北师大版必修一指数函数和对数函数小结
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a =log 2π，b =log 6π，则（ ） A ．a −b <0<ab B ．ab <0<a −b C ．0<ab <a −b D ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b−1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 61<b =log 6π<log 66=1，所以a >1,0<b <1，所以a −b >0，ab >0，故排除A 、B 选项； 又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.4、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0.5、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.6、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知a=ln1，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b答案：C解析：分别将a,b,c与0,1比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.<ln1=0，b=30.3>30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a 因为a=ln13故选：C8、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.11、已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16C．a12+a−12=±√5D．a32+a−32=2√5答案：AD分析：由a+1a =3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=√5，因此C不正确；∵a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=3√5−√5=2√5，因此D正确．故选：AD．填空题12、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______. 答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.13、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f(x)的大致图象，如图所示．由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17−1)=4，因为f(x)在(−∞,a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1,17]．所以答案是：[1,17]14、函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点_________ 答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题15、已知函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，求整数k的值；（3）设m>0，若对于任意x∈[1m,m]，都有g(x)<−ln(m−1)，求m的取值范围.答案：（1）f(x)=lnx；（2）k的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a的值，即可求解；（2）由（1）可得y=ln(2x2−kx)，得到2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，根据题意转化为函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g(x)的最大值g(m)，得出g(x)max<−ln(m−1)，得到m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a=0，所以函数f(x)的解析式为f(x)=lnx.（2）由（1）可知y=lnx+ln(2x−k)=ln(2x2−kx)，x∈(1,2)，令ln(2x2−kx)=0，得2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材 北
高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1的全部内容。
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、知识框图二、目标认知学习目标1。
指数函数(1)通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景；（2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
2。
对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3。
反函数知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).4.幂函数（1)了解幂函数的概念;(2）结合函数的图象，了解它们的变化情况。
重点指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.难点指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。
指数与对数函数知识点小结
数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞） ． 注意：○ 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别。如： y 2 log2 x ， y log 5 x 都不是对数函数，
5
而只能称其为对数型函数． 2 对数函数对底数的限制： (a 0 ，且 a 1) ． ○ 2、对数函数的性质： a>1 0<a<1
6 6 5 5 4 4
3
3
2
2
1
1
1
1
-4
-2
0
-1
2
4
6
-4
-2
0
-1
2
4
6
定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递 增 非奇非偶函数 函数图象都过 定点（0，1）
定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递 减 非奇非偶函数 函数图象都过 定点（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上， f (x) a x (a 0且a 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a)] ；
1 1 22．已知 2x≤(4)x－3，求函数 y＝(2)x 的值域．
23．已知函数 f(x)＝2x＋2－x. (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明． 1 24．设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(2)－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 1 1 25．若(2)2a＋1<(2)3－2a，则实数 a 的取值范围是( ) 1 1 A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，2)
北师大版高一数学必修1第三章《对数函数》
第三章 《对数函数》第1节 对数知识点1：对数的概念： 1、对数的概念一般地，如果a ()1,0≠>a a 的b 次幂等于N ，即N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式b N a =log 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R 。
