代数余子式
余子式与代数余子式的定义
余子式与代数余子式的定义余子式与代数余子式的定义一、什么是余子式与代数余子式余子式和代数余子式是矩阵理论中常见的概念，它们与行列式密切相关。
我们来明确一下余子式和代数余子式的定义。
余子式：对于一个n阶矩阵A，若去掉其中的第i行和第j列后得到的（n-1）阶矩阵记作A(i, j)，则A(i, j)的行列式称为矩阵A的余子式，记作M(i, j)。
代数余子式：对于一个n阶矩阵A，矩阵A的任一元素a(i, j)与其对应的余子式M(i, j)的乘积记作A(i, j)，即A(i, j) = a(i, j)·M(i, j)。
其中，正负号由元素的位置(i, j)决定，根据“剪切法则”确定。
总结起来，余子式就是一个矩阵中去掉某行某列后得到的子矩阵的行列式，而代数余子式则是某个元素与其对应的余子式的乘积。
二、深入探讨余子式与代数余子式的性质与作用接下来，我们将从深度和广度两个维度分别探讨余子式和代数余子式的性质与作用。
1. 深度探讨：余子式的性质和作用余子式在矩阵理论和线性代数中有着重要的地位和作用，具体表现在以下几个方面：1.1. 行列式的计算：余子式是行列式计算中的关键环节。
通过递归地计算余子式，可以得到行列式的值。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，我们可以选择任意一行或一列，计算该行（列）中每个元素与其对应的余子式的乘积，并按照正负号相加得到行列式的值。
1.2. 矩阵的逆与伴随矩阵：通过余子式的概念，可以定义矩阵的逆和伴随矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)的第i行第j列的元素可以表示为A^(-1)(i, j) = M(j, i) / |A|，其中M(j, i)为A的余子式，|A|为A的行列式。
1.3. 特殊矩阵的性质：余子式在研究特殊矩阵的性质时发挥了重要作用。
如果一个方阵A的所有余子式都为零，则A必定是奇异矩阵，即不可逆；又如，一个上（下）三角矩阵A的对角线上所有元素的余子式都为1，则A是一个单位上（下）三角矩阵。
代数余子式和余子式的区别
代数余子式和余子式的区别代数余子式和余子式的区别在于：首先，要理解“余”这个字。
它是相对于“代数余子式”而言的，所谓“代数余子式”就是指：把一个含有字母或者符号作为因子而写出来的代数式，从形式上看，它具有如下特点：除了有左右两边的项之外，还包括中间的项；当然，也必须考虑到它们都是整式。
另外，把每一项分开的时候，必须遵守“同字母或者数字”不能省略，而且每一项本身都不能带有字母，否则会影响到运算。
比方说，如果遇到2×3，我们直接把最后一项“×”去掉就行了，但如果遇到2×4，那么只需在前面加上2，不用任何改变，以免发生错误。
余子式表示法就是把代数余子式中各项分开写成字母或者符号，并且规定最高次项的字母在前，如果没有字母，必须用数字，并且一般情况下不允许单独使用符号，这样做就避免了书写上的混乱现象。
通常我们使用乘法来简便地计算乘积，但我们在学习数学的过程中经常会碰到利用幂的指数关系进行计算，也即在指数中使用乘法公式来简化运算。
这里涉及到两种代数余子式，即用数字和字母组合起来的代数余子式和以字母为幂的代数余子式，下面重点介绍用数字和字母组合起来的代数余子式，当然，字母为幂的代数余子式我们也要掌握。
在有些题目里，不管求的结果是什么，有一条件是肯定的，那就是无论怎样的复杂运算，其实质都是要满足某些性质，通俗的讲就是为了得到更多的积而使问题简化。
那么为了满足这个条件，我们自然应该知道怎样正确的使用代数余子式。
根据欧几里德几何的原理，设a，b∈R，将 r^(a- b)称为代数余子式，将 a=- b^(a+ b)称为余子式，那么余子式 a+ b=- a+ b=-（ a+ b）*（ a- b）。
余子式的种类很多，一般人们提到余子式主要想到的是余子式的乘积，其实只要稍微扩展一下，我们就可以应用到很多其他方面，例如除式、根式等等。
还有，就是你看到题目里的余子式可以分成乘积形式，和字母形式。
如 x^2+ y^2=1（ x=0， y=1）那么当然就是 a+ b=- a+ b=-（ a+ b）/ x* y 了。
余子式和代数余子式的关系
余子式和代数余子式的关系1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个数学小伙伴——余子式和代数余子式。
听到这些词，可能会让人想起高深的公式和繁琐的计算，感觉有点“晕乎乎”的。
不过，别担心，咱们慢慢来，把这两个家伙捋顺，弄懂它们的关系。
1.1 余子式是什么首先，余子式，这名字听起来有点拗口，但其实就是一个很有趣的概念。
当我们在讨论矩阵的时候，余子式就像是小小的剪刀，能够把矩阵的一部分剪下来，剩下的就是余子式的“家族成员”。
简单来说，给定一个矩阵，取掉某一行和某一列后，剩下的部分就形成了这个余子式。
