第三章复习与思考题

第三章复习与思考题1.设[]b a Cf,∈，写出三种常用范数1f，2f及∞f.答：若()[]b a Cxf,∈，则()dxxff ba⎰=1，()2122⎪⎭⎫⎝⎛=⎰dxxff ba，()x ffbxa≤≤∞=max.2.[]b aCgf,,∈，它们的内积是什么？如何判断函数族{}[]b aCn,,,,1∈ϕϕϕ 在[]b a,上线性无关？答：若[]baCxgxf,)(),(∈，)(xρ是[]b a,上给定的权函数，定义内积()()()()()dxxgxfxxgxf ba⎰=)(,ρ,特别常用的是1)(≡xρ的情形，即()()()()()dxxgxfxgxf ba⎰=,.设{}[]b aCn,,,,1∈ϕϕϕ ，定义其格拉姆矩阵，()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==nnnnnnnGGϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,,,,,,,,,,,1111111,nϕϕϕ,,,1在[]b a,上线性无关的充要条件是()0,,,det1≠nGϕϕϕ .3.什么是函数[]b aCf,∈在区间[]b a,上的n次最佳一致逼近多项式？答：设()[]baCxf,∈，若()n HxP∈*使误差()()()()()(),maxminmin*xPxfxPxfxPxfbxaHPHPnn-=-=-≤≤∈∞∈∞则称()xP*为()xf在[]b a,上的n次最佳一致逼近多项式.4.什么是f在[]b a,上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据{}m i f0的最小二乘曲线拟合？答：设()[]baCxf,∈，若()n HxP∈*使()()()()()()[],minmin *22222dx x P x f x P x f x P x f baH P H p n n⎰-=-=-∈∈则称()x P *为()x f 在[]b a ,上的n 次最佳平方逼近多项式.若()x f 是[]b a ,上的一个列表函数，在b x x x a m ≤<<<≤ 10上给出()i x f ()m i ,,1,0 =，要求{}n span P ϕϕϕ,,,*10 =Φ∈，使()()[],minmin *022222∑=Φ∈Φ∈-=-=-mi iiP p x P x f P f P f nn则称()x P *为()x f 的最小二乘拟合.5.什么是[]b a ,上带权()x ρ的正交多项式？什么是[]1,1-上的勒让德多项式？它有什么重要性质？ 答：设()x n ϕ是[]b a ,上首项系数0≠n a 的n 次多项式，()x ρ为[]b a ,上的权函数，如果多项式序列(){}∞x n ϕ满足 ()()()()⎩⎨⎧=>≠==⎰kj A kj dx x x x kk j ba k j 0,ϕϕρϕϕ， 则称多项式序列(){}∞0x k ϕ在[]b a ,上带权()x ρ正交，称()x n ϕ为[]b a ,上带权()x ρ的n 次正交多项式.当区间[]b a ,为[]1,1-，权函数()1=x ρ时，由{},,,,1nx x 正交化得到的多项式称为勒让德多项式，通常用()()() ,,,,10x P x P x P n 表示，其性质如下:(1) 正交性()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=⎰-.,122;,011n m n n m dx x P x P m n (2) 奇偶性()()().1x P x P n nn -=-(3) 递推关系 ()()()()()x nP x xP n x P n n n n 11121-+-+=+, ,2,1=n .(4)()x P n 在区间[]1,1-内有n 个不同的实零点.6.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？ 答：当权函数()211xx -=ρ，区间为[]1,1-时，由序列{},,,,1nx x 正交化得到的正交多项式为切比雪夫多项式，可表示为()()x n x T n arccos cos =，1≤x ，其重要性质如下：(1) 递推关系()()()()()⎩⎨⎧===-=-+.,1,,2,1,21011x x T x T n x T x xT x T n n n (2) 正交性()()⎪⎩⎪⎨⎧==≠=≠=-⎰-.0,;0,2;,01112m n m n m n dx x x T x T m nππ (3) ()x T k 2只含x 的偶次幂，()x T k 12+只含x 的奇次幂. (4) ()x T n 在区间[]1,1-上有n 个零点,212cosπnk x k -= n k ,.2,1 =. (5) ()x T n 的首项系数为12-n ，() ,2,1=n .