8-2正态总体参数的假设检验

关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域在书附表 中给出. 中给出.常用的是 δ 的情况. = 0 的情况.
当两种正态总体的方差均为已知时,我们可 两种正态总体的方差均为已知时 检验法来检验两正态总体均值差的假设问题 用u检验法来检验两正态总体均值差的假设问题. 检验法来检验两正态总体均值差的假设问题.
σ
2
x 0
检验法. 为 u 检验法.
σ
来确定拒绝域. 来确定拒绝域.这种检验法常称
n
应用统计学
下面还将给出一个有用的结果: 下面还将给出一个有用的结果 我们看到,如将例 中需要检验的问题写成以下的 我们看到,如将例3中需要检验的问题写成以下的 形式,看来更为合理: 形式,看来更为合理:
H0 : ≤ 0 , H1 : > 0
2
σ
2
的无偏估计, 的无偏估计,当 H0 为真时 ,比值
2 一般来说应在1附近摆动 附近摆动,而不应过分大于1 σ0 一般来说应在 附近摆动,而不应过分大于
s
2
或过分小于1. 为真时, 或过分小于 .由于当 H0为真时
χ2 = 我们取
(n 1)s2
(n 1)s2 2 ~ χ (n 1). 2 σ0
σ
现在由于样本观察值t= 现在由于样本观察值 =-4.295<-1.7341,所以拒绝 H0, 所以拒绝 即认为建议的新操作方法较原来的方法为优. 即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.
应用统计学
第三节 正态总体方差的假设 检验
单个总体的情况 两个总体的情况 课堂练习 小结 布置作业
应用统计学
一,单个总体的情况
应用统计学
σ 2 (n 1)s2 由观察值 s = 9200 得 = 46 > 44.314所 2 σ0 以拒绝 H0 , 认为这批电池寿命波动性较以往的
(n 1)s2
σ
2 0
≤11.524
或
(n 1)s2
2 0
≥ 44.314
有显著的变化. 有显著的变化.
应用统计学
二,两个总体的情况
2 的样本, 设 x1, x2 ,, xn1 来自总体 N(1,σ1 ) 的样本,
Baidu Nhomakorabea
应用统计学
解: 按题意需检验
H0 : ≤ 0 = 225, H1 : > 225.
取 α = 0.05.则拒绝域为
x 0 t= ≥ tα (n 1) s n
现在n=16, t0.05 (15) =1.7531. 又算得 x = 241.5, s = 98.7259 现在 即得 x 0 = 0.6685 <1.7531. t= s n t不落在拒绝域,故接受 H0 ,即认为元件的平均 不落在拒绝域, 不落在拒绝域 寿命不大于225小时. 小时. 寿命不大于 小时
2
x 0 作为检验统计量 检验统计量. 替 ,采用 t = 作为检验统计量.当 s n x 0 过分大时就拒绝 , 拒绝域的 H0 拒绝域的 t =
σ
s 形式为
n
x 0 为真时, 已知当 H0为真时, t(n 1),故由 s n
x 0 ≥ k} = α , P {拒绝 H0 H0为真 = P 0 { 为真}= 拒绝 s n
2 y1, y2 ,, yn2 是来自总体 N(2 ,σ2 )的样本,且两样 的样本,
2 2 s1 , s2 .且设 1, 2 , 本独立. 本独立.其样本方差分别为
设总体 均属未知, X N(,σ ), ,σ , 均属未知,
2 2
x , x2 , xn 是来自 的样本,要求检验假 , 是来自X的样本 的样本, 1
设(显著性水平为
2
α ):
2 0
H0 :σ = σ , H1 :σ ≠ σ .
2 2 0
σ
2 为已知常数. 0 为已知常数.
应用统计学
由于 s 是
0
意义也不一样, 意义也不一样,但对于相同的显著性水平它们的 拒绝域是相同的. 拒绝域是相同的. 检验也有类似的结果. 检验也有类似的结果.
α
对于下面将要讨论的有关正态总体的参数的
应用统计学
2.