2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =． 3．两种特殊的对数（1）通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．（2）以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系（1）由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． （2）对数恒等式：N aNa =log ；N a N a =log 。
()1,0≠>a a知识点2：对数的运算性质：已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的． 要点3、对数的换底公式及其推论1．换底公式：同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 2、推论：bN N a log 1log =．N mnN b nb m log log =（N ，b 大于零且不等于1） 例1：求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -； （2）(1)log (2)x x -+； （3）2(1)log (1)x x +-．例2：求下列各式中x 的值。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结单选题1、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100.故选：A2、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．−4<m <−2B ．−3<m <0C ．−4<m <0D ．−3<m <−1答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 解：若f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减，则满足m <0且m +3>0，即m <0且m >−3，则−3<m <0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m <−1，故选：D ．3、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1， 则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点， 因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.4、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值.因为y =a x 的图象经过点(3,18)， 所以a 3=18，解得a =12， 故选：B.5、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1．故选：D6、已知函数f(x)=9+x 2x ，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4） 答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A7、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ）A ．−1B ．−5C ．11D ．13答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值.令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x)=log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.8、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34)答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图，则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34．故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．多选题9、已知函数f(x)={|lnx|,x>0−x2+1,x≤0，若存在a<b<c，使得f(a)=f(b)=f(c)成立，则（）A．bc=1B．b+c=1C．a+b+c>1D．abc<−1答案：AC分析：采用数形结合可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，然后简单计算可知b+c>1，bc=1，a+b+ c>1，故可知结果.如图：可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，则b+c>c>1，且−lnb=lnc，所以lnb+lnc=lnbc=0，即bc=1.因为bc=1，所以abc=a∈(−1,0]，a+b+c=a+1c+c>a+2>1.故选:AC.10、(多选)某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t ＝{64,x ≤0,2kx+6,x >0,且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B ．当x ∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少C ．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D ．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间答案：AD分析：由题设可得k =−12即可写出解析式，再结合各选项的描述及函数图象判断正误即可. 由题设，可得24k+6=16，解得k =−12， ∴t ={64,x ≤026−x 2,x >0， ∴x =6，则t =23=8，A 正确；x ∈[−6,0]时，保鲜时间恒为64小时，x ∈(0,6]时，保鲜时间t 随x 增大而减小，B 错误；此日11时，温度超过11度，其保鲜时间不超过2小时，故到13时甲所购食品不在保鲜时间内，C 错误； 由上分析知：此日14时，甲所购食品已过保鲜时间，D 正确.故选：AD.11、已知函数f (x )={−2−x +a,x <0,2x −a,x >0.(a ∈R )，下列结论正确的是（ ） A ．f (x )是奇函数B ．若f (x )在定义域上是增函数，则a ≤1C ．若f (x )的值域为R ，则a ≥1D．当a≤1时，若f(x)+f(3x+4)>0，则x∈(−1,+∞)答案：AB分析：对于A利用函数奇偶性定义证明；对于B，由增函数定义知−2−0+a≤20−a即可求解；对于C，利用指数函数的单调性，求出分段函数每段函数上的值域，结合f(x)的值域为R，即可求解；对于D，将f(x)+ f(3x+4)>0等价于f(x)>f(−3x−4)，利用函数定义域及单调性即可求解；对于A，当x<0时，−x>0，f(x)=−2−x+a，f(−x)=2−x−a=−(−2−x+a)=−f(x)；当x>0时，−x<0，f(x)=2x−a，f(−x)=−2x+a=−(2x−a)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于B，由f(x)在定义域上是增函数，知−2−0+a≤20−a，解得a≤1，故B正确；对于C，当x<0时，f(x)=−2−x+a在区间(−∞,0)上单调递增，此时值域为(−∞,a−1)，当x>0时，f(x)=2x−a在区间(0,+∞)上单调递增，此时值域为(1−a,+∞)，要使f(x)的值域为R，则a−1>1−a，解得a>1，故C错误；对于D，当a≤1时，由于−2−0+a≤20−a，则f(x)在定义域上是增函数，f(x)+f(3x+4)>0等价于f(x)>f(−3x−4)，即{x≠0−3x−4≠0x>−3x−4，解得x∈(−1,0)∪(0,+∞)，故D错误；故选：AB填空题12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案：(0,2]分析：根据对数函数的单调性解不等式即可.由题设，可得：log4x≤log4412，则0<x≤412=2，∴不等式解集为(0,2].所以答案是：(0,2].13、若log2[log3(log4x)]=0，则x=________．