高中数学第一章直线多边形圆1.3圆与四边形托勒密定理及逆定理的证明素材

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2019-2020年高中数学第一章直线多边形圆1.3圆与四边形托勒密定理及逆定理的证明素材北师大版选修

2019-2020年高中数学第一章直线多边形圆1.3圆与四边形托勒密定理及逆定理的证明素材北师大版选修托勒密定理：如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．证明：设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

因此△ABK∽△DBC，同理也有△ABD∽△KBC。

因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；（1）因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；（2）两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。

证明：设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设AB<AD.在弧AD上取一点E，使DE=AB，连结AE，BE，DE，则AE∥BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE．S四边形ABCD=AC×BD×sinα又S四边形BCDE=（BE×BC+DE×CD）sin∠EBC而S四边形ABCD=S四边形BCDE，所以（BE×BC+DE×CD）sin∠EBC=AC×BD×sinα即(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα．由于∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，所以AD×BC+AB×CD=AC×BD．托勒密定理逆定理的证明：证明：在任意四边形ABCD中，连接AC，取点E使得∠1=∠2（即∠ABE=∠ACD）∠3=∠4（即∠BAE=∠CAD，）则△ABE∽△ACD所以 =，即BE·AC=AB·CD (1)又有比例式=得： =而∠BAC=∠1+∠EAC，∠DAE=∠2+∠EAC 得∠BAC=∠DAE所以△ABC∽△AED相似.得：=即ED·AC=BC·AD (2)且∠5=∠6ABCDE123456KABCD(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD得：AB·CD+AD·BC≥AC·BD当BE+ED= BD时，点B，E，D共线此时因为∠3=∠4，∠5=∠6在△ABC中，∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠6=180得：∠1+∠2+∠EAC+∠4+∠5=180即∠BAD+∠BCD=180得此时，A，B，C，D四点共圆。

高中平面几何常用定理总结及高中平面解析几何知识点总结(直线、圆、椭圆、曲线)

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b ma -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a+=-+=（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IKKI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33．塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M ．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．38．西摩松（Simson ）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line ）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B 和E、C和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC 和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．高中平面解析几何知识点总结一.直线部分1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y .2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B Ak -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且； ② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式：（1）已知两点坐标111(,)P x y 、222(,)P x y ，则两点间距离22122121)()(y y x x P P -+-=．（2）x 轴上两点间距离：AB x x AB -=．（3）线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离公式：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：的距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x xB y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x xB y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除开2l)，其中λ是待定的系数．9．两条曲线的交点坐标：曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解． 10.平面和空间直线参数方程：① 平面直线方程以向量形式给出：nb y nax 21--=方向向量为()n n s 21，=→下面推导参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+===--tn b y tn a x tn b y na x 2121则有令：② 空间直线方程也以向量形式给出：nb z nb y nax 321---==方向向量为()n n n s 321,，=→下面推导参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+====---t n c z t n b y t n a x t nc z nb y na x 321321则有令：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。

高中数学第一章直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.

