大学物理课件 理论力学 第十章 虚位移原理
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清华大学本校用理论力学课件4-1 虚位移原理
2
P2
W
解
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
约束是理想的，可用虚功原理。 r3 y tan r2 r3 x r2 r tan tan r3 y 1 r3 y tan r3 x r 1
虚功原理： P r P r2 W r3 y 0 1 1 2
虚功原理： A P rA Q rB 0
P rB tan Q rA
P
y
A
rA
O
l
rB
B
x
Q
解
解析法
第4章
2 2 约束方程： xB yA l 2
虚 位 移 原 理 及 应 用
变分得： 2 xB xB 2 yA yA 0 xB yA xB cot xB yA 虚功原理： y Q xB P yA 0
第1节
虚位移原理
2013年8月23日
虚位移原理
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
具有理想约束的质点系，在给定位置处于平 衡的充分必要条件是：主动力系在质点系的 任意虚位移上所作的虚功等于零，即：
（ F r 0 F δx F δy F δz ） 0
i i
xi i yi i zi i
P
P Q tan
A l
O
B Q
x
例5
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
已知：a, P, M; 求：约束反力NB
a
a
M A
C
a
a
P B
解
第4章
(1) 解除B水平约束，求NBx
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
理论力学课件 虚位移原理
f k ( x i ) 0, i 1 ,2 , ,3 n ； k 1,2, , r (约束数 )
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义
在物体的运动中，位移可以由许多因素引起，如外力、惯性、重力等。
虚位移原理的主要思想是将这些因素分离开，然后通过分析每个因素对位
移的贡献，来求解物体的运动方程。
1.确定系统的运动状态：首先，要明确系统的物体以及外部力的情况。
这些可以通过建立物体的坐标系和分析作用力得到。
2.定义虚位移：在给定的运动状态下，假设系统从位置A变化到位置B。
定义系统的虚位移为一个无限小的变化，并使其满足运动约束条件。
这个虚位移可以用一个一般的位移矢量δr来表示。
3.计算虚功：通过分析作用在系统上的外部力，计算出每个力对系统
虚位移的贡献。
这个贡献即代表了力对系统产生的虚功。
4.计算虚力：将虚功除以虚位移，得到一个常数，即为虚力。
这个虚
力与系统的其他因素（如惯性、重力）无关，只与外部力有关。
此外，虚位移原理还可以用于解决静力学、动力学和弹性力学等领域
的问题。
在静力学中，可以通过虚位移原理推导出平衡条件；在动力学中，可以用来分析系统的运动方程；在弹性力学中，可以通过虚位移原理推导
出材料的应力应变关系。
总之，虚位移原理是理论力学中一个十分重要的原理，它具有普遍性
和广泛应用性。
通过应用虚位移原理，我们可以更加简洁和有效地描述和
解决各种力学问题。
理论力学虚位移原理 ppt课件
虚位移原理
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
虚位移原理1-39页PPT精品文档
F1aF2b0 （a）
s1a tgs2btg
F1与F2在相应位移上的功之和：
F1S1F2S2 0
（b）
（b）
条件（a）和条件（b）是等价的
猜想： 力平衡条件
虚位移
虚功
力在微小位移中所作的功来建立
虚位移原理
虚位移原理
用动力学方法建立受约束质点系平衡条件
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的
(c)FNi 0即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；
(d)
n
FNi
ri
0即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。
i1
二、虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要 条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。
w n Fi ri 0
f j x 1 ,y 1 , z 1 , , x n ,y n , z n , x 1 ,y 1 , z 1 , , x n ,y n , z n , t 0
j1,2,,s s为系统中的约束数目
5、应用实例 1.单面非完整约束应用实例---齿轮啮合 2.单面非完整约束应用实例---摩擦系统 3.单面几何约束应用实例----悬挂结构
i1
n
w (F xixiF yiyiF zizi)0 —解析式
i 1
证明：
（1）必要性
Fi FNi0
命题：如质点系平衡，则上式成立。
（ F iF N ） i r i 0
n(F i F N )i r inF ir inF Nir i 0
虚位移原理与力学的变分原理
设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri 代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：
F r 0 i i
注意：对每个质点上主动力所做的元功 求和，也是对质点数求和。
证明：(1) 必要性：即质点系平衡， Fi ri 0 成立。
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 (Fi Ni ) ri 0
WR Ri ri 0，i为质点数
注意：对每个质点上约束力所做的元功求和，是对质点数求和。
理想约束：力与位移垂直，或相互抵消。 常见的几种理想约束 :
(1) 光滑支承面/不可伸长的绳索。约 束力恒垂直于虚位移，在质点系的任何虚 位移中约束力的元功都等于零。
δr FN
(2) 连结两刚体的滑轮。如图所示。绳
C
vB cos vA cos 90 ( ) vA sin( )
y
rB vB sin( )
rA vA
cos
三角形OAB内角和 Θ+φ+∠OAB= 180º
A
O
rA
B rB
x
方法②：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度分布，等同于平 面图形绕其速度瞬心的定点转动。－瞬心法
若已知平面图形上A、B 两点速度VA 、VB 的方向，则作VA 、VB 的垂 线，其交点P 为该瞬时平面图形的速度瞬心,其速度为零。
§1.2 虚功原理
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参考：P5－12(T)，P25-29(L)
静力学
动力学
➢ 虚位移及其计算
➢ 虚功和理想约束
➢ 虚位移原理及其应用
拉格朗日方程
重点 1.理解虚位移的概念和实位移的对比。 2.虚功原时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位 移，称为该质点或质点系的虚位移。