答案：64分析：利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.log 2[log 3(log 4x )]=0⇒log 3(log 4x )=1⇒log 4x =3⇒x =43=64.所以答案是：64小提示：本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14、方程lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)的解为 __________ .答案：x =−2分析：由题意知lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，可求出x 的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.由lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，得x 2−x −2=6−x −x 2，所以x =±2，又因为x 2−x −2>0且6−x −x 2>0，所以x =−2；所以答案是：x =−2.解答题15、已知函数f(x)=(12)x−a −b(a,b ∈R)的图象过点(1,0)与点(0,1).（1）求a ，b 的值；（2）若g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，满足条件的x 的值.答案：（1）a =1，b =1；（2）x =−log 23.分析：(1)由给定条件列出关于a ，b 的方程组，解之即得；(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.（1）由题意可得{(12)1−a −b =0(12)−a −b =1 ⇒{(12)−a −2b =0(12)−a −b =1 ⇒{b =12a =2 ，解得a =1，b =1， （2）由（1）可得f(x)=21−x −1，而g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，于是有21−x −1=4−x −4，设2−x =t ，t >0，从而得t 2−2t −3=0，解得t =3，即2−x =3，解得x =−log 23，所以满足条件的x=−log23.。
北师大版高中数学必修1指数函数与对数函数
指数函数与对数函数一、课题：指数函数与对数函数二、教学目标：1．掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质；2．能利用指数函数与对数函数的性质解题．三、教学重点：运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题．四、教学过程：（一）主要知识：1．指数函数、对数函数的概念、图象和性质；2．同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数；（二）主要方法：1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．（三）例题分析：例1．（1）若21a b a >>>，则log b b a，log b a ，log a b 从小到大依次为 ； （2）若235x y z ==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为 ；（3）设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是 （ ） （A ）1b a << （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1a b <<解：（1）由21a b a >>>得b a a <，故log b b a<log b a 1<<log a b ． （2）令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg3t y =，lg lg5t z =， ∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅，∴23x y >； 同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<．（3）取1x =，知选（B ）．例2．已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 证明：（1）设121x x -<<，则1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<，∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<，且1a >，∴12x x a a <，∴120x x a a -<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+， 即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-+++， ①当010x -<<时，0011x <+<，∴0331x >+，∴03121x ->+，而由1a >知01x a <， ∴①式不成立； 当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而00x a >， ∴①式不成立．综上所述，方程()0f x =没有负数根．例3．已知函数()log (1)x a f x a =-（0a >且1a ≠）．（《高考A 计划》考点15，例4）． 求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0． 证明：（1）由10x a ->得：1x a >，∴当1a >时，0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧；当01a <<时，0x <，即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧．∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <，则直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-，当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a <<，∴12011x x a a <-<-， ∴121011x x a a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >； 当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a >>，∴12110x x a a ->->，∴12111x x a a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．（四）巩固练习：1．已知函数()|lg |f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ()()()f b f a f c <<；（注：1()()f f c c=） 2．若a 为方程20x x +=的解，b 为不等式2log 1x >的解，c 为方程12log x x =的解，则a 、b 、c 从小到大依次为a c b <<；3．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是01m <≤．。
高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅ B A ⊆AB B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇B B ⊇（ ）⑼ 集合的运算律：交换律：结合律:分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的.;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==叫做象， 叫做原象。
高一数学指数函数对数函数北师大版必修1
