摩擦角及应用
摩擦角概念在物理解题中的应用
摩擦角概念在物理解题中的应用1 摩擦角的概念如图1所示，物体与地面之间的动摩擦因数为μ，物体受到斜向上的拉力F作用，向右运动。
当拉力的大小和方向变化时，物体受到的滑动摩擦力大小也变化。
设水平面对物体的支持力为FN，滑动摩擦力为f，FN和f的合力称为全反力，用R表示，设R与FN的夹角为α，如图2所示。
由几何关系，有tanα=fFN=μ，得α=arctanμ。
即全反力与支持力的夹角α为定值，这个α角就称为摩擦角。
摩擦角的大小与FN、f的大小无关，由动摩擦因数μ决定。
2 全反力与动态分析解析本题难度比较大，如果采用三角函数求极值的方法，运算过程比较复杂，数学功底不扎实的可能还求不出来。
若引入全反力，用矢量图解法进行动态分析，求解过程将会很简捷。
分析过程如下。
物体受四个力作用，重力mg、支持力FN、摩擦力f、拉力F， FN和f的合力也即全反力用R表示，设R与FN的夹角为α，如图3所示，由上述摩擦角的概念知道，tanα=μ。
当拉力F的方向变化时，全反力R的大小也将变化，但方向保持不变。
引入全反力R，将四力平衡问题转化为三力平衡的问题，由于物体匀速运动，则mg、R、F的合力为零，表示这三个力的矢量可以做成一个封闭的矢量三角形。
改变F与水平方向的夹角θ，可以得到不同的封闭的矢量三角形，即动态三角形，如图4所示。
由图4的动态三角形，可以得到以下结论：在θ由0°变化到90°过程中，拉力F先变小后变大，并且在F⊥R 时，F有最小值；在θ由0°变化到90°过程中，R一直变小。
由上面的结论可以得到，选项A正确。
由于物体匀速运动，有3 摩擦角与自锁现象在上面的讨论中，物体在运动，物体受到的摩擦力是滑动摩擦力。
若物体在外力作用下处于静止状态，物体受到的摩擦力是静摩擦力，那么，静摩擦力f静与支持力FN的合力即全反力R与支持力的夹角有什么特点呢？在图1中，当物体受到拉力F作用静止时，用f静表示物体受到的静摩擦力，设静摩擦力f静与支持力FN的合力即全反力R与支持力的夹角为β，则有tanβ=f静FN，由于f静≤μFN，得到tanβ≤μ=tanα，即β≤α。
摩擦角在解题中的应用
摩擦角在解题中的应用作者：徐伟岸来源：《新教育时代·教师版》2016年第45期如图1，物体在粗糙的水平面上向右运动，设物体所受到的支持面的弹力为N，滑动摩擦力为f，支持面对物体的作用力为F，Fμ与N的μμμμ夹角为θ，动摩擦因素为μ，则tanθ=f/F=μ，θ就是摩擦角，由于f与N成正比，μ一定时有θ为定值。
下面例举几个利用此特点来解决的问题：问题1：物体在粗糙的斜面体上沿斜面正匀速下滑，斜面体始终静止，问斜面体受到地面的摩擦力是多少？分析：因为物体匀速下滑，物体受的合力为零，所以必有图2中的F竖直向上，由几何关系易证明θ=α（斜面的倾角）=定值。
又因F是斜面对物体的作用力，所以物体对斜面的反作用力F必竖直向下，斜面体没有水平方向的动力也就没有水平方向的运动趋势，斜面体受到的地面的摩擦力为零。
变式1：如果在物体正沿斜面下滑中再加一个沿斜面向下的力作用在物体上，斜面体受到地面的摩擦力又会怎样？分析：显然，此时的物体将加速沿鞋面下滑，合理不为零，但N和f都不变，所以F和F’也不变，所以结果同上。
变式2：如果在物体正沿斜面下滑中再加任一方向的力于物体，且物体继续沿斜面下滑过程中，斜面体受到地面的摩擦力又会怎样？分析：此时虽不能具体知道该力的大小和方向，N的大小有可能不变、变大或变小三种情形，但不管哪种形式f总是与N成正比，且又因N的方向不变，动摩擦因素μ不变，所以摩擦角θ不变，从而F的方向一定还是竖直向上的。
当然F的大小可能相应的不变、变大或变小，但这绝不会影响F’的方向一定时竖直向下的，所以斜面体受到地面的摩擦力仍然为零。
如果物体当初沿斜面是加速下滑，斜面体仍始终静止，此时斜面体受到地面的摩擦力又会如何？也有类似的结论吗？如图3所示。
此时易得图3中的摩擦角θ小于α，F的方向向上往左偏，从而F’的方向向下往右偏，此时静止的斜面体受到地面的摩擦力必向左，所以同样有类似的结论：当突然给正沿斜面加速下滑的物体一个（或多个）任意方向的力在物体仍沿斜面下滑期间，地面给斜面体的摩擦力方向不变，但大小会有相应的变化。
摩擦角及应用
摩擦角及其应用提要：建立摩擦角的概念，知道用摩擦角解平衡问题的思路，会用摩擦角解题关键词：全反力；摩擦角；最大静摩擦角；临界平衡一、摩擦角的概念①全反力：物体所受的正压力与摩擦力的合力，图1中的F 就是全反力，N 为物体所受的正压力，f k 为摩擦力。
动摩擦角：物体受动摩擦力作用时，正压力N 与全反力F 的夹角，图1中的κϕ就是动摩擦角 tan =k ϕ-1N f k =tan -1k μ 说明：接触面一定，动摩擦因数k μ一定，动摩擦角k ϕ就一定静摩擦角：物体所受静摩擦力作用时，正压力N 与全反力F ’的夹角。
图2中的角s ϕ就是静摩擦角s ϕ= tan -1N f s 最大静摩擦角：物体所受最大静摩擦力f m 作用时，正压力N 与全反力F 的夹角。
图2中的角m ϕ就是最大静摩擦角m ϕ= tan -1N f m = tan -1s μ 说明：接触面一定，静摩擦因数s μ一定，最大摩擦角m ϕ就一定一般情况下，物体平衡时，静摩擦力不超过最大静摩擦力，即s ϕ≤m ϕ，其中s ϕ=m ϕ是临界平衡状态。
判断一个受摩擦力的物体是否能静止时，可先假设该物体静止，由平衡条件求出此时全反力与正压力间的夹角s ϕ= tan -1N f s ，然后判断：若s ϕ≤m ϕ，物体能静止平衡或临界平衡，假设正确；若s ϕ>m ϕ，物体不能静止平衡，F Nf k κϕ 图1F'N f s f m F s ϕm ϕ 图2假设错误。
二、意义引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。
尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定）这里特别补充说明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0等效于三力共点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交三、应用摩擦角解12年高考24题第2问1、（2012新课标）24（14分）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图3）。