虚位移原理
虚 位 移 及 其 计 算
同样可得
二、虚位移的计算
或者，由于 为AB的瞬心，故
由正弦定理
16.2
虚 位 移 及 其 计 算
二、虚位移的计算
2、解析法
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如
椭圆规机构如图，坐标
有约束方程
对上式进行变分运算得
16.2
虚 位 移 及 其 计 算
或者把 表示成 的函数，也可求出虚位移间的关系。
因为
作变分运算
所以
比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。
选广义坐标为φ
（解析法）
在x、y轴上的 分量：
各质点虚位移之间的关系的几何法
理论力学：第十六章 分析力学基础
16.1.4完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束(几何约束以及可以积分的运动约束)；
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束(不能积分的运动约束)。
理论力学：第十六章 分析力学基础
在本例中：可以选择 θ 为质点的广义坐标， A的直角坐标可以表示为：
y
x
O
A(x1, y1)
B(x2, y2)
a
b
理论力学：第十六章 分析力学基础
例如:双摆中摆的约束方程只有2个
其确定摆位置的两个坐标X1、X2、Y1、Y2中 只有2个是独立的
所以一般选择2个独立参量来确定摆的位置，
在本例中：可以选择 θ φ为质点的广义坐标， 摆锤的直角坐标可以表示为：
1. 虚位移
x
y
O
同样可得
二、虚位移的计算
或者，由于 为AB的瞬心，故
由正弦定理
16.2
虚 位 移 及 其 计 算
二、虚位移的计算
2、解析法
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如
椭圆规机构如图，坐标
有约束方程
对上式进行变分运算得
16.2
虚 位 移 及 其 计 算
或者把 表示成 的函数，也可求出虚位移间的关系。
因为
作变分运算
所以
比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。
选广义坐标为φ
（解析法）
在x、y轴上的 分量：
各质点虚位移之间的关系的几何法
理论力学：第十六章 分析力学基础
16.1.4完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束(几何约束以及可以积分的运动约束)；
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束(不能积分的运动约束)。
理论力学：第十六章 分析力学基础
在本例中：可以选择 θ 为质点的广义坐标， A的直角坐标可以表示为：
y
x
O
A(x1, y1)
B(x2, y2)
a
b
理论力学：第十六章 分析力学基础
例如:双摆中摆的约束方程只有2个
其确定摆位置的两个坐标X1、X2、Y1、Y2中 只有2个是独立的
所以一般选择2个独立参量来确定摆的位置，
在本例中：可以选择 θ φ为质点的广义坐标， 摆锤的直角坐标可以表示为：
1. 虚位移
x
y
O
理论力学--虚位移原理 ppt课件
用类似求微分的方法求虚位移的投影：
zi zi (q1, q2 , , qk )
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
q1
zi q2
q2
完整、双面、定常约束
r FRi
r ri
0
质点开始运动
r Fi
rri
r FNi
rri
0
因
r FNi
问题：具有理想约束的质点系， 在给定位置保持平衡，则所 有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少？
平衡时主动力的虚功
rr
之和为零
平衡：Fi FNi 0 (i 1,L , n)
n
r (Fi
r FNi
)
•
r ri
0
i 1
r ri
r Fi
i
n
r Fi
•
r ri
n
r FNi
研究 该平衡问题
图示杠杆平衡，求F1与F2关系
平衡条件：
MC(F) 0
F1a F2b 0 （a）
能否研究诸力做功，而得到平衡条件？
动力学分析方法
构造“功”：假定系统运动了微小角度
则： s1 a tan
s2 b tan
1
F a F b 0 （a）
42第10章第四十二讲 虚位移原理
第十章分析力学初步1. 基本概念2. 虚位移原理3. 动力学普遍方程4. 拉格朗日方程5. 第一类拉格朗日方程和罗斯方程6. 哈密顿正则方程7. 哈密顿原理2. 虚位移原理2.1 虚位移原理2.2 虚位移原理应用概述2.3 虚位移原理的应用2.4 广义力形式的虚位移原理2. 虚位移原理2.1 虚位移原理2.2 虚位移原理应用概述2.3 虚位移原理的应用2.4 广义力形式的虚位移原理2.1 虚位移原理虚位移原理(principle of virtual displacement )虚功原理(principle of virtual work )其中，F i 为作用在第i 个质点上的主动力，δr i 为该质点的虚位移。
虚功方程具有(双面、)理想(、定常)约束的系统的某一位置为平衡位置的充要条件：在该位置，系统的主动力系在系统的任何一组虚位移上所作虚功之和等于零。
虚位移原理(principle of virtual displacement)（可证表述）理想、定常、完整约束系统某一位置为平衡位置的充要条件是，在该位置系统所受主动力系在系统任何一组虚位移上所作虚功之和等于零。
必要性证明：如果某位置是平衡位置，则系统在该位置必保持平衡，于是每个质点平衡。
充分性证明（反证法）：设某位置不是平衡位置。
那么，质点将发生实位移。
根据动能定理虚位移原理(principle of virtual displacement )（可证表述）理想、定常、完整约束系统某一位置为平衡位置的充要条件是，在该位置系统所受主动力系在系统任何一组虚位移上所作虚功之和等于零。
虚位移原理(principle of virtual displacement)（一般表述）双面、理想约束系统某一位置为平衡位置的充要条件是，在该位置系统所受主动力系在系统任何一组虚位移上所作虚功之和等于零。
变分原理平行于微分原理利用虚位移原理结合动静法可以导出牛顿第二定律2. 虚位移原理2.1 虚位移原理2.2 虚位移原理应用概述2.3 虚位移原理的应用2.4 广义力形式的虚位移原理2.2 虚位移原理应用概述（1）应用虚位移原理可以求解静力学的若干问题。
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2、定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
17
② 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
5