第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数疑难突破1.正整数指数函数剖析：一般地，函数y =a x (a ＞0,a ≠1,x ∈N +)叫做正整数指数函数.其中x 是自变量，定义域是正整数集N +.表达式中的限制条件“a ＞0且a ≠1”是为了与后续内容的统一.其图象是一系列离散的点.正整数指数函数的学习为指数函数的学习埋下了伏笔，当把幂的指数从正整数扩充到实数后，指数函数概念的得出也就“水到渠成”了.2.在正整数指数函数的定义中，为什么规定a ＞0且a ≠1?剖析：（1）区别于已学的函数，当a =1时，y =1x =1成为常数函数，为突出指数函数是不同于过去学过的任何一种函数的新的函数，也为更便于对正整数指数函数的研究，故规定a ≠1.(2)函数意义的确定性，当a =0，x ≤0时0x没有意义;当a ＜0时，a x 对一部分实数x 的值没有意义，如(-2)21在实数X 围内就没有意义.因此规定a ＞0. 疑难导析当我们学习新知识时，总是希望它与过去的知识是相互联系的.对正整数指数函数的理解，可对比我们学过的“复利和公式”去研究：设有本金a 元，年增长率为p ,则x 年后本利和A 应为A ＝a (1+p )x .此外，还可对比增长问题、质量浓度问题等去认识正整数指数函数.对正整数指数函数底数的规定可从函数的定义去突破.“给定两个非空数集A 和B ,如果按照某个对应关系f ,对于A 中任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把这种对应关系f 叫做定义在A 上的函数.”根据实数函数的定义可知，随着函数定义域的扩展，当a ≤0时是不符合函数定义的. 问题探究问题 正整数指数函数的图象有什么特点？探究：正整数指数函数y =a x 的定义域为｛x ｜x ∈N +｝, 值域为｛y ｜y =a x,x ∈N +｝,其中a ＞0且a ≠1. ①当0＜a ＜1时，如a =21,则列表、描点可得其图象(如图3-1-1)y21 41 81 161 …故y =,21x⎪⎭⎫⎝⎛ x ∈N +的图象为一系列孤立的点，它是单调递减的.图3-1-1 图3-1-2 ②当a ＞1时，如a =2,则列表、描点可得其图象(如图3-1-2). 故y =2x , x ∈N +的图象为一系列孤立的点，它是单调递增的. 由此可归纳出正整数指数函数的特点为：（1）正整数指数函数的定义域为正整数，因此其图象是一系列孤立的点. (2)当底数a ＞1时，其图象是上升的;当底数0＜a ＜1时，其图象是下降的.§2 指数概念的扩充疑难突破1.整数指数幂剖析：为了学习分数指数幂，本小节首先回顾了初中数学学过的整数指数幂的概念，即正整数指数幂、零指数幂和负整数指数幂的意义.特别注意：零的零次幂没有意义;零的负整数次幂也没有意义.事实上，a -p =p a 1(p 为正整数)，因为p a1是分式，分母不能是零，所以限定底数a ≠0.教材验证了同底数幂的乘法性质适用于整数指数幂.同样可以验证性质(4)(5).教材通过例2说明nn nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛可以归入性质(3);同理，性质(4)由正整数指数幂的运算性质可以推广到整数.也可归入性质(1).于是，整数指数幂的运算性质可归纳如上：整数指数幂满足以下三个运算性质： (1)a m ·a n =a m+n (m 、n ∈Z ); (2)(a m )n =a nm （m 、n ∈Z ）; (3)(ab )n =a n ·b n (n ∈Z ).在这里，对于底数应有使等号两边都有意义的限定，即对于零指数幂或负整数指数幂，底数不等于零，指数可以是任意整数.整数指数幂满足以下三个不等性质.(1)若a ＞0,则a n ＞0(n ∈Z ); (2)若a ＞1,则a n ＞1(n ∈N +); (3)若0＜a ＜1,则0＜a n ＜1(n ∈N +).2.分数指数幂剖析：在35=243这个式子中，243是3的5次幂;我们把3叫做243的51次幂，记作3=24351.推广得到a 的n1次幂的概念. 同样，由于43=82,这时4可记作832,即4=832.推广得到a 的nm次幂的概念.由此得到正分数指数幂的概念.正分数指数幂与根式之间可以互化：a nm =nm a (a ＞0).由于学过负整数次幂，正分数指数幂引入后，不难得到负分数指数幂的意义：nm nm aa1=-（a ＞0,m 、n ∈N +且n ＞1）.教材在得到分数指数幂后，补充规定：“0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义”.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数a nm或nm a -（m 、n ∈N +）的形式.在这里，对底数a 有所限制，即a ＞0.3.有理数指数幂和实数指数幂剖析：对于每一个有理数a ，可确定一个有理数指数幂a α（a ＞0）与它对应，这样就可把整数指数幂扩展到有理数指数幂.同理，对于每一个无理数α,可确定一个无理数指数幂a α与它对应，这样就可以把有理数指数幂扩展到实数指数幂(其中a ＞0).同时，可以把整数指数函数扩展到有理数指数函数，进一步扩展到实数指数函数.教材通过无理数的不足近似值和过剩近似值与这个无理数的无限靠近值说明了无理数指数幂的存在性.可以得到1α=1和a -α=αa1(a ＞0,α∈R ).同时规定：0的正无理数次幂为0,0的负无理数次幂无意义.指数扩充到有理数、实数后，整数幂的运算性质仍然适用： (1)a α·a β= a βα+;(2)(a α)β= aαβ;(3)(ab )n =a n ·b n (a ＞0,b ＞0,α、β∈R ).实数指数幂满足以下不等性质： 若a ＞0,α是实数，则a α＞0. 疑难导析在由正整数指数幂向整数指数幂扩充的过程中，要牢牢把握正整数幂的运算性质和负整数指数幂的意义，即a -n =.1n a对于该性质的扩充我们可通过实例去获得感性认识，从而验证这种扩充是正确的，例如(1).2)2(,2122,2121)2(3232663263232⨯---⨯--=∴===⎪⎭⎫⎝⎛=(2).361312132,36161)32(222222=⨯=⨯==⨯--- .32)32(222---⨯=⨯∴给出一个式子，我们认为它是有意义的，注意使式子成立的条件，可加深我们对这一概念的认识，这就是整数指数幂的底数的限制条件（零的零次幂没有意义，零的负整数次幂也没有意义）.由于解决问题的需要，需把整数指数幂推广到分数指数幂.由整数指数幂向分数指数幂推广经历以以下两个过程：（1）从已知b n =a 中的n 和求b 引入，强调存在与唯一，即“给定正实数a ,对于任意给定的正整数n ,存在唯一的正实数b ,使得b n =a .这样我们就把存在唯一的正实数b 记作b =a n1”;(2)在理解上一点的同时，进一步讲解“给定正实数a ,对于任意给定的正整数n ,m ,存在唯一的正实数b ,使得b n =a m ,我们规定b 叫做a 的nm次幂，记作b ＝a n m,它就是分数指数幂.”体会上述分数指数幂的推广过程，有助于我们对数学概念作出理性的思考.在学习实数指数幂的概念时，一定要利用科学计算器或计算机进行实际操作，切实感受“逼近”的过程.2是我们熟悉的数，这里是“用有理数逼近无理数”的思想重新认识它，读出它的一系列不足近似值和过剩近似值，体会越来越逼近2精确值的过程.通过计算可知，2的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂10α会越来越趋于同一常数，记作102,从而对实数指数幂有感性认识，即任一有意义的实数指数幂都是一个确定的值.问题探究问题1 填表：在a ＞0的情况下，如果a n ＞1(n ∈N +) ,那么a ＞1成立吗？探究：运用反证法的思想来思考，假设a ＞1不成立，即0＜a ≤1.当a ＝1时，a n =1(n ∈N +),与已知条件矛盾;当0＜a ＜1时，由正整数指数幂的不等性质得，0＜a n ＜1（n ∈N +），与已知条件也矛盾.所以假设不成立，所以a ＞1成立.问题2 如何理解分数指数幂a nm 的意义？ 探究：分数指数幂anm 不可理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法.规定n m nm a a =(a ＞0,m 、n 都是正整数，n ＞1),anm -=nmnm aa11=(a ＞0,m 、n 都是正整数，n ＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m 、n 的具体数而定.问题3 如何进行根式运算？探究：根式运算，教材中不介绍根式的运算性质，对于根式运算，简单的问题可根据根式的意义直接计算.一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算.