第三章复习与思考题
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第三章
复习与思考题
1.设[]b a C
f,
∈，写出三种常用范数1f，2f及∞f.
答：若()[]b a C
x
f,
∈，则
()dx
x
f
f b
a⎰
=
1
，
()2
1
2
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=⎰dx
x
f
f b
a
，
()x f
f
b
x
a≤
≤
∞
=max.
2.[]b a
C
g
f,
,∈，它们的内积是什么？如何判断函数族{}[]b a
C
n
,
,
,
,
1
∈
ϕ
ϕ
ϕ 在[]b a,上线性无关？
答：若[]b
a
C
x
g
x
f,
)
(
),
(∈，)
(x
ρ是[]b a,上给定的权函数，定义内积
()()
()()()dx
x
g
x
f
x
x
g
x
f b
a⎰
=)
(
,ρ,
特别常用的是1
)
(≡
x
ρ的情形，即
()()
()()()dx
x
g
x
f
x
g
x
f b
a⎰
=
,.
设{}[]b a
C
n
,
,
,
,
1
∈
ϕ
ϕ
ϕ ，定义其格拉姆矩阵，
()
()()()
()()()
()()()⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
n
n
n
n
n
n
n
G
G
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
1
1
1
1
1
1
,
n
ϕ
ϕ
ϕ,
,
,
1
在[]b a,上线性无关的充要条件是()0
,
,
,
det
1
≠
n
Gϕ
ϕ
ϕ .
3.什么是函数[]b a
C
f,
∈在区间[]b a,上的n次最佳一致逼近多项式？
答：设()[]b
a
C
x
f,
∈，若()n H
x
P∈
*使误差
()(
)()()
()(),
max
min
min
*
x
P
x
f
x
P
x
f
x
P
x
f
b
x
a
H
P
H
P
n
n
-
=
-
=
-
≤
≤
∈
∞
∈
∞
则称()x
P*为()x
f在[]b a,上的n次最佳一致逼近多项式.
4.什么是f在[]b a,上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据{}m i f0的最小二乘曲线拟合？
答：设()[]b
a
C
x
f,
∈，若()n H
x
P∈
*使
()(
)()()()()[],
min
min *2
2
2
2
2dx x P x f x P x f x P x f b
a
H P H p n n
⎰-=-=-∈∈
则称()x P *为()x f 在[]b a ,上的n 次最佳平方逼近多项式.
若()x f 是[]b a ,上的一个列表函数，在b x x x a m ≤<<<≤ 10上给出()i x f ()m i ,,1,0 =，要
求{
}n span P ϕϕϕ,,,*10 =Φ∈，使
()()[],min
min *0
2
2
22
2∑=Φ∈Φ∈-=-=-m
i i
i
P p x P x f P f P f n
n
则称()x P *为()x f 的最小二乘拟合.
5.什么是[]b a ,上带权()x ρ的正交多项式？什么是[]1,1-上的勒让德多项式？它有什么重要性质？ 答：设()x n ϕ是[]b a ,上首项系数0≠n a 的n 次多项式，()x ρ为[]b a ,上的权函数，如果多项式序列(){}∞
x n ϕ满足 ()()()()⎩⎨⎧=>≠==⎰k
j A k
j dx x x x k
k j b
a k j 0
,ϕϕρϕϕ， 则称多项式序列(){}∞
0x k ϕ在[]b a ,上带权()x ρ正交，称()x n ϕ为[]b a ,上带权()x ρ的n 次正交多项式.
当区间[]b a ,为[]1,1-，权函数()1=x ρ时，由{}
,,,,1n
x x 正交化得到的多项式称为勒让德多项
式，通常用()()() ,,,,10x P x P x P n 表示，其性质如下:
(1) 正交性
()()⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠=⎰-.,1
22;,01
1n m n n m dx x P x P m n (2) 奇偶性
()()().1x P x P n n
n -=-
(3) 递推关系 ()()()()()x nP x xP n x P n n n n 11121-+-+=+, ,2,1=n .
(4)
()x P n 在区间[]1,1-内有n 个不同的实零点.
6.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？ 答：当权函数()2
11x
x -=
ρ，区间为[]1,1-时，由序列{}
,,,,1n
x x 正交化得到的正交多项式
为切比雪夫多项式，可表示为
()()x n x T n arccos cos =，1≤x ，
其重要性质如下：