);②该函数在区间[0,+∞)上单调递增;③该函数的图象关于直线x =1对称;④该函数的图象与直线y =-a 2(a ∈R )不可能有交点.则其中正确结论的个数为( )A .1B .2C .3D .45.(2020河北石家庄高一期末,)已知函数f (x )=m x -m (m >0,且m ≠1)的图象经过第一、二、四象限,则a =|f (√2)|,b =|f (438)|,c =|f (0)|的大小关系为 ( )A.c <b <aB.c <a <bC.a <b <cD.b <a <c二、填空题6.(2020江西临川第二中学高一月考,)如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0,且a ≠1)在[-1,1]上的最大值是14,那么a 的值为 . 7.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f (x )=3|x +a |(a ∈R )满足f (x )=f (2-x ),则实数a 的值为 ;若f (x )在[m ,+∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于 .8.(2020合肥第六中学高一开学考试,)若关于x 的不等式2x +1-2-x -a >0的解集包含区间(0,1),则a 的取值范围为 . 9.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常数,a >0,且a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (2,18).若不等式(2a )x +(1b )x-m ≥0在x ∈(-∞,1]上恒成立,则实数m 的最大值为 . 三、解答题10.(2020山东泰安一中高一上期中,)已知函数f (x )=a +22x -1.(1)求f(x)的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.11.(2020甘肃兰州五十一中高一期中,)已知函数f(x)=(13)ax2-4x+3.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的取值范围.12.(2020河南郑州高一段考,)为了检验某种溶液的挥发性,在容积为1升的容器中注入该溶液,然后在挥发的过程中测量剩余溶液的体积.已知溶液注入过程中,其体积y(升)与时间t(分钟)成正比,且恰在2分钟注满;注入完成后,y与t的关系为y=(15)t30-a(a为常数),如图.(1)求溶液的体积y与时间t之间的函数关系式;(2)当容器中的溶液少于0.008升时,试验结束,则从注入溶液开始,至少需要经过多少分钟,才能结束试验?13.(2019河南郑州高一上期末,)设函数f(x)=2kx2+x(k∈R且k为常数)为奇函数,函数g(x)=a f(x)+1(a>0,且a≠1).(1)求k的值;(2)求函数g(x)在[-2,1]上的最大值和最小值;(3)当a=2时,g(x)≤-2mt+3对所有的x∈[-1,0]及m∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.14.()设函数f(x)=a x-(k-1)a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)求实数k的值;(2)若f(1)<0,求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的实数t的取值范围;(3)若f(1)=3,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),且g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求实数m的值.2答案全解全析第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质第2课时 指数函数的性质及其应用基础过关练1.B2.B3.C4.B 8.C 9.A 10.B1.B 因为1=0.80>0.80.7>0.80.9,1.20.8>1.20=1,即1>a >b ,c >1, 所以c >a >b ,故选B . 2.B 由函数f (x )={(3-a )x -3,x ≤7,a x -6,x >7在定义域上单调递增,可得{3-a >0,a >1,(3-a )×7-3≤a 7-6,解得94≤a <3. 所以实数a 的取值范围是94,3 . 3.C ∵x >0,且b x>1,∴b >1,同理可得a >1,又a x>b x>1,∴a xb x=(ab)x>1,∴a b >1,即a >b ,∴a >b >1,故选C .4.B 由f (1)=19,得a 2=19,所以a =13或a =-13(舍),即f (x )=13|2x -4|.由于y =|2x -4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y =a x (0<a <1)在R 上单调递减,所以f (x )在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B . 5.答案 [0,+∞);偶函数解析 设μ=-|x |+1,则y =14μ. 易知μ=-|x |+1的递减区间为[0,+∞),递增区间为(-∞,0).又y =14μ是减函数,∴y =14-|x |+1的递增区间是[0,+∞). 易知函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称. 又f (-x )=14-|-x |+1=14-|x |+1=f (x ), ∴f (x )是偶函数.6.解析 (1)当x <0时,-x >0,所以f (-x )=e x ,因为f (x )是偶函数,所以当x <0时,f (x )=f (-x )=e x,所以f (x )={e x ,x <0,e -x ,x ≥0.作出大致图象如图所示.(2)由图象得,函数f (x )的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞),值域是(0,1].7.解析 (1)令u =x 2-2x ,则u =x 2-2x =(x -1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.又0<13<1,所以y =(13)u在R 上单调递减.根据“同增异减”规律可得,f (x )=(13)x 2-2x在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 因为u =x 2-2x =(x -1)2-1≥-1,所以y =13u ,u ∈[-1,+∞),所以0<13u ≤13-1=3,由此可得函数f (x )的值域为(0,3].(2)令u =x 2+2x -3,则y =a u (a >0,且a ≠1),由u =x 2+2x -3=(x +1)2-4,得u =x 2+2x -3在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数. 当a >1时,y =a u 在R 上为增函数,此时函数y =a x 2+2x -3 的增区间为[-1,+∞),减区间为(-∞,-1];当0<a <1时,y =a u 在R 上为减函数,此时函数y =a x 2+2x -3 的增区间为(-∞,-1],减区间为[-1,+∞).8.C 令2x =t (t >0),则4x =(2x )2=t 2, 原方程可化为t 2-3t +2=0, 解得t =1或t =2.当t =1时,2x =1=20,解得x =0; 当t =2时,2x =2=21,解得x =1.因此原方程的解构成的集合为{0,1}, 故选C .9.A 因为A ={x |x 2-2x -3<0}={x |(x +1)(x -3)<0}=(-1,3),B ={x |2x +1>1}=(-1,+∞),所以∁B A =[3,+∞).故选A .10.B ∵3-2x=(13)2x,∴原不等式可化为(13)x -4>(13)2x.又函数y =(13)x在R 上是单调递减函数,∴x -4<2x ,解得x >-4.∴原不等式的解集为{x |x >-4}.故选B .方法指导解不等式a f (x )>a g (x )(a >0,且a ≠1)的依据是指数型函数的单调性,若底数不确定,需进行分类讨论.a f (x )>a g (x )⇔{f (x )>g (x ),a >1,f (x )<g (x ),0<a <1.11.解析 (1)∵函数f (x )=2x +b 的图象过点(2,8),∴22+b =8,即2+b =3,故b =1.(2)由(1)得,f (x )=2x +1,由f (x )>√323,得2x +1>253,∴x +1>53,即x >23,∴不等式f (x )>√323的解集为(23,+∞). 能力提升练1.D2.B3.B4.B5.C 一、选择题1.D ∵0<a <1且a 2x ≥a 3-x ,∴2x ≤3-x ,解得x ≤1,∴A ={x |x ≤1}.又函数y =3x +1,x ∈A 为增函数,∴当x =1时,y =3x +1取得最大值,为9.故选D .2.B 由已知得,f (x 1+x 2)=2-(x 1+x 2),f (x 1)·f (x 2)=2-x 1·2-x 2=2-(x 1+x 2),故A 正确;f (x 1·x 2)=2-(x 1·x 2)≠2-x 1+2-x 2=f (x 1)+f (x 2),故B 错误;因为f (x )=2-x=(12)x为减函数,所以有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0,故C 正确; 画出y =12x 的图象,如图,不妨设x 1<x 2,由图可知,fx 1+x 22<f (x 1)+f (x 2)2,故D 正确.故选B . 3.B f (x )=x |x |·2x ={2x,x >0,-2x ,x <0.∴当x >0时,其图象为y =2x (x >0)的图象;当x <0时,其图象与y =2x (x <0)的图象关于x 轴对称.故选B .4.B 函数f (x )的值域为[1,+∞),①错误;函数f (x )在区间(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,②错误;函数f (x )的图象关于直线x =1对称,③正确;因为y =-a 2≤0,所以函数f (x )的图象与直线y =-a 2(a ∈R )不可能有交点,④正确.所以正确结论的个数为2,故选B .5.C 因为f (x )=m x -m (m >0,且m ≠1)的图象经过第一、二、四象限,所以0<m <1,所以函数f (x )为减函数,易知f (1)=0,所以函数|f (x )|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又因为1<√2=212<438=234<2,所以a <b <|f (2)|,又c =|f (0)|=1-m ,|f (2)|=m 2-m ,所以|f (2)|-|f (0)|=m 2-1<0,所以|f (2)|<|f (0)|=c ,所以a <b <c.故选C .二、填空题6.答案 3或13解析 设t =a x ,t >0,则y =t 2+2t -1,其图象的对称轴为直线t =-1.若a >1,则当x ∈[-1,1]时,t =a x ∈[1a,a], ∴当t =a 时,y max =a 2+2a -1=14,解得a =3或a =-5(舍去).若0<a <1,则当x ∈[-1,1]时,t =a x ∈[a ,1a], ∴当t =1a 时,y max =(1a)2+2×1a -1=14, 解得a =13或a =-15(舍去). 综上,a 的值为3或13. 7.答案 -1;1解析 由f (x )=f (2-x ),得f (x )的图象关于直线x =1对称,又f (x )=3|x +a |的图象关于直线x =-a 对称,∴-a =1,即a =-1.此时f (x )=3|x -1|,它的单调递增区间为[1,+∞),依题意得[m ,+∞)⊆[1,+∞),从而m ≥1, 因此m 的最小值为1.8.答案 (-∞,1]解析 不等式2x +1-2-x -a >0的解集包含区间(0,1),等价于对任意的x ∈(0,1),2x +1-2-x >a 恒成立.令2x =t ,则t ∈(1,2),问题转化为a <(2t -1t )min , 易知y =2t -1t在区间(1,2)上是单调递增函数, 所以y >2-1=1.故只需a ≤1即可.9.答案76 解析 由已知可得{ba =6,ba 2=18,解得{a =3,b =2,则不等式为(23)x +(12)x -m ≥0,设g (x )=(23)x +(12)x -m ,显然函数g (x )在(-∞,1]上单调递减,∴g (x )≥g (1)=23+12-m =76-m , 故76-m ≥0,解得m ≤76, ∴实数m 的最大值为76. 三、解答题10.解析 (1)由2x -1≠0,可得x ≠0,∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.(2)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ),又f (-x )=a +22-x -1=a +2×2x 1-2x =a -2(2x -1)+22x -1=a -2-22x -1,-f (x )=-a -22x -1,∴a -2=-a ,解得a =1.因此f (x )=1+22x -1.当x >0时,2x -1>0,∴f (x )>1;当x <0时,-1<2x -1<0,∴f (x )<-1.∴f (x )的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).11.解析 (1)当a =-1时,f (x )=(13)-x 2-4x+3, 令g (x )=-x 2-4x +3,易知g (x )在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,又y =(13)x 在R 上单调递减, 所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f (x )的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).(2)令h (x )=ax 2-4x +3,y =(13)ℎ(x ),由于f (x )有最大值3,所以h (x )应有最小值-1,因此{a >0,ℎ(2a )=3a -4a =-1,解得a =1.即当f (x )有最大值3时,a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知,要使y =f (x )的值域为(0,+∞),应使h (x )=ax 2-4x +3的值域为R .若a ≠0,则h (x )为二次函数,其值域不可能为R ,因此只能有a =0.故a 的取值范围是{0}.12.信息提取 溶液的体积y (升)与时间t (分钟)的关系与图象.数学建模 以检验溶液的挥发性为情境,构建溶液的体积与时间的函数关系.解析 (1)当0≤t ≤2时,设函数的解析式为y =kt (k ≠0),将点(2,1)的坐标代入,得k =12, 所以y =12t ; 当t >2时,函数的解析式为y =(15)t 30-a ,将点(2,1)的坐标代入,得a =115,所以y =(15)t 30-115. 综上,y ={12t ,0≤t ≤2,(15)t 30-115,t >2. (2)令(15)t 30-115<0.008=1125,解得t >92,所以至少需要经过92分钟后,试验才能结束.13.解析 (1)因为函数f (x )=2kx 2+x (k ∈R ,且k 为常数)为奇函数,且定义域为R , 所以f (-x )=-f (x ),即2kx 2-x =-2kx 2-x ,所以k =0.(2)由(1)知,f (x )=x ,则g (x )=a f (x )+1=a x +1(a >0,且a ≠1).当a >1时,g (x )在[-2,1]上是增函数,所以g (x )的最大值为g (1)=a +1,g (x )的最小值为g (-2)=1a 2+1;当0<a <1时,g (x )在[-2,1]上是减函数,所以g (x )的最大值为g (-2)=1a 2+1,g (x )的最小值为g (1)=a +1.(3)当a =2时,g (x )=2x +1,在[-1,0]上是增函数,则g (x )≤g (0)=2,所以-2mt +3≥2,即2mt -1≤0对所有的m ∈[-1,1]恒成立.令h (m )=2tm -1,m ∈[-1,1],则{ℎ(-1)≤0,ℎ(1)≤0,即{-2t -1≤0,2t -1≤0, 解得-12≤t ≤12, 故实数t 的取值范围是[-12,12]. 14.解析 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=0,∴k =2.此时f (x )=a x -a -x ,为奇函数,∴k =2符合题意.(2)由(1)得f (x )=a x -a -x ,∵f (1)<0,∴a -1a<0,∴0<a <1, ∴f (x )在R 上为减函数.又∵f (x 2+tx )+f (4-x )<0在R 上恒成立,即f (x 2+tx )<f (x -4)在R 上恒成立,∴x 2+tx >x -4在R 上恒成立,∴x 2+(t -1)x +4>0在R 上恒成立,∴(t -1)2-4×1×4<0,解得-3<t <5,∴t 的取值范围为(-3,5).(3)∵f (1)=32,∴a =2a =-12舍去,∴g (x )=22x +2-2x -2m (2x -2-x ).令t =2x -2-x ,x ≥1,则h (t )=t 2-2mt +2,t ≥32.函数g (x )在[1,+∞)上的最小值为-2可转化为函数h (t )=t 2-2mt +2在区间[32,+∞)上的最小值为-2,当m ≤32时,h (t )在区间32,+∞上单调递增,∴h (t )min =h (32)=-2,解得m =2512,舍去;当m >32时,h (t )在区间32,m 上单调递减,在区间[m ,+∞)上单调递增,∴h (t )min =h (m )=-2,解得m =2(负值舍去).综上所述,m =2.。