注意，对计算结果的要求，不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.运算时要分清（n a ）n 与nn a 这两种形式.对于前者，利用（n a ）n =a (a ＞1且n ∈N +)计算.对于后者，要注意n 是奇数还是偶数，即利用下列等式： 当n 为奇数时，;a a nn = 当n 为偶数时，==a a nn⎩⎨⎧-≥.0,,0,＜a a a a§3 指数函数疑难突破1.y =a x 的图象随a 变化的规律剖析：观察函数y =2x 、y =3x 、y =0.2x 、y =0.3x 、y =0.5x 的图象，可总结出底数a 对指数函数y = a x 的图象的影响规律.(1)若a ＞1,则指数函数是R 上的增函数，且当x ＞0时，底数a 的值越大，其函数值增长得越快.(2)若0＜a ＜1,则指数函数是R 上的减函数，且当x ＜0时，底数a 的值越小，其函数值减小得越快.2.当自变量取同一数值时，函数值随底数a 的变化规律是什么？底数不同的指数函数图象间有什么关系？剖析：（1）x ＞0时，a 越大，函数值越大;x ＜0时，a 越大，函数值减小;(2)任何两个函数的图象都是交叉出现的，其交点是(1,0),因为x ＝1时，y =a x =a 1=a ,所以，可作直线x =1，它与各个图象相交，其交点的纵坐标恰为指数函数的底数，可依此区分不同指数函数图象间的关系. 疑难导析函数图象是研究函数性质的重要工具，在研究底数a 对函数y =a x 增长快慢的影响时，应先自己动手，从讨论简单函数入手，再自己设定一些数，研究指数函数y =a x 的底数时，函数值及函数图象的影响，最后用函数计算器或计算机演示其图象变化，以加深对函数图象的认识.可先选取底数a (a ＞0且a ≠1)的若干个不同的值，在同一坐标系作出相应的指数函数图象，通过观察图象，获得相关的性质.通过函数图象的直观性，获得相关函数的性质，再加以证明，是我们研究函数的重要策略和方法. 问题探究问题1 指数函数图象与指数函数性质之间的对应关系. 探究：指数函数图象与指数函数性质之间的对应关系为：(1)曲线沿x 轴方向向左向右无限延展⇔函数的定义域为(+∞∞-,).(2)曲线在x 轴上方，而且向左或向右随着x 值的减小无限靠近x 轴(x 轴是曲线的渐近线)⇔函数的值域为(0,∞+).(3)曲线过定点(0,1)⇔x =0时，函数值y =a 0=1(a ＞0且a ≠1).(4)a ＞1时，曲线由左向右逐渐上升，即a ＞1时，函数在(+∞∞-,)上是增函数;0＜a ＜1时，曲线逐渐下降，即0＜a ＜1时，函数在(+∞∞-,)上是减函数.问题2 如何比较指数函数值的大小？探究：比较指数函数值的大小主要有如下方法： (1)若底数相同，指数不同，可利用指数函数的单调性.(2)若底数不同，指数也不同，可选择介于两数中间的中间量（常用的数为a 0=1）,或比差法，或比商法.(3)若底数不同，指数相同，可利用其函数值增长或减小的快慢来判断，也可用比商法. (4)对任何指数函数值，还可通过计算器求值，再进行比较.§4 对数疑难突破1.对数式log a N =b 中字母的取值X 围.剖析：对数定义中为什么规定a ＞0,a ≠1?因为若a ＜0,则N 为某些值时，b 不存在,如b =log (-2)8不存在;若a=0，N 不为0时，b 不存在，如log 02不存在，N 为0时，b 可以为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值;若a =1，N 不为1时，b 不存在，如log 13不存在，N 为1时，b 可以为任何数，是不唯一的，即log 11有无数多个值.这样，就规定了a ＞0,a ≠1.在log a N =b 中，必须使N ＞0，这是由于在实数X 围内，正数的任何次幂都是正数.因而a b =N 中N 总是正数.因此，要特别记住：零和负数没有对数.2.对数的运算法则剖析：对数的运算法则是本小节的重点之一.要理解推导对数运算法则的依据和过程，并会用语言叙述法则，从而记住这些法则.性质(2)和(3)的证明补充如下.性质（3）的证明：设log a M =p ,log a N =q ,则由对数定义得a p =M ,a q =N .,log .q p N M a a a N M a q p q p -=∴==∴-即log .log log N M NMa a a -= 性质(2)的证明：设log a M =x ,则由对数定义得a x =M .nxna M =⇒,log nx M n a =∴即log a M n =n log a M .疑难导析由对数的定义，可得对数与指数间的关系：a b =N ⇔b=log a N (a ＞0,且a ≠1).认清对数式 log a N ＝b 的含义，明确a ,N ,b 相对于指数式a b =N 是什么数，并找出它们之间的关系，这样，我们就可利用已学习的指数幂的相关知识解决对数式中字母的取值X 围了.在证明对数的运算性质时，先要弄清条件和结论，即已知log a M 、log a N ，求log a （M ·N ）、log aNM及log a N n 的值.由于对数运算是幂运算的逆运算，为了利用指数的运算性质，所以可先设log a M=p, log a N=q ，转化成指数式a p =M ,a q =N ,然后构造出MN 、NM，N n ,再重新转化成对数式求值.问题探究问题1 如何理解对数的概念及性质？探究：(1)对数由指数而来.对数式log a N =b 是由指数式a b =N 而来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N ，而对数值b 是指数式中的幂指数.对数式与指数式的关系如下图.在指数式a b =N 中，若已知a 、N 求幂指数b ,便是对数运算b =log a N .(2)对数记号log a N 只有在a ＞0且a ≠1, N ＞0时才有意义.因为在a b =N 中,a ＞0且a ≠1,所以在log a N 中，a ＞0且a ≠1. 又因为正数的任何次幂都是正数，即a b ＞0(a ＞0),故N =a b ＞0.(3)关于对数的几个基本结论要牢记，如：①零和负数没有对数，即在log a N 中N ≤0时无意义; ②log a 1=0(a ＞0,a ≠1); ③log a a =1(a ＞0,a ≠1).注意并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(-2)2=4不能写成log (-2)4=2,只有在a ＞0, a ≠1,N ＞0时，才有a b ＝N ⇔b = log a N .(4)抓住两个问题实质，才能正确理解对数概念.①如果已知每年平均增长率α，求10年后国民生产总值是原来的多少倍，就是y =(1+α)10.这是知道底数和指数，求幂值——指数问题.②如果已知每年平均增长率α，问需经过多少年国民生产总值是原来的2倍，就是(1+α)x =2.这是知道底数和幂值，求指数——对数问题.由于对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决.在学习对数的运算性质时，要注意与指数运算法则的联系和区别，如下表所示.指数 对数性质a m ·a n =a m +nmnn m nm nm a a aa a ==-)( log a MN =log a M +log a N log a=NMlog a M -log a N log a M n =n log a M助记口诀：乘除变加减，指数提到前.问题2 如何证明换底公式？探究：换底公式的证明方法很多，除了用课本上的方法证明外，还可用其他方法进行证明，如：要证log b N =bNa a log log (a ,b ＞0且a ,b ≠1,N ＞0)，只证log b N ·log a b =log a N .根据对数的运算性质，只要证log a b log b N =log a N .因为b log b N =N 成立，所以上式成立，从而换底公式成立.§5 对数函数疑难突破1.对数函数的图象及性质剖析：教材中用两种方法画出了对数函数y =log 2x 的图象，我们可以自己画出y =log x 21的图象，对它们的图象特征和性质进行分析.现给出它们的分析表如下：在作上述分析后，结合指数函数的性质，归纳出对数函数的性质.特别注意性质分a ＞1与0＜a ＜1两种情况，要加以区分.2.a的取值对对数函数y=log a x图象的影响规律剖析：通过做教材中“思考交流”，总结出底数a的取值对对数函数y=log a x图象的影响规律：(1)当底数a＞1时，对数函数是(0,+∞)上的增函数，当x＞1时，底数a的值越小，其函数值增长得越快;(2)当底数0＜a＜1时，对数函数是(0,+∞)上的减函数，当0＜x＜1时，底数a的值越大，其函数值减小得越快.