非线性方程与非线性方程组的迭代解法(一)

L愈小 , xk 收敛愈快。
例2：用简单迭代法求 f x x3 2x 5在 2，,3 上的根。
解：迭代格式 （1） xk1 3 2xk 5
(2)
xk1
2 5 xk
(3) xk1 xk3 xk 5
k 迭代格式（一） 迭代格式（二）
0
2
2
1 2.080084
2.121320
2 2.092351
Steffensen迭代法 Aitken迭代法
x t sin x 0 , 0 1
其中t表示时间，行星运动的轨道x是t的函数。该方程不能精确解出运 动轨道位置x(t)。
（2）多个方程情形：在用数值方法求解常微分方程组时经常遇到非 线性方程组求根问题。
二、非线性方程（组）求解研究的难点 （1）解的存在性、唯一性不易确定； （2）迭代解法求解； （3）迭代法的收敛性往往为局部收敛。 三、求解非线性方程的近似解的步骤 （1）判断根的存在性； （2）确定根的分布区间； （3）根的精确化。
则有如下结论：
(1) 方程（2）在区间a,b上有唯一的根 s；
（2）
对任取的x0
a, b ,
简单迭代法（3）产生的序列xk
k 0
a, b ,
且收敛于 s；
(3) 成立误差估计式
s xk
Lk 1 L
x1 x0
s xk
L 1 L
xk xk1
注1：满足条件 (1)的迭代格式称为是适定 的。 xk1 xk , 若xk a,b , 则 xk1 a,b , 其迭代过程进行不下去 。条件(1)也可理解为映射 a,b于自身。
3 x 3x2 1 , L3 26
一阶
例2的改进：
x3 2x 5 0 , 3x3 2x 2x3 5 , x 2x3 5 3x2 2
xk1
2xk3 5 , x 6x x3 2x 5
3xk2 2
3x2 2 2
, s 0
至少二阶收敛速度。
4、迭代法收敛的加速
问题：设有非线性方程
f x 0
（1）
其中 f x 为一元非线性函数。若常数 s 使得 f s 0 ，则称 s 是方程（1）的根（或 f x 的零点）。若
f x x sm gx
其中 g s 0 ，则称 s是（方程1）的m重根（或 f x 的m重
零点。当m=1时，s 称为方程（1）的单根或 f x 的单零点。
4.1 对分法和简单迭代法
一、对分法 基本思想：对有根区间不断进行对分，即逐渐二分有根区间，得
一系列有根区间 ak , bk ak1 , bk1 a1 , b1 a0 , b0 ，当k 充分大时，取 ak , bk 的中点作为根的近似值。
设 f xC a,b , 并且 f a f b 0 , 对分法具体算法流程参 page67。
注2：条件(2)中由于 xy x y , 故满足条件(2)的迭代函数x是 a, b上的一个压缩映射。
注3：结论(3)的第一式称为先验估计 , 第二式称为后验估计。 利用第一式可求
出达到指定精度 所需的最少迭代次数 ; 利用第二式可给出迭代 终止的条件。
注4：L 1时 , 即使 xk xk1 很小, 但误差 s xk 还可能很大, 此时收敛缓慢；
且收敛于 s。
3、收敛阶
定义1：设序列 xk 收敛于 s , 并且 ek s xk 0 , k 0,1,2, 。如果存在常
数 r 1和常数c 0 , 使得 lim ek1 c 成立 , 或者使得当k K (某个正整数)
e k
r
k
时,有
ek 1 ek r
c 成立 , 则称序列 xk 收敛于s 且具有r 阶收敛速度，简称 xk
2.087348
3 2.094217
2.096517
4 2.094501
2.094017
迭代格式（三） 2 1 -5
-125 -1953005
5 2.094543
2.094697 7.4492071018
定理4.2：设s s, x在包含s的某个开区间内连续,如果 s 1, 则 存在 0 , 当 x0 s , s 时 , 由简单迭代法 (3)产生的序列 xk s , s
是 r 阶收敛的 , 常数 c 称为渐近收敛常数 (收敛因子)。
r=1；r=2；r>1
定理4.3：设函数 xCa,b, xCa,b , 且满足以下条件
（1） 当x a,b时 , xa,b；
（2） 当x a,b时 , x 0 , x L 1, 其中L为一常数； 则对任取的 x0 a,b,由简单迭代法 (3)所产生的序列 xk 收敛于 方程 (2)在a,b区间内的唯一的根 s , 并且当 x0 s时 , xk 是线性
k N , s ak ,bk , xk
ak bk 2
,
xk s
bk ak 2
ba 2k 1
lim
k
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xk
s
优点：算法简单方便，其收敛性总能保证； 缺点：可能漏根。
例1：求 f x x 22 x2 1 的根。
二、简单迭代法及其收敛性
1、基本思想 将方程（1）改写成等价形式
收敛的。
定理4.4：设 mx在包含 s的某个开区间内连续 (m 2) , s s , 如果 is 0 , i 1,2, , m 1 , ms 0 , 则存在 0 , 当 x0 s , s 但 x0 s时 , 由简单迭代法 (3) 产生的序列 xk 以m阶收敛速度收敛于 s。
例题3： f x x3 2x 5 , x 2,3
迭代格式(1) xk1 3 2xk 5 , 1x 3 2x 5
1x
1 3
2x
2
2
53
0 , L1
2 93 3
一阶
迭代格式(2)
xk1
2 5 xk
, 2 x
2 5 x
2 x
2
1 2
5
5 x2
0
,
L2
5 12
2
x
迭代格式 (3) xk1 xk3 xk 5 , 3 x x3 x 5
故简单迭代法又称为不动点迭代法。
收敛情形
不收敛情形
问题1：这样求根的近似值的理论依据是什么？
问题2：怎样构造等价方程？
问题3：序列xk
k 1
是否收敛？收敛的条件是什么？
2、收敛条件
定理4.1：设函数 xCa,b, 在a,b内可导 , 且满足以下条件
（1） 当x a,b时 , xa,b；
（2） 当x a,b时 , x L 1, 其中L为一常数；
第四章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法
一、非线性方程（组）的近似求解的必要性
（1）单个方程情形：在非线性方程的求解中，多项式求根是常见且最简单 的情形。根据代数基本定理，在复数域内，n次多项式至少有一个根， 而由Galois（伽罗华）理论，5次以上（含5次）的多项式无根式求解。 从而近似求解方程就成为必需的了。除多项式求根以外，更多的是超 越方程求根问题。例如天体力学中有如下Kepler（开普勒）方程：
x x
构造迭代公式
（2）
xkx01
xk
R
,
k
0,1,2,
（3）
由此产生一迭代序列
xk
k 1
。在一定的条件下我们希望该序列
是收敛的，于是当k充分大时，可取 xk 作为方程（1）的近似根。
迭代法（3）称为求解方程（1）的简单迭代法，x 称为
迭代函数。
注：xk1 xk , 两边取极限 , s s , 即s 是迭代函数 x不动点 。