沪教版九年级(上)第一学期数学期中试卷解析
2024-2025学年沪科版初中九年级数学上学期期中模拟考试卷(一)
2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪科版九上第21~22.3章（二次函数与反倒函数+比例线段+相似三角形判定与性质）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）A ．B ADE ∠=∠B ．C ∠5．二次函数()220y ax ax c a =-+≠的图象过点()3,0，方程220ax ax c -+=的解为（）A ．123,1x x =-=-B ．121,3x x =-=C ．121,3x x ==D ．123,1x x =-=A ．16B ．24．点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若A ．2B ．6－8．如图，是二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，且0a ≠）的图象，虚线是抛物线的对称轴．则一次函数y acx b =+的图象经过（）A ．第二三四象限．如图1，点A 、B 在反比例函数延长线段AB 交x 轴于点函数()220k y k x=≠的图象上，过点A ．2B ．2-C ．10．二次函数2y ax bx c =++()0a ≠与一次函数y x c =-+（都在坐标轴上，两图象与x 轴交于点M ，二次函数y =若12ON OM =，求b 的值（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．如图，ABC 是等边三角形，点交于点F ，连接DE ，则下列结论：正确的结论有三、解答题（本大题共9个小题，共90分，其中15~18题每题8分，19~20题每题10分，21~22题每题12分，第23题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（1）求该曲线对应的函数解析式；C℃的取值范围．（2）若6t≥，求温度()，是反比例函数y（8分）如图，A B线段AB的延长线交x轴于点C．（1）求a的值和该反比例函数的函数关系式；（2）求直线AB的函数关系式．19．（10分）九（1）班数学课外活动小组利用阳光下的影子来测量教学楼顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该教学楼OB的影长OC为12米，OA的影长OD为15米，测量者的⊥，影长FG为1.2米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO OD ⊥．已知测量者的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．EF FG．（10分）我省某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，2023年国庆节游客人数约为（1）求2021年到2023年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率；（2）已知该风景区有A，B（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点C 为第四象限抛物线上的一个动点，直线AC 与y 轴交于点D ，连接BC ．当90ACB ∠=︒时，求点C 的坐标．22．（12分）如图，在ABC 中，90B ∠=︒，8cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以2cm /s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以4cm /s 的速度运动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，4秒后停止运动，设运动时间为t 秒．（1）求BP ，BQ 的长度；（2）当t 为何值时，PBQ 的面积为212cm（3）是否存在某一时间t ，使得PBQ 和ABC 相似？若存在，请求出此时t 的值，若不存在，请说明理由．23．（14分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -和()0,4B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式及顶点M 的坐标；（2）将抛物线2y ax x c =++先向右平移2个单位，再向下平移m （0m >）个单位后得到的新抛物线与y 轴交于点()0,1P -，新抛物线的顶点为M '；①求新抛物线的表达式及顶点M '的坐标；②点N 是新抛物线对称轴上的一点，且'M MN ACB ∠=∠，当ABC 与MM N '△相似时，求点N 的坐标．2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
【初三数学】上海市九年级数学上期中考试单元测试卷(解析版)
新九年级（上）期中考试数学试题(含答案)一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．12．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣26．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝75007．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l508．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（）A．B．2C．D．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE ⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C（1）求a的值．（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为．（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S＝4△CMN 时，求k的值．2018-2019学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．1【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．【解答】解：∵x（x+5）＝0∴x2+5x＝0，∴方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，形式ax2+bx+c＝0（a≠0）这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式．2．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴和顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣6），故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形【分析】根据中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、正三角形、正方形的特点求解．【解答】解：A、圆是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误；C、正三角形不是中心对称图形，故本选项正确；D、正方形是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝9，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，则方程x2﹣4x+9＝0无实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2先向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2，再向左平移3个单位得到解析式：y＝﹣（x+3）2+2；故选：A．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”．6．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝7500【分析】设年平均增长率为x，根据青山村种的水稻2016年及2018年平均每公项的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2＝8500．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l50【分析】如图作圆周角∠ADB，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可．【解答】解：如图做圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝96°，∴∠D＝∠AOB＝48°，∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝132°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．8．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可；【解答】解：A、错误．需要添加此弦非直径的条件；B、错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C、正确．D、错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；故选：C．【点评】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（）A．B．2C．D．【分析】连接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF•OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解决问题；【解答】解：连接OC．由翻折不变性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴＝，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF•OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质和等腰三角形的性质，可以求得b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+1，∴x＝0时，y＝1，∴点C的坐标为（0，1），∴OC＝1，∵△OBC为等腰直角三角形，∴OC＝OB，∴OB＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的一个交点为（1，0），∴a+b+1＝0，得a＝﹣1﹣b，设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的另一个交点A为（x1，0），∴x1×1＝，∵△ABD为等腰直角三角形，∴点D的纵坐标的绝对值是AB的一半，∴，∴﹣，解得，b＝﹣2或b＝﹣4，当b＝﹣2时，a＝﹣1﹣（﹣2）＝1，此时y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，与x轴只有一个交点，故不符合题意，当b＝﹣4时，a＝﹣1﹣（﹣4）＝3，此时y＝3x2﹣4x+1，与x轴两个交点，符合题意，故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是4．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，知x＝2是方程的根，代入方程即可求解．【解答】解：∵x＝2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，4﹣c＝0，∴c＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为m≠1．【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，得m≠1，故答案为：m≠1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时的初速度以及刹车时的加速度，由“刹车时间＝初速度÷刹车加速度”求出刹车后汽车行驶的时间．【解答】解：∵汽车刹车后行驶的距离s关于行驶的时间t的函数解析式是s＝15t﹣6t2，∴刹车前的初速度为15m/s，刹车的加速度为﹣12m/s2，∴汽车刹车后行驶的时间为：15÷12＝s，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数关系式找出刹车的初速度以及加速度后计算出刹车时间是解题的关键．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为4或﹣2．【分析】根据二次函数图象的开口方向知道，当x＝0或x＝4时，函数值的最小值是4，结合函数图象得到当x≤0或x ≥4时，符合题意．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，＝4．∴当x＝0或x＝4时，y最小值＝4．如图，当x≤0或x≥4时，y最小值∵2﹣a≤x≤4﹣a，∴a＝4或a＝﹣2．故答案是：4或﹣2．【点评】考查了二次函数的最值，解题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为2．【分析】如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．只要证明△ACH≌△BCD（SAS），推出∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，由∠AKC＝∠BKH，推出∠KHB＝∠ACB＝60°，求出AH即可解决问题；【解答】解：如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵DC＝DH，∠CDH＝60°，∴△CDH是等边三角形，∴CA＝CB，CH＝CD，∠ACB＝∠HCD＝60°，∴∠ACH＝∠BCD，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，∵∠AKC＝∠BKH，∴∠KHB＝∠ACB＝60°，在Rt△AOH中，∵OA＝3，∴AH＝＝2，∴BD＝AH＝2．故答案为2．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方后求解可得．【解答】解：∵x2﹣4x＝4，∴x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，∴x﹣2＝±2，则x＝2±2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．【分析】设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（20﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20﹣x）m．根据题意，得（20﹣x）x＝50，解方程，得x＝10．当x＝10时，（20﹣x）＝5．答：矩形的长为10m，宽为5m．【点评】此题不仅是一道实际问题，考查了一元二次方程的应用，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．【分析】（1）根据垂径定理可得，可得∠AOC＝∠AOB，根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠ADC；（2）由题意可证AB＝BE＝5，根据勾股定理可求AH＝3，即可求EH的长，根据勾股定理可得AE的长．【解答】证明：（1）如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠AOB＝2∠ADC（2）∵DC＝DE∴∠DCE＝∠DEC∵∠DCE＝∠DAB，∠DEC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DAB，∴AB＝BE＝5∵AH2+BH2＝AB2，OH2+BH2＝OB2，∴AB2﹣AH2＝BH2＝OB2﹣（AO﹣AH）2，∴25﹣AH2＝﹣（﹣AH）2，∴AH＝3，∴BH＝4，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AE＝＝【点评】本题考查圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解可得依次函数解析式；（2）根据“总利润＝每斤的利润×周销售量”可得函数解析式，再利用二次函数的性质结合x的取值范围可得答案；【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，则y＝﹣x+800；（2）w＝（x﹣400）（﹣x+500）＝﹣x2+1200x﹣320000，令w＝30000得：30000＝﹣x2+1200x﹣320000，解得：x＝500或x＝700，∵a＝﹣1＜0，∴500≤x≤700时w不小于30000，∵x﹣400≤400×40%，∴x≤560，∴500≤x≤560．【点评】本题主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用的知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、理解题意找到相等关系并列出函数解析式．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为2．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE ⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．【分析】（1）由旋转的性质可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，即可证△ABC为等边三角形；（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，可得GH＝7，AD＝2，由旋转的性质可得AD＝AE＝2，∠DAE ＝60°，可求GE＝1，EH＝6，由锐角三角函数可求CE＝4，根据勾股定理可求等边△ABC的边AC的长；（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，根据特殊三角函数值可求AH＝4，通过证明△OBC≌△HCA，可求AH＝OC＝4，CE＝1，根据勾股定理可求△ABC的边AC的长．【解答】解：（1）∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，∵a∥b∥c，∴EH⊥直线c，∵直线a、c之间的距离为7，∴GH＝7∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAE＝60°，∵直线a、b之间的距离为2，∴AD＝2＝AE，∵∠GAE＝∠GAD﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴GE＝AE＝1，∠AEG＝60°，∴EH＝7﹣1＝6，∵∠CEH＝180°﹣∠AEC﹣∠AEG，∴∠CEH＝30°，∴cos∠CEH＝∴CE＝4在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，故答案为：2（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，∵AE⊥OP，∠AHO＝60°∴sin∠AHO＝∴AH＝4∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠POQ，∵∠POQ+∠OBC+∠OCB＝180°，∠ACB+∠OCB+∠ACH＝180°，∴∠ACH＝∠OBC，且BC＝AC，∠O＝∠AHC＝60°，∴△OBC≌△HCA（AAS）∴AH＝OC＝4，∴CE＝OE﹣OC＝5﹣4＝1，在Rt△ACE中，AC＝＝＝，∴△ABC 的边长为．【点评】本题是几何变换综合题，考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，本题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．24．（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2x ﹣3与x 轴交于点A 、B （3，0），交y 轴于点C（1）求a 的值．（2）过点B 的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为 x ＝3或y ＝4x ﹣12 ． （3）如图2，已知F （0，﹣7），过点F 的直线m ：y ＝kx ﹣7与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3交于M 、N 两点，当S △CMN ＝4时，求k 的值．【分析】（1）把（3，0）代入y ＝ax 2﹣2x ﹣3，即可求解；（2）当直线与y 轴平行时，直线l 的解析式为：x ＝﹣3；当直线与y 轴不平行时，设：直线1的解析式为：y ＝kx +b ，由△＝0即可求解； （3）联立得：x 2﹣（2+k ）x +4＝0，由S △CMN ＝|S △CFN ﹣S △CFM |＝×CF ×|x M ﹣x N |＝4，即可求解．【解答】解：（1）把（3，0）代入y ＝ax 2﹣2x ﹣3， 得：0＝9a ﹣6﹣3，∴a ＝1；（2）当直线与y 轴平行时，直线l 的解析式为：x ＝﹣3 当直线与y 轴不平行时，设：直线1的解析式为：y ＝kx +b ， 将点B 坐标代入上式，解得：b ＝﹣3k 则直线的表达式为：y ＝kx ﹣3k …①， 抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3…②，联立①②并整理得：x 2﹣（k +2）x +（3k ﹣3）＝0， △＝b 2﹣4ac ＝（k +2）2﹣4（3k ﹣3）＝0， 解得：k ＝4，故：直线的表达式为：x ＝3或y ＝4x ﹣12； （3）联立得：x 2﹣（2+k ）x +4＝0，x M +x N ＝k +2，x M •x N ＝4，∵S △CMN ＝|S △CFN ﹣S △CFM |＝×CF ×|x M ﹣x N |＝4，∴×4×＝4，即：（k +2）2＝20， 解得：k ＝﹣2±2．【点评】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、根的判别式、三角新九年级（上）数学期中考试题(含答案)一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1、圆内接四边形 A BCD 中，已知∠A ＝70°，则∠C ＝（ ） A ．20°B ．30°C ．70°D ．110°2、⊙O 的半径为 5c m ，点 A 到圆心 O 的距离 O A ＝3cm ，则点 A 与圆 O 的位置关系为（ ）A ．点 A 在圆上B ．点 A 在圆内C ．点 A 在圆外D ．无法确定3、将抛物线 y ＝x 2+1 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝（x +2）2+4B ．y ＝（x ﹣2）2﹣4C ．y ＝（x ﹣2）2+4D ．y ＝（x +2）2﹣44、若圆锥的母线长是 12，侧面展开图的圆心角是 120°，则它的底面圆的半径为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与 △CDE 对应边的比为 k ，则位似中心的坐标和 k 的值分别为（）A ．（0，0），2B ．（2，2），12C ．（2，2），2D ．（2，2），3 6、如图，在△ABC 中，点 D 是 A B 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝3，△ADC 的面积为 1，则△ABC 的面积为（ ） A ．9B ．8C ．3D ．27、如图，若二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为 x ＝1，与 y 轴交于 点 C ，与 x 轴交于点 A 、点 B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为 a +b +c ②a ﹣b +c ＜0；③b 2﹣4ac ＜0；④当 y ＞0 时，﹣1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、如图，在平行四边形A BCD 中，点E在C D 上，若D E：CE＝1：2，则△CEF 与△ABF 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．4：99、圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（）A．B．C．D．10、对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）A．m≤13B．m13<C．1312m<≤D．m12≤二、填空题（每题4分，共24 分）11 如图，△ABC 中，点D、E 分别在边A B、BC 上，DE∥AC．若B D＝4，DA＝2，BE＝3，则E C＝．12、在二次函数y=-x2 +2x+1的图像中，若y随x增大而增大，则x的取值范围是．13、如图，⊙O 与△ABC 的边A B、AC、BC 分别相切于点D、E、F，如果A B＝4，AC＝5，AD＝1，那么B C的长为．第8题第11 题第13 题14、高4m 的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时，旗杆旁教学楼的影长24m，则教学楼高m．15、若关于x的一元二次方程x2 -2x-k = 0 （k 为常数）在- 2 <x <3范围内有解，则k的取值范围是。
沪教版-九年级(初三)数学上册-期中考试复习试卷试题及答案(Word版)
沪教版-九年级(初三)数学上册-期中考试复习试卷试题及答案(Word版)AC51.将抛物线y=x^2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为哪一个？A。
y=(x-1)^2+2B。
y=(x+1)^2+2C。
y=(x-1)^2-2D。
y=(x+1)^2-22.已知二次函数y=ax^2-1的图象经过点(1,-2)，那么a的值为多少？A。
a=-2B。
a=2C。
a=1D。
a=-13.对于非零向量a、b，如果2|a|=3|b|，且它们的方向相同，那么用向量a表示向量b正确的是哪一个？A。
b=a*(3/2)B。
b=a*(2/3)C。
b=-a*(3/2)D。
b=-a*(2/3)4.在四边形ABCD中，若AB=a，AD=b，BC=c，则CD等于哪一个？A。
a-b-cB。
-a+b-cC。
a-b+cD。
-a+b+c5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=3，那么AC等于哪一个？A。
3sinαB。
3cosαC。
sinα/3D。
cosα/36.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正切值为多少？A。
3/4B。
4/3C。
5/3D。
3/57.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列结论正确的是哪一个？A。
sinA=3/2B。
tanA=1/2C。
cosB=3/2D。
tanB=3/48.抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与x轴交点的个数是多少？A。
没有交点B。
只有一个交点C。
有且只有两个交点D。
有且只有三个交点9.关于二次函数y=(x+1)^2的图象，下列说法正确的是哪一个？A。
开口向下B。
经过原点C。
对称轴右侧的部分是下降的D。
顶点坐标是(-1,0)10.在三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE//BC的是哪一个？A。
DE^2/BC^2=3/2B。
2021-2022学年沪教新版九年级上册数学期中复习试卷(含答案)