疑难导析本节是在已经学过对数与常用对数、指数函数的基础上，引入对数函数的概念的.因为指数函数与对数函数互为反函数，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照.也可先作出几个底数不同的对数函数图象，观察图象获得对数的性质.因为y=log a x是由y=a x转化得来的，所以底数a同样必须满足a＞0且a≠1的条件.指数函数的值域为(0,+∞),这时变成了对数函数的定义域;而指数函数的定义域(实数集R),这时变成了对数函数的值域.像这样的两个函数我们称之为互为反函数，它们的图象是关于直线y=x对称的.对数函数是最重要最基本的函数模型，对数函数y=log a x（a＞0,且a≠1）的图象与性质可通过对具体的对数函数图象和性质抽象和概括而得到，也可以作为指数函数y=a x的反函数,通过指数函数的图象和性质得出.问题探究问题1 指数函数与对数函数的关系是什么？探究：(1)函数y=a x（a＞0且a≠1）与y=log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，指数函数的定义域与值域是其相应对数函数的值域与定义域.(2)对数函数与指数函数均为非奇非偶函数.(3)指数函数y=a x（a＞0且a≠1）与y=xa⎪⎭⎫⎝⎛1(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称.(4)指数函数y=a x（a＞0且a≠1）在y轴右侧部分，图象越在上方，其底数越大;对数函数y=log a x(a＞0,a≠1)在x轴上方部分，图象越在下边，其底数越大.问题2 如何理解对数函数与对数函数图象之间的关系？探究：对数函数的图象可根据反函数的图象性质作出，又可用描点法来画，把握住对数函数图象的以下特征，就能准确地画出对数函数的图象：(1)过点(1,0),(a,1)(2)y轴是渐近线.(3)a＞1时，由左向右逐渐上升，0＜a＜1时，逐渐下降.(4)曲线位于y轴右侧，且以y轴为渐近线⇔定义域x＞0.(5)曲线向上、向下无限延伸⇔值域y∈R.(6)曲线恒过定点(1,0)⇔log a1=0,即x=1时，y=0.(7)a＞1时，曲线逐渐上升⇔a＞1时，函数单调递增;0＜a＜1时，曲线逐渐下降⇔0＜a＜1时，函数单调递减.问题3 如何利用对数函数的图象解决有关问题？探究：(1)利用图象法研究对数函数的有关性质.对数函数的图象要分底数a＞1及0＜a＜1两种情况讨论.对于几个底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成“底大头低”四个字来理解.实际上，作出直线y=1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小.如图3-5-1，利用图象法研究不同底的两个对数函数的有关性质时特别方便.图3-5-1(2)利用“同增异减”性的方法求复合函数的单调区间.因为单调区间是定义域的子集，所以求单调区间时，一定要先考察定义域.如y=log2(x2-2x)先要考察x2-2x＞0,即x＜0或x＞2,然后再利用“同增异减”求得单调区间.§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较疑难突破1.三种函数增长的比较剖析：通过教材关于三个函数的自变量与函数的对应值及区间变化对应的两个表格，或利用计算机绘图比较，我们可以体会到如下规律：在区间(0,+∞)上，尽管函数y =a x （a ＞1）、y =log a x (a ＞1)和y =x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y =a x （a ＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y =x n (n ＞0)的增长速度，而y =log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x 0,当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x .正因为指数函数值增长非常快，所以我们称这种现象为“指数爆炸”.2.在函数值的计算中大多是通过科学计算器计算出来的，但是有的科学计算器无法直接计算很大的数，那么怎么办呢？剖析：一般我们需要设计一些计算方法，利用计算器进行近似计算.以计算y =3x 当x =500时为例说明计算的步骤：第一步，利用科学计算器算出310=59 049=5.904 9⨯104.第二步，再计算3100.因为3100=（310）10=（5.904 9⨯104)10=5.9 04910⨯1040,所以我们只需要用科学计算器算出5.904 910≈51 537 752.07,则3100≈5.153 8⨯1047. 第三步，再计算3500.因为3500=（3100）5=(5.153 8⨯1047)5,只需用科学计算器算出5.153 85≈3 636.12,从而算出3500=3.636 125⨯10238.结合上述方法，在计算函数y =3x 值的过程中，当x 很大时，应该知道如何才能使计算步骤最少了吧！疑难导析虽然我们对指数函数、对数函数以及幂函数各自的单调性都有了比较清楚的认识，但是对这三种函数增长的差异认识不清，突破的思路有二：一是使用科学计算器，计算这三个函数所对应的一系列函数值，再计算并观察函数值的变化量，从中分析三个函数的函数值增长的快慢情况，感知其增长的差异;二是借助于图象的直观性，感知其增长的差异.由于计算器的计算数位有限，对于较大的数，有些计算器是无法完成的，这时我们可把它化归成计算较小的数，具体的作法是把无法计算的数写成幂的乘方形式，先计算较小的幂，将计算结果写成a ⨯10n ()100＜＜a 的形式，再计算(a ⨯10n )m =a m ⨯10mn 时，只需计算a m 的值，把结果写成a m ⨯10mn =b ⨯10k ()100＜＜b 的形式,再计算b 的乘方.如此进行下去，就可计算出计算器无法直接完成的值.问题探究问题试讨论函数y=a x ()10＜＜a,y=x n(),0＜n y=log a x(0＜a＜1)在区间(0,+∞)上的衰减情况.探究：首先作出三个具体函数y=x⎪⎭⎫⎝⎛21、21xy=、xy21log=的衰减情况，作出它们的图象及函数值变化表.图3-6-1通过观察上面的图表，获得这三个具体函数的衰减情况，然后将结论推广到一般的情况.在区间(0,+∞)上，尽管函数y=a x ())0(10＜、＜＜nxya n=和)10(log＜＜axya=都是减函数，但它们衰减的速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，存在一个x0,当x＞x0时，x n＞a x＞log a x.。
北师大版高中数学必修一学第三章指数函数、幂函数、对数函数增长的比较讲解与例题
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质x 0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108y35305580105130155y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是( )．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3 D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的( )．A．一次函数B．二次函数C．指数函数 D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )．A．0 B．1C．2 D． 3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x=-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数归纳总结3课件 北
②有理指数幂的运算性质，同正整数指数幂的运算性质一
样有：
aαaβ＝aα＋β(a>0，a≠1，α、β∈Q)；
(aα)β＝aαβ(a>0，a≠1，α、β∈Q)； (ab)α＝aαbα(a>0，a≠1，b>0，b≠1，α∈Q)． ③ 0 指数幂与负有理数指数幂的底数都必须大于 0 才有意 义． 2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫作指数函数．
专题探究
基本题型归纳
• 1.有关指数、对数的运算问题 • 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不
仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容．
• 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指 数，根式化为指数运算，其次，若出现分式，则要注意分子、 分母因式分解，以达到约分的目的，对数运算首先注意公式 应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三 个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、 证明常用的技巧．
[例 1]
4
1
(1)化简 a3 －8a3 b
2
4b3
＋23
2
ab＋a3
3 ÷(1－2
ab)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
1
1
[解析](1)原式＝
a3 a－8b
1
11
1
× 1 a3
1
1 ×a3
2b3 2＋2a3 b3 ＋a3 2 a3 －2b3
1
b3
• (7)对数函数的图像及性质
a>1
0<a<1
高一数学指数及指数函数;对数与对数函数北师大版知识精讲
高一数学指数及指数函数；对数与对数函数北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：指数及指数函数；对数与对数函数（一）本讲的主要内容指、对数式及其运算；指、对数函数及其性质（二）学习目标1、经历幂指数由整数逐步扩充到实数的过程，理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质；2、经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3、经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图像与性质得到对数函数的概念、图像与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图像以及性质；4、收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例（如细胞的分裂，考古中所用的C 14的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解对数的发现历史，了解它们的广泛应用；5、利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；6、了解指数函数)1a ,0a (a y x ≠>=与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数；7、通过12y x =等实例，了解有理数幂函数的概念、图像与性质；8、引导学生不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用；9、鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题。
例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图像，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。
（三）知识要点1、正整数指数幂：①两个实例，细胞分裂中细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系是y=2n，大气中臭氧含量Q 与时间t 之间的关系是Q=0.9975t，t ∈N +。
②一般地，函数(0,1,)xy a a a x N +=>≠∈叫作正整数指数函数，其中，x 是自变量，定义域是正整数集N +。
北师版数学高一-高一数学必修一 第三章 指数函数和对数函数 小结与复习新学案
【必修1】第三章 指数函数和对数函数小结与复习【学习引导】一、自主学习1. 阅读课本P 105—P 107．2. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间的联系是什么？（3）请你回忆本章内容，主要介绍了哪几种函数，它们有着怎样的联系？二、方法指导同学们在复习时，应对比指数函数与对数函数的图像与性质，比较它们的异同，加深对它们的理解.【思考引导】一、提问题1. 为什么要讨论指数,对数函数中的底数?2. 在讨论对数函数时,是否要讨论定义域?二、变题目1. 已知0a >且1a ≠,函数xy a =和()log a y x =-的图像可能是( ) A BC D关于x 的不等式25311x x a a ---⎛⎫< ⎪⎝⎭. 2. 解3. 求函数1log 21a y x =-的定义域.4．函数)10()(≠>=a a a x f x 且在区间[1,2]上的最大值比最小值大4a ，求a 的值.5.已知不等式0)3(log )15(log <<-a a a a 成立，则实数a 的取值范围多少?【总结引导】2.指数和对数的运算性质（1）指数的运算性质: ， ， ;（2）对数的运算性质: ， ， .3. 指数函数和对数函数的性质 在指数函数xy a =中，其定义域是 ，值域是 ,恒过定点 ，单调性① ，② ;在对数函数log a y x =中，其定义域是 ，值域是 ，恒过定点 ,单调性① ，② .【拓展引导】一、课外作业：课后复习题 A 组5，6，7，8二、课外思考：1.当10<<a ，函数)1(log )(+=x x f a 时，则使1()f x a ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．)1,(--∞B ．),1(+∞-C ．())1log ,(+-∞a aD ．()),1(log +∞+a a2.已知函数)(log )(221m mx x x f --=（1）若1=m ，求函数)(x f 的定义域（2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（3）若函数)(x f 在区间()31,-∞-上是增函数，求实数m 的取值范围.撰稿：熊秋艳 审稿：宋庆 参考答案【思考引导】二、变题目1. B2. 当1>a 时，6->x ；当10<<a 时，6-<x3. 当1>a 时，121≤<x ；当10<<a 时，1≥x 4．43=a 或45 5. 121<<a 【拓展引导】1． C2．（1）m=1时，212()log (1)f x x x =--，由210x x -->可得：x x ><，所以函数f(x)的定义域为∞⋃∞)(- （2）由于函数f(x)的值域为R ，所以2x mx m --能取遍所有的正数，从而240m m ∆=+<，解得：40m -<<即所求实数m 的取值范围为40m -<<（3）由题意可知：212(1(10m m m ⎧≥-⎪⎨⎪-->⎩即所求实数m的取值范围为)22⎡-⎣。
3.6 指数函数和对数函数章末小结 教案 秋学期高中数学北师大版必修一
指数函数和对数函数章末小结1．指数与指数函数(1)利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算．(2)指数函数的底数a ＞0且a ≠1，这是隐含条件．(3)指数函数y ＝a x 的单调性，与底数a 有关．当底数a 与1的大小不确定时，一般需分类讨论．(4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．(5)函数y ＝a x 与函数y ＝(1a)x 的图像关于y 轴对称．(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质． 2．对数与对数函数(1)指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键． (2)在使用运算性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |.(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n ＝n m log a b ，log a b ＝1log b a 在解题中的灵活运用．(4)对数函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图像关于x 轴对称．