直线型几何图形

AB=6，AC=5，则△AEF 的周长是
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●例 7．在四边形 ABCD 中，BD>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC，求证: ∠A 与∠C 互补.
A D
B
C
●例 8．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意一点，设 PB＝ m ，PC＝ n ，
AB＝ c ，AC＝ b ，则 (m n) 与 (b c) 的大小关系是（ ）
应用：证明不同三角形的边或角相等
反证法、互逆命题、互逆定理
线段的垂直平分线：性质定理、判定定理、尺规作图
垂直平分线 三角形的外心：定义、定理
角平分线
角的平分线：性质定理、判定定理、尺规作图 三角形的内心：定义、定理
性质：对应边成比例、对应角相等
三角形相似 判定：类似“SSS”、“SAS”、AA 应用：证明不同三角形的边对应成比例或角相等
⑴当 P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接 DP，求 DP 的长；
⑵当 P 运动过程中，若 PD=BC 时，求∠PDA 的度数；
⑶当 P 运动到什么位置时，以 D、P、B、Q 为顶点的平行四边形的顶点 Q 恰好在边 BC 上，求四边形 DPBQ
的面积.
D
C
D C
A
B
A
B
备用图
3、已知△ABC 中，∠C=90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是角平分线，且 CD 与 AE 相交于 F，FG∥AB. 求证：BG=CE.
C
E
F
G
A D
B
பைடு நூலகம்
-7-
-2-
●例 2．如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 A（10,0）,C
（0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当△ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，则点 P 的坐标 是
y
C
P
B
B A
O
D
A
x
图1
图2
图3
变式议练：
1、 在如图 2 所示的正方形网格中，点 A、B 是两个格点，如果点 C 也是格点，并且△ABC 是等腰三角形，
则点 C 得个数是
个.
2、 如图 3，已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得△PAB 是等腰三角
形，则符合条件的 P 点有(
)
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
A
E C
B F
D
变式议练：△ABC 中，∠B=22.50,AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q，交 BC 于点 P，PE⊥AC 于 E，DA⊥BC 于 D， AD 交 PE 于点 F.求证：DF=DC.
考点四 角平分线
●例 6．△ABC 中，∠B、∠C 的平分线交于点 D，过点 D 作 EF∥BC,分别交 AB、AC 于点 E、F 两点，若
●例 3．两个全等的含 300、600 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图放置，E、A、C 三点在同一直线上，
连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME、MC，试判断△EMC 的形状，并说明理由.
B M D
E
A
C
变式议练：已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A=900，点 P、Q 分别是 AB、AC 上的一动点，且 BP=AQ，D 是 BC 的中点。⑴求证：△PDQ 是等腰直角三角形；⑵点 P 运动到什么位置时，四边形 APDQ 是正方形，并说 明理由.
A
Q
p
B
D
C
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考点三 中垂线
●例 4．在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=1200,D、F 分别是 AB、AC 的中点，DE⊥AB，FG⊥AC,E、G 在 BC 上，
BC=15cm，则 EG 的长是
A
D
F
B
E
G
C
●例 5．已知∠A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：BE=CF.
A、 m n ＞ b c
B、 m n ＜ b c
C、 m n ＝ b c
D、无法确定
A P
BC
D
●例 9． 已知在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，且 BE⊥AD。求证：BE=2AD.
A
E
D
B
C
变式议练 1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分 AD 交 BC 延长线于 F，求证：∠CAF=∠B.
勾股定理
用途
知两边求第三边 知一边求另两边的关系 证明平方关系
作长为 n 的线段
直角三角形
勾股定理的逆定理
内容：若三角形两边的平方和等于第 三边的平方，则它是直角三角形
三角形全等
用途：判断直角三角形 含 450 和 300 的直角三角形的性质 性质：对应边相等、对应角相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
O
B
D
C
变式议练：
1、已知如图，AD∥BC, ∠DAE=∠BAE, BC 于 C. 求证：AB=AD+BC.
∠ABE=∠CBE, 直线 DC 过 E 点交 AD 于 D, 交
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2、 将一副三角尺拼接，让△ABC 的长直角边和△ACD 的斜边重合，而 AB= 2 3 ，P 是 AC 上的一动点.
4、如图 5，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC 于 E，PF⊥BD 于 F，则 PE+PF 的值为
（）
A. 13
B. 5
C.2
5
2
考点二 等腰三角形
D. 12 5
引入题：在直角坐标系中，已知 A(3,4)，请在坐标轴寻找一点 P，使得△AOP 为等腰三角形，求 P 点的 坐标.
★★知识网络
证明
等腰三角形 等边三角形
性质：等边对等角、三线合一 判定：定义、等角对等边 应用：证明三角形内的边或角相等 性质：三边相等、三角相等且等于 600 判定：定义、三个角相等、一角为 600 的等腰三角形 应用：证明边相等、角相等、找 600 角
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
AC=
C
A
P
D
E
F
EO F
A
D
B
图4
B
C
图5
2、如图 3，在△ABC 中，AB=AC=1，∠A=120 ，点 P 是 BC 上的动点，PN⊥AC 于 N，PM⊥AB 于 M,则 PM+PN= 3、如图 4，在等腰三角形 ACB 中，AC BC 5 ，AB 8 ，D 为底边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合）， DE AC ， DF BC ，垂足分别为 E，F ，则 DE DF 的长是
直线型几何图形
★★考点定位
（1）等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定； （2）直角三角形的性质与判定（勾股定理及逆定理、互逆定理）； （3）线段垂直平分线的性质、判定、作法与应用； （4）角平分线的性质、判定、作法与应用； （5）全等三角形的性质、判定、应用； （6）相似三角形的性质、判定、应用； （7）反证法.
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★★考点聚焦
考点一 等积法
●例 1．如图 1，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C，点 P 是三角形内的任意一点，PD⊥BC 于 D，PE ⊥AC
于 E， PF⊥AB 于 F，AB=a，则 PD+PE+PF 的值为
.
A
F
E
P
A E
A N
M
F
B
P
C
B
B
C D
D
C
图1
图2
图3
变式议练
1、如图 2，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若△ABC 的面积为 7，DE=2，AB=4，则
A
E
B
DC
F
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2、已知△ABC 中，∠C=90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是角平分线，且 CD 与 AE 相交于 F. 求证：CF=CE.
C
E F
A D
B
考点五 综合应用 ●例 10．△ABC 中，∠B=600, △ABC 的角平分线 AD、CE 于点 O，求证：AE+CD=AC.
A
E