2021-2022学年沪教新版九年级上册数学期中复习试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝x2﹣（x+4）（x+2）B．y＝2（x+1）（x﹣3）C．y＝ax2+bx+c D．y＝2．在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（）A．8，6B．8，2C．，6D．，23．已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（）A．3B．4C．6D．74．若2a＝3b（a≠0），则的值为（）A．B．C．2D．35．下列命题中，是真命题的是（）A．等腰三角形都相似B．等边三角形都相似C．锐角三角形都相似D．直角三角形都相似6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：（1）abc＞0；（2）b＜a+c；（3）4a+2b+c＞0；（4）2c＜3b；（5）a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为米．8．如果抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是．9．抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴是．10．若函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象经过原点，最大值为16，且形状与抛物线y＝﹣4x2+2x﹣3相同，则此函数的关系式为．11．已知二次函数y＝﹣x2+2x+5，若P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是该二次函数图象上的两点，且y1＞y2，则实数n的取值范围为．12．化简：＝．13．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的重心到其直角顶点的距离是．14．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝．15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解是，．16．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD 于点F，G，H．若GE＝5，则FH的长为．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为．18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°，＝．三．解答题（共7小题，满分78分）19．已知＝＝，求的值．20．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．（1）求证：CD2＝DE•AD；（2）求证：∠BED＝∠ABC．22．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求证：CE•AD＝DE2；（2）求证：．23．（12分）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA ＝21米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC；（2）若AD＝2，求tan∠E；（3）如图2，连接AG，请在下面选择EG，DG，AG三者之间的数量关系并证明．我的选择是．①EG﹣DG＝AG；②EG﹣DG＝AG；③EG﹣DG＝AG．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．解：A 、y ＝x 2﹣（x +4）（x +2）＝x 2﹣x 2﹣6x ﹣8＝﹣6x ﹣8，是一次函数，故本选项不合题意；B 、y ＝2（x +1）（x ﹣3）＝2（x 2﹣2x ﹣3）＝2x 2﹣4x ﹣6，是二次函数，故本选项符合题意；C 、y ＝ax 2+bx +c ，不一定是二次函数，故本选项不合题意；D 、y ＝的右边是分式，不是二次函数，故本选项不合题意；故选：B ．2．解：在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝3DE ， ∴＝3，∵AC ＝3DF ， ∴＝3， ∴＝，∵∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ， ∴＝＝3，∵△ABC 的周长为24， ∴△DEF 的周长＝×24＝8，∴＝＝32＝9∵S △ABC ＝18， ∴S △DEF ＝S △ABC ＝2． 故选：B ．3．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴该函数的对称轴是直线x＝3，函数图象开口向上，当x＝3时取得最小值﹣1，∵当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，当x＝0时，y＝8，当x＝6时，y＝8，∴m＝6，故选：C．4．解：∵2a＝3b（a≠0），∴a＝b，∴＝＝2；故选：C．5．解：A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故A选项错误；B、等边三角形都相似，是真命题，故B选项正确；C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故C选项错误；D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故D选项错误．故选：B．6．解：（1）图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，此结论错误；②当x＝﹣1时，由图象知y＜0，把x＝﹣1代入解析式得：a﹣b+c＜0，∴b＞a+c，∴此结论错误；③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，所以b＝﹣2a，所以4a+2b+c＝4a﹣4a+c＞0，∴此结论正确；④∵由①②知b＝﹣2a且b＞a+c，∴2c＜3b，此结论正确；⑤当x＝1时，y＝a+b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，∵m≠1的实数，图象开口向下，对称轴为x＝1，∴a+b+c＞am2+bm+c，∴a+b＞m（am+b），∴此结论正确．故选：B．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．解：设A，B两地的实际距离为xcm，则：1：2000＝4.5：x，解得x＝9000．9000cm＝90m．故答案为：90．8．解：∵抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，∴抛物线的开口向上，∴a＞0，故答案为a＞0．9．解：对称轴为直线，∵a＝1，b＝﹣2，∴对称轴为直线．故答案为：直线x＝1．10．解：∵函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0，∵最大值为16，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k＝16，又∵形状与抛物线y＝﹣4x2+2x﹣3相同，∴二次项系数a＝﹣4，把a＝﹣4，k＝16代入y＝a（x﹣h）2+k中，得h＝±2，∴函数解析式是：y＝﹣4（x﹣2）2+16或y＝﹣4（x+2）2+16，即y＝﹣4x2﹣16x或y＝﹣4x2+16x，故答案为：y＝﹣4x2﹣16x或y＝﹣4x2+16x．11．解：∵P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是函数y＝﹣x2+2x+5的图象上的两点，且y1＞y2，∴﹣n2+2n+5＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+5，化简整理得，4n﹣8＜0，∴n＜2，∴实数n的取值范围为n＜2．故答案为：n＜2．12．解：∵＝﹣＝+＝．故答案为．13．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为3和6，∴斜边的长度为＝3，∴该三角形的重心到其直角顶点的距离是××3＝，故答案为：．14．解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案为：．15．解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．所以x1＝﹣1，x2＝5．故答案是：x1＝﹣1，x2＝5．16．解：过点H作HM⊥AB，垂足为M，设FH交AE于N，连接AG，CG，如图∵FH是AE的垂直平分线，∴∠ANF＝90°，AN＝NE，AG＝GE，∴∠BAE+∠AFN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝BC，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠AFN＝∠AEB，∵HM⊥AB，∴∠AMH＝∠HMF＝90°，∴四边形ADHM是矩形，∴AD＝HM＝AB，在△ABE和△HMF中，，∴△ABE≌△HMF（AAS），∴FH＝AE，∵G在AE的垂直平分线HF上，∴GA＝GE＝5，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABG＝∠CBG＝45°，在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠GAB＝∠GCB，∴GE＝GC，∴∠GEC＝∠GCE，∴∠GEC＝∠GAB，∵∠GEC+∠GEB＝180°，∴∠GAB+∠GEB＝180°，∴∠AGE＝360°﹣∠ABE﹣（∠BAG+∠GEB）＝360°﹣90°﹣180°＝90°，∵GA＝GE＝5，在Rt△AGE中，AE＝＝5，∴FH＝AE＝5，故答案为：5．17．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∵△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，∴CA′＝CA＝3，∵BA′≥BC﹣BA（当且仅当B、A′、C共线时取等号），∴BA′的最小值为4﹣3＝1．故答案为1．18．解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知，EF＝AE+DF，∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），∴＝＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分78分）19．解：设＝＝＝k（k≠0），∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝．20．解：（1）根据题意得，解得，．∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴二次函数的顶点坐标（1，4）．（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，解得，x1＝0或x2＝2，∵y＜3，∴x＜0或x＞2．21．证明（1）∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴CD：AD＝DE：CD，∴CD2＝DE•AD．（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD；∵CD2＝DE•AD，∴BD2＝DE•AD∴BD：AD＝DE：BD；又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB，∴∠BED＝∠ABC．22．证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，∴△ADE∽△DEC，∴，∴CE•AD＝DE2；（2）∵△ADE∽△DEC，∴＝，∴＝，∴．23．解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∵Rt△AEB∽Rt△CED，∴＝，即＝，解得：AB＝13.44．答：教学楼的高度为13.44m．24．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：，解得：，∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，），∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，联立方程组：，解得：，，∵点B坐标为（3，0），∴点C的坐标为（，﹣），∴BD+CF＝3+，∴S△PBC ＝S△PEB+S△PEC＝PE•BD+PE•CF ＝PE（BD+CF）＝（﹣m2+m+1）•＝（）2+，（其中＜m＜3），∵，∴这个二次函数有最大值．的最大值为．当m＝时，S△PBC（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，∴OM＝ON，∠MON＝90°，∵∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴，解得：，，M1（0，﹣3），M2，如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，∴OM＝ON，∠MON＝90°，∵∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴，解得：t1＝，t2＝，∴M3，M4（，）；综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2，M3，M4（，）．25．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，∴BD⊥EC；（2）解：∵AD＝2，∴AE＝AD＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴＝，∴AE•DF＝AF•DC，设AF＝AB＝a（a＞0），则2（2﹣a）＝a2，整理得：a2+2a﹣4＝0，解得：a＝﹣1+或﹣1﹣（舍去），∴AF＝﹣1+，∴tan E＝＝；（3）解：我的选择是：②EG﹣DG＝AG，证明如下：在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP，如图2所示：∵AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG为等腰直角三角形，∴PG＝AG，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG，故答案为：②EG﹣DG＝AG．。
沪教版(上海)九年级第一学期数学期中考试(一)(含解析)
沪教版九年级第一学期数学期中考试（一） 一、单选题(本大题共6题，每题4分，共24分)1．若23a b =，则32a b a b -+的值是（ ） A ．75 B ．23 C ．125 D ．0 【答案】D【解析】解：设23a b k ==， ∴a=2k ，b=3k ，∴32a b a b-+=322323k k k k ⨯-⨯+=0， 故选D.2．已知3cos sin 80A ︒><，则锐角A 的取值范围是( ) A ．6080A ︒︒<<B ．3080A ︒︒<<C ．1060A ︒︒<<D ．1030A ︒︒<< 【答案】D【解析】∵3cos30,sin 80cos10︒=︒=︒，锐角的余弦值随角度的增大而减小， ∴1030A ︒<<︒，故选：D ．3．如图：已知////AD BE CF ，且4,5,4AB BC EF ===，则DE =（ ）A ．5B ．3C ．3. 2D ．4【答案】C【解析】解：∵AD ∥BE ∥CF∴AB DE BC EF= ∵AB=4，BC=5，EF=4∴454DE ∴DE=3.2故选C4．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB 的长为3m ，点D 、B 、C 在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD 的长是（ ）A ．2B ．23C ．32D ．33【答案】C【解析】 试题分析：根据AB=3m ，∠ABC=45°可得：322∠D=30°可得：AD=2AC=2×3222m ． 5．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．∠C ＝98°，∠E ＝98°，AC DE BC DF=； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．∠A ＝∠F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．∠B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；∠E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】A 、若△ABC~△DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若△ABC~△DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若△ABC~△DEF ，∠A ＝90°，则∠D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且∠AGC ＝∠BHF ＝90°，因此△AGC ∽△BHF ，所以∠C ＝∠F ，而∠B ＝∠E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.6．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE AC ⊥，垂足为点F ，连接DF ，有下列五个结论：①AEF CAB ∆∆∽；②CF 2AF =；③DF DC =；④1tan 2CAD ∠=；⑤:1:4ABF BCDF S S ∆=四边形．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】分析： ①四边形ABCD 是矩形，BE ⊥AC ，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB ，于是△AEF ∽△CAB ； ②由1122AE AD BC ==，又AD ∥BC ，所以12AE AF BC FC ==，故可得CF=2AE ； ③过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，得到四边形BMDE 是平行四边形，求出12BM DE BC ==，得到CN=NF ，根据线段的垂直平分线的性质可得结论； ④设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，得出2b a =，进而得出22tan 2CD b a CAD AD a ∠====； ⑤由AE ∥BC ，推出12AE EF BC BF ==，设S △AEF =S △DEF =m ，推出S △ABF =2m ，S △BFC =4m ，S 矩形ABCD =12m ，S 矩形BCDF =8m ，推出S △ABF ：S 四边形BCDF =1：4，故⑤正确解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE AF =BC CF， ∵AE=12AD=12BC ， ∴12AF CF =， ∴CF=2AF ，故②正确；如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM=DE=12BC ， ∴BM=CM ，∴CN=NF ， ∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF=DC ，故③正确； 设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有AB AD AE DC =，即2b a a b =， 所以，2a ， ∴22tan 222CD b a CAD AD a a ∠====，故④错误； //AE BC ， 12AE EF BC BF ∴==， 设AEF DEF S S m ==，2ABF S m ∆∴=，4BFC Sm =，12ABCD S m =矩形，8BCDF S m =四边形， :1:4ABF BCDF S S ∴=四边形故⑤正确；二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分)7．计算：(2a -)b -12(64a -)b （_____________________） 【答案】a b -+【解析】 232a b a b --+ =a b -+故答案为：a b -+8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为_____． 【答案】4【解析】∵∠C=90°，AB=6，∴2cos 3BC B AB ==， ∴BC =23AB =4. 9．已知点D 是线段AB 的黄金分割点，且线段AD 的长为2厘米，则最短线段BD 的长是______厘米．【答案】－1 【解析】试题分析：因为点D 是线段AB 的黄金分割点，切BD ＜AD所以512AD BD AB AD -== 因为AD 的长为2厘米所以代入解得51BD =-10．如图，在ABC 中，点D 在BA 的延长线上，满足32AD AB =，点E 是BC 的中点，联结DE 交AC 于点F ，则:AF CF __________．【解析】解：如图,过点A 作AG ∥BC,交ED 于点G,∵AG ∥BC∴△AGF ∽△CEF,△DAG ∽△DBE ．∴AG AD BE BD = ,AF AG CF EC=． ∵32AD AB =． ∴25AG AD AD BE BD AD AB ===+． ∵点E 是BC 的中点． ∴BE=EC ．∴25AG AG ECBE ==． ∴2=5AF AG CF EC =． 即::AF CF =2：5．故答案为：2：511．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4cm ，那么A 、B 两地的实际距离是____km ．【答案】34【解析】根据题意,13.434000001000000÷=厘米=34千米. 即实际距离是34千米.故答案为:34.12．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m，则树的高度为_________m.【答案】7【解析】设树的高度为x m，由相似可得6157262x+==，解得7x=，所以树的高度为7m13．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为__________.【答案】9【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC-BD=AB-3；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；∴AB BD CD CE＝，即323ABAB-＝；解得AB=9．故答案为9．14．已知在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC的中点，如果AB a=，AC b=，那么向量MN=______（结果用a、b表示）．【答案】1122b a - 【解析】 ∵M 、N 是△ABC 的边AB 和AC 的中点，AB a =，AC b =， ∴11,22AM a AN b == ， . ∵ MN AN AM =- ，∴ 1122MN AN AM b a =-=-. 15．如图，已知在ABC 中，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，//,,DE BC CD BE 交于点F ，如果:3:5AE EC =那么:EF BF =_________ ．【答案】3:8【解析】∵//DE BC∴AED ACB ∠=∠且ADE ABC =∠∠∴ADE ABC △△∽∴AE DE AC BC= ∵35AE EC = ∴38AE AE AC AE EC ==+ ∴3=8DE AE BC AC = ∵//DE BC∴DEF FBC ∠=∠又∵DFE BFC ∠=∠∴DEF CBF ∽△△∴3=8EF DE BF BC = 故答案为：3:8．16．如图，ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于D 点，DE AB ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，3cm DE =，则BF =__________cm .【答案】6【解析】∵AB=AC ，∴∠C ＝∠ABC ，又∵AD ⊥BC 于 D 点，∴ BD=DC=12BC ， 又 DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BED=∠CFB=90°， ∴△BED ∽△CFB ，∴DE ：BF=BD ：BC=1：2，∴BF=2DE=2×3=6cm ， 故答案为：6.17．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．【答案】()120031 【解析】 由于CD//HB ，CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，AH CH 1200∴==米，在Rt HCB ，CH tan B HB∠=， CH 1200HB 12003(tan B tan303∠∴====米)， ()AB HB HA 120031200120031∴=-=-=-米， 故答案为()120031-. 18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）【答案】①②④．【解析】分析：利用折叠性质得∠CBE=∠FBE ，∠ABG=∠FBG ，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH ，则可得到∠EBG=12∠ABC ，于是可对①进行判断；在Rt △ABF 中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x ，则GH=x ，GF=8-x ，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF ∽△DFE ，利用相似比得到43DE AF DF AB ==，而623AB AG ==，所以AB DE AG DF≠，所以△DEF 与△ABG 不相似，于是可对③进行判断. 解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF+∠FBG ＝12∠CBF+12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确； 在Rt △ABF 中，AF ＝22BF AB -＝22106-＝8，∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8﹣x ，HF ＝BF ﹣BH ＝10﹣6＝4，在Rt △GFH 中，∵GH 2+HF 2＝GF 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，∴GF ＝5，∴AG+DF ＝FG ＝5，所以④正确；∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠EFD +∠AFB ＝90°，而∠AFB +∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EFD ，∴△ABF ∽△DFE ，∴AB DF ＝AF DE， ∴DE DF ＝AF AB ＝86＝43， 而AB AG ＝63＝2， ∴AB AG ≠DE DF ， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误．∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32S △FGH ，所以②正确． 故答案是：①②④．三、解答题(本大题共7题，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分，共78分)19．计算：()222tan 4521cos30cos 60sin 602sin 451︒--︒+︒+︒︒- 【答案】23+ 【解析】原式=32112212⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⨯- =21231+-++=23+20．如图，MN 经过∆ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM=AN ，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）联结DE ，如果DE=1，BC=3，求MN 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：∵MN BC ∥，∴AM AD BC DB =，AN AE BC EC =． ∵AM AN ∥，∴AE AD EC DB =． ∴DE BC ∥．（2）∵DE BC ∥，1DE =，3BC =．∴13DE AD AE BC AB AC === ∴12AD AEDB EC，∴12AN AE BC EC ==． ∴32AN = ∵AM AN =，∴3MN =．21．如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB 将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC 上．已知传送带AB 与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°． （1）求传送带AB 的长度； （2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF 的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，5≈2.24）【答案】（1）3米；（2）4.5米.【解析】（1）在直角△ABD 中，∵∠ADB=90°，∠BAD=37°，BD=1.8米，∴AB=BD sin 37︒≈1.80.60=3（米）． 答：传送带AB 的长度约为3米；（2）∵DF=BD+BF=1.8+0.2=2米，斜坡EF 的坡度i=1：2，∴DF 1=DE 2， ∴DE=2DF=4米，∴EF=2222DE DF =42++=25≈4.5（米）．答：改造后传送带EF 的长度约为4.5米．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F .（1）求证：FD BD FC DC=； （2）若54BC FC =，求BD DC 的值.【答案】（1）详见解析；（2）32BD DC = 【解析】分析： （1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE ＝EC ，推出∠EDC ＝∠ECD ，求出∠FDC ＝∠B ，根据∠F ＝∠F ，证△FBD ∽△FDC 即可；（2）根据已知和三角形面积公式得出54BDC FDC S S ∆∆=，94BDF FDC S S ∆∆=，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出294BDF FDC S BD S DC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出BD DC ． （1）证明：CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，E 是AC 的中点，DE EC ∴=，EDC ECD ∴∠=∠，90ACB ∠=︒，90BDC ∠=︒，90ECD DCB ∴∠+∠=︒，90DCB B ∠+∠=︒，ECD B ∴∠=∠，∴FDC B ∠=∠，F F ∠=∠，FBD FDC ∴∆∆∽，FD BD FC DC∴=. （2）54BC FC =，54BDC FDC S S ∆∆∴=，94BDF FDC S S ∆∆∴=， FBD FDC ∆∽，294BDF FDC S BD S DC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 32BD DC ∴=. 23．如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且//EF BD ，3AD AF =，CF 交BD 于G ，设AB a =，AD b =．（1）用a 、b 表示：EF = ；（2）在原图中作出向量FC 分别在a 、b 方向上的分向量，并分别用a 、b 表示（写出结论，不要求写作法）．FC 在a 方向上的分向量是 ；FC 在b 方向上的分向量是 ．【答案】（1）1133b a -;（2）a ，23b ． 【解析】（1）//EF BD ， ∴13AE AF AB AD ==， AB a =，AD b =，∴13AF b =，13AE a =，EF EA AF =+， ∴1133EF b a =-．（2）作FH ⊥BC 交BC 于点H ，如图所示：向量FC 分别在a 、b 方向上的分向量分别为FH a =，23FD b =．24．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．（1）求证：2PC PE PF =；（2）若菱形边长为8，2PE =，6EF =，求FB 的长．【答案】（1）见解析；（2） 16=FB ．【解析】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，DC DA ∴=，ADP CDP ∠=∠，//DC AB ，又DP 是公共边，DAP DCP ∴∆≅∆，PA PC ∴=，DAP DCP ∠=∠，由//DC FA 得，F DCP ∠=∠，F DAP ∴∠=∠，又EPA APF ∠=∠AEP FAP ∴∆∆∽，∴PA：PF=PE ：PA ，2PA PE PF ∴=2PC PE PF ∴=．（2）2PE =，6EF =，8PF ∴=，2PC PE PF =，216PC ∴=，4PC ∴= //DC FB∴FB PF DC PC =， 又8DC =，∴884FB = 16FB ∴=．25．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且∠ECF ＝45°，CF 的延长线交BA 的延长线于点G ，CE 的延长线交DA 的延长线于点H ，连接AC ，EF ．，GH ．（1）填空：∠AHC ∠ACG ；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC ，AG ，AH 什么关系？请说明理由；（3）设AE ＝m ，①△AGH 的面积S 有变化吗？如果变化．请求出S 与m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH 是等腰三角形的m 值．【答案】（1）=；（2）结论：AC 2＝AG •AH ．理由见解析；（3）①△AGH 的面积不变．②m的值为83或2或8﹣2. 【解析】分析：（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝224+4=42，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，∴AH AC AC AG=，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH＝12•AH•AG＝12AC2＝12×（42）2＝16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴12 BC BEAH AE==,∴AE＝23AB＝83．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴BE BCAE AH＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EM2m，∴m+2m＝4，∴m＝4（2﹣1），∴AE＝4﹣4（2﹣1）＝8﹣42，8 3或2或8﹣．综上所述，满足条件的m的值为。