自锁现象与摩擦角
v0 2m / s 的初速度，在于斜面成某一夹角的拉力 F 作用下，沿斜面向上做匀加 速运动，经 t 2s 的时间物块由 A 点运动到 B 点， A 、 B 之间的距离 L 10m 。
已知斜面倾角 30 ，物块与斜面之间的动摩擦因数 3 。重力加速度 g 取
3
10m / s （1）求物块加速度的大小及到达 B 点时速度的大小。 （2）拉力 F 与斜面的夹角多大时，拉力 F 最小？拉力 F 最小值是多少？
FRmax
N
φm
fsm
F
φm：摩擦角
摩擦角和摩擦因数表示材料摩 擦性质的物理量；
tan m
f sm N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在其他因素变化时，只要接触 面的摩擦因数不变，全反力的 方向就不会变，这不仅减少了 物体的受力个数，且使问题大 大简化，这是物理学研究中处 理力学问题的重要思想方法；
02 摩擦角
【2017年高考全国卷II第16题】
如图1，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F
的大小不变，而方向与水平面成60°，物块也恰好做匀速直线运动。物块
与桌面间的动摩擦因数为（ ）
FR φm
fm
摩擦角
tanm
f N
两次摩擦角不变：
F mg
F cos 60 mg F sin 60
解得， 3
3
02 摩擦角---拉密定理
F'sin ' f '
F sin (mg F cos)
滑动
F mg
自锁
F sin F cos
tan
02 摩擦角
定义：当物体与接触面间存在弹力和摩擦力时，把接触面对物体的弹力N和摩擦 力f的合力称做支撑面的全反力FR。当摩擦力为滑动摩擦力时，全反力与支持力 间的夹角最大,称为摩擦角。
3摩擦角的应用
摩擦角的运用摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）f N F F μ=，支持面的支持力N F 的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力F （以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力F 与支持力N F 的方向成1tan μ-角，而这个角就称之为摩擦角。
解析：由摩擦公式: f N F F μ= 得tan f NF F μϕ==，即摩擦角引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。
尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定），这里特别补充说明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0，等效于三力共点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交。
经典例题例1.如图所示，用绳通过定滑轮物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物块与地面的摩擦因素1μ<，滑轮的质量及摩擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是（ ）。
A.绳子的拉力将保持不变B.绳子的拉力将不断增大C.地面对物块的摩擦力不断减小D.物块对地面的压力不断减小 例2.如图所示，倾角45º的斜面上，放置一质量m 的小物块，小物块与斜面的动摩擦因素33μ=，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是（ ）。
A. 0sin15mg ，与水平成15º斜向右 B. 0sin 30mg ，竖直向上 C. 0sin 75mg ，沿斜面向上 D. 0tan15mg ，水平向右例3.水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)μμ<<。
摩擦角及在高考中的应用
设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间 （2）有固定转动轴物体的平衡条件是合力矩为零，即∑Fx=0，也就是顺时针力矩之和等于逆时针力矩之和。
即物体在互相不平行的三个力作用下处于平衡状态时，这三个力必定共面共点，合力为零。
高考山东理综物理试题
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设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；
绳求端这A一的临与速界度角此逐的渐正时减切小ta地nθ0。板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角
θ ，若θ≤θ ，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能 若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。
夹角为θ。 绳端拉力F的功率逐渐减小
绳端拉力F的功率逐渐减小
即绳物端体 A的在（速互度相1逐不）渐平减行若小的三拖个力把作用头下处在于平地衡状板态时上，这匀三个速力必移定共动面共，点，求合力推为零拖。 把的力的大小。
（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力 拉密定理 （拉密原理）（Lami's theorem）：在两个力夹角正弦的比值相等，即：F1/sinα=F2/sinβ=F3/sinγ。
即物体在互相不平行的三个力作用下处于平衡状态时，这三个力必定共面共点，合力为零。
如图所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。
当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力FS达到最大值Fmax，此时FR 与FN 的夹角也最大，此时的φm称为摩擦角。
