中职数学两条直线相交(垂直)

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高教版中职数学(基础模块)下册8.3《两条直线的位置关系》word教

高教版中职数学(基础模块)下册8.3《两条直线的位置关系》word教【课题】8．3 两条直线的位置关系（二）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用点到直线的距离公式解题．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．【教学难点】两条直线的位置关系的判断及应用．【教学设计】与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是?0,90?．??教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．例4是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．例5是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．需要强调，点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程 *揭示课题教师学生教学时行为行为意图间介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考 0 5 8．3 两条直线的位置关系（二） *创设情境兴趣导入【问题】平面内两条既不重合又不平行的直线肯定相交．如何求交点的坐标呢？图8－12 *动脑思考探索新知如图8－12所示，两条相交直线的交点P0，既在l1上，又在l2上．所以P因0的坐标(x0,y0)是两条直线的方程的公共解．讲解说明思考思考带领学生分析带领学生分析此解两条直线的方程所组成的方程组，就可以得到两条直线交点的坐标．观察图8－13，直线l1、l2相交于点P，如果不研究终边相同的角，共形成四个正角，分别为?1、?2、?3、?4，其中 0?1与?3，?2与?4为对顶角，而且?1+?2?180．讲解说明教学过程教师学生教学时行为行为意图间引领分析理解思考理解记忆引导式启发学生得出结果 20 25 图8－13 我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角，记作?．规定，当两条直线平行或重合时，两条直线的夹角为零角，因此，两条直线夹角的取值范围为[0,90]．显然，在图8－13中，?1（或?3）是直线l1、l2的夹角，即???1．当直线l与直线l的夹角为直角时称直线l与直线l垂 1212仔细分析讲解关键词语直，记做l1?l2．观察图8－14，显然，平行于x轴的直线l1与平行于y轴的直线l2垂直，即斜率为零的直线与斜率不存在的直线垂直．图8－14 *创设情境兴趣导入【问题】如果两条直线的斜率都存在且不为零，如何判断这两条直线垂直呢？ *动脑思考探索新知【新知识】质疑思考带领学生分析教学过程设直线l1与直线l2的斜率分别为k1和k2（如图8－15），若教师学生教学时行为行为意图间讲解说明思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果观察思考主动求解通过例题进一步领会35 l1?l2，则 l2 l1 引领分析仔细分析 8－15 BC，k1?tan?1?ABk2?tan?2?tan(180??3)??tan?3??即 k1?k2??1． AB． BC上面的过程可以逆推，即若k1?k2??1，则l1?l2．由此得到结论（两条直线垂直的条件）：讲解（1）如果直线l1与直线l2的斜率都存在且不等于0，那么关键l1?l2?k1?k2??1．词语（2）斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直． *巩固知识典型例题例3 求直线x?2y?1?0与直线y?x?2交点的坐标．说明 ?x?2y?1?0,解解方程组? x?y?2?0,?强调引领讲解说明得 ?x?1, ?y??1,?所以两条直线的交点坐标为(1,?1)．【试一试】已知直线3x?4y?a与直线2x?5y?10的交点在x轴上，你是否能确定a的值，并求出交点的坐标？教学过程例4 判断直线y?解设直线y?教师学生教学时行为行为意图间说明强调引领讲解说明引领讲解说明观察思考主动求解思考主动求解通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点 452x与直线6x?4y?1?0是否垂直． 32x的斜率为k1，则 32k1?． 3直线6x?4y?1?0的斜率为k2．由6x?4y?1?0有 31y??x?， 24故 3k2??． 2由于k1k2??1,所以l1与l2垂直．【试一试】请你判断，直线x?2y?1?0与直线x?y?1是否垂直？【知识巩固】例5 已知直线l经过点M(2,?1)，且垂直于直线2x?y?1?0，求直线l方程．解设直线2x?y?1?0的斜率为k1，则k1??2．设直线l的斜率为k．由于l1?l2，故k1k??1，即 ?2k??1，由此得 1 k?． 2又直线l过点M(2,?1)，故其方程为 1 y?1?(x?2)，2即 x �C 2y �C 4 = 0． *运用知识强化练习 1．判断下列各对直线是否相交，若相交，求出交点坐标：（1）l1:x?2y?0，与 l2:2x?y?1?0；（2）l1:y??x?1，与l2:x?y?4?0；提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情感谢您的阅读，祝您生活愉快。

中职数学基础模块下册第六章两条直线的位置关系教学设计课件

0, 0,
解得
x y
1, 2,
所以直线l1与l2的交点坐标为(1, 2).
因为直线l3
:
4x
3y
2
0的斜率k3
4 3
.
又直线l与直线l3
:4x 3y
2
0平行, 所以直线l的斜率kl
k3
4, 3
由点斜式得直线l的方程为y 2 4 (x 1)即4x 3y 10 0. 3
【例5】已知点A(1,3),B(-5,1),求线段AB的垂直平分线方程.
【考试意图】考查两直线垂直的充要条件, 涉及中点坐标求法.
【解题指南】线段AB的垂直平分线,即过中点且与直线AB垂直的
直线,由垂直确定所求的垂直平分线的斜率, 再代入点斜式, 可求得.
【解】线段AB的中点坐标为(1 (5) , 3 1),即(2, 2), 22
又线段AB所在直线的斜率kAB
13 5 1
C.(-2,-2) D.(2,2)
3.过原点且与直线x+4y+2=0垂直的直线方程为 ( D )
A.4x+y-2=0
B.4x-y-2=0
C.4x+y=0
D.4x-y=0
4.过点M(0,1)且与直线2x-y+6=0平行的直线方程为
(D)
A.2x+y-6=0
B.2x+y+6=0
C.2x-y-1=0
D.2x-y+1=0
3 所以所求直线的斜率k 3 ,
2 由点斜式得所求的直线方程为y 3 3 (x 4)即3x 2 y 6 0.
2
【例3】求过点P(-4,3),且与直线l:2x-3y+1=0垂直的直线方程.

