两条直线垂直的条件
直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件
直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件直线是数学中最基本的几何图形，也是最重要的概念之一。
因此，研究直线的方程形式、适用条件以及平行、垂直的充要条件对深入学习几何学有着至关重要的意义。
一、直线的五种方程形式一条直线可以用五种方程来描述，即标准形式（ax+by+c=0）、斜截式（y=kx+b）、极点式（r=xcosα+ysinα）、双曲线式（a(x^2/b^2)+y^2/c^2=1）、夹角式（y/x=(m-tanα)/(1+mtanα））。
1.准形式：它是最常用的直线方程，由一般式ax+by+c=0组成，其中a，b，c分别是实数且a和b不同时为零。
2.截式：它是一种常用的直线的方程，其形式为y=kx+b，其中k 是斜率，b是截距。
3.点式：它是一个椭圆和直线的关系，形式为r=xcosα+ysinα，其中r是极点半径，α是极点经度。
4.曲线式：它是一条椭圆和直线的关系，形式为a(x^2/b^2)+y^2/c^2=1，其中a，b，c是实数。
5.角式：它是一条椭圆和直线的关系，形式为y/x=(m-tanα)/(1+mtanα)，其中m是双曲线正负性，α是夹角。
二、直线的适用条件有关直线的方程形式大多有自己的适用条件，即它们的结果是有效的，所有的结果必须符合这些条件。
因此，对于不同的方程形式，应该清楚其适用条件。
1.准形式适用条件：a和b不同时为零；2.截式适用条件：k不能为零；3.点式适用条件：α不能为零；4.曲线式适用条件：其中a，b，c不能为零；5.角式适用条件：α不能为零。
三、平行、垂直的充要条件当两条直线的斜率相等时，我们可以认定这两条直线为平行；当两条直线的斜率互为相反数时，我们可以认定这两条直线为垂直。
简言之，两条直线平行或者垂直的充要条件为：1. 两条直线的斜率相等则两直线平行；2. 两条直线的斜率互为相反数则两条直线垂直。
另外，从空间角度上看，如果两条直线都垂直于同一直线，则这两条直线也是平行的。
证明两直线垂直的几种常用方法
数学篇解题指南两条直线垂直是两直线间的一种特殊位置关系.证明两条直线垂直，实际上就是证明两条相交直线所成的角为直角.因为直接判定两条直线垂直的定理不多，且较为分散，所以证明两条直线垂直问题是初中几何证明题中难度较大的一类问题.下面结合一些经典例题就这类问题的证明方法进行剖析.一、证明两条直线所成的角等于已知直角在证明两条直线互相垂直时，若题目中存在明显的已知直角，同学们要注意善用已知条件中的直角，灵活运用三角形全等的知识，证明两条直线相交所成的角等于已知直角，从而得出两条直线垂直.例1如图1所示，已知MN =MP ，NR =PQ ，NQ ⊥MP .求证：PR ⊥MN .分析：本题中要证明PR ⊥MN ，需要证明∠MRP =90°.因为NQ ⊥MP ，所以可知∠MQN =90°，故而需要证明∠MRP =∠MQN ，也就是证明△MRP ≌△MQN .证明：因为MN =MP ，NR ＝PQ ，所以MN -NR ＝MP -PQ ，即MR ＝MQ .在△MRP 和△MQN 中，ìíîïïMN =MP ,∠M =∠M ,MR =MQ ,所以△MRP ≌△MQN （SAS ），所以∠MRP =∠MQN .因为NQ ⊥MP ，所以∠MQN =90°，所以∠MRP =90°，所以PR ⊥MN .评注：本题中的已知直角较为明显，直接利用三角形全等即可得证.但有时直角条件不明显，要证明某个角等于已知直角，需要挖掘隐含条件，或添加辅助线构造直角，然后再利用三角形全等证明两角相等.二、证明两条直线相交所成的邻补角相等两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角.一个角与它的邻补角的和等于180°.它们相等就是两个角分别为180°2=90°，由此即可证明这两条直线是互相垂直的.所以，要证明两条直线垂直，可以借助两条直线相交所成的邻补角相等来证明.例2如图2所示，已知△ABD 与△BDC 均为等边三角形，连接AC ，交BD 于点E .求证：AC ⊥BD .分析：要证明AC ⊥BD ，需要证明∠BEC =90°或∠BEA =90°，即证明∠BEA 与其邻补角∠BEC 相等，而要证明∠BEA =∠BEC ，只需要证明△BAE ≌△BCE .证明两直线垂直的几种常用方法江苏省宿迁市泗洪姜堰实验学校刘为芹图1图219数学篇解题指南证明：因为△ABD 与△BDC 均为等边三角形，所以可知AB =BD =BC ，∠ABD =∠CBD =60°.