MathStudio36 阿基米德螺线与三等分任意角
《阿基米德螺线》课件
具有哪些特性
阿基米德螺线是一种连续的等角曲线，其每个点 距离中心的距离与角度成正比。
阿基米德螺线的绘制方法
构建极坐标系
使用极坐标系来绘制阿基米德螺线，可以更好地描 述其特性和形状。
根据参数方程绘制阿基米德螺线
通过确定参数方程的值，可以绘制出阿基米德螺线 的曲线图形。
阿基米德螺线的应用
1
与物理、工程的联系
1 阿基米德螺线的变形
通过改变参数方程的参数，可以得到阿基米 德螺线的不同变形。
2 其它类型的螺线的介绍
除了阿基米德螺线外，还存在很多其他类型 的螺线，如对数螺线和斯普拉勒螺线。
结论
总结阿基米德螺线的特点及应用价值
阿基米德螺线具有一系列独特的特点和应用价值，在几何学、物理学、工程学和数学等领域 中发挥着重要作用。
《阿基米螺线》PPT课 件
阿基米德螺线PPT课件介绍了阿基米德螺线的定义和相关历史知识，以及螺线 的绘制方法、应用和变形。课件总结了阿基米德螺线的特点及其应用价值， 并展望了螺线研究的发展前景。
什么是阿基米德螺线
定义及相关历史知识
阿基米德螺线是一种由古希腊数学家阿基米德研 究的曲线，具有很多有趣的特性。
展望螺线研究的发展前景
随着科学技术的不断发展，螺线研究将继续深入，可能会有更多新的发现和应用。
参考文献
• 相关论文一 • 相关论文二 • 相关资料一 • 相关资料二
2
阿基米德螺线的形状和特性在物理和工程
领域中有着广泛的应用，如涡轮机、螺旋
桨等。
3
在几何图形的绘制中的应用
阿基米德螺线常被用于绘制一些特殊的几 何图形和曲线，如花瓣形状和螺旋形状。
数学分析及其它领域的应用
尺规作图三等分任意角
尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。
1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。
1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。
综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。
注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。
阿基米德原理公式推导过程三等分角器
阿基米德原理公式推导过程三等分角器阿基米德原理是物理学中非常重要的一个原理，而三等分角器则是数学中一个有趣的工具。
让咱们先来聊聊阿基米德原理的公式推导过程。
话说有一天，我正在教室里给学生们讲阿基米德原理。
我拿了一个装满水的大玻璃缸，还有一个金属块。
我先问学生们：“你们猜猜把这个金属块放进水里，会发生啥？”学生们七嘴八舌地说开了，有的说水会溢出来，有的说金属块会沉下去。
然后我就把金属块慢慢地放进水里，果然，水溢出来了一些。
这时候我就告诉他们，溢出来的水的体积就等于金属块的体积。
这就是阿基米德原理的一个小起点。
咱们再深入一点，假设一个物体浸没在液体中。
这个物体受到了向下的重力 G 物，还受到了向上的浮力 F 浮。
根据力的平衡原理，如果物体处于静止状态，那么重力 G 物就等于浮力 F 浮。
那浮力 F 浮到底咋算呢？这就得从液体对物体的压力说起啦。
液体内部的压强是随着深度增加而增大的。
所以物体在液体中不同深度的表面受到的压力是不一样的。
想象一下，这个物体是一个规则的长方体。
它的上下表面面积相等，深度不同。
下表面受到的压力 F 下就比上表面受到的压力 F 上大。
那浮力 F 浮不就是这两个压力的差嘛！经过一番推导，咱们就能得出阿基米德原理的公式：F 浮= ρ 液 gV 排。
其中，ρ 液是液体的密度，g 是重力加速度，V 排是物体排开液体的体积。
再来说说三等分角器。
有一次我在办公室里研究三等分角器，想得那叫一个入神。
旁边的老师都笑我，说我太较真儿了。
三等分角器的原理其实挺巧妙的。
它利用了一些几何图形的特性和比例关系。
比如说，通过构建特定的三角形或者线段比例，来实现角的三等分。
但是呢，三等分角问题在只用尺规作图的情况下是没法完成的。
可这并不妨碍我们通过其他工具或者方法来实现它。
就像在学习和生活中，有时候我们觉得一个问题没法解决，可能只是我们的思路被限制住了。
当我们换个角度，或者借助一些新的工具和方法，说不定就能找到答案。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
螺线角度的计算
螺线角度的计算阿基米德"论螺线"定义及其方程式的局限性(2009-08-2523:45:56)标签:阿基米德螺旋线渐开线论螺线凸轮齿轮卡盘杂谈阿基米德"论螺线"定义及其方程式的局限性(关键词:旋进线，旋进比，同步，等距螺线，通用极坐标方程式)阿基米德(Archimedes，约公元前287~前212)，古希腊著名的数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。
《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。
《论螺线》中，明确了以其名字命名的"阿基米德螺线"的定义:"当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为"阿基米德螺线"。
它的极坐标方程式为:r=a*θ，螺线的每条臂间的距离永远相等于2π*a。
请注意定义中至为关键的一句"动射线OP"!也就是说阿基米德螺线仅限于沿动射线OP(过回转中心的直线)上点的轨迹。
只有在这条射线上螺线的每条臂间的距离永远相等于2πa。
我们将思维开放一些，跳出动射线OP这个限定条件，将动射线OP变换为任意直线，定义就变成"动点P沿任意直线以等速率运动的同时，这直线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为…螺线"?有人将阿基米德螺线形象地描述为:蚂蚁在均匀回转的唱片上等速的向中心爬去时的轨迹，就是阿基米德螺旋线。
那么蚂蚁不向中心爬，而是沿着任意方向的一条直线爬去，其轨迹会是什么螺线呢?出于论述需要，我把绕中心旋转并供动点沿其自身同步、定旋比运动的任意直线称为旋进线;把动点旋转运动与直线运动之间的比例关系称为旋进比(简称旋比)-即:动点旋转一周时相应在旋进线上移动的距离(螺距S)。