合力为零，合力矩同时为零，即∑Fx=0，∑Fy=0，∑M=0。
摩擦角及在高考中的应用
摩擦角定理
摩擦角定理
摩擦角定理是物理学中的一个重要概念，它描述了摩擦力与接触面法向反力之间的关系。
这个定理在许多工程和科学领域中都有广泛的应用，如机械设计、土木工程、材料科学等。
摩擦角定理指出，当一个物体在接触面上滑动时，它所受到的摩擦力的大小等于接触面法向反力与摩擦系数的乘积。
这个定理可以通过实验验证，并且在许多情况下都得到了很好的应用。
摩擦角定理的应用非常广泛。
例如，在机械设计中，工程师可以利用摩擦角定理来设计更高效的传动系统，提高机器的效率和性能。
在土木工程中，工程师可以利用摩擦角定理来设计更稳定的桥梁和建筑物，确保其安全性和稳定性。
此外，摩擦角定理还可以用于材料科学的研究。
通过研究不同材料的摩擦性能，可以了解材料的表面结构和性质，进一步探索材料的物理和化学性质。
需要注意的是，摩擦角定理只适用于理想情况下的滑动摩擦。
在实际应用中，由于各种因素的影响，如温度、湿度、压力等，摩擦力的大小和方向可能会发生变化。
因此，在应用摩擦角定理时，需要考虑这些因素对摩擦力的影响。
总之，摩擦角定理是物理学中的一个重要概念，它为我们提供了理解和描述摩擦现象的基础。
通过深入研究和应用摩擦角定理，我们可以更好地理解物体的运动规律，提高工程和科学领域的效率和质量。
桩土摩擦角
桩土摩擦角摘要：1.桩土摩擦角的定义2.桩土摩擦角的影响因素3.桩土摩擦角在实际工程中的应用4.桩土摩擦角的计算方法5.桩土摩擦角对桩基稳定性的重要性正文：一、桩土摩擦角的定义桩土摩擦角，又称桩土界面摩擦角，是指桩身与周围土体之间的摩擦角，是土体对桩身产生摩擦力的关键参数。
摩擦角决定了土壤对桩身支撑力的大小，影响桩基的稳定性和承载能力。
二、桩土摩擦角的影响因素1.土壤类型：不同类型的土壤对桩身产生的摩擦角不同。
一般来说，黏性土的摩擦角较大，砂质土的摩擦角较小。
2.土壤湿度：土壤湿度对桩土摩擦角有很大影响。
湿度较大的土壤对桩身的摩擦力较大，湿度较小的土壤对桩身的摩擦力较小。
3.桩身直径：桩身直径越大，与土壤接触面积越大，摩擦力越大，摩擦角也越大。
4.桩身埋深：桩身埋深越大，受到的土压力越大，摩擦角也越大。
三、桩土摩擦角在实际工程中的应用桩土摩擦角是桩基设计中一个非常重要的参数。
在桩基设计中，需要根据土壤类型、湿度、桩身直径和埋深等因素，确定合适的桩土摩擦角，以保证桩基的稳定性和承载能力。
四、桩土摩擦角的计算方法桩土摩擦角的计算方法有多种，常见的有摩阻力法、平衡法、极限承载力法等。
在实际工程中，一般采用摩阻力法进行计算。
摩阻力法的基本原理是：桩身在土体中受到的摩擦力与桩身受到的垂直压力成正比，可以通过实验或经验公式计算出桩土摩擦角。
五、桩土摩擦角对桩基稳定性的重要性桩土摩擦角对桩基稳定性具有重要意义。
如果摩擦角过大，桩基承受的荷载会增大，可能导致桩基稳定性不足，引发安全事故。
如果摩擦角过小，桩基承载能力会降低，影响建筑物的正常使用。
3.第三讲 摩擦角及其应用
m
C
A
B
的重物，为了使杆保持平衡，试问 A
Байду номын сангаас
所需动摩擦因数的最小值与悬点的位置有何关系？ （1）������ ≥ ������������������������ （2）������ ≥
2������−������ ������ +������
������������������������ B
F
1/2
（3）静摩擦角 φs：全反力与法向的夹角，静摩擦角随外界条件变化而变化，但不会超 过最大静摩擦角 φsm。在 φs≤φsm 的情况下，物体始终处于静止状态。
6.2 例题分析 例 1．如图，用绳通过定滑轮牵引物块,使物块在水平面上从图示位置开 始沿地面做匀速直线运动。若物块与地面间的摩擦系数为 μ(μ＜1)，滑 轮的质量和摩擦均可不计。则在物块运动的过程中，以下叙述正确的是 ( BCD ) （A）绳子的拉力将保持不变（B）绳子的拉力将不断增大 （C）地面对物块的摩擦力不断减少（D）物块对地面的压力不断减小 例 2．放在平面上的物体 A 重为 G，用水平力 F 去推它，设摩擦角为 φ，试分析当 F 为多大 时，可以推动物体 A。 ������ > ������������ 例 3．如图所示，一个质量为 m 的物体放在固定斜面上，斜面倾角为������，物 体与斜面间的摩擦因数为������。若用一水平推力 F 推物体，求： （1）物体匀速上滑，F 取何值？ （2）������为何值时，无论用多大的水平推力推物体，物体都不会上滑。 （1）������ = ������������������������������（θ + φ）（2）������ ≥ − ������时。
应用摩擦角，巧解动力学问题
加速运动 且 加 速 度 取 最 大 值,此 时 导 体 棒 受
—
—在 熟 悉 的 问
力对应科学 思 维 能 力 水 平 3—
到的合力 向 右,且 为 最 大 值。 根 据 左 手 定 则
题情境中根据需要选用恰 当 的 模 型 解 决 简 单
的物理问 题;能 对 常 见 的 物 理 现 象 进 行 分 析
而且
如图 7 所示的矢量多边形。
还可 以 得 到 F 安1 =F 安2 = mg,
加速度分 别 取 最 大 值 时,上 述 不 等 式 均 取 等
时,
磁场方向应该斜向右 下 方,
设磁场方向与
3
,代 入 c
号,解 得 μ =
o
sα =
3
向与重力 mg 方向间的夹角也为θ,
根据几何
1
1+μ
2
得
水平向右方向 间 的 夹 角 为 θ2 ,安 培 力 F 安2 方
因此导体 棒 加 速 时,若 加 速 度 大 小 取 最
(
时,
导体棒做匀减速运动且加速度取
θ2 <9
0
°)
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解题篇 经典题突破方法
高考理化 2023 年 9 月
将图 7、
图9合在一
最大值,
此时 导 体 棒 受 到 的 合 力 向 左,
且为最
大值。根据左手定则和受力分析可知,
安培力
幅图 中,将 重 力 边 重 合,
在 θ 逐 渐 减 小 的 过 程 中,半 圆 柱 体 受
D.
