初二数学 直角三角形练习题
初二下册直角三角形练习题
初二下册直角三角形练习题
直角三角形是初中数学中重要的内容之一，通过练习直角三角形的
计算题可以巩固对三角函数的理解和运用。
下面将为大家提供一些初
二下册直角三角形练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。
题目一：已知一个直角三角形的斜边长为10cm，一个锐角的对边
长为6cm，求这个直角三角形的另一个锐角的对边长和邻边长。
题目二：已知一个直角三角形的一条直角边长为8cm，另一条直角
边长为6cm，求这个直角三角形的斜边长和另一个锐角的对边长。
题目三：已知一个直角三角形的斜边长为15cm，一个锐角的邻边
长为9cm，求这个直角三角形的另一个锐角的邻边长和对边长。
题目四：在一个直角三角形中，一个锐角的对边长是斜边长的一半，求这个直角三角形的两个锐角的弧度。
题目五：已知一个直角三角形的斜边长为12cm，一个锐角的对边
长为4cm，求这个直角三角形的另一个锐角的对边长和邻边长。
题目六：已知一个直角三角形的一条直角边长为7cm，另一条直角
边长为5cm，求这个直角三角形的斜边长和另一个锐角的对边长。
题目七：已知一个直角三角形的斜边长为17cm，一个锐角的邻边
长为8cm，求这个直角三角形的另一个锐角的邻边长和对边长。
以上是一些直角三角形的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。
在解答这些题目时，可以运用三角函数的定义和性质进行求解，例如
正弦定理、余弦定理等。
通过不断的练习和思考，相信大家能够掌握直角三角形的计算方法，提高数学解题能力。
祝愿大家学业进步！。
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题一、知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。
等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
二、练习题1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能的是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．75、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________.11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（ ）A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A nB n D nC n的边长是_______________.15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．GF CB A。
直角三角形练习题及答案
直角三角形练习题及答案一、选择题1. 直角三角形中，直角边长分别为3厘米和4厘米，斜边长是多少？A. 5厘米B. 6厘米C. 7厘米D. 8厘米2. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。
A. 13B. 15C. 20D. 263. 直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理，正确的表达式是：A. a² + b² = cB. a² + b² = c²C. a² - b² = cD. a² + c² = b二、填空题4. 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是________。
5. 如果直角三角形的一条直角边长为x，另一条直角边长为2x，斜边长为3x，那么x的值是________。
三、解答题6. 已知直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。
7. 一个直角三角形的斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米，求另一条直角边的长度。
8. 直角三角形的高为4厘米，底为6厘米，求斜边的长度。
答案：一、选择题1. A2. B3. B二、填空题4. 12厘米5. 3三、解答题6. 根据勾股定理，斜边长度为√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10厘米。
7. 根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(10²-6²)=√(100-36)=√64=8厘米。
8. 根据勾股定理，斜边长度为√(4²+6²)=√(16+36)=√52厘米。
以上练习题及答案旨在帮助学生加深对直角三角形及其性质的理解，通过实际计算来掌握勾股定理的应用。
湘教版八年级数学下册《第一章 直角三角形》测试卷-带参考答案
湘教版八年级数学下册《第一章直角三角形》测试卷-带参考答案一、选择题(每题3分，共30分)1.下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是()A.1，3，4B.2，3，4C.1，1，√3D.5，12，132.如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是()(第2题)A.40°B.45°C.50°D.60°3.如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A，B，C，D，且每个小正方形的边长都是1，下列选项中的线段长度为√13的是()(第3题)A.线段ABB.线段BCC.线段CDD.线段AD4.(母题：教材P16习题T2)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边.下列条件中，不能得出△ABC是直角三角形的是()A.b2＝a2－c2B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C.∠C＝∠A－∠BD.a∶b∶c＝1∶√3∶√25.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是()(第5题)A.2√3B.2C.4√3D.46.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP＋PQ取得最小值时，BQ的长是()(第6题)A.8B.10C.12D.167.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定8.如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝√3，则△AOB 与△BOC的面积之和为()(第8题)A.√34B.√32C.3√34D.√39.如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为()(第9题)A.3(√3－1)B.3(3√3－2)C.6(√3－1)D.6(3√3－2)10.“春节”是我国最重要的传统节日，在春节期间有很多习俗，贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等，为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长52 cm的彩灯，按如图方式(从A绕到B)缠绕在圆柱体的柱子上，且柱子的底面周长为10 cm，则柱子高()(第10题)A.2√651 cmB.√69 cmC.12 cmD.48 cm二、填空题(每题3分，共24分)11.如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，若∠BPC＝130°，则∠A＝.(第11题)12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为.(第12题)13.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为.(第13题)14.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则此三角形的周长为.15.如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.(第15题)16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为dm2.(第16题)17.如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON 上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是.(第17题)18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于.(第18题)三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，CD＝3.(1)求DE的长；(2)若AC＝6，BC＝8，求△ADB的面积.20.(母题：教材P16习题T2)如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：(1)求△ABC的周长；(2)试判断△ABC的形状.21.海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水释放并加以利用.某市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(四边形ABCD，如图)，经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求该绿地的周长(结果保留根号).22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB 于点E.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数.23.如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时开始测量，点C为终点，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿D→A→C的路径测得所经过的路程为18米，这时小明说：“我能求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”小红说：“我也知道怎么求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”你能求出这个直角三角形空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由.24.如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD.(1)写出AB与BD的数量关系；(2)延长BC到点E，使CE＝BC，延长DC到点F，使CF＝DC，连接EF，求证：EF⊥AB；(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH.答案一、1.D 2.C3.B 【点拨】由题意得AB＝√12＋22＝√5，BC＝√22＋32＝√13，CD＝√12＋12＝√2，AD＝√12＋32＝√10，故选B.4.B 【点拨】根据三角形内角和等于180°判断B，C；根据勾股定理的逆定理判断A，D，即可得出答案.5.A6.C 【点拨】作点Q关于BD的对称点H，易知点H在直线AB上，连接PH，则PQ＝PH，BH＝BQ，∴CP＋PQ＝CP＋PH，∴当C，H，P三点在同一直线BC 上，且CH⊥AB时，CP＋PQ＝CH为最短.易得此时∠BCH＝30°，∴BH＝12×24＝12，∴BQ＝12.故选C.＝127.C8.C9.C 【点拨】∵四边形ABCD是边长为6的正方形∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.又∵DM＝DM∴△ADM≌△CDM(SAS)∴∠DAM＝∠DCM.∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.又∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°∴∠DAM＝30°.设PD＝x，则AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x∴AD＝√AP2－PD2＝√3x＝6，解得x＝2√3∴PM＝6－x＝6－2√3，AP＝2x＝4√3∴AM＝AP－PM＝4√3－(6－2√3)＝6(√3－1).10.D二、11.80°【点拨】∵∠BPC＝130°∴∠CBP＋∠BCP＝180°－∠BPC＝50°.∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠ABC＝2∠CBP，∠ACB＝2∠BCP∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠CBP＋∠BCP)＝100°∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.12.4 【点拨】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°.∵BC＝6，∴BD＝CD＝3.在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD＝√AB2－BD2＝√52－32＝4.13.314.12或7＋√715.√2【点拨】如图，第一步到①，第二步到②.故走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12＋12＝√2.16.2 【点拨】如图所示AD＝2√2 dm依题意，得OD＝√22OD＝√2 dm.OE＝12∴阴影部分的面积为OE2＝(√2)2＝2(dm2).17.1＋√3【点拨】取AB中点D，连接OD，DC∴OC≤OD＋DC，当O，D，C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD.∵△ABC为边长为2的等边三角形，点D为AB中点∴AB＝BC＝2，BD＝1，CD⊥AB∴CD＝√BC2－BD2＝√3.∵△AOB 为直角三角形，点D 为斜边AB 的中点 ∴OD ＝12AB ＝1，∴OD ＋CD ＝1＋√3 即OC 的最大值为1＋√3.18.18.5 【点拨】∵正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝16，S 2＝25∴AC ＝4，AB ＝5.易得正方形CBGF 的面积＝CB 2＝AB 2－AC 2＝25－16＝9，∴BC ＝3.∴四边形ACBP 的面积＝S △ABC ＋S △ABP ＝12×3×4＋12×5×5＝18.5.三、19.【解】(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，∴DE ＝CD .∵CD ＝3，∴DE ＝CD ＝3.(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB ＝√62＋82＝10. ∵由(1)知，DE ＝CD ＝3∴S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.20.【解】(1)∵AB ＝√22＋12＝√5，AC ＝√22＋42＝2√5，BC ＝√32＋42＝5，∴AB ＋AC ＋BC ＝√5＋2√5＋5＝3√5＋5，即△ABC 的周长为3√5＋5. (2)∵AB 2＋AC 2＝(√5)2＋(2√5)2＝25，BC 2＝52＝25，∴AB 2＋AC 2＝BC 2. ∴△ABC 是直角三角形.21.【解】连接AC ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，如图.∵AB ＝BC ＝20米，∠B ＝60° ∴△ABC 是等边三角形. ∴AC ＝AB ＝20米，∠BAC ＝60°. ∵AB ∥CD∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°.又∵∠AEC ＝90°，∴∠CAE ＝30°.∴CE ＝12AC ＝10米.∴AE ＝√AC 2－CE 2＝10√3米.∵∠AED ＝90°，∠D ＝45°，∴∠EAD ＝45°. ∴DE ＝AE ＝10√3米.由勾股定理得AD ＝√AE 2＋DE 2＝10√6米. ∴该绿地的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝20＋20＋10＋10√3＋10√6 ＝50＋10√3＋10√6(米).22.(1)【证明】∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD .∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠CBD . ∴∠EBD ＝∠EDB .∴BE ＝DE .(2)【解】∵∠A ＝80°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝60°. ∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝30°. 由(1)知∠BDE ＝∠EBD ，∴∠BDE ＝30°. 23.【解】能.设BC ＝a 米，AC ＝b 米，AD ＝x 米，斜边AC 上的高为h 米，则9＋a ＝x ＋b ＝18，∴a ＝9，b ＝18－x .在Rt △ABC 中，由勾股定理得(9＋x )2＋a 2＝b 2 ∴(9＋x )2＋92＝(18－x )2，解得x ＝3，即AD ＝3米. ∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋9＝12(米)，AC ＝15米. ∴12×9×12＝12×15h ，解得h ＝365.答：这个直角三角形空地斜边上的高为365米. 24.(1)【解】∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝√2AB . ∵BC ＝AB ＋BD ，∴√2AB ＝AB ＋BD 即(√2－1)AB ＝BD .第 11 页 共 11 (2)【证明】如图①，∵CE ＝BC ，∠2＝∠1，CF ＝DC ，∴△CEF ≌△CBD①∴∠E ＝∠DBC ，∴EF ∥BD ，∵BD ⊥AB ，∴EF ⊥AB .(3)【证明】如图②，延长BA ，EF 交于点M ，延长CH 交ME 于点G .②∵EF ⊥AB ，AC ⊥AB∴ME ∥AC ，∴∠CGE ＝∠ACG .∵CH 是∠ACE 的平分线∴∠ACG ＝∠ECG ，∴∠CGE ＝∠ECG∴EG ＝EC ＝BC ＝AB ＋BD .∵△CBD ≌△CEF∴EF ＝BD ，∴EG ＝AB ＋BD ＝AC ＋EF即FG ＋EF ＝AC ＋EF ，∴AC ＝FG .在△AHC 和△FHG 中{∠ACH ＝∠FGH∠AHC ＝∠FHG AC ＝FG∴△AHC ≌△FHG (AAS)∴AH ＝HF.。
直角三角形练习题
八年级下册数学练习题一。
填空题1.两个直角三角形全等的条件是斜边直角边。
2.如图14-65，AD是ΔABC的中线，∠ADC=450，把ΔADC沿AD对折，点C落在点C’的位置，则BC与BC’之间的数量关系是。
3.如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是等腰三角形。
4.在RtΔABC中，∠ACB=900，∠B=600，CD为斜边AB上的中线，已知AC=BC=2，则ΔADC的周长= 4+2√3，则斜边的长为根号55.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为56.在等腰ΔABC中，过腰AB的中点D作它的垂线（且点A、C在垂线的异侧）交另一腰AC于点E，连结BE，若AD+AC=24，BD+BC=20，则ΔEBC的周长为 20 。
7.如图14-66，已知在等腰ΔABC中，AB=AC=20cm，AB的中垂线交另一腰于D点，ΔBCD的周长是30cm，求BC的长。
8.如图14-67，已知在ΔABC中，AB=AC，∠A=1200，EF垂直平分AB。
求证：CF=2BF。
9.如图14-68，∠B=900，ED垂直平分AC，∠BAE：∠EAD=8:5，求∠BAC的大小。
10. 在等腰直角ΔABC中，斜边BC=10，BD平分∠ABC，DE垂直BC交BC于点E，求ΔDEC的周长。
11. 如图14-69，已知∠BAC=1100，MN、PN是AB、AC的中垂线，交BC于点E、F。
求∠EAF二．基础训练求证题1.如图14-70，在ΔABC 中，高AD 、BE 交于点H ，M 、N 分别是BH 、AC 的中点，∠ABC=450，求证：DM=DN 。
2.如图14-71，已知M 是Rt ΔABC 斜边AB 的中点，CD=BM ，DM 与CB 的延长线交于点E ，求证：∠E=12∠A 。
3.如图14-72，在Rt ΔABC 中，∠ACB=900，∠BAC=300，ΔADC 和ΔABE 是等边三角形，DE 交AB于点F ，求证：F 是DE 的中点。
初二数学直角三角形试题
初二数学直角三角形试题1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是 .【答案】45°【解析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°．∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠ADC=90°．∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE∴∠FBD=∠FAE在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（AAS）∴BD=AD∴∠ABC=∠BAD=45°，故填45°.【考点】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【答案】C【解析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，可以得到∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°，由此可以推出∠DCA=∠B=30°，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半分别求出AC，AB．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°∴∠DCA=∠B=30°（同角的余角相等），∵AD=2cm，在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm，在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm．∴AB的长度是8cm故选C．【考点】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，同角的余角相等点评：解答本题的关键是掌握好含30度角的直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半。
初二数学下册直角三角形综合练习题
初二数学下册直角三角形综合练习题直角三角形是初中数学中一个重要的概念，它的研究和应用都占据了数学课程的一席之地。
通过直角三角形的综合练习题，我们可以进一步加深对直角三角形相关知识的理解和掌握。
本文将为大家提供一些初二数学下册直角三角形的综合练习题，以便同学们更好地巩固所学知识。
1. 已知直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边长度是多少？解析：根据勾股定理可知，在直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。
设另一条直角边为x，则根据勾股定理可得：10² = 6² + x²。
求解得x=8cm，所以另一条直角边的长度为8cm。
2. 已知一条直角边长为12cm，另一条直角边长为16cm，求斜边的长度是多少？解析：同样使用勾股定理，设斜边的长度为y，则根据勾股定理可得：y² = 12² + 16²。
求解得y=20cm，所以斜边的长度为20cm。
3. 已知一条直角边为5cm，斜边为13cm，求另一条直角边的长度是多少？解析：同样使用勾股定理，设另一条直角边的长度为z，则根据勾股定理可得：13² = 5² + z²。
求解得z=12cm，所以另一条直角边的长度为12cm。
通过以上的三道练习题，我们可以看到在解决直角三角形综合问题时，常常运用勾股定理来解题。
勾股定理是直角三角形的基本定理，掌握好这个定理对于解决直角三角形相关问题非常重要。
在实际应用中，勾股定理经常被用于测量不易直接测量的距离，例如测量山的高度、河的宽度等等。
除了勾股定理，我们还可以运用正弦定理和余弦定理来解决一些特殊情况下的直角三角形问题。
正弦定理：在一个三角形中，各边的长度与其对应的正弦值之间有一定的关系。
对于直角三角形来说，正弦定理可以简化为：sinA = 直角边1/斜边，sinB = 直角边2/斜边。
余弦定理：在一个三角形中，各边的长度与其对应的余弦值之间有一定的关系。
(完整版)八年级数学直角三角形单元测试题