旋比ix=S/360(角度制-单位mm/度)，或ix=S/2π。
把动点旋转运动与直线运动之间的运动关系限定为同步，即两者的关系是随动关系，即你动我动、你快我快、你慢我慢、你停我停。
阿基米德三等分角方法
阿基米德三等分角方法
标题:阿基米德三等分角方法
正文:
阿基米德是一位古代希腊数学家和物理学家,他在公元前3世纪时提出了一种三等分角的方法。
这种方法被称为阿基米德三等分角方法,是一种简单而有效的方法,适用于各种形状的角。
阿基米德三等分角方法的步骤如下:
1. 将一个角分成三个相等的部分。
2. 将其中一个部分旋转180度,使其与另外两个部分重合。
3. 将旋转后的部分与原角再次重合,并将重合部分三等分,得到三个等角。
下面是阿基米德三等分角方法的示例:
假设一个角为120度,我们需要将其分成三个相等的部分。
首先将这个角分成三个60度的部分,然后将其旋转180度,使其与另外两个部分重合。
最后,将重合部分三等分,得到三个等角,每个角为60度÷ 3 = 20度。
这种方法可以用于各种形状的角,例如直角、锐角、钝角等。
此外,阿基米德三等分角方法还可以应用于其他领域,例如物理学和工程学。
拓展:
阿基米德三等分角方法的应用不仅局限于数学和物理学领域,还可以应用于其他领域。
例如,在工程学中,可以使用阿基米德三等分角方法来测量某个角的度数,或者将其用于设计建筑物和道路等。
阿基米德螺线和三等分角
阿基米德螺线和三等分角数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代，阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论，于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。
（最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农，在他死后阿基米德继承了他的工作。
）什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。
当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。
阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = aθ。
阿基米德螺线生活中随处可见。
在早期的留声机中，电机带动转盘上的唱片匀速转动，沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。
同理，由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。
等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。
就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没，一般的机械缝纫机中有一个凸轮，手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动，这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。
一个很有趣的事情是，在阿基米德螺线的配合下，尺规就能完成三等分一个任意角θ。
步骤如下：1、将θ角的一边与极轴重合，顶点与原点O重合2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’4、分别以OB’、OC’为半径，O为圆心画圆交螺线于B、C5、根据ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ当然，只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的，所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。
渐开线和机械齿轮另一种有名的螺线叫做渐开线。
当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。
许多曲线都有自己的渐开线，把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切，绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。
与阿基米德螺线相比，渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点，但仔细寻找还是能发现它的踪迹，例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。
三等分角知识点
12.3 数学视野
三等分角
三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”. 两千多年来，从初学几何的青少年到经验丰富的学者，数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”，希腊数学家阿基米德（Archimedes，前287-前212年）曾用线条作图法宣称解决了“三等分角问题”；帕普斯(Pappus，约公元300年)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线也能解“三等分角问题”；希腊数学家尼科梅达斯(Nicomedes．公元前二世纪)称他的“蚌线法”也可三等分一个角. 直至1837年，法国数学家旺策尔（Wantzel，pierrela urene，1814-1848）才用代数的方法证明了尺规作图不可能（任意角三等分），但由于该问题历史长久，流传广泛，仍不断有人为之耗费精力，1936年8月18日《北京晨报》曾经发表一条消息说：郑州铁路站站长汪君，耗费了14年的精力，终于解决了“三等分角问题”，并将其尺规作法寄往各国，一时间引起国内外数学界的注意，可是不久，就有许多人陆续来信，指出他的作法是错误的.