1.2.5 相交弦定理图1－2－81相交弦定理(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形表示如图1－2－81，弦AB与CD相交于圆内一点P，则有：PA·PB＝PC·PD.1．相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系？【提示】相交弦定理中两弦的交点在圆内，若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论．若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些变化充分体现了运动变化的思想．2．应用相交弦定理应注意什么？【提示】相交弦定理中要求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可．如图1－2－82，AC 为⊙O 的直径，弦BD ⊥AC 于点P ，PC ＝2，PA ＝8，则tan ∠ACD 的值为________．图1－2－82【思路探究】由垂径定理知，点P 是BD 的中点，先用相交弦定理求PD ，再用射影定理或勾股定理求AD 、CD ，最后求tan ∠ACD .【自主解答】 ∵BD ⊥AC ，∴BP ＝PD ， ∴PD 2＝PA ·PC ＝2×8＝16， ∴PD ＝4.连接AD ，则∠ADC ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝AD CD.又AD ＝PA 2＋PD 2＝82＋42＝45，CD ＝PC 2＋PD 2＝22＋42＝25，∴tan ∠ACD ＝4525＝2.【答案】 21．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD ，再用勾股定理或射影定理求AD 、CD . 2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．图1－2－83如图1－2－83，已知AB 是⊙O 的直径，OM ＝ON ，P 是⊙O 上的点，PM 、PN 的延长线分别交⊙O 于Q 、R .求证：PM ·MQ ＝PN ·NR . 【证明】 ∵OM ＝ON ，OA ＝OB ， ∴AM ＝BN ，BM ＝AN ， ∴AM ·BM ＝AN ·BN ，又∵PM ·MQ ＝AM ·BM ，PN ·NR ＝AN ·BN ，∴PM ·MQ ＝PN ·NR .如图1－2－84，△ABC 内接于⊙O ，P 是△ABC 的高CE 的延长线上一点，PC 交⊙O 于D ，若PA 2＝PD ·PC ，AE ＝2，CE ＝32，cos ∠ACB ＝13，求BE 的长．图1－2－84【思路探究】由PA 2＝PD ·PC 知PA 是⊙O 的切线，∠ACB 等于∠PAE ，则PA 可求，在Rt △APE 中PE 可求，由切割线定理求出PD ，进而求出DE ，再由相交弦定理求BE .【自主解答】由PA 2＝PD ·PC ，知PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAE ＝∠ACB . ∵PC ⊥AB ， ∴∠AEP ＝90°. 又∵cos ∠ACB ＝13，∴在Rt △PAE 中，cos ∠PAE ＝AE PA ＝13.∵AE ＝2，∴PA ＝6. 在Rt △PAE 中，PE ＝PA 2－AE 2＝62－22＝42， ∴PC ＝PE ＋CE ＝42＋32＝72， ∵PA 2＝PD ·PC ，∴PD ＝PA 2PC ＝6272＝1872，∴DE ＝PE －PD＝42－1827＝1072. ∵AE ·BE ＝DE ·CE ， ∴BE ＝DE ·CE AE＝1072×322＝307.1．解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论．2．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论．如图1－2－85所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .图1－2－85(1)求证：PA ·PE ＝PC ·PD ；(2)当AD 与⊙O 2相切且PA ＝6，PC ＝2，PD＝12时，求AD 的长．【解】 (1)证明：连接AB ，CE ， ∵CA 切⊙O 1于点A ， ∴∠1＝∠D .又∵∠1＝∠E，∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3，∴△APD∽△CPE.∴PAPC＝PDPE，即PA·PE＝PC·PD.(2)∵PA＝6，PC＝2，PD＝12.∴6×PE＝2×12，∴PE＝4.由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC.∴4PB＝6×2，∴PB＝3.∴BD＝PD－PB＝12－3＝9，DE＝PD＋PE＝16.∵DA切⊙O2于点A，∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.图1－2－86(教材第19页练习第2题)已知：如图1－2－86，AB是⊙O的直径，P和C 为AB两侧圆上的两点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：DP2＝DE·DF.(2013·湖南高考)图1－2－87如图1－2－87，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．【命题意图】本题主要考查圆的相交弦定理及圆的弦的性质和利用勾股定理解直角三角形的方法．【解析】由相交弦定理得PA ·PB ＝PC ·PD . 又PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.【答案】321．圆内两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝3，PB ＝4，PC ∶PD ＝1∶3，则CD 等于( ) A ．12 B ．8 C ．4D ．2【解析】设PC ＝x ，PD ＝3x ，则有：3×4＝x ×3x ，解得x ＝2(负值舍去)，∴PC ＝2，PD ＝6，∴CD ＝8. 【答案】 B图1－2－882．如图1－2－88，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ； ②BE 2＝EG ·AE ； ③AE ·AD ＝AB ·AC ； ④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由△ABE ∽△ADC 得AB AD ＝AEAC，∴AE ·AD ＝AB ·AC ，故③正确；由相交弦定理得AG ·EG ＝BG ·CG ，故④正确．【答案】 B图1－2－893．如图1－2－89，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.【解析】延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355. 【答案】3554．⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，CD ＝7 cm ，那么CE ＝________cm.【解析】 ∵AB 与CD 相交于E ， ∴AE ·BE ＝CE ·DE .