3.2 图形的全等
华师大版七年级数学下册《图形的全等》教案
《图形的全等》教案【教学目标】知识与技能：理解全等图形的概念，认识全等图形在通过一系列变换之后两个图形能够完全重合．过程与方法：经历探究图形全等的过程，掌握全等图形（多边形、三角形）的特征．情感态度与价值观：以积极的态度进行合作学习，形成良好的几何认知，体会全等图形的实际应用价值．【重点、难点、关键】重点：认识图形的全等，领会其特征．难点：对全等图形的识别．关键：以观察、实践的思想意识来探索几何图形，认知图形特征．【教学准备】教师准备：投影片、直尺、图片．学生准备：寻找一些全等图形的生活图片．【教学过程】一、创设情境投影显示观察图（1～2）所示的两组图形：你能得到什么结论呢？(1)(2)教师活动：操作投影，引导学生认真进行观察．学生活动：观察投影片，在教师的引导下认识图形．在第一组实物图形中，四枚邮票是形状、大小都相等，图案大小相同；两面五星红旗也有此特征；铁栅栏中的大小“S”分别是大小、形状都相同．•第二组几何图形中的两个小圆，两个小“L”形，两个三角形形状、大小都一样，•也就是说通过翻折、平移和旋转变换，几个图形会完全叠合在一起．教师定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．媒体使用：教师把收集来的全等图形以及学生收集来的全等图形通过投影仪（实物）让学生欣赏，识别，加深概念．（也可以直接拿给学生看）二、阅读与思考1．阅读课本P85第1～12行内容．评析：目的是让学生通过观察，对图形全等有感性认识．2．思考课本P85问题．观察课本图15．4．2中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合？教师活动：引导学生分析两对多边形，让学生明确它们都是全等图形，称为全等多边形，讲明对应顶点、对应边、对应角的概念．3．议一议：（1）你能说出生活中全等图形的例子吗？（2）观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？（3）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同吗？评析：使学生认识全等图形的特征，按照是否重合可以判断出这两组图形都不全等，进一步让学生发现图（a）中的两个图形形状相同，•但大小不同；••图（b）中的两个图形面积相同，但形状不同．三、继续探究1．引入全等图形的表示法：如课本图15．4．3这两个图形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′，符号“≌”表示全等，读作“全等于”，点A与A′，点B与B′，点C与C′，点D•与D′，点E与E′分别是对应提出．教师活动：介绍全等多边形，引入全等多边形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．这一全等多边形特征．再进一步说明识别两个多边形全等的方法是，对应边、对应角分别相等的两个多边形全等．学生活动：观察，接受全等多边形的性质与判定，并进行理解．教师活动：操作投影仪显示课本图15．4．4，介绍特殊多边形──三角形，指出全等三角形的对应边、对应角分别相等，反之可做为判断两个三角形全等的条件．学生活动：观察从一般到特殊，突出三角形全等性质和判别．四、随堂练习课本P87练习．探研时空．1．做一做：沿着图中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等的图形（至少找出两种方法）参考答案：2．你能把右边的这个平行四边形分成两个全等的图形吗？•能分成四个全等的图形吗？参考答案：五、课堂总结1．什么叫做全等图形？2．你将采用什么方法识别两个图形是全等的？3．全等三角形具有哪些性质？你是怎样识别两个三角形全等的？4．这节课对你认知平移、旋转有何帮助？六、布置作业1．课本P87习题15．4第1，2题．2．选用课时作业设计．七、课后反思（略）课时作业设计1．如图所示，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成与大“L”型全等的图案．2．如图（a～l）所示，下面图形中有哪些是全等的？3．如图所示，观察下面图案，你能发现其中的全等图形吗？4．在图（a～b）中找出两对全等的三角形，并指出其中的对应角和对应边．5．找出七巧板拼成的图案中的全等三角形．6．如图所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC•各内角的度数．7．如图所示，是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？•你能把它分成三个、四个全等的三角形吗？8．如图所示，△AOD≌△BOC，写出其中相等的角．9．如图所示，△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6cm，AC=4cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度？10．如图所示，一栅栏顶部是由全等的三角形组成的，其中，AC=0．2m，BC=2AC，求BD的长．参考答案1．2．a与h，b与l，d与i，e与k 3～5．略6．∠AEC=30°∠EAC=65°∠ECA=85°7．8．∠D=∠C ∠A=∠B ∠DOA=∠COB9．∠C′=25° B′C′=6cm •A′C′=4cm 10．BD=7BC=14AC=2.8m。