1.2 代数余子式的角色接下来，代数余子式就更有意思了。
它不仅是一个余子式，还带上了一个符号的标签，类似于给自己的名字加个“前缀”。
这个符号取决于被删除的行和列的位置，有点像是给每个代数余子式贴个身份证。
要是你把第一行第一列去掉，结果的符号是正的；但要是你去掉了第二行第一列，结果的符号就变成负的。
是不是觉得这有点像游戏的规则？2. 二者的关系好了，既然我们都认识了这两位朋友，接下来就是看他们之间的关系了。
余子式和代数余子式就像是兄弟，但一个是“白衣天使”，一个是“战斗机”。
余子式可以独立存在，但代数余子式一定要依附于余子式，带上自己的符号。
换句话说，所有的代数余子式都是余子式，但不是所有的余子式都是代数余子式。
这就好比你可以吃冰淇淋，但不一定每次都能加巧克力酱。
2.1 在矩阵中的应用说到应用，余子式和代数余子式在行列式的计算中简直是无处不在。
比如，行列式的展开就需要用到这些小家伙。
你想象一下，行列式就像一个大蛋糕，而余子式和代数余子式就是从蛋糕上切下来的小块，搭配得当才能吃出好味道。
2.2 实例解析我们来个简单的例子。
假设有一个2x2的矩阵，A = a, b, c, d。
对于这个矩阵，余子式就是去掉一行一列后剩下的元素。
假如我们去掉第一行第一列，余子式就是d；而代数余子式同样是d，但要注意它的符号！因为没有删除奇数行和奇数列，符号就是正的。
余子式与代数余子式
例如 D
a 21 0 a 41
a 22 0 a 42
a 23 a 33 a 43
a11
a 24 0 a 44
a12 a14
3 3 1 a 33 a 21 a 22 a 24 .
a 41
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
1010
第二章 行列式
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 an1 anj ann 把D的第i行依次与第i 1行, 第i 2行, 第1行对调, 0 aij 0 ij
证明
D D1 D2 .
2 2
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
第二章 行列式
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 0 设为 D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
a42
a 44
9 9
第二章 行列式
证
当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
再证一般情形, 此时
0 2 4 2 1
4 1 3 2
6 2 12.
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
线性代数中的余子式、代数余子式、行列式、伴随矩阵、逆矩阵
代数余子式：Cij = (-1)^(i+j)Bij
代数余子式矩阵：
行列式：矩阵A任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和，比如：
d = A11C11 + A12C12 + ... + A1jC1j + ... + A1nC1n
伴随矩阵：代数余子式矩阵C的转置矩阵： 逆矩阵：E为行列式的倒数乘以伴随矩阵，即：
E = 1/d元剩下的元不改变原来的顺序所构成的n1阶矩阵的行列式称为元aij的余子式
线性代数中的余子式、代数余子式、行列式、伴随矩阵、逆矩阵
设有n×n矩阵A：
则Aij的余子式Bij为：划去Aij所在的第i行与第j列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶矩阵的行列式称为元Aij的余子式：
余子式与代数余子式的关系
余子式与代数余子式的关系余子式和代数余子式都是矩阵的重要概念，它们经常出现在线性代数的教学内容中。
余子式是指在一个矩阵中划去某行某列之后所形成的子矩阵的行列式，而代数余子式是余子式乘以$(-1)^{i+j}$的结果，其中$i$和$j$是余子式所在的行和列的下标。
余子式和代数余子式在矩阵的处理和计算过程中起着非常重要的作用，它们的关系也非常密切。
假设$A=(a_{ij})$是一个$n\times n$的矩阵，$M_{ij}$表示在矩阵$A$中去掉第$i$行和第$j$列所得到的子矩阵，即$$M_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots &a_{1,n}\\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots &a_{i+1,n}\\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}$$则$M_{ij}$称为$A$的第$i$行第$j$列的余子式，记作$A_{ij}$或$A(i,j)$。