在△BAE 和△BCE 中，ìíîïïBA =BC ,∠ABD =∠CBD ,BE =BE ,所以△BAE ≌△BCE （SAS ），所以∠BEA =∠BEC =12×180°=90°，所以AC ⊥BD .评注：两条直线相交所成的四个角中，有一组邻补角相等时，可根据邻补角互补，得出这两个角都是90°，由垂直的定义即可得出这两条直线互相垂直．三、证明两相交直线的夹角所处的三角形中，另外两个锐角互余相加等于90°的两个角称作互为余角.直角三角形中的两个锐角是互余的.因此，要证明两条直线垂直，可以证明两条相交直线的夹角所在的三角形中，另外两个锐角互余，那么两条相交直线所成的夹角即为90°.例3如图3所示，已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，BE 、AD 相交于点F .求证：BE ⊥AD .分析：本题中要想证明BE ⊥AD ，只需证明∠EFD =90°，也就是需要证明∠1+∠2=90°，又∠3+∠4=90°，∠2=∠3，这样只需要证明∠1=∠4.而要证明∠1=∠4，只需要证明△BCE ≌△ACD .证明：因为∠BCA =∠DCE =90°，所以∠BCA +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，ìíïïCE =CD ,AC =CB ,所以有∠4=∠1.又因为∠3+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠1=90°，所以∠EFD =90°，所以BE ⊥AD .例4如图4所示，已知在△ABC 中，AB =BC ，高AD 、BE 交于点F ，BG =GF ，DH ⊥AC 于H ，M 在BE 的延长线上，EM =DH .求证：AG ⊥AM .分析：要想证明AM ⊥AG ，需要证明∠GAM =90°，也就是需要证明∠AGM +∠M =90°.因为∠EAM +∠M =90°，所以只需要证明∠EAM =∠AGM .证明：连接DE 、DG .因为AD 、BE 为△ABC 的高，所以∠EBC =90°-∠C =∠DAC .因为AE =DE ，所以∠DEH =2∠DAC .因为BG =GF =GD ，所以∠DGE =2∠EBC ，所以∠DEH =∠DGE .因为DH ∥BE ，所以∠EDH =∠DEG ，所以△DEH ∽△GED ，所以ED DH =GE ED ，AE EM =GE AE .因为∠AEG =∠AEM =90°，所以△GAE ∽△AME ，所以∠AGM =∠EAM .因为∠EAM +∠AEM =90°，所以∠AGM +∠M =90°，所以∠GAM =90°，所以AG ⊥AM .评注：证明三角形中的两个锐角互余，是证明三角形的一个内角为直角的常用方法，我们由此即可证明三角形的直角边所在的两图3图4。
直线与直线垂直的判定
直线与直线垂直的判定直线与直线垂直的判定是在几何学中非常重要的理念之一。
当两条直线彼此垂直时，它们在交点处形成一个直角。
在日常生活中，我们经常会遇到直线与直线垂直的情况，比如建筑物的角落、交叉路口的交通信号灯等。
正确判定直线是否垂直对于绘图、测量和解决问题都具有重要性。
首先，判定直线是否垂直最常用的方法是通过观察两条直线的斜率。
如果两条直线的斜率的乘积等于-1，则它们彼此垂直。
换句话说，斜率的倒数相乘为-1可以判断两条直线是否垂直。
例如，假设直线A的斜率为m1，直线B的斜率为m2，如果m1 * m2 = -1，则直线A和直线B垂直。
其次，另一种常见的方法是通过观察两条直线的方程。
如果两条直线的方程中的系数之间存在一定的关系，那么直线彼此垂直。
例如，考虑两条直线分别表示为y = m1x + b1和y = m2x + b2，其中m1和m2是斜率，b1和b2是截距。
如果m1 * m2 = -1，则这两条直线垂直。
除了以上方法之外，我们还可以使用几何学中的垂直平分线定理来判断直线是否垂直。
垂直平分线定理指出，直线与另一条直线或线段垂直的充要条件是它通过另一条直线上的某个点并且垂直于这条直线的斜率。
换句话说，如果一条直线通过另一条直线上的某个点，并且它的斜率等于被垂直线的负倒数，那么这两条直线垂直。
在应用上述方法判定直线是否垂直时，我们可以使用几何工具，如尺子和直尺，来帮助我们绘制并测量直线的斜率。
此外，计算机辅助设计（CAD）软件和几何学应用程序也可以提供更准确和精确的判断结果。
总之，直线与直线垂直的判定在几何学中具有重要意义。
通过观察斜率、方程和应用垂直平分线定理，我们能够准确判断直线是否垂直。
这种判定方法可以应用于各种实际情境，包括建筑设计、测绘、工程计算等，并且能够帮助我们解决问题和做出准确的测量。
因此，在学习几何学和应用数学时，掌握直线与直线垂直的判定方法是十分必要的。