3.2.2直角三角形全等的判定
苏科版初三数学课时设计活页纸总 课 题 第一章 图形与证明(二) 总 课 时 课 题 §1.2直角三角形的全等判定（2）课型新授教学目标 1．进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2．能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，来解决问题。
3．进一步培养学生推理论证能力。
教学重点 直角三角形全等判定的应用。
教学难点 反证法思想的渗透。
教具准备 投影仪 教学过程 教 学 内 容教师活动内容、方式 学生活动方式设计意图一、创设情境问题，导入新课。
如图，在三条公路围成的三角形区域中，建一加油站，要使加油站到三条公路的距离都相等，则加油站应建在何处？你设计的理由是什么，你能告诉同学们吗？ 二、探索新知 1、 定理证明（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC 是AOB ∠的平分线，点P 在OC 上，OB PE OA PD ⊥⊥,，垂足分别为D 、E 。
求证：PD=PE 。
思考与表达 怎么想 怎么写要证PD=PE ，只需证PEO PDO ∆≅∆已知OP OP POE POD =∠=∠ 只需证.PEO PDO ∠=∠ 证明过程由学生板演完成（略） 回顾：引导学生评价黑板上证明过程。
学生思考解决问题的方法学生动手画图，并尝试根据图形写出已知和求证。
学生根据前面的分析，书写证明过程。
创设情境，帮助学生回顾旧知，激发学生的求知欲。
通过画图、写出已知、求证，让学生了解定理证明的一般步骤。
引导学生如何寻找证明思路。
教师活动内容、方式学生活动方式 设计意图PEDOCBA反思：上述定理的条件、结论各什么？如将其条件、结论互换一下，还正确吗？说说你的看法。
（2）在一个角的内部，且到角的两边相等的点，在这个角的平分线上。
a.你能仿照上例，依据本题的条件与结论，画出图形，写出已知和求证吗？请大家试一试。
b.根据学生的叙述板书已知和求证，并画出图形。
c.学生板演证明过程。
三、应用与拓展1、如图，ABC∆的角平线AD、BE相交于点O。
图形的全等
如果两个三角形的三条对应边相等，那么这两个三角形全等。例如，已知三 角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，那么这两个三角形 全等。
边角边（SAS）
如果两个三角形的两条对应边相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三 角形全等。例如，已知三角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF， <B=<E，那么这两个三角形全等。
06
全等的应用举例
在几何中的应用举例
1
证明两个三角形全等可以解决许多几何问四边形的对应 角相等。
3
两个圆全等可以确定圆心之间的距离相等。
在设计中的应用举例
建筑设计中需要使用全等图形来保持建筑的比例和对称性。
在服装设计中，全等图形可以用于制作图案和拼接不同材料 。
02
判别方法
几何证明法
根据定义
通过全等三角形的定义，即两个三角形的三组对应边分别相等，且三组对应边的 夹角也分别相等，来判断两个三角形全等。
按照边角关系
利用三角形中边与角的关系来判断三角形是否全等。如果两个三角形的两边及其 夹角对应相等，或三个对应角相等，则可以判断这两个三角形全等。
量证明法
利用勾股定理的逆定理
04
练习题
选择题
01
02
03
总结词1
在下列四个图形中，哪些 是全等的？
总结词2
下面哪两个图形经过平移 、旋转或翻折后可以完全 重合？
总结词3
下列哪两个图形可以通过 旋转而相互得到？
解答题
1 2
总结词1
请说明如何在平面上，通过平移、旋转或翻折 一个图形，使其与另一个图形完全重合。
总结词2
对于给定的两个全等图形，如何通过平移、旋 转或翻折得到它们之间的相互关系？
3.2图形的全等
A
D
F B C
E
全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
其中，点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE 边重合，它们是对应边；∠A与∠D重合，它们是 对应角。
A
D
E F C 你能找到图中其他的对应顶点、对应边和对应角吗？ 对应边和对应角的大小是怎样的？
B
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的表示方法：
A B C E D F
记作：∆ABC≌ ∆DFE
注意:A与D、B与F、C与E对应。对应顶点 要写在对应位置上。
下图是个等边三角形，你能把它分成两个全等的 三角形吗？三个呢？四个呢？
A A A
E
O B B C B
F C
C
D
小试牛刀 1、如图:△AOD≌△BOC,写出其中相等的角 D 解：∠A=∠B C
∠D=∠C
∠DOA=∠COB
O
A
B
2、如图，△ABC≌△AEC,∠B=30°， ∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数。
A E
B
C
通过这节课的学习，你对 全等图形有哪些认识？
1 两个能够重合的图形称为全等图形。 2 全等图形的形状和大小都相同.