《6.3.2 两条直线相交》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础模块下

《两条直线相交》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解两条直线相交的概念，掌握相交线的性质。

2. 能够运用相交线的性质解决简单的实际问题。

3. 培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：两条直线相交的性质及其应用。

2. 教学难点：引导学生发现相交线的性质，解决实际问题。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形模板等。

2. 准备教学材料：与两条直线相交性质相关的实际问题。

3. 安排教学时间：建议2-3课时。

4. 设计教学方案：根据教学内容和学生情况，设计具体的教学方案，包括问题设置、课堂活动安排等。

四、教学过程：（一）导入新课1. 复习提问：两条直线的位置关系是什么？如何判断？2. 设疑引导：两条直线相交会有哪些情况发生？如何处理这些情况？（二）探索新知1. 实验探究：引导学生用图钉和绳子模拟两条直线的相交情况，进行小组讨论和归纳。

2. 举例分析：教师给出一些具体实例，引导学生进一步分析两条直线相交时的情况。

3. 师生互动：请学生回答前面设疑引导的问题，教师根据学生的回答进行总结和归纳。

（三）教学演示1. 利用多媒体演示两条直线相交的情况，并展示不同角度的相交位置。

2. 请学生上台操作，演示两条直线的相交过程，并解释不同位置的名称和特点。

（四）课堂练习1. 完成教材上的相关练习题，教师巡视指导。

2. 请学生上台展示自己的解题思路和方法，并请其他学生进行点评和补充。

（五）小结作业1. 小结本节课的主要内容，强调两条直线相交的不同情况和应对方法。

2. 布置作业：请学生自行预习下节课的内容，思考两条直线相交后形成的角与直线的倾斜角之间的关系。

在教学过程中，教师应注重学生的主体性，鼓励学生积极参与教学活动，积极思考和探索问题。

同时，教师还应该注重培养学生的思维能力和创新意识，引导学生从多个角度思考问题，提高解决问题的能力。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解两条直线相交的交点概念，掌握两直线相交的交点计算方法。

中职数学基础模块知识点、典型题目系列---直线与圆的方程(适合打印,经典

第八章直线与圆的方程第1节两点间的距离与线段中点的坐标一、两点间的距离及线段中点的坐标：设()111,y x P ，()222,y x P ，则()()21221221y y x x P P -+-=．中点()000,y x P 的坐标为121200,22++==x x y y x y【习题】1．已知()10,28A 和()22,12B ,求线段AB 的长度。

2.已知三角形的顶点分别为)6,2(A ,)3,4(-B ，()00，C ，求ABC ∆三条边长。

3.已知()4,1A ,()1,5B ,()1,1C 说明ABC ∆为∆Rt 。

【习题】1.已知)5,1(),3,1(---N M ,求线段MN 的长度，并求线段MN 的中点坐标。

2.已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．第2 节直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角与斜率倾斜角∂：直线l 向上的方向与x 轴正方向所夹的最小正角。

范围:001800<≤α斜率k ：1212tan x x y y k --=∂= 注：①当轴x l //或重合时，0=k ②当轴x l ⊥时，k 不存在③k 与两点的位置无关【习题】1.已知直线的倾斜角，求斜率。

（1）6π=∂（2） 135=∂（3） 90=∂2.已知直线的斜率，求倾斜角。

（1）3=k （2）33-=k （3）1=k 3.求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角。

（1）()0,2-A 和()3,1B （2）()4,1M 和()2,3N *4.证明三点()1,0-A ,()1,3B ,()3,3--C 在同一条直线上。

作业布置：1.已知点()2,41P ,()y P ,52-且过1P ,2P 的直线的斜率是31，求y 的值。

2.已知三角形的三个顶点()1,0A ,()3,8B ,()1,1-C 分别求三角形三边所在的直线的斜率。

【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】直线与直线、直线与平面、面与面平行的判定与性质

【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．【教学难点】异面直线的想象与理解．【教学设计】本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯．通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识．要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*揭示课题直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质*创设情境兴趣导入A B与AD所观察图9−13所示的正方体，可以发现：棱11在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面内．图9−13观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线？图9 −14（请画出实物图）受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图9 −15）．(1) (2) 图9−15利用铅笔和书本，演示图9−15（2）的异面直线位置关系．引领分析仔细分析关键语句理解记忆带领学生分析5*创设情境兴趣导入我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢？观察教室内相邻两面墙的交线（如图9−16）．发现：1AA ∥1BB ，1CC ∥1BB ，并且有1AA ∥1CC ．质疑引导分析思考启发学生思考图9−16BA CD*创设情境兴趣导入将平面内的四边形ABCD的两条边AD与DC，沿着对角线AC向上折起，将点D折D的位置(如图9−17)．此叠到1D四个点不在同一个平面内．时A、B、C、1图9−17图9−18*运用知识强化练习1．结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例子.2．把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如第2题图），说明为什么这些折痕是互相平行的？如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相交，画直线与平面相交的图形时，要把直线延伸到平行四边形外（如图9−19（2））.如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行. 直线l与平面α平行，记作l∥α.画直线与平面平行的图形时，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图9−19（3））．ll（1）（2）l（3）这样，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．*创设情境兴趣导入在桌面上放一张白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条直线将纸折起（如图9−20）．观察发现：在折起的各个位置上，另一条直线始终与桌面保持平行．图9−201为了叙述简便起见，将线段1DD 所在的直线，直接写作直线1DD ，本章教材中都采用这种表述方法．图9−211111ABCD A B C D -中，因为四边形图9−22（请画出实物图）分析42*动脑思考探索新知从大量的实验与观察中，归纳出直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.如图9−23所示，设直线l 为平面α与平面β的交线，直线m 在平面β内且m α∥，则m l ∥．图9-23讲解说明引领分析思考理解带领学生分析45 *巩固知识典型例题例 3 在如图9−24所示的一块木料中，已知BC ∥平面1111A B C D ，BC ∥11B C ，要经过平面11A C 内的一点P 与棱BC 将木料锯开，应当怎样画线？说明强调引领观察思考通过例题进一步领会铅笔分析设点P 和棱BC 确定的平面α，则EF 是α与平面1111A B C D 的交线，由于BC ∥平面1111A B C D ，故EF ∥BC ，11B C BC ∥．所以11EF B C ∥．解画线的方法是：在平面1111A B C D 内，过点P 作直线11B C 的平行线EF ，分别交直线11A B 及直线11D C 与点E 、F ，连接EB 和FC ．讲解说明主动求解48*运用知识强化练习1．试举出一个直线和平面平行的例子．2．请在黑板上画一条直线与地面平行，并说出所画的直线与地面平行的理由．3．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线是不是和这个平面内所有的直线都平行？4．说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由．提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况50 *创设情境兴趣导入教室中的墙壁与地面相交于一条直线，而天花板与地面，没有公共点．质疑思考引导学生分析 52 *动脑思考探索新知如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．平面α与平面β平行，记做α∥β．画两个互相平行平面的图形时，要使两个平行四边形的对应边分别平行（如图9−25）．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析图9−25图9−24*创设情境兴趣导入进行乒乓球或台球比赛时，必需要保证台面与地面平行．技术人员利用水准器来进行检测．水准器内的玻璃管装有水，管内的水柱相当于一条直线，水准器内的水泡在中央，表示水准器所在的直线与地平面平行．把水准器在平板上交叉放置两次（如图9−26），如果两次检测，水准器内的水泡都在中央，就表示台面与地面平行，可以进行比赛，否则就需要进行调整．图9−26例4 设平面α内的两条相交直线m ，n 分别平行于另一个平面β内的两条直线k ，l （如图9−27），试判断平面α，β是否平行解因为m 在β外、l 在β内，且m ∥l ，所以直线m ∥平面β．同理可得直线n ∥平面β．由于m 、n 是平面α内两条相交直线，故可以判断α∥β． *创设情境兴趣导入将一本书放在与桌面平行的位置，用作业本靠紧书一边，绕着这条边移动作业本，观察作业本和书的交线与作业本和桌面的交线之间的关系（如图9−28）．图9−28（请画出实物图）图9−27Am n桌子书放到不同位置的本*动脑思考探索新知由大量的观察和实验得到两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．如图9−29所示，如果αβ∥，平面γ与α、β都相交，交线分别为m 、n ，那么m ∥n ．*运用知识强化练习1．画出下列各图形：（1）两个水平放置的互相平行的平面．（2）两个竖直放置的互相平行的平面．（3）与两个平行的平面相交的平面．2.如图所示，//αβ，M 在α与β同侧，过M 作直线a 与b ，a 分别与α、β相交于A 、B ，b 分别与、β相交于C 、D ．⑴ 判断直线AC 与直线BD 是否平行；⑵ 如果 4M A =cm ，5AB =cm ，3MC =cm ，求MD 的长.*理论升华整体建构 ba第2题图MAC D B图9−29[0,180]1BC AD 1CBC ∠1DAD ∠AB 1BC AD 1CBC ∠nm onm o*运用知识强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ；（2）1AA 与1BC ．ABCD图9−32题图图9−33*动脑思考探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34图9−35图9−3642*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2 如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC 在平面α内，已知底边长BC =16，腰长AB =17，又知点A 到平面α的垂线段AD =10．求（1）等腰∆ABC 的高AE 的长；（2）斜线AE 和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB 是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE 的长；AED ∠是AE 和平面α所成的角，三角形ADE 是直角三角形，求出AED ∠的正弦值即可求出斜线AE 和平面α所成的角．解 (1) 在等腰∆ABC 中，AE BC ⊥，故由BC =16可得BE =8.在Rt ∆AEB 中，∠AEB =90°，因此222217815AE AB BE =-=-=.（2）联结DE .因为AD 是平面α的垂线，AE 是α的斜线，所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===，所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？*运用知识强化练习图9−381′）.练习图*创设情境兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．（2）图9−39（1）角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角．,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直图9−40CD图9−41loNMCD*巩固知识典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°.*运用知识强化练习练习题图*理论升华整体建构【教师教学后记】。