直到1966年以前，中国科学院数学研究所每年都要接到不少研究“三等分角问题”的稿件. 后来，研究所只好在国家权威杂志《数学通报》上发表通告：三等分任意角用尺规作图是不可能的. 该命题也已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.
现在三等分角个人研究的爱好者数量还是不少的，网页上陆陆续续地出现很多“我能尺规作图三等分角”的观点，一经发表几乎在最短的时间内被评论为是错误的，或者是违背了尺规作图的原理.
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阿基米德折弦定理详解及详解
阿基米德折弦定理详解及详解阿基米德折弦定理是一个古老而又重要的定理，追溯到古希腊数学家阿基米德时期。
它描述的是一条三角形的有关特性，它声称对于任意一个三角形，用它的三条边长度来构造一个有一定比例关系的三个弦（线段），这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且三角形三边长和等腰三角形的边长具有相同的比例关系。
这一定理被广泛应用于几何中，其思想也被引入到现代数学推导中。
下面介绍这一定理的详细内容：1、阿基米德折弦定理：给定任意一个三角形，其三条边的长度为a,b,c，则它的三条边能够形成一个有一定比例关系的三个弦（线段），这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且这三边长度与等腰三角形的三边长具有相同的比例关系。
2、阿基米德折弦定理的证明：假设给定的任意一个三角形ABC的三条边长为a,b,c，那么由阿基米德折弦定理，我们可以构建出一个有一定比例关系的三条弦，用它们重新构造出一个等腰三角形，其中：（1）弦AB的长度为a;（2）弦BC的长度为b;（3）弦CA的长度为c;（4）等腰三角形MNP的三边长度为m、n、p，其中m=a,n=b,p=c;由于已知三角形ABC和等腰三角形MNP是相似的，根据相似三角形的性质，有：（1）a/b=m/n;（2）a/c=m/p;（3）b/c=n/p;因此可知：m/n=a/b=a/c=b/c=m/p;由此可以得出，对任意一个三角形，用它的三条边长度来构造一个有一定比例关系的三个弦，这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且三角形三边长与等腰三角形的边长具有相同的比例关系，从而证明了阿基米德折弦定理的正确性。
3、阿基米德折弦定理的应用：（1）在算术中：阿基米德折弦定理可以被用来证明平行线论，具体来说，两个平行线之间的夹角一定是相等的。
同时，它还可以用来证明垂直线论，即两条垂直线的夹角一定是直角。
（2）在几何中：阿基米德折弦定理可以用来证明任意一个三角形的中点和边的对称性，同时也可以用来证明任意一个三角形的外心构造等等。
三等分角，阿基米德：尺规作图不可能？
三等分角，阿基米德：尺规作图不可能？相信大家都了解过尺规作图吧，何谓尺规作图呢？尺规作图在数学的学习上有什么作用呢？简单来收，尺规作图就是只使用直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
这里的“直尺”和“圆规” 跟现实中的并非完全相同，具有抽象意义。
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。
只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。
它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。
问anny：sunny，二等分任意角的做法已然了然于胸，我们一起来尝试三等分任意角呀？sunny：哈哈，我可不会三等分任意角，我们一起来问一下阿基米德大学士吧阿基米德有刻度直尺三等分角作法如图∠ACB为已给角.取CA = r为半径, C为圆心作半圆.用有刻度的直尺过B作直线交直径AC的延长线于O,半圆于P,并使OP = r 则∠POA=1/3∠ACB.证明:由作法知，∠BPC=2∠POA，∠ACB=∠POA+∠BPC=3∠POA.证毕。