垂直和平行线的性质和判定
垂直和平行线的性质和判定垂直和平行线是几何学中常用的概念，它们具有独特的性质和判定条件。
本文将介绍垂直和平行线的一些基本性质，并探讨如何判定两条线是否垂直或平行。
一、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线相互交于一点，且交角为90度的线段。
垂直线的性质如下：1. 垂直线与平面上的任意一条直线相交，所成的角都是90度。
根据这个性质，我们可以通过观察两条线段的交角来判断它们是否垂直。
如果两条线段交角为90度，则它们是垂直线。
2. 垂直线的斜率乘积为-1。
斜率是直线的一个重要属性，可以用斜率来判断两条直线是否垂直。
对于两条直线，如果它们的斜率乘积等于-1，则说明它们是垂直线。
3. 垂直线上的点到另一条直线的距离最短。
这是垂直线的特殊性质之一，垂直线上的任意一点到另一条直线的距离都是最短的。
二、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面内，没有相交点，且永远保持相同的距离的直线。
平行线的性质如下：1. 平行线的斜率相等。
这是判断两条线是否平行的最常用方法。
对于两条直线，如果它们的斜率相等，则说明它们是平行线。
2. 平行线上的对应角相等。
如果两条平行线被一条横截线相交，那么对应角也是相等的。
这是平行线性质中的重要定理之一。
3. 平行线上的任意两点到另一条直线的距离相等。
这是平行线的另一个重要特性，平行线上的任意两点到另一条直线的距离都是相等的。
三、垂直和平行线的判定方法1. 通过斜率判定通过比较两条线的斜率可以判断它们的关系。
如果两条线的斜率乘积为-1，则它们是垂直线；如果两条线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 通过角度关系判定如果两条直线相交的角度为90度，则它们是垂直线。
如果两条直线被一条横截线相交，且对应角相等，则它们是平行线。
3. 通过距离判定如果两条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等，则说明它们是平行线。
如果垂直线上的任意一点到另一条直线的距离最短，则说明它们是垂直线。
综上所述，垂直和平行线具有各自独特的性质和判定条件。
两条直线垂直的条件的教学设计
《两条直线垂直的条件》一、教材分析：教材：人教版普通高中课程标准实验教科书B版，必修（二）第二章第二节第三部分内容平面解析几何初步这一章，主要内容是用代数形式研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线和圆。
通过这一章的学习，既能为进一步学习解析几何的圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想方法打好坚实的基础。
本节课是在学习了直线的四种基本形式（斜截式、点斜式，两点式和一般式）的基础上，进一步探究如何利用直线方程的系数判定两条直线的垂直关系。
它既是直线方程概念的深化利用，也是后续研究直线与圆的位置关系的重要基础，并在会考说明中，有具体的考察题目。
用直线方程判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本章乃至整个解析几何体系的一种思想方法。
综上所述：我将本节课的教学目标定为：①知识与技能：根据两条直线的斜截式和一般式，判定两条直线垂直②过程与方法：类比两条直线平行条件的研究方法，学生自我探究，生成知识结构并应用解题③情感态度价值观：培养用代数方法研究几何问题的思想，感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。
教学重点为：根据两条直线方程，判定两条直线垂直。
二、教法分析：课前：数学知识相互联系十分紧密。
研究新的问题，必须有熟练应用的知识基础作保证，而我们的学生经常会在这一环节中出现问题，因此，在教学之前，需要做好相应的知识铺垫，避免课堂上出现断档，保持课堂的流畅性。
因此我设计了课前学案。
课中：通过阅读教参，发现两条直线垂直的条件，以及前一节课的两直线平行条件，都可以从代数和几何两个方向加以证明，其中代数方法着重培养学生的代数思维和计算推理能力，几何方法更加直观，学生容易理解和建构数与形之间的关系，而且几何方法中涉及的直线的斜率，是今后学习导函数的重要基础，学生一定要理解斜率的作用。
效果：设计了课堂检测，对学生的学习程度进行随堂的检测。
直线方程垂直的条件
直线方程垂直的条件在平面几何中，直线的性质是研究的重点之一。
在研究直线的性质时，我们经常会遇到两条直线是否垂直的问题。
