多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法 The latest revision on November 22, 2020第十一讲 二元函数的极值要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值．因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ．从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件．定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ．几何解释若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为是平行于xoy 坐标面的平面0z z =．类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(y x f z =的驻点．注意1．驻点不一定是极值点，如xy z =在)0,0(点．怎样判别驻点是否是极值点呢下面定理回答了这个问题．定理2（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则（1）当02>-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值，且当0<A 时，有极大值00(,)f x y ，当0>A 时，有极小值00(,)f x y ；（2）当02<-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 没有极值；（3）当02=-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论．求函数),(y x f z =极值的步骤：（1）解方程组0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，求得一切实数解，即可求得一切驻点),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯；（2）对于每一个驻点),(i i y x (1,2,)i n =，求出二阶偏导数的值C B A ,,；（3）确定2B AC -的符号，按定理2的结论判定),(i i y x f 是否是极值，是极大值还是极小值；（4）考察函数),(y x f 是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点．例3．考察22y x z +-=是否有极值．解 因为22y x x x z +-=∂∂，22y x y y z +=∂∂在0,0==y x 处导数不存在，但是对所有的)0,0(),(≠y x ，均有0)0,0(),(=<f y x f ，所以函数在)0,0(点取得极大值．注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样例4．求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值．解 先解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=063096322y y f x x f yx ，求得驻点为)2,3(),0,3(),2,1(),0,1(--， 再求出二阶偏导函数66+=x f xx ，0=xy f ，66+-y f yy ．在点)0,1(处，0726122>=⨯=-B AC ，又0>A ，所以函数在点)0,1(处有极小值为5)0,1(-=f ； 在点)2,1(处，0722<-=-B AC ，所以)2,1(f 不是极值；在点)0,3(-处，0722<-=-B AC ，所以)0,3(-f 不是极值；在点)2,3(-处，0722>=-B AC ，又0<A ，所以函数在点)2,3(-处有极大值为31)2,3(=-f ．二．函数的最大值与最小值求最值方法：⑴ 将函数),(y x f 在区域D 内的全部极值点求出；⑵ 求出),(y x f 在D 边界上的最值；即分别求一元函数1(,())f x x ϕ，2(,())f x x ϕ的最值； ⑶ 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值．实际问题求最值根据问题的性质，知道函数),(y x f 的最值一定在区域D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最值．例4．求把一个正数a 分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大．解 设y x ,分别为前两个正数，第三个正数为y x a --，问题为求函数 )(y x a xy u --=在区域D ：0>x ，0>y ，a y x <+内的最大值． 因为)2()(y x a y xy y x a y xu --=---=∂∂，)2(x y a x y u --=∂∂， 解方程组⎩⎨⎧=--=--0202x y a y x a ，得3a x =，3a y =． 由实际问题可知，函数必在D 内取得最大值，而在区域D 内部只有唯一的驻点，则函数必在该点处取得最大值，即把a 分成三等份，乘积3)3(a 最大． 另外还可得出，若令y x a z --=，则即 33z y x xyz ++≤． 三个数的几何平均值不大于算术平均值．三．条件极值，拉格朗日乘数法引例 求函数22y x z +=的极值．该问题就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在)0,0(取得极小值；若求函数22y x z +=在条件1=+y x 下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一部分1=+y x 的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值．如何求条件极值有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出x y -=1，代入22y x z +=中，得122)1(222+-=-+=x x x x z 成为一元函数极值问题，令024=-='x z x ，得21=x ，求出极值为21)21,21(=z ． 但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数取得极值的必要条件． 求函数),(y x f z =在条件下取得极值的必要条件．若函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值，那么首先有00(,)0x y ϕ=．假定在00(,)x y 的某一邻域内函数),(y x f z =与均有连续的一阶偏导数，且00(,)0y x y ϕ≠． 有隐函数存在定理可知，方程0),(=y x ϕ确定一个单值可导且具有连续导数的函数()y x ψ=，将其代入函数),(y x f z =中，得到一个变量的函数于是函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值，也就是相当于一元函数(,())z f x x ψ=在0x x =取得极值．由一元函数取得极值的必要条件知道 000000(,)(,)0x y x x x x dz dy f x y f x y dx dx ===+=， 而方程0),(=y x ϕ所确定的隐函数的导数为 00000(,)(,)x x x y x y dydx x y ϕϕ==-． 将上式代入00000(,)(,)0x y x x dyf x y f x y dx =+=中，得00000000(,)(,)(,)0(,)x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=， 因此函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下取得极值的必要条件为 0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0x x y y x y f x y f x y x y x y ϕϕϕ⎧-=⎪⎨⎪=⎩．为了计算方便起见，我们令0000(,)(,)y y f x y x y λϕ=-，则上述必要条件变为0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，容易看出，上式中的前两式的左端正是函数的两个一阶偏导数在00(,)x y 的值，其中λ是一个待定常数．拉格朗日乘数法求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能的极值点．⑴ 构成辅助函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=，（λ为常数）⑵ 求函数F 对x ，对y 的偏导数，并使之为零，解方程组得λ,,y x ，其中y x ,就是函数在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点的坐标；⑶ 如何确定所求点是否为极值点在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定． 拉格朗日乘数法推广求函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ϕ=，(,,,)0x y z t ψ=下的可能的极值点．构成辅助函数其中21,λλ为常数，求函数F 对z y x ,,的偏导数，并使之为零，解方程组得z y x ,,就是函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ϕ=，(,,,)0x y z t ψ=下的极值点． 注意：一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出,,x y z 之间的关系，然后再将其代入到条件中，即可以求出可能的极值点．例6.求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．解 设长方体的三棱长分别为z y x ,,，则问题是在条件下，求函数xyz v = )0,0,0(>>>z y x 的最大值．构成辅助函数)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F -+++=λ，求函数F 对z y x ,,偏导数，使其为0，得到方程组 由)1()2(，得 z y z x y x ++=， 由 )2()3( ， 得 zx y x z y ++=， 即有， ()(),x y z y x z x y +=+= ，()(),y x z z x y y z +=+=，可得z y x ==，将其代入方程02222=-++a xz yz xy 中，得 a z y x 66===． 这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处取得，即在表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积为最大，最大体积为3366a v =． 例7．试在球面2224x y z ++=上求出与点(3,1,1)-距离最近和最远的点．解 设(,,)M x y z 为球面上任意一点，则到点(3,1,1)-距离为但是，如果考虑2d ，则应与d 有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取 2222(,,)(3)(1)(1)f x y z d x y z ==-+-++，又因为点(,,)M x y z 在球面上，附加条件为222(,,)40x y z x y z ϕ=++-=．构成辅助函数(,,)F x y z 222(3)(1)(1)x y z =-+-++222(4)x y z λ+++-．求函数F 对z y x ,,偏导数，使其为0，得到方程组从前三个方程中可以看出,,x y z 均不等于零（否则方程两端不等），以λ作为过渡，把这三个方程联系起来，有 311x y z x y z λ--+-===或311x y z--==， 故3,x z y z =-=-，将其代入2224x y z ++=中，得222(3)()4z z z -+-+=， 求出z =，再代入到3,x z y z =-=-中，即可得 11x =，11y =， 从而得两点(，， 对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以最近点为，最远点为(．。