八年级数学《直角三角形》单元测试题一、选择题（30分）1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长 （A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或253. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）644. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）5. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 6.. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.57.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________ A 25海里 B 30海里C 35海里D 40海里8.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9.如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM10.在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( )北 南 A东A.2a B.3a C.4aD.以上结果都不对 二、填空题（30分）1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .2.如右图,已知∠BAC=90°,∠C=30°,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,BE=1,则BC= .3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．4.点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．5.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.6.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA.7.如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D,DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm.8.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
八年级数学下册《直角三角形》练习题与答案(湘教版)
八年级数学下册《直角三角形》练习题与答案(湘教版)一、选择题1.小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线m,n上，测得，则的度数是( )A.450B.550C.650D.7502.如图，图中直角三角形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.下列三角形中，可以构成直角三角形的有( )A.三边长分别为2，2，3B.三边长分别为3，3，5C.三边长分别为4，5，6D.三边长分别为1.5，2，2.54.在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝( )A.34B.4C.4或34D.以上都不对5.如图， OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且OD=OE，则△AOD与△AOE全等的理由是( )A.SASB.ASAC.SSSD.HL6.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,则AB等于 ( )A.2B.3C.4D.68.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为(6a，2b－1)，则a和b的数量关系为( )A.6a－2b＝1B.6a＋2b＝1C.6a－b＝1D.6a＋b＝110.如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是( )A.∠C＝∠ABCB.BA＝BGC.AE＝CED.AF＝FD11.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝( )A. 6B. 3C. 2D. 1.512.如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD 相交于点P，连接AP.有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBD +S△PCE＝S△PBC.其中正确的个数是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题13.如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．14.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9 cm，则其腰长为________，顶角为________.15.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为.(结果保留根号)16.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．17.如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，DE⊥AC于E，AC＝4，S＝6，则点D到AB的距△ADC离是________.18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为.三、作图题19.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，BC=3．①在BC、BA上分别截取BD、BE，使BD=BE；②分别以D、E为圆心、以大于0.5DE的长为半径作圆弧，在∠ABC内两弧交于点O；③作射线BO交AC于点F．若点P是AB上的动点，则FP的最小值为．四、解答题20.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD.(1)若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；(2)若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数.21.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2.求证：△ADE≌△BEC.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.23.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知它的周长为626且c＝26.(1)比较大小：6____26.(2)求△ABC的面积．24.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝11，求BC的长．25.如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．参考答案1.D.2.C3.D.4.A.5.D.6.B.7.C8.D9.B10.B11.D.12.C13.答案为：25.14.答案为：18 cm 120°15.答案为：4＋2 2.16.答案为：8．17.答案为：3.18.答案为：6.19.答案为1．20.证明：(1)∵AB＝AC，∠B＝30°∴∠B＝∠C＝30°∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°∵∠BAD＝45°∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣45°＝75°，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝75°∴∠ADC＝∠CAD∴AC＝CD，即△ACD为等腰三角形；(2)解：有两种情况：①当∠ADC＝90°时∵∠B＝30°∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°；即∠BAD的度数是60°或30°.21.证明：∵∠1=∠2∴DE=EC.又∵∠A=∠B=90°，AE=BC∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).22.解：(1)∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°；(2)∵AD⊥BC∴△ADC是直角三角形∵∠C＝45°∴∠DAC＝45°∴AD＝DC∵AC＝2∴AD＝ 2.23.解：(1)>；(2)∵∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c它的周长为6＋26且c＝26∴a＋b＝6，a2＋b2＝c2＝26∴(a＋b)2＝36∴a2＋b2＋2ab＝36∴2ab＝10∴12ab＝52，即△ABC的面积为52.24.解：延长AD至点E，使AD＝ED，连结CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC ＝AB ＝ 2 ∴∠CED ＝∠BAD ＝90°.在Rt △AEC 中，∵AE 2＝AC 2﹣EC 2∴AE ＝（11）2－（2）2＝3∴AD ＝12AE ＝32. 在Rt △ABD 中，∵BD 2＝AB 2＋AD 2∴BD ＝172 ∴BC ＝2BD ＝17.25.解：(1)AC ＋CE ＝（8－x ）2＋25＋x 2＋81.(2)当A ，C ，E 三点共线时，AC ＋CE 的值最小．(3)如图，作BD ＝12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD(点A 与点E 在BD 的异侧)，使AB ＝2，ED ＝3，连结AE 交BD 于点C设BC ＝x ，则AE 的长即为x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值．过点E 作EF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F.在Rt △AEF 中，易得AF ＝2＋3＝5，EF ＝12∴AE ＝13x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值为13.。
解直角三角形测试题与答案
解直角三角形测试题与答案一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）1、在直角三角形中，若一个锐角为 30°，斜边与较小直角边的和为 12，则斜边的长为（）A 4B 6C 8D 10答案：C解析：设较小直角边为 x，则斜边为 2x，由题意得 2x ＋ x ＝ 12，解得 x ＝ 4，所以斜边为 8。
2、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA ＝，则 tanB 的值为（）A B C D答案：D解析：因为 sinA ＝，设 BC ＝ 4x，AB ＝ 5x，则 AC ＝ 3x，所以tanB ＝。
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ 8，∠A 的平分线 AD ＝，则 BC 的长为（）A 12B 10C 8D 6答案：B解析：因为 AD 是∠A 的平分线，所以∠CAD ＝∠BAC。
在Rt△ACD 中，cos∠CAD ＝，即，解得 CD ＝ 6。
在 Rt△ABC 中，BC ＝。
4、已知在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，tanA ＝，则 sinA 的值为（）A B C D答案：B解析：设 BC ＝ 3x，AC ＝ 4x，则 AB ＝ 5x，所以 sinA ＝。
5、如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，cosA ＝，BE ＝ 2，则tan∠DBE 的值是（）A B 2C D答案：C解析：因为 cosA ＝，设 AD ＝ 5x，AE ＝ 3x，则 DE ＝ 4x。
因为BE ＝ 2，所以 5x 3x ＝ 2，解得 x ＝ 1，所以 DE ＝ 4。
在 Rt△BDE 中，tan∠DBE ＝。
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，若 sinA ＝，AB ＝ 10，则 BC＝＿_______。
答案：6解析：因为 sinA ＝，所以，设 BC ＝ 3x，AB ＝ 5x，因为 AB ＝10，所以 5x ＝ 10，解得 x ＝ 2，所以 BC ＝ 6。