问题真的解决了吗？sunny：三等分任意角的问题就这样子解决了吗？阿基米德：当然没有，我的解法虽然做出了要求角，但解法已经脱离了尺规作图的要求（使用了有刻度的直尺），这并不是完美的答案。
anny：连大学士都做不出来，那究竟三等分任意角的尺规作图有没有可能完成呢？不可能证明简要o几何问题代数化三等分角就相当于在单位圆上求做一定长度（x=cosθ)的线段，利用三角函数，把线段长度表示出来。
事实上，可以得到cos(3θ) = 4 cos³θ - 3 cosθ其中已知cos(3θ)，从而就相当于用解三次方程（用尺规做出三次方程的实根）4 x^3 - 3x -3 θ= 0o证明给定单位1，尺规作图能且只能解一次或二次方程，即只能做出Q的二次扩域内的元素。
事实上，尺规作图只能作圆（二次方程）和直线（一次方程）的交点，从而解都在Q的二次扩域上。
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明阿基米德三等分角是指将一个任意角分为三个相等的角。
这个问题最早由希腊数学家阿基米德提出，并给出了一种简单而巧妙的证明方法。
本文将详细介绍这个证明过程。
问题描述设有一个任意角AOC，我们的目标是将其分为三个相等的角AOB、BOC和COA。
证明过程步骤1：作AO上的等边三角形AOB首先，我们在射线AO上作一个等边三角形AOB。
具体做法如下：1.以点A为圆心，以线段AO的长度为半径，画一个圆。
2.圆与射线AO交于点B。
这样，我们得到了一个等边三角形AOB。
步骤2：作OC上的等边三角形BOC接下来，我们需要在另一条射线OC上构造一个等边三角形BOC。
具体操作如下：1.以点O为圆心，以线段OC的长度为半径，画一个圆。
2.圆与射线OC交于点C。
这样，我们得到了一个等边三角形BOC。
步骤3：连接AC现在，我们需要连接点A和点C，即线段AC。
这条线段将角AOC分为两个相等的角。
步骤4：证明角BAC等于角BCA我们已经将角AOC分为两个相等的角。
接下来，我们需要证明这两个角分别与AOB和BOC的对应角相等。
首先，我们观察三角形AOB和三角形BOC。
根据等边三角形的性质，我们知道∠BAO = ∠ABO 和∠BCO = ∠BOC。
然后，我们观察△ABC。
根据直线之间的夹角性质，我们知道∠BAC + ∠ABC +∠BCA = 180°。
由于∠ABC是一个等边三角形的内角，所以∠ABC = 60°。
根据步骤1和步骤2中构造的等边三角形AOB和BOC，我们知道∠BAO = ∠ABO = ∠BCO = ∠BOC = 60°。
因此，将以上信息代入△ABC中的方程式中得到：∠BAC + 60° + ∠BCA = 180°。
简化方程式得到：∠BAC + ∠BCA = 120°。
由于∠BAC和∠BCA是两个相等的角，所以它们都为60°。
因此，我们证明了∠BAC与∠BCA相等。
尺规法三等分任意角
学习尺规法三等分任意角[正文摘要]本文主要论述有关仅用尺规作图法来三等均分一个任意角的问题，以及它的来历，还有著名数学家的解答此几何问题的方法。
还有本人对此题的理解，最后用事实论述到尺规作图是不能把一个任意角三等均分的。
[关键词]尺规法任意角三等均分[正文]当我在数学上学会了用尺规作图法去作平分线平分一个任意角的时候，我就会提出另一个问题：“那么如何用尺规法把一个任意角三等均分呢？”我觉得这个问题很有趣。
我也曾经向我的数学老师讨论过这个问题，于是我翻查了一些资料，就发现：其实，“如何用尺规法三等均分一个任意角”这个问题，是属于古希腊的三大数学难题之一，也称“三等分角”。
它是来源于：“据说在公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城，他深深懂得发展科学文化的重要意义，就吸引了当时许多著名的希腊数学家都来到这个城市。
亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。
圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。
别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。
国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。
一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。
