8.6多元函数微分几何应用

2. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 . 空间光滑曲面
曲面 在点 的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )

x ( 0 ) 1 , y ( 0 ) 2 , z ( 0 ) 3 .
切向量 : t ( 1 , 2 , 3 ) . x y 1 z 2 切线方程 : , 1 2 3 法平面方程 : x 2 ( y 1) 3 ( z 2 ) 0 ,
或 x 2 y 3z 8 0 .
又点 M 在球面上,
于是有
a3 x0 y0 z0 3 3
内容小结
x (t ) 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 : y ( t ) z (t ) 切向量 T ( ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 ))
如果曲线 L的方程为:
y y ( x) z z( x )
x x y y ( x) y y ( x) z z ( x) z z ( x)
则在 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处 :
切向量 :
t 1 , y( x0 ) , z( x0 )
平面 叫做曲面 的 切平面; n 叫做曲面的 法向量 过 M 点且与切平面垂直的直线 叫做曲面的法线 法线 .
n
M
T
曲面 在点 M 的法向量 n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
z
(两点式)
L
M
or
x x0 y y0 z z0 x y z t t t (1)
x
o
M0
T
y
当 t 0 时, M 沿曲线 L 趋于 M 0 , 割线 M 0 M 绕 M 0 旋 转 , 向切线 M 0T 无
令 t 0 , 则 ( 1 ) 式变成 :
曲面 上一点 M ( x 0 , y0 , z 0 )
n
M
过点 M 在曲面上任意画一条
x x(t ) 曲线 : y y( t ), z z(t )
T
显然 F ( x( t ), y( t ), z( t )) 0 (1) 曲线在M处的切向量 T { x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )},
法线方程 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
2) 显式情况. 空间光滑曲面
法向量 切平面方程
n ( f x , f y , 1)
x0 1 x 0 1 y 0 2 or y 0 2 z 2 z 2 0 0
法向量 : n ( 1 , 4 , 6 ) ,
两张切平面 :
1 2
( x 1) 4( y 2 ) 6( z 2 ) 0 , ( x 1) 4( y 2 ) 6( z 2 ) 0 . x 4 y 6 z 21 0 , x 4 y 6 z 21 0 .
1. 空间曲线的切线与法平面
x x0 y y0 z z0 切线方程 ( t 0 ) ( t0 ) ( t0 )
法平面方程
( t0 )( x x0 ) ( t0 ) ( y y0 ) ( t0 )( z z0 ) 0
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.

M
T

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1. 曲线方程为参数方程的情况 x x (t ) 空间曲线 L : y y ( t ) z z (t )
z
L
M
假设 x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) 都可导 .
切平面方程 Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 )
n
M
T
Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
法线方程 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) F ( x , y , z ) z 0 0 0
曲线 L 上有两点 M 0 和 M ,
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) t t0
x
o
M0
y
M ( x0 x , y0 y , z0 z )
t t0 t
割线 M0 M 的方程为:
x x0 y y0 z z0 x y z
x x0 f x ( x0 , y0 ) y y0 f y ( x0 , y0 ) z z0 1
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例3. 求球面 x 2 2 y 2 3 z 2 36 在点(1 , 2 , 3) 处的切
平面及法线方程. 解: 令 法向量
n (2 x, 4 y, 6 z )
n
( 1, 2 , 3 )
(1)式两边对t求导 Fx x( t ) Fy y( t ) Fz z( t ) 0
将t0代入 Fx ( x0 , y0 , z0 ) x( t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) y( t0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 ) z( t0 ) 0

2 2 y0

2 3 z0
21
x0 1 x0 1 y0 2 or y0 2 z 2 z 2 0 0
切点 :
P1 ( 1 , 2 , 2 ) ,
P2 ( 1 , 2 , 2 ) ,
平面 x 4 y 6 z 0
如果曲面方程为 : z f ( x , y )
令 F ( x, y, z) f ( x, y) z ,
则有法向量 n ( f x , f y , 1) ,
切平面 : f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z 0 ) 0 法线 :
x x0 y y0 z z0 x ( t 0 ) y ( t 0 ) z ( t 0 )
( 2 ) 限靠近 .
所以 , ( 2 ) 式就是切线 M0T 的方程 !
切线 M 0T 的方程 :

(2)
T
x x0 y y0 z z0 x ( t 0 ) y ( t 0 ) z ( t 0 )
令 n { Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
以n为法向量 , 过 M 点作平面 ,曲线 过 M 点的
切线在平面内, 由的任意性知 , 过 M 点在曲面 上 画任意曲线 , 曲线过 M 点的切线都在平面内.
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
法线方程
x x0 y y0 z z0 f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
课堂练习
1. 如果平面 与椭球面 则
相切,
解: 设切点为
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线 在点 ( x0 , y0 ) 有
切线方程 y y0 f ( x0 )( x x0 ) 1 法线方程 y y0 ( x x0 ) f ( x 0 ) dy Fx ( x , y ) 若平面光滑曲线方程为 因 dx Fy ( x , y ) 故在点 有
M
L
切向量 : ( 切线的方向向量) o T x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) t t 0 T 的指向与参数 t 增加时曲线 L的延伸方向一致 . 法平面 : ( 过 M 0 且与切线( 切向量 ) 垂直的平面)
x ( t 0 )( x x 0 ) y ( t 0 )( y y0 ) z ( t 0 )( z z 0 ) 0 (3)
6 x0

2 y0
2 z0 3
(二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上)
2
2. 设 f ( u ) 可微, 证明 曲面 切平面都通过原点.
上任一点处的
提示: 在曲面上任意取一点
y0 则 n ( f x , f y , 1) ( f f , f , 1) x0
则通过此 点的切平面为
z z z0 x
z ( x x0 ) y M
( y y0 )
M
证明原点坐标满足上述方程 .
化简得 :
1 2
例5. 确定正数 使曲面 x y z 与球面 在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 相切. 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
n2 ( x0 , y0 , z0 )
二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有 x0 y0 z0 x0 y0 z0 x0 y0 z0 2 x0 y02 z0 2
解: 设 P ( x , y , z ) 为曲面上的切点 , 0 0 0 法向量 n ( 2 x0 , 4 y0 , 6 z0 )
由于切平面平行于已知平面 ,
2 x0 4 y0 6 z0 所以 , 或 2 x0 y0 z0 . 1 4 6
2 x0
2 x0 y0 z0
u 求曲线 : x e 例1. cos u d u , y 2 sin t cos t ,
t
z 1 e 3 t 在 t 0 处的切线和法平面的方 程 .
0
解:
t0
M0 ( 0 , 1, 2 ) ,
x e t cos t , y 2 cos t sin t , z 3e 3t ,
切线方程 Fx ( x0 , y0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 )( y y0 ) 0 法线方程 Fy ( x0 , y0 )( x x0 ) Fx ( x0 , y0 ) ( y y0 ) 0
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
( 2 , 8 , 18)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程
2( x 1) 8( y 2) 18( z 3) 0
x 1 y2 z3
1

4

9
2 2 2 例4. 求曲面 x 2 y 3 z 21 平行于平面
x 4 y 6z 0 的切平面的方程 .
x x0 y y0 z z0 , 1 y ( x 0 ) z ( x 0 )
切线方程 :
法平面方程 :
( x x0 ) y( x0 ) ( y y0 ) z( x0 ) ( z z0 ) 0 .
二、曲面的切平面与法线
曲面 的方程 : F ( x , y , z ) 0