∵AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，CD ＝7 cm ，DE ＝CD －CE ＝7－CE.∴6×2＝CE (7－CE )，即CE 2－7CE ＋12＝0， ∴CE ＝3(cm)或CE ＝4(cm)．【答案】 3或4一、选择题图1－2－901．如图1－2－90，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 半径为( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5【解析】由相交弦定理知AP ·PB ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，∴PD ＝AP ·BP CP ＝4×63＝8， ∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 【答案】 A图1－2－912．如图1－2－91所示，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点E ，AC 和DB 的延长线交于点P ，下列结论成立的是( )A ．PC ·CA ＝PB ·BD B ．CE ·AE ＝BE ·EDC ．CE ·CD ＝BE ·BA D ．PB ·PD ＝PC ·PA【解析】由切割线定理的推论知PB ·PD ＝PC ·PA ，故选项D 正确．【答案】 D图1－2－923．如图1－2－92所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝12，AP ∶PB ＝1∶5，⊙O 的半径为( )A ．2 3B ．4 C.1855D ．2 6 【解析】由题意知CP ＝PD ＝6，由相交弦定理知，CP 2＝AP ·PB ＝5AP 2， ∴CP ＝5AP ， ∴AP ＝655，∴AB ＝6AP ＝3655，∴⊙O 的半径R ＝1855.【答案】 C图1－2－934．如图1－2－93所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为( )A.32B.22C.655 D.455【解析】由题意知BD ＝22，则CD ＝BC ＝2DE ＝2CE ＝2. ∴BE ·EF ＝1，又BE ＝BC 2＋CE 2＝22＋12＝5， ∴EF ＝55， ∴BF ＝5＋55＝655. 【答案】 C 二、填空题5．(2013·湖北高考)图1－2－94如图1－2－94，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________．【解析】设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R3.由相交弦定理，得CD 2＝AD ·DB ，所以CD ＝223R .在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CEEO＝8.【答案】 8图1－2－956．如图1－2－95所示，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CD ＝________.【解析】连接OC ，由切割线定理知PC 2＝PA ·PB ，即42＝8PA ，∴PA ＝2，∴AB ＝PB －PA ＝8－2＝6， ∴OA ＝OC ＝3， ∴OP ＝3＋2＝5，在Rt △OCP 中，CE ⊥OP ， ∴OC 2＝OE ·OP ，即32＝5OE ， ∴OE ＝95，∴BE ＝3＋95＝245，AE ＝3－95＝65，∴CE 2＝BE ·AE ＝245×65＝14425，∴CE ＝125，∴CD ＝245.【答案】245三、解答题图1－2－967．如图1－2－96所示，A为⊙O上一点，⊙A和⊙O相交于C，D，两圆的连心线交⊙A 于E，F，交⊙O于A，B，交CD于G.求证：AG·BG＝EG·FG.【证明】由相交弦定理得AG·BG＝CG·GD，CG·GD＝EG·FG，∴AG·BG＝EG·FG.图1－2－978．如图1－2－97，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF 切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N.(1)求证：AE2＝BN·EN；(2)如果AD经过圆心O，且AE＝EC，求∠AFC的度数．【解】(1)证明∵AEF，ABC分别是小圆的切线和割线．∴AE2＝AB·AC，如图，连接OA、OD，作OH⊥AD于H，则AH＝DH，BH＝CH.∴AB＝CD.又BC＝BC，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝BD.同理可证：BM＝EN，由相交弦定理，得AB·BD＝BM·BN.∴AB·AC＝EN·BN，可得AE2＝BN·EN.(2)如图，连接OE，有OE⊥AF于E，AE＝EF＝EC，则∠ACF＝90°.因AD过圆心O，故FC是圆的切线，∴FC＝EF＝EC，∴∠AFC ＝60°.图1－2－989．如图1－2－98，BC 是半圆的直径，D 、E 是半圆上的两点，且CE ＝ED .过C 作半圆的切线，与BE 的延长线相交于F ，BE 与CD 相交于G ，CE 、BD 的延长线相交于A ，连接DE .(1)求证：AB ＝BC ；(2)如果DG ∶GE ＝3∶5，BG ＝3k ，试用含k 的代数式表示AC . 【解】 (1)证明：DE ＝EC ，∠ABE ＝∠CBE . ∴BC 是半圆的直径， ∴∠AEB ＝∠CEB ＝90°. 又∵BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE . ∴AB ＝BC .(2)∵BC 是半圆的直径， ∴∠GEC ＝∠FEC ＝90°. ∵CF 是切线，∴∠GCE ＝∠CBE ＝∠FCE . 又∵CE ＝CE ， ∴△CEG ≌△CEF . ∴CG ＝CF ，EF ＝EG .由相交弦定理可得：DG ·GC ＝BG ·GE ， ∴BG CG ＝DGGE＝35. 由BG ＝3k ，得CG ＝5k ，∴CF ＝5k . ∵CF 是半圆的切线，由切割线定理得， ∴CF 2＝EF ·FB .设EF ＝EG ＝x ，则(5k )2＝x (x ＋x ＋3k )．解得x 1＝k ，x 2＝－52k (舍去)．∴EF ＝k .∴AC ＝2EC ＝2FC 2－EF 2 ＝25k2－k 2＝4k .10．如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B ，C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若PA ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________.【解析】根据已知可得，在Rt △PAO 中，AO ＝AP tan 30°＝2.故OD ＝1，且∠AOD ＝120°.在△AOD 中，根据余弦定理可得AD ＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7.又根据相交弦定理得CD ×DB ＝AD ×DE ，即1×3＝7×DE ，所以DE ＝377，所以AE ＝1077. 【答案】1077。