【初三数学】上海市九年级数学上期中考试测试题(含答案解析)
新九年级上学期期中考试数学试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝1093．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D) A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6 D．y＝x25．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）A．10月份的售价为50(1＋10%)元B．11月份的售价为50(1＋10%)元C．50(1＋x)2＝64.8D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.86．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）A．6 B．3 C．－3 D．07．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx ＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（D）8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A )A.7 B．2 2 C．3 D．2 3第8题图第9题图第10题图9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③10．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc<0；②9a ＋3b ＋c>0；③若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1、点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2是函数图象上的两点，则y 1<y 2； ④－35<a<－25.其中正确结论有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x＝2.第11题图第15题图第18题图12．一元二次方程(x＋3)2－x＝2(x2＋3)化成一般形式为x2－5x－3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根．13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合．14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y＝－3x.15．(原创)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等于x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x ＜1或x＞ 3.16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m，当铅球运行的水平距离是6 m时达到最大高度4 m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m.17．已知方程(p－2)x2－x＋p2－3p＋2＝0的一个根为0，则实数p的值是1.18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B三、解答题(本大题共7小题，共66分)19．(8分)(1)解方程3x2－x－1＝0；解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞0，∴x＝－（－1）±132× 3＝1±136，∴x1＝1＋136，x2＝1－136；(2)通过配方，写出抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝1＋6x－x2＝－(x－3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，10)．20．(8分)如图所示，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP＝5，则PP′的长是多少？解：由旋转易知AP′＝AP＝5，∠BAP＝∠CAP′，∵∠BAC ＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP＋∠CAP′＝∠CAP＋∠BAP＝90°，则在Rt△PAP′中，由勾股定理得PP′＝AP2＋AP′2＝5 2.21(8分)(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)如图；(2)如图；(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．22．(8分)如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，求点M 的坐标．新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）A．（x+1）（x﹣2）＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1C．（x+2）2＝1 D．5．把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+16．函数y＝﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣7）B．（2，7）C．（﹣2，﹣7）D．（﹣2，7）7．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x （x +1）＝1035B ．x （x ﹣1）＝1035×2C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．故选：B．【点评】当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，解得m．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是x1＝，x2＝．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．抛物线y＝﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下，∴该抛物线有最大值；当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15；∴顶点坐标是（0，15）．故答案是：高、（0，15）．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 a （1+x ）2 ．【分析】第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产的百分率为x ．解：依题意可知：第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．故答案为a （1+x ）2．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 y 1＜y 2＜y 3【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣5，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，然后根据二次函数的性质得到y 1，y 2，y 3的大小关系．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣5，抛物线开口向上，所以当x ＞﹣5时，y 随x 的增大而增大，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，所以y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；【分析】先移项得x 2﹣4x ＝﹣1，再把方程两边加上4得到x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；先移项，然后分解因式得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可．解：x 2﹣4x +1＝0x 2﹣4x ＝﹣1，x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，∴x ﹣2＝±， ∴x 1＝2+，x 2＝2﹣；x （x ﹣2）＝4﹣2xx （x ﹣2）+2（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x +2）＝0，∴x ﹣2＝0或x +2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了因式分解法解一元二次方程．20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可解决，解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，可设抛物线为：y ＝a （x ﹣2）2+4，把（1，2）代入得：2＝a +4，解得：a ＝﹣2，所以抛物线为：y ＝﹣2（x ﹣2）2+4，即y ＝﹣2x 2+8x ﹣4，【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m ＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣，再代入可得答案．解：（1）由题意得：△＝（﹣3）2﹣4×1×m ＝9﹣4m ＞0，解得：m ＜；（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，∴x2＝2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【分析】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x ﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点；（3）利用二次函数的性质确定x的范围．解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，△＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点；即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；解：设每件童装应降价x 元，根据题意列方程得， （40﹣x ）（20+2x ）＝1200，解得x 1＝20，x 2＝10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）， 答：每件童装降价20元；【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润的运用．24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？ 【分析】设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，列出面积与x 的二次函数关系式，求最值．解：设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，则其面积S ＝x •＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ．∵0＜2x ＜12， ∴0＜x ＜6．∵S ＝﹣x 2+6x ＝﹣（x ﹣3）2+9， ∴a ＝﹣1＜0，S 有最大值， 当x ＝3时，S 最大值＝9．∴设计费最多为9×1000＝9000（元）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x＝0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C 的坐标；（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），∴B（5，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），（3）∵∠BOC＝90°，∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，由题意得：OB＝5，OC＝5，由勾股定理得；BC＝＝5，S＝π•＝π，答：过O，B，C三点的圆的面积为π．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x＝0时，求抛物线与y轴的交点；令y＝0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y＝kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5 x2+40 x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．最新九年级（上）数学期中考试试题【含答案】一、选择题（共12小题，共36分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2 D．22．地球和太阳间的距离为150 000 000km，用科学记数法表示150 000 000为（）A．15×107B．1.5×108C．0.15×109D．1.5×1073．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．D．（a+b）2＝a2+b24．一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.55．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．其图象经过点（3，1）B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y＞36．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（）A．B．C．D．7．不等式组的最小整数解是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．18．甲乙两位赛车手同时从起点出发，行驶20千米到达终点．已知甲车手每小时比乙车手多行驶1千米，甲比乙早到达12分钟，若设乙每小时跑x千米，则所列方程式为（）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．下列结论错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（共2小题，共6分）13．因式分解：2m3﹣8m＝．14．若直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集是．三、解答题（共3小题，共18分）15．（5分）计算：（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|16．（6分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．17．（7分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有名学生；（2）补全条形统计图；（3）该班学生所穿校服型号的众数为，中位数为；（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？一、填空题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）18．若，则＝．19．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．二、解答题（本题共有4小题，其中第20题7分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，共34分）20．（7分）在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．（1）直接写出函数y＝图象上的所有“整点”A1，A2，A3…的坐标；（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．21．（8分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．。
相似三角形(知识导图+2个考点清单+4种题型解读)原卷版—24-25学年九年级数学上学期期中(沪教版
相似三角形（考点清单，知识导图+2个考点清单+4种题型解读）【清单01】 相似三角形的判定相似三角形的123Rt .ìïïïïíïïïD ïî预备定理：平行于三角形的直线截其它两边所在的直线，与；判定定理：，两个三角形；判定定理：且截得的三角形原三角形相似两角对应相等相似角，两个三形；判定定理：，两个三角形；相似的判定：似和对应成比例，两相两边对应成比例夹角相等三边对应成比例相斜三个边直角边直角角形相似【清单02】相似三角形的性质123ìïïíïïî基本性质：相似三角形的，；性质定理：相似三角形、和都等于；性质定理：相似三角形的等对对于；分性质比定应理应角相等对应边成比例对似：相似三角形高的比应中线的比对应角平线的相比周长的比相似比面积比的等于.的比相似的平方注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.【考点题型一】相似三角形的性质（共8小题）【例1】（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应中线的比为( )A ．1:16B ．1:2C ．1:4D ．【变式1-1】（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为( )A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【变式1-2】（2023秋•黄浦区期末）已知：△111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为4，那么△111A B C 与△333A B C 的相似比为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【变式1-3】（2023秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形的相似比是5:7，小三角形的周长为20cm ，大三角形的周长是 cm ．【变式1-4】（2023秋•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的周长比为4:9，那么这两个相似三角形的面积比为 ．【变式1-5】（2023秋•虹口区期末）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6 平方分米．【变式1-6】（2023秋•金山区期末）在ABC D 中，6AC =，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，且APQ D 和ABC D 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是 ．【变式1-7】（2023秋•普陀区期末）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上的高，如果5AC =，4CD =，那么ACD D 与CBD D 的相似比k = ．【考点题型二】相似三角形的判定（共7小题）【例2】（2023秋•金山区期末）如图在41´的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，ABC D 就是一个格点三角形，现从ABC D 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与ABC D 相似的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式2-1】（2023秋•奉贤区期末）如图，将ABC D 绕点B 顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A 、C 的对应点分别为D 、E ，边DE 交BC 于点F ，联结CE ．下列两个三角形不一定相似的是( )A ．BAD D 与BCE DB ．BDF D 与ECF DC ．DCFD 与BEF D D ．DBF D 与DEBD 【变式2-2】（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是( )A ．两个直角三角形B ．两个等腰三角形C ．两个等边三角形D ．两个面积相等的三角形【变式2-3】（2024•静安区校级模拟）如图，已知ABC D 与BDE D 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与BDF D 相似的三角形是( )A ．BEF DB ．BDA DC ．BDCD D ．AFDD 【变式2-4】（2023秋•宝山区期末）如图，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与AMN D 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①ABC D ；②ABD D ．关于这两个三角形，下列判断正确的是( )A ．只有①是B ．只有②是C ．①和②都是D ．①和②都不是【变式2-5】（2024•闵行区三模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =×．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ×=×，求证：ABE ACD D D ∽．【变式2-6】（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在ABC D 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，EB 平分DEC Ð．（1）求证：AE AB ED BD=；（2）如果22BE AE BC AC=，求证：ABE ACB D D ∽．【考点题型三】相似三角形的判定与性质（共13小题）【例3】（2023秋•长宁区期末）如果点D 、E 分别在ABC D 的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出//(DE BC )A ．23AD BD =，23CE AE =B ．22,33AD DE AB BC ==C ．32AB AD =，12EC AE =D ．44,33AB AE AD EC ==【变式3-1】（2023秋•长宁区期末）已知在ABC D 与△A B C ¢¢¢中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ¢¢上，（点D 不与点B 、C 重合，点D ¢不与点B ¢、C ¢重合）．如果ADC D 与△A D C ¢¢¢相似，点A 、D 分别对应点A ¢、D ¢，那么添加下列条件可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似的是( )①AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的角平分线；②AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的中线；③AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的高．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【变式3-2】（2023秋•静安区期末）在ABC D 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，联结DE 、DF ，如果//DE AC ，//DF AB ，且:1:2AE EB =，那么:AF FC 的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．12【变式3-3】（2023秋•金山区期末）已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果:1:2AE ED =，那么:DF FB 为( )A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．2:5【变式3-4】（2023秋•黄浦区期末）如图，△ABC 三边上点D 、E 、F ，满足//DE BC ，//EF AB ，那么下列等式中，成立的是( )A ．DE AE EF EC =B ．AD BF DB FC =C ．DE AB EF BC =D ．AD BF DB BC =【变式3-5】（2023秋•徐汇区期末）如图，点D 是ABC D 内一点，点E 在线段BD 的延长线上，BE 与AC 交于点O ，分别联结AD 、AE 、CE ，如果AD AE DE AB AC BC==，那么下列结论正确的是( )A ．//CE ADB ．BD AD =C ．ABE CBE Ð=ÐD ．BO AE AO BC ×=×．【变式3-6】（2022秋•虹口区期末）如图，点D 、E 分别在ABC D 边AB 、AC 上，3AB AE AD CE==，且AED B Ð=Ð，那么AD AC的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．23【变式3-7】（2023秋•浦东新区校级月考）如图所示，过△ABC 的顶点C 作任一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，过点D 作//DM FC 交AB 于点M ．（1）若:2:3AEF MDEF S S =V 四边形，求:AE ED ．（2）试说明2AE FB AF ED ×=×．【变式3-8】（2022秋•长宁区期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且AD AB =，边BC 的垂直平分线EF 交边AC 于点E ，BE 交AD 于点G ．（1）求证：△BDG ∽△CBA ；（2）如果△ADC 的面积为180，且18AB =，6DG =，求△ABG 的面积．【变式3-9】（2022秋•杨浦区期末）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且2AC CE CB =×．（1）求证：AE CD ^；（2）连接BF ，如果点E 是BC 中点，求证：EBF EAB Ð=Ð．【变式3-10】（2022秋•嘉定区期末）如图，已知在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边CB 、AC 的延长线上，且DAB EBC Ð=Ð，EB 的延长线交AD 于点F ．（1）求证：DBF EBC D D ∽；（2）如果AB BC =，求证：2EC DF DA =×．【变式3-11】（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF AC ^，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：ABD ACE Ð=Ð；（2）求证：2CD DG BD =×．【变式3-12】（2023秋•静安区期中）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE AB =，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ．联结BD ．（1）求证：BND CNM D D ∽；（2）如果2AD AB AF =×，求证：CM AB DM CN ×=×．【考点题型四】相似三角形的应用（共8小题）【例4】（2024秋•静安区校级月考）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m ，影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆的高度是 m ．【变式4-1】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板(Rt ACB)D 上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若:1:3AF AC =，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为 ．【变式4-2】（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳1(,)3OC ODAD BCOB OA===测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于 cm．【变式4-2】（2023秋•浦东新区校级期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB= ．【变式4-3】（2023秋•松江区校级月考）如图，有一块面积等于21200cm的三角形纸片ABC，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．（1）求BC和底边上的高；（2）求加工成的正方形纸片DEFG的边长．【变式4-4】（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m、n之间的距离为9米，ABCD表示这块空地，36BC=米．现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）如果矩形花坛的边:1:2DG DE=，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的59？请作出判断并说明理由．【变式4-5】（2022秋•宝山区期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①)，斜边AB 平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A¢、B¢、C¢（如图②)，使直角边B C¢¢（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B A¢¢的延长线上，且测得此时边B C¢¢距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？【变式4-6】（2023秋•奉贤区期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A B¢¢，此时测得像距OD为12.8厘米．（1）求像A B¢¢的长度．（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．。
