数量关系几何问题
数量关系重点公式及例题讲解
数量关系重点公式及例题讲解数量关系重点公式：重点公式1、弃9验算法利用被9除所得余数的性质，对四则运算的结果进行检验的一种方法，叫“弃9验算法”。
用此方法验算，首先要找出一个数的“弃9数”，即把一个数的各个数位上的数字相加，如果和大于9或等于9都要减去9，直至剩下的一个小于9的数，我们把这个数称为原数的“弃9数”。
对于加减乘运算，可利用原数的弃九数替代进行运算，结果弃九数与原数运算后的弃九数相等注：1.弃九法不适合除法2.当一个数的几个数码相同，但0的个数不同，或数字顺序颠倒，或小数点的位置不同时，它的弃9数却是相等的。
这样就导致弃9数虽相同，而数的实际大小却不相同的情况，这一点要特别注意重点公式2、传球问题重点公式N个人传M次球，记X=N-1^M/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数重点公式3、整体消去法在较复杂的计算中，可以将近似的数化为相同，从而作为一个整体消去重点公式4、裂项公式1/nn-k =1/k 1/n-k-1/n重点公式5、平方数列求和公式1^2+2^2+3^2…+n^2=1/6 nn+12n+1重点公式6、立方数列求和公式1^3+2^3+3^3…+n^3=[1/2 nn+1 ]^2重点公式7、行程问题1分别从两地同时出发的多次相遇问题中，第N次相遇时，每人走过的路程等于他们第一次相遇时各自所走路程的2n-1倍2A.B距离为S，从A到B速度为V_1,从B回到A速度为V_2，则全程平均速度V= 〖2V〗_1 V_2/V_1+V_2 ，3沿途数车问题：同方向相邻两车的发车时间间隔×车速=同方向相邻两车的间隔4环形运动问题：异向而行，则相邻两次相遇间所走的路程和为周长同向而行，则相邻两次相遇间所走的路程差为周长5自动扶梯问题能看到的级数=人速+扶梯速×顺行运动所需时间能看到的级数=人速-扶梯速×逆行运动所需时间6错车问题对方车长为路程和，是相遇问题路程和=速度和×时间7队伍行走问题V_1为传令兵速度，V_2为队伍速度，L为队伍长度，则从队尾到队首的时间为：L/V_1-V_2从队首到队尾的时间为：L/V_1+V_2重点公式8、比赛场次问题N为参赛选手数，淘汰赛仅需决出冠亚军比赛场次=N-1，淘汰赛需决出前四名比赛场次=N，单循环赛比赛场次=_N^2，双循环赛比赛场次=A_N^2重点公式9、植树问题两端植树：距离/间隔+1 = 棵数一端植树环形植树：距离/间隔= 棵数俩端均不植树：距离/间隔-1=棵数双边植树：距离/间隔-1*2=棵数重点公式10、方阵问题最为层每边人数为N方阵总人数=N^2最外层总人数=N-1×4相邻两层总人数差=8行数和列数>3去掉一行一列则少2N-1人空心方阵总人数=最外层每边人数-层数×层数×4重点公式11、几何问题N边形内角和=N-2×180°球体体积=4/3 πr^3圆柱体积=πr^2 h圆柱体积=1/3 πr^2 h重点公式12、牛吃草问题牛头数-每天长草量×天数=最初总草量重点公式13、日期问题一年加1，闰年加2，小月30天加2，大月31天加3，28年一周期 4年1闰，100年不闰，400年再闰重点公式14、页码问题如：一本书的页码一共用了270个数字，求这本书的页数。
历年国考行测之数量关系真题与详解
行测数量关系2013年国考行测真题及答案：数量关系61、某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。
假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部分得的毕业生人数至少为多少名?A.10B.11C.12D.13参考答案：B本题解析：每个部门分9人还剩2人，则把这两人给行政部门则行。
62、阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1米，地面部分的长度为7米。
甲某身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9米。
则该电线杆的高度为：A.12米B.14米C.15米D.16米参考答案：C本题解析：几何问题。
由题意，真实长度与影子长度为2:1，墙上的影子长度投影到地上才是真实的影子长度，即影子总长为7×2=14米，墙上的影子是电线杆的实际高度，电线杆高度为15米。
63、甲与乙进行打靶比赛，各打两发子弹，中靶数量多的人获胜。
甲每发子弹中靶的概率是60%，而乙每发子弹中靶的概率是30%。
则比赛中乙战胜甲的可能性：A.小于5%B.在5%～12%之之间C.在10%～15%之间D.大于15%参考答案：C本题解析：概率问题。
分类思想：(全概率公式)乙战胜甲的概率=乙中2×(甲中0+甲中1)+乙中1×(甲中0)=0.3×0.3×(0.4×0.4+2×0.6×0.4)+2×0.3×0.7×0.4×0.4=12.48%。
64、某汽车厂商生产甲、乙、丙三种车型，其中乙型产量的3倍与丙型产量的6倍之与等于甲型产量的4倍，甲型产量与乙型产量的2部之与等于丙型产量7倍。
则甲、乙、丙三型产量之比为：A.5∶4∶3B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.3∶2∶1参考答案：D本题解析：数字特性思想，由3乙+6丙=4甲，得甲应为3的倍数。
观察选项只有D项满足。
整除是解题的一个方法。
65、某种汉堡包每个成本4.5元，售价10.5元，当天卖不完的汉堡包即不再出售。
数量关系备考典型例题解析(10道题)
2015年数量关系备考典型例题解析1、（广西2014-65、云南2014-61）某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。
问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？A 、16B 、20C 、24D 、28【答案】B【题型】倍数特性【解析】由“如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”，可设分成了X 组，则党员数为5X+2名，入党积极分子为2X ，因此参加理论学习的党员比入党积极分子多3X+2名，即减去2是3的倍数，符合此条件的只有B 项。
因此本题答案为B 。
2、（广西2014-61、云南2014-70）甲乙两辆车从A 地驶往90公里外B 地，两车进度比为5：6，甲车于上午10半出发，乙车于10点40出发，最终乙比甲早2分种到达B 地，问两车时速相差多少千米/小时？A 、10B 、12C 、12.5D 、15【答案】D【题型】追及问题（方程法巧设未知数）【解析】依据题意，乙走完全程比甲少用1/5小时。
设甲的速度为5X ，则乙的速度为6X ，可得方程：51690590=-X X ，X=15。
因此本题答案为D 。
3、（广州2014-49）为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。
在该单位的所有职工中，参加合唱活动有189人，参加象棋活动有152人，参加羽毛球活动有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。
该单位的职工人数为（ ）。
A.233B.252C.321D.520【答案】B【题型】三集合整体重复型（A+B+C-x-2y=M-p ）【解析】根据题意有：189+152+135-130-2×69=P-44，解得P=252。
故本题正确答案为B 。
4、（广州2014-50）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。
行测数量关系知识点汇总
行测常用数学公式工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和； 设总工作量为1或最小公倍数1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N 2 最外层人数＝（最外层每边人数－1）×42.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。
3.N 边行每边有a 人，则一共有N(a-1)人。
4.实心长方阵：总人数=M ×N 外圈人数=2M+2N-4 5.方阵：总人数=N 2 N 排N 列外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人） (2)排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人 (3)爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要爬N M -层。
总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔 楼间棵数=总长/间隔-1 （1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔 （2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔； 总长=棵数×间隔（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。
：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2N ×M ＋1）段平均速度＝总路程÷总时间 平均速度型：平均速度＝21212v v v v + （2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间 （3）流水行船型：顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。
国考数量关系常考题型
国考数量关系常考题型
国考数量关系是指行测科目中的一种题型，主要考察考生的数学运算能力和逻辑思维能力。
以下是国考数量关系中常考的题型：
1. 计算问题：考察考生的基本数学运算能力，如加减乘除、百分数计算等。
2. 排列组合问题：考察考生对于排列组合原理的理解和应用能力。
3. 工程问题：考察考生对于实际工程问题的解决能力，如工时计算、成本分析等。
4. 利润问题：考察考生对于商业利润计算的理解和应用能力。
5. 行程问题：考察考生对于路程、速度和时间之间关系的理解和应用能力。
6. 容斥问题：考察考生对于集合交、并、补的计算原理的理解和应用能力。
7. 几何问题：考察考生对于几何图形的认识和计算能力，如平面几何、立体几何等。
8. 概率问题：考察考生对于概率计算的理解和应用能力。
9. 函数图像问题：考察考生对于函数图像的理解和分析能力。
10. 极值问题：考察考生对于最值问题的理解和应用能力，如最大值、最小值等。
数量关系20大经典题
数量关系20大经典题1. 32，21，52，31，72，（ ） A. 41 B. 61 C. 112 D. 92 1.A.［解析］ 该数列的奇数项的分子都为2，分母是首项为3，公差为2的等差数列3、5、7……； 偶数项的分子都为1，分母是首项为2，公差为1的等差数列2、3、4……，故选A 。