解直角三角形测试题与答案
解直角三角形测试题与答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、在直角三角形中，若一个锐角为 30°，斜边与较小直角边的和为 12，则斜边的长为（）A 4B 6C 8D 10答案：C解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
设较小直角边为 x，则斜边为 2x，由题意得 2x ＋ x ＝ 12，解得 x ＝ 4，所以斜边为 8。
2、已知在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA ＝，则 tanB 的值为（）A B C D答案：A解析：因为 sinA ＝，所以设 BC ＝ 3x，AB ＝ 5x，则 AC ＝ 4x。
所以 tanB ＝。
3、在△ABC 中，∠C ＝ 90°，AB ＝ 15，sinA ＝，则 BC 等于（）A 9B 12C 10D 6答案：B解析：因为 sinA ＝，所以 BC ＝ AB×sinA ＝ 15×＝ 9。
4、如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ 4，AB ＝ 5，则cosB 的值是（）A B C D答案：A解析：因为在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ 4，AB ＝ 5，所以BC ＝ 3。
所以 cosB ＝。
5、一个直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8，则其斜边上的高为（）A 48B 5C 3D 10答案：A解析：根据勾股定理可得斜边为 10，设斜边上的高为 h，根据面积相等可得 ×6×8 ＝ ×10×h，解得 h ＝ 48。
6、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，若 sinA ＝，则 cosA 的值为（）A B C D答案：B解析：因为 sin²A ＋ cos²A ＝ 1，sinA ＝，所以 cosA ＝。
7、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，CD⊥AB 于点 D，若AC ＝，BC ＝ 2，则 sin∠ACD 的值为（）A B C D答案：A解析：因为∠ACB ＝ 90°，AC ＝，BC ＝ 2，所以 AB ＝ 3。
初二直角三角形测试题与答案
直角三角形测试题一、选择题（共15小题）1．下列说法中不正确的是（）A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等C两个锐角分别相等的两直角三角形全等D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A．44°B．34°C．54°D．64°4．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确6．下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A．一条边对应相等B．两条直角边对应相等C．一个锐角对应相等D．两个锐角对应相等7．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA8．如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为（）A．65°B．35°C．55°D．45°9．在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（）A．15°B．30°C．60°D．90°10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）A．100度B．120度C．135度D．140度11．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL13．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°14．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（）A．4对B．3对C．2对D．1对15．下列说法错误的是（）A．直角三角板的两个锐角互余B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行C．如果两个角互补，那么，这两个角一定都是直角D．平行于同一条直线的两条直线平行二、填空题（共5小题）16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：（答案不唯一），使△ADB≌△CEB．17．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．16题图17题图18题图18．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：①AC∥DE；②∠A=∠3；③∠B=∠1；④∠B与∠2互余；⑤∠A=∠2．其中正确的有（填写所有正确的序号）．19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为度．20．在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于H点，且BH=AC，则∠ABC=．三、解答题（共5小题）21．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．22．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．23．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：△ADE≌△BEC．24．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．25．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE=OF．（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB=AC；（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB=OC，试说明AB与AC的关系；（3）当点O在△ABC外部时，且OB=OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）参考答案与解析：一、选择题（共15小题）1．下列说法中不正确的是（C）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（B）A．140°B．160°C．170°D．150°解答：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．分析：利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（A）A．44°B．34°C．54°D．64°解答：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故选A．分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．4．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（C）A．30°B．60°C．90°D．120°分析：根据直角三角形两锐角互余解答．5．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（B）A ．∠BAC =∠BADB ．AC =AD 或BC =BD C ．AC =AD 且BC =BD D ．以上都不正确6．下列可使两个直角三角形全等的条件是（B ）A ．一条边对应相等B ．两条直角边对应相等C ．一个锐角对应相等D ．两个锐角对应相等解答：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A 、C ； 而D 构成了AAA ，不能判定全等；B 构成了SAS ，可以判定两个直角三角形全等．故选：B ．分析：判定两个直角三角形全等的方法有：SAS 、SSS 、AAS 、ASA 、HL 五种．据此作答．7．如图，O 是∠BAC 内一点，且点O 到AB ，AC 的距离OE =OF ，则△AEO ≌△AFO 的依据是（A ）8．如图所示，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠D =35°，则∠A 的度数为（ B ）A ．65°B ．35°C ．55°D ．45°9．在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（ B ）A ．15°B ．30°C ．60°D ．90°10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ C ）A ．100度B ．120度C ．135度D ．140度解答：如图，∵∠C =90°，∴∠BAC +∠ABC =180°﹣90°=90°，∵AD 、BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线，∴∠OAB +∠OBA =21×90°=45°，∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．故选：C．分析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC+∠ABC=90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=45°，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．11．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（B）A．1个B．2个C．3个D．4个解答：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH=∠ADB=90°∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE∴∠HBD=∠EAH∵DH=DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD=AD，BH=AC②：∵BC=AC∴∠BAC=∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD∴∠ABC=45°∴∠BAC=45°∴∠ACB=90°∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°∴结论②为错误结论．③：由①证明知，△BDH≌△ADC∴BH=AC解④：∵CE=CD∵∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC∴结论④为错误结论综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选：B．分析：可以采用排除法对各个选项进行验证，从而得出最后的答案．12．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（C）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL13．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（C）A．90°B．100°C．110°D．120°解答：如图，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选：C．分析：由三角形内角和定理求得∠A=70°；由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．14．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（C）A．4对B．3对C．2对D．1对解答：相等的锐角有：∠B=∠CAD，∠C=∠BAD共2对．故选：C．分析：根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可．15．下列说法错误的是（C）A．直角三角板的两个锐角互余B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行C．如果两个角互补，那么，这两个角一定都是直角D．