高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.1圆周角定理课件北师大版选修41

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【自主解答】延长 AD，AE，分别交⊙O 于 F，G，连接 BF，CG， ∵∠1＝∠2，∴B︵F＝C︵G， ∴BF＝CG，B︵G＝C︵F， ∴∠FBD＝∠GCE. 又∵BD＝CE， ∴△BFD≌△CGE， ∴∠F＝∠G，A︵B＝A︵C， ∴AB＝AC.
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1.解答本题时，添加辅助线，构造等弧是解题的关键. 2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.
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[再练一题] 1.如图 1-2-4，△ABC 内接于⊙O，高 AD，BE 相交于 H，AD 的延长线交⊙O 于 F，求证：BF＝BH.
图 1-2-4
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【证明】 ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AHE＝∠C. ∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C， ∴∠BHF＝∠F. ∴BF＝BH.
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1.△ABC 内接于⊙O，且A︵B∶B︵C∶C︵A＝3∶4∶5，则∠A＝________，∠B ＝________，∠C＝________.
【解析】 ∵A︵B∶B︵C∶C︵A＝3∶4∶5， ∴A︵B的度数为 90°，B︵C的度数为 120°，C︵A的度数为 150°， ∴∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°. 【答案】 60° 75° 45°
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(江苏高考)如图 1-2-9，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点.证明：∠OCB＝∠D.
图 1-2-9
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【精彩点拨】 A︵C所对的圆周角是∠B 与∠D，∠B＝∠D，△OBC 为等腰三角形，∠OCB＝∠B.