人教版中职数学8.2.4直线与直线的位置关系(一)

例1 判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或重合），如果相交，求出交点．（1）l1：y＝3x＋4，l2：y＝3x－4；（2）l1：y＝－3，l2：y＝1；（3）l1：y＝－3x＋4，l2：y＝ x－8．
解：（1）因为两直线斜率都为 3 ，而截距不相等，所以 l1 与 l2 平行．
（2）因为两直线的斜率都为 0 ，而截距不相等，所以 l1 与 l2 平行．
（3）当 k1＝k2 且 b1＝b2 时，则方程组 ① 有多少解？ l1 与 l2 有几个交点？ l1 与 l2 是什么位置关系？
如果 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
l1 与 l2 相交 k1≠k2； l1 与 l2 平行 k1＝k2 且 b1≠b2 ； l1 与 l2 重合 k1＝k2 且 b1＝b2．
直线
圆
圆
直线
8.2.4直线与直线的位置关系（一）
1．回答下列问题（1）直线 y＝2 x＋1 的斜率是，在 y 轴上的截距是 ; （2）直线 y＝2 的斜率是，在 y 轴上的截距是 ; （3）直线 x＝2 的斜率是，在 y 轴上的截距．
2．问题在平面内，两条直线要么平行，要么相交，要么
重合．那么，给定平面直角坐标系中的两条直线，能否借助于方程来判断它们的位置关系？
(k1－k2)x＝－(b1－b2)． ②
（1）当 k1≠k2 时，则方程组 ① 有多少解？ l1 与 l2 有几个交点？ l1 与 l2 是什么位置关系？
用斜率判断直线的位置关系
y y
k1 k2
x x
b1 b2
①
将方程组 ① 中两式相减，整理得
(k1－k2)x＝－(b1－b2) ． ② （2）当 k1＝k2 且 b1≠b2 时，则方程组 ① 有多少解？ l1 与 l2 有几个交点？l1 与 l2 是什么位置关系？

中职高考数学一轮复习讲练测专题8-1 直线(讲)(含详解)