平行于同一条直线的两条直线平行二、填空题（共5小题）16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：AB=BC或BE=BD或EC=AD（答案不唯一），使△ADB≌△CEB．解答：AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，∠B=∠B∴△ADB≌△CEB（AAS）．答案：AB=BC．分析：要使△ADB≌△CEB，已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD 或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．17．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC=DE．18．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：①AC∥DE；②∠A=∠3；③∠B=∠1；④∠B与∠2互余；⑤∠A=∠2．其中正确的有①②③（填序号）．19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为60度．20．在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于H点，且BH=AC，则∠ABC = 45°或135°．解答：有2种情况，如图（1），（2），∵∠BHD=∠AHE，又∠AEH=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠HAE+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠C，∴∠C=∠BHD，∵BH=AC，∠HBD=∠DAC，∠C=∠BHD，∴△HBD ≌△CAD ，∴AD =BD ．如图（1）时∠ABC =45°；如图（2）时∠ABC =135°．∵AD =BD ，AD ⊥BD ，∴△ADB 是等腰直角三角形，∴∠ABD =45°，∴∠ABC =180°﹣45°=135°，故答案为：45°或135°．分析：根据高的可能位置，有2种情况，如图（1），（2），通过证明△HBD ≌△CAD 得AD =BD 后求解．三、解答题（共5小题）21．如图，已知∠A =∠D =90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB =CD ，BE =CF ． 求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE ．证明：∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，∵∠A =∠D =90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，⎩⎨⎧==CD AB CE BF ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）．分析：由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．22．已知：AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1=∠2，问：△ABC ≌△ADC 吗？说明理由．解：△ABC ≌△ADC ．理由如下：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B =∠D =90°．在△ABC 与△ADC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC AC D B 21，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）．分析：根据全等三角形的判定定理AAS 进行证明．23．如图，AD ∥BC ，∠A =90°，E 是AB 上的一点，且AD =BE ，∠1=∠2．求证：△ADE ≌△BEC ．证明：∵∠1=∠2，∴DE =CE ．∵AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠B =90°．∴△ADE 和△EBC 是直角三角形，而AD =BE ．∴△ADE ≌△BEC ．分析：此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．24．如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 上一点，且∠ACD =∠B ．求证：CD ⊥AB ．证明：∵∠ACB =90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．25．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE=OF．（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB=AC；证明：∵OE=OF，OB=OC，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；∴∠B=∠C，∴AB=AC．（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB=OC，试说明AB与AC的关系；AB=AC．证明：同（1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF；∴∠OBE=∠OCF；∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB；∴∠ABC=∠ACB；∴AB=AC．（3）当点O在△ABC外部时，且OB=OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）解：当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB=AC成立，如图①；当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立，如图②．（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）分析：（1）证△BOE≌△COF，可得∠B=∠C，通过等角对等边，得出AB=AC；（2）与（1）类似，在证得△BOE≌△COF后，得∠OBE=∠OCF，OB=OC；则∠OBC=∠OCB，可证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出AB=AC；（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB=AC的结论才成立（等腰三角形三线合一）．。
直角三角形练习题(含答案)
直角三角形练习题(含答案)题目一：已知直角三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5 cm，BC = 12 cm。
请计算AC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
根据已知条件，AB和BC分别为直角三角形ABC的两条直角边，可以带入勾股定理公式进行计算。
AC的长度可以计算如下：AC² = AB² + BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169AC = √169 = 13 cm因此，AC的长度为13 cm。
题目二：直角三角形DEF中，∠D = 90°，DE = 8 cm，DF = 15 cm。
请计算EF的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
根据已知条件，DE和DF分别为直角三角形DEF的两条直角边，可以带入勾股定理公式进行计算。
EF的长度可以计算如下：EF² = DE² + DF² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289EF = √289 = 17 cm因此，EF的长度为17 cm。
题目三：已知直角三角形GHI，其中∠G = 90°，GH = 9 cm，HI = 12 cm。
请计算GI的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
根据已知条件，GH和HI分别为直角三角形GHI的两条直角边，可以带入勾股定理公式进行计算。
GI的长度可以计算如下：GI² = GH² + HI² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225GI = √225 = 15 cm因此，GI的长度为15 cm。
题目四：直角三角形JKL中，∠J = 90°，JK = 6 cm，KL = 8 cm。
直角三角形练习题
直角三角形练习题一、选择题1. 在直角三角形中，若直角边长分别为3和4，则斜边长为：A. 5B. 7C. 8D. 92. 直角三角形的两条直角边分别为6和8，其面积为：A. 24B. 30C. 48D. 603. 如果一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为：A. 4B. 8C. 14D. 无法确定4. 直角三角形的周长是60，斜边长为25，一条直角边长为15，则另一条直角边长为：A. 15B. 20C. 25D. 无法确定5. 一个直角三角形的两条直角边的比为1:2，如果斜边长为5，则较短的直角边长为：A. 1B. 2C. 5D. 10二、填空题6. 直角三角形的斜边长为13，如果一条直角边长为5，则另一条直角边长为________。
7. 直角三角形的面积公式为________，其中a和b分别为两条直角边长。
8. 如果直角三角形的两条直角边长分别为x和y，斜边长为z，则根据勾股定理，有________。
9. 直角三角形的内角和为________度。
10. 若直角三角形的两条直角边长分别为7和24，则其周长为________。
三、计算题11. 已知直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求其面积和周长。
12. 一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为8，求另一条直角边长。
13. 一个直角三角形的周长为40，斜边长为15，如果一条直角边长为11，求另一条直角边长。
14. 已知直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为16，求其面积。
15. 一个直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c。
如果a:b=3:4，c=10，求a和b的具体数值。
四、解答题16. 一个直角三角形的斜边长为26，一条直角边长为10，求该三角形的高。
17. 一个直角三角形的两条直角边长分别为15和20，求该三角形的内切圆半径。
18. 一个直角三角形的两条直角边长分别为x和y，斜边长为z。
如果x+y+z=60，且x^2+y^2=z^2，求x，y和z的具体数值。
初二数学 直角三角形练习题
初二数学直角三角形练习题一．选择题1．答案：D．2．答案：B．3．答案：A．4．答案：C．5．答案：C．二．填空题6．答案：9．7．答案：3．8．答案：①和③．9．答案：$3\sqrt{3}$．一．选择题1．正确语句的个数是（）A．0.B．1.C．2.D．32．能断定两直角三角形全等的条件有（）A．1个。
B．2个。
C．3个。
D．4个3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）A．8.B．5.C．3.D．24．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10.B．6.C．8.D．55．如图，在△ABC中，CD⊥XXX于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）A．21.B．18.C．13.D．15二．填空题6．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=9cm．7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动3秒时，△DEB与△BCA全等．8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD-BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）：①和③．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为$3\sqrt{3}$．10.在三角形ABC中，角ACB为直角，角B为30度，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上的一个动点。