2. 1，3，3，5，7，9，13，15，（ ），（ ）A. 19，21B. 19，23C. 21，23D. 27，302.C.［解析］ 奇数项1、3、7、13、（ ），是一个二级等差数列，做一次差分别得到2、4、6、…，则奇数项数列（ ）中应该填21；偶数项3、5、9、15、（ ），也是一个二级等差数列，做一次差分别得到2、4、6、（ ），则偶数项数列…中应该填23，故选C 。
［华图名师点评］ 本题还可以分组来看，两两一组做差与做和：组内做差得到2、2、2、2、？，为常数数列；组内做和得到4、8、16、28、？，为二级等差数列。
3. 0，4，16，40，80，（ ）A. 160B. 128C. 136D. 1403.D.［解析］ 本题是一个三级等差数列，两次做差之后得到：8，12，16，（20），由此可知答案应该是140。
所以选择D 选项。
4. 3，2，11，14，（ ），34A. 18B. 21C. 24D. 274.D.［解析］ 本题属于平方修正数列。
3＝12＋2，2＝22-2，11＝32＋2，14＝42-2，（ ）＝52＋2＝27，34＝62-2。
所以选择D 选项。
5. 157，65，27，11，5，（ ）A. 4B. 3C. 2D. 15.D.［解析］ 本题属于递推数列。
规律为157－2×65＝27；65－2×27＝11；27－2×11＝5；11－2×5＝1，所以选择D 选项。
6. （1.1）2＋（1.2）2＋（1.3）2＋（1.4）2的值是（ ）A. 5.04B. 5.49C. 6.06D. 6.306.D.［解析］ 本题属于尾数计算。
(完整版)数量关系公式
环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间
三、流水行船型
顺流路程=（船速+水速）×顺流时间
逆流路程=(船速-水速)×逆流时间
静水速度=(顺水速度+逆水速度）÷2
水流速度=（顺水速度—逆水速度）÷2
四、扶梯上下型
扶梯总长=人走的阶数×［1±（V梯÷V人）］,顺行用加法，逆行用减法
二、不相邻—插空法
6人排队，ab不排在一起:A44＊A52(先排 除了ab之外的4人，4人排好后有5个空位，再选择其中2个排ab两人）
三、围成一圈
6人围成一圈：A55（选定6人中其中一人标定位置，其余5人按顺序排队）
四、几对夫妻排队
4对夫妻排队：A88（相当于8人排队)
五、夫妻要排一起
4对夫妻排队,并且夫妻要排在一起:（A22*A22*A22＊A22)*A44(先把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队）
解析:依据公式,发车间隔T=（2t1×t2） ÷(t1+t2)=2×12×4÷（12+4）=6(分钟）。
推导原型：设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,每隔t2分钟就有辆公共汽车从后面 超过该人，有方程组：
S=(V车+V人)×t1→ V车=(S/t1 +S/t2) ÷2→
S=(V车—V人）×t2 V人=(S/t1 —S/t2) ÷2
y= （N3—x）*T3 =（N1-x）＊T1=(N2—x)* T2
注：题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的牛数。
4。钟表问题
基本常识：时针每分钟走0。5°，分钟每分钟走6°；
数量关系
数量关系1．B．【解析】本题为几何类题目。
因为正三角形和一个正六边形周长相等，又正三角形与正六边形的边的个数比为1︰2，所以其边长比为2︰1，正六边形可以分成6个小正三角形，边长为1的小正三角形面积：边长为2的小正三角形面积=1︰4。
所以正六边形面积：正三角形的面积=1×6/4=1.5。
所以选B。
2．B．【解析】当n是3的倍数的时候，2n-1是7的倍数。
也就是求100以内3的倍数，从3到99，共有33个。
故选B。
3．D．【解析】假设甲阅览室科技类书籍有20x本，文化类书籍有x本，则乙阅读室科技类书籍有16x本，文化类书籍有4x本，由题意有：（20x+x）-（16x+4x）=1000，解出x=1000，则甲阅览室有科技类书籍20000本。
4．B．【解析】本题为工程类题目。
设总工程量为48，则甲的效率是3，乙的效率是4，工作12小时后，完成了42。
第12小时甲做了3，完成了总工程量45，剩余的3由乙在第十四小时完成。
在第十四小时里，乙所用的时间是3/4小时，所以总时间是13.75小时。
5．D．【解析】本题为概率类题目。
假设甲、乙分别在0-30分钟之内到达约会地点的情况如下图，则只有在阴影部分区域甲乙能够相遇，也就是求阴影部分面积的比例。
很容易看出，阴影部分的面积为3/4=75%。
1．小王和小李6小时共打印了900页文件，小王比小李快50%。
请问小王每小时打印多少页文件？（）A．60 B．70 C．80 D．902．如果甲比乙多20%，乙比丙多20%，则甲比丙多百分之多少？（）A．44 B．40 C．36 D．203．将一个正方形分成9个小正方形，填上1到9这9个自然数，使得任意一个横行，一个纵列以及每一对角线上的3个数之和等于15，请问位于中间的小正方形应填哪个数？（）A．4 B．5 C．6 D．74．小张数一篇文章的字数，二个二个一数最后剩一个，三个三个一数最后剩一个，四个四个一数最后剩一个，五个五个一数最后剩一个，六个六个一数最后剩一个，七个七个一数最后剩一个，则这篇文章共有多少字？（）A．501 B．457 C．421 D．3655．四个相邻质数之积为17017，他们的和为（）A．48 B．52 C．61 D．721. 【解析】D。
专题55 几何图形中多线段之间的数量关系-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题专题55 几何图形中多线段之间的数量关系（15题）1．（2020·安徽中考真题）如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥； ()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG，求证：EG DG -=．【答案】（1）见解析；（2）12+；（3）见解析 【提示】（1）由矩形的形及已知证得△EAF ≌△DAB ，则有∠E=∠ADB ，进而证得∠EGB=90º即可证得结论； （2）设AE=x ，利用矩形性质知AF ∥BC ，则有EA AFEB BC=，进而得到x 的方程，解之即可； （3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明△EHA ≌△DGA ，得到∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，则证得△HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC ，AD ∥BC ， 在△EAF 和△DAB ，AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EAF ≌△DAB(SAS)，新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴∠E=∠BDA ， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG ⊥EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ， ∵AF ∥BC ，∠E=∠E ， ∴△EAF ∽△EBC ， ∴EA AFEB BC=，又AF=AB=1， ∴11x x x=+即210x x --=，解得：12x +=，12x =（舍去） 即； （3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ， 在△EAH 和△DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EAH ≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG ，AH=AG ， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º，∴△GAH 是等腰直角三角形， ∴222AH AG GH +=即222AG GH =， ∴， ∵GH=EG-EH=EG-DG ，∴EG DG -=．【名师点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．2．（2020·重庆中考真题）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：CF =； （2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BC =；（3）CE = 【提示】（1）先证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABD ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE ＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；（2）连接AF ，由（1）得ABD ACE ∆≅∆，CE BD =，45ACE ABD ︒∠=∠=，推出454590DCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，然后根据现有条件说明在Rt DCE中，DE ，点A ，D ，C ，E 四点共圆，F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC中，推出AG =，即可得出答案； （3）在△ABC 内取一点P ，连接AP 、BP 、CP ，将三角形ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBD ，证明点P 位于线段CE 上，同理得到点P 位于线段BF 上，证明∠BPC=120°，进而得到120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PD 为a ，得出BD =，AD BD =，得出a m +，解出a ，根据BD CE =即可得出答案． 