高中数学：指数函数的图像和性质练习及答案
高中数学：指数函数的图像和性质练习及答案指数函数的图象与性质1.指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是( )A．b<a<d<cB．a<b<d<cC．b<a<c<dD．b<c<a<d2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )A．B．C．D．3.函数y＝a x－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A．B．C．D．4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋2＋2B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2D．f(x)＝2x－2－25.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，)6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.指数函数的定义域7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是( ) A．(0，1)B．(2，4)C．(，1)D．(1，2)8.函数y＝的定义域是________．指数函数的值域9.函数y＝的值域为________．10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．指数函数的性质11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数12.关于指数函数，有下列几个命题：①指数函数的定义域为(0，＋∞)；②指数函数的值域是不包括1的；③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；④指数函数都是单调函数．其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．13.指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)指数幂的大小比较14.a＝与b＝()5的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．大小关系不定15.设<()b<()a<1，那么( )A．a a<a b<b aB．a a<b a<a bC．a b<a a<b aD．a b<b a<a a16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f()指数方程的解法17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于( )A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．指数不等式的解法20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围( )A．－≤x<3B．≤x<3C．RD．≤x<21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( ) A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<122.不等式<2－2x的解集是________．指数函数的单调性23.函数y＝的递减区间为( )A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( ) A．(，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，)D．(－，)25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(7，8)C．[7，8)D．(4，8)26.函数y＝的递增区间是________．27.已知函数f(x)＝.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．指数函数的最值28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为( ) A．B．2C．3D．429.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y＝的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )A．2B．C．D．a233.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．答案1.指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是( )A．b<a<d<cB．a<b<d<cC．b<a<c<dD．b<c<a<d【答案】A【解析】作直线x＝1与各图象相交，交点的纵坐标即为底数，故从下到上依次增大．所以b<a<d<c.故选A.2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由1>n>m>0可知①②应为两条递减指数函数曲线，故只可能是选项C或D，进而再判断①②与n和m的对应关系，不妨选择特殊点，令x＝1，则①②对应的函数值分别为m和n，由m<n知选C.故选C.3.函数y＝a x－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当a>1时，y＝a x－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.当0<a<1时，y＝a x－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋2＋2B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2D．f(x)＝2x－2－2【答案】C【解析】y＝2x向上，向右分别平移2个单位得f(x)的图象，所以f(x)＝2x－2＋2.5.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，)【答案】D【解析】方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y＝|a x－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<.6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.【答案】(1)f(x)＝其图象如图所示．(2)证明由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，所以2a＋2c<4.综上知，总有2a＋2c<4.7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是( )A．(0，1)B．(2，4)C．(，1)D．(1，2)【答案】A【解析】根据题意可知1<2x<2，则0<x<1，所以函数f(2x)的定义域是(0，1)．8.函数y＝的定义域是________．【答案】(－∞，]【解析】要使函数y＝有意义，则必须()3x－1－≥0，即()3x－1≥()3，∴3x－1≤3，解得x≤.∴函数y＝的定义域是(－∞，]．故答案为(－∞，]．9.函数y＝的值域为________．【答案】[0，4)【解析】∵2x>0，∴0≤16－2x<16，则0≤<4，故函数y＝的值域为[0，4)．10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．【答案】[3，5]【解析】因为指数函数y＝3x在区间[0，1]上是增函数，所以30≤3x≤31，即1≤3x≤3，于是1＋2≤3x＋2≤3＋2，即3≤f(x)≤5.11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数【答案】B【解析】因为f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.12.关于指数函数，有下列几个命题：①指数函数的定义域为(0，＋∞)；②指数函数的值域是不包括1的；③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；④指数函数都是单调函数．其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．【答案】③④【解析】①指数函数的定义域为R，故①错误；②指数函数的值域是(0，＋∞)，故②错误；③∵f(x)＝()x＝2－x，∴指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称，故③正确；④当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数，所以指数函数都是单调函数，故④正确．故答案为③④.13.指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)【答案】＝【解析】∵对于指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)，任意取x 1、x2∈R，有f(x1)f(x2)＝＝＝f(x1＋x2)．故答案为＝.14.a＝与b＝()5的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．大小关系不定【答案】A【解析】考察函数y＝()x与y＝()x知，前者是一个增函数，后者是一个减函数，∴>()0＝1，()5<()0＝1，∴>()5，即a>b，故选A.15.设<()b<()a<1，那么( )A．a a<a b<b aB．a a<b a<a bC．a b<a a<b aD．a b<b a<a a【答案】C【解析】∵<()b<()a<1，且y＝()x在R上是减函数．∴0<a<b<1，∴指数函数y＝a x在R上是减函数，∴a b<a a，∴幂函数y＝x a在R上是增函数，∴a a<b a，∴a b<a a<b a，故选C.16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f()【答案】B【解析】∵y＝f(x＋1)是偶函数，故函数的图象关于直线x＝1对称，则f()＝f()，f()＝f()，又∵当x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且<<，故f()<f()<f()，即f()<f()<f()，故选B.17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于( )A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}【答案】D【解析】因为2是它们的公共元素，所以2a＝2，a＝1，b＝2，因此M∪N＝{1，2，3}，选D.18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.【答案】(3，0)，(2，2)【解析】方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13变形为3n(2m－3)＋2m＝13.(*)∵m，n为非负整数，∴当m＝0，1时，经验证无解，应舍去．当m＝2时，(*)化为3n＋22＝13，解得n＝2.此时方程的非负整数解为(2，2)．当m＝3时，(*)化为5·3n＋23＝13，即3n＝1，解得n＝0.当m≥4时，2m－3≥13，左边>右边，(*)无非负整数解．综上可知：方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝(3，0)，(2，2)．故答案为(3，0)，(2，2)．19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】令()x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0，1)．方程转化为t2＋2t＋a＝0，∴a＝1－(t＋1)2.∵t∈(0，1)，∴a∈(－3，0)．20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围( )A．－≤x<3B．≤x<3C．RD．≤x<【答案】A【解析】由题意可得≤3x≤33，再根据函数y＝3x在R上是增函数，可得－≤x<3，故选A.21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<1【答案】D【解析】∵f(－2)＝a2，f(－3)＝a3.f(－2)>f(－3)，即a2>a3，故0<a<1.选D.22.不等式<2－2x的解集是________．【答案】{x|x>3，或x<－1}【解析】原不等式化为<()2x，又y＝()x为减函数，故x2－3>2x，解得{x|x>3，或x<－1}．23.函数y＝的递减区间为( )A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)【答案】B【解析】设u＝(x＋3)2，y＝()u，∵u＝(x＋3)2在(－∞，－3]上递减，在[－3，＋∞)上递增，而y＝()u在R上递减，∴y＝在[－3，＋∞)上递减．