初二数学上册三角形练习题含答案
初二数学上册三角形练习题含答案题一：已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC的长度。
解：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
假设AC=x，则AC²=AB²+BC²。
代入已知数据，得到x²=5²+12²，即x²=25+144，x²=169，解方程得x=13。
所以AC的长度为13cm。
题二：已知△DEF中，DE=6cm，DF=8cm，EF=10cm，判断△DEF的形状。
解：根据三角形的边长关系，任意两边之和必须大于第三边。
以DE、DF、EF作为三角形的三条边，计算它们的和：DE+DF=6+8=14cmDE+EF=6+10=16cmDF+EF=8+10=18cm由于DE+DF=14cm小于EF=10cm，所以三边不能构成△DEF。
因此，题目中给出的边长不能构成三角形。
题三：已知△GHI中，∠G=60°，IH=6cm，GH=3cm，求HI的长度。
条边的长度相等，每个角都是60°。
因此，HI的长度等于GH=3cm。
题四：已知△JKL中，∠J=90°，JK=8cm，JL=10cm，求KL的长度。
解：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
假设KL=x，则KL²=JK²+JL²。
代入已知数据，得到x²=8²+10²，即x²=64+100，x²=164，解方程得x=√164。
所以KL的长度为√164 cm。
题五：已知△MNO中，MN=15cm，NO=20cm，MO=25cm，判断△MNO的形状。
解：根据三角形的边长关系，任意两边之和必须大于第三边。
以MN、NO、MO作为三角形的三条边，计算它们的和：MN+NO=15+20=35cmMN+MO=15+25=40cmNO+MO=20+25=45cm由于MN+NO=35cm小于MO=25cm，所以三边不能构成△MNO。
初二数学直角三角形试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=3cm，BC=4cm，则AB的长度为（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm2. 在直角三角形ABC中，∠B=30°，AB=6cm，则BC的长度为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm3. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=√3，BC=2，则AB的长度为（）A. √2B. √6C. √3D. 2√34. 在直角三角形ABC中，∠B=45°，AB=6cm，则BC的长度为（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm5. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=√2，BC=√2，则AB的长度为（）A. √2B. 2√2C. 4√2D. 6√2二、填空题（每题4分，共20分）6. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB的长度为____cm。
7. 在直角三角形ABC中，∠B=30°，AB=10cm，则BC的长度为____cm。
8. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=√3，BC=√2，则AB的长度为____cm。
9. 在直角三角形ABC中，∠B=45°，AB=6cm，则BC的长度为____cm。
10. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=√2，BC=√2，则AB的长度为____cm。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=5cm，BC=12cm，求斜边AB的长度。
12. 在直角三角形ABC中，∠B=30°，AB=10cm，求斜边AC的长度。
13. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=√3，BC=√2，求斜边AB的长度。
四、证明题（10分）14. 已知直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，BC=12cm，证明：AC=13cm。
初二数学直角三角形试题
初二数学直角三角形试题1.点M（﹣6，8）离原点的距离是几单位长度（）A．3B．4C．5D．10【答案】D【解析】由题意知原点坐标为（0，0），直接利用两点间的距离公式求解即可．解：∵M（﹣6，8），原点O坐标为（0，0），∴OM===10．故选D．2.如图，A、B两点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，5），则线段AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】C【解析】直接根据两点间的距离公式进行解答即可．解：∵A、B两点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，5），∴AB===5．故选C．3.点M（2，3），N（﹣2，4），则MN应为（）A．17B．1C．D．【答案】C【解析】根据两点间的距离公式计算．解：MN==．故选C．4.在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），则线段AB的中点到原点的距离是（）A．2B．1C．D．2【答案】C【解析】根据点A、B的坐标易求线段AB中点的坐标是（1，1），然后由两点间的距离公式求得该点到原点的距离．解：∵在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），∴线段AB中点的坐标是（1，1），∴线段AB的中点到原点的距离是：=．故选：C．5.在直角坐标平面中，如果线段AB的两个端点的坐标分别为（3，5）和（﹣1，2），那么线段AB的长为．【答案】5【解析】直接根据直角坐标系中两点的距离公式计算即可．解：∵线段AB的两个端点坐标分别为（3，5）和（﹣1，2），∴AB==5．故答案是：5．6.如图，已知直线a与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），线段AB的垂直平分线b交y轴于点C（0，1），则AC的长为．【答案】【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段上两端点的距离相等知AC=CB；然后根据两点间距离公式求得BC=，即AC=．解：∵线段AB的垂直平分线是b，∴AC=CB；又∵CB==；∴AC=．故答案是：．7.在直角坐标系中，坐标轴上到点P（﹣3，﹣4）的距离等于5的点的坐标是．【答案】（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）【解析】由P（﹣3，﹣4）可知，P到原点距离为5，而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点分别与x轴、y轴交于另外一点，共有三个．解：∵P（﹣3，﹣4）到原点距离为5，而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点且分别交x轴、y轴于另外两点（如图所示），∴故坐标轴上到P点距离等于5的点有三个：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．故答案是：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．8.在直角坐标平面中，如果线段AB的两个端点坐标分别为（5，﹣2）和（2，3），那么线段AB的长为．【答案】【解析】根据两点间的距离公式得到AB=，然后计算根号内的平方运算和加法运算．解：根据题意得AB===．故答案为：．9.已知点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（﹣1，3），那么A、B两点之间的距离是．【答案】5【解析】根据两点间的距离公式：d=，解答并填空．解：∵点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（﹣1，3），∴A、B两点之间的距离是：=5．故答案是：5．10.已知直角坐标平面中两点分别为A（2，﹣1），B（5，3），那么AB=．【答案】【解析】直接根据两点间的距离公式求解．解：AB==．故答案为．。
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一．选择题（共5小题）1．已知下列语句：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（3）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）两个直角三角形全等．其中正确语句的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）A．8 B．5 C．3 D．24．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10 B．6 C．8 D．55．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．15二．填空题（共10小题）6．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ 全等时，AQ=cm．7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA 全等．8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P 为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为．11．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长是cm．12．如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=．13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于．14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．15．如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=5，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB 的中点，则△DEF的周长是．三．解答题（共11小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．17．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．18．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．19．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC，AC=9cm，求CE的长．20．如图所示，AB=AC，∠A=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，若GF=4，求CF的长．21．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．22．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=12厘米，AB的值是等式x3﹣1=215中的x 的值．点P从点A开始沿AB边向B点以1.5厘米∕秒的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向C点以2厘米∕秒的速度移动．①求AB的长度﹙厘米﹚．②如果P、Q分别从A、B两点同时出发，问几秒钟后，△PBQ是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积．23．已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．24．