3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限 形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只 能以微分形式表达。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形 式，则这类约束称为完整约束。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2 l2
7
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
f j ( x1,y1,z1; ;xn ,yn ,zn )0 ( j1,2, ,s)
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
32
(P1asin P2 2asin F2a cos) (P2bsin F2bcos ) 0 由于 , 是彼此独立的，所以：
P1asin P2 2asin F2acos 0 P2 bsin F2bcos 0
2
§10-1 基本概念
一、约束及约束方程 约束：限制质点或质点系运动的条件。 约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。 例如：
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
3
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
（xB-xA）2+（yB-yA）2=l2
1
除前述外，还有：
xA2+ yA2=a2 (xB –c)2+ yB2=b2
9
由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐 标就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐 标就减少一个。
一般地，由n个质点组成的非自由质点系，受s个完整约束 ，其独立坐标数为k=3n-s 。只要给定k个坐标，质点系的位置 就可完全确定，其余s个坐标由约束方程决定。因此：
①定义：确定质点系位置的独立参数，
称为广义坐标。
例如双锤摆用两个广义坐标 、ψ
表示。
广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,
y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束
情况下，广义坐标的数目=自由度数目。
11
②广义坐标函数 广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可
6
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xA r 0是微分方程，但
经过积分可得到 xA r C （常数），该约束仍为完整约束。
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时
对质点或质点系进行运动限制 的约束称为双面约束。只能限 制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。
由rA的任意性，得 PQ tg
29
2、解析法 系统为单自由度，
取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
由虚位移原理：
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
由于 任意，故 PQ tg
30
例2 均质杆OA及AB在A点铰接，两杆各长2a和2b，各重
表示为广义坐标的函数。
例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
xA r cos , yA r sin xB r cos l 2 r 2 sin2 , yB 0
12
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
约束方程： x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
∵质点系处于平衡 ∴任一质点Mi也平衡。
Fi Ni 0 对质点Mi 的任一虚位移 ri ，有(Fi Ni ) ri 0
对整个质点系：
(Fi Ni ) ri 0
F i ri N i ri 0
由于是理想约束
N i ri 0
所以
Fi ri 0
25
(2) 充分性：即当质点系满足 Fi ri 0 ，质点系一定平衡。 若 Fi ri 0 ，假设质点系不平衡，则至少有一个质点（设 为第i个质点）不平衡，则有
②解析式 ( X ixi Yiyi Zizi )0
i——Fi与ri之间的夹角； Xi 、 Yi 、 Zi 及δxi、 δyi 、
δzi——主动力Fi及δri在x、y、x轴上的投影。
上三式均称为静力学普遍方程，实际应用时,用①②两式。 二、虚位移原理的应用 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力； 4、求平衡构架内二力杆的内力。
Fi Ni Ri 0 在 Ri 方向上产生实位移 dri ，取 ri dri ，则
(Fi Ni ) ri Ri ri 0
对质点系： (Fi Ni ) ri 0 (理想约束下， Ni ri 0 )
Fi ri 0 与前述条件矛盾
故 Fi ri 0 时质点系必处于平衡。
26
①虚位移原理还可写成：∑Fiδri cosαi=0
q1
zi q2
q2
zi qk
qk
(i 1,2, n)
18
[例1] 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。
(已知 OC=BC= a， OA=l )
解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。
1、几何法
给OA杆一虚位移δ，则
rC a
rC rA
a l
rA
l a
rC
l
rC rB
质点系受有理想约束的条件：
W N i ri 0
21
理想约束的典型例子如下： 1、光滑支承面
N r WN N r 0
2、光滑铰链
N N'
WN N r N 'r 0
22
3、刚体在粗糙 面上的纯滚动
r 0 W 0
4、无重刚杆
5、不可伸长的柔索
rA cos rB cos , NA NB
N A rA NB rB Байду номын сангаасArA cos NBrB cos 0
23
§10-2 虚位移原理
一、虚位移原理 具有定常理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与
充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作 的元功之和等于零。即
Fi ri 0
24
证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 Fi ri 0
xC asin , yC acos xA lsin , y A lcos xB 2asin , yB 0
注意：解析法要用固定坐标！
20
四、理想约束
力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚元功，记为δW ：