24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )A．(，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，)D．(－，)【答案】B【解析】由题意知函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(7，8)C．[7，8)D．(4，8)【答案】D【解析】因为函数f(n)＝是增函数，所以解得4<a<8.26.函数y＝的递增区间是________．【答案】[2，＋∞)【解析】函数y＝的单调递增区间即为y＝x2－4x＋3的单调递增区间，∵y＝x2－4x＋3的单调递增区间为[2，＋∞)，故答案为[2，＋∞)．27.已知函数f(x)＝.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．【答案】(1)a＝1，得f(x)＝，∵∈(0，1)，∴f(x)的外层函数是一个递减的指数函数；令t＝x2－4x＋3，则其减区间为(－∞，2)，增区间为(2，＋∞)．∴f(x)的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)(2)∵f(x)有最大值为3，∈(0，1)，函数t＝ax2－4x＋3有最小值－1，∴函数t＝ax2－4x＋3在区间(－∞，)上是减函数，在区间(，＋∞)上是增函数由此可得，a>0且f()＝＝3，得－＋3＝－1，解之得a＝1.综上所述，当f(x)有最大值3时，a的值为1.28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为( ) A．B．2C．3D．4【答案】B【解析】y＝a x(a>1)在[1，2]上是增函数，最大值为a2，最小值为a1，所以a2－a1＝2，解得a＝2或a＝－1(舍)．29.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．【答案】令3x＝t，∵－1≤x≤1，∴≤t≤3，∴y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2(其中≤t≤3)．∴当t＝1时(即x＝0时)，y取得最小值－2，当t＝3时(即x＝1时)，y取得最大值2. 30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．【答案】(1)∵t＝3x在[－1，2]是单调增函数，∴t max＝32＝9，t min＝3－1＝.(2)令t＝3x，∵x∈[－1，2]，∴t∈[，9]，原方程变为：f(x)＝t2－2t＋4，∴f(x)＝(t－1)2＋3，t∈[，9]，∴当t＝1时，此时x＝0，f(x)min＝3，当t＝9时，此时x＝2，f(x)max＝67.题组10 与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y＝的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称【答案】A【解析】设函数y＝f(x)＝，则此函数的定义域为R.f(－x)＝＝＝－f(x)，故函数是奇函数，故它的图象关于原点O对称，故选A.32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )A．2B．C．D．a2【答案】B【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝.33.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．【答案】(1)由已知得∴k＝1，a＝，∴f(x)＝2x.(2)函数g(x)为奇函数．证明：g(x)＝，其定义域为R，又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．。
指数函数的练习题
指数函数的练习题指数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握指数函数的相关概念和性质。
下面，我将给大家提供一些指数函数的练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。
练习题一：简单指数函数计算1. 计算 $2^3$ 和 $(-3)^2$ 的值。
2. 计算 $10^{-2}$ 和 $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ 的值。
练习题二：指数函数的性质1. 如果 $a > 1$，那么 $a^x$ 是否是递增函数？为什么？2. 如果 $0 < a < 1$，那么 $a^x$ 是否是递增函数？为什么？3. 如果 $a > 1$，那么 $a^x$ 是否有上界？为什么？练习题三：指数函数的图像1. 画出函数 $y = 2^x$ 和 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的图像。
2. 画出函数 $y = 3^x$ 和 $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ 的图像。
练习题四：指数函数的应用1. 假设某种细菌的数量每小时增加50%，现在有1000个细菌，经过多少小时后细菌的数量会达到5000个？2. 一笔投资每年以5%的利率复利计算，如果初始投资为10000元，经过多少年后投资会翻倍？练习题五：指数函数的方程1. 解方程 $2^x = 8$。
2. 解方程 $3^{2x-1} = \frac{1}{9}$。
通过以上的练习题，我们可以加深对指数函数的理解和运用。
在计算指数函数的值时，我们需要注意底数的正负以及指数的大小。
指数函数的性质也是我们需要掌握的重要内容，它们对于理解函数的增减性和图像的变化有着重要的影响。
通过绘制指数函数的图像，我们可以更直观地观察函数的特点和变化趋势。
指数函数在实际生活中也有广泛的应用。
在金融领域中，复利计算常常使用指数函数的概念。
高中数学：第二章 2.1.2 指数函数及其性质 (11)
第二章 2．1 指数函数素养培优提能一、选择题1．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D ∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1.又1.30.86>1，∴c >a >b .故选D ．2．在下列图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx 及指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x的图象只可能是( )解析：选A 根据指数函数可知a ，b 同号且不相等，∴－b2a <0，可排除B 、D ；由选项C 中的二次函数的图象，可知a －b >0，a <0，∴b a >1，∴指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x单调递增，故C 不正确，排除C ．故选A ．3．定义运算*：a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2＝1，则函数f (x )＝|2x *2－x －1|的值域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 新定义函数的运算结果是取a ，b 中的较小值，则2x*2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12|x |∈(0，1]，所以f (x )＝|2x*2－x －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫12|x |－1∈[0，1)．故选B ． 4．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( )A ．na (1－b %) 万元B ．a (1－nb %) 万元C ．a [1－(b %)n ] 万元D ．a (1－b %)n 万元解析：选D 1年后价值为a (1－b %)万元，2年后价值为a (1－b %)2万元，…，n 年后价值为a (1－b %)n 万元，故选D ．5．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ，f （x ）>k .若对于函数f (x )＝2－x 2＋x ＋2的定义域内的任意实数x ，恒有f k (x )＝f (x )，则( )A ．k 的最大值为2 2B ．k 的最小值为22C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1解析：选B 由题意，知k ≥f (x )max .函数f (x )＝2－x 2＋x ＋2的定义域为[－1，2]．令t ＝－x 2＋x ＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，2t ∈[1，22]，所以f (x )max ＝22，因此k ≥2 2.故选B ．二、填空题6．满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3>16的x 的取值范围是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3>16，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3>⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2，由指数函数的单调性，得x －3<－2，即x <1.答案：(－∞，1)7．(2019·福建师大附中期末)设函数f (x )＝2x ，对任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，以下结论正确的是________(填序号)．①f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ③f (－x 1)＝1f （x 1）；④f （x 1）－1x 1<0(x 1≠0)； ⑤f （x 1）＋f （x 2）2>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 解析：2x 1·x 2＝(2x 1)x 2≠2x 1＋2x 2，①错误；根据指数式的运算性质可知同底数幂相乘，底数不变，指数相加，知②正确；根据2－x ＝12x ，知③正确；当x >0时，f (x )>1，当x <0时，0<f (x )<1，所以f （x 1）－1x 1>0，故④错误；因为函数f (x )＝2x的图象是下凸的，结合图象可以判定两个自变量对应的函数值的平均值大于这两个自变量的平均值所对应的函数值，故⑤正确．综上，填②③⑤.答案：②③⑤8．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，给出下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式为________(填序号)．解析：画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，如图所示，借助图象进行分析．由于实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，所以若a ，b 均为正数，则a >b >0；若a ，b 均为负数，则a <b <0；若a ＝b ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b＝1，故③④不可能成立．答案：③④ 三、解答题9．已知f (x )＝a a 2－1(a x－a －x )(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数， 从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数， 从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数． 故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． 10．设函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，函数g (x )＝3ax －4x . (1)求g (x )的解析式；(2)若方程g (x )－b ＝0在[－2，2]内有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18， ∴3a ＋2＝18，∴3a ＝2. ∵g (x )＝3ax －4x ＝(3a )x －4x ， ∴g (x )＝2x －4x .(2)解法一：由(1)知，方程为2x －4x －b ＝0. 令t ＝2x ，x ∈[－2，2]，则14≤t ≤4，且方程t －t 2－b ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上有两个不相等的实数根，即函数y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14的图象与函数y ＝b 的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上有两个交点．作出大致图象，如图所示：由图知当b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14时，方程g (x )－b ＝0在[－2，2]内有两个不相等的实数根．故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14.解法二：由(1)知方程为2x －4x －b ＝0.令t ＝2x，x ∈[－2，2]，则14≤t ≤4，且方程t －t 2－b ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上有两个不相等的实数根，令h (t )＝－t 2＋t －b ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4b >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤0，h （4）≤0，解得316≤b <14.故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14.。
高中数学必修一练习题(4)函数(含详细答案)