小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样。
国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。
于是他们去请教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。
”①这好像是把这个“三等分角”问题给解决了，但是实际上，阿基米德在利用尺规作图时擅自在本来没有刻度的尺上标上了一个刻度，这一举动正好违背了尺规法作图的原则------当然当所有人都称赞阿基米德了不起的时候，“阿基米德却说：‘这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破绽的。
阿基米德二刻尺三等分角变体
阿基米德二刻尺三等分角变体1. 引言阿基米德二刻尺是古希腊数学家阿基米德发明的一种测量仪器，用于测量角度和长度。
它由两根长度为2:1的木棒组成，其中一根是固定的，另一根可以移动。
通过移动木棒，可以实现对角度的精确测量和三等分。
本文将介绍阿基米德二刻尺的原理和用法，并探讨其在三等分角方面的一种变体。
2. 阿基米德二刻尺的原理和用法阿基米德二刻尺的原理基于三角形的相似性和比例关系。
它由两根长度为2:1的木棒组成，其中一根是固定的，另一根可以移动。
固定木棒上有一个固定的刻度，移动木棒上也有一个刻度。
通过移动木棒，可以实现对角度的测量和三等分。
使用阿基米德二刻尺进行角度测量的步骤如下：1.将可移动木棒的一个端点对准角的顶点，将固定木棒的一个端点对准角的一条边；2.移动可移动木棒，直到可移动木棒的另一个端点对准角的另一条边；3.读取固定木棒上的刻度和移动木棒上的刻度，可以得到角的度数。
使用阿基米德二刻尺进行三等分角的步骤如下：1.将可移动木棒的一个端点对准角的顶点，将固定木棒的一个端点对准角的一条边；2.将可移动木棒的另一个端点对准角的另一条边；3.将可移动木棒的中点对准角的另一条边；4.读取固定木棒上的刻度和移动木棒上的刻度，可以得到三等分角的度数。
3. 阿基米德二刻尺三等分角的变体阿基米德二刻尺三等分角的变体是在原有的阿基米德二刻尺基础上做出的改进。
原始的阿基米德二刻尺只能实现三等分任意角，而变体可以实现三等分特定的角。
具体来说，变体在固定木棒上增加了一些特殊刻度，通过对这些特殊刻度的利用，可以实现对特定角的三等分。
使用阿基米德二刻尺三等分角的变体的步骤如下：1.将可移动木棒的一个端点对准角的顶点，将固定木棒的一个端点对准角的一条边；2.将可移动木棒的另一个端点对准角的另一条边；3.将可移动木棒的中点对准角的另一条边；4.读取固定木棒上的刻度和移动木棒上的刻度，可以得到三等分角的度数。
需要注意的是，变体的固定木棒上的特殊刻度是根据特定角的性质来确定的，因此只能用于三等分特定角，不能用于三等分任意角。
《数学的思维与智慧》8古典数学难题
第八讲
古典数学难题解析
古希腊人非常重视尺规作 图，以训练人的逻辑 思维能力，发展其智 力.
限制了直尺和圆规这两种 作图工具的使用 .
在这种限制下，即便是一 些比较简单的几何作 图也无法解决.
尺规作图：
①作图时，只能有限次使 用直尺和圆规；
②不能利用直尺上的刻度 和其他记号；
③不能把直尺和圆规合并 使用，也不能把几个 直尺合并使用.
正方形边长为
x
2R R
2
注意：数学中的“不可能”与“未解决” 是不同的问题
所谓“不可能”是指，经过科学论证被证实 在给定条件下永远是不可能的，它不会因时 间的推移、社会的发展而发生改变.
而“未解决”则表示目前尚不清楚答案，有 待于进一步研究的.
（日常生活许多“不可能”，可能等同于 “未解决” ）
3
3
知，三等分任意角问题可以转化成
三次代数方程：
4x3 3x a 0
取 60 得
4x3 3x 1 0 2
可以证明这个方程的根不能用直 尺和圆规作出来
已知单位长度1的线段，尺规作图能作出 什么线段？
作出一个点（或者数）无非就是找交点。 仅用圆规直尺作图能作的就是直线与直线相
交、直线与圆相交、圆与圆相交这些交点。
思考题
1. 如何用尺规作图（直尺没有刻度）来二等分任 意角？
2. 如何用尺规作图（直尺没有刻度）作出一个正 方形，其面积为一已知正方形面积的二倍.