到竖直墙壁的弹力始终保持不变
参考答案:
全反力(摩擦角)在静力学中的应用
因动摩擦因数均为μ1，所以a A =a B ，B 与木板共速时滑块A 的速度大小也为v 1，但运动方向与木板相反，A 与木板间仍有滑动摩擦力f A ．对于B 与木板，假设两者共速后，相对静止一起以加速度a 2匀减速运动，对B 与木板的整体，由牛顿第二定律有f +μ1m Ag =（m B +m ）a 2⑧解得a 2=53m /s 2而B 的最大加速a B max =g μ1=5m /s 2＞a 2，可相对静止，假设成立．之后由题意知，B 与木板整体向右匀减速，A 继续先向左减速到零后再向右加速，滑块A 在整个过程中均受水平向右的恒定摩擦力作用，为“类竖直上抛运动”，同样可用类似规律求解．设再经过时间t 2，A 与B 相遇时，三者具有相同的速度，设其大小为v 2，由运动学公式，对木板有v 2=v 1－a 2t 2⑨对A 有v 2=－v 1+a A t 2⑩解得v 2=0．5m /st 2=0．3s同样，在t 2时间内，滑块B 及木板对地向右运动，速度由v 1减速到v 2，对地位移为x B 1x B 1=v 1+v 22t 2=0．225m瑏瑡由分析知，在（t 1+t 2）的全过程内，A 由向左的v 0“匀减速”为向右的v 2，取向右为正，对地位移x A =－v 0+v 22（t 1+t 2）=－0．875m瑏瑣A 和B 开始运动时两者之间的距离为x 0=x B +x B 1－x A瑏瑣解得x 0=1．9m以上高考压轴题强，隐含“类竖直上抛运动”模型，通过与竖直上抛运动类比，从整体着眼，运用速度、位移的矢量特性列式求解．教师在日常教学中应不断引导学生建立物理模型，分析运动本质，应用等效和类比的思想，借用已知知识试探未知领域，不断进行前后知识的类比、融合和拓展，可使学生综合解题能力得到提升．参考文献：［1］马宗彦．竖直上抛运动及其迁移应用［J ］．物理教学探讨，2012，30（12）：4－5．［2］袁晓鹤．解读竖直上抛运动［J ］．中学物理，2017，35（5）：59－60．［责任编辑：颜卫东］全反力（摩擦角）在静力学中的应用司鹏举（安徽省合肥八中230071）摘要：在高中物理的学习中经常遇到一些平衡类的问题．有的时候采用常规解法计算量比较大，这个时候应用摩擦角和全反力进行解题，能够很好的解决这类物理问题，其实对于非平衡类的问题也可以使用，不过更为复杂一些，可以借助惯性力思考．关键词：全反力；摩擦角；高中物理中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008－0333（2020）07－0060－02收稿日期：2019－12－05作者简介：司鹏举（1991．1－），男，安徽省宿州人，研究生，中学一级教师，从事高中物理教学研究．一、全反力和摩擦角如图1，在一个水平面上，处于运动中的物体会受到支持力N 与滑动摩擦力f 的作用，N 与f 的合力Ｒ称为支持面对物体的全反力．由于支持力N的方向始终垂直于接触面沿竖直方向，摩擦力f 沿接触面切线方向，所以弹力N 始终和摩擦力f 相互垂直．故运用勾股定理可以求得全反力Ｒ的大小为Ｒ=N 2+f 槡2．Ｒ的方向与—06—N 的方向之间有一夹角，这个角我们称之为摩擦角φm ，而根据力的三角形，不难发现tan φm =fN=μ．所以即使外力N 发生变化，全反力Ｒ的方向也不会变化，这样就为一些极值问题创造了一些便捷的解法．二、水平面上的全反力问题1．动态平衡类问题例1如图2所示，与水平方向成θ角的推力F 作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是（）．A ．推力F 先增大后减小B ．推力F 一直减小C ．物块受到的摩擦力先减小后增大D ．物块受到的摩擦力一直不变解析（1）一般解法F 的表达式F =μmgcos θ－μsin θ，然后根据F f =μF N =μ（mg +F sin θ）来解决这个问题．（2）全反力解法如图3，由于物块始终做匀速直线运动，所以N 与f 的全反力为Ｒ，故mg 和F 的合力应该与Ｒ等大反向共线．所以，在θ减小的过程中F 一直减小．F 在水平方向的投影在大小上等于摩擦力，所以摩擦力一直在减小．2．斜面类问题极值类问题例2（2013年华约自主招生）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m =50kg 的物体．一重物放置在倾角θ=15ʎ的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=槡33．试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值解析为了让本题在运算过程中有一个比较好的运算，我们可以假设重力加速度的大小为g．（1）一般解法拉力F =50gN假设该同学拉动重物的力F 的方向与斜面之间的夹角为φ，对M 分析受力，分别平行于斜面和垂直于斜面建立坐标轴，如图5所示．由平衡条件可以得x 轴和y 轴上的平衡方程：N +F sin φ－Mg cos θ=0F cos φ－Mg sin θ－μN =0解得：M =F （cos φ+μsin φ）g （μcos θ+sin θ）=F cos （φ+α）g sin （θ+α），其中tan α=μ，也就是说分母为定值，所以M 的最大值应该在分子取极值的时候，故M 的最大值为M max =Fg sin （θ+α）槡=502kg对于本题来说，一般解法在运算量上比较发杂，对同学们的数学要求较高（2）全反力解法如图6所示，弹力F N 与f 的合力Ｒ其中Ｒ与F N 的夹角为α，tan α=μ，所以α等于30ʎ．故物体重力Mg 与Ｒ的反方向之间夹角θ=45ʎ．当F 为固定值50g 的情况下，F 与Ｒ垂直时Mg 有最大值，即M max =Fg sin 45ʎ槡=502kg其实斜面上求极值类的问题跟在平面上的处理方法相似，只不过建立坐标系的时候x 轴和y 轴分别平行于斜面和垂直于斜面即可．全反力和图像结合，能够让解题更为的简捷．对于程度比较好的同学来说，全反力和摩擦角在解决这一类问题上可以节省很多时间．解题时，这种方法可以教给学生很好思维方法，培养学生的分析能力．参考文献：［1］李新纪．分析高中物理电场及静力问题解题的思路与方法［J ］．通讯世界，2017（04）：248－249．［2］吕华荣．破解静力系统问题的方法［J ］．物理教学，2015，37（05）：60－64+35．［责任编辑：颜卫东］—16—。