【详解】解：（1）证明如下：∵90BAC DAE ∠=∠=︒， ∴BAD CAE ∠=∠， ∵AB AC =，AD AE =，∴在ABD △和ACE △中BAD CAEAB AC AD AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE ∆≅∆， ∴45ABD ACE ∠=∠=︒， ∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=，在Rt ADE △中，F 为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ∠=∠=︒， ∴AF DE ⊥，即Rt ADF 为等腰直角三角形，∴2AF DF AD ==， ∵CF DF =，∴CF AD =； （2）连接AF ，由（1）得ABD ACE ∆≅∆，CE BD =，45ACE ABD ︒∠=∠=， ∴454590DCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt DCE中，DE ， ∵F 为DE 中点，∴12DF EF DE ===，在四边形ADCE 中，有90DAE DCE ∠=∠=︒，180DAE DCE ∠+∠=︒， ∴点A ，D ，C ，E 四点共圆， ∵F 为DE 中点，∴F 为圆心，则CF AF =， 在Rt AGC 中， ∵CF AF =，∴F 为CG 中点，即CG 2CF ==，∴AG =，即BC =；（3）如图1，在△ABC 内取一点P ，连接AP 、BP 、CP ，将三角形ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBD ，得到△BPD 为等边三角形，所以PD=BP ， ∴AP+BP+CP=DE+DP+CP ，∴当PA PB PC ++的值取得最小值时，点P 位于线段CE 上；如图2，将三角形ACP 绕点C 顺时针旋转60°得到△FCG ，得到△PCG 为等边三角形，所以PC=GP ， ∴AP+BP+CP=GF+GP+BP ，∴当PA PB PC ++的值取得最小值时，点P 位于线段BF 上；综上所述：如图3，以AB 、AC 为边向外做等边三角形ABE 和等边三角形ACF ，连接CE 、BF ，则交点P 为求作的点， ∴△AEC ≌△ABF ， ∴∠AEC=∠ABF ， ∴∠EPB=EAB=60°， ∴∠BPC=120°，如图4，同理可得，120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，∴60BPD ∠=︒， 设PD 为a ，∴BD =，又AD BD ==，∴a m +=，1)m a =a =又BD CE =∴CE ． 【名师点拨】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键． 3．（2020·江苏南通市真题）（了解概念）有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．（理解运用）（1）如图①，对余四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，CD ＝4，连接AC ．若AC ＝AB ，求sin ∠CAD 的值； （2）如图②，凸四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD ⊥BD ，当2CD 2+CB 2＝CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论； （拓展提升）（3）在平面直角坐标系中，点A （﹣1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于△ABC 内部，∠AEC ＝90°+∠ABC ．设AEBE＝u ，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．【答案】（1）1225；（2）四边形ABCD 是对余四边形，证明见解析；（3）u （0＜t ＜4）． 【提示】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin ∠CAD 的值． （2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形．（3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题．【详解】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，在Rt△AEB中，AE4==，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD＝90°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，∴EB AB CF CD=，∴354 CF=，∴CF＝125，∴sin∠CAD＝12125525 CFAC==．（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∵∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形．（3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴OA ＝1，OB ＝3，AB ＝4，AC ＝BC ＝ ∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝∠CAB ＝45°， ∵四边形ABCD 是对余四边形， ∴∠ADC+∠ABC ＝90°， ∴∠ADC ＝45°，∵∠AEC ＝90°+∠ABC ＝135°， ∴∠ADC+∠AEC ＝180°， ∴A ，D ，C ，E 四点共圆， ∴∠ACE ＝∠ADE ，∵∠CAE+∠ACE ＝∠CAE+∠EAB ＝45°， ∴∠EAB ＝∠ACE ， ∴∠EAB ＝∠ADB ， ∵∠ABE ＝∠DBA ， ∴△ABE ∽△DBA ， ∴BE AEAB AD =， ∴AE ADBE AB= ∴u ＝4AD， 设D （x ，t ），由（2）可知，BD 2＝2CD 2+AD 2，∴（x ﹣3）2+t 2＝2[（x ﹣1）2+（t ﹣2）2]+（x+1）2+t 2， 整理得（x+1）2＝4t ﹣t 2，在Rt △ADH 中，AD ==∴u ＝4AD ＝2（0＜t ＜4），即u（0＜t＜4）．【名师点拨】本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC 上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析【提示】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD 为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝FE ，∠DEF ＝60°，∴∠DEH+∠HEF ＝∠FEC+∠HEF ＝60°， ∴∠DEH ＝∠FEC ， 在△DEH 和△FEC 中，DE FE DEH FEC EH EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEH ≌△FEC （SAS ）， ∴DH ＝CF ，∴CD ＝CH+DH ＝CE+CF ， ∴CE+CF ＝CD ；（2）解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD+CE ；理由如下： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝60°，过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示： ∵GD ∥AB ，∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°， ∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°， ∴△GCD 为等边三角形， ∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°， ∵△EDF 为等边三角形，∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°， ∴∠EDG ＝∠FDC ， 在△EGD 和△FCD 中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EGD ≌△FCD （SAS ）， ∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG+CE ＝CD+CE ．【名师点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．5．（2020·四川达州市·中考真题）（1）（阅读与证明）如图1，在正ABC 的外角CAH ∠内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在CAH ∠内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ． ①完成证明：点E 是点C 关于AM 的对称点，90AGE ︒∴∠=，AE AC =，12∠=∠．正ABC 中，60BAC ︒∠=，AB AC =，AE AB ∴=，得34∠=∠．在ABE △中，126034180︒︒∠+∠++∠+∠=，13∴∠+∠=______︒． 在AEG △中，3190FEG ︒∠+∠+∠=，FEG ∴∠=______︒． ②求证：2BF AF FG =+． （2）（类比与探究）把（1）中的“正ABC ”改为“正方形ABDC ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得： ①FEG ∠=______︒；②线段BF 、AF 、FG 之间存在数量关系___________． （3）（归纳与拓展）如图3，点A 在射线BH 上，AB AC =，()0180BAC αα︒︒∠=<<，在CAH ∠内引射线AM ，作点C关于AM 的对称点E （点E 在CAH ∠内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ．则线段BF 、AF 、GF 之间的数量关系为__________．【答案】（1）①60°，30°；②证明见解析；（2）①45°；②；（3）2sin2sin2FG BF αα=+．【提示】（1）①根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；②在FB 上取AN=AF ，连接AN ．先证明△AFN 是等边三角形，得到 ∠BAN=∠2=∠1，然后再证明△ABN ≌△AEF ，然后利用全等三角形的性质以及线段的和差即可证明；（2）类比（1）的方法即可作答；（3）根据（1）（2）的结论，即可总结出答案． 【详解】解：（1）①∵12∠=∠，34∠=∠，126034180︒︒∠+∠++∠+∠= ∴()213120︒∠+∠=，即13∠+∠=60°；∵3190FEG ︒∠+∠+∠= ∴()903130FEG ︒︒∠=∠+∠=-故答案为60°，30°；②在FB 上取FN=AF ，连接AN ∵∠AFN=∠EFG=60° ∴△AFN 是等边三角形 ∴AF=FN=AN ∵FN=AF新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴∠BAC=∠NAF=60° ∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2 ∴∠BAN=∠2∵点C 关于AM 的对称点E ∴∠2=∠1,AC=AE ∴∠BAN=∠2=∠1 ∵AB=AC ∴AB=AE 在△ABN 和△AEF FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE ∴△ABN ≌△AEF ∴BN=EF∵AG ⊥CE ，∠FEG=30° ∴EF=2FG ∴BN=EF=2FG ∵BF=BN+NF ∴BF=2FG+AF（2）①点E 是点C 关于AM 的对称点，90AGE ︒∴∠=，AE AC =，12∠=∠．