专题8.1 直线【考纲要求】1. 理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念；掌握求直线斜率的方法；2．掌握直线的斜截式方程、点斜式方程和一般式方程，能够根据条件求出直线的方程． 3. 掌握求两条相交直线的交点的方法；4.理解两条直线垂直和平行的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系． 5．会求点到直线的距离及两平行线之间的距离．【考向预测】1. 两点间的距离与线段中点的坐标2. 直线的倾斜角和斜率．3. 求直线的方程．4. 平行与垂直的应用5. 直线的交点坐标与距离公式6. 点到直线的距离与两条平行直线间的距离【知识清单】1. 两点间的距离与线段中点的坐标一般地，设111(,)P x y 、222(,)P x y 为平面内任意两点，（1）1P 、2P 之间的距离12||PP （2）线段1P 2P 中点000(,)P x y 的坐标为121200,.22x x y y x y ++== 2. 直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l __向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__． (2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__．3.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．4.直线方程的三种形式5.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．6.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__． 7.三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．【考点分类剖析】考点一两点间的距离与线段中点的坐标例1. 求A （−3，1）、B （2，−5）两点间的距离．例2.已知点S （0，2）、点T （−6，−1），现将线段ST 四等分，试求出各分点的坐标．【变式探究】已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．考点二直线的倾斜角和斜率例1. 已知坐标平面内三点A (－1,1)、B (1,1)、C (2，3＋1).求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；【变式探究】求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． (1)(－3,0)、(－2，3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3，3)．考点三求直线的方程例1.求满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)、Q(5，－4)两点．例2. 求满足下列条件的直线的斜截式方程(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.例3.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)经过A(－1,5)、B(2，－1)两点；【变式探究】1. 求满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点A(－2,5)，斜率是3；(2)经过点B(2，－3)，倾斜角是135°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．2.写出满足下列条件的直线的方程．(1)斜率为5，在y轴上截距为－1，(2)倾斜角30°，在y轴上截距为3，3.已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程．考点四平行与垂直的应用例1.求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程：(1)与直线l：3x＋4y－20＝0平行；(2)与直线l：3x＋4y－20＝0垂直．【方法归纳】 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.2．直线l1︰A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0若l1⊥l2则：A1A2＋B1B2＝0；若A1A2＋B1B2＝0则l1⊥l2.若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2或l1与l2重合．3．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.【变式探究】1.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝02.直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0考点五直线的交点坐标与距离公式例1.判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；例2. 已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值.例3.已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程.【变式探究】1. 已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为( )A ．(－1，13)B ．(1，13)C ．(13，1)D ．(－1，－13)2.已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为__ __．3. 求过两直线3x ＋4y －2＝0与2x ＋y ＋2＝0的交点且垂直于直线6x －7y －3＝0的直线方程．考点六点到直线的距离与两条平行直线间的距离例1.求点P (3，－2)到下列直线的距离. (1)y ＝34x ＋14； (2)y ＝6; (3)x ＝4.例2. 求与直线2x －y －1＝0平行，且与直线2x －y －1＝0的距离为2的直线方程. 【变式探究】1.求点P 0(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x ＋y －10＝0; (2)x ＝2; (3)y －1＝0.2.直线2x ＋3y ＋1＝0与4x ＋my ＋7＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4B ．21313C ．51326D ．71020专题8.1 直线【考纲要求】1. 理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念；掌握求直线斜率的方法；2．掌握直线的斜截式方程、点斜式方程和一般式方程，能够根据条件求出直线的方程． 3. 掌握求两条相交直线的交点的方法；4.理解两条直线垂直和平行的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系． 5．会求点到直线的距离及两平行线之间的距离．【考向预测】1. 两点间的距离与线段中点的坐标2. 直线的倾斜角和斜率．3. 求直线的方程．4. 平行与垂直的应用5. 直线的交点坐标与距离公式6. 点到直线的距离与两条平行直线间的距离【知识清单】1. 两点间的距离与线段中点的坐标一般地，设111(,)P x y 、222(,)P x y 为平面内任意两点，（1）1P 、2P 之间的距离12||PP （2）线段1P 2P 中点000(,)P x y 的坐标为121200,.22x x y y x y ++== 2. 直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l __向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__． (2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__．3.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．4.直线方程的三种形式5.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．6.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__． 7.三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．【考点分类剖析】考点一两点间的距离与线段中点的坐标例1. 求A （−3，1）、B （2，−5）两点间的距离．【解析】 A 、B 两点间的距离为[]22||(32)1(5)61AB =--+--=例2.已知点S （0，2）、点T （−6，−1），现将线段ST 四等分，试求出各分点的坐标．【解析】设线段ST 的中点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，则由点S （0，2）、点T （−6，−1）得0(6)32Q x +-==-，2(1)122Q y +-==．即线段ST 的中点为Q 13,2-（）．同理，求出线段SQ 的中点P 35,24-（），线段QT 的中点91,24R --（）．故所求的分点分别为P 35,24-（）、Q 13,2-（）、91,24R --（）．【变式探究】已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．【解析】设BC 的中点D 的坐标为(,)D D x y ，则由(2,1)B -、(0,3)C 得(2)012D x -+==-，1322D y +==，故||AD =即BC 边上的中线AD 的长度为考点二直线的倾斜角和斜率例1. 已知坐标平面内三点A (－1,1)、B (1,1)、C (2，3＋1).求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；【解析】由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0.k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan0°＝0，∴直线AB 的倾斜角为0°.∵tan60°＝3，∴直线BC 的倾斜角为60°.又∵tan30°＝33，∴直线AC 的倾斜角为30°. 【变式探究】求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． (1)(－3,0)、(－2，3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)；(4)(3,0)、(3，3)．【解析】 (1)直线的斜率k ＝3－0－2＋3＝3＝tan60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°. (2)直线的斜率k ＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，倾斜角为0°.(3)直线的斜率k ＝9－4－2－3＝－1＝tan135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°. 考点三求直线的方程例1.求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)、Q(5，－4)两点．【解析】(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2,3)、Q(5，－4)的直线的斜率k PQ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．例2. 求满足下列条件的直线的斜截式方程(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.【解析】(1)y＝3x－3.(2)∵k＝tan60°＝3，∴y＝3x＋5.(3)∵k＝tan150°＝－33，∴y＝－33x.例3.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)经过A(－1,5)、B(2，－1)两点；【解析】(1)由点斜式方程得y－3＝（x－5)，整理得3x－y＋3－53＝0.(2)x＝－3，即x＋3＝0.(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.(4) 2x＋y－3＝0.【变式探究】1. 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点A (－2,5)，斜率是3； (2)经过点B (2，－3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (4)经过点D (1,1)，与x 轴垂直．【解析】 (1)y －5＝3(x ＋2)．(2)k ＝tan135°＝－1，∴y ＋3＝－(x －2)． (3)y ＝－1. (4)x ＝1.2. 写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为5，在y 轴上截距为－1，(2)倾斜角30°，在y 轴上截距为3，【解析】 (1)方程为y ＝5x －1，即5x －y －1＝0. (2)方程为y ＝x tan30°＋3，即x －3y ＋3＝0.3. 已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程．【解析】直线过A (－5,6)、B (－4,8)两点，由两点式得斜率k=862,45-=-+由点斜式得62(5),y x -=+整理得2x －y ＋16＝0，故所求直线的一般式方程为2x －y ＋16＝0 考点四平行与垂直的应用例1.求过点A (2,2)且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线l ：3x ＋4y －20＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －20＝0垂直．【解析】解法一：已知直线l ：3x ＋4y －20＝0的斜率k ＝－34.(1)过A (2,2)与l 平行的直线方程为y －2＝－（x －2)．即3x ＋4y －14＝0.(2)过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝－1k ＝43方程为y －2＝（x －2)．即4x －3y －2＝0为所求．解法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0，由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c ＝0， ∴c ＝－14.∴所求直线为3x ＋4y －14＝0.(2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0，由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2.∴所求直线为4x －3y －2＝0.【方法归纳】 1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0.2．直线l 1︰A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2.若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合．3．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2.【变式探究】1.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02.直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( A ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0【解析】 (1)所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝12，又直线过点(1,0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝（x －1)，即x －2y －1＝0.(2)由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－（x＋1)，即3x ＋2y －1＝0.考点五直线的交点坐标与距离公式例1.判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0；【解析】 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0 ①2x ＋2y ＋3＝0 ②，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.例2. 已知A (a,3)和B (3,3a ＋3)的距离为5，求a 的值.【解析】 ∵|AB |＝(a －3)2＋(3－3a －3)2＝5，即5a 2－3a －8＝0，∴a ＝－1或a ＝85.例3.已知直线l 1：x－2y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －8＝0.求经过l 1，l 2的交点且与已知直线3x ＋4y －2＝0平行的直线l 的方程.【解析】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝02x ＋3y －8＝0，得x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2的交点为(1,2)，∵直线l 过点(1,2)且与直线3x ＋4y －2＝0平行，∴设方程为3x ＋4y ＋c ＝0，把(1,2)代入得：c ＝－11， ∴所求方程为：3x ＋4y －11＝0.【变式探究】1. 已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点坐标为( C ) A ．(－1，13)B ．(1，13)C ．(13，1)D ．(－1，－13)【解析】联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝03x ＋5y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝1，故交点为(13，1)．2.已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为__(－5,0)或(11,0)__．【解析】设点P 的坐标为(x,0)，由|P A |＝10得(x －3)2＋(0－6)2＝10，解得x ＝11或x ＝－5.∴点P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．3. 求过两直线3x ＋4y －2＝0与2x ＋y ＋2＝0的交点且垂直于直线6x －7y －3＝0的直线方程．【解析】将两直线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－2,2)．由于所求直线与直线6x －7y －3＝0垂直，故设所求直线的方程为7x ＋6y ＋m ＝0.而此直线过点(－2,2)，所以7×(－2)＋6×2＋m ＝0，所以m ＝2.故所求的直线方程为7x ＋6y ＋2＝0. 考点六点到直线的距离与两条平行直线间的距离例1.求点P (3，－2)到下列直线的距离. (1)y ＝34x ＋14； (2)y ＝6; (3)x ＝4.【解析】 (1)把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185.(2)解法一：把方程y ＝6写成0·x ＋y －6＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|0×3＋(－2)－6|02＋12＝8.(3)因为直线x ＝4平行于y 轴，所以d ＝|4－3|＝1.例2. 求与直线2x －y －1＝0平行，且与直线2x －y －1＝0的距离为2的直线方程. 【解析】解法一：由已知，可设所求的直线方程为2x －y ＋C ＝0(C ≠－1)，则它到直线2x －y －1＝0的距离d ＝|C －(－1)|22＋(－1)2＝|C ＋1|5＝2，∴|C ＋1|＝25，C ＝±25－1，∴所求直线的方程为2x －y ＋25－1＝0或2x －y －25－1＝0. 【变式探究】1.求点P 0(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x ＋y －10＝0; (2)x ＝2; (3)y －1＝0.【解析】 (1)由点到直线的距离公式知d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5.(2)解法一：直线方程化为一般式为x －2＝0.由点到直线的距离公式d ＝|－1＋0×2－2|12＋02＝3.(3)解法一：由点到直线的距离公式得d ＝|－1×0＋2－1|02＋12＝1.2.直线2x ＋3y ＋1＝0与4x ＋my ＋7＝0平行，则它们之间的距离为( C )A ．4B ．21313C ．51326D ．71020【解析】由题意，得2m－3×4＝0，∴m＝6.故两直线2x＋3y＋＝0与4x＋6y＋7＝0的距离d＝|1－72|22＋32＝51326.。

