人教版数学选修21第三章直线与平面的夹角讲义

案例（二）----精

析精练

课堂合作探究

重点难点突被

知识点一公式cosθ=cosθ1·cosθ2

如右图,已知OA是平面a的一条斜

线,AB⊥a,

则OB是OA在平面a内的射影,设OM是a 内通过点O

的任意一条直线,OA与OB所成的角为θ1,OB与OM所

成的角为θ2,OA与OM所成的角为θ,则有cosθ=

cosθ1·cosθ2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.

在上述公式中,因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ

知识点二斜线和平面所成的角

(1)定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).

(2)斜线和平面所成角的范围:(0,2

π).

(3)直线和平面所成角的范围:[O,2

π],其中当一条直线与一个平面垂

直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0.

(4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB 与平面a 所成的角为θ,平面a 的法向量为n,直线与向量n 所成的角为ϕ，则θ+ϕ=2

π

,利用向量的夹角公式求出cos ϕ=AB

n AB ,再根据sin θ=|cos ϕ|求出

θ③利用公式cos θ=cos θ1cos 2求解.

典型例题分析

题型1 几何法求直线和平面的夹角 【例1】 如下图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1

中,AB=4,BC=3,AA 1=5,试求B 1D 1与面A 1BCD 1所成角的正弦值 解析 作出B 1点在平面A 1BCD 1上的射C 影,从而得到B 1D 1在平面上的射影.又因为平面

A 1

B 1D ⊥面A 1BCD 1,故只要过B 1作A 1B 的垂线,垂足就是B 1的射影.

答案 作B 1E ⊥A 1B,又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1,∴A 1D 1⊥B 1E. 由B 1E ⊥A 1B 及B 1E ⊥A 1D 1得知B 1E ⊥面A 1BCD 1,所以,D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1上的射影,从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与面A 1BCD 1所成的角.

在Rt △B 1D 1E 中,有sin ∠B 1D 1E=

1

11B D EB 上的射影. 但D1B1=211211D A B A +=915+=5,又1

1

BB A S ∆=21

A 1

B 1·EB 1=

2

1A 1B 1·BB 1,A 1B=1625+=14, ∴EB 1=

4154⨯=420,∴sin ∠B 1D 1E=5

4120=4141

4.

方法指导 如果随意地在直线B 1D 1上取一点,然后过这一点向平面A 1BCD 1作垂线,虽然也可以找出直线B 1D 1和平面A 1BCD 1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.

【变式训练1】 已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面a 内,直角边AB,AC 分别和a 成30°和45°角.求斜边BC 上的高AD 与平面a 所成角的大小.

答案 如下图,作AO ⊥a,O 为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO 分别为AB,AC,AD 与a 所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°. 设AO=h,则AC=2h,AB=2h.

∴BC=6h, ∴AB=3

2

=

•BC

AB AC h.

∴Rt △AOD 中,

sin ∠ADO=2

3=AD

AO ,∠ADO=60°.

∴AD 与平面a 所成的角的大小为60°.

【例2】 如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求直线AA 1与平面A 1BD 所成的角.

解析 在确定A 在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A 1-ABD 的性质.

答案 解法一:连结AC,设AC∩BD=O,连结A 1O,在△A 1AO 内作AH ⊥A 1O,H 为垂足.

∵A 1A ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD, ∴A 1A ⊥BD.

又BD ⊥AC,AC∩A 1A=A, ∴BD ⊥平面A 1AD,∴BD ⊥AH.

又AH ⊥A 1O,A 1O∩B D=O, ∴AH ⊥平面A 1BD,

∴∠AA 1H 为斜线A 1A 与平面A 1BD 所成的角. 在Rt △A 1AO 中,A 1A=1,AO=22,∴A 1O=2

6. ∵:A 1A·AO=A 1O·AH,

∴AH=

332

6

22

111=⨯

=•O

A AO

A A .

∴sin ∠AA 1H=

3

3

1=

A A AH .∠AA 1H=arc sin 33. ∴A 1A 平面A 1BD 所成角的大小为arc sin 3

3

. 解法二:∵AA 1=AD=AB,

∴点A 在平面A 1BD 上的射影H 为△A 1BD 中心,连结A 1H,则A 1H 为正△A 1BD 外接圆半径, ∵正△A 1BD 边长为2,∴A 1H=

33·2=3

6. Rt △AHA 1中,cos ∠AA 1H=

A

A H

A 11=36. ∵∠AA 1H 为AA 1与平面A 1BD 所成的角, ∴A 1A 与平面A 1BD 所成角的大小为 arc sin

3

3

. 解法三:同解法二分析,A 1H 为∠BA 1D 的平分线, ∴∠BA 1H=30°,又∠AA 1B=45°,∴由最小角原理公式 cos ∠AA 1B=cos ∠AA 1H·cos ∠BA 1H,得cos ∠AA 1H=

︒

︒

=∠∠30cos 45cos cos cos 11H BA B AA =36

∴∠AA 1H=arc cos

3

6 方法指导 在研究空间图形时,基本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AA 1=AD=AB 的基础上,得到A 在平面A 1BD 上的射影的性质,解法三在找到基本图形-----三棱