3 全等三角形的对应边、对应角相等.
作业：习题3.5 第1、2、3题 问题解决 第1题
请欣赏图片（一）
这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起， 它们就能重合。你能分别从图中找出这样的图形吗？
全等图形的概念：
两个能够重合的图形称为全等图形。
议一议：
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
形状相同 大小不同
面积相 同，形 状不同
全等图形的形状和大小都相同
七年级下册第三章 三角形
第三章 三角形3.1 认识三角形（1）【预习作业】 1、填空：（1）当0°＜α＜90°时，α是 角； （2）当α＝ °时，α是直角；（3）当90°＜α＜180°时，α是 角； （4）当α＝ °时，α是平角。
2、如图，∵AB ∥CE ，（已知） ∴∠A ＝ ，（ ） ∴∠B ＝ ，（ ） 【合作探究1】1．一副三角板中，三角形的三个内角和等于 °那么是否对其他的三角形也有这样的结论呢？2．用自己剪好的一个三角形，把三个角撕下来，拼在一块。
你发现了什么？小组交流。
【探究归纳1】结论：三角形三个内角的和等于180° 几何表示： .【例题讲解1】证明三角形内角和定理：请设计一种证明三角形内角和是180°的方法，并写出推理过程。
【巩固练习1】 1、判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°； （ ） （2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； （ ） 2、在△ABC 中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度； （2）∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度； （3）2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
3、如图，在△ABC 中，∠A ＝x 3°∠＝x 2°∠＝x °求三个内角的度数。
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，（ ） ∴=++x x x 23 ∴x 6=A B C D E 123x 2x 3x A BC∴x =从而，∠A= ，∠B= ，∠C= 【合作探究2】一个三角形中三个内角可以是什么角？（提醒：一个三角形中能否有两个直角？钝角呢？）小组讨论。
按三角形内角的大小把三角形分为三类： . 【探究归纳2】直角三角形表示为Rt △思考：直角三角形中的两个锐角有什么关系？结论：____________________ 【巩固练习2】1、 观察下列的直角三角形，分别写出它们符号表示、直角边和斜边。
图形的全等
三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌ △A‘B’C‘ ≌ ‘ ’ ‘ ∴ AB=A’B‘, BC=B’C‘, AC=A’C‘ ’ ‘ ’ ‘ ’ ‘
互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的顶点叫做对应顶点. 对应顶点 对应边. 互相重合的边叫做对应边 互相重合的边叫做对应边 互相重合的顶点角叫做对应角 互相重合的顶点角叫做对应角
二、全等三角形表示法
全等符号： 全等符号： “ ≌ ” △ABC ≌ △ 对应顶点： 对应顶点： 对应边： 对应边： AB和A’B’、BC和B’C’、AC和 和 ’ ’ 和 ’ ’ 和
(全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应边相等) 全等三角形的对应边相等
∴ ∠ A= ∠ A’, ∠ B= ∠B‘ , ’ ‘ ∠ C= ∠C’ ’
(全等三角形的对应角相等 全等三角形的对应角相等) 全等三角形的对应角相等
四、在找全等三角形的对应元素时一般 有什么规律 规律？ 有什么规律？
A B D A D C B C
24.1
图形的全等
回忆： 回忆：举出现实生活中能够完全重合的 图形的例子? 图形的例子? 同一张底片洗出的同大小照片是 能够完全重合的; 能够完全重合的;
能够完全重合的两个图形叫做全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等图形
定义： 一、定义： 全 等 三 角 形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