正方形ABCD 中，90BAC ︒∠=，AB AC =，AE AB ∴=，得34∠=∠．在ABE △中，129034180︒︒∠+∠++∠+∠=，13∴∠+∠=45︒．在AEG △中，3190FEG ︒∠+∠+∠=，新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴∠=45︒．FEG故答案为45°；②在FB上取FN=AF，连接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°∴∠BAN=∠2∵点C关于AM的对称点E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴∴∵BF=BN+NF∴（3）由（1）得：当∠BAC=60°时BF=AF+2FG=602sin302sin60sin302sin2FG FGAF AF+=+2sin2sin2FGBF AFαα=+；由（2）得：当∠BAC=90°时BF=902sin452sin90sin452sin2FG FGAF AF+=+；以此类推，当当∠BAC=α60°时，2sin2sin2FGBF AFαα=+．【名师点拨】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数的应用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．6．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF 拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE （如图4）．（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】94；【探究】BD＝2OF，理由见解析；【提示】【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；【发现】连接BE 交AD 于点O ，设AF ＝x （cm ），则OA ＝OE ＝12（x +4），得出OF ＝OA ﹣AF ＝2﹣12x ，由勾股定理可得()2221123424x x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，解方程求出x ，则AF 可求出； 【探究】如图2，延长OF 交AE 于点H ，证明△EFO ≌△EFH （ASA ），得出EO ＝EH ，FO ＝FH ，则∠EHO ＝∠EOH ＝∠OBD ＝∠ODB ，可证得△EOH ≌△OBD （AAS ），得出BD ＝OH ，则结论得证． 【详解】解：【思考】四边形ABDE 是平行四边形． 证明：如图，∵△ABC ≌△DEF ， ∴AB ＝DE ，∠BAC ＝∠EDF ， ∴AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形； 【发现】如图1，连接BE 交AD 于点O ，∵四边形ABDE 为矩形， ∴OA ＝OD ＝OB ＝OE ， 设AF ＝x （cm ），则OA ＝OE ＝12（x +4）， ∴OF ＝OA ﹣AF ＝2﹣12x ， 在Rt △OFE 中，∵OF 2+EF 2＝OE 2，∴()2221123424x x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，解得：x ＝94， ∴AF ＝94cm ． 【探究】BD ＝2OF ，证明：如图2，延长OF 交AE 于点H ，∵四边形ABDE 为矩形，∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠ODE ＝∠OED ，OA ＝OB ＝OE ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB ，∠OAE ＝∠OEA ， ∴∠ABD +∠BDE +∠DEA +∠EAB ＝360°， ∴∠ABD +∠BAE ＝180°， ∴AE ∥BD ， ∴∠OHE ＝∠ODB ， ∵EF 平分∠OEH ， ∴∠OEF ＝∠HEF ，∵∠EFO ＝∠EFH ＝90°，EF ＝EF ， ∴△EFO ≌△EFH （ASA ）， ∴EO ＝EH ，FO ＝FH ，∴∠EHO ＝∠EOH ＝∠OBD ＝∠ODB ， ∴△EOH ≌△OBD （AAS ）， ∴BD ＝OH ＝2OF ． 【名师点拨】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．7．（2020·北京中考真题）在△ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设,AE a BF b ==，求EF 的长（用含,a b 的式子表示）； （2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1（2）图见解析，222EF AE BF =+，证明见解析． 【提示】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得//DE BC ，12DE BC =，CE AE a ==，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得DE CF =，从而可得CF BF b ==，然后利用勾股定理即可得； （2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得EAD GBD ∠=∠，DEA DGB ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得ED GD =，AE BG =，然后根据垂直平分线的判定与性质可得EF FG =，最后在Rt BGF 中，利用勾股定理、等量代换即可得证． 【详解】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点 ∴DE 为ABC 的中位线，且CE AE a == ∴//DE BC ，12DE BC = ∵90C ∠=︒∴18090DEC C ∠=︒-∠=︒ ∵DF DE ⊥ ∴90EDF ∠=︒ ∴四边形DECF 为矩形 ∴DE CF =11()22CF BC BF CF ∴==+ ∴CF BF b ==则在Rt CEF 中，EF == （2）过点B 作AC 的平行线交ED 的延长线于点G ，连接FG∵//BG AC∴EAD GBD ∠=∠，DEA DGB ∠=∠ ∵D 是AB 的中点 ∴AD BD =在EAD 和GBD △中，EAD GBD DEA DGB AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAD GBD AAS ≅ ∴ED GD =，AE BG = 又∵DF DE ⊥∴DF 是线段EG 的垂直平分线 ∴EF FG =∵90C ∠=︒，//BG AC ∴90GBF C ∠=∠=︒在Rt BGF 中，由勾股定理得：222FG BG BF =+ ∴222EF AE BF =+．【名师点拨】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 8．（2020·江苏淮安市·中考真题）（初步尝试）（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN，则AM 与BM 的数量关系为 ；（思考说理）（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，6AC BC ==，10AB =，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AMBM的值．（拓展延伸）（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6BC =，2ACB A ∠=∠，将ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B '处，折痕为CM ． ①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB '上的一个动点，将APM △沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A '，A M '与CP 交于点F ，求PFMF的取值范围．【答案】（1）AM BM =；（2）169；（3）①152；②33104PF MF ≤≤． 【提示】（1）先根据折叠的性质可得,90CN BN CNM BNM =∠=∠=︒，再根据平行线的判定可得//AC MN ，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；（2）先根据等腰三角形的性质可得B A ∠=∠，再根据折叠的性质可得B MCN ∠=∠，从而可得MCN A ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质可得BM BCBC AB=，从而可求出BM 的长，最后根据线段的和差可得AM 的长，由此即可得出答案；（3）①先根据折叠的性质可得12BCM ACM ACB ∠=∠=∠，从而可得BCM A M A C ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的定义可得AM CM =，然后根据相似三角形的判定与性质可得BM BC CMBC AB AC==，从而可得BM 、AM 、CM 的长，最后代入求解即可得；②先根据折叠的性质、线段的和差求出AB '，OB '的长，设B P x '=，从而可得32A P x '=+，再根据相似三角形的判定与性质可得31105PF A P x MF CM '==+，然后根据x 的取值范围即可得． 