可以看出，余子式是一个$n-1\times n-1$的矩阵的行列式，因此余子式的值可以通过行列式计算公式来求得。
代数余子式定义
代数余子式定义
代数余子式是一种矩阵中与行列式有关的重要概念。
代数余子式的定义是：对于一个n阶方阵A，它的(i,j)元素的代数余子式是A
的伴随矩阵Adj(A)的(j,i)元素。
具体来说，代数余子式的计算方法是：设A是一个n阶方阵，对于它的任意一个元素a(i,j)，可求出它的代数余子式A(i,j)。
具体的计算方法是：先将a(i,j)从A中删除，得到一个n-1阶的子阵B，然后求出B的行列式det(B)，最后乘以(-1)^(i+j)得到A(i,j)。
代数余子式在矩阵的理论和运算中有着广泛的应用。
它与行列式、逆矩阵、矩阵的秩等概念密切相关。
在实际应用中，代数余子式可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆、证明矩阵的行列式等等。
- 1 -。
余子式和代数余子式的转换
余子式和代数余子式的转换余子式和代数余子式是线性代数中常见的两个概念，它们经常出现在矩阵的求逆过程中。
在学习线性代数的过程中，我们常常会遇到需要将一个矩阵的余子式转化成代数余子式，或者反过来。
下面，我们就来详细地介绍一下如何进行这样的转化。
1. 什么是余子式首先，我们需要知道什么是余子式。
对于一个矩阵$A$，其中第$i$行第$j$列的元素为$a_{ij}$，那么我们将$a_{ij}$所在的行和列分别去掉，得到的新矩阵为$A_{ij}$，这个新矩阵的行数和列数均比原矩阵少$1$。
那么，$A_{ij}$的行列式就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式，记作$M_{ij}$，即：$$M_{ij}=(-1)^{i+j}det A_{ij}$$2. 什么是代数余子式接下来，我们来了解一下什么是代数余子式。
在同一个矩阵$A$中，与$i$和$j$异号的余子式的和就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式，记作$A_{ij}$，即：$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$所以，我们可以将代数余子式看成余子式的一种特殊形式，它们的计算方式也很相似。
3. 怎么将余子式转化成代数余子式那么，如何将矩阵$A$的余子式转化成代数余子式呢？我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式$M_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
如果是偶数，那么代数余子式$A_{ij}$就等于$M_{ij}$；如果是奇数，$A_{ij}$就等于$-M_{ij}$。
（3）将$A_{ij}$填入矩阵$B$的第$i$行第$j$列，得到矩阵$B$。
4. 怎么将代数余子式转化成余子式反之，如果我们需要将矩阵$A$的代数余子式转化成余子式，我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式$A_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
求代数余子式之和例题
求代数余子式之和例题
摘要：
1.代数余子式的概念
2.求代数余子式之和的方法
3.例题解析
正文：
一、代数余子式的概念
代数余子式是代数中的一个重要概念，它是指一个代数式在某个变量取某个特定值时，该代数式的余子式。
例如，对于三元代数式
f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3，当x=1 时，f(x,y,z) 的余子式为y^3+z^3。
二、求代数余子式之和的方法
求代数余子式之和的方法主要有两种：一种是直接将所有代数余子式相加，然后化简；另一种是利用代数余子式的性质，将其转化为某个特定变量的幂次，然后再求和。
三、例题解析
例题：求代数式f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4 的代数余子式之和。
解：我们可以将f(x,y,z) 看作是关于x 的四次多项式，然后分别求出当x=0、y=0、z=0 时的余子式，再将它们相加即可。
当x=0 时，f(x,y,z) 的余子式为y^4+z^4；
当y=0 时，f(x,y,z) 的余子式为x^4+z^4；
当z=0 时，f(x,y,z) 的余子式为x^4+y^4。
将这三个余子式相加，得到f(x,y,z) 的代数余子式之和为