• 高中数学必修一复习练习（四）函数班 号 姓名 指数函数及其性质1．下列函数中指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1； ②y ＝2·3x ； ③y ＝a x (a >0且a ≠1，x ≥0)； ④y ＝1x ； ⑤y ＝(12)2x －1.A ．1个B ．2个C ．4个D ．5个2．函数y ＝3x 与y ＝3－x 的图象关于下列哪条直线对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x3．若集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则集合M ，N 的关系为( ) A ．M NB ． M ⊆NC ．N MD ．M ＝N4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )5．若函数y ＝(2a －1)x 为指数函数，则实数a 的取值范围是________． 6．函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________(填点的坐标)． 7．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．8．已知指数函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)3．下列不等关系中，正确的是( ) A ．(12)23<1<(12)13B ．(12)13<(12)23<1C ．1<(12)13<(12)23D ．(12)23<(12)13<14．函数f (x )＝2|x |，则f (x )( )A ．在R 上是减函数B ．在(－∞，0]上是减函数C ．在[0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，＋∞)上是增函数 5．方程3x －1＝19的解是________．6．已知函数y ＝(13)x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．7．已知2x ≤(14)x －3，求函数y ＝(12)x 的值域．8．已知函数f (x )＝a 2－3x(a >0，且a ≠1)．(1)求该函数的图象恒过的定点坐标； (2)指出该函数的单调性．1．使式子log (x －1)(x 2－1)有意义的x 的值是( ) A ．x ＜－1或x ＞1 B ．x ＞1且x ≠2 C ．x ＞1D ．x ≠22．方程2log 3x ＝14的解是( )A.33B.3C.19D ．93．化简：2lg （lg a 100）2＋lg （lg a ）的结果是( )A.12B ．1C ．2D ．44．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．3B ．8C ．4D ．log 485．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为________．6．已知x ，y ∈(0，1)，若lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则lg(1－x )＋lg(1－y )＝________． 7．计算下列各式的值：(1)lg12.5－lg 58＋lg 12； (2)12lg25＋lg2＋lg 10＋lg(0.01)－1； (3)log 2(log 264)．8．方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝0的两根之积为x 1x 2，求x 1x 2的值．1．下列函数中，定义域相同的一组是( ) A ．y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1) B ．y ＝x 与y ＝x C ．y ＝lg x 与y ＝lg xD ．y ＝x 2与y ＝lg x 22．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞) 3．函数y ＝log 12（3x －2）的定义域是( )A ．[1，∞)B ．(23，＋∞)C ．[23，1]D ．(23，1]4．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )5．函数y ＝log x (2－x )的定义域是________．6．若a >0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________． 7．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 2（4x －3）； (2)y ＝log 5－x (2x －2)．8．已知f (x )＝log 3x .(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，有f (a )>f (2)，利用图象求a 的取值范围．参考答案指数函数及其性质1．选A 由指数函数的定义可判定，只有③正确． 2．B3．选A x ∈R ，y ＝2x ＞0，y ＝x 2≥0，即M ＝{y |y ＞0}，N ＝{y |y ≥0}，所以M N. 4．选C 由0＜m ＜n ＜1可知①②应为两条递减曲线，故只可能是选项C 或D ， 进而再判断①②与n 和m 的对应关系，判断方法很多，不妨选择特殊点，令x ＝1， 则①②对应的函数值分别为m 和n ，由m ＜n 知选C.5．解析：函数y ＝(2a －1)x 为指数函数，则2a －1>0且2a －1≠1，∴a >12且a ≠1. 答案：a >12且a ≠16．∵指数函数y ＝a x 恒过定点(0，1)．∴y ＝a x ＋1的图象必过点(0，2)．答案：(0，2) 7．解：(1)函数图象过点(2，12)，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1，于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0，2]． 8．解：由指数函数的概念知a >0，a ≠1.当a >1时，函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上是增函数，所以当x ＝2时，f (x )取最大值a 2，当x ＝1时，f (x )取最小值a ， 由题意得a 2＝a ＋a 2，即a 2＝32a ，因为a >1，所以a ＝32；当0<a <1时，函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上是减函数，同理可以求得a ＝12.综上可知，a 的值为32或12✠✠指数函数及其性质的应用1．选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x 是增函数，∴x ＋1<0，即x <－1.2．选A 定义域为R.设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u，∵u ＝1－x 在R 上为减函数，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x在(－∞，＋∞)上是增函数．3．选D ∵函数y ＝(12)x 在R 上是减函数，而0<13<23，∴(12)23<(12)13<(12)0，即(12)23<(12)13<1.4．选B ∵y ＝2x 在R 上递增，而|x |在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)是递增，∴f (x )＝2|x |在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)上递增．5．解析：∵3x -1＝19，∴3x -1＝3-2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1. 答案：－16．解析：函数y ＝(13)x 在定义域内单调递减，∴m ＝(13)－1＝3，n ＝(13)－2＝9， ∴m ＋n ＝12. 答案：127．解：∵2x ≤(14)x -3，即2x ≤26-2x ，∴x ≤6－2x ，∴x ≤2，∴y ＝ (12)x ≥ (12)2＝14，∴函数值域是[14，＋∞)．8．解：(1)当2－3x ＝0，即x ＝23时，a 2－3x ＝a 0＝1. 所以，该函数的图象恒过定点(23，1)(2)∵u ＝2－3x 是减函数，∴当0<a <1时，f (x )在R 上是增函数；当a >1时，f (x )在R 上是减函数．❑❑对数与对数运算1．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x 2－1＞0，x －1≠1，解得x ＞1且x ≠2.2．选C 由已知得log 3x ＝－2 ，∴ x ＝3－2＝19.3．选C 由对数运算可知：lg(lg a 100)＝lg(100lg a )＝2＋lg(lg a )，∴原式＝2. 4．选A 由2x ＝3得：x ＝log 23.∴x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2log 283log 24＝log 23＋(3log 22－log 23)＝3.5．解析：log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x b ＝13，log x c ＝16.log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1. 答案：16．解析：lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )⇒x ＋y ＝xy ，lg(1－x )＋lg(1－y )＝lg[(1－x )(1－y )]＝lg(1－x －y ＋xy )＝lg1＝0. 答案：0 7．解：(1)原式＝lg(252×85×12)＝lg10＝1.(2)原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1]＝lg(5×2×1012×102)＝lg1072＝72.(3)原式＝log 2(log 226)＝log 26＝1＋log 23.8．解：因为lg2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝(lg x ＋lg2)(lg x ＋lg3)，所以lg x ＝－lg2＝lg2－1或lg x ＝－lg3＝lg3－1，即x 1＝12，x 2＝13，所以x 1x 2＝16.对数函数及其性质1．C2．选C 当x ≥1时，log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2.3．选D 由函数的解析式得log 12(3x －2)≥0＝log 121.∴0＜3x －2≤1，解得：23＜x ≤1.4．选C 当x ＝0时y ＝0，而且函数为增函数，可见只有C 符合．5．解析：由对数函数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0x >0x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <2x >0且x ≠1⇒0<x <2且x≠1. 答案：(0，1)∪(1，2)6．解析：当x ＝2时y ＝1. 答案：(2，1)7．解：(1)要使函数有意义，须满足：log 2(4x －3)≥0＝log 21，⇒1≤ 4x －3⇒x ≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)．(2)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>05－x >05－x ≠1⇒1<x <5且x ≠4. ∴函数的定义域为(1，4)∪(4，5)．8．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由如图所示的图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． 故当0<a <2时，不存在满足f (a )>f (2)的a 的值．。
指数函数及其性质(含知识点、例题、练习、测试)
指数函数及其性质 知识点一 指数函数及图像性质1.指数函数概念：定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ，a 是底数.2. 指数函数的图象和性质：作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =图像性质总结 底数 a >1 0<a <1图象性质 函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1； 当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数 函数在定义域R 上为减函数题型一 指数函数求值【例1】已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.题型二 比较大小【例2】比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1题型三 指数函数性质【例3】求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =【过关练习】1、 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2、 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.思考探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域问题？知识点二 指数函数应用1. 指数函数的应用模型（应用题）2. 指数形式的函数定义域、值域题型 函数综合【例1】 2017年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？【例2】指数函数与函数性质综合1、已知函数[]2,1,2329∈+•-=x y xx ，求这个函数的值域；2、求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.【过关练习】1、 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. ① 求函数y =的定义域和值域.② 求下列函数的定义域、值域：21x y =+; y =110.4x y -=.【补救练习】 1、已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2、比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75333-（）与（）.【巩固练习】1、函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2、下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 【拔高练习】1、当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)2、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．【补救练习】 B ＞＜【巩固练习】B B 【拔高练习】 C 24。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 分层作业 第6章 第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
() = (3 − 10) 是增函数，则 =__.
8
− = ,
= ,
[解析]当 > 时， = 在[−, ]上单调递增，所以൝
解得ቐ
此时
= ,
= .
() = ( − ×
)
= ( −
)
.因为 −
< ，所以()是减函数，不合
奇函数”.
（1）已知函数() = 2 + 2 − 4( ∈ , ≠ 0)，试判断()是否为“局部奇函数”？
并说明理由；
解由题意知，若()为“局部奇函数”，则关于的方程() + (−) = 0有解，
当() = 2 + 2 − 4时，(−) = 2 − 2 − 4，
1
2
.因为
+
A.(0, +∞)B.(0,1)C.(1, +∞)D.(0, )
[解析] =
<
+
+
=
+−
+
< ，− <
=−
−
+
< ， <
所以函数的值域为(, ).故选B.
> ，所以 + > ，所以
−
则(1 ) − (2 ) = (1 −
1
)
1
1
− (2 − )
2
因为1 ，2 ∈ (0, +∞)，且1 <
1
= (1 − 2 )(1 +
).
1 2