高中数学第1章直线、多边形、圆1.3.1圆内接四边形3.2托勒密定理学案北师大版选修4-1

精选教学设计圆内接四边形托勒密定理1.认识圆内接四边形的观点.2.掌握并灵巧运用圆内接四边形的性质定理与判断定理及其推论.[ 基础·初探]教材整理1圆内接四边形的性质定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补 .图 1-3-1如图 1-3-1，四边形ABCD内接于⊙ O，则有：∠ A＋∠C＝180°，B∠＋∠D＝180°. (2)推论图 1-3-2圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.如图 1-3-2，∠CBE是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠ CBE＝∠D .1.如图 1-3-3，ABCD是⊙ O的内接四边形，延伸BC 到 E，已知∠ BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD 等于()【导学号： 96990037】图 1-3-3° ° ° °【分析】∵∠BCD∶∠ECD＝3∶2，∴∠ECD＝72°，∴∠BOD ＝2∠A＝2∠ECD＝144°.【答案】 C2.如图 1-3-4所示，四边形ABCD 内接于⊙ O，若∠ BOD＝110°，那么∠BCD 的度数为________.图 1-3-41 1【分析】∵∠A＝∠BOD ＝×110°＝55°，2 2∴∠BCD＝180°－55°＝125°.【答案】125 °教材整理2圆内接四边形的判断定理及推论(1) 判断定理：假如一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个极点共圆.如图 1-3-5 ①，若∠A ＋∠C＝180°，B∠＋∠D＝180°，则四边形ABCD 内接于⊙O.(2) 推论：假如四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个极点共圆. 如图 1-3-5 ②，若∠CBE＝∠D，则四边形 ABCD 内接于⊙ O.图 1-3-53.以下说法正确的个数有()①平行四边形内接于圆；②梯形内接于圆；③菱形内接于圆；④矩形内接于圆；⑤正方形内接于圆 .A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【分析】依据圆内接四边形的判断定理知，④⑤正确.【答案】 B[ 怀疑·手记]预习达成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”商讨沟通：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：[ 小组合作型 ]圆内接四边形的性质如图 1-3-6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取PA＝AC，以PC为直AB， BC， AC 于 D， E， F.求证：PA DA径的圆分别交＝ .PB DP图 1-3-6【出色点拨】先利用 PC 是圆的直径，获得PF∥BC，再利用圆内接四边形的性质，得到 DF∥PC，最后利用平行线分线段成比率证明结论.【自主解答】连结 DF， PF.∵PC 是直径，∴PF⊥ AC.∵BC⊥AC，PA FA∴PF∥BC，∴PB＝FC.∵四边形 PCFD 内接于⊙ O，∴∠ADF ＝∠ACP，∵AP ＝ AC，∴∠APC＝∠ACP .∴∠ADF ＝∠APC.∴DF∥PC，DA FA PA DA∴＝，∴＝.DP FC PB DP1.在此题的证明过程中，都是利用角相等证了然两直线平行，而后利用直线平行，获得比率式相等 .2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相像或两直线平行的条件，进而证明一些比率式建立或证明某些等量关系.[ 再练一题 ]1.已知四边形ABCD 内接于圆， DE∥AC，交 BC 的延伸线于E，求证： AB·CE＝ AD ·CD.【证明】如图，连结BD ，∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB.∵∠ACB＝∠ADB ，∴∠ADB ＝∠E.在△ABD 与△CDE 中，∵∠ADB ＝∠E，∠BAD ＝∠DCE，∴△ABD ∽△CDE.AB AD∴＝.CD CE故 AB·CE＝ AD ·CD.圆内接四边形的判断如图 1-3-7，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP ⊥ BC 于 P.图 1-3-7求证： E， D， P， F 四点共圆.【出色点拨】证明此题可先连结PF，结构四边形EDPF 的外角∠ FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠ FPC＝∠FED 即可得出结论.【自主解答】连结 PF，∵AP⊥BC，F 为 AC 的中点，1∴PF＝ AC .21∵FC＝ AC，2∴PF＝ FC，∴∠FPC＝∠C.∵E， F， D 分别为 AB， AC， BC 的中点，∴EF∥CD， ED∥FC，∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E，D，P，F 四点共圆.1.此题证明的重点是怎样使用点E，D， F 是中点这一条件.2.要判断四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明.[ 再练一题 ]2.在△ABC中，AB＝AC，延伸CA到P，延伸AB到Q，使AP＝BQ，连结PQ .求证：△ABC 的外心 O 与 A，P，Q 四点共圆.【证明】如图，连结OA， OC， OP，OQ .在△OCP 和△OAQ 中， OC＝ OA .由已知 CA＝ AB， AP＝ BQ.∴CP＝ AQ .又 O 是△ABC 的外心，∴∠OCP＝∠OAC .因为等腰三角形的外心在顶角均分线上，∴∠OAC＝∠OAQ ，进而∠ OCP＝∠OAQ .∴△OCP≌△OAQ .∴∠CPO＝∠AQO .∴O、A、P、Q 四点共圆.圆内接四边形性质与判断的综合运用︵如图 1-3-8，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A ，C 重合)，延伸 BD 至 E.图 1-3-8(1)求证： AD 的延伸线 DF 均分∠CDE；(2) 若∠BAC＝ 30 °，ABC△中BC边上的高为2＋ 3.求△ABC外接圆的面积.【思路研究】(1) 利用圆内接四边形的外角等于内对角求解；(2)ABC△外接圆的圆心在 BC 边的高上，经过作协助线求解.【自主解答】(1) 如图，∵A， B， C， D 四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC .又 AB＝ AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB ＝∠CDF.又由对顶角相等得∠ EDF＝∠ADB ，故∠EDF＝∠CDF，可编写精选教学设计(2)设 O 为外接圆圆心，连结 AO 并延伸交 BC 于 H，则 AH ⊥ BC，连结 OC，由题意∠ OAC＝∠OCA ＝15°，ACB∠＝75°，∴∠OCH ＝60°，3设圆半径为r ，则 r ＋r＝2＋ 3 ，得r＝ 2 ，外接圆的面积为 4 π.21.在解答此题时用到了圆内接四边形的性质，垂径定理等知识，综合性较强.2.此类问题考察知识点较为丰富，常常波及圆内接四边形的判断与性质的证明和应用，最后获得某些结论的建立.[ 再练一题 ]3.如图 1-3-9，在△ABC中，CD是∠ACB的均分线，△ ACD的外接圆交BC 于点 E， AB ＝2AC.图 1-3-9(1)求证： BE＝2 AD ；(2)当 AC＝1，EC＝2时，求 AD 的长.【解】(1) 证明：连结DE，∵ACED 是圆的内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA.又∠DBE＝∠CBA ，∴△BDE∽△BCA，BE DE即有＝，而AB＝2AC，BA CA∴BE＝2DE.又 CD 是∠ACB 的均分线，∴AD ＝ DE，进而 BE＝2 AD .(2)由条件得 AB＝2 AC＝2，设 AD ＝ t，依据割线定理得BD ·BA ＝ BE·BC，即(AB－ AD ) BA·＝2 AD · AD(2＋ CE)，∴(2 －t) × 2 ＝2t(2 t＋ 2) ，即 2t2＋ 3t－ 2＝ 0，1解得 t＝或 t＝－2(舍去)，21即AD＝.2[ 研究共研型 ]四点共圆的判断方法研究 1判断四点共圆的方法有哪些？【提示】(1) 假如四个点与必定点距离相等，那么这四个点共圆.(2) 假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆.(3) 假如一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共圆.(4) 假如两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个极点共圆.(因为四个顶点与斜边中点距离相等)研究 2如图1-3-10，在四边形ABCD中，若∠ ADB＝∠ACB，那么A，B，C，D共圆吗？为何？图 1-3-10【提示】A， B， C， D 共圆.假定 A，B， C，D 不共圆，此中 C 点在圆外 C1处.设AC1 交⊙O于E点，连结，BE∵A， B， E，D 四点共圆，∴∠ADB ＝∠AEB.又知∠AEB 是△BEC 的一个外角，∴∠AEB＞∠ACB，∴∠ADB ＞∠ACB，这与∠ ADB ＝∠ACB 矛盾.∴假定不建立 .同理若C1(C)点在⊙O内，则有：∠ ACB＞∠ADB ，与∠ADB ＝∠ACB 矛盾.所以 A， B， C，D 共圆.如图 1-3-11，在△ABC中，AD＝BD，DF⊥ AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥ AC 交AB于点 G.图 1-3-11求证： (1) D，E，F，G四点共圆；(2)G，B， C， F 四点共圆.【出色点拨】此题考察四点共圆的判断定理及性质定理的应用.解决问题 (1) 可利用“如果四个点到必定点的距离相等，那么这四个点共圆”，解决问题(2) 可利用判断定理的推论证明 .【自主解答】(1) 连结GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF 的中点到 D， E， F， G 四点距离相等，∴D，E，F，G 四点共圆.(2)连结 DE.由 AD＝DB，又由 (1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE，∴GFE＝∠B，∴G， B，C， F 四点共圆.[ 建立·系统]1.在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B∶∠C∶∠D＝ m ∶n ∶p∶q ，则有()A. m＋p＞n＋qB.m＋n＝p＋qC.m＋p＝n＋qD.不可以确立【分析】依据圆内接四边形的对角互补知 C 正确.【答案】 C2.如图 1-3-12，AB为⊙ O的直径，P为⊙ O外一点，PA交⊙ O于D，PB交⊙ O于C，连结 BD ，AC 交于 E，以下关系中不建立的是()图 1-3-12A.∠ADB ＝∠ACB＝90°B.∠AED ＝∠P1C. ∠P＝∠AEB2D.∠PAC＝∠DBP【分析】∵AB 为⊙ O 的直径，∴ BD ⊥ AP ，AC ⊥ BP ，∴∠ADB ＝∠ACB ＝ 90 °，∠EDP ＝∠ECP ＝ 90 °，∴E ， D ， P ，C 四点共圆，∴∠AED ＝∠P ，∵A ， B ， C ， D 四点共圆，∴∠PAC ＝∠DBP ，1而∠P ＝ ∠AEB 没法确立 .2【答案】 C3.如图 1-3-13，两圆订交于 A ， B ，过A 的直线交两圆于点， D ，过B 的直线交两圆C于点 E ， F ，连结 CE ， DF ，若∠ C ＝ 115 °，则∠D ＝ ________.【导学号： 96990038 】图 1-3-13【分析】如图，连结 AB ，∵∠C ＝ 115 °，∴∠ABE ＝ 65 °，∴∠D ＝∠ABE ＝ 65 °.【答案】65 °4.圆内接四边形 ABCD 为平行四边形，则 cos A ＋ cos B ＋ cos C ＋cos D ＝ ________.【分析】∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，∴∠A ＋∠C ＝ 180 °，B ∠＋∠D ＝ 180 °，又∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝ 90 °，∴ cos A ∠＝ cos B ∠＝ cos C ∠＝ cos D ∠＝ 0 ，∴ cos A ∠＋ cos B ∠＋ cos C ∠＋ cos D ∠＝ 0.【答案】5.如图 1-3-14所示， AB ， CD 都是圆的弦，且 AB ∥CD ， F 为圆上一点，延伸 FD 、 AB使它们交于点 E .求证： AE ·AC ＝ AF ·DE .图 1-3-14【证明】如图，连结 BD ，∵AB ∥CD ，∴BD ＝ AC .∵A ， B ， D ，F 四点共圆，∴∠EBD ＝∠F .又∵∠DEB ＝∠FEA ，∴△EBD ∽△EFA .DE BD DE AC∴ ＝AF . ∴ ＝，AE AE AF即 AE ·AC ＝ AF ·DE .我还有这些不足：(1) (2)我的课下提高方案：(1) (2)。