W F r W XxYy Zz
如果约束反力在质点系的任何虚位移中的所有的元功之和 等于零，则称这种约束为理想约束。
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
13
一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由 度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的 坐标及矢径可表为广义坐标的函数。
xi xi (q1, q2, , qk ) yi yi (q1, q2, , qk ) zi zi (q1, q2, , qk ) ri ri (q1, q2, , qk )
二、自由度和广义坐标 1.自由度 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（x，y，
z），确定n 个自由质点在空间的位置需要3n个独立坐标；确定 一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（x，y）（约束 方程z=0）。
8
确定质点系位置 的独立坐标数
4
约束方程 zA=0， zB=0
3
除前述外，还有：
(i 1,2, , n)
14
三、虚位移
1.定义：质点或质点系为约束允许的任何的微小位移，称为 质点或质点系的虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
一般地，若质点可能有的运动轨迹是一曲线，则虚位移与轨迹 相切。
15
虚位移与真正运动时发生的实位移不同。 ①实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实 际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。质点静 止时没有实位移但有虚位移。 ②实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限 值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 ③实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的 概念，完全与时间无关。 在定常约束下，微小的实位移必 然是虚位移之一。而在非定常约束下， 微小实位移不再是虚位移之一。
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
17
② 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
5
3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限 形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只 能以微分形式表达。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形 式，则这类约束称为完整约束。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2 l2
7
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
f j ( x1,y1,z1; ;xn ,yn ,zn )0 ( j1,2, ,s)
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
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(P1asin P2 2asin F2a cos) (P2bsin F2bcos ) 0 由于 , 是彼此独立的，所以：
P1asin P2 2asin F2acos 0 P2 bsin F2bcos 0
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§10-1 基本概念
一、约束及约束方程 约束：限制质点或质点系运动的条件。 约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。 例如：
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
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二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
（xB-xA）2+（yB-yA）2=l2
1
除前述外，还有：
xA2+ yA2=a2 (xB –c)2+ yB2=b2
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由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐 标就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐 标就减少一个。
一般地，由n个质点组成的非自由质点系，受s个完整约束 ，其独立坐标数为k=3n-s 。只要给定k个坐标，质点系的位置 就可完全确定，其余s个坐标由约束方程决定。因此：
①定义：确定质点系位置的独立参数，
称为广义坐标。
例如双锤摆用两个广义坐标 、ψ
表示。
广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,
y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束
情况下，广义坐标的数目=自由度数目。
11
②广义坐标函数 广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可
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例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xA r 0是微分方程，但
经过积分可得到 xA r C （常数），该约束仍为完整约束。
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时
对质点或质点系进行运动限制 的约束称为双面约束。只能限 制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。
由rA的任意性，得 PQ tg
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2、解析法 系统为单自由度，
取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
由虚位移原理：
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
由于 任意，故 PQ tg
30