(5)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称． (6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究，要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换．(7)与对数函数有关的方程，常见有两类：一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解．[例1] 化简： (1)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷(1－2 3b a)×3ab ； (2)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3；(3)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8.[解] (1)原式＝a 13（a －8b ）（2b 13）2＋2a 13b 13＋（a 13）2×a13a 13－2b 13×a 13b 13＝a 13（a －8b ）a －8b ×a 13×a 13b 13＝a 3b . (2)原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.(3)原式＝lg 4＋lg 31＋lg 0.36＋lg 38＝lg 121＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1.[借题发挥]指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．1．若2.5x ＝1 000，0.25y ＝1 000，则1x －1y ＝________．解析：由已知得：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000 ∴1x －1y ＝1log 2.51 000－1log 0.251 000＝lg 2.5lg 103－lg 0.25lg 103 ＝13(lg 2.5－lg 0.25)＝13lg 2.50.25＝13lg 10＝13. 答案：132．已知log a x ＝4，log a y ＝5，试求A ＝(x31xy2)12的值． 解：log a A ＝12[log a x ＋13(－12log a x －2log a y )]＝12(56log a x －23log a y ) ＝12(56×4－23×5)＝0. ∴A ＝1.[例2] (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图像如右图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0＜a －1＜b ＜1B ．0＜b ＜a －1＜1C ．0＜b －1＜a ＜1D ．0＜a －1＜b －1＜1(2)已知函数y ＝ax 2－3x ＋3，当x ∈[1，3]时有最小值18，求a 的值．[解] (1)由图像，知该函数为增函数． ∴a ＞1.又当x ＝0时，－1＜f (0)＜0， 即－1＜log a b ＜0，即log a 1a ＜log ab ＜log a 1.∴1a ＜b ＜1.结合a ＞1，知0＜a －1＜b ＜1. [答案] A(2)令t ＝x 2－3x ＋3＝(x －32)2＋34，当x ∈[1，3]时，t ∈[34，3]，①若a ＞1，则y min ＝a 34＝18，解得a ＝116，与a ＞1矛盾．②若0＜a ＜1，则y min ＝a 3＝18，解得a ＝12，满足题意．综合①，②知a ＝12.[借题发挥]指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图像与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y ＝a x ，对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像与性质都与a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．3．函数f (x )＝a x－b的图像如右图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：由f (x )＝a x －b 的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1；函数f (x )＝a x －b 的图像是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b ＜0. 答案：D4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4 （x ≤1），x 2－4x ＋3（x ＞1）的图像和函数g (x )＝log 2x的图像的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：作出函数f (x )与g (x )的图像，如图所示，由图像可知：两函数图像的交点有3个．答案：B5．定义在[－1，1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时的解析式f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0，1]上的解析式； (2)求f (x )在[0，1]上的最大值．解：(1)设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]． ∴f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x .∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝4x －a ·2x ，x ∈[0，1]． (2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －a ·2x ，令t ＝2x，则t ∈[1，2]．∴g (t )＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (2)＝4－2a ； 当1＜a 2≤32，即2＜a ≤3时，g (t )max ＝g (2)＝4－2a ；当32＜a2≤2，即3＜a ≤4时，g (t )max ＝g (1)＝1－a ；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人：王广青 总第 课时
备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第11周 集体备课
一、课题： 指数函数和对数函数小结
二、学习目标
1、掌握指数函数、对数函数的概念；
2、会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质。
三、落实目标
【自主预习】
1、指数函数、对数函数的图象和性质？
指数函数 对数函数
图 象：
定义域：
值域：
2、
性质⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧奇偶性：单调性：
图象经过的定点：
【合作探究】
1、化简34
41413223a b b a ab b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅（0,0>>b a ）的结果是__________。
2、幂函数()f x 的图像经过点12,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值为___________。
3、用“<”或“>”连结下列各式：0.60.50.50.50.40.40.32____0.32;0.32____0.34;0.8____0.6--。
4、3128x y ==，则11______x y
-=。
5、已知函数2log ,0()2,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，若1()2f a =，则______a =。
6、函数)12lg(22
-+-=x x y 的定义域为__________。
【巩固提升】
（1）
4346432-16÷）（
（2）、讨论函数23221+-⎪⎭⎫
⎝⎛=x x y 的单调性。
【检测反馈】
（1）1
244839(log 3log 3)(log 2log 2)log 32++- （2）判断函数()x
x x f -+=11log 2
的奇偶性。
反
思栏。