摩擦角和粘聚力
摩擦角和粘聚力引言：摩擦角和粘聚力是物理学中两个重要的概念。
它们在我们日常生活中的许多方面都起着重要作用。
本文将详细介绍摩擦角和粘聚力的定义、原理和应用，并探讨它们之间的关系。
一、摩擦角：1. 定义：摩擦角是指两个物体相对运动时，接触面上摩擦力达到最大值时，与垂直于接触面的力之间的夹角。
摩擦角的大小取决于两个物体的材质和表面状况。
2. 原理：摩擦力是由接触面上的微观凹凸之间的相互作用力引起的。
当两个物体相对运动时，它们的凹凸部分会相互嵌入，形成一种阻碍相对滑动的力。
当施加的力越大时，阻碍滑动的力也会增加，直到达到最大值，此时摩擦力达到极限，称为极限摩擦力。
3. 应用：摩擦角的概念在我们的日常生活中有广泛的应用。
例如，我们走路时能够在地面上保持稳定就是因为地面和鞋底之间的摩擦力。
摩擦角还可以用于设计斜坡、车辆制动系统以及其他需要考虑滑动情况的工程项目中。
二、粘聚力：1. 定义：粘聚力是指液体或固体表面上的分子之间的吸引力。
它使得液体或固体能够与其他物体粘附在一起，并保持形状稳定。
2. 原理：粘聚力是由分子之间的相互作用力引起的。
在液体的表面，由于表面分子没有周围的分子来吸引，所以它们会产生向内的吸引力，使得液体表面呈现出一定的张力。
这种张力可以使液体在容器内形成凹面或凸面，例如水珠在玻璃表面的形状。
3. 应用：粘聚力的概念在许多领域有广泛应用。
例如，粘合剂的粘合能力取决于粘聚力的大小。
液体在玻璃管中上升或下降的现象也可以用粘聚力来解释。
此外，粘聚力还在纸张、织物和涂层材料等行业中起着重要作用。
三、摩擦角和粘聚力的关系：摩擦角和粘聚力之间存在一定的关系。
摩擦力的大小取决于物体之间的粘聚力以及物体表面的粗糙程度。
当物体表面越光滑时，摩擦力越小，摩擦角也会相应减小。
另外，物体之间的粘聚力越大，摩擦力也会增加，从而摩擦角也会增加。
结论：摩擦角和粘聚力是物理学中重要的概念，它们在我们的日常生活中起着重要作用。
摩擦角的概念及其在工程中的应用
摩擦角的概念及其在工程中的应用一、摩擦角定义摩擦角是指摩擦力与法向反力之间的夹角。
它反映了物体在接触面上受到的摩擦力与法向反力之间的相互关系。
当摩擦力为零时，摩擦角等于零。
当摩擦力不为零时，摩擦角的大小取决于接触面的材料、粗糙度、压力和温度等因素。
二、摩擦角与摩擦力关系摩擦力的大小与摩擦角的大小有关。
当摩擦角增大时，摩擦力也会增大。
这是因为摩擦力是接触面上的切向力，而摩擦角是切向力与法向反力之间的夹角。
当切向力增大时，摩擦角也会增大，从而使得摩擦力增大。
三、摩擦角在工程中的应用1.机械设计在机械设计中，摩擦角是一个重要的参数。
它可以帮助设计师确定机械零件的尺寸和形状，以确保机械零件在运动过程中能够保持稳定性和准确性。
例如，在设计机械轴承时，需要考虑到轴承的材料、尺寸和转速等因素，这些因素会影响到摩擦力和摩擦角的大小。
因此，在设计轴承时，需要根据实际需求来确定合适的材料和尺寸，以确保轴承能够在实际使用中发挥良好的性能。
2.土木工程在土木工程中，摩擦角也是一个重要的参数。
它可以帮助工程师确定建筑物的稳定性、抗震性和承载能力等。
例如，在桥梁设计中，需要考虑到桥梁的跨度、荷载和材料等因素，这些因素会影响到桥梁的稳定性和承载能力。
因此，在桥梁设计中，需要根据实际需求来确定合适的材料和结构形式，以确保桥梁能够在实际使用中发挥良好的性能。
四、结论综上所述，摩擦角是一个重要的参数，它可以帮助我们了解物体在接触面上受到的摩擦力和法向反力之间的关系。
在工程应用中，需要根据实际需求来确定合适的材料和结构形式，以确保机械零件或建筑物能够在实际使用中发挥良好的性能。
单片机原理及应用(特色) 摩擦角
单片机原理及应用（特色）摩擦角
摩擦角是指两个物体之间相互接触时，克服静摩擦力开始运动的最小角度。
在单片机原理及应用中，摩擦角是一个重要的概念，它在控制系统中起着至关重要的作用。
在单片机系统中，摩擦角可以用来控制电机的启动和停止，以及控制物体的运动方向。
通过设置适当的摩擦角，可以确保系统的稳定性和效率。
摩擦角的大小取决于物体表面的粗糙程度和所施加的压力。
在实际应用中，摩擦角可以通过传感器来检测，然后通过单片机进行处理和控制。
例如，在自动门控制系统中，摩擦角可以用来判断门是否完全关闭或打开。
当门达到设定的摩擦角时，单片机可以停止电机的运行，从而实现自动控制。
在机器人控制系统中，摩擦角也扮演着重要角色。
通过控制摩擦角的大小，可以实现机器人的精准运动和定位。
例如，在工业生产线上，机器人可以根据设定的摩擦角来准确抓取和放置物体，从而提高生产效率和质量。
除了在控制系统中的应用，摩擦角还可以帮助我们理解物体之间的相互作用。
通过研究摩擦角的大小和变化规律，可以优化系统设计，减少能量消耗，提高系统的可靠性和稳定性。
总的来说，摩擦角在单片机原理及应用中具有重要的意义，它不仅
可以帮助我们实现精确控制和自动化，还可以帮助我们更好地理解和利用物体之间的摩擦力。
通过深入研究摩擦角的特性和应用，可以为单片机技术的发展和应用提供新的思路和方法。
希望未来能够有更多的创新和突破，将摩擦角这一概念发挥到极致，为人类社会的发展和进步做出更大的贡献。
剪切角摩擦角
剪切角摩擦角
剪切角和摩擦角是力学中的两个重要概念。
在实际应用中，对它们的理解非常必要。
本文将从定义、计算方法、应用等方面阐述这两个概念，以期能为读者提供帮助。
一、剪切角的定义和计算方法
1.定义：剪切角是指两个物体接触面上，当一物体相对另一物体沿着接触面滑动时，其所受的剪切力与法线力之间的比值。
2.计算方法：设接触面上的法线力为F，剪切力为T，则剪切角可以表示成tan γ=T/F，其中γ为剪切角。
二、摩擦角的定义和计算方法
1.定义：摩擦角是指两个物体接触面上，当一物体相对另一物体沿着接触面滑动时，其所受的最小剪切力与法线力之间的比值。
2.计算方法：设接触面上的法线力为F，最小剪切力为Ff，摩擦角可以表示成tan φ=Ff/F，其中φ为摩擦角。