垂直是指两条直线相互成直角的性质。
本文将讨论直线方程垂直的条件。
1. 垂直直线的定义如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
斜率是指直线上两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
如果直线的斜率为k，则垂直直线的斜率为$-\\frac{1}{k}$。
这是垂直直线的一般定义。
2. 直线方程的表示形式直线可以用不同的形式来表示。
最常见的表示形式是点斜式和一般式。
2.1 点斜式点斜式是指通过已知直线上一点和直线的斜率来表示直线的方程。
如果直线上已知一点P(x1,y1)和直线的斜率k，则直线的点斜式方程为y−y1=k(x−x1)。
2.2 一般式一般式是指直线的一种标准化的表示形式，形式为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
一般式方程可以通过点斜式方程变换得到。
3. 直线方程垂直的条件根据垂直直线的定义和直线方程的表示形式，我们可以得出直线方程垂直的条件：3.1 斜率乘积为-1如果两条直线的斜率k1和k2满足$k_1 \\cdot k_2 = -1$，则这两条直线垂直。
利用斜率的乘积性质，我们可以得到直线方程垂直的通用条件。
3.2 一般式形式的直线方程如果两条直线的一般式方程为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，它们垂直的条件为A1A2+B1B2=0。
这是一般式形式的直线方程垂直的特定条件。
3.3 求解两直线交点如果已知直线的方程，我们可以通过求解两直线的交点来判断它们是否垂直。
如果两条直线的斜率乘积为-1或者通过求解得到的交点满足直角条件，那么这两条直线是垂直的。
4. 实际应用直线方程垂直的性质在实际问题中有广泛的应用。
举例来说，我们可以利用直线方程垂直的条件来解决以下问题：•判断两条道路是否垂直交叉，以确保交叉路口布局的安全性；•判断斜坡和水平路面之间的夹角，以保证坡度合理；•解决勾股定理中直角三角形的问题，其中直角边的斜率为-1。
两条直线的位置关系(垂直)
课题：两条直线的位置关系(垂直)课型：新授主备教师：李怀忠：使用教师：使用时间：____年_____月_____日______节教学重点：两条直线平行、垂直的条件两条直线方程为l1：A1x+B1y+C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0时l1⊥l2则___________________两条直线方程为l1：y=k1x+b1, l2：y=k2x+b2时，l1⊥l2则___________________ (2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线方程可写为________________________ 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可写为________________________自测自评1下列与直线x-2y-1=0垂直的是（）A 2x+y-1=0B 2ax+ay-a=0C 2x-y-1=0D x+2y+1=02经过点A（3，1），B（-2，0）的直线与直线y=-5x+14的位置关系是（）A平行B垂直C重合D不确定3与直线5x+3y-1=0垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程为 ( ) A 3x-5y+30=0 B 3x-5y-30=0 C 5x-3y+30=0 D 5x-3y+30=0典例精讲例题一：求过点A（2，1）且与直线2x+ay-10=0垂直的直线方程。
例题二：求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程。
（1）（-1，3），3x+4y+1=0 （2）(1,2)，y=3x+2变式训练直线l1：ax+(1-a)y=3与l2：（a-1）x+（2a+3）y=2垂直，求a的值。
反馈提高1、已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD垂直于AB，且BC与AD平行，并判断此时四边形ABCD的形状。
2、直线l1：（m+2）x-(m-2)y+2=0与l2：3x+my-1=0垂直，求m的值。
3、已知三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3能够成三角形，求a的取值范围。
两直线垂直的斜率公式