【详解】（1）AM BM =，理由如下：由折叠的性质得：,90CN BN CNM BNM =∠=∠=︒90ACB ∠=︒90ACB BNM ∴∠=∠=︒ //AC MN ∴MN ∴是ABC 的中位线∴点M 是AB 的中点新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题则AM BM =故答案为：AM BM =； （2）6AC BC ==B A ∴∠=∠由折叠的性质得：B MCN ∠=∠MCN A ∴∠=∠，即MCB A ∠=∠在BCM 和BAC 中，MCB AB B ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩BCM BAC ∴~BM BC BC AB ∴=，即6610BM = 解得185BM = 18321055AM AB BM ∴=-=-=321651895AM BM ∴==； （3）①由折叠的性质得：12BCM ACM ACB ∠=∠=∠ 2ACB A ∠=∠，即12A ACB ∠=∠BCM ACM A ∠=∠=∠∴ AM CM ∴=在BCM 和BAC 中，BCM AB B ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩BCM BAC ∴~ BM BC CM BC AB AC ∴==，即669BM CMAC== 解得4BM =945AM AB BM ∴=-=-= 5CM AM ∴== 659AC∴=解得152AC =； ②如图，由折叠的性质可知，6B C BC '==，A P AP '=，A A ∠'=∠153622AB AC B C ''∴=-=-= 点O 是边AC 的中点11524OA AC ∴== 1539424OB OA AB ''∴=-=-= 设B P x '=，则32A P AP AB B P x '''==+=+ 点P 为线段OB '上的一个动点0B P OB '∴≤'≤，其中当点P 与点B '重合时，0B P '=；当点P 与点O 重合时，B P OB ''= 904x ∴≤≤,A A ACM A '∠=∠∠=∠A ACM '∴∠=∠，即A FCM '∠=∠在A FP '和CFM △中，A FCMA FP CFM ∠=∠⎧⎨∠=∠''⎩A FP CFM '∴~33125105xPF A P x MF CM +'∴===+ 904x ≤≤3313101054x ∴≤+≤ 则33104PFMF ≤≤．【名师点拨】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键．9．（2020·广东深圳市·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E ，A ，D 在同一条直线上），发现BE =DG 且BE ⊥DG ．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE =DG 吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG 和菱形ABCD ，将菱形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG 与∠BAD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE =DG 仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG 和矩形ABCD ，且23AE AB AG AD ==，AE =4，AB =8，将矩形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转（如图3），连接DE ，BG ．小组发现：在旋转过程中， BG 2+DE 2是定值，请求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立；理由见解析；（3）22260BG DE +=． 【提示】（1）根据四边形ABCD 和AEFG 是正方形的性质证明△EAB ≌△GAD 即可；（2）根据菱形AEFG 和菱形ABCD 的性质以及角的和差证明△EAB ≌△GAD 即可说明当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立；（3）如图：连接EB ，BD ,设BE 和GD 相交于点H ，先根据四边形AEFG 和ABCD 为矩形的性质说明△EAB ∽△GAD ，再根据相似的性质得到90GHE EAC ︒∠=∠=，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形 ∴AB =AD ，90DAB ︒∠= ∵四边形AEFG 为正方形新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴AE =AG ，90EAG ︒∠= ∴EAB GAD ∠=∠ 在△EAB 和△GAD 中有：AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△GAD ∴BE =DG ；(2)当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立。
公务员行测数量关系 数学运算之几何问题
公务员行测数量关系——数学运算之几何问题1、常见题型：·几何计算(规则图形利用公式计算，不规则图形采用割补平移) ·几何特性(等比放缩、几何最值、三角形三边关系) ·几何构造 2、常用公式：①n 边形的内角和与外角和：内角和=(n -2)×180°，外角和恒等于360°②常用周长公式：正方形周长 C 正方形 = 4a ；长方形周长C 长方形 = 2(a+b )圆周长C 圆 = 2πR③常用面积公式：正方形面积S 正方形 = a 2 ；长方形面积S 长方形 = ab ；圆形面积S 圆 = πR 2 三角形面积S 三角形 = 12ah ；平行四边形面积S 平行四边形 = ah ；梯形面积S 梯形 = ()12a b h +；扇形面积S 梯形 = 2360n R π︒④常用表面积公式：正方体的表面积 = 6a 2；长方体的表面积 = 2ab + 2bc + 2ac ；球的表面积 = 4π R 2= π D 2；圆柱的表面积 = 2π Rh + 2π R 2；侧面积= 2πRh⑤常用体积公式：正方体的体积= a 3；长方体的体积=abc；球的体积=343R π=316D π圆柱的体积= πR 2 h ；圆锥的体积=213R h π3、几何特性 ①三角形相关：三角形的构成条件，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；直角三角形：勾股定理：a 2+b 2=c 2；30°角所对的边为斜边的一半；斜边上的中线长度等于斜边长的一半。
②若将一个图形尺度扩大N 倍，则：对应角度不变；对应周长变为原来的N 倍；面积变为原来的N2倍；体积变为原来的N 3倍。
③几何最值理论：※平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大； ※平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小； ※立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大； ※立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。
依托几何直观，探索数量关系——“损益同宽法”题目一组
智汇好题目“鸡兔同笼”问题是小学数学中的经典问题，苏教版教材中介绍了“画图假设法”和“列表调整法”两种方法。
“画图假设法”是先画出鸡和兔头的总数，再画出腿的总数，根据腿的数量得出鸡、兔各有多少只；“列表调整法”是先假设鸡和兔各占头的数量的一半，再根据腿的数量列表并调整，当腿的数量符合实际情况时，得出鸡、兔各有多少只。
部分教师还会在教学时补充介绍“抬腿假设法”，即先假设鸡和兔同时抬起一半腿，再根据剩下腿的数量计算鸡、兔各有多少只。
由于这三种“主流”方法都偏重计算，学生在课堂上往往陷入大量重复的计算中，无法深入理解数量关系，寻找多样化的解决问题策略。
为避免课堂被繁杂的计算过程堆砌，我们还可引入“损益同宽法”，借助图形引发学生丰富的联想，从而依托几何直观，探索数量关系、拓宽解题思路，发展分析问题和解决问题的能力。
【题目】第1题 损益同宽法解决拼合图形的面积问题，有时可以通过减少或增加一部分使拼合图形的宽相同的转化方法进行计算，我们把这种方法称为“损益同宽法”（取自中国古代的音乐生律方法“三分损益法”），“损益”是指减少或增加。
例如，由甲乙两个长方形组合而成的图形（如图1），面积是174平方厘米，已知甲、乙的宽及两长方形的长之和，求两个长方形的长分别是多少时，就可运用“损益同宽法”损大同小的思路，将乙长方形的宽减少6cm，得到一个长21cm、宽4cm的新长方形（如图2），新长方形的面积是21×4=84cm2，减少部分面积为174-84=90cm2，所以乙长方形的长是90÷6=15cm，甲长方形的长是21-15=6cm。
你能用“损益同宽法”益小同大的思路，通过增加甲长方形的宽来计算甲、乙的长各是多少吗？甲乙21cm1cm4cm图1甲乙21cm1cm4cm图2第2题 鸡兔同笼六年级下学期，我们学习了“鸡兔同笼”问题，你还记得是怎么做的吗？假如鸡和兔一共有35只，它们的腿有94条。
鸡和兔各有多少只？你能用“损益同宽法”解答吗？依托几何直观，探索数量关系——“损益同宽法”题目一组郑寿宝 朱 杉76智慧教学 2024年4月77The Horizon of Education第3题 问题创编回顾前面解决问题的过程，对于“鸡兔同笼”问题，你有哪些新的体会？请你设计一道适合用“损益同宽法”解决的实际问题。
行测数量关系49个常用问题公式巧解
行测数量关系49个常用问题公式巧解以下是行测数量关系中常用的49个问题公式：1. 平均数 = 总和 / 数量2. 总和 = 平均数×数量3. 修改后平均数 = 原平均数 + （修改值 / 数量）4. 修改后总和 = 原总和 + 修改值5. 最大值 = （最大值 + 最小值）/ 2 + 差值 / 26. 最小值 = （最大值 + 最小值）/ 2 - 差值 / 27. 标准差 = （各项数据与平均数的离差平方和 / 数据数量）的平方根8. 倒数之和 = （倒数1 + 倒数2 + ... + 倒数n）= n / （1/倒数1 + 1/倒数2 + ... + 1/倒数n）9. 等比数列前n项和 = 首项（1-公比^n）/（1-公比）10. A:B:C = a:b:c时，A所占整体比例 = A / (A+B+C)11. 平均速度 = 总路程 / 时间12. 相对速度 = 两者速度之差13. 时间 = 路程 / 速度14. 追及问题：追及时间 = 初始距离 / （追及者速度 - 被追者速度）15. 折扣 = （原价 - 折扣后价格）/ 原价× 100%16. 单利 = 本金×年利率×时间17. 复利 = 本金×（1 + 年利率）^时间18. 利息 = 本金×年利率×时间19. 现值 = 未来值 / （1 + 折现率）^时间20. 容积 = 底面积×高21. 体积 = 面积×深度22. 超过百分之p的位置 = （n+1）× p /10023. 树形结构问题：总路径数 = 各层路径数相乘24. 几何概型问题：事件发生的总次数 = 该事件所有可能发生情况总数之和25. 组合问题：从n个元素中取出k个元素的组合数 = n! / [k! (n-k)!]26. 排列问题：从n个元素中取出k个元素的排列数 = n! /（n-k)!27. 奇偶性问题：奇数 + 偶数 = 奇数，奇数 + 奇数 = 偶数，偶数 + 偶数 = 偶数28. 奇偶性问题：奇数×奇数 = 奇数，奇数×偶数 = 偶数，偶数×偶数 = 偶数29. 余数问题：被除数 = 除数×商 + 余数30. 最大公约数 = gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)31. 最小公倍数 = lcm(a,b) = a×b / gcd(a,b)32. 带分数 = 整数部分 + 真分数部分33. 分母为10的分数 = 分子 / 10^k34. 近似计算：（a±b）×（c±d）≈ac±ad±bc±bd35. 几何平均数 = （a1 × a2 × ... × an）^(1/n)36. 算术平均数≥几何平均数37. 加权平均数 = Σ（各项数据×对应权重）/ 总权重38. 平方和 = 各项数据的平方之和39. 平方根 = 平方和的算术平均根40. 等差数列前n项和 = (首项 + 尾项) ×项数 / 241. 下降百分之p = 原数× (1-p/100)42. 上升百分之p = 原数× (1+p/100)43. 三角形内角和 = 180°44. 直角三角形勾股定理：a^2 + b^2 = c^245. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC46. 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × cosA47. 正切定理：tanA = a/b48. 韦达定理：x1+x2 = -b/a，x1×x2=c/a49. 对称式：a+b+c = (a+b+c)^2 / 2(ab+bc+ca)。