【沪科版】九年级数学上期中试题含答案
一、选择题1．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．直线26y x =-+与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，将AOB 绕点A 顺时针旋转90°得到AO B ''△，则点B '的坐标是（ ）A ．()9,9B ．()3,9-C ．()9,3D ．()3,9 3．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．戴口罩讲卫生 B ．勤洗手勤通风C ．有症状早就医D ．少出门少聚集4．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．（-1，3）B ．（3，-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 5．如图所示的图形中,是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，点P （m ，n ）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）A ．当n ＜0时，m ＜0B ．当n ＞0时，m ＞x 2C ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2D ．当n ＞0时，m ＜x 1 10．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小 11．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 12．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关 13．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．A ．6B ．3532C ．532D ．535 14．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( )A ．2B ．1C ．−1D ．−2二、填空题15．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M 平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为______．16．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．17．抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为________18．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 19．已知函数2y mx m m =++为正比例函数，则常数m 的值为______．20．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．三、解答题21．（1）（操作发现）如图1，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得°到△ADE ，连接BD ，则∠ABD=_______度． （2）（类比探究）如图2，在边长为7的等边三角形ABC 内有一点P ，∠APC=90°°，∠BPC=120°，求△APC 的面积．22．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一点，将AEC 以点C 为旋转中心，逆时针旋转90°得到BFC △，AD 的延长线交线段BF 于点P ．探究线段EP ，FP ，BP 之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP BF ⊥；特例探究（2）如图2，当CE 垂直于AD 时，求证：2EP FP BP +=；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．23．如图，□ABCD 中，AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）若四边形ABCD 是正方形，求抛物线2y ax bx c =+-的对称轴；（2）若抛物线2y ax bx c =+-的对称轴为直线34x =-，抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -．且1b c =+，求四边形ABCD 的面积．24．如图1，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若OC =2OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴l 上有一动点P ，当PC +PA 最小时，求出点P 的坐标；（3）如图2所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点．过点M 作直线l '∥l ，交抛物线于点N ，连接CN ，BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？25．用适当的方法解下列方程：（1）22580x x --=；（2）23(5)2(5)x x -=-．26．解方程：（1）2340x x --=；（2）()()2151140x x -+--=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：C【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；【详解】A、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；B、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；C、图形旋转180度之后能与原图形重合，故是中心对称图形；D、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合；2．C解析：C【分析】由题意可求点A（3，0），点B（0，6），根据旋转的性质可得OA=O'A=3，BO=B'O'=6，B'O'∥OA，即可求点B'坐标．【详解】解：如图：∵直线y=-2x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点，∴当x=0时，y=6；当y=0时，x=3．∴点A（3，0），点B（0，6）∴OA=3，OB=6∵将△AOB绕点A顺时针旋转90°得到△AO′B′，∴OA=O'A=3，BO=B'O'=6，∠OAO'=∠B'O'A=90°∴B'O'∥OA∴点B'（9，3）故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关3．C解析：C【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．4．C解析：C【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．∵B（2，0），△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE⊥OB，∴OE=EB=1，∴2222AO OE--213==∵A′H⊥OH，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE，∴△A′OH≌△OAE（AAS），∴A′H=OE=1，3∴A′（31），故选：C ．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．D解析：D【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、不是中心对称图形，不符合题意；C 、不是中心对称图形，不符合题意；D 、是中心对称图形，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 7．B解析：B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键8．A解析：A【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断．【详解】解：如图：①如图所示，函数图象关于y 轴对称，故①符合题意．②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意．③如图所示，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故③符合题意．④如图所示，当-2＜a ＜-1时，关于x 的方程x 2-2|x|-1=a 有4个实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的结论有3个．故选：A ．【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．9．C解析：C【分析】首先根据a 判断二次函数图象的开口方向，再确定对称轴，根据图象和二次函数的性质分析得出结论．【详解】解：∵a ＞0，∴开口向上，以对称轴在y 轴左侧为例可以画图二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2， 无法确定x 1与x 2的正负情况，∴当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2，但m 的正负无法确定，故A 错误，C 正确；当n ＞0时，m ＜x 1 或m ＞x 2，故B ，D 错误，均不完整故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与x 轴交点的问题，熟练掌握二次函数图象及图像上的坐标特征是解题的关键．10．C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2(2)7y x =---，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．11．B解析：B【分析】设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图1得到一个 a 与 b 关系式，再利用图2得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图3阴影面积即可.【详解】图1中重叠部分的为正方形且其面积为4，∴重叠部分的边长为2，设大正方形边长为a ，小正方形的边长为b ，∴a -b +2=b ，如图2，阴影部分面积=a 2-2b 2+(b -2a b -)2=44，解得：b =6，∴a =10， 如图3，两个小正方形重叠部分的面积=()2b b a ⨯-=12．故答案为：B ．【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.12．A解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．13．D解析：D【分析】 仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为52，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．【详解】解：如图2，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为255045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭， ∴5252⨯=．【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．14．B解析：B【分析】设方程的另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个根为x 1，根据题意得：2+x 1=3，∴x 1=1．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和与系数的关系是解题的关键．二、填空题15．；【分析】先令y=0求得点AB 的坐标再求得顶点M 的坐标根据题意即可得出平移的方向和距离进而可求得平移后的解析式【详解】解：令y=0则有解得：x1=1x2=3∴A(10)B(30)∵=（x ﹣2）2﹣1解析：221y x x =++； 【分析】先令y=0求得点A 、B 的坐标，再求得顶点M 的坐标，根据题意即可得出平移的方向和距离，进而可求得平移后的解析式．【详解】解：令y=0，则有2043x x =-+，解得：x 1=1，x 2=3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵243y x x =-+=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点M 的坐标为（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴将原抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到平移后的抛物线，∴平移后的顶点坐标为（﹣1，0），即平移后的解析式为y=（x+1）2=x 2+2x+1，故答案为：221y x x =++．本题考查了二次函数的图像与几何变换，会求抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，熟练掌握抛物线平移的变换规律是解答的关键．16．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平解析：22y x =-【分析】根据2(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；【详解】∵抛物线2(3)2y x =--∴顶点坐标为(3，-2)，∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 17．【分析】根据二次函数的平移规律上加下减左加右减即可求解【详解】解：抛物线先向上平移1个单位再向左平移1个单位所得的抛物线为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的平移掌握二次函数的平移规律上加下减左加右减解析：()2311y x =++【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】解：抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为()2311y x =++，故答案为：()2311y x =++．【点睛】本题考查抛物线的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 18．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a ，b 是方程210x x --=的两根，∴a+b=1，ab=-1， ∴11a b+ =a b ab+ =11- =-1， 故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.19．-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解【详解】解：∵函数为正比例函数∴且解得：；故答案为-1【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程 解析：-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解．【详解】解：∵函数2y mx m m =++为正比例函数，∴20m m +=，且0m ≠，解得：1m =-；故答案为-1．【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法，熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程的解法是解题的关键．20．－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】已知是关于x 的方程的一个根故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造 解析：－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程，解这个方程即可【详解】已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，22220m +⨯+=8m =-故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键三、解答题21．（1）60；（2）3【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB 是等边三角形即可；（2）【类比探究】：如图2中，将△CBP 绕点C 逆时针旋转60°得△CAP ＇，连接PP ＇，证明∠APP ＇=30°，∠PAP ＇=90°，设AP ＇=t ，表示出AP 和PC ，利用勾股定理求出t ，进而可求出△APC 的面积．【详解】解：（1）解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△ADE ，∴AD=AB ，∠DAB=60°，∴△DAB 是等边三角形，∴∠ABD=60°，故答案为60． （2）将△CBP 绕点C 逆时针旋转60°得△CAP ＇，连接PP ＇，则△PCP ＇为等边三角形，∴∠CPP ＇=∠CP ＇P=60°．∵∠BPC=120°，∠CPP ＇=60°，又∵∠APC=90°，∴∠APP ＇=30°，由旋转得∠AP ＇C=∠BPC=120°，∴∠APP ＇=120°-60°=60°，∴∠PAP ＇=90°，可设AP ＇=t ，则PC=PP ＇=2t ，()222t t -3t ， 在Rt △APC 中，)()222327t t +=，∴t=1，∴3PC=2，∴S△APC=12332⨯⨯=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考常考题．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）成立．证明见解析．【分析】（1）根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，得到∠FBC=∠EAC，再由三角形内角和证明AP⊥BE即可．（2）先证明四边形CEPF是正方形，得到CE=FP，再证明△CED≌△BPD，可得CE=BP，则问题可证．（3）过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H，则按照（1）中方法问题证．【详解】（1）证明：根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，∴∠FBC=∠EAC．又∵∠ADC=∠BDP，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，∴∠BDP+∠FBC=90°，∴∠BPD=180°-（∠BDP+∠FBC）=90°，∴AP⊥BE．（2）证明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，∴四边形CEPF是矩形．∵CE=CF∴四边形CEPF是正方形．∴CE=EP=FP．又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°∴△CED≌△BPD，∴CE=BP．∴EP+FP=2CE=2BP．（3）成立．理由如下：过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H．∵△BFC由△AEC逆时针90°旋转得到，∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，∴∠CEG=∠CFH ．∵∠CGE=∠CHF=90°，∴△CEG ≌△CFH ，∴CH=CG ，EG=FH ．∴EP+FP=GP+HP∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，∴四边形CGPH 是正方形．又（2）可知，GP+PH=2BP ，∴EP+PF=2BP ．【点睛】本题考查了利用图形旋转证明三角形全等以及正方形的性质和判定，解答关键是应用由特殊到一般思想，通过类比方法证明问题．23．(1)x=；（2） ABCD S =四边形 【分析】（1）由正方形推出a ，利用对称轴公式求对称轴（2）对称轴为直线34x =-利用公式得b=32a ，抛物线与x 轴交点为(),0c -代入得20ac bc c --=，1bc =+求出a b c 、、的值，由=a c 推出四边形ABCD 为菱形，利用菱形面积公式求出即可【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，，a2y ax bx c =+-=a (x 2对称轴为x=2b a -==(2) 对称轴为直线34x =-， ∴利用对称轴公式得b=32a 抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -代入抛物线20ac bc c --=由c>0、b>0、a>0，10ac b --=∴10132ac bb cb a⎧⎪--=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得232abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩（负值已舍去），∵ABCD，=2a c=∴四边形ABCD为菱形连BD交AC于O，BO⊥AO，AO=OC=1.5在RtΔABO中，由勾股定理2272OB AB AO=-=，AD=2OB=7∴ABCD137732S=⨯⨯=四边形【点睛】本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出a b c、、之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出a b、关系，利用点C在抛物线上，确定a b c、、之间关系会解方程组解决问题24．（1）y=x2-3x+2；（2）点P的坐标为（32，12）；（3）当t=1时，S△BCN的最大值为1．【分析】（1）先确定c，然后再根据OC=2OA确定A点的坐标，再将A点的坐标代入解析式求得b 即可解答；（2）如图：作点A关于直线l对称的对称点，即点B，连接BC，与直线l交于点P'，此时PA+PB最小；然后求得直线BC的解析式，最后确定P'的坐标即可；（3）先求出M点坐标，然后再根据S△BCN=S△MNC+S△MNB确定二次函数关系式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2），∴c=2又∵OC =2OA ，∴OA =1，即A （1，0）；又∵点A 在抛物线y =x 2+bx +2上，∴0=12+b ×1+2，b =-3；∴抛物线对应的二次函数的解析式为y =x 2-3x +2；（2）如图：作点A 关于直线l 对称的对称点，即点B ，连接BC ，与直线l 交于点P '， 则PA +PC 的最小值为P 'B +P 'C =BC ，设BC 的解析式为y =mx +n ，令x 2-3x +2=0，解得：x =1或2，∴B （2，0），又∵C （0，2），∴202m n n +=⎧⎨=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y =-x +2， 令x =32，代入，得：y =12，∴当PC +PA 最小时，点P 的坐标为（32，12）； （3）如图：∵点M 是直线l '和线段BC 的交点，∴M 点的坐标为（t ，-t +2）（0＜t ＜2），∴MN =-t +2-（t 2-3t +2）=-t 2+2t ，，∴S △BCN =S △MNC +S △MNB =12MN ▪t +12MN ▪（2-t ）=12MN ▪（t +2-t ）=MN =-t 2+2t （0＜t ＜2）， ∴S △BCN =-t 2+2t =-（t -1）2+1，∴当t =1时，S △BCN 的最大值为1．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，正确求出函数解析式并掌握数形结合思想是解答本题的关键．25．（1）12589589x x +-==2）12175,3x x ==【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）2,5,8a b c ==-=-，2(5)42(8)890∴∆=--⨯⨯-=>，x ∴==，12x x ∴== （2）23(5)2(5)0x x ---=， 移项得，23(5)2(5)0x x ---=，因式分解得，(5)(317)0x x --=，50x ∴-=或3170x -=，12175,3x x ∴== 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．26．（1）14x =，21x =-；（2）16x =-，23x =．【分析】（1）用十字相乘法分解因式求解即可；（2）把x-1看作一个整体，用十字相乘法分解因式求解即可；【详解】解：（1）2340x x --=，()()410x x -+=，40x ∴-=或10x +=，14x ∴=，21x =-；（2）()()2151140x x -+--=， ()()17120x x -+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=，60x ∴+=或30x -=，16x ∴=-，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．。
沪教版-九年级(初三)数学上册-期中考试复习试卷试题及答案(Word版)
沪教版-九年级（初三）数学上册-期中考试复习试卷试题一．选择题（共24小题）1．（2019•徐汇区一模）将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( ) A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =+-2．（2019•宝山区一模）已知二次函数21y ax =-的图象经过点(1,2)-，那么a 的值为() A ．2a =-B ．2a =C ．1a =D ．1a =-3．（2019•奉贤区一模）对于非零向量a 、b ，如果2||3||a b =，且它们的方向相同，那么用向量a 表示向量b 正确的是( ) A ．32b a =B ．23b a =C ．32b a =-D ．23b a =-4．（2019•长宁区期末）在四边形ABCD 中，若AB a =，AD b =，BC c =，则CD 等于()A ．a b c --B ．a b c -+-C ．a b c -+D ．a b c -++5．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果A α∠=，3AB =，那么AC 等于( ) A ．3sin αB ．3cos αC ．3sin αD ．3cos α6．（2019•松江区一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果4AC =，3BC =，那么A ∠的正切值为( ) A ．34B ．43 C ．35D ．457．（2015•奉贤区一模）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1BC =，2AC =，则下列结论正确的是( )A ．sin A =B ．1tan 2A =C ．cos B =D ．tan B =8．抛物线2321y x x =-+-的图象与x 轴交点的个数是( ) A ．没有交点 B ．只有一个交点C ．有且只有两个交点D ．有且只有三个交点9．（2019•射阳县一模）关于二次函数21(1)2y x =+的图象，下列说法正确的是( )A ．开口向下B ．经过原点C ．对称轴右侧的部分是下降的D ．顶点坐标是(1,0)-10．（2019•松江区一模）在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果2AD =，3BD =，那么由下列条件能够判定//DE BC 的是( ) A ．23DE BC = B ．25DE BC = C ．23AE AC = D ．25AE AC = 11．（2016秋•闵行区期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为60︒、90︒，那么另一个三角形的最小内角为( ) A ．90︒B ．60︒C ．30︒D ．不能确定12．（2019•普陀区一模）已知二次函数2(1)3y a x =-+的图象有最高点，那么a 的取值范围是( ) A ．0a >B ．0a <C ．1a >D ．1a <13．（2019•浦东新区一模）已知二次函数2(3)y x =-+，那么这个二次函数的图象有()A ．最高点(3,0)B ．最高点(3,0)-C ．最低点(3,0)D ．最低点(3,0)-14．（2019•奉贤区一模）如图，在直角坐标平面内，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，如果OA =tan 3α=，那么点A 的坐标是( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．D ．15．（2019•松江区二模）如图，已知ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么:AFE FCDE S S ∆四边形为( )A ．1:3B ．1:4C ．1:5D ．1:616．（2019•香坊区模拟）如图，已知BD 与CE 相交于点A ，//ED BC ，8AB =，12AC =，6AD =，那么AE 的长等于( )A ．4B ．9C ．12D ．1617．（2019•宝山区一模）如图，已知////AB CD EF ，:1:2BD DF =，那么下列结论正确的是( )A ．:1:3AC AE =B ．:1:3CE EA =C ．:1:2CD EF =D ．:1:2AB CD =18．（2019•嘉定区一模）如图，在ABC ∆中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =，BC b =，那么AD 等于( )A ．AD a b =+B ．2233AD a b =+C ．23AD a b =-D ．23AD a b =+19．（2019•嘉定区二模）已知||1,||3a b ==，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是( ) A ．3a b =B ．3a b =-C ．3b a =D ．3b a =-20．（2019•静安区一模）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定ADE ∆与ACB ∆相似的是( )A ．AD AEAC AB=B ．AD ABAE AC=C ．DE AEBC AB=D ．DE ADBC AC=21．（2019•虹口区一模）如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1:2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为( )A ．5 米B ．C ．米D ．22．（2019•杨浦区一模）如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图象的对称轴是直线( ) A ．