例2 均质杆OA及AB在A点铰接，两杆各长2a和2b，各重
表示为广义坐标的函数。
例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
xA r cos , yA r sin xB r cos l 2 r 2 sin2 , yB 0
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例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
约束方程： x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
∵质点系处于平衡 ∴任一质点Mi也平衡。
Fi Ni 0 对质点Mi 的任一虚位移 ri ，有(Fi Ni ) ri 0
对整个质点系：
(Fi Ni ) ri 0
F i ri N i ri 0
由于是理想约束
N i ri 0
所以
Fi ri 0
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(2) 充分性：即当质点系满足 Fi ri 0 ，质点系一定平衡。 若 Fi ri 0 ，假设质点系不平衡，则至少有一个质点（设 为第i个质点）不平衡，则有
②解析式 ( X ixi Yiyi Zizi )0
i——Fi与ri之间的夹角； Xi 、 Yi 、 Zi 及δxi、 δyi 、
δzi——主动力Fi及δri在x、y、x轴上的投影。
上三式均称为静力学普遍方程，实际应用时,用①②两式。 二、虚位移原理的应用 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力； 4、求平衡构架内二力杆的内力。
Fi Ni Ri 0 在 Ri 方向上产生实位移 dri ，取 ri dri ，则
(Fi Ni ) ri Ri ri 0
对质点系： (Fi Ni ) ri 0 (理想约束下， Ni ri 0 )
Fi ri 0 与前述条件矛盾
故 Fi ri 0 时质点系必处于平衡。
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①虚位移原理还可写成：∑Fiδri cosαi=0
q1
zi q2
q2
zi qk
qk
(i 1,2, n)
18
[例1] 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。
(已知 OC=BC= a， OA=l )
解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。
1、几何法
给OA杆一虚位移δ，则
rC a
rC rA
a l
rA
l a
rC
l
rC rB
质点系受有理想约束的条件：
W N i ri 0
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理想约束的典型例子如下： 1、光滑支承面
N r WN N r 0
2、光滑铰链
N N'
WN N r N 'r 0
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3、刚体在粗糙 面上的纯滚动
r 0 W 0
4、无重刚杆
5、不可伸长的柔索
rA cos rB cos , NA NB
N A rA NB rB Байду номын сангаасArA cos NBrB cos 0
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§10-2 虚位移原理
一、虚位移原理 具有定常理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与
充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作 的元功之和等于零。即
Fi ri 0
24
证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 Fi ri 0
xC asin , yC acos xA lsin , y A lcos xB 2asin , yB 0
注意：解析法要用固定坐标！
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四、理想约束
力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚元功，记为δW ：
W F r W XxYy Zz
如果约束反力在质点系的任何虚位移中的所有的元功之和 等于零，则称这种约束为理想约束。
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
13
一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由 度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的 坐标及矢径可表为广义坐标的函数。
xi xi (q1, q2, , qk ) yi yi (q1, q2, , qk ) zi zi (q1, q2, , qk ) ri ri (q1, q2, , qk )
二、自由度和广义坐标 1.自由度 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（x，y，
z），确定n 个自由质点在空间的位置需要3n个独立坐标；确定 一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（x，y）（约束 方程z=0）。
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确定质点系位置 的独立坐标数
4
约束方程 zA=0， zB=0
3
除前述外，还有：
(i 1,2, , n)
14
三、虚位移
1.定义：质点或质点系为约束允许的任何的微小位移，称为 质点或质点系的虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
一般地，若质点可能有的运动轨迹是一曲线，则虚位移与轨迹 相切。
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虚位移与真正运动时发生的实位移不同。 ①实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实 际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。质点静 止时没有实位移但有虚位移。 ②实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限 值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 ③实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的 概念，完全与时间无关。 在定常约束下，微小的实位移必 然是虚位移之一。而在非定常约束下， 微小实位移不再是虚位移之一。