中职数学第十二章直线

的倾斜角为α（α≠90°），则α的正切值叫作这条直线的斜率，通常用小写
字母k
k=tanα.
（12-3
当α=90°时，直线l的斜率不存在，当α≠90°时，直线l都有确定的斜率.
学习提示
倾斜角可用来表示直线对于x轴的倾斜程度.
第二节直线的方程
根据直线倾斜角的取值范围，直线的斜率可以分为以下4种情况：（4）
，截距不相等，
条直线相交；
则两条直线平行.
第三节两直线的位置关系
【例2】
判断下列各组直线的位置关系，若相交的话求出交点. （1）l1:x+3y+2=0，l2:2x－6y=0；
第三节两直线的位置关系
将方程2x－6y=0化为斜截式方程得
第三节两直线的位置关系
图 12-9
第三节两直线的位置关系
如图12-9（b）所示，两条直线l1,l2的斜率都为0，则这两条直线都与x轴平行，所以直线l1,l2平行.
如图12-9（c）所示，两条直线l1,l2的斜率都不存在，则这两条直线都与y轴平行，所以直线l1,l2平行.
所以，当两条直线的斜率都存在但不相等或一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时，两条直线相交，这样我们就可以利用前面的知识求两条直线的交点.
第三节两直线的位置关系
因此，两条直线是否有交点，主要是看方程组是否有唯一解.
第三节两直线的位置关系
【例1】
l1:x－2y+2=0 l2:x+2y－9=0.
第三节两直线的位置关系
课堂练习求下列两条直线的交点:
(1) l1:2x－y－3=0与l2:4x+5y+1=0 (2) l1:2x－5y+3=0与l2:x－2y－2=0.

《6.3.2两条直线相交》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21基础模块下册

《两条直线相交》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解两条直线相交的概念，掌握相交线的性质。

2. 能够运用相交线的性质解决简单的实际问题。

3. 培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：两条直线相交的性质以及应用。

2. 教学难点：引导学生发现两条直线相交的性质，培养观察和分析能力。

三、教学准备1. 准备教学PPT，包含相关图片和案例。

2. 准备练习题和案例分析材料。

3. 准备黑板和粉笔，用于课堂讲解和演算。

4. 邀请一位有经验的数学老师进行现场指导。

四、教学过程：1. 导入新课：首先，我们可以向学生介绍两条直线相交这一课题的重要性和实用性。

可以举一些实际生活中的例子，如建筑中的梁和柱子，道路上的十字路口等，让学生理解两条直线相交在实际生活中的应用。

2. 探索研究：在这一环节，我们可以组织学生进行小组讨论，让他们思考在两条直线相交的情况下可能产生哪些问题。

例如，两条直线的交角问题，两条直线的位置关系问题等。

同时，也可以引导学生利用已有的知识经验去猜想和预测这些问题，从而激发他们的求知欲和探索欲。

3. 实践活动：为了让学生更好地理解和掌握两条直线相交的知识，我们可以设计一些实践活动。

例如，可以让学生画一些不同角度的直线相交的图形，然后通过观察和测量，验证他们的猜想。

此外，我们还可以引入一些实际应用问题，如两条道路交叉口的设计问题，让学生运用所学的知识去解决。

4. 归纳总结：在课程的最后，引导学生对所学知识进行总结和归纳。

可以让他们分享自己在实践活动中的收获和体会，讨论他们在解决实际问题时遇到的困难和解决方法。

同时，教师也可以对课程内容进行总结和概括，强调重点和难点，帮助学生形成清晰的知识体系。

5. 布置作业：根据学生的学习情况和教学目标，布置一些与两条直线相交有关的作业，如一些练习题、小论文或者实践活动等，以帮助他们巩固和扩展所学知识。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解两条直线相交的基本概念和性质。