0x =B ．12x =C ．34x =D ．1x =23．（2019•徐汇区一模）如图，下列条件中不能判定ACD ABC ∆∆∽的是( )A ．ADC ACB ∠=∠ B ．AB ACBC CD=C ．ACD B ∠=∠ D ．2AC AD AB =24．（2019•浦东新区一模）如果将抛物线241y x x =++平移，使它与抛物线21y x =+重合，那么平移的方式可以是( )A ．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位B ．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位C ．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位D ．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位 二．填空题（共17小题） 25．（2019•杨浦区一模）如果53x x y =-，那么xy= ． 26．（2019•黄浦区一模）抛物线248y x x =-+的顶点坐标是 ． 27．（2015•黄浦区一模）如果抛物线21(1)22y x m x m =+--+的对称轴是y 轴，那么m 的值是 ．28．（2019•奉贤区一模）计算：sin30tan60︒︒= ．29．（2019•杨浦区一模）如果开口向下的抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，那么a 的值是 ．30．（2019•普陀区一模）将抛物线21(3)42y x =+-先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ．31．（2019•杨浦区一模）已知点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在抛物线22y x x m =++上，如果120x x <<，那么1y 2y （填入“<”或“>” )．32．（2015•建湖县校级模拟）如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，12BE =，那么CE 的长是 ．33．（2018秋•普陀区期中）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，已知14AOD COB S S ∆∆=，那么AOD AOBSS ∆∆= ．34．（2019•奉贤区一模）如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个即可）35．（2019•金山区一模）如图，为了测量铁塔AB 的高度，在离铁塔底部（点)60B 米的C 处，测得塔顶A 的仰角为30︒，那么铁塔的高度AB = 米．36．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是 ．37．（2019•杨浦区一模）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 cm ．38．（2016•徐汇区一模）如果两个相似三角形的面积比是4:9，那么它们对应高的比是 ． 39．（2018秋•普陀区期中）已知点(3,)A n 在二次函数223y x x =-+的图象上，那么n 的值为 ．40．（2016•天门模拟）如图，正方形CDEF 内接于Rt ABC ∆，点D 、E 、F 分别在边AC 、AB 和BC 上，当2AD =，3BF =时，正方形CDEF 的面积是 ．41．（2016秋•闵行区期中）如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小明距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．三．解答题（共9小题）42．（2019•静安区一模）计算：22260cos60604cos45sin tan ︒-︒︒+︒．43．（2019•普陀区一模）计算：24sin 45cos 30︒+︒44．（2017秋•浦东新区校级期中）计算：cos30tan60cos45|sin 45tan 45|cot30︒-︒-︒︒-︒+︒．45．（2019•青浦区二模）解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩．46．（2019•随县模拟）先化简，再求值：22169(2)11x x x x x -++-÷+-，其中2x =．47．（2018秋•普陀区期中）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象经过点(3,0)A -、点(0,3)B -和点(2,5)C ，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标．48．（2019•普陀区一模）已知：如图，ADE ∆的顶点E 在ABC ∆的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，2AE AF AB =，DAF EAC ∠=∠． （1）求证：ADE ACB ∆∆∽；（2）求证：DF CEDE CB=．49．（2019•黄浦区一模）如图，已知//AB CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，12AB CD =，12BF CF =． （1）求证：//AB EF ； （2）求::ABE EBC ECD S S S ∆∆∆．50．（2019•黄浦区一模）如图，P 点是某海域内的一座灯塔的位置，船A 停泊在灯塔P 的南偏东53︒方向的50海里处，船B 位于船A 的正西方向且与灯塔P 相距海里．（本题参考数据sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈．) （1）试问船B 在灯塔P 的什么方向？ （2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）沪教版-九年级（初三）数学上册-期中考试复习试卷试题参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．（2019•徐汇区一模）将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( ) A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =+-【解答】解：将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2+个单位长度所得的抛物线解析式为2(1)2y x =-+． 故选：A ．2．（2019•宝山区一模）已知二次函数21y ax =-的图象经过点(1,2)-，那么a 的值为() A ．2a =-B ．2a =C ．1a =D ．1a =-【解答】解：把(1,2)-代入21y ax =-得12a -=-，解得1a =-． 故选：D ．3．（2019•奉贤区一模）对于非零向量a 、b ，如果2||3||a b =，且它们的方向相同，那么用向量a 表示向量b 正确的是( ) A ．32b a =B ．23b a =C ．32b a =-D ．23b a =-【解答】解：2||3||a b =， 2||||3b a ∴=． 又非零向量a 与b 的方向相同，∴23b a =． 故选：B ．4．（2019•长宁区期末）在四边形ABCD 中，若AB a =，AD b =，BC c =，则CD 等于()A ．a b c --B ．a b c -+-C ．a b c -+D ．a b c -++【解答】解：如图，连接BD ． AB a =，AD b =，∴BD AD AB b a =-=-．又BC c =，∴CD BD BC b a c =-=--，即CD a b c =-+-．故选：B ．5．（2019•静安区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果A α∠=，3AB =，那么AC 等于() A ．3sin αB ．3cos αC ．3sin αD ．3cos α【解答】解：A α∠=，3AB =， cos ACABα∴=， cos 3cos AC AB αα∴==，故选：B ．6．（2019•松江区一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果4AC =，3BC =，那么A ∠的正切值为( ) A ．34B ．43 C ．35D ．45【解答】解：4AC =，3BC =，3tan 4BC A AC ∴==， 故选：A ．7．（2015•奉贤区一模）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1BC =，2AC =，则下列结论正确的是( )A ．sin 2A =B ．1tan 2A =C ．cos 2B =D ．tan B =【解答】解：90ACB ∠=︒，1BC =，2AC =，AB ∴==则sin BC A AB ==1tan 2BC A AC ==，cos BC B AB ==，tan 2ACB BC==． 故选：B ．8．抛物线2321y x x =-+-的图象与x 轴交点的个数是( ) A ．没有交点 B ．只有一个交点C ．有且只有两个交点D ．有且只有三个交点【解答】解：22424(3)(1)80b ac -=-⨯-⨯-=-<∴二次函数2321y x x =-+-的图象与x 轴没有交点．故选：A ．9．（2019•射阳县一模）关于二次函数21(1)2y x =+的图象，下列说法正确的是( )A ．开口向下B ．经过原点C ．对称轴右侧的部分是下降的D ．顶点坐标是(1,0)-【解答】解：A 、由二次函数二次函数21(1)2y x =+中102a =>，则抛物线开口向上；故本项错误；B 、当0x =时，12y =，则抛物线不过原点；故本项错误； C 、由二次函数21(1)2y x =+得，开口向上，对称轴为直线1x =-，对称轴右侧的图象上升；故本项错误；D 、由二次函数21(1)2y x =+得，顶点为(1,0)-；故本项正确；故选：D ．10．（2019•松江区一模）在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果2AD =，3BD =，那么由下列条件能够判定//DE BC 的是( ) A ．23DE BC = B ．25DE BC = C ．23AE AC = D ．25AE AC = 【解答】解：当AD AE DB EC =或AD AEAB AC=时，//DE BD ，即23AE EC =或25AE AC =． 故选：D ．11．（2016秋•闵行区期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为60︒、90︒，那么另一个三角形的最小内角为( ) A ．90︒B ．60︒C ．30︒D ．不能确定【解答】解：一个三角形的两个内角分别为60︒和90︒，∴第三个内角为180609030︒-︒-︒=︒， ∴这个三角形的最小的内角的度数为30︒，两个三角形是相似形，∴另一个三角形的最小内角的度数为30︒．故选：C ．12．（2019•普陀区一模）已知二次函数2(1)3y a x =-+的图象有最高点，那么a 的取值范围是( ) A ．0a >B ．0a <C ．1a >D ．1a <【解答】解：由题意可知：10a -<， 1a ∴<，故选：D ．13．（2019•浦东新区一模）已知二次函数2(3)y x =-+，那么这个二次函数的图象有()A ．最高点(3,0)B ．最高点(3,0)-C ．最低点(3,0)D ．最低点(3,0)-【解答】解：在二次函数2(3)y x =-+中，10a =-<，∴这个二次函数的图象有最高点(3,0)-，故选：B ．14．（2019•奉贤区一模）如图，在直角坐标平面内，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，如果OA =tan 3α=，那么点A 的坐标是( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．D ．【解答】解：过点A 作AB x ⊥轴于点B ， 由于tan 3α=，∴3ABOB=， 设3AB x =，OB x =， 10OA =，∴由勾股定理可知：22910x x +=，21x ∴=， 1x ∴=，3AB ∴=，1OB =，A ∴的坐标为(1,3)，故选：A ．15．（2019•松江区二模）如图，已知ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么:AFE FCDE S S ∆四边形为( )A ．1:3B ．1:4C ．1:5D ．1:6【解答】解：连接CE ，//AE BC ，E 为AD 中点，∴12AE AF BC FC ==． FEC ∴∆面积是AEF ∆面积的2倍．设AEF ∆面积为x ，则AEC ∆面积为3x ，E 为AD 中点，DEC ∴∆面积AEC =∆面积3x =．∴四边形FCDE 面积为5x ，所以:AFE FCDE S S ∆四边形为1:5．故选：C ．16．（2019•香坊区模拟）如图，已知BD 与CE 相交于点A ，//ED BC ，8AB =，12AC =，6AD =，那么AE 的长等于( )A ．4B ．9C ．12D ．16【解答】解：//ED BC ，∴AB ACAD AE =， 即8126AE=， 9AE ∴=，故选：B ．17．（2019•宝山区一模）如图，已知////AB CD EF ，:1:2BD DF =，那么下列结论正确的是( )A ．:1:3AC AE =B ．:1:3CE EA =C ．:1:2CD EF =D ．:1:2AB CD =【解答】解：////AB CD EF ，::1:2AC CE BD DF ∴==，即2CE AC =，:1:3AC CE ∴=，:2:3CE EA =．故选：A ．18．（2019•嘉定区一模）如图，在ABC ∆中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =，BC b =，那么AD 等于( )A ．AD a b =+B ．2233AD a b =+C ．23AD a b =-D ．23AD a b =+【解答】解：2BD CD =， 23BD BC ∴=． BC b =，∴23BD b =．又AB a =，∴23AD AB BD a b =+=+．故选：D ．19．（2019•嘉定区二模）已知||1,||3a b ==，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是( ) A ．3a b = B ．3a b =- C ．3b a = D ．3b a =-【解答】解：||1,||3a b ==，而且b 和a 的方向相反，∴3b a =-，故选：D ．20．（2019•静安区一模）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定ADE ∆与ACB ∆相似的是( )A ．AD AEAC AB=B ．AD ABAE AC=C ．DE AEBC AB=D ．DE ADBC AC=【解答】解：在ADE ∆与ACB ∆中， AD AEAC AB=，且A A ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽．故选：A ．21．（2019•虹口区一模）如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1:2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为( )A ．5 米B ．C ．米D ．【解答】解：作BC ⊥地面于点C ，设BC x =米， 传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1:2， 2AC x ∴=米，由勾股定理得，222AC BC AB +=，即222(2)10x x +=，解得，x =BC =米，故选：C ．22．（2019•杨浦区一模）如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图象的对称轴是直线( ) A ．0x =B ．12x =C ．34x =D ．1x =【解答】解：0x =、2x =时的函数值都是3相等，∴此函数图象的对称轴为直线0212x +==． 故选：D ．23．（2019•徐汇区一模）如图，下列条件中不能判定ACD ABC ∆∆∽的是( )A ．ADC ACB ∠=∠ B ．AB ACBC CD=C ．ACD B ∠=∠ D ．2AC AD AB =【解答】解：A 、由ADC ACB ∠=∠，A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意；B 、由AB ACBC CD=不能判定ACD ABC ∆∆∽，此选项符合题意； C 、由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意；D 、由2AC AD AB =，即AC ABAD AC=，且A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意； 故选：B ．24．（2019•浦东新区一模）如果将抛物线241y x x =++平移，使它与抛物线21y x =+重合，那么平移的方式可以是( )A ．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位B ．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位C ．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位D ．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位【解答】解：抛物线2241(2)3y x x x =++=+-的顶点坐标为(2,3)-，抛物线21y x =+的顶点坐标为(0,1)，∴顶点由(2,3)-到(0,1)需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．故选：C ．二．填空题（共17小题） 25．（2019•杨浦区一模）如果53x x y =-，那么x y =52． 【解答】解：53x x y =-， 35x y x -=， 315y x -=， 25y x =， 52x y =． 故答案为：52． 26．（2019•黄浦区一模）抛物线248y x x =-+的顶点坐标是 (2,4) ． 【解答】解：2248(2)4y x x x =-+=-+，∴抛物线顶点坐标为(2,4)．故答案为(2,4)．27．（2015•黄浦区一模）如果抛物线21(1)22y x m x m =+--+的对称轴是y 轴，那么m 的值是 1 ． 【解答】解：21(1)22y x m x m =+--+的对称轴是y 轴， 10m ∴-=，解得1m =，故答案为：1．28．（2019•奉贤区一模）计算：sin30tan60︒︒= ．【解答】解：1sin30tan 602︒︒=．． 29．（2019•杨浦区一模）如果开口向下的抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，那么a 的值是 2- ．【解答】解：抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，且开口向下， ∴240a a <⎧⎨-=⎩， 解得：2a =-． 故答案为：2-．30．（2019•普陀区一模）将抛物线21(3)42y x =+-先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是21(1)12x +- ． 【解答】解：将抛物线21(3)42y x =+-向右平移2个单位所得直线解析式为：2211(32)4(1)422y x x =+--=+-；再向上平移3个单位为：21(1)432y x =+-+，即21(1)12y x =+-．故答案是：21(1)12y x =+-．31．（2019•杨浦区一模）已知点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在抛物线22y x x m =++上，如果120x x <<，那么1y < 2y （填入“<”或“>” )．【解答】解：抛物线的对称轴为直线212x =-=-，当1x >-时，y 随x 的增大而增大， 因为120x x <<， 所以12y y <． 故答案为<．32．（2015•建湖县校级模拟）如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，12BE =，那么CE 的长是245．【解答】解：////AB CD EF ，∴AD CB AF BE =，即3512CB=． 365BC ∴=． 36241255CE BE BC =-=-=． 故答案为：245． 33．（2018秋•普陀区期中）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，已知14AOD COB S S ∆∆=，那么AOD AOBSS ∆∆= 1:2．【解答】解：//AD BC ，AOD COB ∴∆∆∽，∴21()4AOD COB S OD S OB ∆∆==， :1:2OD OB ∴=，∴:1:2AODAOBS OD OB S ∆∆== 故答案为1:2．34．（2019•奉贤区一模）如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 22y x =-+（答案不唯一） ．（只需写一个即可） 【解答】解：二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的， 0a ∴<，∴符合条件的二次函数解析式可以为：22y x =-+（答案不唯一）．故答案为：22y x =-+（答案不唯一）．35．（2019•金山区一模）如图，为了测量铁塔AB 的高度，在离铁塔底部（点)60B 米的C处，测得塔顶A 的仰角为30︒，那么铁塔的高度AB =【解答】解：由题意可得：tan3060AB AB CB ︒===，解得：AB =答：铁塔的高度AB 为．故答案为：．36．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是 1:2 ．【解答】解：如图， D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，12DE AC ∴=，12DF BC =，12EF AB =， 111222DE DF EF AC BC AB ∴++=++， DEF ABC ∆∆∽，∴所得到的DEF ∆与ABC ∆的周长之比是：1:2．故答案为：1:2．37．（2019•杨浦区一模）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 270 cm ．【解答】解：由题意得，BH AC ⊥，则18472BH =⨯=，斜坡BC 的坡度1:5i =，725360CH ∴=⨯=，360303270()AC cm ∴=-⨯=，故答案为：270．38．（2016•徐汇区一模）如果两个相似三角形的面积比是4:9，那么它们对应高的比是2:3 ．【解答】解：两个相似三角形的面积比是4:9，∴两个相似三角形相似比是2:3，∴它们对应高的比是2:3．故答案为：2:3．39．（2018秋•普陀区期中）已知点(3,)A n 在二次函数223y x x =-+的图象上，那么n 的值为 6 ．【解答】解：(3,)A n 在二次函数223y x x =-+的图象上，(3,)A n ∴满足二次函数223y x x =-+，9636n ∴=-+=，即6n =，故答案是：6．40．（2016•天门模拟）如图，正方形CDEF 内接于Rt ABC ∆，点D 、E 、F 分别在边AC 、AB 和BC 上，当2AD =，3BF =时，正方形CDEF 的面积是 6 ．【解答】解：四边形CDEF是正方形，//DE BC∴，AED B∴∠=∠，90ADE EFB∠=∠=︒，ADE BEF∴∆∆∽，∴AD DE EF BF=，即23DEEF=，236 DE EF∴=⨯=，∴正方形CDEF的面积是6．故答案为：6．41．（2016秋•闵行区期中）如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小明距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地面的高度是4米．【解答】解：结合题意画出图形得：ADC AEB∴∆∆∽，∴AC ABCD BE=，小亮的身高为1.8米，他在路灯下的影子长为2米；小亮距路灯杆底部为3米，2AC∴=，3BC=， 1.6CD=，∴25 1.6BE=，解得：4BE=，则路灯灯泡距地面的高度是4m．故答案为：4．三．解答题（共9小题）42．（2019•静安区一模）计算：22260cos60604cos45sin tan ︒-︒︒+︒【解答】解：原式212⨯-===3=-43．（2019•普陀区一模）计算：24sin 45cos 30︒+︒【解答】解：原式24=+-34=+-34=- 44．（2017秋•浦东新区校级期中）计算：cos30tan60cos45|sin 45tan 45|cot30︒-︒-︒︒-︒+︒ 【解答】解：原式1|-=-1112=--122=-- 45．（2019•青浦区二模）解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩【解答】解：原方程组变形为(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为 2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 46．（2019•随县模拟）先化简，再求值：22169(2)11x x x x x -++-÷+-，其中2x =． 【解答】解：22169(2)11x x x x x -++-÷+- 22(1)(1)(1)(1)1(3)x x x x x x +--+-=++ 2221(1)(1)1(3)x x x x x x +-++-=++ 23(1)(1)1(3)x x x x x ++-=++ 13x x -=+， 当2x =时，原式211235-==+． 47．（2018秋•普陀区期中）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象经过点(3,0)A -、点(0,3)B -和点(2,5)C ，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标．【解答】解：把点(3,0)A -、点(0,3)B -和点(2,5)C 代入二次函数2y ax bx c =++中，得 9303425a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩①②③， 解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴抛物线代解析式为223y x x =+-，化为顶点式为2(1)4y x =+-，∴对称轴为直线1x =-，顶点坐标为(1,4)--．48．（2019•普陀区一模）已知：如图，ADE ∆的顶点E 在ABC ∆的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，2AE AF AB =，DAF EAC ∠=∠．（1）求证：ADE ACB ∆∆∽；（2）求证：DF CE DE CB=．【解答】证明：（1）2AE AF AB =， ∴AE AF AB AE=，EAF BAE ∠=∠， AEF ABE ∴∆∆∽，AEF B ∴∠=∠，DAF EAC ∠=∠，DAE BAC ∴∠=∠，ADE ACB ∴∆∆∽．（2）ADE ACB ∆∆∽， ∴DE AD BC AC=，D C ∠=∠， DAF EAC ∠=∠，ADF ACE ∴∆∆∽， ∴AD DF AC EC =， ∴DE DF BC EC =， ∴DF CE DE CB=． 49．（2019•黄浦区一模）如图，已知//AB CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，12AB CD =，12BF CF =． （1）求证：//AB EF ；（2）求::ABE EBC ECD S S S ∆∆∆．【解答】（1）证明：//AB CD，∴12 AB BECD ED==，12BFCF=，∴BE BFED FC=，//EF CD∴，//AB EF∴．（2）解：设ABE∆的面积为m．//AB CD，ABE CDE∴∆∆∽，∴21()4ABEEDCS ABS CD∆∆==，4CDES m∆∴=，12AE ABCE CD==，2BECS m∆∴=，:::2:41:2:4ABE EBC ECDS S S m m m∆∆∆∴==．50．（2019•黄浦区一模）如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53︒方向的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．（本题参考数据sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈．)（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）【解答】解：（1）过P 作PC AB ⊥交AB 于C ， 在Rt APC ∆中，90C ∠=︒，53APC ∠=︒，50AP =海里， cos53500.6030PC AP ∴=︒=⨯=海里，在Rt PBC ∆中，PB =30PC =，cos PC BPC PB ∴∠== 30BPC ∴∠=︒，∴船B 在灯塔P 的南偏东30︒的方向上；（2）sin53500.840AC AP =︒=⨯=海里， 12BC PB ==(40AB AC BC ∴=-=-海里，答：两船相距(40-海里．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题及答案解析
