第十七章-勾股定理第一节《勾股定理(3)》教学设计

17.1 勾股定理（3）
一、教学目标
知识与技能
1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．
过程与方法
1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，•发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．
2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，•并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
情感、态度与价值观
1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
二、教学重、难点
重点：……这样的表示无理数的点．
难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
三、教学准备
多媒体课件
四、教学方法
分组讨论，讲练结合
五、教学过程
(一)复习回顾，引入新课
复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
先画出图形，再写出已知、求证.
探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在
设计意图：
上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们
……这样的无理
……可以当直角三
用．
师生行为：
学生小组交流讨论
……这样的包含在直角三角形中的线段．
此活动，教师应重点关注：
②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；
③学生能否积极主动地交流合作．
师：所以只需画出长
1的直角三角形的斜边．
生：设两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若
a，b 为正整数，•则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．•所以长为13的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．师：下面就请同学们在数轴上画出表示13的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA=3.
2．作直线L垂直于OA，在L上取一点
B，使AB=2.
3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧
与数轴交于点C，则点C即为表示13的点．
(二)新课教授
例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以画出图，A点表示男孩头顶的位置，C、B•点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400米．飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．
评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．
例2、如右图所示，某人在B处通过
平面镜看见在B正上方5米处的A物体，•已
知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物
体A的像A′的距离是多少？
分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理
上的光的反射知识．
解：如例2图，由题意知△ABA′是直
角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：
AA′=2×6=12米，AB=5米；
在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．
所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．
评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．
例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高
出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖
齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问
这里的水深是多少？
解：根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB•是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，
AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．
评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．
设计意图：
让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．
师生行为：
先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注：
②学生是否自主完成上面三个例题；
②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．
例4、练习：在数轴上作出表示17的点．
解：17是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上
画出表示17的点如下图：
设计意图：
进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．
师生行为：
由学生独立思考完成，教师巡视．
此活动中，教师应重点关注：
（1）生能否积极主动地思考问题；
（2）能否找到斜边为17，另外两个角直边为整数的直角三角形．
例5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边
形ABCD 的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长
AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。

解：延长AD 、BC 交于E 。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34。

∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32。

∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转
化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差.
(三)例题讲解
例1．△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC = 。

解：30cm，300cm2
例2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，
，则∠A= 度，
∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。

解：90，60，30，4
例3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，
CD⊥AB于D，则AC= ，
CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。

解：2
3，1
例4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。

解：作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，
S△ABC
BD=254
（四）巩固练习
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，
AB= 。

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。

3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，
求（1）AB的长；（2）S△ABC。

4
答案
1．4；
2．5，12；
3．提示：作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，
S△ABC
= C
C
4．略。

（五）课堂小结
1、进一步掌握利用勾股定理解决直角三角形问题；
2、你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．
六、板书设计
七、课后作业
1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，
AB= 。

2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b
，则a= ，b= 。

3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，
求（1）AB 的长；（2）S △ABC 。

4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S △ABC 。

答案：
C
1．4；
2．5，12；
3．提示：作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，S△ABC=
4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，
S△ABC BD=254；
八、教学反思
注重数学与生活的联系，从学生认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到教材与课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣。

学生们善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力强，已经成为数学新课标下学生表现的一个标志。

通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力。

但是，这些并不是几何学的全部教育功能。

从更深层次看，学习几何学的一个重要的作用是：以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平。

这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因。

按照人的一般认知规律，认识几何图形的过程，也是从具体到抽象，从简单到复杂，从特殊到一般，从感性到理性的过程。

根据教育心理学的规律可知，初中学生多处于认识方法发生升华的阶段，他们对事物的认识已不满足于表面的、孤立的层次，而有了向更深层次发展的要求，即向往“由此及彼，由表及里”的思维方式。

从几何教学的内容看，学生们从小学开始已经通过直观实验这种主要方式学习了基础的图形知识，在他们的头脑中已经积累了一定的关于图形的感性认识，在初中阶段应该更深入地在“为什么”的层面上认识图形。

显然，单纯的直观实验这种学习方式已经不适应继续深入学习的需要，因为这种方式难以真正从道理上对图形规律进行解释，而逻辑推理的方式才能担此重任。

因此，从“实验几何”向“推理几何”的过渡成为初中几何教学必须面对的问题，培养逻辑推理
能力成为初中几何教学必须实现的教学目标。