两直线垂直的斜率公式一、斜率的定义要理解两直线垂直的斜率公式，首先需要了解直线的斜率的定义。
在平面几何中，直线的斜率是直线上两个点之间纵坐标差与横坐标差的比值。
设直线通过点(x1,y1)和(x2,y2)，则直线的斜率m可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)(1)其中，x2-x1≠0，否则直线会退化成一条竖直的线。
二、两直线垂直的条件在笛卡尔坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1、设直线1的斜率为m1，直线2的斜率为m2，则两条直线垂直的条件可以表示为：m1*m2=-1(2)即两直线的斜率之积为-1三、推导垂直斜率公式现在我们来推导两直线垂直的斜率公式。
假设有两条直线，直线1通过点(x1,y1)和(x2,y2)，斜率为m1；直线2通过点(x3,y3)和(x4,y4)，斜率为m2根据定义，直线1和直线2分别可以表示为：直线1：y=m1*x+c1(3)直线2：y=m2*x+c2(4)其中，c1和c2分别是直线1和直线2的截距。
现在我们来推导直线1和直线2的斜率之积等于-1首先，将方程(3)和方程(4)中的y值相等，得到：m1*x+c1=m2*x+c2移项整理得到：(m1-m2)*x=c2-c1如果直线1和直线2不平行，那么m1≠m2，所以x=(c2-c1)/(m1-m2)。
另外，直线1和直线2垂直，根据条件(2)可以得到：m1*m2=-1将m1和m2的值代入，得到：m1*(-1/m1)=-1所以，推导出来的斜率之积为-1综上所述，我们得到了两直线垂直的斜率公式：如果两直线的斜率分别为m1和m2，并且m1*m2=-1，那么这两条直线垂直。
这就是两直线垂直的斜率公式。
值得注意的是，斜率公式只适用于非垂直于x轴的直线。
对于垂直于x轴的直线，斜率是不存在的，因为这条直线的x坐标不变。
高二数学两条直线平行与垂直的条件
1
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)
那么L1∥L2的充要条件是
2
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)
那么L1⊥L2的充要条件是
已知直线
(a + 2) x + (1 - a ) y - 3 = 0 与
(a - 1) x + (2a + 3) y + 2 = 0 互相垂直，求的值
求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧：
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0 ，其中待定（直线系）
0
。
1
2 若直线 x + ay = 2a + 2和 ax + y = a + 1平行，则 a =
3 直线 Ax - 2 y - 1 = 0和直线 6 x - 4 y + C = 0平行 的条件是 。
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
O
2
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
两条直线垂直的充要条件
两条直线垂直的充要条件
题目：两条直线垂直的充要条件
要想两条直线能够垂直，则必须满足以下条件：
一、角度关系
首先，要使两条直线垂直，两条直线的夹角必须是90度，即斜率之间的乘积等于-1。
二、斜率关系
另外，对于直线的斜率，如果两条直线的斜率相乘得到-1，则也能使两条直线垂直。
即若斜率分别为m 和 k，则m×k=-1 则两条直线垂直。
三、直线函数关系
此外，对于直线函数，如果两条直线函数的a 值之积等于-1，那么两条直线也可以垂直。
举个例子，如 y = ax + b，则a ×a' = -1，即a ×a' = -1，a'为第二条直线函数的a 值，可以使两条直线垂直。
总而言之，上述条件若满足的话，则可以使两条直线垂直。
同学们在使用直线绘制时，一定要牢记所有以上垂直条件，使用更加精准。
立体几何垂直判定定理
立体几何垂直判定定理立体几何垂直判定定理一、前言在立体几何中，垂直是一个非常重要的概念。
垂直关系不仅存在于平面内，也存在于空间中。
本文将介绍立体几何中的垂直判定定理。
二、定义在三维空间中，两条直线或两个平面互相垂直，当且仅当它们的方向向量互相垂直。
三、证明1. 两条直线的垂直判定对于两条不共面的直线l1和l2，它们互相垂直当且仅当它们的方向向量l1和l2满足以下条件：l1·l2=0（点乘为0）其中，“·”表示向量点乘运算。