行测数量关系知识点汇总
行测数量关系知识点汇总一、数字推理。
1. 基础数列。
- 等差数列：相邻两项的差值相等，例如：1，3，5，7，9，…，公差为2。
- 等比数列：相邻两项的比值相等，例如：2，4，8，16，32，…，公比为2。
- 质数数列：由质数组成的数列，如2，3，5，7，11，13，…- 合数数列：由合数组成的数列，如4，6，8，9，10，12，…- 周期数列：数列中的数字按照一定的周期重复出现，例如：1，2，1，2，1，2，…- 简单递推数列。
- 递推和数列：如1，2，3，5，8，13，…，从第三项起，每一项等于前两项之和。
- 递推差数列：如5，3，2，1，1，0，…，从第三项起，每一项等于前两项之差。
- 递推积数列：如1，2，2，4，8，32，…，从第三项起，每一项等于前两项之积。
- 递推商数列：如100，50，2，25，1/12.5，…，从第三项起，每一项等于前两项之商。
2. 多级数列。
- 做差多级数列。
- 对于数列不具有明显规律时，可先尝试做差。
例如数列：5，7，10，14，19，…，相邻两项做差得到2，3，4，5，…，是一个公差为1的等差数列。
- 做商多级数列。
- 当数列各项之间有明显的倍数关系时，可尝试做商。
如数列：2，4，12，48，240，…，相邻两项做商得到2，3，4，5，…，是一个公差为1的等差数列。
- 做和多级数列。
- 有些数列做和后会呈现出规律。
例如数列：1，2，3，4，7，11，…，相邻两项做和得到3，5，7，11，18，…，得到的新数列可能是质数数列或者其他有规律的数列。
- 做积多级数列。
- 数列中相邻项之间有乘积关系时适用。
比如数列：1，2，2，4，8，32，…，相邻两项做积得到2，4，8，32，256，…，做积后得到的数列可能有自身规律。
3. 幂次数列。
- 基础幂次数列。
- 要牢记常见的幂次数：1^2 = 1，2^2=4，3^2 = 9，4^2=16，5^2 = 25，6^2=36，7^2 = 49，8^2=64，9^2 = 81，10^2 = 100；1^3=1，2^3 = 8，3^3=27，4^3 = 64，5^3=125，6^3 = 216，7^3=343，8^3 = 512，9^3 = 729，10^3=1000等。
习题总结数量关系
（1）.对班上50人进行“优势学科调查”，结果发现，认为自己的优势学科包含语文、数学、英语的分别为25人、19人和27人，既擅长语文又擅长英语的有16人，既擅长语文又擅长数学的有11人，既擅长数学又擅长英语的有14人，有两人认为自己没有擅长的学科。
那么，三门都擅长的有人（）。
（2）本题属于几何问题，可利用容斥原理。
设所求为x，则：64+180+160-24-70-36+x=290，解得x=16。
所以选择B选项（3）1.对39种食物中是否有ABC三种有易菌进行调查，结果如下：含A的有1 7种，含B的有18种，含C的有15种，含A，B的有7种，含A，C的有6种，含B，C的有9种，三种有易菌都不含的有7种，则三种有易菌都含的有多少种？一看就知道是三容斥的题目，跟两容斥一样，套用公式就可以了：满1+满2+满3-（满12+满23+满13）+三满=总-全不满，其中满是满足的意思。
17+18+15-（7+6+9）+三满=39-7直接可以求出三满=4。
（4）3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的15人。
问接受调查的学生共有多少人？63+89+47-46-2*24=X-15 X=1204.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有6 3人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，至少准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的15人。
问接受调查的学生共有多少人？至少两种，就是两种或三种：63+89+47-46-24=X-15 X=1445.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有6 3人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的15人。
公考行测数量关系-几何问题
1.将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成64个棱长1厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大，问大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的?如上图所示，堆成的棱长4厘米的大正方体表面外露的小正方体分为三种情况：①顶点正方体，即位于大正方体顶点位置，每个小正方体表面外露的有三个面，每个顶点各对应一个，一共有8个；②棱正方体，即位于大正方体棱上，每个小正方体表面外露的有两个面，每条棱上2个，12条棱一共有个；③面正方体，即位于大正方体每个面的面上，每个小正方体表面外露的只有一个面，大正方体每个面上有4个面正方体，六个面一共有个。
如上图所示，原来的长方体木块只有一层，即可以提供的顶点正方体一共有4个；可以提供的棱正方体一共有个；可以提供的面正方体一共有个。
要使小正方体堆成棱长4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大，则应该用小正方体的黑色的面尽可能补上大正方体外露的地方。
大正方体所需的8个顶点正方体，原来的长方体只能提供4个，欠缺4个；而大正方体外露的24个棱正方体和24个面正方体，原来的长方体均可以提供。
则欠缺的顶点正方体需由多余的面正方体进行补充，顶点正方体是3个面外露，而面正方体只有1个面外露，则1个面正方体替换1个顶点正方体，外露的黑色面积会减少2个面即2平方厘米，替换欠缺的4个顶点正方体，黑色面积一共减少平方厘米，而整个大正方体外表面面积为平方厘米，则大正方体的表面外露的黑色面积最多为平方厘米。
5.工作人员做成了一个长60厘米，宽40厘米，高22厘米的箱子，因丈量错误，长和宽均比设计尺寸多了2厘米，而高比设计尺寸少了3厘米，那么该箱子的表面积与设计时的表面积相差多少平方厘米：实际表面积为设计表面积为，计算尾数，实际表面积尾数为0，设计表面积尾数为二者之差尾数为2或8，显然只有C符合条件。
数量关系试题及答案
数量关系1、数字推理题型及讲解(1)数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为答案.按照数字排列的规律, 数字推理题一般可分为以下几种类型:一、奇、偶：题目中各个数都是奇数或偶数，或间隔全是奇数或偶数：1、全是奇数：例题：1 5 3 7 （）A .2 B.8 C.9 D.12解析：答案是C ，整个数列中全都是奇数，而答案中只有答案C是奇数2、全是偶数：例题：2 6 4 8 （）A. 1B. 3C. 5D. 10解析：答案是D ，整个数列中全都是偶数，只有答案D是偶数。
3、奇、偶相间例题：2 13 4 17 6 （）A.8B. 10C. 19D. 12解析：整个数列奇偶相间，偶数后面应该是奇数，答案是C练习：2，1，4，3，（），5 二、排序：题目中的间隔的数字之间有排序规律1、例题：34，21，35，20，36（）A.19B.18C.17D.16解析：数列中34，35，36为顺序，21，20为逆序，因此，答案为A。
三、加法：题目中的数字通过相加寻找规律1、前两个数相加等于第三个数例题：4，5，（），14，23，37A.6B.7C.8D.9注意：空缺项在中间，从两边找规律，这个方法可以用到任何题型；解析：4+5=9 5+9=14 9+14=23 14+23=37，因此，答案为D；61.某单位有50人，男女性别比为3:2,其中有15人未入党，如从中任选1人，则此人为男性党员的概率最大为多少（）A. B. C. D.62、某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙3个不同的工厂实习。
去甲厂实习的毕业生占毕业生总数的32%,去乙厂实习的毕业生比甲厂少6人，且占毕业生总数的24%.问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数（）A.少9人 B.多9人C.少6人 D.多6人63、某农场有36台收割机，要收割完所有的麦子需要14天时间。
数量关系几何例题
数量关系几何例题
假设我们有以下的数量关系问题：
我们有一个长方形的纸板，它的长是20厘米，宽是10厘米。
现在，我们想要把这个纸板剪成一个正方形。
问题是我们能剪成的最大的正方形的边长是多少？
假设我们能剪成的最大正方形的边长为 x 厘米。
要使正方形的面积最大，其边长x应等于长方形纸板的短边，即10厘米。
因为正方形的四条边都相等，如果我们选择一个大于10厘米的边长，那么纸板的其他部分将无法被使用。
所以，最大的正方形的边长 x = 10厘米。
因此，我们得到的数量关系是：正方形的最大边长等于长方形纸板的短边。
九上寒假培优专题汇编——几何数量关系