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） A ．y=x 2﹣1 B ．y=x 2+1 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=（x+1）2 2．如果反比例函数y ＝kx 的图象经过点（﹣12，3），则k 的值是（ ） A ．﹣16B ．﹣6C ．32D ．32-3．已知3x=5y （y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．3x =5yB ．5x =3y C ．x y =35D ．3x =5y 4．若ABC A B C '∆'∆'∽，相似比为1:2，则ABC ∆与A B C ∆'''的面积的比为（ ） A ．1:2B ．2:1C ．1:4D ．4:15．二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ） A ．(-1,-1)B ．(1, 1)C ．(1,-1)D ．（-1，1）6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝16，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长是（ ）A ．8B ．C ．12D ．7．如图，平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交y=3x（x ＞0）、y=kx（x ＜0）的图象于B 、C 两点，若△ABC 的面积为2，则k 值为（ ）A．﹣1 B．1 C．12-D．128．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+a与反比例函数y＝﹣mnx在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S210．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（14，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．14-≤b≤1B．54-≤b≤1C．94-≤b≤12D．94-≤b≤1二、填空题11．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP>PB ），如果AB 的长度为10cm ，那么PB 的长度为__________cm ．12．已知点A （0，y 1）、B （1，y 2）、C （3，y 3）在抛物线y ＝ax 2﹣2ax +1（a ＜0）上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是_____（用“＜”联结）．13．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．14．二次函数y ＝x 2﹣x +a （0＜a ＜14），若当x ＝t 时，y ＜0，则当x ＝t ﹣1时，函数值y 的取值范围为_____． 三、解答题15．已知抛物线254y ax x a =-+过点C （5，4）． （1）求a 的值；（2）求该抛物线顶点的坐标．16．如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AE ＝2CE ，AB ＝6，BC ＝9．求：四边形BDEF 的周长．17．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍，画出图形；（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；（3）求△OB′C′的面积．18．某施工地在道路拓宽施工时，遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为90米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被占去了一部分△ADE，变成了四边形BCED且DE∥BC，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成BD为18米．求被占去的部分面积有多大？它的周长是多少？19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝mx（m≠0）交于点A（4，1）与点B（﹣1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．20．有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．⊥于点E，点D在边AC上，联结BD交CE 21．如图，已知，在锐角ABC中，CE AB⋅=⋅．于点F，且EF FC FB DF()1求证：BD AC⊥；()2联结AF，求证：AF BE BC EF⋅=⋅．22．我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：41820912x x xyx x x+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（，为整数）（，为整数），每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？23．我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．①若MN⊥AI，求证：MI2=BM•CN；②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，求11AM AN+的值．参考答案与解析1．A 【解析】二次函数图象与平移变换．据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．因此，将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x 2﹣1．故选A ． 2．D 【分析】直接利用反比例函数图像上点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵反比例函数y ＝kx 的图像经过点（﹣12，3）， ∴k ＝xy ＝﹣32． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，正确代入已知点是解题关键． 3．B 【分析】直接利用比例的性质得出x ，y 之间关系进而得出答案． 【详解】 A. 由53x y=得15xy =，故本选项错误； B. 由53x y=得35x y =，故本选项正确； C. 由35x y =得53x y =，故本选项错误； D. 由35x y =得53x y =，故本选项错误. 故选B. 【点睛】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．4．C 【详解】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论： ∵ABC A B C '∆'∆'∽，相似比为1:2， ∴ABC ∆与A B C ∆'''的面积的比为1:4. 故选C.考点：相似三角形的性质. 5．B 【解析】试题解析：当1x =时，110 1.y a b =++=+= 故它的图象过点()1,1. 故选B. 6．B 【分析】通过证明△DAC ∽△ABC ，可得AC DCBC AC=，即可求AC 的长． 【详解】解：∵AD 是中线，BC ＝16， ∴BD ＝DC ＝8，∵∠B ＝∠DAC ，∠C ＝∠C ， ∴△DAC ∽△ABC ∴AC DCBC AC= ∴AC 2＝16×8，∴AC ＝ 故选：B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△DAC ∽△ABC 是本题的关键． 7．A【详解】【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到12×|3|+12•|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．【详解】连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，∴S△ACB=S△OCB，而S△OCB=12×|3|+12•|k|，∴12×|3|+12•|k|=2，而k＜0，∴k=﹣1，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．8．B【分析】根据二次函数图象判断出a＞0，m＜0，n＜0，然后求出mn＞0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，由图可知，m ＜0，n ＜0， ∴mn ＞0，∴一次函数y ＝mx+a 的图像过第一、二、四象限，反比例函数y ＝﹣mnx分布在第二、四象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数图像，反比例函数图像，观察二次函数图像判断出m 、n 、a 的取值是解题的关键． 9．D 【解析】 【分析】根据题意判定△ADE ∽△ABC ，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】∵如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴2112BDES AD S S SAB=++（）， ∴若2AD ＞AB ，即12AD AB ＞时，11214BDES S S S ++＞， 此时3S 1＞S 2+S △BDE ，而S 2+S △BDE ＜2S 2．但是不能确定3S 1与2S 2的大小， 故选项A 不符合题意，选项B 不符合题意． 若2AD ＜AB ，即12AD AB ＜时，11214BDES S S S ++＜， 此时3S 1＜S 2+S △BDE ＜2S 2，故选项C 不符合题意，选项D 符合题意．故选D ．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．10．B【分析】延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．证明△PAB ∽△NCA ，得出PB PA NA NC =，设PA ＝x ，则NA ＝PN ﹣PA ＝3﹣x ，设PB ＝y ，代入整理得到y ＝3x ﹣x 2＝﹣（x ﹣32）2+94，根据二次函数的性质以及14≤x≤3，求出y 的最大与最小值，进而求出b 的取值范围． 【详解】 解：如图，延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．在△PAB 与△NCA 中，9090APB CNA PAB NCA CAN∠∠︒⎧⎨∠∠︒-∠⎩＝＝＝＝ ， ∴△PAB ∽△NCA ， ∴PB PA NA NC=， 设PA ＝x ，则NA ＝PN ﹣PA ＝3﹣x ，设PB ＝y ， ∴31y x x =-， ∴y ＝3x ﹣x 2＝﹣（x ﹣32）2+94， ∵﹣1＜0，14≤x≤3， ∴x ＝32时，y 有最大值94，此时b ＝1﹣94＝﹣54， x ＝3时，y 有最小值0，此时b ＝1，∴b 的取值范围是﹣54≤b≤1． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．11．（15﹣【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．【详解】∵P为A B的黄金分割点（AP＞PB），∴AP AB×5，∴PB=AB﹣P A=10﹣（5）=（15﹣cm．故答案为（15﹣．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AB．12．y3＜y1＜y2．【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的增减性解答．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣22aa-＝1，∵a＜0，∴抛物线开口方向向下，∵A（0，y1）、B（1，y2）、C（3，y3），∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴是解题的关键．13．60 17．【分析】如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论. 【详解】如图，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC＝ADAC，∴x5＝12-x12，∴x=60 17，故答案为60 17.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．14．0＜y ＜94． 【分析】 先由a 的范围，得△＞0，进而得抛物线的对称轴及当x ＝0或1时，y 的范围，从而得当y ＜0时，t 的范围及t ﹣1的范围，再由t ﹣1的范围两端的临界值，得对应的函数值，从而得答案．【详解】解：∵0＜a ＜14， ∴△＝1﹣4a ＞0，∵抛物线的对称轴为x ＝12，x ＝0或1时，y ＝a ＞0， ∴当y ＜0时，0＜t ＜1，∴﹣1＜t ﹣1＜0，∴当x ＝﹣1时，y ＝1+1+a ＝a+2，当x ＝0时，y ＝0﹣0+a ＝a ，∴当x ＝t ﹣1时，函数值y 的取值范围为a ＜y ＜a+2，∵0＜a ＜14， ∴0＜y ＜94， 故答案为：0＜y ＜94． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点的性质、抛物线的交点个数与对应的一元二次方程的判别式的关系、二次函数的函数值在对称轴同侧的变化情况等知识点，具有一定的综合性． 15．（1）1；（2）（52，94-）． 【解析】试题分析：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，把C 点坐标代入254y ax x a =-+中得到关于a 的方程，然后解此方程即可；（2）利用配方法把抛物线解析式配成顶点式即可得到顶点坐标．试题解析：（1）把C （5，4）代入254y ax x a =-+得252544a a -+=，解得1a =；（2）∵1a =，∴抛物线解析式为225954()24y x x x =-+=--，所以抛物线的顶点坐标为（52，94-）． 考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．二次函数的性质．16．16【分析】由题中条件可得四边形DBFE 是平行四边形，再由平行线分线段成比例的性质求得线段BD 、DE 的长，进而可求其周长．【详解】解：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∴EF ＝BD ，DE ＝BF ，∵DE ∥BC ， ∴AE AD DE AC AB BC== ， ∵AE ＝2CE ， ∴AE AC ＝2369AD DE ==， ∴DE ＝6，AD ＝4，即BD ＝2，∴四边形BDEF 的周长＝2（BD+DE ）＝2×（6+2）＝16．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理，应能够熟练掌握．17．（1）详见解析；（2）B ′（﹣6，2），C ′（﹣4，﹣2）；（3）10．【分析】(1)分别延长BO ，CO ，使B′O ＝2BO ，C′O ＝2CO ，然后连接B′C′即可；(2)根据图形写出坐标即可；(3)利用网格把三角形放到矩形里面，然后利用矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，求解即可．【详解】解：（1）如图；（2）由图可得：B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；（3）S △OB′C′＝S 矩形AB′DE ﹣S △AB′O ﹣S △B′DC′﹣S △C′EO ，＝6×4﹣12×2×6﹣12×4×2﹣12×4×2， ＝24﹣14，＝10，即△OB′C′的面积为10.【点睛】本题主要考查了利用位似变换作图以及“割补法”求面积，割补法是求图形面积的常用方法，有一定难度．18．C △ADE ＝36m ， S △ADE ＝16（m 2）．【分析】首先证明△ADE ∽△ABC ，求出相似比，然后根据相似三角形的性质列出比例式求△ADE 的周长和面积即可．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABCC AD DE AE AB BC AC C ===△△， ∵AB 的长由原来的30米缩短成BD 为18米，∴AD ＝12m ，∴123090ADE ADEABCC CC==△△△，解得：C△ADE＝36（m），∵21241003025 ADE ADEABCS SS⎛⎫===⎪⎝⎭△△△，∴S△ADE＝16（m2）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根题意得出△ADE∽△ABC求出相似比是解题关键．19．（1）y＝4x，y＝x﹣3；（2）152；（3）﹣1＜x＜0或x＞4．【分析】（1）把点A（4，1）代入反比例函数y＝mx得到m＝4，即反比例函数的解析式为y＝4x，然后求出B（﹣1，﹣4），再把点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）代入一次函数y＝kx+b求出k和b即可；（2）求出点C坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可．【详解】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝mx（m≠0）的图像上，∴m＝4，即反比例函数的解析式为y＝4x，当x＝﹣1时，n＝﹣4，即B（﹣1，﹣4），∵点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，∴144k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：13kb=⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为y＝x﹣3；（2）对于y＝x﹣3，当y＝0时，x＝3，∴C（3，0）∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1115 3134222⨯⨯+⨯⨯=；（3）由图象可得，当﹣1＜x＜0或x＞4时，一次函数的值大于反例函数的值．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积公式，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．20．（1）y＝12（x﹣3）2﹣2；（2）详见解析．【分析】（1）设出二次函数解析式的顶点式，代入A（1，0）求出a即可；（2）求出点B坐标，画出函数G的图像，然后依据函数图象进行回答即可．【详解】解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．∵该函数图象经过点A（1，0），∴0＝a（1﹣3）2﹣2，解得a＝12，∴二次函数解析式为：y＝12（x﹣3）2﹣2；（2）∵A（1，0），对称轴是x＝3；∴B（5，0），如图所示：当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）证明△EFB∽△DFC，根据相似三角形对应角相等可得∠EFB=∠FDC，从而证得BD⊥AC；（2）由EFB∽DFC，可得ABD ACE∠=∠，从而证明AEC∽FEB，根据相似三角形的性质可得AE FEEC EB=，再根据AEC FEB∠=∠，从而得AEF∽CEB，根据相似三角形的性质即可得.试题解析：（1）EF FC FB DF⋅=⋅，EF FBDF FC∴=，EFB DFC∠=∠，EFB∴∽DFC，FEB FDC∴∠=∠，CE AB⊥，90FEB∴∠=，90FDC∴∠=，BD AC∴⊥；()2EFB∽DFC，ABD ACE∴∠=∠，CE AB⊥，90FEB AEC∴∠=∠=，AEC∴∽FEB，AEECFE EB ∴=，AEFEEC EB ∴=，90AEC FEB ∠=∠=，AEF ∴∽CEB ，AFEFCB EB ∴=，AF BE BC EF ∴⋅=⋅．22．（1）20110101112x x x z x x -+≤≤⎧=⎨≤≤⎩（，为整数）（，为整数）；（2）()()()2216801840400910102001112x x x x w x x x x x x x ⎧-++≤≤⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩，为整数，为整数，为整数；（3）x=8时，w 有最大值144万元.【详解】分析：（1）根据表格中的数据可以求得各段对应的函数解析式，本题得以解决； （2）根据题目中的解析式和（1）中的解析式可以解答本题；（3）根据（2）中的解析式可以求得各段的最大值，从而可以解答本题．详解；（1）当1≤x≤9时，设每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式为z=kx+b ， 19218k b k b ＝＝+⎧⎨+⎩，得120k b -⎧⎨⎩＝＝， 即当1≤x≤9时，每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式为z=-x+20， 当10≤x≤12时，z=10，由上可得，z=20(19)10(1012)x x x x x -+≤≤⎧⎨≤≤⎩，取整数，取整数；（2）当1≤x≤8时，w=（-x+20）（x+4）=-x 2+16x+80当9≤x≤10时，w=（-x+20）（-x+20）=x 2-40x+400；当11≤x≤12时，w=10（-x+20）=-10x+200；∴w 与x 的关系式为： ()()()2216801840400910102001112x x x x w x x x x x x x ⎧-++≤≤⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩，为整数，为整数，为整数；（3）当1≤x≤8时，w=-x 2+16x+80=-（x-8）2+144，∴当x=8时，w 取得最大值，此时w=144；当x=9时，w=121，当10≤x≤12时，w=-10x+200，则当x=10时，w 取得最大值，此时w=100，由上可得，当x 为8时，月利润w 有最大值，最大值144万元．点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．23．（1；（2）见解析；（3 【解析】【分析】（1）如图1中，作IE ⊥AB 于E ．设ID=x ．由△BEI ≌△BDI ，可得ID=IE=x ，BD=BE=1，AE=2，在Rt △AEI 中，根据AE 2+EI 2=AI 2，可得()2222,x x +=解方程即可； （2）如图2中，连接BI 、CI ．首先证明△AMI ≌△ANI （ASA ），再证明△BMI ∽△INC ，可得22440x b ⇒++-=，推出NI 2=BM•CN ，由此即可解决问题；（3）过点N 作NG ∥AD 交MA 的延长线于G ．由∠ANG=∠AGN=30°，推出AN=AG ，,NG 由AI ∥NG ，推出,BM NINI NC =，可得AM AM AN =+即可推出11AM AN += 【详解】 （1）如图1中，作IE ⊥AB 于E ．设ID=x ．∵AB=AC=3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD=CD=1，在Rt △ABD 中，AD ===∵∠EBI=∠DBI ，∠BEI=∠BDI=90°，BI=BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID=IE=x ，BD=BE=1，AE=2，在Rt △AEI 中，∵AE 2+EI 2=AI 2，∴()2222x x +=，∴2x =∴2ID =（2）如图2中，连接BI 、CI ．∵I 是内心，∴∠MAI=∠NAI ，∵AI ⊥MN ，∴∠AIM=∠AIN=90°，∵AI=AI ，∴△AMI ≌△ANI （ASA ），∴∠AMN=∠ANM ，∴∠BMI=∠CNI ，设∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，∴∠NIC=90°﹣α﹣β，∵∠ABC=180°﹣2α﹣2β，∴∠MBI=90°﹣α﹣β，∴∠MBI=∠NIC ，∴△BMI ∽△INC ，∴,BMNINI NC =∴NI 2=BM•CN ，∵NI=MI ，∴MI 2=BM•CN ．（3）过点N 作NG ∥AD 交MA 的延长线于G ．∴∠ANG=∠AGN=30°，∴AN=AG ，NG =，∵AI ∥NG ， ∴,AMAIMG GN = ∴AM AM AN =+∴11AM AN +=【点睛】考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大.。
九年级上期中考试数学试卷含答案沪科版
上海市嘉定区-上学期期中考试九年级数学试卷〔考试时间90分钟，总分值100分〕一、选择题：1. ，以低等式中不必定正确的选项是〔〕A. 5x=2yB.C.D.2. ，以下判断正确的选项是〔〕A.与的方向同样B.C.与不平行D.3.如图1，在ABC中，点D和E分别在边AB、AC的延伸线上，以下各条件中不可以判断DE∥BC的是〔〕A. B. C. D.4.如图2，在ABC中，点D在边BC上, =BDBC,那么以下结论必定正确的选项是〔〕A.∠BDA=∠BACB.C.D.A AB CB DD E图2图1C 5.线段a=4，线段c=3，那么线段a和c的比例中项b=_______6.在1:5000000的地图上，某城市A与另一个城市B的距离是，那么城市A与B的实际距离为千米。
7.点P是线段AB的黄金切割点，且AP>BP，AB=4，那么AP=_______8.假如向量知足关系式，那么=_______〔用表示〕9.在ABC中，点D在边BC上,且DB=2DC,，，那么=_______〔用表示〕10.如图3，AD∥BE∥FC,AC=10，DE=3，EF=2，那么AB=_______D11.在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD=BD，那么DE:BC=_______ABCF第1页共9页图312.两个相像三角形对应中线之比为1:9，那么它们对应的周长比为_______13.假如ABC与DEF相像，ABC的三条边之比是3:4:5，又DEF的最长边是15，那么DEF的最短边是_______14.如图4，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，点E在边AD上，CE与BD订交于点F，EF:FC=3:4,BC=8,那么AE=_______AA E DF D EB C B C图4图515.如图5，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD=4，AE=6，AC=8，∠AED=∠B,那么AB=_______16.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相较于点O，ADO的面积为2，DOC的面积为4，那么AD:BC=_______如图6，在ABC中，∠C=，点D、G分别在边AC、BC上，点E、F都在边AB上，四边形DEFG是正方形，AE=4，BF=2，那么EF=_______18.在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，点F是边CD的中点，假如∠AEF=,那么BE=_______19.如图7，在等腰直角ABC中，∠BAC=,AB=AC=6，点G是ABC的重心，联络AG、BG，ABG绕点A按逆时针旋转，使点B与C重合，点G与H重合，那么GH=_______CCD GH GAE F BBA图6图7三、解答题：〔本大题共6题，总分值58分〕20、〔本题总分值8分〕a b c，且a b c 44.求a、b、c的值。
2022-2023学年沪教版上海数学九年级上册期中复习试卷含答案解析
2022-2023学年沪教新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则cos B等于（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a边及∠A，则斜边长应为（）A．B．C．a cos A D．a sin A3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为（）A．B．C．D．4．已知、是两个非零向量，且+2＝，下列结论：①＝﹣2；②∥；③＝2；④与同向，其中正确的有几个（）A．1B．2C．3D．45．如图，ABCD是正方形，AF＝2BF，E是CD的中点，P是AD边上的一点，下列条件：（1）∠AFP＝∠DEP；（2）AF•PE＝DE•PF；（3）PF：PE＝4：3；（4）∠FPE＝60°．其中能推出△APF∽△DPE 的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（）A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．若，则的值为．8．2sin45°+tan60°＝．9．已知不重合的两点C、D均是线段AB的黄金分割点，若AB＝10，则CD＝．10．蜡烛长30厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度y厘米与燃烧时间x小时（0≤x≤6）的关系式可以表示为．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是．12．如图，AD是中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若，则值是．13．如果在平行四边形ABCD中，如果＝，＝，那么向量为．（用和表示）14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC的长是．15．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若＝．16．如图，在△ABC中，AB＝1，CD⊥AB于点D，E是线段CD上的动点，点F在直线AB的下方，∠ACB ＝∠FEB＝90°，∠A＝∠EFB＝30°，设CE＝x，△BDF的面积为y，则y关于x的函数关系式为．17．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠CAD的余弦值为．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，则△ADE与△ABC的面积之比为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ：AB ＝3：1．求∠A 的正弦、余弦和正切值． 20．（10分）如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，交BD 于点G ，AE ：AB ＝1：3，设＝，＝．（1）用向量、分别表示下列向量： ＝ ，＝ ，＝ ．（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出作图结论）21．（10分）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，如果AB ＝3，AC ＝7，EF ＝6．（1）求DE 的长．（2）如果AC 与DF 相交于点O ，OF ＝1，求．22．（10分）如图，已知在四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，BD ⊥CD ，AC 与BD 相交于点E ，S △AED ＝9，S △BEC ＝25．（1）求证：∠DAC ＝∠CBD ；（2）求cos ∠AEB 的值．23．（12分）如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，连接AD ，点H 为AD 中点，延长BH 交AC 边于点E ，求证：．24．（12分）（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC＝°，等边△ABC的边长为．（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．25．（14分）如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM．（1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似；（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长；（3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．参考答案解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝2∠B，∴∠B＝30°，∴cos B＝cos30°＝，故选：C．2．解：在直角三角形中，已知a和∠A的值，故根据锐角三角函数定义可知，sin A＝，∴c＝．故选：A．3．解：由已知AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF，∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝∵EF∥BC，∴EF∥AD，设，AD+AE+FD＝3+∴，解得：k＝4，作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC﹣CH＝9﹣3＝6，∵，∴，∴．故选：C．4．解：∵、是两个非零向量，且+2＝，∴＝﹣2；∥；＝2，与方向相反，故①②③正确，④错误，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D，AB＝AD＝CD，∵AF＝2BF，∴可以假设BF＝m，AF＝2m，则AB＝AD＝CD＝3m，∴E是CD的中点，∴DE＝EC＝1.5m，当∠AFP＝∠DEP时，∵∠A＝∠D＝90°，∴△APF∽△DPE，当AF•PE＝DE•PF时，∴＝，设＝＝k，则AF＝k•DE，PF＝k•PE，可得AP＝•AF，DP＝•DE，∴＝，∵∠A＝∠D＝90°，∴△APF∽△DPE，当PF：PE＝4：3，∵AF：DE＝4：3，∴＝，∴△APF∽△DPE，当∠FPE＝60°时，无法判断△APF∽△DPE，故选：B．