中考压轴题分类专题三抛物线中等腰三角形1
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中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形
基本题型:
已知AB ,抛物线()02
≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若ABP ∆为
等腰三角形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论:
(1)AB 为底时(即PA PB =):点P 在AB 的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB 的中点M ;
利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ; 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式;
将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为腰时,分两类讨论:
①以A ∠为顶角时(即AP AB =):点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时(即BP BA =):点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。
利用圆的一般方程列出A (或B )的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出
点P 坐标。
所需知识点:
一、 两点之间距离公式:
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:()()2
21221y y x x PQ -+-=
。
二、 圆的方程:
点()y ,x P 在⊙M 上,⊙M 中的圆心M 为()b ,a ,半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=
22,得到方程☆:()()22
2
R b y a x =-+-
。
∴P 在☆的图象上,即☆为⊙M 的方程。
三、 中点公式:
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫
⎝⎛++22
2121y y ,x x 。
四、 任意两点的斜率公式:
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则直线PQ 的斜率: 2
12
1x x y y k PQ --=
。
_ Q
_ G
_
P
_ O
图9
B C
O y
x A 典型例题:
例一(06深圳)如图9,抛物线2
812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)(3分)求线段OC 的长.
(2)(3分)求该抛物线的函数关系式.
(3)(4分)在x 轴上是否存在点P ,使△BCP 为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
例二(09深圳):已知,Rt ABC ∆的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中,使其斜边AB 与x 轴重合(其中OA OB <),直角顶点C 落在y 轴正半轴上(如图11)。 (1)求线段OA 、OB 的长和过点A 、B 、C 的抛物线的解析式。(4分)
(2)如图12,点D 的坐标为(2,0),点(),P m n 是该抛物线上的一个动点(其中0,0m n >>),连接DP 交BC 于点E 。
①当BDE ∆是等腰三角形时,直接写出此时点E 的坐标。(3分) ②又连接CD 、CP (如图13),CDP ∆是否有最大面积?若有,求出CDP ∆的最大面积和此时点P 的坐标;若没有,请说明理由。(3分)
图11 图12 图13
例三(龙岩市中考题):如图,抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC ∆的三个顶点,已知BC ∥x 轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC BC = (1)求抛物线的对称轴; (2)求抛物线的解析式;
(3)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB ∆是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由。 0
y
x
B
C A
同步训练:
1、(08年临沂市中考题)如图,已知抛物线与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -两点,与y 轴交于点(0,3)C
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D ,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ,使得PDC ∆是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)若点M 是抛物线上一点,以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标。 0
x
y
A
B
C D
2、如图,已知抛物线34
9
432++-
=x x y 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)
,与y 轴交于点C 。 (1)求A 、B 、C 三点的坐标;
(2)求直线BC 的函数解析式;
(3)点P 是直线BC 上的动点,若△POB 为等腰三角形,请写出此时点P 的坐标。(可直接写出结果)
A
B
O
C x
y
3、在直角坐标系中,把点A (-1,a )(a 为常数)向右平移4个单位得到点A ',经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2. (1)求这条抛物线的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为点P ,点B 的坐标为)1m ,(,且3 x y O 图7