3. 叙述三大几何作图难题，并简单的证明这三个 问题用尺（没有刻度）规作图是不可能解决的.
4. 论述一下三大几何作图难题，并简单论述这三 个问题为什么仅用尺规无法解决.
§3 由三大作图难题引发的几何名题
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。
纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。
然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。
找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。
用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。
但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。
一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。
数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。
二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。
阿基米德等距螺旋线起始速度和角速度的关系式
阿基米德等距螺旋线起始速度和角速度的关系式阿基米德等距螺旋线，乍一听是不是有点让人头大？其实说白了，它就是一种很有意思的曲线——它的特征就是每转一圈，距离原点的距离会均匀增加。
想象一下，你拿着一根绳子，从一个点开始绕着它打圈，每绕一圈，绳子再拉长一点。
这样转下去，圈圈越来越大，就形成了所谓的等距螺旋线。
说到这里，是不是觉得它有点像小时候玩过的风车，转个不停，越来越远，越来越快，简直就是个不折不扣的“动感圆舞曲”！不过，咱们今天要聊的可不仅仅是这条漂亮的曲线，而是它背后那深藏不露的数学魔力，尤其是它的起始速度和角速度之间的关系。
先来点基础的，别害怕啊，先给大家普及一下阿基米德等距螺旋线的数学公式。
简单说，就是这样一个关系：( r = a + b theta )，其中r代表的是半径，θ代表的是角度，a和b则是常数。
如果你把这个公式放在图纸上画出来，就会看到一个螺旋，像是你家的螺丝刀的螺旋形状，一圈接一圈，越转越大，别提多有意思了！好，咱们回到正题，今天我们要讨论的就是“起始速度”和“角速度”这两个关系。
别急，什么叫起始速度呢？就是你从原点出发的那一瞬间，沿着螺旋线走的初速度，越快自然越好。
角速度呢，想象一下你绕着一个中心点转圈的速度。
嗯，快慢差距就看这两者的配合了。
很简单吧？不过要注意啊，起始速度和角速度之间的关系，特别有趣。
这两者并不是完全独立的，它们的变化是相互依存的。
也就是说，如果你想让自己的速度越来越快，角速度必须随之变化。
咋说呢？你刚开始转的时候，速度可以慢一点，但随着你绕的圈越多，半径也逐渐增加，你的速度自然也要跟着增大。
所以，起始速度和角速度之间的关系就是那种“你中有我，我中有你”的微妙联系——一个在前，一个在后，拧成一股绳。
你看看这个现象，生活中也有类似的。
比如咱们开车上高速，刚上去那会儿，车速可能不快，可能才五十迈。
但随着你加速，车速会越来越快，转弯半径也会变得越来越大。
这就好比是阿基米德螺旋线，起始速度不快，但一旦你进入了加速的状态，速度就像脱缰的野马，越来越快。
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明
为了证明阿基米德三等分角的准确性，我们首先需要了解什么是阿基米德三等分角。
阿基米德三等分角是指将一个任意角分成三个等角的过程，这一过程具有一定的几何性质，我们将通过几何推导来证明这一结论。
假设给定一个角AOB，我们需要证明通过某种方式可以将该角等分为三个相等的角。
为了方便描述，我们将角AOB的顶点O设置为原点，与其中一个边OA重合，并将边OA的长度设置为1个单位长度。
首先，我们需要找到边OA的平分线。
通过将绕过原点O并与边OA 相交的直线绘制出来，我们可以得到一条穿过角AOB的线段。
接下来，我们将通过绕点A旋转这条线段，使得它与边OA的延长线相交于点C。
此时，我们得到了一个新的角AOC，它与角AOB相等，并且角AOC的顶点O与边OA是共线的。
现在，我们再次绘制边OC的平分线。
这条平分线将角AOC分成两个相等的角，记为角AOD和角DOC。
最后，我们通过连接点D与点B，得到了一个三角形AOB。
根据几何性质，我们可以推导出角AOD、角DOC和角DOB是相等的。
因此，通过以上步骤，我们成功地将角AOB等分为三个相等的角AOE、EOC和COD。
根据我们的证明过程，可以得出结论：通过适当的构造和绘制，我们可以将任意给定的角等分为三个相等的角。
这就是阿基米德三等分角的证明。
总结起来，阿基米德三等分角的证明需要通过几何推导来完成。
我们通过寻找边OA的平分线、绕点A旋转而得到的点C，以及边OC的平分线，成功将角AOB等分为三个相等的角。
这一证明过程严谨而准确，证实了阿基米德三等分角的几何性质。
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明是通过构造一个特殊的逆时针旋转等边三角形来实现的。