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第2课时习题课指数函数及其性质的应用课件北师大版
( ) 型函数的
定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调
性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)型函数,要
先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出t=f(x)的值域A,然后画出
2 -||
3
=
3 ||
2
2 -||
的值域为[1,+∞).
3
≥
3 0
=1.
2
.
5.解方程:22x+2+3×2x-1=0.
解∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令 t=2 (t>0),则方程可化为 4t +3t-1=0,解得
x
x=-2.
2
1
t= 或
4
x
t=-1(舍去).∴2
x
1-x
1
x> .
2
)
3.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=
答案 -4
解析 ∵y=f(x)是奇函数,
2
∴f(-8)=-f(8)=-83 =-4.
2
3
,则f(-8)的值是
.
2
4.函数y=
3
答案 R
-||
的定义域是
,值域是
[1,+∞)
解析 函数的定义域为 R.
∵|x|≥0,∴y=
故 y=
综上可知,当a>1时,函数f(x)的定义域为[2,+∞);
高中数学指数函数的性质及相关题目解析
高中数学指数函数的性质及相关题目解析一、指数函数的定义与性质指数函数是高中数学中重要的一类函数，它的定义形式为$f(x)=a^x$，其中$a$为常数且$a>0$且$a\neq 1$。
指数函数具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
2. 增减性：当$a>1$时，指数函数是递增函数；当$0<a<1$时，指数函数是递减函数。
3. 对称性：指数函数关于$y$轴对称。
4. 连续性：指数函数在其定义域上连续。
5. 无界性：当$a>1$时，指数函数在$x\to-\infty$时趋于0；当$0<a<1$时，指数函数在$x\to+\infty$时趋于0。
二、指数函数的常见题型及解析1. 指数函数的图像与性质题目：已知函数$f(x)=2^x$，求函数$f(x)$的图像及其性质。
解析：我们可以通过计算$f(x)$在不同$x$值上的函数值，绘制出函数$f(x)$的图像。
例如，当$x=-2$时，$f(x)=2^{-2}=\frac{1}{4}$；当$x=-1$时，$f(x)=2^{-1}=\frac{1}{2}$；当$x=0$时，$f(x)=2^0=1$；当$x=1$时，$f(x)=2^1=2$；当$x=2$时，$f(x)=2^2=4$。
根据这些函数值，我们可以绘制出函数$f(x)$的图像。
同时，根据指数函数的性质，我们可以得出以下结论：函数$f(x)=2^x$是递增函数，对称于$y$轴，定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
此外，由于$a>1$，所以函数$f(x)$在$x\to-\infty$时趋于0。
2. 指数函数的性质应用题题目：已知指数函数$f(x)=2^x$，若$f(a)=8$，求实数$a$的值。
解析：根据题目中已知条件$f(a)=8$，我们可以得到方程$2^a=8$。
由指数函数的性质可知，$2^3=8$，因此$a=3$。
高中指数函数练习题
高中指数函数练习题高中指数函数练习题指数函数是高中数学中重要的一部分内容，也是学生们常常感到困惑的一部分。
在这里，我们将通过一些练习题来帮助学生们更好地理解和掌握指数函数的概念和运算。
1. 求解指数方程：2^x = 8解答：将8表示为2的幂，即8 = 2^3。
所以，原方程可以写成2^x = 2^3。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，即x = 3。
2. 求解指数方程：3^(x+1) = 27解答：将27表示为3的幂，即27 = 3^3。
所以，原方程可以写成3^(x+1) =3^3。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，即x + 1 = 3。
解得x = 2。
3. 求解指数方程：4^(2x-1) = 16解答：将16表示为4的幂，即16 = 4^2。
所以，原方程可以写成4^(2x-1) =4^2。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，即2x - 1 = 2。
解得x= 1.5。
4. 求解指数方程：5^(3-x) = 1/125解答：将1/125表示为5的幂，即1/125 = 5^(-3)。
所以，原方程可以写成5^(3-x) = 5^(-3)。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，即3 - x = -3。
解得x = 6。
通过以上的练习题，我们可以看出指数函数的求解过程都是通过将等式两边表示为相同底数的幂，然后利用指数函数的性质，即底数相同时，指数相等，来解方程。
这是指数函数求解的基本方法。
除了求解指数方程，我们还可以进行指数函数的运算。
下面是一些指数函数运算的练习题。
1. 计算：2^3 × 2^4解答：根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相加，即2^3 × 2^4 =2^(3+4) = 2^7 = 128。
2. 计算：3^5 ÷ 3^2解答：根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相减，即3^5 ÷ 3^2 =3^(5-2) = 3^3 = 27。
指数函数及其性质的应用练习题
指数函数及其性质的应用练习题一、选择题1．函数y＝2x＋1的图象是()[答案]A2．(xx～xx重庆市南开中学期中试题)已知f(x)＝a－x(a0，且a1)，且f(－2)f(－3)，则a的取值范围是()A．aB．a1C．aD．01[答案]D3．函数f(x)＝ax＋(1a)x(a0且a1)是()A．奇函数B．偶函数C．奇函数也是偶函数D．既非奇函数也非偶函数[答案]B4．函数y＝(12)x2-3x+2在下列哪个区间上是增函数()A．(－，32]B．[32，＋)C．[1,2]D．(－，－1][2，＋)[答案]A5．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b[答案]D[解析]因为函数y＝0.8x是R上的单调减函数，所以a＞b.又因为a＝0.80.7＜0.80＝1，c＝1.20.8＞1.20＝1，所以c＞a.故c＞a＞b.6．若函数f(x)＝ax－1＋1，x＜－1，a－x，x－1(a＞0，且a1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A．(0，13)B．(13，1)C．(0，13]D．[13，1)[答案]D[解析]当a＞1时，f(x)在(－，－1)上是增函数，在[－1，＋)上是减函数，则函数f(x)在R上不是单调函数，故a＞1不合题意；当0＜a＜1时，f(x)在(－，－1)上是增函数，在[－1，＋)上是增函数，又函数f(x)在R上是单调函数，则a(－1－1)＋1a－(－1)，解得a13，所以实数a的取值范围是13a＜1.二、填空题7．函数y＝19x－1的定义域是________．[答案](－，0][解析]由题意得(19)x－10，即(19)x1，x0.8．函数y＝(23)|1－x|的单调递减区间是________．[答案][1，＋)[解析]y＝(23)|1-x|＝23x－1x1231－xx1因此它的减区间为[1，＋)．9．对于函数f(x)的定义域中的任意的x1、x2(x1x2)，有如下的结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fx1－fx2x1－x2＞0；④fx1－fx2x1－x2＜0当f(x)＝10x时，上述结论中正确的是________．[答案]①③[解析]因为f(x)＝10x，且x1x2，所以f(x1＋x2)＝10x1＋x2＝10x110x2＝f(x1)f(x2)，所以①正确；因为f(x1x2)＝10x110x1＋10x2＝f(x1)＋f(x2)，②不正确；因为f(x)＝10x是增函数，所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号，所以及fx1－fx2x1－x2＞0，所以③正确．④不正确．三、解答题10．比较下列各题中两个值的大小：(1)1.8－0.1,1.8－0.2；(2)1.90.3,0.73.1；(3)a1.3，a2.5(a＞0，且a1)．[解析](1)由于1.8＞1，指数函数y＝1.8x在R上为增函数．1.8－0.1＞1.8－0.2.(2)∵1.90.3＞1,0.73.1＜1，1.90.3＞0.73.1.(3)当a＞1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3＜a2.5；当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3＞a2.5，即当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5；当a＞1时，a1.3＜a2.5.11．(xx～xx昆明高一检测)若ax＋1＞(1a)5－3x(a＞0，且a1)，求x的取值范围．[解析]ax＋1＞(1a)5－3xax＋1＞a3x－5，当a＞1时，可得x＋1＞3x－5，x＜3.当0＜a＜1时，可得x＋1＜3x－5，x＞3.综上，当a＞1时，x＜3，当0＜a＜1时，x＞3.12．设f(x)＝－2x＋12x＋1＋b(b为常数)．(1)当b＝1时，证明：f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)若f(x)是奇函数，求b的值．[解析](1)举出反例即可．f(x)＝－2x＋12x＋1＋1，f(1)＝－2＋122＋1＝－15，f(－1)＝－12＋12＝14，∵f(－1)－f(1)，f(x)不是奇函数．又∵f(－1)f(1)，f(x)不是偶函数．f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)对定义域内的任意实数x恒成立，即－2－x＋12－x＋1＋b＝－－2x＋12x＋1＋b对定义域内的任意实数x恒成立．即：(2－b)22x＋(2b－4)2x＋(2－b)＝0对定义域内的任意实数x恒成立．b＝2，经检验其定义域关于原点对称，故符合题意．。
第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)
[解] 现有木材的蓄积量为 200 万立方米，经过 1 年后木材 的蓄积量为 200＋200×5%＝200×(1＋5%)万立方米；经过 2 年后 木材的蓄积量为 200×(1＋5%)＋200×(1＋5%)×5%＝200×(1＋ 5%)2 万立方米；
… 经过 x 年后木材的蓄积量为 200×(1＋5%)x 万立方米． 故 y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
题型六 指数函数图像及其变换
例6.利用函数f (x) (1)x的图像，作出下列各函数的图像。 2
(1) f (x 1); (5) f (x) 1
(2) f (x 1);
(3) f (x);
(4) f (x);
变式1：画出函数f (x) 3x 1的图像，并利用图像回答： k为何值时，方程3x -1 k无解？有一个解？有两个解？
题型三 指数方程问题
【例3】解方程 4x 2x - 6 0
变式1：解方程3x2 - 32-x 80 变式2：若关于x的方程9x （4 a）3x 4 0有解， 则实数a的取值范围是？ A.(,8) [0,) B.(,4) C.[8,4) D.(,8]
变式3 : 若方程（1）x （1 ）x a 0有正根，则实数 42
变式2：设f (x) 3x 1, c b a且f (c) f (a) f (b),则下列
关系式中一定成立的是？
A.3c 3a
B.3c 3b
C.3a 3b 2
D.3a 3b 2
变式3：方程2a ax -1(a 0且a 1)有两个不同解，求a的取值范围。
题型七 与指数函数有关的奇偶性问题
1．试比较下列各组数的大小：
(1)20.3，
12－0.4,
80.2；
【高中数学】新人教A版高一第 2 课时 指数函数的图像及其性质的应用(练习题)
新人教A 版高一第 2 课时 指数函数的图像及其性质的应用(2006)1.已知函数f(x)=a 2−x (a >0,且a ≠1)，当x >2时，f(x)>1，则f(x)在R 上（）A.是增函数B.是减函数C.当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D.当x >2时是减函数，当x <2时是增函数2.函数f(x)=(12)√−x 2+4x−3的单调递减区间为 （）A.(−∞，2]B.[1，2]C.[2，＋∞)D.[2，3] 3.函数f(x)=e x −e −x 16(|x|−1)的图象大致为（ ）A. B.C. D.4.设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上是增函数，f(−3)=0，则f(3x −6)<0的解集为（）A.(1，2)B.(−∞,1)∪[log 36，2)C.(−∞，2)D.(−∞,1)∪(2，+∞)5.若对任意x ∈(−∞,−1)，都有(3m −1)2x <1成立，则m 的取值范围是（）A.(−∞,1]B.(−∞,1)C.(−∞,13)D.(−∞,13] 6.设f(x)=|3x −1|，若c <b <a 且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是（）A.3c <3bB.3c >3bC.3c ＋3a >2D.3c ＋3a <27.指数函数y =a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y =2ax −1在[0,1]上的最大值是 （）A.6B.3C.1D.32 8.已知函数f(x)=(x −1)3+3x−1−3−x+1+2，实数a ，b 满足f(a)+f(b)=4，则a +(b −1)2的最小值为 （）A.1B.12C.14D.349.据某校环保小组调查,某小区垃圾量的年增长率为b ，2015年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该小区2016年产生的垃圾量为 吨，2020年产生的垃圾量为 吨.10.下列说法中，正确的是 (填序号)．①任取x >0，均有3x >2x ；②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2；③y =(√3)−x 是增函数；④y =2|x|的最小值为1；⑤在同一平面直角坐标系中，y =2x 与y =2−x 的图象关于y 轴对称．11.已知f(x)={(3a −1)x −32a(x ⩽1)，a x (x >1)是R 上的增函数，则a 的取值范围是 . 12.不等式√x +2x <3的解集为 .13.已知函数f(x)=a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点(2,4).(1)求a 的值；(2)若a 2x+1<a 3x−1，求x 的取值范围．14.已知函数f(x)=(13)ax 2−4x+3.(1)若a =−1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a 的值；(3)若f(x)的值域是(0,+∞)，求a 的取值范围.15.