六枝特区第九中学2013-2014七年级数学下章节目录表
变量之间的关系
4.1用表格表示的变量间关系
4.2用关系式表示的变量间关系
4.3图象表示的变量间关系
总复习
第四章变量之间的关系
第五章
生活中的轴对称
5.1轴对称现象
5.2探索轴对称的性质
5.3简单的轴对称图形
5.4利用轴对称进行设计
总复习
第五章生活中的轴对称
第六章
概率初步
6.1感受可能性
6.2频率的稳定性
六枝特区第九中学2013-2014学年度第二学期
七年级数学章节目录
周次
教学内容
第几章
第几节
第一章
整式的乘除
1.1同底数幂的乘法
1.2幂的乘方与积的乘方
1.3同底数幂的除法
1全平方公式
1.7整式的除法
总复习
第一章整式的乘除
第二章
相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系
6.3等可能事件的概率
总复习
第六章概率初步
期末总复习
第一章至第六章
六枝特区第九中学数学教研组
二0一四年二月
2.2探索直线平行的条件
2.3平行线的性质
2.4用尺规作角
总复习
第二章相交线与平行线
六六枝特区第九中学2013-2014学年度第二学期
七年级数学章节目录
周次
教学内容
第几章
第几节
第三章
三角形
3.1认识三角形
3.2图形的全等
3.3探索三角形全等的条件
3.4用尺规作三角形
3.5利用三角形全等测距离
总复习
第三章三角形
3.2_全等图形(城阳六中赵显泽)
对应顶点 其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿ 对应边 互相重合的边叫做＿＿＿＿ 对应角 互相重合的角叫做＿＿＿
2. 能够重合的两个三角形 叫做全等三角形。 3.“全等”用符号“ ≌ ”来表示，读作: 全等于 4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等 5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上
答：（2） 和（4）、 （3）和（14）、 （5）和（17）、 （6）和（16）、 （8）和（13）。
6
各图中的两个三角形是全等形吗？
A D E
M C O B O
B
A
C
F
S
解后思：
D N T
平移、翻折、旋转前后的两个三角形的位置改变， 7 但形状、大小不变。
活动3、大家来探索
1、能够完全重合的两个三角形,叫做 全等三角形.
f
活动2：
1.观察下面两组图形，它们是不
是全等图形？为什么？
形状 相同
大小 相同 全等图形的 特征：
全等图形的形状和大小都相同
5
你能说出生活中全等图形的例子吗?
2.下列图形中哪些是全等的.
（1） （2） （3） （4）
（5）
(6)
（7）
（8）
（9）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
(17)
A D
B
C
E
F
2、把两个全等的三角形重叠到
一起时，重合的顶点叫做对应顶 点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角 你能指出上面两 个全等三角形的 对应顶点、对应 边、对应角吗？ 8
A
D
B
C
E
F
图形的全等
1、⑴. 已知：如图1，△AOD与△BOC全等， D 请用式子表示出这种关系： △AOD ≌ △BOC ______________ ⑵.找出对应边,它们有什么关系？(口答) A = = = 和 和 和 OA OB OD AD OC BC 对应边：________ _________ ________ ⑶.找出对应角,它们有什么关系？(口答) 对应角：________ _________ 和 和 ∠A = ∠B ∠D ∠C = 和 ∠COB ∠DOA ______________ = ⑷.如果∠A=35°，∠D=75°，那么 ∠COB=____ 70°
图形的全等
知识回顾
我们已经学过了图形的三种基本变换,你 知道是哪三种变换吗?
翻折、平移和旋转
图形经过变换，位置发生了变化，但 变换前后两个图形的对应线段相等， 对应角相等，图形的形状和大小并没 有改变.
观察下面的图形：
从这几组图中 你看出了什么？
每组图形中的每个图形的形 状、大小都一样
这些几何图形中，有些是完全一样的，如果把它 像这样，能够完全重合的两个图 们叠在一起，它们就能重合。你能分别从图中找 形叫做全等图形 . 出这样的图形吗？
说一说：
说说你生活中见过的全等图形的例子。
议一议：
观察下面两组图形，它们是不是全等图形?为 什么？与同伴进行交流。
两个图形形状相同， 但大小不同；
两个图形面积相 同，但形状不同。
它们不能重合，不是全等图形.