2(x^4+y^4+z^4)。
这就是求代数余子式之和的方法。
总结：求代数余子式之和的方法是利用代数余子式的性质，将其转化为某个特定变量的幂次，然后再求和。
代数余子式
代数余子式
代数余子式的定义：在一个n阶行列式D中，把元素
aij(i，j=1，2，.....n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij称为元素aij的代数余子式。
在n阶行列式中把元素a所在的第o行和第e列划出之后，留下来的是一个n-1的行列式，这个行列式就叫作元素a的余子式，我们一般将其记作M，而用余子式M再乘以-1的o+e次幂则记为A，则得出的A叫作元素a的代数余子式。
在n阶行列式D=aij划掉元素aij所在的第i行和第j列后，留下的元素按原来的位置构成n的n-1阶行列式称为元素aij 的余子式，记为Mij。
代数余子式具体求解步骤：首先第一行的代数余子式的和是等于把原行列式中第一行元素都换成数字“1”的所得出来的一个行列式，而第二行的代数余子式是的和是等于把原子行列式中的第二行元素换成数字“1”之后所得出来的行列式，所以通过该规律我们可以看出，第n行的代数余子式之和也是等于把原行列式中第n行的元素都换算成数字“1”所得出来的行列式，而所有代数余子式之和就是上面n个新行列式的和。
按照行列式中A中的某一个行（列）用同一个数K来乘，得
出来的结果就是kA，而行列式A等于其他转置行列式AT（AT 则为第n行行为A的第n列），若n阶行列式|αij|中某行（或列），则可以得出行列式|αij|是两个行列式的和。
则其余各行（列）上的元值和|αij|是完全一样的。
线性代数代数余子式
线性代数代数余子式
线性代数对于现代科学技术的发展和技术创新起着至关重要的作用。
代数余子式，也被称为行列式，是一种运算符，用于描述特定的数字关系。
它在线性代数的许多应用中都有用，如随着矩阵中多个变量的变化而引起的趋势的变化等。
代数余子式的结构和运算有一系列严格的规则，其中所用的运算法则为：首先，从方阵中提取出一个子方阵，然后将子方阵中元素乘以方阵中与之相关的元素。
有两个特殊情况：一，如果子方阵只有一行或一列，那么此时用户只需按照子方阵中元素的正负符号将元素的积相加就可以得到代数余
子式的结果。
二，如果子方阵中的元素大小为2×2，则可采用“互补子式”法，将子方阵中的元素相乘，再把乘积相加，然后再加上子方阵中某一行或某一列元素的积乘以另一行或另一列元素的积。
代数余子式在线性代数中有多个应用，如：可以用它来估算系数之间的关系，也可以用它来计算矩阵乘积，可以用来分解复杂系统，并寻找极小值。
另外，也可以用代数余子式来计算矩阵的秩，了解矩阵的维数信息。
此外，它还可以用来处理矩阵的投影、正交性和回归问题等。
总而言之，代数余子式是一种非常重要的线性代数工具，它在现代科学技术方面有着举足轻重的作用，并被广泛应用于各个领域，其学习和掌握对于我们如何解决复杂系统至关重要。
第一行元素的代数余子式
第一行元素的代数余子式
【原创版】
目录
1.代数余子式的概念
2.第一行元素的代数余子式的计算方法
3.第一行元素的代数余子式在矩阵运算中的应用
正文
一、代数余子式的概念
代数余子式是线性代数中一个重要的概念，它是由一个矩阵的元素组成的行列式。
代数余子式可以用来解决矩阵的某些问题，例如求解矩阵的秩、判断矩阵是否可逆等。
在矩阵中，如果一个元素位于主对角线上，那么它对应的代数余子式被称为第一行元素的代数余子式。
二、第一行元素的代数余子式的计算方法
计算第一行元素的代数余子式需要先找到该元素在矩阵中所在的行，然后对该行进行折叠，得到一个行列式。
接着，将该行列式中的第一行与其他行进行错位相减，最后得到的结果即为第一行元素的代数余子式。
需要注意的是，在计算过程中，要对行进行折叠时，要保留折叠行的符号。
三、第一行元素的代数余子式在矩阵运算中的应用
第一行元素的代数余子式在矩阵运算中有广泛的应用，例如在求解矩阵的逆矩阵时，可以利用第一行元素的代数余子式来判断矩阵是否可逆。
如果矩阵的第一行元素的代数余子式不等于零，那么该矩阵就是可逆的，否则就是不可逆的。
此外，在求解矩阵的秩时，也可以利用第一行元素的代数余子式来进行计算。
总之，第一行元素的代数余子式是线性代数中的一个重要概念，它对于解决矩阵的某些问题有着重要的作用。
代数余子式例题及解析
代数余子式例题及解析代数余子式是线性代数中的一个概念，它在矩阵求逆、行列式计算等问题中有着重要的应用。
本文将介绍代数余子式的概念及其计算方法，并给出一些具体的例题及解析。
首先，什么是代数余子式呢？对于一个n阶方阵A，其代数余子式是指将A删去第i行、第j列后所得到的(n-1)阶子阵的行列式。
用符号表示，第i行第j列的代数余子式记作Aij。
代数余子式是矩阵元素的函数，对于不同的i和j，代数余子式的值也可能不同。
接下来，我们来看一个具体的例题。
