高考数学文化素养型题说课讲解

数学题----文化素养型

1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136

L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈

275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )

A.227

B.258

C.15750

D. 355113

解析：由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L

2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭

⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258，故选B. 【答案】B

2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A ．14

B ．π8

C ．12

D ．π4

【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1 则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的概率为

π2 则此点取自黑色部分的概率为π

π248

=

故选B

【答案】B

4.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE、DF、BD、BE.

(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；

(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π

3

，求

DC

BC

的值.

解析：法一(1)证明因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，

所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.

又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.

而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，

所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

(2)解 如图，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG

是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所

以PB ⊥DG .

又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG ，而PD ∩PB ＝P ，所以

DG ⊥平面PBD .

故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，

设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD ＝1＋λ2， 在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPF ＝∠FDB ＝

π3， 则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD PD

＝1＋λ2＝3，解得λ＝ 2. 所以DC BC ＝1λ＝22

. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22

. 法二 (1)证明 如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分

别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD ＝DC

＝1，BC ＝λ，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，

0)，C (0，1，0)，PB →＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，

所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，DE →＝⎝

⎛⎭⎪⎫0，12，12， 于是PB →·DE →＝0，即PB ⊥DE .

又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .

因PC →＝(0，1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ，

所以DE ⊥平面PBC .

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .

(2)解 由PD ⊥平面ABCD ，所以DP →＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量； 由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以BP →＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量.

若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3

， 则cos π3＝⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪BP →·DP →|BP →|·|DP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ2＋2＝12， 解得λ＝ 2.所以DC BC ＝1λ＝22

. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为

π3时，DC BC ＝22. 5.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题，“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子(每层三角形边菱草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层三束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数)，则本问题中三角垛底层菱草总束数为________.

解析：由题意，第n 层菱草数为1＋2＋…＋n ＝

n （n ＋1）2， ∴1＋3＋6＋…＋n （n ＋1）

2＝680，

即为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n （n ＋1）（2n ＋1）＋12n （n ＋1）＝16

n (n ＋1)(n ＋2)＝680， 即有n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，

∴n ＝15，∴n （n ＋1）

2＝120.

【答案】120

6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( )