2019-2020年中考数学抛物线-压轴题

x

y

O

B

C M

A A

B

y

x

O

2019-2020年中考数学抛物线-压轴题

1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，

△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出

S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，

判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，

直接写出相应的点

Q 的坐标．

2、已知抛物线

y ＝－x 2

＋bx ＋c 经过点A （0，4）

，且抛物线的对称轴为直线x ＝2．

（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为

B ，在抛物线上是否存在点

C ，使得A 、B 、O 、C 四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）试问在抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 轴相切，又与对称轴相交？若存在，请求出点

P 的坐标，并求出对称轴被⊙

P 所截得

的弦EF 的长度；若不存在，请说明理由．3、如图，已知抛物线

y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为

Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），

与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，

交AC 于点D ．

（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；

（3）在题（2）的结论下，若点

E 在x 轴上，点

F 在抛物线上，问是否

存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若

不存在，请说明理由．．

4、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA ＝OD ＝2，OC ＝OE ＝4，

DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其

对称轴交于M .点，P 为线段FG 上一个动点（与F 、G 不重合），PQ ∥y

轴与抛物线交于点Q

．（1）求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）是否存在点

P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？

若存在，求出满足条件的点

P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能

否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点

P 的坐标；

若不能，请说明理由．

C(0,3)

O

A B

x

y

D P

Q(2,-1)

O A

B x

y

C

P

5、如图，把抛物线

y ＝－x 2

（虚线部分）向右平移

1个单位长度，

再向上平移1个单位长度，得到抛物线l 1，抛物线l 2与抛物线l 1关于y 轴对称．点A 、O 、B 分别是抛物线

l 1、l 2与x 轴的交点，D 、

C 分别是抛物线l 1、l 2的顶点，线段

CD 交y 轴于点E ．

（1）分别写出抛物线l 1与l 2的解析式；

（2）设P 是抛物线l 1上与D 、O 两点不重合的任意一点，

Q 点是P

点关于y 轴的对称点，试判断以P 、Q

、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．

（3）在抛物线l 1上是否存在点

M ，使得S △ABM ＝S 四边形AOED

，如果存

在，求出M 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

6、已知二次函数

y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象经过点A （3，0），B （2，－

3），C （0，－3）．

（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；

（2）点P 从B 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，

点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段

OA 向A 点运动，其中一个动点

到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．

①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；

②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交

AB 于

点N ，设四边形ANPQ 的面积为S ，求面积S 关于时间t 的函数解析式，

并指出t 的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值．

说明理由．

7、如图，二次函数y ＝－x 2

＋ax ＋b 的图象与x 轴交于A （－

2

1，0），B （2，0）两点，且与y 轴交

于点C ．

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B

四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四

点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；

若不存在，说明理由．

8、如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为

A （0，3），

B （－21，2

3

），C （1，0），

∠ABC ＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，

3

3），以点D 为顶点、

y 轴为对称轴的抛物线过点

B ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B

′，求证：四边形AOCB

′是矩形，并判断点B ′是否在（1）的抛物线上；

（3）延长BA 交抛物线于点E ，在线段BE 上取一点P ，过P 点作x 轴的垂线，

交抛物线于点

F ，

是否存在这样的点P ，

使四边形PADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．

B x y

A O

C

D

E

l 1

l 2

O

x

y

P B

C

A

Q

M N

y

O

x

A

B

C

B

A

O

x

y

C

B ′

D