证明如下：设l1的方向向量为a=(x1,y1,z1)，l2的方向向量为b=(x2,y2,z2)。
则有：a·b=x1x2+y1y2+z1z2若a·b=0，则有x1x2+y1y2+z1z2=0。
这说明a与b互相垂直。
反之，若a与b互相垂直，则有a·b=0。
因此，两条不共面的直线互相垂直当且仅当它们的方向向量满足上述条件。
对于两条共面的直线，它们互相垂直当且仅当它们的方向向量l1和l2满足以下条件：l1·l2=0（点乘为0），且l1和l2不共线其中，“·”表示向量点乘运算。
证明如下：设l1的方向向量为a=(x1,y1,z1)，l2的方向向量为b=(x2,y2,z2)。
则有：a·b=x1x2+y1y2+z1z2若a·b=0，则有x1x2+y1y2+z1z2=0。
这说明a与b互相垂直。
但是，如果a和b共线，则它们不可能互相垂直。
因此，我们需要加上一个限制条件：l1和l2不共线。
反之，若a与b互相垂直，且l1和l2不共线，则有a·b=0。
因此，两条共面的直线互相垂直当且仅当它们的方向向量满足上述条件。
综上所述，两条直线互相垂直当且仅当它们的方向向量满足上述条件。
2. 两个平面的垂直判定对于两个平面P1和P2，它们互相垂直当且仅当它们的法向量n1和n2满足以下条件：n1·n2=0（点乘为0）其中，“·”表示向量点乘运算。
互相垂直的两条直线的解析式关系
互相垂直的两条直线的解析式关系
直线就是指一条无穷大的、有向的、连续的线段，它由无穷多点所构成。
两条直线互
相垂直就是说，这两条直线之间的夹角为90°，也就是说，两条直线之间没有共线的点。
若两条直线的斜率为 m1、m2 ，则满足 m1 *m2 = -1 的关系
也就是说，两条直线相互垂直的充分必要条件就是它们的斜率乘积为-1。
具体来看，如果要判断两条直线是否相互垂直，首先需要求出它们的斜率，即在 xy
平面上两条直线的坐标关系式分别为：
y = k1 ·x +b1 ; y = k2 ·x +b2
其中 k1 和 k2 就是两条直线的斜率，b1，b2为两直线在 y 轴上的截距。
以实际例子来说，我们来看一个平面上已知两直线的方程式：
y=2x+3； y=-1/2x+4
计算可以得到，两条直线的斜率分别是 2 和 -1/2 。
可以看出，两条直线的斜率 m1 * m2 = -1 。
所以，这两条直线相互垂直。
综上，可以概括总结出，两条直线相互垂直的充分必要条件就是它们的斜率乘积为-1，即： m1 *m2 = -1，这就是两条直线互相垂直的解析式关系。
两条直线垂直一般式
两条直线垂直一般式
在平面直角坐标系中，两条直线相交于一个点，这两条直线可以成为垂直直线。
对于垂直直线，我们可以通过一般式来表示。
一般式是表示直线的一种常用方式，它的形式为Ax+By+C=0。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般式来表示。
对于两条垂直直线，它们的一般式中的系数满足一个条件：它们的乘积为-1。
假设有两条直线L1和L2，它们的一般式分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0。
如果L1和L2是垂直直线，则有A1A2+B1B2=0。
通过这个条件，我们可以求出两条垂直直线的一般式。
例如，如果直线L1的一般式为2x+3y-4=0，而直线L2与L1垂直，则L2的一般式可以表示为-3x+2y+5=0。
当然，我们也可以通过其他方式来判断两条直线是否垂直。
例如，如果两条直线的斜率之积等于-1，则它们是垂直直线。
斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
在实际应用中，垂直直线常常用于解决几何问题。
例如，我们可以利用垂直直线来求解三角形的各个角度或边长。
此外，在工程设计中，垂直直线也经常用于建筑物的设计或地形测量。
两条直线垂直一般式是平面直角坐标系中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解几何问题，并解决实际问题。
证明两线互相垂直的常用方法
证明两线互相垂直的常用方法我们学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，大家可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，同学们下面欣赏常见的线面垂直证明方法.一、利用定义垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
从定义可以看出，只要说明两条直线相交的角是直角，就可以说明两条直线互相垂直。