全等图形的特征是：能够完全重合。(2)源自找一找(5) (4)
(1)
(3)
你能找出图 中有几对全 等图形？
E
D
E1
D1
讨论：全等多边形有哪些性质？
全等多边形的对应边相等、对应角相等．
三角形在数学竞赛中的题型与解题策略
三角形在数学竞赛中的题型与解题策略三角形是数学竞赛中一个重要的题目类型，涉及了几何学和三角函数等相关概念。
对于这类题目，理解三角形的性质和掌握解题策略是至关重要的。
首先，我们来看一些与三角形相关的常见题型。
1. 三角形的性质：1.1 三边关系：根据三条边的长度关系，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.2 角关系：根据三个角的大小关系，可以判断三角形的形状，如锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1.3 高度、中线和角平分线：这些线段可以把三角形分成几个等腰三角形，从而利用等边、等腰三角形的性质推导出结果。
2. 三角形的面积：2.1 海伦公式：对于已知三边长度的三角形，可以使用海伦公式计算其面积。
2.2 边长和高度：已知底边和高度，可以计算三角形的面积。
2.3 角度和边长：已知两条边和夹角，可以计算三角形的面积。
3. 三角形的相似和全等：3.1 相似三角形：利用三角形的相似性质，可以求解未知边长和角度。
3.2 全等三角形：利用三角形的全等性质，可以求解未知边长和角度。
在解题过程中，可以采用以下策略：1. 分析和利用已知条件：仔细阅读题目，了解已知条件和寻找解题线索。
根据已知条件，可以找到合适的定理和公式来解题。
2. 利用几何图形：画出准确且清晰的几何图形，有助于观察和推导出一些结论。
使用图形的性质和构造，可以解决一些几何问题。
3. 运用数学公式和定理：熟练掌握三角函数、海伦公式、相似三角形和全等三角形等的公式和定理。
根据需要，将问题转化为可以利用这些公式和定理求解的形式。
4. 利用等边、等腰三角形等性质：假设三角形具有一些特殊性质，如等边三角形、等腰三角形等，并根据这些性质进行推导和计算。
这些特殊性质往往可以简化问题，加快解题进程。
5. 运用三角形的内角和外角性质：根据三角形内角和外角的关系，可以推导出一些重要的结论。
利用这些结论，可以解决一些需要求角度的问题。
6. 利用垂线、中线和角平分线：根据垂线、中线和角平分线的性质，可以将三角形分成几个相等的小三角形，从而简化问题的解决过程。
图形的全等
初一一班赵天爱21（一）全等的概念能够完全重合的两个图形叫做全等图形（二）表示方法：ABC≌△A′B′C′（三）图形全等一、点的全等：∵点无大小。
∴所有点满足全等。
二、线的全等①直线：∵直线无端点，可无限延伸。
∴所有直线满足全等。
②射线：∵射线可无限延伸。
∴所有射线满足全等。
③线段：线段两端点间距离（线段长度）相等，则这两条线段满足全等。
三、角的全等：∵角的边是射线，可无限延伸。
∴角度一样则全等。
四、三角形的全等：【A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。
】三角形全等需要什么条件？我们做了一些猜想，并一一证明。
【反例②】【反例⑥】五、中线、高线、角平分线的长度与三角形全等的关系。