考虑一个3阶方阵A：A = {{2, 1, 3},{0, -1, 2},{1, 2, -1}}计算代数余子式A23的值。
根据定义，我们需要删去第2行第3列，得到子阵B：B = {{2, 1},{0, -1}}B的行列式为：det(B) = 2*(-1) - 0*1 = -2因此，代数余子式A23的值为-2。
除了计算单个代数余子式的值，我们还可以利用代数余子式的性质来计算方阵的行列式、逆矩阵等。
例如，对于一个n阶方阵A，其行列式可以通过任意一行（或一列）的代数余子式和对应的矩阵元素相乘再求和来计算。
具体而言，如果我们选择第i行展开，则有det(A) = a1i*A1i + a2i*A2i + ... + ani*Ani，其中aij表示矩阵A的第i 行第j列元素。
除了行列式计算外，代数余子式还可以用来计算矩阵的逆。
如果一个n阶方阵A的行列式不为零，那么它的逆矩阵可以通过代数余子式和行列式的关系来求解。
具体而言，A的逆矩阵的元素可以表示为Aij/det(A)的形式。
综上所述，代数余子式是线性代数中一个重要的概念，它在行列式计算、矩阵逆等问题中有着广泛的应用。
通过计算代数余子式，我们可以求解方阵的行列式、逆矩阵等问题。
代数余子式正负号
代数余子式加负号看i+j，代数余子式Aij=（-1）^i+j Mij，Mij是余子式。
代数余子式前面有没有负一，由它所在的行和列决定，如果i+j为负，前面就有负一；i+j为正，就没有。
（i表示行，j表示列）。
简介
在n阶行列式中任选m行m列，其中m<=n，得到的行列式，就称为原行列式的子式。
单选一个元素也能构成原行列式的一个子列，即取1行1列，得到一个1阶行列式，就是原行列式的一个1阶子式。
而被选取的m阶子列除外的那些元素，构成了一个(m-n)阶子式，就称为这个m阶子列的余子式。
这就是子列的余子式的概念，而当子式为1阶子式时，即该子式只有一个元素时，得到的余子式也可以称为是这个元素的余子式，这就是余子式的第二个概念。
代数余子式求法
代数余子式求法代数余子式是矩阵理论中的一个重要概念，用于计算矩阵的逆、行列式等相关运算。
代数余子式的求法是通过对矩阵中每个元素取代数余子式的方法进行计算。
代数余子式的定义给定一个n阶矩阵A，它的元素记为Aij，其中i表示行号，j表示列号。
矩阵A的第i行第j列的代数余子式记为Aij*，它等于删除第i行和第j列之后，剩余元素的行列式值乘以-1的i+j次方，即Aij* = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij表示矩阵A删除第i行和第j列之后剩余元素的行列式。
代数余子式的求法代数余子式的计算可以通过三种方法进行：直接法、附属式法和对角线法。
1. 直接法：直接法是通过求解子矩阵的行列式来计算代数余子式的值。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 删除矩阵A的第i行和第j列，得到一个(n-1)阶的子矩阵B。
b. 计算子矩阵B的行列式值，记为det(B)。
c. 代数余子式Aij* = (-1)^(i+j) * det(B)。
2. 附属式法：附属式法利用矩阵的伴随矩阵来计算代数余子式的值。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
b. 代数余子式Aij* = Adj(A)ij。
3. 对角线法：对角线法是通过对角线元素的代数余子式值之和来计算矩阵的行列式。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 将矩阵A的元素Aij与对应的代数余子式Aij*相乘，得到Aiij*。
b. 计算Aiij*的和，即为该矩阵的行列式值。
例如，对于2阶方阵A，它的行列式值为det(A) =A11*A11* + A12*A12*。
通过以上三种求法，我们可以计算出矩阵的代数余子式值，从而进行行列式、逆矩阵等相关运算。
代数余子式的应用代数余子式在线性代数和矩阵理论中有着广泛的应用。
其中，代数余子式在求解矩阵的逆矩阵时起着重要的作用。
代数余子式的推论
代数余子式的推论代数余子式是矩阵中一个非常重要的概念，它在矩阵的求逆、行列式的计算等方面都有着重要的应用。
在代数余子式的推论中，我们将会探讨代数余子式的性质以及它们在矩阵计算中的应用。
首先，我们来介绍一下代数余子式的定义。
对于一个n阶矩阵A，它的(i,j)代数余子式记作Aij，定义为A的第i行和第j列所剩下的元素组成的(n-1)阶矩阵的行列式乘以(-1)^(i+j)。
例如，对于一个3阶矩阵A，它的(2,1)代数余子式可以表示为：A21 = (-1)^(2+1) * det([a12 a13; a32 a33])其中，a12、a13、a32、a33分别表示A矩阵的对应元素。
接下来，我们来介绍一些代数余子式的性质。