若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f(x)+f(−x)=0； ②对于定义域上的任意x 1,x 2，当x 1>x 2时，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0.则称函数f(x)为“理想函数”.下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（）A.f(x)=1x +xB.f(x)=x 13C.f(x)=e x −1e x +1D.f(x)={−x 2，x ⩾0，x 2，x <016.已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−t，若对于任意x1∈[1,6)，总存在x2∈[1,6)，使得f(x1)=g(x2)，则t的取值范围是（）A.∅B.t⩾28或t⩽1C.t>28或t<1D.1⩽t⩽28是奇函数.17.已知定义域为R的函数f(x)=1−2x2x+1+a(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求k的取值范围.参考答案1.【答案】:A2.【答案】:B3.【答案】:B【解析】:【分析】本题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．用排除法先判断出f(x)是奇函数再根据当x>1时，由f(x)>0即可得答案．【解答】解：因为f(−x)=e−x−e x16(|x|−1)=−e x−e−x16(|x|−1)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A；当x>1时，由f(x)>0，可排除C，D．故选B．4.【答案】:A【解析】:解：∵f(x)为定义在实数集上的偶函数，∴f(3)=f(−3)=0，又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数，则由f(3x−6)<0可得，−3<3x−6<3，解可得，1<x<2，故选：A．由偶函数的性质可知，f(3)=f(−3)=0，结合f(x)在[0,+∞)上是增函数，可知距离对称轴越远，函数值越大，可求．本题主要考查了利用偶函数的对称性及单调性求解不等式，解题的关键是偶函数对称性的应用．5.【答案】:A【解析】:【分析】本题考查在研究指数函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查了划归与转化的思想，属于中档题．【解答】解：对任意的x ∈(−∞,−1]，不等式(3m −1)·2x <1成立，即3m −1<(12)x成立， 当x ∈(−∞,−1]时，(12)x ⩾2，所以3m −1<2，即m <1，故选C ．6.【答案】:D【解析】:f(x)=|3x −1|的图象如图所示.由c <b <a 且f(c)>f(a)>f(b)可知c ，b ，a 不在同一个单调区间上， 故有c <0，a >0，∴f(c)=1−3c ，f(a)=3a −1.由f(c)>f(a)，得1−3c >3a −1，∴3c ＋3a <2.故选D.7.【答案】:B【解析】:当a >1时，指数函数y =a x 是增函数，因此指数函数y =a x 在[0,1]上的最大值与最小值分别是a ，1， 由题意可知a +1=3⇒a =2，所以函数y =4x −1在[0,1]上的最大值为4×1−1=3；当1>a >0时，指数函数y =a x 是减函数，因此指数函数y =a x 在[0,1]上的最大值与最小值分别是1，a ， 由题意可知1+a =3⇒a =2，又0<a <1，∴a =2舍去.故选B.8.【答案】:D【解析】:因为f(x)=(x −1)3+3x−1−3−x+1+2，所以f(x +1)=x 3+3x −3−x +2，所以f(x +1)−2=x 3+3x −3−x .设g(x)=f(x +1)−2=x 3+3x −3−x ，则g(x −1)=f(x)−2，g(−x)=−x 3+3−x −3x =−g(x)，所以函数g(x)是一个奇函数.因为f(a)+f(b)=4，所以f(a)−2+f(b)−2=0，所以g(a −1)+g(b −1)=0，所以a −1+b −1=0，所以a =2−b ，所以a +(b −1)2=b 2−3b +3=(b −32)2+34⩾34.故选D.9.【答案】:a ×(1+b)；a ×(1+b)5【解析】:由题意知,2016年产生的垃圾量为a ×(1+b)吨,从2015年到2020年共经过了5年,故2020年产生的垃圾量为a ×(1+b)5吨.10.【答案】:①④⑤【解析】:任取x >0，均有3x >2x ，①正确；当a >1时，a 3>a 2，当0<a <1时，a 3<a 2，②错误；y =(√3)−x 是减函数，③错误；y =2|x|的最小值为1，④正确；在同一平面直角坐标系中，y =2x 与y =2−x =(12)x 的图象关于y 轴对称，⑤正确． 故正确的是①④⑤.11.【答案】:(1,2]【解析】:根据题意，f(x)={(3a −1)x −32a(x ⩽1)，a x (x >1)是R 上的增函数， 则有{ 3a −1>0，a >1，(3a −1)−3a 2⩽a ，解得1<a ⩽2，即a 的取值范围为(1,2]．12.【答案】:[0,1)【解析】:设函数f (x )=√x +2x ，则函数f (x )是定义在[0,+∞)上的增函数，因为f (1)=3，所以不等式f(x)<3的解集为[0,1).13(1)【答案】∵f(x)=a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点(2,4)， ∴a 2=4，又a >0，且a ≠1，∴a =2.(2)【答案】由(1)得a =2，由a 2x+1<a 3x−1，代入a =2，可得22x+1<23x−1，由指数函数的单调性可知2x +1<3x −1，解得x >2，即x 的取值范围是(2,+∞).14(1)【答案】当a =−1时，f(x)=(13)−x 2−4x+3， 令g(x)=−x 2−4x +3，由于g(x)在(−∞,−2)上单调递增，在[−2,+∞)上单调递减， 而y =(13)t 在R 上单调递减，所以f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在[−2,+∞)上单调递增， 即f(x)的单调递减区间为(−∞，−2)，单调递增区间为[−2，+∞).(2)【答案】令ℎ(x)=ax 2−4x +3，f(x)=(13)ℎ(x)，由于f(x)有最大值3，所以ℎ(x)应有最小值−1，因此a >0，且12a−164a =−1，解得a =1.(3)【答案】由指数函数的性质可知，要使f(x)的值域为(0,+∞)，则ℎ(x)=ax2−4x+3的值域应为R，因此只能是a=0，因为若a≠0，则ℎ(x)为二次函数，值域不可能是R，故a的取值范围是a=0.15.【答案】:B；C【解析】:由f(x)+f(−x)=0知，f(x)为定义域上的奇函数，由x1>x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>0知，f(x)为定义域上的增函数.A中，当x∈(0,1)时，f(x)=1x+x为减函数，A不符合.B中，f(−x)=−x13=−f(x)，∴f(x)为奇函数；根据幂函数性质可知，f(x)在定义域上单调递增，B符合.C中，f(−x)=e−x−1e−x+1=1−e xe x1+e xe x=1−e xe x+1=−f(x)，∴f(x)为奇函数；f(x)=e x+1−2e x+1=1−2e x+1，∵y=e x+1为增函数，∴y=2e x+1为减函数，∴f(x)=1−2e x+1为增函数，C符合.D中，当x<0时，f(x)=x2为减函数，D不符合.故选BC.16.【答案】:D【解析】:由题意知{(m−1)2=1,m2−4m+2>0,则m=0，即f(x)=x2，当x1∈[1,6)时，f(x1)∈[1,36)，又当x2∈[1,6)时，g(x2)∈[2−t,64−t)，∴{2−t⩽1，64−t⩾36，解得1⩽t⩽28，故选D．17(1)【答案】∵f(x)=1−2x2x+1+a是R上的奇函数，∴f(−x)+f(x)=0，即1−2−x2−x+1+a +1−2x2x+1+a=0，∴2x−1a·2x+2+1−2x2x·2+a=0，解得a=2.(2)【答案】由(1)知，f(x)=1−2x2x+1+2，取任意的x1，x2∈R，且x1<x2，则2x1<2x2，2x1+1>0，2x2+1>0，∴f(x1)−f(x2)=1−2x12x1+1+2−1−2x22x2+1+2=12(1−2x12x1+1−1−2x22x2+1)=2x2−2x1(2x1+1)(2x2+1)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是减函数.(3)【答案】∵f(t2−2t)+f(2t2−k)<0，∴f(t2−2t)<−f(2t2−k)，又∵f(x)为奇函数，∴f(t2−2t)<−f(2t2−k)=f(−2t2+k). 由(2)知，f(x)在R上是减函数，∴t2−2t>−2t2+k，即3t2−2t−k>0恒成立，∴Δ=4+12k<0，解得k<−13.故k的取值范围是(−∞,−13).。
第4章 4.2.2 指数函数及其性质的应用-2021学年高一数学同步人教A版2019必修第一册)
指数型函数的实际应用
[例4] (链接教材P118例4)某城市现有人口总数为100万人， 如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系 式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
∴y＝0.8x在R 上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1， 而0.8－0.2＝45－0.2＝1.250.2， 即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1. (3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值． 当0<a<1时，函数y＝ax在R 上是减函数．∵0.5<0.6，
2．下列判断正确的是 A．2.52.5＞2.53 C．π2＜π 2
B．0.82＜0.83 D．0.90.3＞0.90.5
解析：∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3， ∴0.90.3＞0.90.5.
答案：D
()
3．函数y＝121－x的单调递增区间为
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
答案：{x|x≥1或x≤－2}
2．已知函数f(x)＝ 12x－7，x<0， x，x≥0，
若f(a)<1，则实数a的取值
范围是________．
a<0， 解析：由题意，知f(a)<1等价于12a－7<1
或a≥a<01，，
解得－3<a<0或0≤a<1，所以－3<a<1.
答案：(－3,1)
2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题--4.2.2 指数函数的图象和性质
4.2.2指数函数的图象和性质基础过关练题组一指数函数的图象特征1.(2020山西大学附中高一上期中)在同一坐标系中,函数y=ax+a与y=a x的图象大致是()2.(2020北京丰台高一上期中联考)函数y=(12)|x|的图象是()3.(2020湖南衡阳八中高一上期中)设a,b,c,d均大于0,且均不等于1,y=a x,y=b x,y=c x,y=d x在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序为()A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<d<cD.b<a<c<d4.(2020山西长治二中高一上期中)函数f(x)=a x-2+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点( ) A.(2,2) B.(2,1) C.(3,1) D.(3,2)5.已知函数f(x)=ax,g(x)=(1a)x(a>0,且a ≠1), f(-1)=12.(1)求f(x)和g(x)的函数解析式;(2)在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (3)若f(x)<g(x),请直接写出x 的取值范围.题组二 指数函数的单调性及其应用 6.方程4x -3×2x +2=0的解构成的集合为( ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,2}7.(2020山东师大附中高一上第一次学分认定考试)设y1=40.9,y2=80.61,y3=(12)-1.5,则()A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y3>y2>y18.(2020广东湛江一中高一上第一次大考)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是()A.(12,1] B.(0,12]C.[0,1]D.(0,1]9.若不等式2x2+1≤(14)x-2的解集是函数y=2x的定义域,则函数y=2x的值域是()A.[18,2) B.[18,2]C.(-∞,18] D.[2,+∞)10.(2020广东珠海高一上期末)已知函数f(x)满足f(x+1)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是()A.[1,32)B.[-1,30)C.[0,5)D.(-∞,30]11.(2020甘肃兰州一中高一月考)函数y=(12)8-2x-x2的单调递增区间为.12.(2020浙江嘉兴一中高一上期中)已知集合A={x|12≤2x-4< 4},B={x|x2-11x+18<0}.(1)求∁R(A∩B);(2)已知C={x|a<x<a+1},若C⊆B,求实数a的取值集合.题组三指数函数性质的综合应用13.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考)函数f(x)=√x+12x-1的定义域为()A.[-1,0)∪(0,+∞)B.(-1,+∞)C.[-1,+∞)D.(0,+∞)14.已知函数f(x)=3x-(13)x,则f(x)是()A.奇函数,且在R上是增函数B.偶函数,且在R上是增函数C.奇函数,且在R上是减函数D.偶函数,且在R上是减函数15.(2019湖南醴陵一中高一上期中)函数f(x)=13x+1+a是奇函数,则实数a的值是()A.0B.12C.-12D.116.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2a x-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a=.17.(2020浙江杭州高级中学高一上期末)函数y=(14)-|x|+1的单调递增区间为;奇偶性为(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).18.(2020山东泰安一中高一上期中)已知函数f(x)=a+22x-1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.能力提升练题组一指数函数的图象特征1.(2020福建厦外高一上期中,)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象是()2.(2020陕西西安中学高一上期中,)已知实数a,b满足等式2019a=2 020b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2020河北唐山一中高一上期中,)若函数y=(12)|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是.