6．解：如图，∵点G是△ABC的重心，∴AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，BC＝2BD，所以A、D选项的说法正确；∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确．故选：B．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．解：设a＝2k，b＝3k，（k≠0），则＝＝．故答案为：．8．解：原式＝2×+＝+．故答案为：+．9．解：∵点C、D是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴AC＝AB＝5﹣5，BD＝AB＝5﹣5，∴AD＝AB﹣BD＝15﹣5，∴CD＝AC﹣AD＝5﹣5﹣（15﹣5）＝10﹣20．故答案为：10﹣20．10．解：根据题意，得y＝30﹣5x（0≤x≤6）．故答案为：y＝30﹣5x（0≤x≤6）．11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，不妨设BC＝k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC＝＝2k，所以tan B＝＝，故答案为：2．12．解：过D点作DH∥BE交AC于H，如图，∵AD为中线，∴BD＝CD，∵DH∥BE，∴＝＝1，∴CH＝EH，∵EF∥DH，∴＝＝，∴AH＝2AE，∴AE＝EH＝CH，∴＝．故答案为．13．解：如图，＝+＝．故答案是：．14．解：如图，延长CG交AB于D，则点D为AB的中点，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，CG＝2，∴GD＝CG＝1，CD＝CG+GD＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又∵DE⊥BC，∴CE＝BE＝BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∴sin∠ACG＝sin∠CDE＝＝，∴CE＝2，∴BC＝4．故答案为：4．15．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝（）2＝（）2＝，故答案为：．16．解：如图，作FG⊥AB于点G，延长FG到N，作EN⊥FN，EM⊥BM于点M，∵CD⊥AB，得矩形DBME，矩形DENG，∵∠FEB＝90°，∠FNE＝90°，∴∠FEN+∠BEM＝90°，∠FEN+∠NFE＝90°，∴∠BEM＝∠NFE，∵∠EMB＝∠FNE＝90°，∴△EMB∽△FNE，∴＝＝，∵AB＝1，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝，∵∠CDB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝，∴CD＝BD＝，∵CE＝x，∴BM＝DE＝CD﹣CE＝﹣x，∵∠EFB＝30°，∴＝，∴＝＝＝，即FN＝EM＝BD＝，∴GF＝FN﹣GN＝FN﹣BM＝﹣（﹣x）＝x，＝BD•FG＝•x＝x．∴S△BDF∴y＝x．故答案为：y＝x．17．解：如图作AH⊥BC于H，设AC＝CD＝5k，BC＝7k，∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），当x＝3k时，∴BH＝AH＝3k，DH＝k，∴AD＝k，∴cos∠CAD＝cos∠ADH＝＝＝．故答案为．18．解：∵AD＝3，DB＝6，∴AB＝AD+DB＝9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，＝＝，∴△ADE与△ABC的面积之比＝（）2＝；故答案为：．三．解答题（共7小题，满分78分）19．解：设AC＝3k，AB＝k．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∵BC＝＝2k．∴sin A＝＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝＝2．答：∠A的正弦、余弦和正切值分别为、、2．20．解：（1）∵＝，AE＝BA，∴＝，，∵＝+，EB＝﹣，＝，∴＝﹣，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵CD∥EB，∴△BEG∽△DCG，∴EG：CG＝EB：CD＝4：3，∴EG：EC＝4：7，∴＝﹣，故答案分别为：，﹣，﹣；（2）点G作GM∥AB交BC于M，NN∥BC交AB于N，则向量、是向量分别在、方向上的分向量．21．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴DE＝；（2）∵OF＝1，∴OE＝6﹣1＝5，∴OD＝5+＝，∵AD∥CF，∴＝＝＝．22．（1）证明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，又∵∠AED ＝∠BEC ，∴△AED ∽△BEC ，∴∠DAC ＝∠CBD ；（2）解：∵△AED ∽△BEC ，S △AED ＝9，S △BEC ＝25，∴＝＝，∴在Rt △ABE 中，cos ∠AEB ＝＝． 23．证明：过D 点作DF ∥BE 交AC 于F ，如图，∵DF ∥BE ，∴＝，∵HE ∥DF ，∴＝，∵点H 为AD 中点，∴AH ＝HD ，∴AE ＝EF ，∴．24．（1）解：∵等边△ABC ，∴∠ABC ＝60°，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得出△ABP ′，∴AP ′＝CP ＝1，BP ′＝BP ＝，∠PBC ＝∠P ′BA ，∠AP ′B ＝∠BPC ， ∵∠PBC +∠ABP ＝∠ABC ＝60°，∴∠ABP ′+∠ABP ＝∠ABC ＝60°，∴△BPP ′是等边三角形，∴PP ′＝，∠BP ′P ＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°，过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝，过答案为：150°，．（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB＝45°，∴FE＝BF＝1，∴AF＝2；∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝；∴∠BPC＝135°，正方形边长为．答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠DBQ＝120°，∵∠BQP＝∠CQD，∠PMQ＞90°，∴只有当∠PMQ＝∠DCQ＝120°时，△PMQ∽△DCQ，则PM∥DC，∵M是BC的中点，∴P是AB的中点，即AP＝3＝t，∴t＝3时，△PMQ∽△DCQ；（2）不变化．理由如下：如图1中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm；（3）如图2中，连接AM，则AB'≥AM﹣MB'，而MB'＝MB，∴当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，即：点B'在AM上，（如图3）∵BM＝CM＝3，AB＝AC＝6，∴AM⊥BC，∴∠BAM＝∠BAC＝30°，，∵B'M＝BM＝3，∴AB'的最小值为AM﹣B'M＝，由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，∴∠APB'＝∠PB'M﹣∠BAC＝30°＝∠BAM，∴AB'＝B'P＝6﹣t＝3﹣3，∴t＝9﹣3，即：t为9﹣3时，AB'的值最小，最小值为3﹣3．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题含答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在下列关于x 的函数中，一定是二次函数的是（）A ．y=x 2B ．y=ax 2+bx+cC ．y=8xD ．y=x 2（1+x ）2．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．y ＝100（1﹣x ）2B ．y ＝100（1+x ）C ．y ＝2100(1)x +D ．y ＝100+100（1+x ）+100（1+x ）23．在平面直角坐标系中，抛物线y=-12（x+1）2-12的顶点是（）A ．（-1，-12）B ．（-1，12）C ．（1，-12）D ．（1，12）4．函数22(21)m y m x -=-是反比例函数，在第一象限内y 随x 的增大而减小，则m ＝（）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．5．二次函数222=++y x x 与坐标轴的交点个数是()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．如图，若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．7．已知：0.5a =， 3.2b =，16c =， 2.5d =，下列各式中，正确的是（）A ．a b =c dB ．a c =d bC ．a b =d cD ．d c =b a8．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AP ABAB AC =D ．AB ACBP CB=9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x ＝2，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有一个根为1；其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知点A 是反比例函数6y x=在第一象限图像上的一个动点，连接OA ，以为长，OA 为宽作矩形AOCB ，且点C 在第四象限，随着点A 的运动，点C 也随之运动，但点C 始终在反比例函数ky x=的图像上，则k 的值为（）A ．-B ．C ．D ．二、填空题11．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是________．12．若53x x y =-，则y x=________．13．如图，直线A l A ∥BB 1∥CC 1，若AB=8，BC=4，A 1B 1=6，则线段A 1C 1的长是________．14．如图，在钝角△ABC 中，AB ＝3cm ，AC ＝6cm ，动点D 从点A 出发到点B 止．动点E 从点C 出发到点A 止．点D 运动的速度为1cm /s ，点E 运动的速度为2cm /s ．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时．运动的时间是_____．三、解答题15．已知二次函数y ＝212x ﹣2x +6．用配方法求函数图象的顶点坐标和对称轴．16．将抛物线y ＝﹣x 2向左平移3个单位，再向上平移4个单位．（1）写出平移后的抛物线的函数关系式．（2）若平移后的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点分别是B 、C ，求△ABC 的面积．17．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx +c ＝0的两个根；（2）写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集；（3）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．18．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC=°，BC=；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.19．如题图，已知A（-4，2），B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数m yx的图象的两个交点．（1）求m，n的值；（2）求一次函数的关系式；、（3）结合图象直接写出一次函数小于反比例函数的x的取值范围．20．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？21．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？22．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．23．如图1，点M放在正方形ABCD的对角线AC(不与点A重合)上滑动，连结DM，做MN⊥DM,交直线AB于N．(1)求证：DM=MN；(2)若将(1)中的正方形变为矩形，其余条件不变如图，且DC=2AD，求MD:MN的值；(3)在(2)中，若CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时(如图3)，请你直接写出MD：MN 的比值．参考答案1．A【分析】根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．【详解】解：A、y=x2是二次函数，故A符合题意；B、a=0时不是二次函数，故B不符合题意，C、y=8x是一次函数，故C不符合题意；D、y=x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．2．D【分析】直接表示出2016年，2017年的产量进而得出y关于x的函数关系式．【详解】解：设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为：y＝100+100（1+x）+100（1+x）2．故选：D．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出2017年的产量是解题关键．3．A【分析】结合抛物线的解析式和二次函数的性质即可得出该抛物线顶点坐标．【详解】∵抛物线的解析式为y＝12（x+1）2﹣12，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1 2）.故选A【点睛】本题考查二次函数的性质.4．A【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．【详解】解：根据题意得：2m21 2m10⎧-=-⎨->⎩，解得：m＝1．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝kx，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．5．B【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数进行判断．【详解】∵△＝22−4×1×2＝−4＜0，∴二次函数y ＝x 2＋2x ＋2与x 轴没有交点，与y 轴有一个交点．∴二次函数y ＝x 2＋2x ＋2与坐标轴的交点个数是1个，故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y ＝0，即ax 2＋bx ＋c ＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根之间的关系：△＝b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数；△＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6．C 【分析】根据一次函数的性质判断出a 、b 的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．【详解】解：y ax b =+ 的图象经过二、三、四象限，0a ∴<，0b <，∴抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴为直线02bx a=-<，∴对称轴在y 轴的左边，纵观各选项，只有C 选项符合．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a 、b 的正负情况是解题的关键．7．C 【分析】如果其中两个数的乘积等于另外两个数的乘积，则四个数成比例．【详解】因为16×0.5=8，3.2×2.5=8，所以ac=bd ，可得：a d b c=，故选C点睛：此题考查比例线段问题，理解成比例的概念，注意在数两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等进行判断．8．D 【详解】试题分析：A ．当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；B ．当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；C ．当AP ABAB AC=时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；D ．无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选D ．考点：相似三角形的判定．9．B 【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由抛物线的开口可知：a ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＜0，由抛物线的对称轴可知：﹣2ba＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；令x ＝3，y ＞0，∴9a +3b +c ＞0，故②错误；∵OA ＝OC ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；观察图象可知关于x 的方程ax 2+bx +c （a ≠0）＝0的两根：一个根在0与1之间，一个根在3与4之间，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．本题属于中等题型．10．A 【解析】分析：设A （a ，b ），则，分别过A ，C 作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ，根据相似三角形的判定证得△AOE ∽△COF ，由相似三角形的性质得到，b ，则k=-OF•CF ．详解：设A （a ，b ），∴OE=a ，AE=b ，∵在反比例函数y=x的图象上，∴，分别过A ，C 作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ，∵四边形AOCB 是矩形，∴∠AOE+∠COF=90°，∴∠OAE=∠COF=90°-∠AOE ，∴△AOE ∽△OCF ，∵OA ，∴OC OF CFOA AE OE==，∴b ，OE=a ，∵C 在反比例函数y=kx的图象上，且点C 在第四象限，∴，故选：A．点睛：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义和求法，正确作出辅助线证得△AOE ∽△COF 是解题的关键，同时注意k 的符号．11．（﹣2，﹣3）【解析】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(2,3)关于原点对称，∴该点的坐标为(−2,−3).故答案为(−2,−3).12．25【解析】解：∵53x x y =-，∴3x =5（x ﹣y ），∴2x =5y ，∴25y x =．故答案为25．13．9【解析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．解：∵A l A ∥BB 1∥CC 1，∴1111B C A B =BC AB，∵AB=8，BC=4，A 1B 1=6，∴B1C 1=3．∴A1C 1=A 1B 1+B1C 1=6+3=9．“点睛”考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系．14．32秒或125秒【分析】如果以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，由于A 与A 对应，那么分两种情况：①D 与B 对应；②D 与C 对应．根据相似三角形的性质分别作答．【详解】解：如果两点同时运动，设运动t 秒时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AD ＝t ，CE ＝2t ，AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣2t ．①当D 与B 对应时，有△ADE ∽△ABC ．∴AD ：AB ＝AE ：AC ，∴t ：3＝（6﹣2t ）：6，∴t ＝32；②当D 与C 对应时，有△ADE ∽△ACB ．∴AD ：AC ＝AE ：AB ，∴t ：6＝（6﹣2t ）：3，∴t ＝125．∴当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是32秒或125秒．故答案为：32秒或125秒．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，有两种情况是解决问题的关键．15．顶点坐标为（2，4）对称轴为x ＝2【分析】根据配方法的步骤把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标．【详解】解：y ＝212x ﹣2x +6＝12（x 2﹣4x +4+8）＝12（x ﹣2）2+4，所以顶点坐标为（2，4）对称轴为x ＝2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，配方法，二次函数的顶点式y ＝a （x−h ）2＋k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．16．（1）y ＝﹣（x +3）2+4；（2）8【分析】（1）分别根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；（2）在解析式中令y ＝0，求得x 的值，即可求得B 和C 的横坐标，则BC 的长即可求得，然后根据三角形的面积公式即可求得．【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将抛物线y ＝﹣x 2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y ＝﹣（x +3）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝﹣（x +3）2向上平移4个单位所得抛物线的解析式为：y ＝﹣（x +3）2+4．故平移后的抛物线的函数关系式是：y ＝﹣（x +3）2+4．（2）顶点坐标A （﹣3，4）令y ＝﹣（x +3）2+4＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣5．∴B （﹣1，0），C （﹣5，0），BC ＝4．则三角形ABC 底边BC 边上的高h=4，∴S △ABC ＝12BC ×h ＝12×4×4=8．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及二次函数与x 轴的交点坐标的求法，正确理解平移法则是关键．17．（1）x 1＝1，x 2＝3；（2）1＜x ＜3；（3）k ＜2．【分析】（1）根据函数图象，二次函数图象与x 轴的交点的横坐标即为方程的根；（2）根据函数图象写出x 轴上方部分的x 的取值范围即可；（3）能与函数图象有两个交点的所有k 值即为所求的范围．【详解】解：（1）∵函数图象与x 轴的两个交点坐标为（1，0）（3，0），∴方程的两个根为x 1＝1，x 2＝3；（2）由图可知，不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为1＜x ＜3；（3）∵二次函数的顶点坐标为（2，2），∴若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为k ＜2．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．18．(1)(2)△ABC ∽△DEF .【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC 的度数，根据，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC 与△DEF 相似．【详解】(1)9045135ABC ∠=+= ，BC ===故答案为(2)△ABC ∽△DEF .证明：∵在4×4的正方形方格中，135,9045135ABC DEF ∠=∠=+= ，∴∠ABC =∠DEF .∵2,2,AB BC FE DE ====∴222AB BC DE FE ====∴△ABC ∽△DEF .【点睛】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.19．（1）m=-8,n=2;（2）y=-x-2;（3）-4<x<0,或x>2.【解析】分析：（1）先把A 的坐标代入反比例函数y=m x中求出m 的值，写出反比例函数的解析式，再将点B 的坐标代入求n 的值；（2）利用待定系数法求一次函数的关系式；（3）结合图象写结论即可．本题解析：(1)把A(−4,2)代入y=mx，即：m=−8，∴y=8x-，把B(n,−4)代入y=8x-得：解得n=2，∴B(2,−4)；(2)把A(−4,2),B(2,−4)代入y=kx+b中，得24{42k bk b=-+-=+，解得k=−1，b=−2，∴y=−x−2；(3)由图象得：一次函数小于反比例函数的x的取值范围是：−4<x<0或x>2.20．24m【解析】试题分析：首先设AH=x，BH=y，根据△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，得出B B=B B，B B= D B，然后将各数字代入求出x的值.试题解析：由题意知，设AH=x，BH=y，△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，∴B B=B B，B B=D B，∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5）解得x=24m．答：旗杆AH的高度为24m．21．（1）z＝﹣2x2+132x﹣1600；（2）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．【分析】（1）根据每月的利润z＝（x−16）×y，再把y＝−2x＋100代入即可求出z与x之间的函数解析式，（2）先根据制造成本不超过480万元知生产量不超过30万件，结合一次函数解析式得出x 的取值范围，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值．【详解】解：（1）根据题意知，z＝（x﹣16）（﹣2x+100）＝﹣2x2+132x﹣1600；（2）厂商每月的制造成本不超过480万元，每件制造成本为16元，∴每月的生产量为：小于等于48016＝30万件，则y＝﹣2x+100≤30，解得：x≥35，∵z＝﹣2x2+132x﹣1600＝﹣2（x﹣33）2+578，∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，∴x＝35时，z最大为570万元．当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．22．（1）PQ＝154，PN＝152；（2）PQ＝5，PN＝6．【分析】（1）设PQ＝y，则PN＝2y，根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题；（2）设AE＝x．利用相似三角形的性质，用x表示PN，PQ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】解：（1）设PQ＝y，则PN＝2y，∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PNBC＝AEAD，即212y＝1010y-，解得y＝15 4，∴PQ＝154，PN＝152．（2）设AE＝x．∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PNBC＝AEAD，∴PN＝65x，PQ＝DE＝10﹣x，∴S矩形PQMN ＝65x（10﹣x）＝﹣65（x﹣5）2+30，∴当x＝5时，S的最大值为30，∴当AE＝5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，此时PQ＝5，PN＝6．【点睛】本题考查相似三角形的应用、二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质构建二次函数或方程解决问题，属于中考常考题型．23．（1）见解析；（2）MD：2MN=；（3）MD：MN n=.【分析】（1）过M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，则∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根据ASA即可判定△MDP≌△MNQ，进而根据全等三角形的性质得出DM=MN；（2）过M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，则∠WMS=90°，根据∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根据△AWM ∽△ADC ，DC=2AD ，即可得出MD ：MN=MW ：WA=CD ：DA=2；（3）过M 作MX ⊥AB 于X ，MR ⊥AD 于R ，则易得△NMX ∽△DMR ，得出MD ：MN=MR ：MX=AX ：MX ，再由AD ∥MX ，CD ∥AX ，易得△AMX ∽△CAD ，得出AX ：MX=CD ：AD ，最后根据CD=nAD ，即可得出MD ：MN=CD ：AD=n ．【详解】()1证明：过M 作MQ AB ⊥于Q MP AD ⊥，于P ，则9090PMQ MQN MPD ∠=∠=∠= ，，90DMN ∠= ，DMP NMQ ∴∠=∠，ABCD 是正方形，AC ∴平分DAB ∠，PM MQ ∴=，在MDP 和MNQ △中，MQN MPDPM MQ DMP NMQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，MDP ∴ ≌()MNQ ASA ，DM MN ∴=；()2过M 作MS AB ⊥于S MW AD ⊥，于W ，则90WMS ∠=，MN DM ⊥ ，DMW NMS ∴∠=∠，又90MSN MWD ∠=∠= ，MDW ∴∽MNS ，MD ∴：MN MW =：MS MW =：WA ，//MW CD ，AMW ACD AWM ADC ∴∠=∠∠=∠，，AWM ∴ ∽ADC ，又2DC AD = ，MD ∴：MN MW =：WA CD =：2DA =；()3MD ：MN n =，理由：过M 作MX AB ⊥于X MR AD ，⊥于R ，则易得NMX ∽DMR ，MD ∴：MN MR =：MX AX =：MX ，由////AD MX CD AX ，，易得AMX ∽CAD ，AX ∴：MX CD =：AD ，又CD nAD = ，MD ∴：MN CD =：AD n =．【点睛】相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，运用相似三角形和全等三角形的性质进行推导即可．。
沪科版九年级上册数学期中考试试卷及答案