如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．25．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．（1）求证：BE⊥AC；（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．2017年02月16日精锐教育4的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2016秋•东宝区校级期中）已知下列语句：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（3）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）两个直角三角形全等．其中正确语句的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据全等三角形的判定定理HL、SAS、AAS、ASA分别进行分析即可．【解答】解：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；（3）三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误；（4）两个直角三角形全等，说法错误．故选：A．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形全等的判定定理．2．（2015秋•武汉校级期中）对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择即可．【解答】解：①两条直角边对应相等，根据“SAS”，正确；②斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确；③斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；④直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确；故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定定理，除HL外，一般三角形的全等有四种方法，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．3．（2014春•栖霞市期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）A．8 B．5 C．3 D．2【分析】根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证△AEC≌△CDB后求解．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠CAE=∠BCD，又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，∴△AEC≌△CDB．∴CE=BD=2，CD=AE=5，∴ED=CD﹣CE=5﹣2=3（cm）．故选C．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解题的关键．4．（2016春•罗湖区期末）如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10 B．6 C．8 D．5【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．【解答】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解决问题的关键．5．（2016秋•苏州期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F 为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．15【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．【解答】解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，∴DF=BC=×8=4，∵BE⊥AC，F为BC的中点，∴EF=BC=×8=4，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13．故选C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．二．填空题（共10小题）6．（2016秋•瑞安市校级期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A 的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=cm．【分析】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解答】解：要使△AFC与△ABQ全等，则应满足，∵AQ：AB=3：4，AQ=AP，PC=4cm，∴AQ=．故答案为：．【点评】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．7．（2015秋•沛县校级月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D 为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动0，2，6，8秒时，△DEB与△BCA全等．【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AC=BE进行计算即可．【解答】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8﹣4=4，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；②当E在BN上，AC=BE时，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8+4=12，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，点E的运动时间为16÷2=8（秒），故答案为：0，2，6，8．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2009秋•大港区期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是①②④（将你认为正确的答案序号都写上）．【分析】首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ADC=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，故答案为①、②、④．故填①、②、④．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定与性质；要充分利用全等三角形的性质来找到结论，利用相等线段的等量代换是正确解答本题的关键；9．（2016•黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED 交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．10．（2016•贵阳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为4或6．【分析】根据直角三角形的性质得到∠ACD=∠ABC=30°，根据含30°的角的直角三角形的性质得到AD=AC=，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AD⊥AB，∴∠ACD=∠ABC=30°，∴AC=BC=2，∴AD=AC=，①当AP=AB=4时，∴PD==3，∵BD=BC=3，∴PB==6，②当PB=AB=4，综上所述：PB=4或6．故答案为：4或6．【点评】本题考查了含30°的角的直角三角形的性质，勾股定理等腰三角形的性质，熟练掌握含30°的角的直角三角形的性质是解题的关键．11．（2016秋•罗庄区期末）如图，在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长是9cm．【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=BD，根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC的长．【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点E，BD=18cm，∴AD=BD=18cm，∵在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，∠ADC=30°，∴AC=AD=9cm．故答案为：9．【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和含30°直角三角形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键．12．（2016秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=6．【分析】先由垂直的定义及三角形内角和定理得出∠BDA=75°，根据三角形外角的性质得出∠DAC=60°，再由角平分线定义求得∠BAD=60°，则∠FEA=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到EF=2，再求出∠FBE=30°，进而得出BF=EF=6．【解答】解：∠DBE=15°，∠BED=90°，∴∠BDA=75°，∵∠BDA=∠DAC+∠C，而∠C=15°，∴∠DAC=60°，∵AD为∠CAB平分线，∴∠BAD=∠DAC=60°，∵EF⊥AB于F，∴∠FEA=30°，∵AF=2，∴EF=2，∵∠FEB=60°，∴∠FBE=30°，∴BF=EF=6．故答案为6．【点评】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，综合性较强，难度适中．13．（2016春•绍兴校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于4．【分析】延长BA、CD交于E，求出∠E，求出DE、CE长，在Rt△CBE中，求出BC，在Rt△CBD中，根据勾股定理求出BD即可．【解答】解：延长BA、CD交于E，∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°，∴DE=2AD=8，∴CE=10+8=18，∵tan∠ABC=，∴tan60°=，BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD===4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中．14．（2016•郑州校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为+1．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2，∴OE=AE=AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE===，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为+1．故答案为：+1．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．15．（2016秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=5，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC=7，BC=5，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，∴△BCE是直角三角形，EF是Rt△BCE的中线，EF=BF=FC=BC=，又∵点D是AB的中点，∴DF是Rt△AFB的中线，也是Rt△AEB的中线，∴DE=DF=AC=，∴三角形DEF的周长=DE+DF+EF=++=，故答案为．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．三．解答题（共11小题）16．（2016秋•临沂期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD ⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，∴AB⊥AC．