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.求证：PC是⊙O的切线；分析：因为点C在圆上，只要说明OC⊥CP即可。
解：∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠ A ,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线例2：（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．分析：线段之间的垂直，只要说明∠BFD=90°，直接计算不出来，通过三角形全等，间接证明角度为90°。
证明：在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴ △ACD≌△BCE（SAS）∴ ∠DAC＝∠EBC．∵ ∠ADC＝∠BDF，∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴ ∠BFD=90°∴ AF⊥BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．分析：题目同（1）类似，类比（1）思路，这里△ACD和△BCE，显然不全等，考虑相似即可。
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（2）计算M=A1A2+B1B2(k1k2);
（3）若M=0(-1)，则L1⊥L2；若M 0(-1)，则L1与L2不垂直。
提问：根据计算步骤判断下面五组直线中哪组的两条直线是垂直的，看谁做的又快有准？
例题：判断两条直线是否垂直：
①2x-4y-7=0与2x+y-5=0；（是）
讲
授
新
课
讲
授
新
课
巩
固
新
课
一、公式推导：
提问：已知两条直线方程，也就是说在每条直线上都有一点满足直线方程，并且存在一个已知的直角，那么我们能想到什么特殊的图形呢？看看能不能通过这种特殊图形的性质推导出我们判断两条直线垂直的公式呢？给大家几分钟的时间分组讨论，思考一下，谁能说说怎么证明两条直线垂直的条件呢？
题目
两条直线垂直的条件
年级
高中一年级
上课地点
微格教室
课型
新授课
教具
三角板
教学方法
讲解法：“自主探索——合作交流——问题解决”
教
学
目
标
1、知识与技能：（1）通过对两条直线垂直的公式推导，进一步理解直线方程的概念，熟练掌握两条直线垂直的判定公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；
（2）掌握两条直线垂直的充要条件，根据两条直线垂直的位置关系求出（或表示出）相关直线的斜率。
当L1⊥L2时，通过坐标原点作直线L1’∥L1和L2’∥L2，则L1’和L2’互相垂直。
在直线L1’，L2’上分别取两点A（x1,y1）、B（x2,y2）(不含原点)。由勾股定理，得
x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
化简，有x1x2+y1y2=0，
由假定可知B1≠0，B2≠0,因此
②y=3x+1与y=- x+5；（是）
③y=x与2x+2y-7=0；（是）
④x+4y-5=0与4x-3y-5=0（否）
⑤x=3与y=2。（是）
例题：求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：
（1）点（-1,3），直线方程y=2x-3；
（2）点(1,2),直线方程2x+y-10=0。
分析：①通过两条直线垂直的判定公式求出所求直线的斜率
的思想；
2、能够根据判断两条直线垂直条件的计算步骤，准确
断两条是否垂直，或者根据两条直线垂直的条件求解直线方程；
3、掌握例题中用待定系数法求解，体会数形结合的思想，掌握判断条件的逆运用。
作
业
P93练习题A：
2、根据此题类型，需要根据斜率来判断；
3、写出AB、BC的直线方程，然后根据判断的条件证明；
4、与例题相同。
2、过程与方法：（1）在两条直线相交、平行与重合的位置关系的知识基础上，通过观察、猜想和师生讨论得出两条直线垂直的条件；
（2）通过体验、经历用斜率研究两条直线位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的关系，解释几何含义，即初步体会数形结合的思想。
3、情感态度与价值观：（1）通过对知识的自主探索、归纳，提高学习兴趣，树立信心，培养坚强的意志品质和锲而不舍的学习精神；
已知两条直线：L1:A1x+B1y+C1=0，L2: A2x+B2y+C2=0，由于直线L1与直线L1’:A1x+B1y=0平行或重合，直线L2与直线L2’:A2x+B2y=0平行或重合，因此我们研究L1和L2垂直条件时，可转化为研究直线L1’和L2’垂直的条件。