未知, 设总体 X N( ,σ 2 ),其中 ,σ 2未知,我们来 求检验问题 H : = , H : ≠
H0 : 1 2 = δ , H1 : 1 2 > δ.
(x y) δ t = 1 1 sw + n n 1 2
2 w 2 1
其中
(n1 1)s + (n2 1)s s = n1 + n2 2
2 2
应用统计学
为真时, 当 H0 为真时,已知 t t(n1 + n2 2) 与单个总体 检验法相仿, 拒绝域的形式为 的 t 检验法相仿,其拒绝域的形式为
应用统计学
第二节
正态总体的显著性检验
学习要求
掌握单个正态总体的均值和方差的双尾和单尾检验 会进行两个正态总体的均值和方差的双尾和单尾检验
对于概念和理论方面的内容,从高到低分别用 "理解","了解","知道"三级来表述; 对于方法,运算和能力方面的内容,从高到低分别用 "熟练掌握","掌握","能"(或"会")三级来 表述.
n1 =10, x = 76.23, s = 3.325,
2 1
n2 =10, y = 79.43, s = 2.225.
2 2
应用统计学
又,
2 2 (10 1)s1 + (10 1)s2 2 sw = = 2.775, t0.05 (18) =1.7341, 10 +10 2
故拒绝域为
xy t= ≤ t0.05 (18) = 1.7341 , 1 1 sw + 10 10
设 设两样本独立. 设两样本独立.又分别记它们的样本均值为 记样本方差为 s
2 1
x, y,
,s
2 . 2 设
1, 2 ,σ
2
均为未知, 均为未知,要
特别引起注意的是, 特别引起注意的是,在这里假设两总体的方差是相 等的. 等的.
应用统计学
现在来求检验问题: 现在来求检验问题: 为已知常数)的拒绝域, ( δ为已知常数)的拒绝域,取显著性水平为 检验统计量: 统计量作为检验统计量 α = 0.05 引用下述 t 统计量作为检验统计量:
2 0
作为检验统计量, 作为检验统计量,如上所说
知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式: 知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式:
χ =
2
(n 1)s2
σ
2 0
≤ k1 或 χ =
2
(n 1)s2
σ
2 0
≥ k2
χ =
2
(n 1)s
2
σ
2 0
≤ k1 或 χ =
2
(n 1)s
2
应用统计学
σ
2 0
≥ k2
应用统计学
设这两个样本相互独立, 设这两个样本相互独立,且分别来自正态总 体
N(1,σ
2
)和
N(2 ,σ
2
),
1, 2 ,σ 2 均未
知.问建议的新操作方法能否提高得率? 问建议的新操作方法能否提高得率? (取 α = 0.05 ) 解:需要检验假设 H : = 0, H : < 0. 0 1 2 1 1 2 分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差 如下: 如下:
0 0
σ
2
未知, 未知,关于
的检验( 检验 检验) 的检验(t检验)
的拒绝域( 的拒绝域(显著性水平为 由于 σ 域了. 域了.
2
α).
1
0
, 是来自正态总体X 的样本, 设 x , x2 , xn是来自正态总体 的样本, 1
x 0 来确定拒绝 未知, 未知,现在不能利用 σ n
应用统计学
的无偏估计, 注意到 s 是σ 2 的无偏估计,我们用 s 来代
2
验法得拒绝域已在附表中给出. 验法得拒绝域已在附表中给出.
应用统计学
某厂生产的某种型号的电池, 例3 某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来 的正态分布, 服从方差 σ 2 = 5000 (小时 2)的正态分布,现有一批 小时 的正态分布 这种电池,从它的生产情况来看, 这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有 所改变,现随机取26只电池 只电池, 所改变,现随机取26只电池,测出其寿命的样本方 ).问根据这一数据能否推断这 差 s2 = 9200小时 2).问根据这一数据能否推断这 批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化 (取 α = 0.02)?