九上期末复习专题汇编——几何综合一．旋转类（共10小题）1．如图，在Rt ABC=，点D为线段BC上一动点（不与点B，∠=︒，AC BC∆中，90ACBC重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90︒，得到射线AD'、AB'，过点B作BC的垂线，分别交射线AD'、AB'于点E，F．（1）依题意补全图形；（2）求证：AB AF=；（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．2．如图，矩形ABCD中，AD AB>，DE平分ADC∠交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90︒得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．（1）①补全图形；②设EAB∠的度数为α，直接写出AOE∠的度数（用含α的代数式表示）．（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 是射线CA 上一点，连接BD ，以点B 为中心，将线段BD 顺时针旋转60︒，得到线段BE ，连接AE ．（1）如图1，当点D 在线段CA 上时，连接DE ，若DE AB ⊥，则线段AE ，BE 的数量关系是 ；（2）当点D 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2． ①探究线段AE ，BE 的数量关系，并证明； ②直接写出线段CD ，AB ，AE 之间的数量关系．4．已知正方形ABCD ，点E 是CB 延长线上一点，位置如图所示，连接AE ，过点C 作CF AE ⊥于点F ，连接BF ．（1）求证：FAB BCF ∠=∠；（2）作点B 关于直线AE 的对称点M ，连接BM ，FM ． ①依据题意补全图形；②用等式表示线段CF ，AF ，BM 之间的数量关系，并证明．5．在等腰直角ABC∠=︒，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上A=，90∆中，AB AC的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90︒交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．①求证：BDP PCB∠=∠；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．6．如图，在ABC∠=︒，D是线段AC延长线上一点，连接BD，∆中，AC BCACB=，90过点A作AE BD⊥于E．（1）求证：CAE CBD∠=∠．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45︒后，所得的射线与线段BD的延长线交于点F，连接CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF，CE，BE之间的数量关系，并证明．7．在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是线段BC 上的动点()BD CD >，作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ，作直线CE ，交射线AD 于点F ．连接AE ，BF ． （1）依题意补全图形，直接写出AFE ∠的度数；（2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．8．已知：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边中点．点M 为线段BC 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转90︒，得到线段ME ，连接EC ．（1）如图1，若点M 在线段BD 上． ①依据题意补全图1； ②求MCE ∠的度数．（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系．9．在ABC∆中，AB=CD AB⊥于点D，CD=．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE AC∠的数=，此时CE与CB的数量关系是，BCE∠与A量关系是；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画BCE∠（点E与点D在直线BC的异侧），使2=，连接AE．∠=∠，CE CBBCE A①按要求补全图形；②求AE的长．10．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．（1）若BAPα∠的大小（用含α的式子表示）；∠=，直接写出ADF（2）求证：BF DF⊥；（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．二．对称类（共9小题）11．如图，在ABC∆中，AC BC=，90ACB∠=︒，D为AC上一点（与点A，C不重合），连接BD，过点A作AE BD⊥的延长线于E．（1）①在图中作出ABC∆的外接圆O，并用文字描述圆心O的位置；②连接OE，求证：点E在O上；（2）①延长线段BD至点F，使EF AE=，连接CF，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF与AB的数量关系，并证明．12．如图，60MON∠=︒，OF平分MON∠，点A在射线OM上，P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ OA=，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．（1）依题意补全图形；（2）判断线段AB，PB之间的数量关系，并证明；（3）连接AP，设APkOQ=，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．13．已知ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，在ABC ∆外侧作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ，连接CE ，CE 交射线AD 与点F ． （1）依题意补全图1．（2）设BAD α∠=，若045α︒<<︒，求AEC ∠的大小（用含α的代数式表示）． （3）如图2，045BAD ︒<∠<︒，用等式表示线段EC ，FC 与EB 之间的数量关系．14．已知120MON ∠=︒，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA OB =，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA ．将射线CA 绕点C 逆时针旋转120︒得到射线CA '，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150︒与射线CA '交于点D ．（1）根据题意补全图1； （2）求证： ①OAC DCB ∠=∠；②CD CA =（提示：可以在OA 上截取OE OC =，连接)CE ；（3）点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有2DCH DAH ∠=∠，写出你的猜想并证明．15．已知在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，直线l 经过点A （不经过点B 或点)C ，点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上． ②直接写出BDC ∠的度数（用含α的式子表示）为 ．（2）如图2，当60α=︒时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE BD =； （3）如图3，当90α=︒时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值．16．如图，已知BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E 在BA 的延长线上，且AE AD =．连接EC ，与AD 相交于点F ，与BD 相交于点G ． （1）依题意补全图形；（2）若AF AB =，解答下列问题： ①判断EC 与BD 的位置关系，并说明理由；②连接AG ，用等式表示线段AG ，EG ，DG 之间的数量关系，并证明．17．如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60︒，得到线段BE，连接AE，CE．（1）求BAE∠的度数；（2）连接BD，延长AE交BD于点F．①求证：DF EF=；②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．18．在菱形ABCD中，120∠=︒，DECADC∠=︒，点E是对角线AC上一点，连接DE，50将线段BC绕点B逆时针旋转50︒并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：EG BC=；（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：．19．在ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =．（1）如图1，ABC ∆的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“QB =”是否正确： （填“是”或“否” )；（2）点P 是ABC ∆所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB =． ①如图2，点P 在ABC ∆内，30ABP ∠=︒，求PAB ∠的大小；②如图3，点P 在ABC ∆外，连接PC ，设APC α∠=，BPC β∠=，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．三．中点类（共8小题）20．已知45MAN ∠=︒，点B 为射线AN 上一定点，点C 为射线AM 上一动点（不与点A 重合），点D 在线段BC 的延长线上，且CD CB =，过点D 作DE AM ⊥于点E ．（1）当点C 运动到如图1的位置时，点E 恰好与点C 重合，此时AC 与DE 的数量关系是 ； （2）当点C 运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC AE DE =+； （3）在点C 运动的过程中，点E 能否在射线AM 的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC ，AE ，DE 之间的数量关系；若不能，请说明理由．21．如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且90BMN ∠=︒，2MN MB =．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF PM=，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF BM=；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．22．ABC∆是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转(0180)n n︒<<得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC AC=，画出当//BQ AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM．写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有12MP AP=，并说明理由．23．在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，30ABC∠=︒，BC=．