MathStudio36 阿基米德螺线与三等分任意角

P1 O
=1.429×180/π=81.9°
r3=sqrt(X32 +y32 ) =sqrt(0.2112 +1.4862 ) =1.5
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P2
P2的数据 X2=0.579 Y2=0.816 θ 2=0.953（弧度）
=0.953×180/π=54.603 ° r2=sqrt(X22 +y22 ) =sqrt(0.5792 +0.8162 ) =1
从以上的例子，可以得出用MathStudio演示 借助阿基米德螺线三等分任意角的方法
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角φ 的另一边在第2象限 三个同心圆的半径分别为1、2、3 阿基米德螺线 a=1
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P3的数据 X3=-2.979 Y3=0.405 θ 3=3（弧度） =3×180/π=171.89°
O
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P1的数据 X1=0.445 Y1=0.229 θ 1=0.476（弧度）
=0.476×180/π=27.30°
P1 O
r1=sqrt(X12 +y12 ) =sqrt(0.4452 +0.2292 ) =0.5 θ1 : θ2 : θ3 = 27.3 : 54.6 : 81.9 =1:2:3
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使用方法入门 （36） 阿基米德螺线与 三等分任意角
2016年6月16日
2016/6/16 1
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不 能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。 ★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分 任意角吗？ ★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意 角吧
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P1的数据 X1=0.538 Y1=0.850 θ 1=1（弧度）
P1
O
=1×180/π=57.30°
r1=sqrt(X12 +y12 ) =sqrt(0.5382 +0.852 ) =1 θ1 : θ2 : θ3 = 57.3 : 114.6 : 171.9 =1:2:3
2016/6/16
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θ 1=0.81弧度=46.41°
手指触屏取值有时误差偏大
2016/6/16
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θ 2=1.61弧度=92.25°
2016/6/16
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θ 3=2.401弧度 =137.57°
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根据前面的演示，可以确信：借助阿基米德螺线三等分 任意角是可以实现的。
那么，这是否推翻了“尺规作图不可能三等分任意角” 的定论呢？ 没有！因为阿基米德螺线是不能只用尺规作出的
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2016年 6月26日
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O P3
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PolarPlot 同一帧图里 阿基米德螺线 a=1 3个同心圆半径比=1:2:3 步长=2 0点起 左列数据为 x 值 右列数据为 y值 红色框内 第1行 x1, y1 第2行 x2, y2 第3行 x3, y3
与前图对照，基本符合
2016/6/16 18
阿基米德螺线 三等分任意角 程序清单 输入 待三等分的角度 φ =13π/17 =2.402弧度 =137.647°
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P2的数据 X2=-2.593 Y2=-3.057 θ 2=4（弧度） =4×180/π=229.18°
O
P2
r2=sqrt(X22 +y22 ) =sqrt(-2.5932 +3.0572 ) =4
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P3的数据 X3=5.774 Y3=-1.649 θ 3=6（弧度） =6×180/π=343.77° r3=sqrt(X32 +y32 ) =sqrt(5.7742 + 1.6492 ) =6 θ1 : θ2 : θ3 = 114.6 : 229.2 : 343.8 =1:2:3
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角φ 的另一边在第4象限 三个同心圆的半径分别为2、4、6 阿基米德螺线 a=1
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P1
O
P1的数据 X1=-0.833 Y1=1.819 θ 1=2（弧度） =2×180/π=114.59° r1=sqrt(X12 +y12 ) =sqrt(-0.8332 + 1.8192 ) =2
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MultiPlot 画出的图形 放大图的Table得不到数据
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1. 以角定直线 待三等分的角φ （以弧度为单位），X轴为底边，另一边为 y=tan(φ ) * x 的直线 2. 以直线定同心圆 3个以极点为圆心的同心圆 半径比=3 : 2 : 1 r 3 =φ r 2 = 2φ /3 r 1 = φ /3 3. 以圆定螺线 ρ =aθ a = r 3 /φ =1 4. 螺线与3个同心圆相交于3点，过极点画出与此3点连线 三等分任意角φ 完成 下面再看直线在第2、第4象限的2个例子
2016/6/16
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直线 y=cx=7x c=7 X轴与直线夹角 φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289 同心圆C1 ρ 1=r1=0.5 r1=0.5 同心圆C2 ρ 2=r2= 1 r2=1 同心圆C3 ρ 3=r3=1.5 r3=1.5
阿基米德螺线 ρ =aθ 螺线与同心圆C1 的交点 P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ 1 螺线与同心圆C2 的交点 P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ 2 螺线与同心圆C3 的交点 P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ 3 θ 3= φ =1.4289 a=ρ 3/θ 3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498 计算得 θ 2=ρ 2/a=θ 3×ρ 2/ρ 3=θ 3×1/1.5=θ 3×2/3=0.9526 θ 1=ρ 1/a=θ 3×ρ 1/ρ 3=θ 3×0.5/1.5=θ 3×1/3=0.4763
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首先 画出 过极点斜率为7的直线
其次 画出以极点为中心的 3个同心圆 半径为0.5、1、1.5 即 同心圆的半径比为1:2:3
在同一帧图里 再画出与3 个同心圆相交的 阿基米德螺线 a=r3/atan(c)=1.0498
2016/6/16
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P3 P2
P3的数据 X3=0.211 Y3=1.486 θ 3=1.429（弧度）
P3 O
r3=sqrt(X32 +y32 ) =sqrt(-2.9792 +0.4052 ) =3
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P2
O
P2的数据 X2=-0.833 Y2=1.819 θ 2=2（弧度） =2×180/π=114.59° r2=sqrt(X22 +y22 ) =sqrt(-0.8332 +1.8192 ) =2