新人教A版必修1高中数学第2章基本初等函数Ⅰ2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数及其性质的应用

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当 x∈[1,+∞)时,函数 u=-x2+2x 为减函数,函数 y=2u 是增 函数,所以函数 y=2-x2+2x 在[1,+∞)上是减函数.
[解] 先根据幂的特征,将这 4 个数分类:
(2)中,
(也可在同一平面
Baidu Nhomakorabea
直角坐标系中,分别作出 y=43x,y=2x 的图象, 12
再分别取 x=3,x=3,比较对应函数值的大小,
如图),
利用指数函数的单调性解不等式
【例 2】 (1)解不等式123x-1≤2; (2)已知 ax2-3x+1<ax+6(a>0,a≠1),求 x 的取值范围.
指数型函数单调性的综合应用
[探究问题] 1.试结合图象,分析 y=2-x,y=2|x|,y=12x+1的单调性,并 写出相应单调区间.
提示:
减区间为(-∞,+∞) 增区间为(0,+∞) 减区间为(-∞,+∞) 减区间为(-∞,0)
2.结合探究 1,分析函数 y=2|x|与函数 y=|x|的单调性是否一致? 提示:y=2|x|的单调性与 y=|x|的单调性一致. 3.函数 y=a-x2(a>0,且 a≠1)的单调性与 y=-x2 的单调性存 在怎样的关系? 提示:分两类:(1)当 a>1 时,函数 y=a-x2 的单调性与 y=- x2 的单调性一致; (2)当 0<a<1 时,函数 y=a-x2 的单调性与 y=-x2 的单调性相反.
【例 3】 判断 f(x)=13x2-2x的单调性,并求其值域. 思路点拨: 令u=x2-2x ―→ 函数u(x)的单调性 ―→ 函数y=31u的单调性 同―增―异→减 函数f(x)的单调性
[解] 令 u=x2-2x,则原函数变为 y=13u. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, 又∵y=13u在(-∞,+∞)上递减, ∴y=13x2-2x在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1, ∴y=13u,u∈[-1,+∞), ∴0<13u≤13-1=3, ∴原函数的值域为(0,3].
把本例的函数改为“f(x)=2-x2+2x”,求其单调区间. [解] 函数 y=2-x2+2x 的定义域是 R. 令 u=-x2+2x,则 y=2u. 当 x∈(-∞,1]时,函数 u=-x2+2x 为增函数,函数 y=2u 是增 函数, 所以函数 y=2-x2+2x 在(-∞,1]上是增函数.
图象是研究函数的重要工具,并能运用指数
函数研究一些实际问题.(难点)
合作探究 提素养
利用指数函数的单调性比较大小
【例 1】 比较下列各组数的大小: (1)1.52.5 和 1.53.2; (2)0.6-1.2 和 0.6-1.5; (3)1.70.2 和 0.92.1; (4)a1.1 与 a0.3(a>0 且 a≠1).
(3)由指数函数性质得,1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1, 所以 1.70.2>0.92.1. (4)当 a>1 时,y=ax 在 R 上是增函数,故 a1.1>a0.3; 当 0<a<1 时,y=ax 在 R 上是减函数,故 a1.1<a0.3.
比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较. (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数 图象,当 x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小. (3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相 同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较. (4)当底数含参数时,要按底数 a>1 和 0<a<1 两种情况分类讨论.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数 2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 指数函数及其性质的应用
学习目标 1.掌握指数函数的性质并会应用,能利用
核心素养
指数函数的单调性比较幂的大小及解不等 借助指数函数的性质及
式.(重点) 应用,培养逻辑推理和
2.通过本节内容的学习,进一步体会函数 数学运算素养.
[解] (1)∵2=12-1,∴原不等式可以转化为123x-1≤12-1. ∵y=12x在 R 上是减函数, ∴3x-1≥-1,∴x≥0, 故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)分情况讨论: ①当 0<a<1 时,函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在 R 上是减函数, ∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0, 根据相应二次函数的图象可得 x<-1 或 x>5; ②当 a>1 时,函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在 R 上是增函数, ∴x2-3x+1<x+6,∴x2-4x-5<0, 根据相应二次函数的图象可得-1<x<5. 综上所述,当 0<a<1 时,x<-1 或 x>5;当 a>1 时,-1<x<5.
1.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成 底数相同的指数式.
2.解不等式 af(x)>ag(x)(a>0,a≠1)的依据是指数型函数的单调性, 要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论, 即 af(x)>ag(x)⇔ff( (xx) )><gg( (xx) ), ,a0><a1, <1.
[解] (1)1.52.5,1.53.2 可看作函数 y=1.5x 的两个函数值,由于底 数 1.5>1,所以函数 y=1.5x 在 R 上是增函数,因为 2.5<3.2,所以 1.52.5<1.53.2.
(2)0.6-1.2,0.6-1.5 可看作函数 y=0.6x 的两个函数值, 因为函数 y=0.6x 在 R 上是减函数, 且-1.2>-1.5,所以 0.6-1.2<0.6-1.5.
2.若 ax+1>1a5-3x(a>0 且 a≠1),求 x 的取值范围. [解] 因为 ax+1>1a5-3x,所以 ax+1>a3x-5, 当 a>1 时,y=ax 为增函数,可得 x+1>3x-5,所以 x<3; 当 0<a<1 时,y=ax 为减函数,可得 x+1<3x-5,所以 x>3. 综上,当 a>1 时,x 的取值范围为(-∞,3);当 0<a<1 时,x 的 取值范围为(3,+∞).
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