首先，对于一个n阶矩阵A，它的任意两个代数余子式Aij和Akl，如果i≠k或j≠l，则它们互不相同。
其次，对于一个n阶矩阵A，它的任意一个代数余子式Aij，都可以表示为A的伴随矩阵Adj(A)的第j行第i列的元素。
最后，对于一个n阶矩阵A，它的行列式det(A)可以表示为A的任意一个代数余子式Aij与对应元素的乘积之和，即：det(A) = Σ(Aij * aij)其中，aij表示A矩阵的第i行第j列的元素。
除了以上的性质之外，代数余子式还有一些重要的推论。
首先，对于一个n阶矩阵A，如果它的某一个代数余子式Aij等于0，则A的行列式det(A)也等于0。
其次，对于一个n阶矩阵A，如果它的某一个代数余子式Aij不等于0，则A的逆矩阵A^-1可以表示为：A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)其中，Adj(A)表示A的伴随矩阵。
最后，我们来介绍一下代数余子式在矩阵计算中的应用。
首先，代数余子式可以用来求解矩阵的逆矩阵。
通过上面的推论，我们可以得到矩阵的逆矩阵的表达式，从而可以快速地求解矩阵的逆矩阵。
其次，代数余子式可以用来求解矩阵的行列式。
通过上面的性质，我们可以将矩阵的行列式表示为代数余子式的和，从而可以快速地求解矩阵的行列式。
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D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
思考题
设n阶行列式
1 1 Dn = 1 ⋮ 1 2 2 0 ⋮ 0 3 0 3 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ n 0 0 ⋮ n
a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
1+1
即有 D = a11 M 11 . 又 从而
A11 = (− 1)
M 11 = M 11 ,
D = a11 A11 .
在证一般情形, 在证一般情形 此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ aij ⋯ aij ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋮
1 = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) x2 ⋮
n x2 −2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 −2 ⋯ xn −2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
∴ Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) =
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
⋯ ann ⋯ 0 ⋮
+ = (− 1)i j ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n = (− 1)i + j aij Mij . D ⋮ ⋮ ⋮
anj
⋯
an, j −1
⋯
ann
二、行列式按行（列）展开法则 行列式按行（
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 定理３ 行列式等于它的任一行（ 素与其对应的代数余子式乘积之和， 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
⋮ D= 0 ⋮
⋮ ⋯ aij aij ⋮ ⋯
⋮ 0 ⋮ ⋯ ann
中的余子式 M ij .
an1 ⋯ anj
aij aij
⋮ ⋮ anj
故得
⋯
0 ⋮ ⋮
⋯
0 ⋮ ⋮
于是有 ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n = aij M ij ,
⋯ a n , j −1 0 aij ⋯ aij ⋮ ⋮
例1
3 1 −1 2 3 −4 −5 1 D= 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 5 1 −1 1 c1 + (− 2 )c3 − 11 1 3 −1 c4 + c 3 0 0 1 0 0 −5 −5 3
5
1
1
= ( −1) 3+ 3 − 11 1 − 1 −5 −5 0
r2 + r1
5
1
1
n≥ i > j ≥ 2
∏ ( xi − x j )
n ≥ i > j ≥1
∏ ( x i − x j ).