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．17．（2009秋•澄海区校级期中）如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．【分析】①如图1，过C作CM⊥x轴于M点，则可以求出△MAC≌△OBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故点C的坐标为（﹣6，﹣2）．②如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD（AAS）进一步可得PQ=OA=2，即OP﹣DE=2．【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，∵∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，则∠MAC=∠OBA，在△MAC和△OBA中∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM=OA=2，MA=OB=4，∴OM=OA+AM=2+4=6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）．（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ∴OP﹣DE=OP﹣OQ=PQ，∵∠APO+∠QPD=90°，∠APO+∠OAP=90°，∴∠QPD=∠OAP，在△AOP和△PQD中，，∴△AOP≌△PQD（AAS）．∴PQ=OA=2．即OP﹣DE=2．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大．18．（2008秋•上饶期末）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF 了．【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．19．（2012秋•巫山县期末）如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC，AC=9cm，求CE的长．【分析】在三角形ABC中，由A和C的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再由BE平分∠ABC，可得出∠EBA=∠A=∠CBE=30°，利用等角对等边得到BE=AE，设CE=x，由AC﹣CE及AC的长表示出AE，可表示出BE，在三角形BCE中，由=∠CBE=30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得出CE为BE的一半，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CE的长．【解答】解：∵△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°，又BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE=∠ABC=30°，∴∠ABE=∠A=30°，∴EB=EA，又AC=9cm，设EC=xcm，则AE=BE=AC﹣CE=（9﹣x）cm，在Rt△BCE中，∠CBE=30°，∴CE=BE，即x=（9﹣x），解得：x=3，则CE=3．【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及角平分线的性质，利用了方程的思想，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．20．（2010秋•本溪期中）如图所示，AB=AC，∠A=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，若GF=4，求CF的长．【分析】连接AF，由AB=AC，且∠BAC=120°，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠B与∠C的度数为30°，再由EF垂直于AB，EG垂直于BC，得到两对角互余，利用同角的余角相等得到∠GEF的度数为30°，在直角三角形EFG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由GF的长求出EF的长，在直角三角形EFB中，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由EF的长求出BF的长，即为AF的长，由∠BAC﹣∠BAF求出∠FAC为直角，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由AF的长即可求出FC的长．【解答】解：连接AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF⊥AB，EG⊥BF，∴∠BEG+∠GEF=90°，又∠B+∠BEG=90°，∴∠GEF=∠B=30°，∵GF=4，∴在Rt△GEF中，EF=2GF=8，∴在Rt△BEF中，BF=2EF=16，∵EF垂直平分AB，∴AF=BF=16，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=120°﹣30°=90°，又∵∠C=30°，∴FC=2AF=32．【点评】此题考查了含30°直角三角形的性质，线段垂直平分线定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21．（2009秋•崇明县期末）已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质进行证明；（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．【解答】（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD=∠CAB=60°．又∠ABC=∠ADC=90°，∴AD=AC，AB=AC，∴AB+AD=AC．（2）解：结论仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°，∵AC平分∠MAN，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE=BF．∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE=AC，AF=AC，则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=AC．∴AD+AB=AC．【点评】此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含30°角的直角三角形的知识；作出辅助线是正确解答本题的关键．注意：在探索（2）的结论的时候，能够运用（1）的结论．22．（2009秋•荆州区校级期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=12厘米，AB 的值是等式x3﹣1=215中的x的值．点P从点A开始沿AB边向B点以1.5厘米∕秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2厘米∕秒的速度移动．①求AB的长度﹙厘米﹚．②如果P、Q分别从A、B两点同时出发，问几秒钟后，△PBQ是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积．【分析】先计算x3﹣1=215，易求x=6，即AB=6，再设经过x秒后，△PBQ是等腰三角形，那么有6﹣1.5x=2x，易得x=，再根据三角形面积公式易求其面积．【解答】解：（1）∵x3﹣1=215，∴x3=216，∴x=6，故AB=6cm；（2）设经过x秒后，△PBQ是等腰三角形，那么BP=BQ，即6﹣1.5x=2x，解得x=，∴S=BP2=×（）2=．△PBQ答：经过秒钟后，△PBQ是等腰三角形，此时这个三角形的面积是．【点评】本题考查了立方根的计算、三角形的面积计算、等腰三角形的性质．解题的关键是先画图，并求出AB．23．（2016秋•青龙县期末）已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．【分析】连接AE，DE，由直角三角形斜边的中线是斜边的一半易得AE=DE=，由全等三角形的判定定理可得△AEF≌△DEF，由全等三角形的性质定理可得∠AFE=∠DFE=90°，即得出结论．【解答】解：连接AE，DE，∵∠BAC=∠BDC=90°，BE=EC，∴AE=，DE=，∴AE=DE，在△AEF与△DEF中，，∴△AEF≌△DEF（SSS），∴∠AFE=∠DFE=90°，即EF⊥AD．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线和全等三角形的判定及性质，作出适当的辅助线是解答此题的关键．24．（2016春•广饶县期末）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC，ME=BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．【解答】解：（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=BC，ME=BC，∴DM=ME又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），=360°﹣2（∠ABC+∠ACB），=360°﹣2（180°﹣∠A），=2∠A，∴∠DME=180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC，=2（180°﹣∠A），=360°﹣2∠A，∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A），=2∠A﹣180°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．25．（2016秋•常熟市期中）如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．（1）求证：BE⊥AC；（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM=BC，再求出ME=BM=CM=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF+∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，∴MF=BM=CM=BC，∵ME=MF，∴ME=BM=CM=BC，∴BE⊥AC；（2）解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵ME=MF=BM=CM，∴∠BMF+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）=360°﹣2×130°=100°，在△MEF中，∠FME=180°﹣100°=80°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用．26．（2016秋•锡山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DE⊥AB，再根据垂直于同一直线的两直线平行证明；（2）利用勾股定理列式求出DE的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE，然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三种情况讨论求解．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，∴BD=AD=AC，∵DE是∠ADB的角平分线，∴DE⊥AB，又∵∠ABC=90°，∴DE∥BC；（2）解：∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，∴DE==4，∵DE⊥AB，AD=BD，∴BE=AE=3，①DE=EP时，BP==，②DP=EP时，BP=DE=×4=2，③DE=DP时，过点D作DF⊥BC于F，则DF=BE=3，由勾股定理得，FP==，点P在F下边时，BP=4﹣，点P在F上边时，BP=4+，综上所述，BP的值为，2，4﹣，4+．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，难点在于（2）要分情况讨论．。