题组二指数函数的单调性及其应用4.(2020湖南长郡中学高一上模块检测,)已知a=√0.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是()A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a5.()函数f(x)=-a2x-1+5a x-8(a>0,且a≠1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围为(易错)A.(0,1)∪[52,+∞) B.[45,1)∪(1,+∞) C.(0,1)∪(1,52] D.(1,52]6.()若函数f(x)=√2x 2+2ax -a -1的定义域为R,则实数a 的取值范围是 .7.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)已知函数f(x)=ba x (其中a,b 为常数,a>0,且a ≠1)的图象经过A(1,6),B(2,18)两点.若不等式(2a )x +(1b )x-m ≥0在x ∈(-∞,1]上恒成立,则实数m 的最大值为 .8.(2020福建福州八县(市)一中高一上期末联考,)已知定义在R 上的偶函数f(x)满足:当x ≥0时, f(x)=2x +a 2x , f(1)=52. (1)求实数a 的值;(2)用定义法证明f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)求函数f(x)在[-1,2]上的值域.题组三 指数函数性质的综合应用 9.(2020安徽安庆高一上期末,)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论:①函数f(x)的值域为(0,+∞);②函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;④函数f(x)的图象与直线y=-a 2(a ∈R)不可能有交点.则其中正确结论的个数为(深度解析)A.1B.2C.3D.410.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)已知a>0,设函数f(x)=2 019x+1+32 019x+1(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N=()A.2025B.2022C.2020D.201911.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知实数a>0,定义域为R的函数f(x)=3xa +a3x是偶函数.(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;(3)是否存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)<f(2t-m)恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.答案全解全析 基础过关练1.B 函数y=ax+a 的图象经过(-1,0)和(0,a)两点,选项D 错误;在图A 中,由指数函数y=a x 的图象得a>1,由y=ax+a 的图象得0<a<1,选项A 错误;在图B 中,由指数函数y=a x 的图象得a>1,由y=ax+a 的图象得a>1,选项B 正确;在图C 中,由指数函数y=a x 的图象得0<a<1,由y=ax+a 的图象得a>1,选项C 错误.故选B.2.D y=(12)|x|={(12)x,x ≥0,2x ,x <0.因此,当x ≥0时,y=(12)|x|的图象与y=(12)x的图象相同;当x<0时,y=(12)|x|的图象与y=2x 的图象相同,故选D. 3.C 作出直线x=1,如图所示.直线x=1与四个函数图象的交点从下到上依次为(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),因此a,b,c,d 的大小顺序是b<a<d<c,故选C. 4.A ∵a 0=1,∴令x-2=0,得y=a 0+1=2, ∴x=2时,y=2,因此函数f(x)的图象恒过定点(2,2),故选A. 5.解析 (1)因为f(-1)=a -1=1a =12,所以a=2,所以f(x)=2x,g(x)=(12)x.(2)在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象如图所示:(3)由图象知,当f(x)<g(x)时,x 的取值范围是{x|x<0}.6.C 令2x =t,则4x =(2x )2=t 2,原方程可化为t 2-3t+2=0,解得t=1或t=2. 当t=1时,2x =1=20,解得x=0, 当t=2时,2x =2=21,解得x=1.因此原方程的解构成的集合为{0,1}. 故选C.7.B 由题意知,y 1=40.9=22×0.9=21.8,y 2=80.61=23×0.61=21.83,y 3=(12)-1.5=21.5,∵y=2x 在R 上是增函数,∴y 2>y 1>y 3.故选B.8.D 由f(x)=-x 2+2ax=-(x-a)2+a 2在区间[1,2]上是减函数得a ≤1;由g(x)=(a+1)1-x=(1a+1)x -1在区间[1,2]上是减函数得0<1a+1<1,因此a+1>1,解得a>0.因此a 的取值范围是(0,1],故选D. 9.B 由2x 2+1≤(14)x -2得2x 2+1≤2-2x+4,即x 2+1≤-2x+4,解得-3≤x ≤1,∴函数y=2x 的定义域为[-3,1].由于函数y=2x 在R 上单调递增,故当x=-3时取得最小值18,当x=1时取得最大值2,所以函数的值域为[18,2].故选B.10.C ∵f(x+1)的定义域是[0,31),即0≤x<31,∴1≤x+1<32,∴f(x)的定义域是[1,32),∴f(2x )有意义必须满足20=1≤2x <32=25,∴0≤x<5. 11.答案 [-1,+∞)解析 设t=8-2x-x 2,则y=(12)t,易知y=(12)t在R 上单调递减,又知t=8-2x-x 2在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减, 所以由y=(12)t与t=8-2x-x 2复合而成的函数y=(12)8-2x -x 2的单调递增区间为[-1,+∞).12.解析 由12≤2x-4<4得2-1≤2x-4<22,∴-1≤x-4<2,即3≤x<6,∴A=[3,6).由x 2-11x+18<0得2<x<9,∴B=(2,9).(1)∵A=[3,6),B=(2,9), ∴A ∩B=[3,6),∴∁R (A ∩B)=(-∞,3)∪[6,+∞).(2)由C ⊆B 得{a ≥2,a +1≤9,解得2≤a ≤8,故实数a 的取值集合为{a|2≤a ≤8}.13.A 依题意得{x +1≥0,2x -1≠0,即{x ≥-1,x ≠0.故函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞),故选A.14.A 由题知x ∈R,且f(-x)=3-x-(13)-x=(13)x-3x =-f(x),所以f(x)是奇函数;又y=3x是增函数,且y=(13)x是减函数,所以f(x)=3x-(13)x是R 上的增函数,故选A. 15.C 函数f(x)=13x +1+a 的定义域为R,且f(x)是奇函数,因此f(0)=0,即130+1+a=0,解得a=-12.此时f(x)=13x +1-12=1-3x2(3x +1)符合题意,故选C.16.答案 √7或17解析 若a>1,则函数y=a x 在区间[-1,2]上是单调递增的,当x=2时, f(x)取得最大值,则f(2)=2a 2-4=10,即a 2=7,又a>1,所以a=√7. 若0<a<1,则函数y=a x 在区间[-1,2]上是单调递减的, 当x=-1时, f(x)取得最大值,则f(-1)=2a -1-4=10,所以a=17.综上所述,a 的值为√7或17.17.答案 [0,+∞);偶函数 解析 设u=-|x|+1,则y=(14)u.易知u=-|x|+1的单调递减区间为[0,+∞),y=(14)u是减函数,∴y=(14)-|x|+1的单调递增区间为[0,+∞).∵f(-x)=(14)-|-x|+1=(14)-|x|+1=f(x),∴f(x)是偶函数.18.解析 (1)由2x -1≠0,可得x ≠0, ∴函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}. (2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). 又∵f(-x)=a+22-x -1=a+2×2x 1-2x=a-2(2x -1)+22x -1=(a-2)-22x -1,-f(x)=-a-22x -1,∴a-2=-a,解得a=1. 因此f(x)=1+22x -1.∴当x>0时,2x -1>0,f(x)>1; 当x<0时,-1<2x -1<0,f(x)<-1. ∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).能力提升练1.A 由函数f(x)的图象知,b<-1<0<a<1. ∴g(x)=a x +b 的图象是单调递减的.又g(0)=a 0+b=1+b<0,∴图象与y 轴交于负半轴,故选A.2.B 在同一平面直角坐标系中作出y=2 019x 与y=2 020x 的图象如图所示.设2 020b =2 019a =t, 当t>1时,0<b<a,①正确; 当t=1时,a=b=0,⑤正确;当0<t<1时,a<b<0,②正确,③④不成立. 故选B.3.答案 [-1,0) 解析 作出函数g(x)=(12)|1-x|={(12)x -1,x ≥1,2x -1,x <1的图象如图所示.由图象可知0<g(x)≤1,则m<g(x)+m ≤1+m,即m<f(x)≤1+m, 要使函数y=(12)|1-x|+m 的图象与x 轴有公共点,则{1+m ≥0,m <0,解得-1≤m<0. 故答案为[-1,0). 4.A a=√0.3=0.30.5.∵f(x)=0.3x 在R 上单调递减, ∴0.30.5<0.30.2<0.30⇒a<c<1. 又b=20.3>20=1,∴a<c<b,故选A.5.A 设y=f(x)=-1a ·a 2x +5a x -8,令a x =u(u>0),则y=-1a u 2+5u-8=-1a (u -5a2)2+25a4-8(u>0).∴y=-1au 2+5u-8在(0,5a2]上单调递增,在[5a2,+∞)上单调递减.①当0<a<1时,u=a x 是减函数, ∵x ≥2,∴0<u ≤a 2<5a2,此时y=-1au 2+5u-8是增函数,从而f(x)是减函数,符合题意. ②当a>1时,u=a x 是增函数, ∵x ≥2,∴u ≥a 2,由f(x)在[2,+∞)上单调递减,得a 2≥5a2,又a>0,∴a ≥52,即当a ≥52时,f(x)是减函数.综上所述,实数a 的取值范围是(0,1)∪[52,+∞),故选A.易错警示 解决与指数函数有关的复合函数的单调性问题时,一要注意底数的取值对单调性的影响,必要时进行分类讨论;二要注意中间变量的取值范围. 6.答案 [-1,0] 解析 依题意得2x2+2ax -a-1≥0恒成立,即x 2+2ax-a ≥0恒成立.∴Δ=4a 2+4a ≤0,解得-1≤a ≤0, 故实数a 的取值范围是[-1,0]. 7.答案 76解析 由已知可得{ba =6,ba 2=18,解得{a =3,b =2,则不等式(23)x+(12)x-m ≥0在x ∈(-∞,1]上恒成立,设g(x)=(23)x+(12)x-m,显然函数g(x)=(23)x+(12)x-m 在(-∞,1]上单调递减,∴g(x)≥g(1)=23+12-m=76-m,故76-m ≥0,即m ≤76,∴实数m 的最大值为76.8.解析 (1)由题意得f(1)=2+a 2=52,∴a=1.(2)证明:由(1)知a=1,∴f(x)=2x +12x ,任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(2x 1+12x 1)-(2x 2+12x 2)=(2x 1-2x 2)+2x 2-2x 12x 1·2x 2=(2x 1-2x 2)·(2x 1+x 2-1)2x 1+x 2.∵0<x 1<x 2,∴1<2x 1<2x 2,2x 1+x 2>1, ∴f(x 1)-f(x 2)<0,∴f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)易得f(0)=2, f(2)=174, f(-1)=52, f(x)在[-1,0]上为减函数,在[0,2]上为增函数,∴f(x)的值域为[2,174].9.B 函数f(x)的值域为[1,+∞),①错误;函数f(x)在区间[0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,②错误;函数f(x)的图象关于直线x=1对称,③正确;因为y=-a 2≤0,所以函数f(x)的图象与直线y=-a 2(a ∈R)不可能有交点,④正确.正确结论的个数为2,故选B.解题模板 研究指数型复合函数的性质,借助图象是常见的手段,画出简图很多问题可迎刃而解. 10.B f(x)=2 019x+1+2 019-2 0162 019x +1=2 019-2 0161+2 019x,∴f(-x)=2 019-2 0161+2 019-x=2 019-2 016×2 019x 2 019x +1.因此f(x)+f(-x) =4 038-2 016(11+2 019x+2 019x2 019x +1)=4 038-2 016=2 022. 又f(x)在[-a,a]上是增函数,∴M+N=f(a)+f(-a)=2 022,故选B.11.解析 (1)定义域为R 的函数f(x)=3xa+a3x 是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,即3-xa+a3-x =3xa+a 3x ,故(1a-a)(3x -3-x )=0恒成立.因为3x -3-x 不可能恒为0,所以当1a-a=0时,f(-x)=f(x)恒成立,而a>0,所以a=1.(2)函数f(x)=3x +13x 在(0,+∞)上单调递增,证明如下:设任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=(3x 1+13x 1)-(3x 2+13x 2)=(3x 1-3x 2)+(13x 1-13x 2)=(3x 1-3x 2)+3x 2-3x 13x 1·3x 2=(3x 1-3x 2)(3x 1·3x 2-1)3x 1·3x 2.因为0<x 1<x 2,所以3x 1<3x 2,3x 1>1,3x 2>1, 所以(3x 1-3x 2)(3x 1·3x 2-1)3x 1·3x 2<0,即f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2), 故函数f(x)=3x +13x 在(0,+∞)上单调递增.(3)不存在.理由如下:由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)是偶函数,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.若存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)<f(2t-m)恒成立,则|t-2|<|2t-m|恒成立,即(t-2)2<(2t-m)2,即3t2-(4m-4)t+m2-4>0对任意的t∈R恒成立,则Δ=[-(4m-4)]2-12(m2-4)<0,得到(m-4)2<0,故m∈⌀,所以不存在.。
新教材高中数学指数函数的图象和性质第2课时指数函数的图象和性质的综合应用课时作业新人教A版必修第一册