行列式任一行（ 的元素与另一行（ 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a in A jn = 0 , i ≠ j .
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 + A12 + ⋯ + A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
1 1 A11 + A12 + ⋯ + A1n = 1 ⋮ 1
1 2 0 ⋮ 0
1 0 3 ⋮ 0
⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
1 0 n 1 0 = n! 1 − ∑ . j j=2 ⋮ n
a i −1 , j ⋯ a i − 1 , j − 1 ⋯ a i − 1 , n ⋮ anj
aij a
⋮ 元素 a ij 在行列式 a i −1, j ⋮ a nj
⋯
0 ⋮
⋯
0 ⋮
⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1 ,n 中的 ⋮ ⋮ ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn
余子式仍然是 a ij 在 a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a23 a33 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31,
= a11 (a22a33 − a23a32 ) + a12 (a23a31 − a21a33 ) + a13 (a21a32 − a22a31 )
行展开， 证 把行列式 D = det(a ij ) 按第 j 行展开，有
a 11 ⋮ a i1 = ⋮ a j1 ⋮ a n1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1n ⋮ a in ⋮ , a jn ⋮ a nn
a j 1 A j 1 + ⋯ + a jn A jn
把 a jk 换成 a ik ( k = 1,⋯, n), 可得
( i ≠ j ).
同理 a1i A1 j + a 2 i A2 j + ⋯ + a ni Anj = 0, ( i ≠ j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i = j , ∑ aki Akj = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
a14 a 34 a 44
D=
A23 = (− 1)
M 23 = − M 23 .
a11 D= a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
1+ 2
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44 ,
a21 a23 M 12 = a31 a33 a41 a43
a24 a34 , a44
再把D的第j列依次与第j − 1列, 第j − 2列, 第1列对调,
aij ⋯ 0 ⋯ 0 ij ⋮ ⋮ ⋮ i −1 j −1 D = ( − 1) ⋅ ( − 1) a i − 1 , j ⋯ a i − 1 , j − 1 ⋯ a i − 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ anj ⋯ an , j −1 ⋯ ann
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯ + a in Ain
证
a11 ⋯ a12 ⋯
(i = 1,2,⋯, n )
⋯ ⋯ a1n ⋯
D = ai1 + 0 + ⋯+ 0 0 + ai 2 + ⋯+ 0 ⋯ 0 + ⋯+ 0 + ain ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 an2 ⋯ ann
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
−3 −5 3 例３ 计算行列式 D = 0 − 1 0 7 7 2
解
按第一行展开， 按第一行展开，得
−1 0 0 0 0 −1 D = −3 +5 +3 7 2 7 2 7 7
= 27.
例４ 计算行列式
5 3 −1 2 1 7 2 5 D= 0 −2 3 1 0 −4 −1 4 0 2 3 5
aij aij ⋮ ⋮ anj aij a ⋮ = ( − 1)
i+ j
⋯
0 ⋮ ⋮
⋯
0 ⋮ ⋮
(− 1)i + j − 2 ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n =
⋯ ⋯ a n , j −1 0 ⋮ ⋮ ⋯ a n , j −1 ⋯ ⋯ ⋯ ann 0 ⋮ ⋮ ann
−6 2 0 −5 −5 0
= ( −1)
1+ 3
−6 2 −8 2 = = 40. 0 −5 −5 −5
例2
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 行列式 证明范德蒙德
1 x1 1 x2
2 x2
⋯ ⋯ ⋯
1
2 x n = ∏ ( x i − x j ). n ≥ i > j ≥1 ⋮
xn
2 Dn = x 1 ⋮ n x1 −1
n x 2 − 2 ( x 2 − x1 )
1 x 3 − x1 x 3 ( x 3 − x1 ) ⋮
⋯ ⋯ ⋯
1 x n − x1 x n ( x n − x1 ) ⋮
n n x 3 − 2 ( x 3 − x1 ) ⋯ x n − 2 ( x n − x1 )
列展开， 提出， 按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i − x1 ) 提出， 就有
an1 ⋯ anj ⋯ ann 把D的第i行依次与第 i − 1行, 第i − 2行, 第1行对调, 0 ⋯ aij aij ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮
得 D = ( − 1)
i −1
a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j ⋯ a i −1 , n ⋮ a n1 ⋯ ⋮ anj ⋯ ⋮ ann