数学课程标准——中职院校公共基础课课程标准

数学课程标准——中等职业院校前言1.1课程基本信息本课程总课时数为290学时，适用于3+2教学班级1.2课程性质数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。

数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。

本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。

课程目标1.在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。

2.培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。

3、引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。

课程内容和要求第一章：集合一、教学要求1.理解集合的概念，掌握用符号表示元素与集合的关系的方法。

2.掌握集合的表示方法中的列举法，理解性质描述法。

3.理解空集、子集、真子集和全集的概念，理解集合相等与包含关系，掌握集合的交、并、补的简单运算。

4.了解充分条件，必要条件和充要条件。

二、重点：集合的表示和集合之间的关系三、难点：集合的性质描述法，充要条件第二章：不等式一、教学要求：1.通过比较实数大小理解并掌握不等式的基本性质。

2.掌握区间的概念。

3.掌握一元一次不等式（组）的解法，了解含绝对值的不等式。

4.理解一元二次不等式的解法，会求解简单的一元二次不等式。

5.能用解不等式的方法解决一些简单的实际应用问题二、重点：不等式的基本性质和解不等式的原理三、难点：不等式的证明第三章：函数一、教学要求：1.理解函数的概念，掌握函数的符号f(x)的意义和运用，能求出函数的定义域和简单的值域。

2.理解函数的三种表示法。

3.理解函数单调性的概念，能判断一些简单函数的单调性，了解函数奇偶性的概念。

4.掌握一次函数的图象及性质，理解二次函数的图象及性质，理解二次函数与一元二次不等式的关系。

中职数学两条直线相交(垂直)

函数图像
垂直的两条直线在函数图像上表现为点斜式方程的解，即交点的坐标。
斜率计算
利用直线与x轴夹角正切值计算斜率，再结合垂直条件计算另一条直线的斜率。
04
直线垂直的常见误区
忽视定义和性质的适用条件
忽视定义和性质的适用条件是学生在解决直线垂直问题时的一个常见误区。例如，在判断两条直线是否垂直时，学生可能会直接根据直线的斜率或方向向量来进行判断，而忽视了垂直的定义和性质。
垂直的定义和性质：如果两条直线相交于一点，且其中一个方向的向量与另一个方向的向量垂直，则这两条直线互相垂直。
对斜率存在的直线进行判定
01
02
学生可能会错误地认为只有斜率存在的直线才能进行垂直判定。实际上，无论直线是否有斜率，只要两条直线的方向向量互相垂直，这两条直线就互相垂直。
斜率存在的直线：对于斜率存在的直线，我们可以利用斜率的乘积为 -1来判定两条直线垂直。即若直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为 k2，则当k1 × k2 = -1时，两条直线互相垂直。
平行直线在坐标系中的特点：横坐标成比例，纵坐标相等（或纵坐标成比例，横坐标相等）。
垂直
01
两条直线相交成90度角。
02
直线与直线垂直，则斜率乘积为-1（或斜率均不存在）
。
03
垂直直线在坐标系中的特点：横纵坐标乘积为0。
02
两条直线垂直的判定
根据定义直接判定
01
定义
两直线垂直时，斜率乘积等于1。
02
公式
$k_1 \times k_2 = -1$
03
注意事项
当两直线都垂直于y轴时，斜率不存在，不满足上述条件。
利用斜率判定

专题25 两直线的位置关系-【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破

专题25 两直线的位置关系直线的方程平行垂直1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__ __三种情况．(1)两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔．(2)两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔____．2.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__ __；平行⇔方程组__ __；重合⇔方程组有__ __．3.(1) 与直线Ax + By + C = 0平行的直线设为： (x,y 的系数相同)(2) 与直线Ax + By + C = 0垂直的直线设为： (x,y 的系数换位置，添负号)4.两种特殊的直线：过点P(x O , y O )垂直于 x 轴的直线为，过点P(x O , y O )垂直于y 轴的直线为 x 轴的直线方程为 , y 轴的直线方程为5.直线方程的一般式化为斜截式：Ax + By + C = 0①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式： .6.求平行线间的距离时，一定要把 x ,y 的系数相同，且为一般式7.求线段 A B 的垂直平分线的步骤:(1)求中点M 的坐标.(2)求直线 A B 的斜率.(3)1 lAB kk =-(4)用点斜式写出方程.(5)结果化成一般式1.求过点与已知直线平行的直线2. 求过点与已知直线平行的直线3.求线段的垂直平分线4.平行线间的距离一．选择题：本大题共18小题，每小题4 分，满分72 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组直线中，互相平行的是（）A.x − y + 1 = 0与x + y = 0B.2x + y + 3 = 0与2x− y=0C.y =23x – 5与y =32x + 3 D.y = 2x + 1与y=2x −12.已知直线x − 2y + 1 = 0，则下列四条直线中与已知直线垂直的是（）A.2x + y + 1 = 0B.x + 2y + 3 = 0C. 2x − y + 1 = 0D. x − 2y + 3 = 03. 已知直线l 1: 2y = x ,直线l 2: y + 2x + 1 = 0,则l 1与l 2的位置关系是( )A.相交不垂直B.相交且垂直C.平行不重合D.重合4. 如果直线y = 3x 与直线y = −mx +1平行，那么m 的值为( )A.−3B.- 13C. 13D.35. 经过点(1, −1)且与直线2x − y + 5 = 0平行的直线方程是() A.x + 2y + 1 = 0 B.x + 2y − 3 = 0C.2x − y − 3 = 0D.2x − y + 6 = 06. 若直线l 1: 3x − y − 7 = 0与l 2: ax + 2y − 1 = 0垂直,则a=（）A. 32B. -32 C. 23 D . -237. 已知直线l 过点P(1, −1),并且与直线x + 3y − 1 = 0垂直，则直线l 的方程是( )A. 11(1)3y x +=--B. 11(1)3y x -=-+23C. 13(1)y x -=+− 3，32 D. 13(1)y x +=-8. 经过点(1, −1)且与直线2x − y + 3 = 0垂直的直线方程是( ) 、A.x + 2y + 2 = 0B.x + 2y = 0C.x − 2y − 3 = 0D.x + 2y + 1 = 09. 直线x − y + 6 = 0与直线x + y = 0的交点坐标为 ( )A.(−3,3)B.(3, −3)C.(4,2)D.(3,3)10. 两平行直线3x + 4y − 12 = 0和6x + 8y + 6 = 0之间的距离是( )A.18B.9C.6D.311. 已知过点P(−1,2)的直线l 1与直线l 2: x + y = 0垂直,垂足为点M,则点M 的坐标为（） A. (−32,32) B. (−23,23)C. (−1,1)D. (−2,2)12. 已知点A (−1,4)， B (5,2)，则AB 的垂直平分线是（）A.3x − y − 3 = 0B.3x + y − 9 = 0C.3x − y − 10 = 0D.3x + y − 8 = 013. 若两条直线l 2: x + 2y − 6 = 0与l 1: x + ay − 7 = 0平行，则l 1与l 2间的距离是()A. B.C. 2D. 514. 以点P (1,3), Q(−5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为（）A.12x + y + 2 = 0B.3x + y + 4 = 0C.3x − y + 8 = 0D. 2x − y − 2 = 015. 已知直线l1: x + 2y − 5 = 0, l2: 2x + y + 2 = 0，则直线l1与直线l2及x 轴所围成的三角形面积是（）A.12B.18C.24D.3016. 经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝017.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－318.直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝()A．－1B．2C．－1或2D．0或1二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28 分.19.如果直线2x − y − 3 = 0和直线kx + 2y − 2 = 0垂直，那么k 的值是__ __..20. 经过点M(−1,0)，且与直线x + y = 1垂直的直线的方程为_ __.21. 已知点A(1,3)和点B(3, −1)，则线段AB 的垂直平分线方程是__ __.22.过直线2x + y − 3 = 0和直线x − 2y + 1 = 0的交点，且斜率为−1的直线的一般式方程为__ __.，则线段AB 的垂直平分线在y轴上的截距为__ _ .24.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l 的方程为__ __．25.已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为__ .专题24 直线的方程(参考答案)1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况．(1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．(2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．2.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．3.(1) 与直线Ax + By + C = 0平行的直线设为：Ax + By + m = 0(x,y 的系数相同)(2) 与直线Ax + By + C = 0垂直的直线设为：Bx − Ay + m = 0(x,y 的系数换位置，添负号)4.两种特殊的直线：过点P(x O , y O )垂直于 x 轴的直线为x = x O ，过点P(x O , y O )垂直于y 轴的直线为y = y Ox 轴的直线方程为 y =0, y 轴的直线方程为 x =05.直线方程的一般式化为斜截式：Ax + By + C = 0①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. 6.求平行线间的距离时，一定要把 x ,y 的系数相同，且为一般式7.求线段 A B 的垂直平分线的步骤:(1)求中点M 的坐标.(2)求直线 A B 的斜率.(3)1l AB k k =- (4)用点斜式写出方程.(5)结果化成一般式。