三、剪切角和摩擦角的应用
1.在机械加工和制造领域中，掌握剪切角和摩擦角的大小和计算方法，
有助于实现工件的精确加工和装配。
2.在物理实验中，测量摩擦角和剪切角是确定材料物理性质的重要手段。
3.在船舶和飞机运输中，了解剪切角和摩擦角的大小和计算方法，有助于保证运输时的安全性和稳定性。
总的来说，剪切角和摩擦角是力学中的两个基本概念，对于工程实践
和科学研究都有着重要的意义。
希望本文能给读者带来一些帮助。
临界状态摩擦角
临界状态摩擦角物理学中有一个重要的概念叫做摩擦力，是影响物体相互作用的一种力量。
摩擦力的大小与物体表面的粗糙度、两个物体之间的压力以及摩擦系数等因素有关。
而摩擦系数也是表示物体与另一个表面接触时产生的摩阻大小的物理量之一。
在确定摩擦系数的时候，一个非常重要的参数是摩擦角。
本文将介绍什么是临界状态摩擦角以及其在实际应用中的意义。
什么是摩擦角？摩擦角指的是两个物体之间滑动或相对滑动时所需的最小倾角，使得第二物体开始滑动或继续滑动。
较小的摩擦角表示两个物体表面光滑，但较大的摩擦角则表示它们之间粗糙度较大，摩擦力增加。
实际物体表面的摩擦角大小是不断变化的，因为表面的粗糙度会随着使用和时间的推移而不断变化。
然而，摩擦角仍是一个彻底确定摩擦力大小的重要量值。
什么是临界状态摩擦角？在科学研究和实际工程应用中，我们常常需要知道物体所受最大的外力，即在没有滑动的情况下物体所能承受的最大力。
这时，我们会计算这个物体表面的临界状态摩擦角。
这个摩擦角是物体开始滑动时的摩擦角，称为“临界状态”，并且通常比同一物体完全停止时的摩擦角要大。
在临界状态，物体所能承受的外力也被称为临界力，当物体受到的力超出临界力时就会滑动。
为什么临界状态摩擦角很重要？了解临界状态摩擦角能够帮助我们更好地设计和操作机器和设备。
特别是在施工现场或制造过程中，摩擦力和滑动速度的预测和控制至关重要。
例如，在建筑施工领域，了解临界状态摩擦角有助于确定建筑物中材料的最佳结构和正确的放置方式。
此外，在工业领域，理解摩擦角对摩擦系数的影响可以帮助我们减少摩擦阻力，提高设备的效率和寿命。
结语临界状态摩擦角是一个值得我们注意和深入了解的物理概念，除了在物理实验中应用外，它还在工程和日常生活中扮演着重要角色。
通过了解和掌握临界状态摩擦角的概念，我们可以更好地预测和掌控物体的滑动和摩擦特性，从而更好地设计和操作各种机器和设备。
基础会计学 摩擦角
基础会计学摩擦角基础会计学中的摩擦角是一个重要的概念，它不仅在会计实务中起着关键作用，也在生活中有着广泛的应用。
摩擦角实际上是指两个表面接触时，阻止它们相对运动的力量。
在会计学中，摩擦角通常指的是制约公司内部控制的各种因素，阻碍公司正常运作的风险和挑战。
本文将从基础会计学的角度探讨摩擦角在企业内部控制中的作用以及如何应对摩擦力。
在基础会计学中，摩擦角主要体现在公司内部控制方面。
公司内部控制是指公司为确保财务报告的准确性和可靠性而制定的一系列政策、程序和措施。
摩擦角产生的原因可能包括人为因素、制度不完善、信息不对称等。
例如，公司内部可能存在着员工盗窃资产、财务管理不当、审计不到位等问题，这些都会导致摩擦力的增加，阻碍公司正常运作。
为了减小摩擦力的影响，公司需要采取一系列措施来加强内部控制。
首先，公司应建立健全的内部控制制度，包括明确的责任分工、审批程序、信息披露制度等。
其次，公司需要加强对员工的培训和监督，提高员工的责任意识和自律性。
此外，公司还可以通过引入第三方审计、加强信息披露等方式来提高透明度，减少摩擦力的产生。
除了在公司内部控制中的应用，摩擦角在生活中也有着广泛的应用。
例如，我们在日常生活中经常会遇到摩擦力的存在，比如开车时车轮与地面的摩擦力可以使车辆保持稳定，行走时鞋底与地面的摩擦力可以防止摔倒等。
在物理学中，摩擦力是一种常见的力，它不仅可以阻止物体相对运动，还可以将物体固定在一起。
因此，摩擦力在生活中起着非常重要的作用。
摩擦角在基础会计学中扮演着重要的角色，它不仅体现了公司内部控制的难点和挑战，也在生活中有着广泛的应用。
公司需要采取有效措施来减小摩擦力的影响，提高内部控制的效率和透明度。
同时，我们也应该在日常生活中注意摩擦力的存在，合理利用摩擦力，使我们的生活更加安全和便利。
希望本文能够帮助读者更好地理解摩擦角在基础会计学中的意义和作用，引起大家对内部控制和摩擦力的重视。
工业设计概论 摩擦角
工业设计概论摩擦角
摩擦角是一个在工程设计和物理学中非常关键的概念，它描述了两个接触表面之间的摩擦性质。
摩擦角通常用来衡量在两个物体接触时阻碍它们相对移动的力量。
在工业设计中，了解摩擦角的概念对于设计高效、稳定的产品至关重要。
在工程设计中，摩擦角是一个影响产品性能的重要参数。
通过正确地控制摩擦角，设计师可以确保产品在使用过程中具有足够的稳定性和可靠性。
在机械设备中，摩擦角的大小直接影响着机械零件之间的运动效率和能量损耗。
因此，在设计机械系统时，工程师需要仔细考虑摩擦角的影响，并选择合适的材料和润滑方式来降低摩擦力，提高系统效率。
在产品设计中，摩擦角也是一个需要被考虑的重要因素。
例如，在汽车设计中，设计师需要考虑车轮和地面之间的摩擦角，以确保车辆在各种路况下都能够稳定行驶。
通过合理设计轮胎的材料和花纹，可以有效地控制摩擦角，提高车辆的行驶性能和安全性。
在工业生产中，摩擦角也是一个需要被注意的问题。
在生产过程中，摩擦力会导致能量损耗和磨损，影响生产效率和产品质量。
因此，在工业生产中，工程师需要通过合理选择材料、润滑方式和工艺参数，来控制摩擦角，降低能耗，提高生产效率。
总的来说，摩擦角是一个在工业设计中非常重要的概念。
通过正确
地理解和控制摩擦角，设计师可以提高产品的性能和可靠性，降低能耗，提高生产效率。
因此，在工业设计中，工程师和设计师都需要深入了解摩擦角的影响，以确保产品的设计和生产达到最佳效果。
桩土摩擦角
桩土摩擦角桩土摩擦角是指桩身与周围土体之间的摩擦力与垂直于桩身轴线的力之比，用θ表示。
它在桩基工程中具有重要的意义，影响着桩的承载能力、沉降性能和稳定性。
本文将探讨桩土摩擦角的影响因素、提高方法以及在工程中的应用。
一、桩土摩擦角的影响因素1.土体性质：土体的性质是影响桩土摩擦角的主要因素，包括土的颗粒组成、湿度、密度等。