1、关于中线①②③④⑤⑥⑦⑧⑨3、关于高线①②③④⑤⑥⑦⑧⑨①1、⑧证明已知：如图：Ｄ为ＡＢ中点，Ｄ＇为Ａ＇Ｂ＇中点，AB=A ’B ’,AC=A ’C ’,AD=A ’D ’ 求证：△ABC ≌△A ’B ’C’证明：延长AD至E ，使DE=AD,延长A ’D ’至E ’使D ’E ’=A ’D ’②③④⑤⑥⑦⑧⑨B∵AE,BC交于D,A’E’,Ｂ＇Ｃ＇交于Ｄ＇∴∠１＝∠２，∠３＝∠４∵Ｄ，Ｄ＇分别为ＡＢ，Ａ＇Ｂ＇中点∴ＢＤ＝ＤＣ，ＢＤ＝Ｂ＇Ｄ＇∠１＝∠２∵△ＡＢＤ，△ＥＣＤ中ＢＤ＝ＤＣＤＥ＝ＡＤ∴△ＡＢＤ≌△ＥＣＤ同理：△Ａ＇Ｂ＇Ｄ＇≌△Ｅ＇Ｃ＇Ｄ＇∠５＝∠６，∠７＝∠８ＡＢ＝ＣＥ，Ａ＇Ｂ＇＝Ｃ＇Ｅ＇ＡＣ＝Ａ＇Ｃ＇∵△ＡＣＥ，△Ａ＇Ｃ＇Ｅ＇中ＡＥ＝Ａ＇Ｅ＇ＣＥ＝Ｃ＇Ｅ＇∴△ＡＣＥ≌△Ａ＇Ｃ＇Ｅ＇∴∠７＝∠５，∠９＝∠１０∠ＣＡＢ＝∠Ｃ＇Ａ＇Ｂ＇∴△ABC，△A’B’C’中ＡＢ＝Ａ＇Ｂ＇ＡＣ＝Ａ＇Ｃ＇∴△ABC≌△A’B’C’∴命题成立1、⑨证明已知：ＡＢ＝Ａ＇Ｂ＇，ＢＣ＝Ｂ＇Ｃ＇，ＡＤ＝Ａ＇Ｄ＇，Ｄ，Ｄ＇分别为ＢＣ，Ｂ＇Ｃ＇中点。
求证：△ABC≌△A’B’C’证明：∵Ｄ，Ｄ＇为ＢＣ，Ｂ＇Ｃ＇中点，且ＢＣ＝Ｂ＇Ｃ∴BD=B’D’ＡＢ＝Ａ＇Ｂ＇∴△ＡＢＤ，△ＥＣＤ中BD=B’D’ＡＤ＝Ａ＇Ｄ＇∴△ＡＢＤ≌△ＥＣＤＢＣ＝Ｂ＇Ｃ＇∴△ABC≌△A’B’C’中ＡＢ＝Ａ＇Ｂ＇∠B=∠B’∴△ABC≌△A’B’C’∴命题成立2、⑧证明已知如图：∠A=∠A ’,∠B=∠B ’,D,D’分别平分∠ACB, ∠A ’C ’B ’ 求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’ 证明:∵A=∠A ’,∠B=∠B ’ ∴∠ACB=∠A ’C ’B ’∵D,D’分别平分∠ACB, ∠A ’C ’B ’ ∴∠１＝∠２，∠３＝∠４A=∠A’ ∵△ADC,△A ’D ’C ’中 ∠２=∠３CD=C’D’∴△ADC ≌△A ’D ’C ’ AC=A’C’∴△ABC,△A ’B ’C ’中 A=∠A ’∠B=∠B ’∴△ABC ≌△A ’B ’C ’∴命题成立2、⑨证明已知如图：∠ABC=∠A’B’C’, ∠B=∠B’,CD=C’D’,CD,C’D’分别平分∠ACB, ∠A’C’B’ 求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’ ∵∠ABC=∠A’B’C’, ∠B=∠B’ ∴∠A=∠A’∴∠１＝∠２，∠３＝∠４∠A=∠A’∵△ADC,△A ’D ’C ’中 ∠２＝∠４CD=C’D’∴△ADC ≌△A ’D ’C ’AC=A’C’ ∴△ABC,△A’B’C’中 ∠ABC=∠A’B’C’ ∠B=∠B’∴△ABC ≌△A’B’C’∴命题成立3、⑧反例△ABC 为等腰三角形将其用AD 分为△ABD 、△ADC 则两三角形AD 边相等AC=AB 高AE 相等而两三角形不全等。
北师大版七下《3.2 图形的全等》课件2
探索发现
观察下面的图形：
D´ A´ B´ D A B C C´
想一想： 边、角分别对应相等的 两个多边形全等吗? 判定： 边、角分别对应相等的 两个多边形全等. 边、角分别对应相等的 两个三角形全等.
如图ΔABC≌ ΔDEF，且∠A＝∠D， ∠B＝∠E你能指出它们之间其他的对 应顶点、对应角和对应边吗？
讨 论
在日常生活中，可以看到很多全等 形，你能举出一些与同学们一起交 流一下吗？看谁举出的例子多.
这节课你学到 了什么呢？
1.我知道了什么叫全 等图形; 2.我能找出两个全等 图形的对应点、对 应角和对应边; 3.我还知道了全等多 边形的对应边相等、 对应角相等; 4.我知道如何判定多 边形全等.
形状大小相同的图片
同底片的照片
同底片的照片
邮票
这些图形有什么 共同特点呢?
3.2图形的全等
情景创设
观察下列图形的位置变换
A
A´
C C´ B
情景创设
观察下列图形的位置变换
情景创设
观察下列图形的位置变换
A
情景创设
观察下列图形的位置变换
情景创设
这些图形的位置变 换有什么共同特点呢?
新 知
先向下平移 再翻折.
概 念
两个多边形是全 图等形，也称全 等多边形. 在全等的多边形 中，相互重合的 顶点叫做对应顶 点，相互重合的 边叫做对应边. 相互重合的角叫 对应角.