①假定L1，L2都不与坐标轴平行或重合：
x-2y+3=0。
先找同学说说自己证明的思路，最后老师给出正确证明过程。
教师应该提醒学生注意分类讨论的思想。
重点强调斜率不存在时如何判断。
教师给学生适当时间计算，然后找同学说出判断结果。
老师分析讲解之后，根据已经给出的计算步骤，找两名同学共同上黑板演示，比较分析。
教学过程
小
结
1、掌握证明两条直线垂直的条件的方法，体会数形结
②通过直线斜率写出直线的待定系数的点斜式程
③通过已知点求出方程
解：（1）设所求直线方程为y=- x+b。
因为直线过点（-1,3），代入方程，得b= ，
所以所求直线方程为
y=- x+ ,即x+2y-5=0。
（2）设所求直线方程为x+2y+C=0。
因为直线过点（1,2），代入方程，得C=3，
所以所求直线方程为
P94练习题B：
1、2、根据两条直线垂直的条件写出带有参数的方程求解；
3、根据判断的条件进行判断；
4、首先写出直线AB的方程，然后根据例题求解直线方程。
教
学
后
记
在分析斜率关系时，应该注重强调斜率存在与斜率不存在时的情况对比，总结计算步骤时，也应该讨论斜率这种情况。最后小结方面，应该加强数形结合的思想方法，以及在例题中所体现的待定系数法，让同学们在以后的学习中熟练掌握这种思想方法。
（2）感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用，培养学生数形结合思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。
重点
两条直线垂直的斜率判定公式
难点
两条直线垂直的判定公式的推导
项目
具体内容
备注
教
学
过
程
教学过程
教学过程
教学过程
复
习
提问：首先请同学们回想一下前面所学习的两条直线的位置关系有哪些？判断这些位置关系的条件是什么呢？
已知两条直线：L1:A1x+B1y+C1=0，斜率为k1，
L2: A2x+B2y+C2=0，斜率为k2。
两条直线位置关系＼直线方程
一般方程
斜率
两条直线平行
A1B2-A2B1=0且B1C2-C1B2≠0（A2C1-A1C2≠0）或 = ≠ (A2B2C2≠0)
k1=k2且
b1≠b2
两条直线重合
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2（λ≠0）或 = = (A2B2C2≠0)
关于说话速度问题还有待锻炼，一定要放慢说话速度以便同学思考。
L1⊥L2k1k2=-1。
注意：如果斜率不存在时，我们要判断另一条直线是否与x轴平行，或者直接根据L1⊥L2A1A2+ B1B2=0
判断。
总结：根据坐标法证明体现了一种数形结合的思想，也是本章主要研究的一种重要方法。
二、计算步骤
提问：根据以上老师的证明，谁能总结一下判断判断两条直线是否互相垂直的计算步骤？
y1==- x1，y2=- x2，
代入上式，得
x1x2(1+ )=0.
因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此
1+ =0，（*）
即A1A2+B1B2=0（**）
由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由(**)式可以证明两条直线L1’与L2’垂直。从而也就证明了L1与L2垂直。
②假定L1，L2中有一条直线与坐标轴平行或重合：
k1=k2且b1=b2
两条直线相交
A1B2-A2B1≠0或 ≠ (A2B2≠0)
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请同学回答问题，然后将表格贴在黑板上展示，加深巩固复习内容。
引
入
新
课
上节课我们已经通过直线方程判断两条直线相交、平行与重合的条件，在现实生活中黑板的两条边所在的两条直线就是一种相交的位置关系，但是是一种两边夹角为90°的特殊情况，即两条直线垂直，所以本节课我们将进一步讨论通过直线方程判断两条直线垂直的条件。
当L1⊥L2时，可以推出L1，L2中的另外一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有
A1A2+B1B2=0，
反过来，由条件A1A2+B1B2=0也可以推出L1⊥L2。
总结以上结论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线L1和L2，有
L1⊥L2A1A2+ B1B2=0
③如果B1B2 0，则L1的斜率k1=- ，L2的斜率k2=- ，又可以得出：