概率统计在经典统计物理中的应用

概率统计在经典统计物理中的应用

概率论是现代数学的一个重要学科。一方面，他有丰富的数学理论，与其他

数学学科有深入的相互渗透。另一方面，它与自然科学、技术科学、管理科学、经济科学以至人文科学有广泛的交叉。很多问题都可以归结为概率模型，应用概

率论和随机过程的理论和方法加以研究．并且这些问题也向概率论提出了新的重

要研究课题。经典统计物理学便是这样一个新的概率论分支。统计物理学根据对

物质微观结构及微观粒子相互作用的认识，用概率统计的方法，对由大量粒子组

成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学分支。

下面我们分别以麦克斯韦气体分子速率分布律、麦克斯韦-波尔兹曼统计分

布、理想气体的温度公式和压强公式为例，说明概率统计在经典统计物理中的

应用。

1. 麦克斯韦气体分子速率分布律

麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，

这个规律叫做麦克斯韦速度分布率，若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速

率分布率。

能量为l ε的分子概率密度是

e l

A βερ-=, (1-1) 其中Z

A 1=

是归一化常数，而分子能量是 212

l m ευ=. (1-2) 由归一化条件d 1ΩρΩ=⎰得 1e d l A βεΩ

Ω-=⎰， 相体积元d d d d d d d x y z x y z υυυΩ==2d d d sin d d d x y z υθθϕυ.

不失一般性，设气体体积为单位体积，则积分

e

d l I βεΩΩ-==⎰22π2π22220000sin d d

e d 4e d m m V kT kT υθθϕυυπυυ--∞∞=⎰⎰⎰⎰.

利用积分公式20e d u u λ∞-=⎰得 3212πm A I kT ⎛⎫== ⎪⎝⎭

. 于是有 23

2π2π22000d sin d d e d 2πm V kT m kT ΩρΩθθϕυυ-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰

⎰⎰ 2322204πd 12πm kT m e kT υυυ-∞

⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰.

定义： 23

222()4πe 2πm kT m f kT υυυ-⎛⎫= ⎪⎝⎭

, (1-3) 则有 0()1f d υυ∞

=⎰. (1-4)

所以，函数()f υ是平衡态理想气体中分子按速率分布的概率密度函数，叫做麦

克斯韦气体分子速率分布律(Maxwell distribution law of speed of gas molecules), 表示速率υ附近单位速率间隔内的分子数占气体总分子数的比例. 例如，若气体

总分子数为N ，则速率υ附近速率间隔d υυυ→+内的分子数是d ()d n Nf υυ=.

为简便起见，可将函数()f υ写成

2

2()e b f A υυυ-=, (1-5) 其中324π2πm A kT ⎛⎫= ⎪⎝⎭，kT m b 2=，其函数曲线如图1所示. )

P υ

图1 图2

除满足归一化条件外，函数()f υ还具有以下特点：

(1) 0lim ()0f υυ→=, lim ()0f υυ→∞

=；

(2) 令d d f υ

=0, 得最概然速率：

P υ== (1-6) 即()P f υ是函数()f υ的最大值，如图1所示.

式中R 和µ分别为普适常量和分子的摩尔质量。最概然速率p v 表示对所有的相

同速率区间而言，在含有速率p v 的那个区间内的分子占总分子数的百分比最大。

(3) 由(1-3) 和 (1-6) 式可知，当气体温度上升时，或用分子质量较小的气

体代替分子质量较大的气体做实验，()f υ的函数曲线将右移并变得平缓，如图2

所示。

2. 气体分子的平均速率

我们知道，气体处于平衡态，其分子的速率有大有小，服从Maxwell 气体分

子速率分布律. 所以，气体分子的平均速率是

01

d n N υυ∞

=⎰.

将d ()d n Nf υυ= 代入上式做分部积分，得

υ=0()d f υυυ∞⎰＝A 230e b υυ∞-⎰d υ＝220de 2b A b υυ∞--⎰=20

e d b A b υυυ∞-⎰ =220de 2b A

b υ∞--⎰=22b

A , 即理想气体速率从0到∞整个区间内的算术平均速率为

υ （2-1） 3. 物理统计规律之麦克斯韦-波尔兹曼统计分布（M-B 分布）

麦克斯韦-波尔兹曼统计分布是研究近独立经典粒子按能量的最概然分布。

设有一个由N 个相同粒子组成的系统，其中每个粒子可以被看成一个子系

统. 如果粒子之间的相互作用足够弱，则可以忽略它们之间的相互作用能，这样

的系统就叫做近独立粒子系统(near independent particle system)，而系统的能量E

等于每个粒子的能量i ε 的和：

∑==N

i i E 1ε. (3-1)

在由相同粒子组成的近独立粒子系统中，每个粒子具有相同的子相空间，系

统中的N 个粒子可以同时用一个子相空间来描述。 这样，在这个子相空间中就

同时有N 个相点，N 个相点的一种分布表示系统的一个微观态. 系统有多少可

能的微观态，就有多少种分布方式。

为了计算系统一个宏观态包含的微观态数目，把子相空间中N 个相点可能

出现的区域划分为k 个微小区域：

l r r l p p q q )(11∆∆∆∆=∆ τ, (3-2)

1,2,l k =，划分的原则是同在一个微小区域内的粒子具有近似相等的能量，记

作l ε, 一个微小区域l τ∆叫做一个相格(phase cell). 假设系统处于某个宏观态时，相格l τ∆内有l a 个粒子，即粒子数按相格的分布是{}l a =(k a a a 21,). 显而易见，粒子数按相格的分布应满足下面的总粒子数和总能量条件：

∑==k l l N a

1, E a k l l l =∑ε. (3-3)

设相格l τ∆内有l ω个可供粒子占据的态),(ννp q (r ,2,1=ν)，即有l ω个相

点. 由于子相空间中的相点是均匀分布的，相格内每个粒子态占有的相体积

0μ=l l

ωτ∆ 是一个常数. 经典理论对粒子占据微观态没有限制，因此，相格l τ∆内

每个粒子可占据的微观态数都是l ω个, 而l a 个粒子占据l ω个微观态的方式有

l

a l ω种. 这样，当粒子数按相格的分布{}l a 给定时，全部粒子占据微观态的方式共有∏=k

l a l l 1ω种. 注意，现在只是给定了各个相格中的粒子数，还需要考虑是哪些粒

子占据了哪些微观态. 经典理论为粒子是可以分辨的，因此，在给定了各个相格

中的粒子数的条件下，粒子的组合数是