以下是详细的证明过程：
证明过程：
1.首先，构造一个等边三角形ABC，其中AB=BC=AC。
2.然后，以A为圆心，AB为半径画一条圆弧，与AC相交于D点。
3.再以B为圆心，BC为半径画一条圆弧，与AB相交于E点。
4.连接DE，延长DE与BC相交于F点。
5.观察三角形DEF，可以发现DF与BC平行，并且由于DE与AC相交，根据平行线的性质可知∠BDE=∠C。
6.接下来我们需要证明∠B=∠CDF。
7.由于DF与BC平行，△FBC与△DCF相似。
根据相似三角形的性质，可得BD/BC = CD/CF。
8.由三角形ABC的等边性质可知BD=CD=BC，代入上述等式可得BC/BC = CD/CF。
9.进一步化简可得，1 = CD/CF，即CD=CF。
10.由三角形CDF的等腰性质可知∠CDF=∠CDF，即∠B=∠CDF。
11.通过以上证明可以得出，∠C=∠B=∠CDF。
12.所以，由三角形DEF的角度平分定理可知
∠CDE=∠EDF=∠FDC=1/3∠C。
综上所述，通过构造特殊的逆时针旋转等边三角形，我们成功地证明了阿基米德三等分角。
阿基米德螺线弧长积分
阿基米德螺线弧长积分1. 任务背景和目的阿基米德螺线是一种著名的数学曲线，由古希腊数学家阿基米德发现并研究。
它的特点是在平面上呈现出一种螺旋状的形态，非常有趣。
本文将介绍阿基米德螺线的弧长积分，即计算螺线的弧长。
本文的目的是通过详细介绍阿基米德螺线弧长积分的计算方法和步骤，帮助读者理解和掌握这一数学概念，并展示如何将其应用于实际问题中。
2. 阿基米德螺线的定义和性质阿基米德螺线由以下参数方程定义：x = a * t * cos(t)y = a * t * sin(t)其中，a是一个常数，t是参数。
当t从 0 变化到无穷大时，阿基米德螺线会无限延伸。
阿基米德螺线的性质包括：•当a为正数时，螺线是逆时针旋转的，当a为负数时，螺线是顺时针旋转的。
•螺线的密度随着距离原点的远近而增加，螺线的螺距随着a的变化而改变。
3. 阿基米德螺线弧长的计算方法要计算阿基米德螺线的弧长，可以使用弧长积分的方法。
弧长积分的基本思想是将曲线分割成无穷小的线段，然后对每个线段的长度进行求和，最后取极限得到整条曲线的弧长。
对于阿基米德螺线来说，我们可以将其分割成无穷小的弧线段，每个弧线段的长度可以通过微积分方法进行计算。
具体步骤如下：1.将阿基米德螺线的参数方程求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.根据弧长元素的定义，弧长元素ds可以表示为ds = sqrt((dx/dt)^2 +(dy/dt)^2) * dt。
3.对ds进行积分，即可得到阿基米德螺线的弧长。
4. 阿基米德螺线弧长积分的具体计算过程下面我们将通过具体的计算过程来演示如何计算阿基米德螺线的弧长。
首先，将阿基米德螺线的参数方程求导：dx/dt = a * cos(t) - a * t * sin(t)dy/dt = a * sin(t) + a * t * cos(t)然后，根据弧长元素的定义，弧长元素ds可以表示为：ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) * dt将dx/dt和dy/dt的值代入上式，并进行化简：ds = sqrt((a * cos(t) - a * t * sin(t))^2 + (a * sin(t) + a * t * cos(t))^2) * dt继续化简：ds = sqrt(a^2 * (1 + t^2)) * dt最后，对ds进行积分，即可得到阿基米德螺线的弧长：L = ∫[0, t] sqrt(a^2 * (1 + t^2)) * dt这个积分可以通过数值计算或符号计算的方法求解。
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（36）
阿基米德螺线与
三等分任意角
2016年6月16日
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。
★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？
★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧
直线y=cx=7x c=7
X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289
同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5
同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1
同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5
阿基米德螺线ρ=aθ
螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3
θ3= φ =1.4289
a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498