将ABC∆绕点B顺时针旋转(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ；（2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明；②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．24．已知等边ABC ∆，点D 为BC 上一点，连接AD ．（1）若点E 是AC 上一点，且CE BD =，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出APE ∠的大小；（2）将AD 绕点A 逆时针旋转120︒，得到AF ，连接BF 交AC 于点Q ，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ 和CD 的数量关系，并证明．25．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当2BD =时，AN = ，NM 与AB 的位置关系是 ；（2）当48BD <<时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（4）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．26．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 为AB 边上的中线．在Rt AEF ∆中，90AEF ∠=︒，AE EF =，AF AC <．连接BF ，M ，N 分别为线段AF ，BF 的中点，连接MN ．（1）如图1，点F 在ABC ∆内，求证：CD MN =；（2）如图2，点F 在ABC ∆外，依题意补全图2，连接CN ，EN ，判断CN 与EN 的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的AEF ∆绕点A 旋转，若AC a =，()AF b b a =<，直接写出EN 的最大值与最小值．27．点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得30∠=︒时，猜想此时线段CF，AE，OE之OEF间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．四．三垂直类（共3小题）28．已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB BC=，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN PM⊥交射线CB于点N．（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．①依题意补全图1；②写出线段PM与PN的数量关系并证明．（2）如图2，若OMBα∠=，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN 的数量关系．29．如图，MO NO∠=︒，当OAB∆绕点O旋∆为等腰直角三角形，90⊥于点O，OABOAB转时，记(090)MOA αα∠=︒︒，5OA =．（1）过点B 作BC ON ⊥交射线ON 于点C ，作射线CA 交射线OM 于点D ． ①依题意补全图形，求ODC ∠的度数；②当4sin 5α=时，求OD 的长． （2）若ON 上存在一点P ，且10OP =，作射线PB 交射线OM 于点Q ，直接写出QP 长度的最大值．30．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC =，记ABC α∠=，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当ABD ∆为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ 的长为 ；（2）如图2，当45α=︒，且43BD =时，求证：PD PQ =； （3）设BC t =，当PD PQ =时，直接写出BD 的长．（用含t 的代数式表示）。
八年级几何数量关系位置关系
O 几何数量关系和位置关系练习检验题1. 如图，点 C 在线段 AB 上，AD∥EB，AC=BE ，AD=BC ，CF 平分∠ DCE ．试探索 CF 与 DE 的关系，并说明理由．2. 如图,在等边△ ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O ，且 OD∥AB，OE∥ AC ．AB C D E（1） 试判定△ ODE 的形状,并说明你的理由．（2） 线段 BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你理由．4. 已知：如图，△ ABC 中，AD⊥BC，AB=AE ，点 E 在 AC 的垂直平分线上 .（1）请问： AB、BD、DC 有何数量关系？并说明理由 .（2）如果∠ B=60 °，证明： CD=3BD.5.如图，ABC 的边 BC 在直线 m 上，AC⊥BC，且 AC＝BC，△DEF 的边 FE 也在直△线 m 上，边 DF 与边 AC 重合，且 DF＝EF．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考、猜想并写出AB 与 AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△ DEF 沿直线 m 向左平移到图（2）的位置时， DE 交 AC 于点 G，连接 AE，BG．猜想 BG、AE 有什么数量和位置关系？请证明你的猜想．6.如图①， OP 是∠MON 的平分线。
（1）请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
（3 分）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（2）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B＝60゜，AD、CE 分别是∠ BAC，∠BCA 的平分线， AD、CE 相交于点 F，请你判断并写出 EF 与 DF 之间的数量关系并证明。
（7 分）（3）如图③，在△ ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（2）中的其他条件不变。
请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？（填是或否）。
（2 分）（2）证明：7．（1）问题发现如图 1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E 在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段 AD，BE 之间的数量关系为．（2）拓展探究如图 2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E 在同一直线上，CM 为△DCE中 DE 边上的高，连接 BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E 作射线 EF 交 AC 于点 F，使∠AEF= ∠B．（1）判断∠ BAE 与∠CEF的大小关系，并说明理由；（2）请你探索：当△ AEF 为直角三角形时，求∠ AEF 与∠BAE 的数量关系．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
放SZ：若将一个图形尺度扩大为战来的MS,則：対应角度不交；对应周长变 为CSSE鸽N倍；WSffi积变为煩来的N2倍：(MR5为原来的23倍・
Tn(5I«W：X/勾股歇30度角直角三角形：4、丁3、2；45度角夜角三角影：1、1.丁2；
［八旧切工J转殊：3、4、5；6、8、10；5；12、2；7、24、25.
K険谟成图形：2、再傲因
几何应用
36
圆柱的体积=展h;圆锥的体积=%
【例11某单位准备扩建一矩形花圃，若将矩形花圃的长和宽各增加4米，则新 矩形花圃的面积比原来的面积增加了40平方米。那么，原矩形花圃的周长是多 少？（）
A.12米B.24米
C.32米D.40米
方法：
知识点:
【例2］某学校准备重新粉刷国旗的旗台，该旗台山两个正方体上下叠加而成, 边长分别为1米和2米。问需要粉刷的面积为？（）
B.3斤4
D.3jt-8
方法：
知识点:
放缩特性
若将一个图形尺度扩大为原来的N倍，则：
对应角度不变；对应周长变为原来的川倍；
对应面积变为原来的倍；体积变为原来的宀倍。
【例5]一块三角形农田ABC（如下图所示）被DE、EF两条道路分成三块。已知BD=2AD, CE=2AE, CF=2BF,则三角形ADE、三角形CEF和四边形BDEF的面积之比为（）。
第二章题型精讲
第十一节 几何问题
题型综述：
几何计算：
常用公式：
n边形的内角和与外角和
内角和=(n-2)xl80°,外角和恒等于360°
常用周长公式
正方形周长C正方形= 4d；长方形周长(7氏方形=2(° +/?)；圆形周长C阴=2欣
常用面枳公式
正方形面积S=a':长方形面积S=ab；圆形面积S(=ttR-
D.5
பைடு நூலகம்知识点:
【例7］现要一块长25公里、
宽8公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的
监视半径为5公里，如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要
设置多少个哨塔？
A.4
B.5
C.6
方法：
D.7
知识点:
面积公式O倉形歪枳-n/360-M;豪影直枳・(1/2)*a-b2、b为时角线)
衰面积公式琢的丧面积・45吟2；58柱前丧面枳・2TT"2*2nWh
三角形面积S」创；平行四边形面积S「=ah；
梯形面积仏气(》)加扇形面积S扇形二总祕2
常用表面积公式
正方体的表面积=6/；长方体的表面积=2ab + 2bc + 2ac；
球的表面积=4刃?2=如2：圆柱的表面积=2创?+2余
常用体枳公式
正方体的体积=/ ；长方体的体积=dbc;球的体积=4^3=17TD3
A.30平方米B.29平方米
C.26平方米D.24平方米
方法：
知识点：
【例3】老王ffil着边长为50米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，按 顺时钟方向跑了500米，距出发点直线距离多少米？
A.50^2B.5073
C.25（72+1）D.50（、/3-1）
方法：
知识点:
【例4】在下图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影 部分的 面积差为多少？
A.l:3:3C.1:4:4
方法:
知识点：
儿何应用
【例6】老师跟学生在室内场馆玩倒影猜距离的游戏。老师让身高1.6米的小陈 站在场馆中间，并依次打开位于小陈正前方高度均为6.4米的两葢灯。如果测得 小陈在地板上的影子长度分别是1米和2米，那么，上述两盏灯之间的距离是多 少米？
A.2
B.3
C.4
方法：