观察下面的图形：
D A B C A´ B´ D´ C´
全等用符号“≌”表示， 读作“全等于” 四边形ABCD与四边形 A´B´C´D´全等， 可记作：四边形ABCD≌ 四边形A´B´C´D´
探索发现
B B´ C A´ C´
图形的全等
1.图形的全等 一、知识点梳理 1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫全等图形。
（形状、大小都相同）2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；面积相等，周长相等；对应线段（高线、中线、角平分线）相等。
3. 全等三角形的判定方法：①“边、角、边”（或SAS ）定理； ②“角、边、角”（或ASA ）定理； ③“角、角、边”（或AAS ）定理； ④“边、边、边”（或SSS ）定理； ⑤ “斜边、直角边”（或HL ）定理． 4.证明三角形全等的思路：(ASA)(AAS)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 5.全等三角形的常见模型：（1）平移型 2）对称型（3）旋转型二、例题精讲：例1．如图1，ABC △是不等边三角形，DE BC =，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ABC △全等，这样的三角形最多可以画出（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个例2．（1）如图2，已知AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个） ．（2）已知：如图3，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件是图中存在全等三角形，并给予证明． 所添条件为 ，你得到的一对全等三角形为 ．AB C DE图1ABCDE12图2B图3例3．已知：如图4，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.例4．某校学生到野外活动，为测量一池塘两端A 、B 的距离，设计了如下方案： （1）如图5（1）先在平地取一个可以直接到达A 、B 的点C ，可连结AC 、BC ，并延长AC 到D 、BC 到E ，使DC=AC ，EC=BC ，最后测出DE 的距离即为AB 之长。
23图形的全等
形
全等三角形的概念 全等三角形的性质
作业
你能把下面的这个平行四边形 1．分成两个全等的图形吗？ ２．分成四个全等的图形吗？ ３．分成三个全等=∠ABC=85°
∠EAC=∠BAC =180°- 30°-85° =65°
B
A
C
E
△ABC≌△EFC,CF=3cm,∠EFC=64° , 3 64° 则BC=_____cm,∠B=_____.
A
你还能求出哪 些边的长度,哪 些角的度数?
F
B
C
E
本 课 概 要 两个能够重合 的图形称为全等图 如果两个图形全等，那么它们的 形状和大小 一定都相同； ________
A
D
E
G C
F
E
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等, 对应角相等.
如图:△AOD≌△BOC,写出其 中相等的角 D 解：∠A=∠B ∠D=∠C ∠AOD=∠BOC
O
C
A
B
若没有图，你知道哪些角相等吗？ 哪些边相等呢？
如图:△ABC≌△AEC, ∠B=30°, ∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数 . 解：因为△AEC≌△ ABC
图片欣赏：
第三章 三角形
3.2图形的全等
学习目标
1.借助具体图案，体会研究几 何图形性质的方法 2.理解全等三角形全等的有关 性质
这些图形中有些 是完全一样的， 如果把它们叠在 一起，它们就能 重合,你能分别从 图中找出这样的 图形吗？
欣赏图片
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？ 为什么？ 形状 相同
大小 相同
全等图形的形状和大小都相同
如果两个图形全等，它 们的形状和大小一定都 相同
数学(七下)3.2图形的全等
所以∠E=∠B=30°
∠ACE=∠ABC=85° ∠EAC=∠BAC
B
A
C
பைடு நூலகம்
E
=180°- 30°-85° =65°
如图,若△ABC≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64°,
3 64° 则BC=_____cm,∠B=_____.
你还能求出哪些边的长度,
A
F
哪些角的度数?