计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526
θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763
首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的
3个同心圆
半径为0.5、1、1.5
即同心圆的半径比为1:2:3
在同一帧图里
再画出与3 个同心圆相交的
阿基米德螺线
a=r3/atan(c)=1.0498
P3
P
2
P
1
P3的数据
X3=0.211
Y3=1.486
θ3=1.429（弧度）
=1.429×180/π=81.9°
r3=sqrt(X32 +y32)
=sqrt(0.2112
+1.4862)
=1.5
O
P 2的数据X 2=0.579Y 2=0.816
θ2=0.953（弧度）
=0.953×180/π=54.603°
r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(0.5792
+0.8162)=1P 2O
P 1的数据X 1=0.445Y 1=0.229
θ1=0.476（弧度）
=0.476×180/π=27.30°
r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.4452
+0.2292)=0.5
θ1 : θ2 : θ3 = 27.3 : 54.6 : 81.9= 1 : 2 : 3
P 1O
MultiPlot 画出的图形放大图的Table得不到数据
从以上的例子，可以得出用MathStudio演示借助阿基米德螺线三等分任意角的方法
1. 以角定直线
待三等分的角φ（以弧度为单位），X轴为底边，另一边为
y=tan(φ) * x 的直线
2. 以直线定同心圆
3个以极点为圆心的同心圆半径比=3 : 2 : 1
r 3 =φ
r 2 =2φ/3
r 1 =φ/3
3. 以圆定螺线ρ=aθ
a = r 3/φ=1
4. 螺线与3个同心圆相交于3点，过极点画出与此3点连线
三等分任意角φ完成
下面再看直线在第2、第4象限的2个例子
角φ的另一边在第2象限
三个同心圆的半径分别为1、2、3
阿基米德螺线a=1
P 3的数据
X 3=-2.979Y 3=0.405θ3=3（弧度）
=3×180/π=171.89°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(-2.9792 +0.4052)=3
P 3
O
P 2的数据
X 2=-0.833Y 2=1.819θ2=2（弧度）
=2×180/π=114.59°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-0.8332 +1.8192)=2
P 2
O
P 1的数据
X 1=0.538Y 1=0.850θ1=1（弧度）
=1×180/π=57.30°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.5382 +0.852)=1
O
P 1
θ1 : θ2 : θ3 = 57.3 : 114.6 :
171.9= 1 : 2 : 3
角φ的另一边在第4象限
三个同心圆的半径分别为2、4、6
阿基米德螺线a=1
P 1的数据
X 1=-0.833Y 1=1.819θ1=2（弧度）
=2×180/π=114.59°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(-0.8332 + 1.8192)=2
O
P 1
P 2的数据
X 2=-2.593Y 2=-3.057θ2=4（弧度）
=4×180/π=229.18°
r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-2.5932 +-3.0572)=4
O
P 2
P 3的数据
X 3=5.774Y 3=-1.649θ3=6（弧度）
=6×180/π=343.77°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(5.7742 + -1.6492)=6
O
P 3
θ1 : θ2 : θ3
= 114.6 : 229.2 : 343.8
= 1 : 2 : 3
PolarPlot 同一帧图里阿基米德螺线a=1
3个同心圆半径比=1:2:3步长=2 0点起
左列数据为x 值
右列数据为y值
红色框内
第1行x1, y1
第2行x2, y2
第3行x3, y3
与前图对照，基本符合
阿基米德螺线
三等分任意角
程序清单
输入待三等分的角度φ=13π/17
=2.402弧度
=137.647°
θ1=0.81弧度=46.41°手指触屏取值有时误差偏大
θ2=1.61弧度=92.25°
θ3=2.401弧度=137.57°
根据前面的演示，可以确信：借助阿基米德螺线三等分任意角是可以实现的。
那么，这是否推翻了“尺规作图不可能三等分任意角”的定论呢？
没有！因为阿基米德螺线是不能只用尺规作出的
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2016年6月26日。