高中数学第一章直线、多边形、圆本章整合课件北师

∴△ADB∽△AKD.
又△AKD∽△KGD,∴△ADB∽△KGD.
∴BDAD=DGKG.③
综合应用
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由①②③相乘,得BD3AD3=FGAG.
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综合应用
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12345
1(2014 广东高考)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且
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专题一射影定理
射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影,以及斜边与两直角边之间的比例关系,此定理常作为计算与证明的依据.在运用射影定理时,要特别注意弄清射影与直角边的对应关系,分清比例中项,否则在做题中极易出错.
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综合应用
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专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用如图所示,AD,BE 是△ABC 的高,DF⊥AB 于点 F,DF 交 BE 于点 G,FD 的延长线交 AC 的延长线于点 H.
求证:四边形 PQSR 是圆内接四边形.
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专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
证明:如图所示,连接RM,过点R作☉O3的切线RN,交PQ于点N. ∵∠PQS=∠O1O2O3, ∠PRS=∠PRM+∠MRN+∠NRS
=90°+∠P+∠O1O3O2 =90°+∠O2O1O3+∠O1O3O2, ∴∠PQS+∠PRS=90°+(∠O1O2O3+∠O2O1O3+∠O1O3O2)=90°+90°=180°. ∴四边形PQSR是圆内接四边形.
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2017-2018学年高中数学第一章直线、多边形、圆 1 第三课时直角三角形的射影定理课件北师大版选修4-1

又因为CD⊥AB，所以BC2＝BD·AB，
即12m2＝BD·m，所以BD＝14m. AD＝AB－BD＝m－14m＝34m.
由CD2＝AD·BD＝34m·14m＝136m2，
得CD＝
43m.因此，BD的长是14m，CD的长是
3 4 m.
11．如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC 和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCF.
图1
即AB2＋AC2＝BC2，
可得∠BAC＝90°，
如图(2)，显然AD2＝BD·CD，D点在△ABC外，图2 则∠ACB>90°，
所以△ABC是直角或钝角三角形．答案：D
二、填空题 5．如图所示，Rt△ABC中，AC⊥BC，点C在
AB上的正射影为D，且AC＝3，AD＝2，则AB＝ .
解析：∵AC⊥BC，又D是C在AB上的正射影， ∴CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB. 又AC＝3，AD＝2，∴AB＝AACD2＝92. 答案：92
在△BDC中，过D作DE⊥BC于E，
因为BD＝DC＝1，所以BE＝EC.
又因为AF⊥BC，所以DE∥AF，
所以DAFE＝DACC，所以DE＝DCA·CAF＝
x2－1 x.
在Rt△DEC中，因为DE2＋EC2＝DC2，
即

x2x－12＋x222＝12，
所以x2x－2 1＋x44＝1.
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°， ∴∠C＋∠B＝90°，∴∠BAC＝90°， ∴在Rt△ABC中，AD⊥BC. 由射影定理可知，AD2＝BD·CD，∴62＝8×CD， ∴CD＝92.
利用射影定理时注意结合图形．同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题．

2019-2020年高中数学第一章直线多边形圆1.1全等与相似三角形重要要素素材北师大版选修

2019-2020年高中数学第一章直线多边形圆1.1全等与相似三角形重要要素素材北师大版选修中线连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。

高从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude）。

角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（bisector of angle）。

中位线三角形的三边中任意两边中点的连线。

它平行于第三边且等于第三边的一半。

[1] [4] 边角关系三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

请参考相关词条。

性质角 1．在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）；2．在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)；3．在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4．一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5．在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

边 6．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

7．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

8．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

9．三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

10．三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

11．等底同高的三角形面积相等。

12．底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

13．三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

14．等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

高中数学第一章直线、多边形、圆 1.1 全等与相似三角形重要要素素材北师大版选修4-1

三角形重要要素中线连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。

高从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude）。

角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（bisector of angle）。

中位线三角形的三边中任意两边中点的连线。

它平行于第三边且等于第三边的一半。

[1] [4]边角关系三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

请参考相关词条。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4．一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5．在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