第2课时 指数函数的图象和性质的综合应用必备知识基础练1．函数f (x )＝(a －1)x是R 上的单调减函数,则a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．1<a <2 C ．0<a <1 D ．a >12．已知指数函数f (x )＝(2a 2－5a ＋3)a x在(0,＋∞)上单调递增,则实数a 的值为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2 3．下列不等式中成立的是( ) A ．1.12.1<1.11.9B ．0.82.1<0.81.9C ．0.82.1>1.11.9D ．1.12.1<0.82.14．[2022·广东汕尾高一期末]若a ＝(12)13,b ＝(14)13,c ＝(12)14,则( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．b >c >aD ．a >b >c5．[2022·江苏宿迁高一期末]函数f (x )＝x 22x＋2－x的图象大致是( )6．(多选)已知函数f (x )＝e x－e －x,则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )是奇函数 B ．函数f (x )是偶函数 C ．函数f (x )在R 上是减函数 D ．函数f (x )在R 上是增函数7．函数f (x )＝2|x |的递增区间是________． 8．已知a ＝5＋12,函数f (x )＝a x,若实数m 、n 满足f (m )>f (n ),则m 、n 的大小关系为________．关键能力综合练1．已知函数y ＝(a －2)x,且当x <0时,y >1,则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3 B ．2<a <3 C ．a >4 D ．3<a <42．若(13)2a ＋1>(13)4－a,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,1)B ．(1,＋∞)C ．(3,＋∞)D ．(－∞,3)3．已知实数x ,y 满足(12)x <(12)y,则下列关系式中恒成立的是( )A.x 2>y 2B ．πx >πyC ．1x <1yD ．x >y4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x ≥1a x ，x <1是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( )A ．a >1B ．1<a <32C ．1<a <2D ．1<a ≤325．设14<(14)b <(14)a<1,那么( )A ．a a<a b<b aB ．a a<b a<a bC ．a b<a a<b aD ．a b<b a<a a6．[2022·重庆九龙坡高一期末](多选)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1,则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的定义域为R B.函数f (x )的值域为(－1,1)C ．函数f (x )的图象关于y 轴对称D ．函数f (x )在R 上为增函数7．若f (x )＝a 2x －1＋12是奇函数．则实数a 的值是________.8．函数f (x )＝(12)x2－2x －3的单调减区间是________．9．[2022·湖南邵阳高一期末]已知函数f (x )＝a 3－x,(a 为常数,a >0且a ≠1),若f (2)＝3.(1)求a 的值； (2)解不等式f (x )>9.10．[2022·广东广州高一期末]已知f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 和f (1)的值；(2)根据单调性的定义证明：f (x )在定义域上为增函数．核心素养升级练1．(多选)设函数f (x )＝2x,对于任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),下列命题中正确的是( ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2) B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0D ．f (x 1＋x 22)<f （x 1）＋f （x 2）22．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )＝________． ①定义域为R ； ②值域为(－∞,1)；③对任意x 1,x 2∈(0,＋∞)且x 1≠x 2,均有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.3．[2022·湖北十堰高一期末]已知函数f (x )＝2a ＋2x ＋11＋2x .(1)当a ＝6时,求方程f (x )＝2x的解；(2)若对任意x ∈(0,＋∞),不等式f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．第2课时 指数函数的图象和性质的综合应用必备知识基础练1．答案：B解析：函数f (x )＝(a －1)x是R 上的单调减函数, 所以0<a －1<1,解得1<a <2. 2．答案：D解析：由题得2a 2－5a ＋3＝1,∴2a 2－5a ＋2＝0,∴a ＝2或a ＝12.当a ＝2时,f (x )＝2x在(0,＋∞)上单调递增,符合题意； 当a ＝12时,f (x )＝(12)x在(0,＋∞)上单调递减,不符合题意．所以a ＝2. 3．答案：B解析：A.因为y ＝1.1x 在R 上是增函数,所以1.12.1>1.11.9,故错误； B ．因为y ＝0.8x 在R 上是减函数,所以0.82.1<0.81.9,故正确； C ．因为0.82.1<1,1.11.9>1,所以0.82.1<1.11.9,故错误； D ．因为1.12.1>1,0.82.1<1,所以1.12.1>0.82.1,故错误． 4．答案：A解析：b ＝(14)13＝(12)23,因为y ＝(12)x 在R 上为减函数,且14<13<23,所以(12)14>(12)13>(12)23,所以c >a >b .5．答案：C 解析：x ∈R ,f (－x )＝x 22－x＋2x＝f (x ),所以f (x )为偶函数,图象关于y 轴对称,排除选项AB ； 当x >0时,f (x )＝x 22－x ＋2x >0,故D 错误．6．答案：AD解析：f (－x )＝e －x－e x ＝－f (x ),函数f (x )＝e x －e －x的定义域为R , 函数f (x )是奇函数,A 正确,B 错误；y ＝e x 为R 上的增函数,y ＝e －x 为R 上的减函数,则函数f (x )＝e x－e －x为R 上的增函数,C 错误,D 正确． 7．答案：(0,＋∞)解析：因为f (x )＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0（12）x ，x ≤0,故函数f (x )的单调递增区间为(0,＋∞).8．答案：m >n 解析：∵a ＝5＋12>1,所以,函数f (x )＝a x为R 上的增函数, ∵f (m )>f (n ),∴m >n .关键能力综合练1．答案：B解析：∵当x <0时,y >1,∴0<a －2<1,解得2<a <3. 2．答案：A解析：因为函数y ＝(13)x在R 上为减函数,∴(13)2a ＋1>(13)4－a,等价于2a ＋1<4－a ,解得a <1, 所以实数a 的取值范围是(－∞,1). 3．答案：B解析：由(12)x <(12)y 以及指数函数y ＝(12)x为减函数,可得x >y ,对于A,当x ＝1>y ＝－1时,x 2>y 2不成立,故A 不正确；对于B,根据指数函数y ＝πx为R 上的增函数可知,πx>πy恒成立,故B 正确； 对于C,当x >0,y <0时,1x <1y不成立,故C 不正确；对于D,当x 或y 为负数时,x 或y 无意义,所以D 不正确． 4．答案：D解析：根据题意可列不等式如下,⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1（2－a ）＋1≥a 解得 1<a ≤32,选项D 正确． 5．答案：C解析：∵14<(14)b <(14)a<1,∴0<a <b <1,因为y ＝a x单调递减,所以a a>a b, 因为y ＝x a在(0,1)单调递增,所以a a<b a, ∴a b<a a<b a . 6．答案：ABD解析：A ：因为2x>0,所以函数f (x )的定义域为R ,因此本选项结论正确；B ：f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1,由2x >0⇒2x＋1>1⇒0<12x ＋1<1⇒－2<－22x ＋1<0⇒－1<1－22x＋1<1,所以函数f (x )的值域为(－1,1),因此本选项结论正确； C ：因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－f (x ),所以函数f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,不关于y 轴对称,因此本选项说法不正确；D ：因为函数y ＝2x ＋1是增函数,因为y ＝2x＋1>1,所以函数y ＝22x ＋1是减函数,因此函数f (x )＝1－22x ＋1是增函数,所以本选项结论正确．7．答案：1解析：由题意f (－x )＋f (x )＝0即a2－x－1＋12＋a 2x －1＋12＝0,－a ＋1＝0,a ＝1. 8．答案：(1,＋∞)解析：由题知函数f (x )的定义域为R ,∵y ＝(12)x 单调递减,故只需求出y ＝x 2－2x －3的单调递增区间即可,∵y ＝x 2－2x －3开口向上,对称轴为x ＝1,故在(1,＋∞)单调递增,∴f (x )＝(12)x 2－2x －3的单调递减区间是(1,＋∞).9．解析：(1)∵函数f (x )＝a 3－x,f (2)＝3,∴f (2)＝a3－2＝a ＝3,∴a ＝3.(2)由(1)知f (x )＝33－x,由f (x )>9,得33－x>32,∴3－x >2,即x <1,∴f (x )>9的解集为(－∞,1).10．解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)＝0,a ＝1, f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1, f (1)＝13.(2)设任意x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝－22x 1＋1＋22x 2＋1＝2（2x 1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 2＋1）, ∵x 1<x 2,∴2x 1<2x 2,2x 1－2x 2<0, 所以f (x 1)－f (x 2)<0,f (x 1)<f (x 2), 故f (x )在定义域上为增函数．核心素养升级练1．答案：AD 解析：2x 1·2x 2＝2x 1＋x 2,所以A 项成立；2x 1＋2x 2≠2x 1x 2,所以B 项不成立；函数f (x )＝2x在R 上是单调递增函数,若x 1>x 2,则f (x 1)>f (x 2),则f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0,若x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2),则f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0,故C 项不正确；函数f (x )＝2x任意两点之间的连线在其图象的上方,所以f (x )＝2x的图象满足f (x 1＋x 22)<f （x 1）＋f （x 2）2,故D 项正确．2．答案：f (x )＝1－12x (答案不唯一)解析：f (x )＝1－12x ,定义域为R ；12x >0,f (x )＝1－12x <1,值域为(－∞,1)；是增函数,满足对任意x 1,x 2∈(0,＋∞)且x 1≠x 2,均有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.3．解析：(1)当a ＝6时,由f (x )＝2x,可得12＋2x ＋11＋2x ＝2x,则(2x )2－2x －12＝0,所以2x ＝4或2x＝－3(舍去),解得x ＝2. 故方程f (x )＝2x的解为2.(2)由题意知2a ＋2x ＋11＋2x ≥a 在(0,＋∞)上恒成立,即2×2x ≥a (2x－1)在(0,＋∞)上恒成立．又因为x ∈(0,＋∞),所以2x－1>0,则a ≤2×2x2x －1＝2＋22x －1.因为22x －1>0,所以2＋22x －1>2,所以a ≤2,即a 的取值范围是(－∞,2].。
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高中数学-指数函数及其性质的应用练习
1．当x ＞0时，指数函数f (x )＝(a －1)x ＜1恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ＞2
B ．1＜a ＜2
C ．a ＞1
D ．a ∈R 解析：∵x ＞0时，(a －1)x ＜1恒成立，∴0＜a －1＜1，∴1＜a ＜2.
答案：B
2．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围为( )
A ．a ＜2
B ．a ＞2
C ．－1＜a ＜0
D ．0＜a ＜1 解析：由f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数可得0＜a ＋1＜1，∴－1＜a ＜0.
答案：C
3．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )
A ．f (x )与g (x )均为偶函数
B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数
C ．f (x )与g (x )均为奇函数
D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数
解析：∵f (x )＝3x ＋3－x ，
∴f (－x )＝3－x ＋3x .
∴f (x )＝f (－x )，
即f (x )是偶函数．
又∵g (x )＝3x －3－x ，
∴g (－x )＝3－x －3x .
∴g (x )＝－g (－x )，
即函数g (x )是奇函数．
答案：B
4．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是________________． 解析：∵y ＝0.8x 是减函数，
∴0<b <a <1.
又∵c ＝1.20.8>1，∴c >a >b .
答案：c >a >b
5．设23－2x ＜0.5
3x －4，则x 的取值范围是________． 解析：∵0.53x －4＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123x －4＝24－3x ，∴由23－2x ＜24－3x ，得3－2x ＜4－3x ，∴x ＜1. 答案：(－∞，1)
6．已知22x ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x －2，求函数y ＝2x 的值域． 解：由22x ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x －2得22x ≤24－2x ， ∴2x ≤4－2x .
解得x ≤1，∴0＜2x ≤21
＝2.
∴函数的值域是(0,2]．。