( x y) δ t= ≥ k. 1 1 sw + n n2 1
P{拒绝 H0 H0为真 拒绝 为真}
(x y) δ = P =δ { ≥ k} = α 1 2 1 1 sw + n n2 1
应用统计学
可得
k = tα (n1 + n2 2). 于是得拒绝域为
( x y ) δ t= ≥ tα (n1 + n2 2). 1 1 sw + n1 n2
x 0 t= ≥k s n
应用统计学
得
k = tα 2 (n 1)
拒绝域为 , 即拒绝域为
x 0 t= ≥ tα 2 (n 1) s n
未知时, 对于正态总体 N( ,σ 2 ) ,当 σ 2未知时,关于 的单边检验得拒绝域在课本附表中已给出. 的单边检验得拒绝域在课本附表中已给出.
应用统计学
取显著性水平为
现在来求这个问题的拒绝域. α ,现在来求这个问题的拒绝域
应用统计学
N( ,σ 2 ) 在方差 比较正态总体 的两种检验问题
σ
2
已知时, 已知时,对均值
H0 : ≤ 0 , H1 : > 0
和
H0 : = 0 , H1 : > 0
应用统计学
我们看到尽管两者原假设 H 的形式不同,实际 我们看到尽管两者原假设 的形式不同,
应用统计学
第二节 正态总体均值的假设 检验
单个正态总体 均值的检验 两个正态总体均值差的检验 小结 布置作业
应用统计学
一,单个总体N( ,σ ) 均值的检验
2
1.
在上一小节中已讨论过正态总体 N( ,σ ) , 当
2
已知, 的检验( 检验 检验) σ 已知,关于 的检验(u检验)
2
的检验问题.在这些检验问题 = 0的检验问题 在这些检验问题 中,我们都是利用 H0在为真时服从 N(0,1)分布 已知时关于 的统计量
值由下式确定: 此处的 k1, k2 值由下式确定: P{拒绝 H0 H0为真 拒绝 为真} = P 2 {( σ
0
(n 1)s2
σ
2 0
≤ k1) ∪(
(n 1)s2
σ
2 0
≥ k2} = α
为计算方便起见, 为计算方便起见,习惯上取
P 2 {( σ
0
(n 1)s2
σ
2 0
≤ k1)} = , 2
应用统计学
二.两个正态总体均值差的检验(t 检验) 两个正态总体均值差的检验( 检验)
我们还可以用t检验法检验具有相同方差的两个 我们还可以用 检验法检验具有相同方差的两个 正态总体均值差的假设. 正态总体均值差的假设.
x1, x2 ,, xn1是来自正态总体 N(1,σ 2 )的样本 ,y1, y2 ,, yn是来自正态总体 N(2 ,σ 2 ) 的样本且 2
2
α
P 2 {( σ
0
(n 1)s2
σ
2
2 0
≥ k2} =
α
2
(3.1) )
故得
k1 = χ
2 1α
(n 1), k2 = χα (n 1)
2
应用统计学
于是得拒绝域为
(n 1)s2
2 σ0
≤χ
2 1α
(n 1) 或
2
(n 1)s
2 σ0
2
2 ≥ χα (n 1) 2
上述检验法为
χ 检验法.关于方差 σ 2的单边检 检验法.
检验法. 上述利用 t 统计量得出得检验法称为 t 检验法.在 实际中,正态总体的方差常为未知, 实际中,正态总体的方差常为未知,所以我们常用
t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题. 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.
应用统计学
以小时计) 例1 某种电子元件的寿命 X(以小时计)服从正态 分布, 只元件的寿命如下: 分布, ,σ 2均未知.现测得 只元件的寿命如下: 均未知.现测得16只元件的寿命如下 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时 ( 问是否有理由认为元件的平均寿命大于 )?
应用统计学
例2 在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的 建议是否会增加钢的得率, 建议是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上 进行的.每炼一炉钢时除操作方法外, 进行的.每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都 尽可能做到相同.先用标准方法炼一炉, 尽可能做到相同.先用标准方法炼一炉,然后用建 议的新方法炼一炉,以后交替进行,各炼了10炉, 议的新方法炼一炉,以后交替进行,各炼了 炉 其得率分别为 标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1