边 6．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

7．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

8．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

9．三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

10．三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

11．等底同高的三角形面积相等。

12．底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

13．三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

14．等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

其他15．在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

高中数学第一章直线、多边形、圆 1.1 全等与相似相似素材北师大版选修41

相似
相似，指相类、相像的意思。

语出《易·系辞上》：“与天地相似，故不违。

”学科上解释为如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似。

同义词：类似雷同好像肖似相仿相同相像形似一致相通一样好似犹如宛如彷佛似乎近似
解释
[resemble;be similar;be alike] 相类;相像
相似三角形
豕与亥相似。

——《吕氏春秋·慎行论》
引证解释
相类；相像。

《易·系辞上》：“与天地相似，故不违。

”南朝梁萧统《采莲曲》：“桂楫兰桡浮碧水，江花玉面两相似。

”明冯梦龙《东周列国志》第七十二回：“吾乃扁鹊之弟子东皋公也。

自少以医术游于列国，今年老，隐居于此。

数日前，蒍将军有小恙，邀某往视，见关上悬有伍子胥形貌，与君正相似，是以问之。

君不必讳，寒舍只在山后，请那步暂过，有话可以商量。

”
清袁赋谌《重修（袁可立）始祖荣公遗像记》：“若一根毫发不相似便是他人，此照不宜传也。

”清李渔《意中缘·名逋》：“只要画得有几分相似，就不十分到家，我和你指点一指点，改正一改正，也就可以充得去了。

”老舍《赶集·黑白李》：“其实他俩的脸都很白，而且长得极相似。

”也可以用长相相似来做比喻，如：名人：“蓝歌长相有点与迪拜王子相似”，当然，也可以用酷似来做比喻，如“蓝歌长相酷似迪拜王子”。

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托勒密定理及逆定理的证明
托勒密定理：如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．证明：设ABCD 是圆内接四边形。

在弦BC 上，圆周角∠BAC = ∠BDC ，而在AB 上，∠ADB = ∠ACB 。

在AC 上取一点K ，使得∠ABK = ∠CBD ；
因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD ，所以∠CBK = ∠ABD 。

因此△ABK ∽△DBC ，
同理也有△ABD ∽△KBC 。

因此AK/AB = CD/BD ，且CK/BC = DA/BD ；（1）因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；（2）两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；但AK+CK = AC ，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。

证明：设四边形ABCD 有外接圆O ，AC 和BD 相交于P ，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD 的四边都相等，则四边形ABCD 为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设AB<AD.在弧AD 上取一点E ，使DE=AB ，连结AE ，BE ，DE ，则AE ∥BD ，于是△ABD ≌△EDB ，从而AD=BE ． S 四边形ABCD =
2
1
AC ×BD ×sin α 又S 四边形BCDE =
2
1
（BE ×BC+DE ×CD ）sin ∠EBC 而S 四边形ABCD =S 四边形BCDE ，所以
21（BE ×BC+DE ×CD ）sin ∠EBC=2
1
AC ×BD ×sin α 即(AD ×BC+AB ×CD)sin ∠EBC=AC ×BD ×sin α．由于∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC ，所以AD ×BC+AB ×CD=AC ×BD ．托勒密定理逆定理的证明：
证明：在任意四边形ABCD 中，连接AC ，取点E 使得∠1=∠2（即∠ABE=∠ACD ） ∠3=∠4（即∠BAE=∠CAD ，）则△ABE ∽△ACD 所以
CD BE =AC
AB
，即BE·AC=AB·CD (1) 又有比例式
AC AB =AD
AE
得： AE AB =AD AC
而∠BAC=∠1+∠EAC ，∠DAE=∠2+∠EAC 得∠BAC=∠DAE
所以△ABC ∽△AED 相似.
A B
C
D
E
1 2 3 4
5
6
K
A
B
C
D
得：
ED BC =AD
AC
即ED·AC=BC·AD (2) 且∠5=∠6 (1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD
得：AB·CD+AD·BC≥AC ·BD 当BE+ED= BD 时，点B ，E ，D 共线此时因为∠3=∠4，∠5=∠6
在△ABC 中，∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠6=180o 得：∠1+∠2+∠EAC+∠4+∠5=180o 即∠BAD+∠BCD=180o
得此时，A ，B ，C ，D 四点共圆。

（仅在四边形ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证。