(6) 设()x T n ~是首项系数为1的切比雪夫多项式，则()()x P x T x n x 1111m ax ~m ax ≤≤-≤≤-≤，()n H x P ~∈∀,且()11121~max -≤≤-=n n x x T . 7.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？答：切比雪夫点是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点的横坐标在接近区间[]1,1-的端点处是密集的，利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化, 同时还可以避免高次拉格朗日插值所出现的龙格现象，保证整个区间上收敛.8.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n 较大时为什么不直接求解法方程？答：在最小二乘拟合中，利用求多元函数极值的必要条件并记()()()()ikijmi ikjx x x ϕϕωϕϕ∑==0,，()()()()k i k i mi i k d x x f x f ≡=∑=ϕωϕ0,，n k ,,1,0 =，则称()k j nj j kd a =∑=0,ϕϕ，n k ,,1,0 =为法方程，也可以写成矩阵形式d Ga =，其中()Tn a a a a ,,,10 =，()Tn d d d d ,,,10 =，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,,,,,,,,101110101000 . 9.计算有理分式()x R mn 为什么要化为连分式？答：计算有理分式()x R mn 的值时，通常将其化为连分式，这样便于在计算机上进行计算，节省乘除法的计算次数. 例如对一般的有理函数()()()x Q x P x R m n mn =，若转化成连分式 ()(),121ll mn d x c d x c x P x R +++=++则乘除法运算只需},max{n m 次，而直接计算则需n m +次乘除法计算.10.哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？答：当模型数据具有周期性时，用三角函数特别是正弦函数和余弦函数作为基函数作三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适.11.对序列作DFT 时，给定数据要有哪些性质？对DFT 用FFT 计算时数据长度有何要求？ 答：若对序列作DFT ，则要求给定数据是以π2为周期的复函数.对DFT 用FFT 计算时要求数据长度pN 2=.12.判断下列命题是否正确？(1) 任何[]b a C f ,∈都能找到n 次多项式()n n H x P ∈，使()()ε≤-x P x f n (ε为任给的误差限）.(2) ()n n H x P ∈*是()x f 在[]b a ,上的最佳一致逼近多项式，则()()x f x P n n =∞→*lim 对[]b a x ,∈∀成立.(3) []b a C f ,∈在[]b a ,上的最佳平方逼近多项式()n n H x P ∈，则()()x f x P n n =∞→lim .(4) ()n n H x P ∈~是首项系数为1的勒让德多项式，()n n H x Q ∈是任一首项系数为1的多项式，则()[]()dx x Q dx x P nn ⎰⎰--≤112211~. (5) ()x T n ~是[]1,1-上首项系数为1的切比雪夫多项式，()n n H x Q ∈是任一首项系数为1的多项式，则()()x Q x T n x n x 1111m ax ~m ax ≤≤-≤≤-≤.(6) 函数的有理逼近（如帕德逼近）总比多项式逼近好. (7) 当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好.(8) 三角最小平方逼近与三角插值都要计算N 点DFT ，所以它们没任何区别. (9) 只有点数pN 2= 的DFT 才能用FFT 算法，所以FFT 算法意义不大. (10) FFT 算法计算DFT 和它的逆变换效率相同. 答：(1) 对. (2) 对. (3) 对. (4) 对. (5) 对.(6) 错.多项式是一种计算简便的函数类，通常用多项式逼近比较多，但当函数在某点附近无界时用多项式逼近效果很差，而用有理函数逼近可得到较好的效果.(7) 错.当一个函数由给定的一组可能不精确表示函数的数据来确定时，使用最小二乘的曲线拟合是最合适的.(8) 错. 逼近和插值是两个不同的概念，只有当n m =时，三角最小平方逼近和三角插值才是相同的.(9) 错. (10) 对.。