指数函数的性质及应用
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对应学生用书P 110
基础达标
一、选择题
1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1
2，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(－∞，1
2
)
D ．(－12，1
2
)
解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.
答案：B
2．(2010·温州十校联考)函数y ＝2x
＋1
的图象是( )
解析：函数y ＝2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x
＋1
的图象单调递增且过点(0,2)，故选A.
答案：A
3．函数y ＝(12)1－
x 的单调递增区间为( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(0,1)
解析：定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝(1
2
)u .
∵u ＝1－x 在R 上为减函数， 且y ＝(1
2)u 在(－∞，＋∞)为减函数，
∴y ＝(12)1－
x 在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A.
答案：A
4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－
1.5，则( )
A ．y 3>y 1>y 2
B ．y 2>y 1>y 3
C ．y 1>y 2>y 3
D ．y 1>y 3>y 2
解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－
1.5＝21.5.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，
且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2.
答案：D
5．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( )
解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)， ∴f (x )在(0,2)内单调递减， ∴0 6．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n ＝P 0(1＋k )n (k 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内的年增长率，如果－1 A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势 C ．先上升后下降 D ．先下降后上升 解析：P n ＝P 0(1＋k )n 是指数型函数，∵－1 答案：B 二、填空题 7．若a >1，－1 解析：结合图象可知一定不在第四象限． 答案：四 8．已知x >0，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______________． 解析：因为x >0时，y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8>1，即a 2>9，解得a >3或a <－3. 答案：a >3或a <－3 9．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(1 3)b ，则下列五个关系式： ①0 其中不可能成立的关系式为______________． 解析： 在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝(12)x 和y ＝(1 3)x 的草图，如右图所示，由图可得① ②⑤可能成立，不可能成立的关系式为③④. 答案：③④ 三、解答题 10．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a <(1a )1－ 2x (a >0且a ≠1)． 解：原不等式可化为a 2x － 1>a 12，对于函数y ＝a x (a >0且a ≠1)， 当底数a 大于1时在R 上是增函数； 当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数． 所以当a >1时，由2x －1>12，解得x >3 4； 当0 4 . 综上可知，当a >1时，x >34；当0 4 . 11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值． 解：(1)若a >1，则f (x )是增函数， ∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)． ∴f (2)－f (1)＝a 2，即a 2－a ＝a 2.解得a ＝3 2.