颗粒组成越粗糙、湿度越小、密度越大，桩土摩擦角越大。
2.桩身材料：不同材料的桩身与土体之间的摩擦系数不同，从而影响桩土摩擦角。
一般来说，混凝土桩的摩擦角较大，木材和钢材桩的摩擦角较小。
3.桩身直径：桩身直径越大，桩土摩擦角越小。
因为在土体中，桩身直径的增大会使得土体对桩的摩阻力分布范围变广，从而降低单位面积上的摩擦力。
4.桩土相互作用：桩土相互作用包括桩土之间的相对位移、桩土接触面的粗糙程度等。
相对位移越大、接触面越粗糙，桩土摩擦角越大。
二、提高桩土摩擦角的方法1.选择适宜的桩身材料：根据工程地质条件和施工要求，选择摩擦系数较大的桩身材料，如混凝土桩。
2.增大桩身直径：在满足工程承载力的前提下，适当增大桩身直径，以降低桩土摩擦角。
3.改善土体性质：通过改良土体，降低土体的湿度、增加土体的密度和粗糙度，以提高桩土摩擦角。
4.桩身表面处理：采用特殊工艺对桩身表面进行处理，如喷涂抗滑材料、设置凹凸槽等，以增加桩土接触面的粗糙度，提高摩擦角。
三、桩土摩擦角在工程中的应用1.桩基设计：在桩基设计中，合理确定桩土摩擦角，有助于优化桩基结构，提高桩的承载能力和稳定性。
2.桩基施工：桩土摩擦角的大小直接影响桩基的施工难度和工程成本。
了解和掌握桩土摩擦角的变化规律，有利于优化施工方案，降低施工风险。
3.地基处理：通过改变土体的性质和桩身表面处理，提高桩土摩擦角，以改善地基的承载能力和稳定性。
总之，桩土摩擦角在桩基工程中具有重要作用。
了解其影响因素、提高方法及在工程中的应用，有助于提高工程质量和降低施工成本。
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摩擦角及其应用
提要：建立摩擦角的概念，知道用摩擦角解平衡问题的思路，会用摩擦角解
题
关键词：全反力；摩擦角；最大静摩擦角；临界平衡
一、摩擦角的概念①全反力：物体所受的正压力与摩
擦力的合力，图1中的F 就是全反力，N 为物体所受
的正压力，f k 为摩擦力。
动摩擦角：物体受动摩擦力作用时，正压力N 与全反
力F 的夹角，图1中的κϕ就是动摩擦角 tan =k ϕ-1N f k =tan -1k μ 说明：接触面一定，动摩擦因数k μ一定，动摩擦角k ϕ就一定
静摩擦角：物体所受静摩擦力作用时，正压力N 与全反力F ’的夹角。
图2
中的角s ϕ就是静摩擦角
s ϕ= tan -1N f s 最大静摩擦角：物体所受最大静摩擦力f m 作用时，
正压力N 与全反力F 的夹角。
图2中的角m ϕ就是
最大静摩擦角
m ϕ= tan -1N f m = tan -1s μ 说明：接触面一定，静摩擦因数s μ一定，最大摩擦角m ϕ就一定
一般情况下，物体平衡时，静摩擦力不超过最大静摩擦力，即s ϕ≤m ϕ，其
中s ϕ=m ϕ是临界平衡状态。
判断一个受摩擦力的物体是否能静止时，可先假设该物体静止，由平衡条件
求出此时全反力与正压力间的夹角s ϕ= tan -1
N f s ，然后判断：若s ϕ≤m ϕ，物体能静止平衡或临界平衡，假设正确；若s ϕ>m ϕ，物体不能静止平衡，
F N
f k κϕ 图1 F'N f s f m F s ϕ
m ϕ 图2
假设错误。
二、意义引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。
尤其是在物体在四个力作用下保持动态
平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题
（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确
定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定）这里特别补充说
明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0等效于三力共
点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交
三、应用摩擦角解12年高考24题第2问
1、（2012新课标）24（14分）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如
图3）。
设拖把头的质量为m ，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因
数为常数μ，重力加速度为g 。
某同学用该拖把在水平地板上
拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推
力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。
已知存在一临界角
θ0．若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使
拖把从静止开始运动。
求这一临界角的正切tanθ0。
解法一（标准答案）：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F 的力推拖把。
将
推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有
Fcosθ+ mg=N ① Fsinθ=f （2）
式中N 和f 分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。
按摩擦定律有
f=μN （3） 联立①②③得F=mg θμθμcos sin - （4）
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有
Fsinθ≤λN （5） 这时①式仍满足，联立①⑤得
sinθ-λcosθ≤λF
mg (6) 现考察使上式成立的θ角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且
当F 无限大时极限为零，有 sinθ-λcosθ≤0 (7) 使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0