中职数学教案：两条直线的位置关系(全2课时)

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题§8.4.1两条直线的位置关系(1)教学目标1理解两条直线的位置关系2通过解直线方程组求两条直线交点3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力重点求两条直线的交点难点平面上两条直线的交点问题与二元一次方程组关系的理解教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一新课引入平面内两条直线，若不平行（或重合），则必然相交，交于一点；如何通过直线方程研究两条直线的位置关系呢？二新知探究1 已知平面内两条直线的方程，若两条直线不平行（或重合），则必然相交，且交点坐标是唯一确定的，如何求交点坐标呢？2求两条直线交点的方法——解方程组设两条直线的方程分别是：：教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容五小结作业求两条直线的交点方法是解方程组：这个方程组的解就是两直线交点的坐标．作业布置：P80练习1、2板书设计§8.4.1两条直线的位置关系一、两条直线的交点求法解方程组二、例题三、习题教后札记江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学内容两条直线平行的判定:说明:为了降低难度，设定两条直线不重合且有斜率存在。

结合图形，归纳结论一般地，如果两条直线的方程分别是若它们平行，则它们倾斜角相等，斜率相等.所以l1∥l2,21kk=⇒且;21bb≠反之，若,21kk=且;21bb≠则倾斜角相等，则l1∥l2，即,21kk=且⇒≠21bb l1∥l2，因此，当直线l1，l2的斜率分别为21,kk时，有l1∥l2,21kk=⇔且;21bb≠（板书）【引导分析】直线方程为一般式时，判断平行的步骤.三例题讲解例3．判断下列直线是否平行：（1）直线l1：2x-y=0 和l2：x+2y-3=0；（2）直线l1：x-y=0 和l2：2x-2y-3=0师生共同解题（板书）解：（1）两条直线的斜率分别是，即,21kk≠两条直线不平行.（2）两条直线的斜率分别是1,121==kk，。

中职数学教案4.2直线与直线的位置关系

思考交流
我们知道，同一平面内有且只有一个公讲解理解用集合语
共点的两条直线称为相交直线，当 l 与 m 相
言描述相
交于点 A 时，可简记作 l∩m=A.
交直线，
两条相交直线所形成的最小正角称为这说明领会注意正确
两条相交直线所成的角，如图所示.显然，θ
的写法和
新知探索
∈
0， 2
，并且角
别是 MB、MA 的中点，M∉平面 BD. 求证：
的传递性
GH // EF.
讲解解决证明空间
典型例题
强调交流直线平行的问题
指导主动
求解
证明因为点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边
BC、AD 的中点，所以 AF// BE，且 AF=BE.
故四边形 ABEF 是平行四边形，EF // BA.
（2）直线 BC 与直线 B'C'之间的距离.
4.2.2 异面直线
情境与问题（1）
提出思考创设情
图中所示长方体教室中，可以直观地看问题
境，借助
出直线 a 与直线 d 不同在任何一平面内，是引发分析熟悉的例
情境导入
异面直线，能否有更准确的方法判断两条直思考回答子体会异
线是异面直线呢？
2 （2）因为 B1C1∥BC，且 A1C1 与 B1C1 相
交于点 C1，所以∠A1C1B1 就是异面直线 A1C1
与 BC 所成的角.
在 Rt△A1B1C1 中, ∠A1B1C1= .因此异 4
面直线 A1C1 与 BC 所成角的大小为 . 4
观察正方体可以
讲解
理解
借助正方
发现，正方体中与异

