高三复数复习专题

高三复数专题复习：

一、复数的概念及运算： 1、复数的概念：（1）虚数单位i ； （2）实部：z Re ，虚部：z Im ；

（3）复数的分类(bi a z +=)()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∈⎩⎨⎧≠=≠⎩⎨⎧=R b a a a b b ,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数

实数；

（4）相等的复数：

2、复数的加、减、乘、除法则： （1）加减法具有交换律和结合律；

（2）乘法具有交换律、结合律、分配律； （3）除法：

)0(2

222≠++-+++=++di c i d

c ad

bc d c bd ac di c bi a 。 3、复数的共轭与模：

（1）z z R z =⇔∈；z 是纯虚数z z -=⇒，反之不成立；

（2）复数bi a z +=与点()b a Z ,是一一对应关系，另：z 与z 关于x 轴对称，z 表示z 对应点与原点的距离。

4、复数共轭运算性质：2

1

2121212121,,z z z z z z z z z z z z =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⋅=⋅+=+； 5、复数模的运算性质：n

n z z z z z z z z z z z z =≠==),0(,

22

121121。 6、复数的模与共轭的练习：z z z ⋅=2

。 7、 重要结论

（1） 对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有

n m n m z z z +=•，mn n m z z =)(，n

n n z z z z 2121)(•=•

(2) i i =1，12-=i ，i i -=3，14

=i ； 11

4=+n i

，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i .

(3) i i 2)1(2

±=±，

i i i -=+-11，i i

i

=-+11. (4)设2

31i +-=

ω，ϖω=2，ωω=2，012

=++ωω，n n 33ωω=，

021=++++n n n ωωω

8.一些几何结论的复数形式

()()().

0,,,,)4(.Im 2

1

)3(.

3sin 3cos 0.3;

.2;

.1)2().

()1(242314134321121232132123132212322211332213213123,2,1≠∈⋅--=----=

∆⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+==+-++=++-=-=-∆∈=--λλλππωωωλλR z z z

z z z z z z z z z z z z z S S Z Z Z i z z z z z z z z z z z z z z z z z z Z Z Z R z z z

z Z Z Z z

：四点共圆的充要条件是复平面上表示为的面积为复平面上是等价的）是（有三种形式，它们为正三角形的充要条件复平面上三点共线的充要条件是，，复平面上

二、复数的三角形式： 1、复数的三角形式概念：

;

sin ,cos ,),sin (cos ,12

2

r

b r a b a r i r z bi a z ==+=+=+=θθθθ其中：式：都可以改写成复数的形个复数任何

2、复数的三角形式的乘法公式：

()()[]βαβαββααββαα+++=+⋅+=⋅+=+=sin cos )sin (cos )sin (cos )

sin (cos ),sin (cos 2121212211i r r i r i r z z i r z i r z 则，设复数

即：两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和。

()()[]

n n n n n n n i r r r r i r i r i r i r z z z z θθθθθθθθθθθθθθθθΛΛΛΛΛ+++++++=++⋅+⋅+=321321321333222111321sin cos )

sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos ；有限个复数相乘的情况上述结论，可以推广到

3、复数的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理）

[])sin (cos )sin (cos ααααn i n r i r n n +=+

即：复数的n （n ∈N ）次幂的模等于模的n 次幂，辐角等于这个复数的辐角的n 倍，这个

定理称为棣莫佛定理。

4、复数的三角形式的除法公式

()()()()()()[].

sin cos sin cos sin cos ;

sin cos ,sin cos 2

1

21212211βαβαββααββαα-+-=++=+=+=i r r i r i r z z i r z i r z 则：设 即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。

三、复数中的方程问题：

1、实系数一元二次方程的根的情况：

对方程02

=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ），令ac b 42

-=∆， 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当0<∆时，方程有两个共轭虚根：2

,221i

b x i b x ∆---=∆-+-=。

2、复系数一元二次方程根的情况： 对方程a

b x

c bx ax 2,02的平方根∆+-=

=++；

3、一元二次方程的根与系数的关系：

若方程02=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ）的两个根为21x x 、，则⎪⎩

⎪⎨⎧

=

-=+a c

x x a b x x 2121；

四、例题精选

例1：已知4032322

2

=--+++i z i z ，求z ；

例2：已知()()

10

4

232212343i

i i z -⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛---=，求z ；

例3：设z 为虚数，z

z 1

+

=ω为实数，且21<<-ω。 （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）证明：z

z

u +-=11为纯虚数；