代数余子式

例1
3 1 −1 2 3 −4 −5 1 D= 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 5 1 −1 1 c1 + (− 2 )c3 − 11 1 3 −1 c4 + c 3 0 0 1 0 0 −5 −5 3
5
1
1
= ( −1) 3+ 3 − 11 1 − 1 −5 −5 0
r2 + r1
5
1
1
a14 a 34 a 44
D=
A23 = (− 1)
M 23 = − M 23 .
a11 D= a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
1+ 2
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44 ,
a21 a23 M 12 = a31 a33 a41 a43
a24 a34 , a44
−6 2 0 −5 −5 0
= ( −1)
1+ 3
−6 2 −8 2 = = 40. 0 −5 −5 −5
例2
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 行列式 证明范德蒙德
1 x1 1 x2
2 x2
⋯ ⋯ ⋯
1
2 x n = ∏ ( x i − x j ). n ≥ i > j ≥1 ⋮
xn
2 Dn = x 1 ⋮ n x1 −1
= a11 a22 a32 a23 a33 − Байду номын сангаас12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a23 a31 a33
阶行列式中， 在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后， 列划去后，留下来的 n − 1 阶行列式叫做元素 a ij 余子式， 的余子式，记作 M ij .
a11 a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = ai1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 an2 ⋯ ann
a11 a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 0 ai 2 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 an2 ⋯ ann
a11 a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + ⋯+ 0 0 ⋯ ain = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯ + a in Ain ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (i = 1,2,⋯, n ) an1 an2 ⋯ ann
(1)
⋮
n n x 2 −1 ⋯ x n − 1
证 用数学归纳法 1 1 ∵ D2 = = x 2 − x1 = ∏ ( x i − x j ), x1 x 2 2≥ i > j ≥ 1
∴ 当 n = 2 时（1）式成立． 式成立．
假设（ 假设（1）对于 n − 1 阶范德蒙德行列式成立 ，
Dn = 1 0 0 ⋮ 0 1 x 2 − x1 x 2 ( x 2 − x1 ) ⋮
a 21 0 a 41
a 22 0 a 42
3+ 3
a 23 a 33 a 43
a11
a 24 0 a 44
a12 a 22 a 42 a14 a 24 . a 44
= ( − 1)
a 33 a 21 a 41
证
位于第一行第一列时, 当 aij 位于第一行第一列时 a11 0 ⋯ 0
D=
a21 ⋮ a n1
a i −1 , j ⋯ a i − 1 , j − 1 ⋯ a i − 1 , n ⋮ anj
aij a
⋮ 元素 a ij 在行列式 a i −1, j ⋮ a nj
⋯
0 ⋮
⋯
0 ⋮
⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1 ,n 中的 ⋮ ⋮ ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn
余子式仍然是 a ij 在 a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n
再把D的第j列依次与第j − 1列, 第j − 2列, 第1列对调,
aij ⋯ 0 ⋯ 0 ij ⋮ ⋮ ⋮ i −1 j −1 D = ( − 1) ⋅ ( − 1) a i − 1 , j ⋯ a i − 1 , j − 1 ⋯ a i − 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ anj ⋯ an , j −1 ⋯ ann
an1 ⋯ anj ⋯ ann 把D的第i行依次与第 i − 1行, 第i − 2行, 第1行对调, 0 ⋯ aij aij ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮
得 D = ( − 1)
i −1
a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j ⋯ a i −1 , n ⋮ a n1 ⋯ ⋮ anj ⋯ ⋮ ann
得
n x 2 − 2 ( x 2 − x1 )
1 x 3 − x1 x 3 ( x 3 − x1 ) ⋮
⋯ ⋯ ⋯
1 x n − x1 x n ( x n − x1 ) ⋮
n n x 3 − 2 ( x 3 − x1 ) ⋯ x n − 2 ( x n − x1 )
列展开， 提出， 按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i − x1 ) 提出， 就有
n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
思考题
设n阶行列式
1 1 Dn = 1 ⋮ 1 2 2 0 ⋮ 0 3 0 3 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ n 0 0 ⋮ n
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
−3 −5 3 例３ 计算行列式 D = 0 − 1 0 7 7 2
解
按第一行展开， 按第一行展开，得
−1 0 0 0 0 −1 D = −3 +5 +3 7 2 7 2 7 7
= 27.