沪科版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是()A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)2．下列各线段的长度成比例的是（）A ．2cm ，5cm ，6cm ，8cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，6cm ，7cm ，9cmD ．3cm ，6cm ，9cm ，18cm 3．已知()5x 6y y 0=≠，那么下列比例式中正确的是()A ．x y 56=B ．x y 65=C ．x 5y 6=D ．x 65y=4．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（）A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm5．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．6．如图，点G 、F 分别是△BCD 的边BC 、CD 上的点，BD 的延长线与GF 的延长线相交于点A ，DE ∥BC 交GA 于点E ，则下列结论错误的是()A ．AE DEAG BC=B ．DE DFCG CF=C ．AD AEBD EG=D ．AD DEAB BG=7．两个三角形相似的面积之比为2x 2-3，周长之比为x ，则x 为（）A ．3B 3C 21D ．328．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AD=4，BD=9，则tanA 的值是（）A ．62B ．52C ．94D ．329．点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上，BE=DF ，点P 在边AB 上，AP ：PB=1：n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1、S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3、S 4两部分（如图）则（S 1+S 4）：（S 2+S 3）的值为（）A ．1：（n+1）B ．1：（2n+1）C ．1：nD ．n ：（n+1）10．如图，下列选项中不能判定ACD ABC ∆∆ 的是（）A ．2AC AD AB =⋅B ．2BC BD AB =⋅C ．ACD B ∠=∠D ．ADC ACB∠=∠二、填空题11．若反比例函数ky x=的图象经过点A （1，2），则k=_____．12．如图，要使△ABC ∽△ACD ，需补充的条件是_____．（只要写出一种）13．将矩形纸片ABCD （如图）那样折起，使顶点C 落在C ꞌ处，测量得AB=4，DE=8,则sin ∠C ꞌED 为________________.14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB ：BC=3:4，∠BAC ，∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，则S △EFC ：S △ABC =______________.15．一个二次函数，当自变量0x =时，函数值1y =-，且过点()2,0-和点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，则这个二次函数的解析式为________________．16．已知函数22(1)m y m x -=-是反比例函数，则m 的值为___________．三、解答题17．计算：（-2）2+4tan60°-8cos30°--3.18．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2,3），B （-4,0），C （1,1）（1）以M 点为位似中心，在点M 的同侧作△ABC 关于M 点的位似图形△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比为2:1；（2）请直接写出A 1、B 1、C 1三点的坐标.19．已知，如图，一次函数y=-2x+1,与反比例函数ky x=的图象有两个交点A 点、B 点，过点A作AE⊥x轴于点E，点E坐标为（-1,0），过点B作BD⊥y轴于点D，直线AB交y 轴于点C．（1）求k的值；（2）求tan∠CBD．20．已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长.21．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=900，点A、C的坐标分别为A(-2,0),C(1,0),tan∠BAC=2 3.（1）求点B的坐标。
沪教版九年级上册数学期中试卷
沪教版九年级上册数学期中试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，属于二次函数的是( ▲)()A 32 x y ；()B 22)1(x x y ；()C x x y 722 ；()D 22x y ． 2.对于线段a 、b ，如果23a b ，那么下列四个选项一定正确的是（▲ ） ()A b a 32 ；()B 12b a a ； ()C 1 a b ； ()D 25b b a . 3.抛物线22()y x m n （m n ，是常数）的顶点坐标是（▲）()A ()m n ，； ()B ()m n ，； ()C ()m n ，； ()D ()m n ，.4.已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ▲ ）．()A 1a e a r r r ； ()B e a a r r r ；()C 11a b a br rr r ；()D b e b r r r.5.下列对二次函数 224y x 的图像的描述，正确的是（▲）()A 开口向上；()B 对称轴是y 轴； ()C 经过原点； ()D 与y 轴的交点坐标为 0,4. 6.如图，已知在ABC 中，090ACB ,CD AB ,那么下列结论错误的是（▲ ）()A 2CA AD AB ； ()B AB CD AC BC ；()C 2CB BD BA ；()D 2CD CA CB .二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：23a b b r r r▲．8.将抛物线2y x x 向下平移8个单位，所得的新抛物线的解析式为▲．9.已知线段3a ，6c ，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段b 的长度是▲． 10.实际距离为3千米的两地，在比例尺为1:100000的地图上的距离为▲厘米． 11.已知点M 是线段AB 的黄金分割点()AM BM，如果1)BM cm ，那么AM ▲cm ．12.如图，直线a b c P P ，直线1l ，2l 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果:1:3AB AC ，2DE ，那么DF 的长为▲．DCBAEDBA13.如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，且满足ACD ABC ，若3,2,AC AD 则DB ▲． 14.某商品的原价为200元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是)0 x x （，那么该商品现在的价格是为y 元，那么y 关于x 的函数解析式是▲．（不必写出定义域）15.如果点1122(1,),(3,)P y P y 在二次函数222y x x c 的图像上，那么12,y y 的大小关系是1y ▲2y （填“ ”“ ”或“ ”）.16.在ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，AED B ，如果5AE ，ADE 的面积为9，四边形BCED 的面积为16，那么边AB 的长为▲．17.如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果4BC ，正方形的边长是43，那么ABC 的面积是▲．18.如图，在ABC 中，5AB AC ，8BC ，点G 为ABC 的重心，把ABC 绕点A 旋转得到ADE （点D 、E 分别与点B 、C 对应），如果ADE 的重心1G 落在边AC 上，那么1GG 的长为▲．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题共2小题，其中第 1小题6分，第 2小题4分，满分10分）如图，ABCD Y 中，点F 是CD 的中点，BF 和AC 相交于点E ．(1)求CEAE的值； (2)如果AB a uu u r r ，,AD b uuu r r 请用a r 、b r表示AE uu u r .20.（本题满分10分）已知：如图,点D 、E 分别在线段AB 和AC 上，AD AB AE AC ,点F 是BE 与CD 的交点. 求证：FDB FEC :.21.（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，在ABC 中，BE 平分ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D .(1)求证：AC BD BC AE ； (2)如果3 ADE S ，2 BDE S ，6 DE ，求BC 的长.BCBACFEBA ED A22.（本题共2小题，每小题5分，满分10分）某班“数学兴趣小组”对函数2y ax bx c 的解析式和性质进行了探究，探究过程如下,自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表：(1)m (2)根据上表数据，求出该二次函数解析式；(3)写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况.23.（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB AC 、上，AED B ，射线AG 分别交线段DE BC 、于点F G 、，且AD ACDF CG. (1)求证：ADF ACG :； (2)求证：DF BG EF CG ．24.（本题共3小题，每小题各4分，满分12分）如图，抛物线2y x bx c 与x 轴交于点(1,0)A 、(3,0)B ，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；(2)如果点P 在x 负半轴上，且BCP 是等腰三角形，求点P 的坐标；(3)点Q 在y 轴右侧的抛物线上，设点Q 的横坐标为a ，当OCQ OCA 时，试确定 a 的取值范围．25.（本题共3小题，其中第 1小题4分，第 2小题5分、第 3小题5分，满分14分）CFE DBA如图，已知在梯形ABCD 中，AD BC P ，AB BC ，43AB AD 、、6BC ,P 是边CD 上一动点（点P 与点C 、D 不重合）. (1)求CD 的长；(2)一块直角三角板的直角顶点M 在边AB 上移动,三角板一条直角边始终经过点D ，另一条直角边与边BC 交于点N ,且1BN ，当P 是CD 中点时，求PM 的长；(3)在线段BC 上取点Q ，PC PQ （Q 与C 不重合），联结PQ ，如果ADP 和BQP 相似，求PC 的长．数 学 试 卷 参 考 答 案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1C （） 2B （） 3A （） 4B （） 5C （） 6D （） 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7a b （）2-5；r r 28=x x （）y +-8；9（103（）； 112（）； 126（）；5132（）； 214=200(1-)x （）y ； 15（）>； 25163（） 174（）；85（1）. 19.（本题共2小题，其中第 1小题6分，第 2小题4分，满分10分）解: 1ABCD QYAB CD AB CD P …………………………………………………2分 F CD Q 点是的中点11==22CF DC AB …………………………………………………2分AB CD Q P 12CE CF AE AB ………………………………………………………2分 22a+b 332AE uu u r r r=……………………………………………………………4分20.（本题满分10分）证明：AD AB AE AC QAD AC AE AB……………………………………………………………2分 在ADC V 与AEB V 中， AD ACAE AB A AADC AEB V :V ………………………………………………………3分DCBADCBAC B ……………………………………………………………2分在FDB V 与FEC V 中，B CBFD CFEFDB FEC V :V ……………………………………………………3分 21.（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 解： 1BE ABC Q 平分DBE EBC ……………………………………………………1分DE BC Q PDEB EBC ……………………………………………………1分 DBE DEBBD DE ………………………………………………………………1分 DE BC Q PAE DEAC BC………………………………………………………………1分 AE BDAC BC,即AE BC BD AC ……………………………………1分 2EF AB 作11,22ADE BDE S AD EF S BD EFV V Q 3,2ADE BDE S S V V Q 又132122ADE BDE AD EFS AD S BD BD EF V V ……………………………………2分 35AD AB ………………………………………………………………1分 ,6DE BC DE Q P DE ADBC AB…………………………………………………………1分 635BC 10BC ………………………………………………………………1分22.（本题共3小题，其中第 1小题2分，第 2小题4分，第 3小题4分，满分10分）解： 18 …………………………………………………………………………2分22y ax bx c 设 -1,30,01,-1Q ，和在抛物线上则有301a b c c a b c解之得120a b c…………………………………………………………3分即抛物线的解析式为2y=2x x -…………………………………………1分 3开口方向:向上 …………………………………………………………1分 1-1顶点坐标:,………………………………………………………………1分=1x 对称轴:直线………………………………………………………………1分变化情况:在对称轴左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的…1分 23.（本题共2小题，每小题6分，满分12分） 证明： 1在AED V 与ABC V 中，AED ABC EAD BACAED ABC V :V …………………………………………2分 ADE C ………………………………………………1分AD ACDF CG Q AD DFAC CG………………………………………………1分 在ADF V 与ACG V 中， AD DFAC CG ADE CADF ACG V :V ………………………………………………2分 2ADF ACG QV :V,DF AFDAF EAF CG AG………………………………2分 在AEF V 与ABG V 中， DAF EAF AEF ABCAEF ABG V :V ………………………………………………1分EF AFBG AG……………………………………………………1分 ,DF EF DF BG EF GC CG BG即………………………2分 24.（本题共3小题，每小题各4分，满分12分）解：1 -1,03,0A Q 和B 在抛物线上则有-1-b+c=0-9+3b+c=0解之得b=2c=3…………………………………………………………2分即抛物线的解析式为2y=-23x x +（或者 2y=--1+4x ）............1分 顶点坐标 14， (1)分2设点P 坐标为 ,0m ，其中0m3,0,0,3B C Q 且BCP是等腰三角形PB BC01当PC BC，解得m=-3、m=3（舍）……1分即 -30P ，……………………………………………………1分 02当PC BP 时解得0a （舍） 03当PB BC 时则3-m ，解得分即0P …………………………………………………1分综上所述，点P 的坐标为 -30，或3Q 点Q 在y 轴右侧的抛物线上设点Q 坐标为2,23a a a ，其中0a作QM 垂直于y 轴交于点M ，M 的坐标为20,23a a 当=OCQ OCA 时=90=90COA CMQ Q ，,即=COA CMQCOA CMQ :……………………………………………………1分 OA CO MQ CM…………………………………………………………1分 22=1,3,3232OA MQ a CO CM a a a a Q ,2132a a a，整理得250a a 解得120(),5a a 舍…………………………………………………1分 而OCQ 的度数随着a 的增大而减小故当5a 时，则有<OCQ OCA ……………………………………1分25.（本题共3小题，其中第 1小题4分，第 2小题5分、第 3小题5分，满分14分）解：1作DE BC 交BC E 于点………………………………………………1分,AB BC DE BC Q AB DE P,4,3,6AD BC AB AD BC Q P3,4,633BE AD DE AB CE BC BE ……………2分在Rt DEC 中，90DEC,3CE ,4DE5CD …………………………………………………………………1分2作PF AD AB F 交于，P AD BC Q PAD PF BC P PP CD Q 点是边的中点，F AB 也是的中点，ABCD PF 是梯形的中位线36922PF …………………………………………………1分++ADM DAM DMN BMN Q 90DAM DMN Q ADM DMN 又A B QADM BMN :……………………………………………1分 AD AM BM BN3,1,4AD BN BM AM Q343AM AM 解得1AM 或3AM ………………………………………1分 01当1AM 时在Rt MFP 中，90MFP,211MF AF AM ,92PF=2PM …………………………………………………1分 02当3AM 时同理可得=2PM ……………………………………………1分综上，PM的长为23作PH BC BC H 交于点，不妨设 0<<5PQ PC x x ,有5DP x,5,3PH DE CD CE Q PPH CP CHDE CD CE得43,55PH x CH x662,655CQ CH x BQ BC CQ x ……………1分+180,+180ADP C BQP PQC Q 又PQ PC Q C PQCADP BQP ……………………………………………1分 ADP BQP QV :V01当DAP QBP 时 AD DPBQ QP 3566-5xx x ，整理得： 2225500x x12510,2x x 舍即52PC ………………………………………………………1分02当DAP QPB 时 AD DPQP BQ 3566-5x x x ，整理得：2543900x x12185,5x x 舍即185PC …………………………………………………1分综上所述，PC 的长为52或185…………………………………1分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
期中检测一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（ ） A ．sinA= B ．cosA= C ．tanA= D ．cotA=2．如果C 是线段AB 的黄金分割点C ，并且AC ＞CB ，AB=1，那么AC 的长度为（ ） A ． B ． C ．D ．3．（4分）如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（ ）A ．α=30°B ．α=45°C ．30°＜α＜45°D ．45°＜α＜60° 4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（ ） A ．的模为3 B ．与的模之比为﹣3：1C ．与平行且方向相同D ．与平行且方向相反5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） A ．南偏西30°方向 B ．南偏西60°方向 C ．南偏东30°方向 D ．南偏东60°方向6．如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED ∥BC 的是（ ）． (A) BA CA BDCE=；(B) EA DA ECDB=； (C) ED EABC AC=； (D)EA ACAD AB=．二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7．如果那么＝________． 8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为 ． 9．如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，如果∠ACD=∠ABC 时，那么图中 是AD 和AB 的比例中项．第9题图 第10题图第12题图10．如图，△ABC 中∠C=90°，若CD ⊥AB 于D ，且BD=4，AD=9，则tanA= ．11．计算：2（+3）﹣5= ．12．如图，G 为△ABC 的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG 的长为 ．32a=bba a+-b13．在直角坐标平面内有一点A（3,4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是_________．14．如图13，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高是20米，背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1∶2，那么坝底BC的长度等于_________米．（结果保留根号）图13 15．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i= ．17．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19(10分)．计算：﹣cos30°．20．（10分）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．21（10分）．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．22．（本题满分10分）已知：如图9，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE·DB.求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB·BC=BD·BE．图923．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．24．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．（1）求证：BC2=CD•BE；（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）D是线段AB上的一如图11，∠BAC的余切值为2，AB＝动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧．联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．图11 备用图2017年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=故选：A．2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．故选：C．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数故选B4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反故选：D．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向故选：A．6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限故选C．二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为1：16．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中AC是AD和AB 的比例中项．10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．11．计算：2（+3）﹣5=2+．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为8．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是y=5（x﹣2）2+2．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1＞y2．（填不等号）16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=1：2.4．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═6：5．解：∵DE⊥AB，tanA═，∴DE=AD，∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═，∴BC=4，AB==4，又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，∴AD=BD=2，DE=，∴Rt△ADE中，AE==5，∴CE=8﹣5=3，∴Rt△BCE中，BE==5，如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则Rt△BDE中，DH==2，Rt△BCE中，CG==，∵CG∥DH，∴△CFG∽△DFH，∴===．故答案为：6：5．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．解：原式=﹣+1=+﹣+1=++1．21．（10分）（2017•静安区一模）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB==得AF=3，即可知EF，从而得出答案；（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，将点A（2，4）代入，得：k=8，∴反比例函数的解析式y=；（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，∵cot∠ACB==，∴AF=3，∴EF=1，∴点C的坐标为（0，1）；（3）当y=1时，由1=可得x=8，∴点B的坐标为（1，8），∴BF=BC﹣CF=6，∴AB==3，∴cos∠ABC===．【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．解：如图，过点P作AB 的垂线，垂足为E，∵PD⊥AB，DB⊥AB，∴四边形PDBE是矩形，∵BD=36m，∠EPB=45°，∴BE=PE=36m，∴AE=PE•tan30°=36×=12（m），∴AB=12+36（m）．答：建筑物AB的高为米．22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a=，∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）（x﹣8），即y=x2﹣x+6；函数图象如右：当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°=∠ABC，又∵∠FCE=∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴，又∵∠ACF=∠BCE，∴△CAF∽△CBE；（2）∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF=∠CBE，∵∠BAC=∠BCA=45°，∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=，∵AE：EC=2：1，∴AC=3，∴AB=BC=AC=，∴BF=BC﹣FC=，∴．25．（14分）（2017•静安区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．（1）求证：BC2=CD•BE；（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．【分析】（1）只要证明△DAC∽△CEB，得到=，再根据题意AC=BC，即可证明．（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．由△CEB∽△DAC，得=，由此即可解决问题．（3）首先证明四边形ABCD是等腰梯形，再证明△ABG≌△DCH，推出CH=BG=2，推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（2）中即可即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，∴△DAC∽△CEB，∴=，∴BC•AC=CD•BE，∵AC=BC，∴BC2=CD•BE．（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．在Rt△CBF中，BF=BC•cos∠ABC=9×=3，∴AB=6，在Rt△ABG中，BG=AB•cos∠ABC=6×=2，∵AD∥BC，DH=AG，∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，∵AG∥DH，∴GH=AD=x，∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x，∴CD===，∵△CEB∽△DAC，∴=，∴=，∴y=，∴y=（x＞0且x≠9）．（3）∵△DBC∽△DEB，∠CDB=∠BDE，∠CBD＜∠DBC，∴∠DBC=∠DEB=∠ACB，∴OB=OC，∵AD∥BC，∴=，∴AC=BD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，∵∠AGB=∠DHC=90°，∴△ABG≌△DCH，∴CH=BG=2，∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5．∴CE=y=．【点评】本题考查相似三角形综合题、锐角三角函数、勾股定理、等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF 中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，∵BQ=2PB，∴只有∠BPQ=90°，才有可能B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似，∴∠BQP=30°，这个显然不可能，∴当点P在BE上时，不存在△PQB与△ABE相似．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+8或﹣8﹣8（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，∴=，∴=，∴IC=﹣．。