空间直线与平面,平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_
D所成的角，
2
=
3
D
C
P
A
B
解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，
∴PD=
BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 2
31 ∴31
217
cos ==∠AD
PD
PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为31
217
巩固练习： 1
选择题
（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）
（A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º]
（C ）[0º,180º]
（D ）[0º,180º)
（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论
中，可能成立的个数是 （ ）
（A ）1个
（B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）
（A ）0条或1条 （B ）0条或无数条
（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条
答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题
（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .
∵AO OE ⊥ ∴2tan 2AO AEO OE ∠=
= ∴2
arctan 2
AEO ∠= 即二面角A BC D --的大小为2
arctan
2
（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=
即异面直线AB 和CD 所成角为45
例5、设P 是△ABC 所在平面M 外一点，当P 分别满足下列条件时，判断点P 在M 内的射影的位置．
（1）P 到三角形各边的距离相等．
（2）P 到三角形各顶点的距离相等．
（3）PA 、PB 、PC 两两垂直．
解析：设P 在平面M 内的射影是O ．
（1）O 是△ABC 的内心；
（2）O 是△ABC 的外心；
（3）O 是△ABC 的垂心．
例6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）A1C⊥平面C1DB于G；
（2）垂足G为正△C1DB的中心；
（3）A1G＝2GC．
解析：（1）连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB（正方形的性质），所以A1C⊥DB．
同理可证A1C⊥BC1．
因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）
（2）因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．
（3）在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．
变式练习：
已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：
（1）P，D两点间的距离；
（2）P点到斜边AB的距离．
解析：（1）
（2）作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．
可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．
因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．
注：在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．
【课堂小练】
1、过正方形ABCD 的顶点A 作线段A A ′⊥平面ABCD ，若A A ′=AB ，则平面A ′A B 与平面A ′CD 所成的角度是
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
2、在直二面角α- l-β中,直线m ⊂α,直线n ⊂β,且m 、n 均不与l 垂直,则
A. m 与n 不可能垂直,但可能平行
B. m 与n 可能垂直,但不可能平行
C. m 与n 可能垂直,也可能平行
D. m 与n 不可能垂直,也不可能平行
3、设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题:
(1)若//a α,//b α,则//a b .(2)若//a α, //αβ ,则//a β. (3)若αγ⊥, βγ⊥ ,则 //αβ。

其中正确的个数是 A .0 B.1 C.2 D.3
4、一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为：
Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C .0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/2
5、若三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则
A.各格侧棱长相等
B.各侧棱与底面成等角
C.各侧面与底面线等角 D .每组相对棱互相垂直
6、二面角α- l-β的大小为θ，直线a ⊂α，直线b ⊂β，设a 与b 所成的角为φ，则下面关系中正确的一个是
A. φ＜θ
B. φ＞θ
C. φ=θ D .以上三种关系均有可能
7、如图,等腰直角△ABC ,沿其斜边AB 边上的高CD 对折,使△ACD 与△BCD 所在的平面垂直,此时∠ACB 等于
A.45° B .60° C.90° D.120°
E F C 1
B 1A 1D 1
D A
B C
解析：(1)tg ∠AFE =EF AE =2(2)异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为1030
7、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B -DC 1-C 的余弦值是多少?
解析：c os θ＝33
8、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：
（1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值；
（2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角．。