例４ 计算行列式
5 3 −1 2 1 7 2 5 D= 0 −2 3 1 0 −4 −1 4 0 2 3 5
⋮ D= 0 ⋮
⋮ ⋯ aij aij ⋮ ⋯
⋮ 0 ⋮ ⋯ ann
中的余子式 M ij .
an1 ⋯ anj
aij aij
⋮ ⋮ anj
故得
⋯
0 ⋮ ⋮
⋯
0 ⋮ ⋮
于是有 ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n = aij M ij ,
⋯ a n , j −1 0 aij ⋯ aij ⋮ ⋮
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
行展开， 证 把行列式 D = det(a ij ) 按第 j 行展开，有
a 11 ⋮ a i1 = ⋮ a j1 ⋮ a n1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1n ⋮ a in ⋮ , a jn ⋮ a nn
a j 1 A j 1 + ⋯ + a jn A jn
把 a jk 换成 a ik ( k = 1,⋯, n), 可得
( i ≠ j ).
同理 a1i A1 j + a 2 i A2 j + ⋯ + a ni Anj = 0, ( i ≠ j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i = j , ∑ aki Akj = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
aij aij ⋮ ⋮ anj aij a ⋮ = ( − 1)
i+ j
⋯
0 ⋮ ⋮
⋯
0 ⋮ ⋮
(− 1)i + j − 2 ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n =
⋯ ⋯ a n , j −1 0 ⋮ ⋮ ⋯ a n , j −1 ⋯ ⋯ ⋯ ann 0 ⋮ ⋮ ann
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯ + a in Ain
证
a11 ⋯ a12 ⋯
(i = 1,2,⋯, n )
⋯ ⋯ a1n ⋯
D = ai1 + 0 + ⋯+ 0 0 + ai 2 + ⋯+ 0 ⋯ 0 + ⋯+ 0 + ain ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 an2 ⋯ ann
−1 2 0 2 5 2
0 2 0 0 0
5 1
解
3 7
D= 0 −2 3 1 0 0 −4 −1 4 0 0 2 3 5 0
5 3 −1 2 −2 3 1 3 1 r2 + (− 2 )r1 2+ 5 0 − 2 = (− 1) 2 − 2⋅ 5− 4 −1 4 0 − 4 − 1 4 r3 + r1 2 3 5 0 2 3 5 −2 3 1 −7 2 = −10 0 − 7 2 = −10 ⋅ (− 2 ) 6 6 0 6 6
⋯ ann ⋯ 0 ⋮
+ = (− 1)i j ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n = (− 1)i + j aij Mij . D ⋮ ⋮ ⋮
anj
⋯
an, j −1
⋯
ann
二、行列式按行（列）展开法则 行列式按行（
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 定理３ 行列式等于它的任一行（ 素与其对应的代数余子式乘积之和， 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 + A12 + ⋯ + A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
1 1 A11 + A12 + ⋯ + A1n = 1 ⋮ 1
1 2 0 ⋮ 0
1 0 3 ⋮ 0
⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
1 0 n 1 0 = n! 1 − ∑ . j j=2 ⋮ n
= 20(− 42 − 12 ) = −1080.
三、小结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 行列式按行（ 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具
D ,当 i = j , 2. ∑ aki Akj = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j ; k =1
a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
1+1
即有 D = a11 M 11 . 又 从而
A11 = (− 1)
M 11 = M 11 ,
D = a11 A11 .
在证一般情形, 在证一般情形 此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ aij ⋯ aij ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋮
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a23 a33 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31,
= a11 (a22a33 − a23a32 ) + a12 (a23a31 − a21a33 ) + a13 (a21a32 − a22a31 )
a 11 ⋮ a i1 = ⋮ a i1 ⋮ a n1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1n ⋮ a in ⋮ , a in ⋮ a nn
第i行 第 j行
a i 1 A j 1 + ⋯ + a in A jn
相同
当 i ≠ j 时,
a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a in A jn = 0 ,
记
Aij = (− 1)
i+ j
M ij， 叫做元素 a ij 的代数余子式． 代数余子式．
例如
a11 a 21 a 31 a41
a12 a 22 a 32 a42
2+ 3
a13 a 23 a 33 a43
a14 a 24 a 34 a 44
a11 M 23 = a 31 a 41
a12 a 32 a 42
n≥ i > j ≥ 2
∏ ( xi − x j )
n ≥ i > j ≥1
∏ ( x i − x j ).
行列式任一行（ 的元素与另一行（ 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a in A jn = 0 , i ≠ j .
1 = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) x2 ⋮
n x2 −2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 −2 ⋯ xn −2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
∴ Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) =