时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。
临界角的正切为
tanθ0=λ ⑧
图3
解法二：用摩擦角解第二问
（2）临界平衡时，受力分析如图4，有θ
=
m
ϕ⑤
m
f=Fsin0θ⑥
N
Fsin oθ
=λ⑦
tan
m
ϕ=N
f
m
⑧
联立⑤⑥⑦⑧得:临界角的正切为 tan0θ =λ⑨
显然，本题的难点是临界平衡条件方程的构建，而用摩擦角寻找临界平衡条件直观明了，省去了用数学方法探讨极值的过程，这是用摩擦角解临界平衡问题的优点所在。
以下例题我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力F（以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），
例1，如图2所示，用绳通过定滑轮物块，使物块
在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，
若物块与地面的摩擦因素1
μ<，滑轮的质量及摩
擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是
（）。
A.绳子的拉力将保持不变
B.绳子的拉力
将不断增大
C.地面对物块的摩擦力不断减小
D.物块对地面
的压力不断减小
解析：如图3所示，取物体O点，作力的三角形。
重力为有向线段①，从该线段箭头端点做
全反力的作用所在射线②，作从射线②上任意点指向O
图形封闭成三角形的一系列的有向线段③，
矢量，用曲箭头标明变化趋势。
由1
μ<
的夹角小于45º，初始状态绳子拉力与水平呈45
中③和①的夹角从45º开始慢慢减小，图3中θ<90
出结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，
1易知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。
例2，如图4所示，倾角45º的斜面上，放置一质量m
块，小物块与斜面的动摩擦因素
3
μ=
在斜面上，应对小物块再施加一力，
（）。
A.0
sin15
mg，与水平成15º斜向右 B.0
sin30
mg，
竖直向上
C.0
sin75
mg，沿斜面向上 D.0
tan15
mg，
水平向右
解析：由μ=得，摩擦角10
tan tan30
ϕμ
--
===，
F全N
f m
F
G
m
ϕ
θ0
图4
图2
作出力的三角形，如图5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面全反力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则00sin(45)sin15F mg mg ϕ=-=方向与水平成15º斜向右。
即A 正确。
例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)μμ<<。
现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。
设F 的方向与水
平面夹角为θ，如图6，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，
木箱的速度保持不变，则（ ）
A. F 先减小后增大
B. F 一直增大
C. F 的功率减小
D. F 的功率不变解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速
度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所
示，则由平衡条件得：sin mg N F θ=+，cos f N F μθ
==两式联立解得cos sin mg F μθμθ==+见F 有最小值，所以F 先减小后增大，A 正确；B 错误；F 的功率cos cos cos sin 1tan mgv mgv P Fv μθμθθμθμθ
===++，可见在θ从0逐渐增大到90°的过程中tan θ逐渐增大，则功率P 逐渐减小，C 正确，D 错误。
（此常规方法对数学要求比较高，如果是在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的F 表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废） 方法二（引入摩擦角）：由(01)μμ<<得，摩擦角φ<45
出力的三角形，如图7所示，黑色射线为地面对木箱的全反力F1，红色有向线段为拉力F ，蓝色有向线段为重力。
由题意在θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 的变化趋势为青色曲箭头方向变化，易得到：F 先减小后增大。
对于F 的功率，由矢量表达式：
1F F G +=-，重力的功率显然为0（重力与速度成90º），得到F 的功率与F1的功率互为相反数，F1的功率11cos P F v ψ=•,显然F1与v 的角度ψ保持不
变，而F1不断的减小，从而F 的功率
|1||1cos |P P F v ψ==•的值不断的减小，所以答案为AC 。
结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的
多。
因此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非
得参加竞赛的学生才掌握。
例4，（竞赛训练题）如图8所示，质量为m 的物体放在水平
地面上，物体与地面的动摩擦因素μ=
，想用力F 推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内是可能的？解析：摩擦角10tan 30ψμ-==，考虑临界情况，重力
mg 、地面对物体的全反力以及推力F 构成闭合三角形时，则有00sin(60)sin mg F θϕ=-，临界角01060sin 2mg F
θ-=-，由图9可知0θθ≤时物体可在地面上滑动。
即0160sin 2mg F
θ-≤-。
图6
图9
φ图7。