高教版中职数学下册8.3《两条直线的位置关系》word教案1

【课题】8．3 两条直线的位置关系（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用两条直线平行的条件解题．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线平行的条件．【教学难点】两条直线平行的判断及应用．【教学设计】从初中平面几何中两条直线平行的知识出发，通过“数”“形”结合的方式，讲解两条直线平行的判定方法，介绍两条直线平行的条件，学生容易接受．知识讲解的顺序为：．两条直线平行⇔同位角相等⇔倾斜角相等⇔9090⎧≠⇔⎨=⇔⎩ooαα倾斜角斜率相等;倾斜角斜率都不存在.教材都是采用利用“斜率与截距”判断位置关系的方法．其步骤为：首先将直线方程化成斜截式方程，再比较斜率与截距进行位置关系的判断．例1就是这种方法的巩固性题目．考虑到学生的实际状况和职业教育的特点，教材没有介绍利用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系．例2是利用平行条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用平行条件求出直线的斜率，从而写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．简单的解决问题的过程，蕴含着“解析法”的数学思想，要挖掘．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间8．3 两条直线的位置关系（一）*创设情境兴趣导入【知识回顾】我们知道，平面内两条直线的位置关系有三种：平行、相交、重合．并且知道，两条直线都与第三条直线相交时，“同位角相等”是“这两条直线平行”的充要条件．【问题】两条直线平行，它们的斜率之间存在什么联系呢质疑引导分析思考启发学生思考10 *动脑思考探索新知【新知识】当两条直线1l 、2l 的斜率都存在且都不为0时（如图8－11（1）），如果直线1l 平行于直线2l ，那么这两条直线与x 轴相交的同位角相等，即直线的倾角相等，故两条直线的斜率相等；反过来，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾角相等，即两条直线与x 轴相交的同位角相等，故两直线平行．当直线1l 、2l 的斜率都是0时（如图8－11（2）），两条直线都与x 轴平行，所以1l //2l ．当两条直线1l 、2l 的斜率都不存在时（如图8－11（3）），直线1l 与直线2l 都与x 轴垂直，所以直线1l // 直线2l ．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析图8-11(1)【教师教学后记】。

中职数学基础模块下册第6章《两条直线的位置关系》习题课课件

（2）两条直线的斜率都不存在，两直线平行；
（3）一条直线斜率为零，另一条斜率不存在，两直线垂直。
数学是打开科学大门的钥匙。
2．斜率存在且不为零时：
设1 : ＝1 ＋1 ，2 : ＝2 ＋2 ，则
两个方程的
系数关系
两条直线的
位置关系
平行
重合
数学是打开科学大门的钥匙。
相交
3．作为相交关系中的特殊情况――垂直的条件是
整理得4 − 3 − 3 = 0．
数学是打开科学大门的钥匙。
4
4
6.3 两条直线的位置关系
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
数学是打开科学大门的钥匙。
高教版数学基础模块（下册）
第六章直线与圆的方程
6. 3 两条直线的位置关系习题课
授课人：何兴涛
数学是打开科学大门的钥匙。
3 + 4 − 1 = 0 的直线方程．
+−6=0
=3
解：联立方程组
，解得
=3
2 − − 3 = 0
所以交点坐标为(3，3)．
3
1
3
直线3 + 4 − 1 = 0的斜截式方程为 = − + ，斜率为−
4
所以所求直线的斜率是
3
4
代入点斜式方程 − 3 = (
3
4
− 3)

4
解：直线1 的斜截式为 = − −
5
4
，可知斜率1 = −
直线2 的斜截式为 = ，则斜率2 = 1 ，
因为1 与2 平行，所以1 = 2 ，

《6.3.2两条直线相交》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块下册

《两条直线相交》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业的主要目标是使学生掌握两条直线相交的基本概念和判定条件，熟悉直线的交点求解过程，加深对相交直线间关系的理解，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。

二、作业内容（一）知识要点1. 直线的相交概念：两条直线在平面上的交点称为相交点。

2. 直线相交的判定条件：两直线在同一平面内且不平行，则必定相交。

3. 直线相交的求解方法：通过已知条件，利用解析几何的方法求解交点。

（二）作业内容1. 基础练习：完成课本上的相关习题，包括判断两条直线是否相交、求直线的交点等。

2. 拓展应用：设计实际问题情境，如桥梁建设中的直线相交问题，让学生运用所学知识进行分析和解决。

3. 小组合作：分组进行讨论，每组选择一个实际问题，运用所学知识进行探讨并提交解决方案。

三、作业要求1. 认真完成基础练习，确保对相交直线的概念和求解方法有清晰的理解。

2. 在拓展应用部分，要积极思考，尝试将数学知识与实际问题相结合。

3. 小组合作时，要积极参与讨论，发挥集体智慧，提交有创意的解决方案。

4. 作业需独立完成，不得抄袭他人成果。

四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的正确性、解题思路的清晰性以及解决问题的创新能力进行评价。

2. 对基础练习部分，教师将重点评价学生对相交直线概念的理解和求解方法的掌握情况。

3. 在拓展应用和小组合作部分，教师将更注重学生的创新能力和团队合作精神的评价。

五、作业反馈1. 教师将对每位学生的作业进行批改，指出错误并给出正确答案。

2. 对于共性问题，将在课堂上进行讲解，确保学生能够及时纠正错误。

3. 对于表现优秀的学生和小组，将在课堂上进行表扬和展示，激励学生积极参与数学学习。

4. 作业反馈将作为学生学期总评的重要依据之一。

通过以上的作业设计方案，相信能帮助学生更好地掌握《两条直线相交》这一课时的知识点，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

在作业的完成过程中，学生不仅可以巩固所学知识，还能在拓展应用和小组合作中锻炼自己的创新能力和团队合作精神。

高教版中职数学(基础模块)下册8.3《两条直线的位置关系》word教案1

【课题】8．3 两条直线的位置关系（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握两条直线平行的条件；（2）能应用两条直线平行的条件解题．能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线平行的条件．【教学难点】两条直线平行的判断及应用．【教学设计】从初中平面几何中两条直线平行的知识出发，通过“数”“形”结合的方式，讲解两条直线平行的判定方法，介绍两条直线平行的条件，学生容易接受．知识讲解的顺序为：．两条直线平行⇔同位角相等⇔倾斜角相等⇔9090⎧≠⇔⎨=⇔⎩αα倾斜角斜率相等;倾斜角斜率都不存在.教材都是采用利用“斜率与截距”判断位置关系的方法．其步骤为：首先将直线方程化成斜截式方程，再比较斜率与截距进行位置关系的判断．例1就是这种方法的巩固性题目．考虑到学生的实际状况和职业教育的特点，教材没有介绍利用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系．例2是利用平行条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用平行条件求出直线的斜率，从而写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．简单的解决问题的过程，蕴含着“解析法”的数学思想，要挖掘．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程师行为生行为学意图间 *揭示课题 8．3 两条直线的位置关系（一）*创设情境兴趣导入【知识回顾】我们知道，平面内两条直线的位置关系有三种：平行、相交、重合．并且知道，两条直线都与第三条直线相交时，“同位角相等”是“这两条直线平行”的充要条件．【问题】两条直线平行，它们的斜率之间存在什么联系呢介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考1*动脑思考探索新知【新知识】当两条直线1l 、2l 的斜率都存在且都不为0时（如图8－11（1）），如果直线1l 平行于直线2l ，那么这两条直线与x 轴相交的同位角相等，即直线的倾角相等，故两条直线的斜率相等；反过来，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾角相等，即两条直线与x 轴相交的同位角相等，故两直线平行．当直线1l 、2l 的斜率都是0时（如图8－11（2）），两条直线都与x 轴平行，所以1l //2l ．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析图(【教师教学后记】是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。

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