B
C
E
议一议
（1）全等三角形对应边的高相等吗？对应 边上的中线呢？还有哪些相等的线段？
A
D
B
G
C
E
H
F
议一议
(2)已知△ABC≌△ A′B′C′，你如何在△ A′B′C′中画出与线段DE 相对应的线段？
做一做
你能把一个等边三角形分成2个全等 的三角形吗？3个呢？4个呢？
本 课 概 要
两个能够重合
的图形称为全等图形；
如果两个图形全等，那么它们的
形状和大小 一定都相同；
全等三角形的概念 ；
A
D
B
C
E
F
你能找到图中的对应边和对应角吗？
表示方法: △ABC≌△DEF 注意：要把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上
A D
B
C
E
F
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
如图:△AOD≌△BOC,写出其中相等的角 解：∠A=∠B
D C
∠D=∠C
∠DOA=∠COB
A
O
B
如图:△ABC≌△AEC, ∠B=30°, ∠ACB=85°, 求出△AEC各内角的度数. 解：因为△AEC≌△ABC
第三章 三角形
七年级下数学教学进度表
教学进度表Teaching schedule 学年度第二学期上学期Term学科Subject：七年级数学任课教师Teacher：周次Week 时间Time教学内容Teaching Content课时Periods完成情况CompleteStatus1 02.29——03.04 开学准备；1.1同底数幂的乘法；1.2幂的乘方与积的乘方（2）；32 03.07——03.11 1.3同底数幂的除法（2）；1.4整式的乘法（3）； 53 03.14——03.18 1.5平方差公式（2）；1.6完全平方公式（2）； 54 03.21——03.25 1.7整式的除法（2）；回顾与思考（2）； 55 03.28——04.01 2.1两条直线的位置关系（2）；2.2探索直线平行的条件（2）；56 04.04——04.08 2.3平行线的性质（2）；2.4用尺规作角； 37 04.11——04.15 第二章回顾与思考；3.1认识三角形（4）； 58 04.18——04.22 3.2图形的全等；3.3探索三角形全等的条件（3）； 59 04.25——04.29 3.4用尺规作三角形；3.5利用三角形全等测距离（2）；回顾与思考；510 05.02——05.06 期中复习、期中考试 311 05.09——05.13 4.1用表格表示的变量间关系；4.2用关系式表示的变量间关系；4.3用图像表示的变量间关系（2）；回顾与思考；512 05.16——05.20 5.1轴对称现象；5.2探索轴对称的性质；5.3简单的轴对称图形（3）；513 05.23——05.27 5.4利用轴对称进行设计；回顾与思考；6.1感受可能性；6.2频率的稳定性（2）；514 05.30——06.03 6.3等可能事件的概率（4）；回顾与思考； 515 06.06——06.10 综合与实践； 316 06.13——06.17 期末复习 517 06.20——06.24 期末复习 518 06.27——07.01 期末复习 519 07.04——07.08 期末复习 520 07.11——07.15 期末考试。
三角形相似全等的条件-概述说明以及解释
三角形相似全等的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形是几何学中的基本图形之一，具有三条边和三个顶点。
在三角形的研究中，相似和全等是两个重要的概念。
相似指的是两个三角形的形状相似，即它们的对应角度相等，对应边的比值相等。
全等则表示两个三角形的形状和大小完全相同，它们的对应边长和对应角度都相等。
在本文中，我们将深入探讨三角形相似和全等的条件。
通过研究这些条件，我们能够更好地理解三角形的性质和关系，并在实际问题中应用它们。
首先，我们将介绍三角形的基本概念，包括边、角、高度等。
理解这些基本概念对于后续的讨论非常重要。
然后，我们将详细讨论三角形相似和全等的条件。
相似的条件包括AAA（三个对应角度相等）、AA（两个对应角度相等，一对对应边成比例）以及SAS（一对对应边成比例，两个对应角度相等）。
全等的条件包括SSS （三边对应边长相等）、SAS（两边对应边长及夹角相等）以及ASA（两个对应角度相等，一对对应边相等）。
在文章的结尾部分，我们将总结三角形相似和全等的条件，并重申本文的目的。
通过深入研究这些条件，我们能够更好地理解和应用三角形的性质，为解决实际问题提供帮助。
总之，本文将对三角形相似和全等的条件进行详细阐述，通过理论推导和实例分析，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构部分的内容应该对整个文章的结构进行简单的介绍和总结。
它可以包括以下几个方面的内容：1. 引言部分的简述：首先，对引言部分的内容进行简短概述，介绍引言部分的主要目的和内容，为读者提供一个整体的概览。
2. 正文部分的大致分析：其次，可以简要介绍正文部分的大致分析结构和思路，包括三个主要章节的涉及内容，即「三角形的基本概念」、「三角形相似的条件」和「三角形全等的条件」。
3. 结论部分的预期结果：最后，可以提前介绍结论部分的预期结果，包括对三角形相似和全等条件的总结，并再次重申本文的目的。
图形的全等
你能指出其它的对 应角和对应边吗？
B
C
解：其他的对应角是 ∠A和∠ A ，∠ADC 和∠AEB
对应边是AD和AE，AB和AC，BE和CD
随堂练习：
练习1： （1）、若两个矩形的周长相等，则这两个矩形 （ C）
A、一定全等
B、一定不全等
C、不一定全等 D、一定相似 （2）、如图， ΔABC是等腰三角形，AD是BC上的高，将 ΔACD重合， ΔABC沿AD所在直线对折，那么， ΔABD与_______ ΔACD AD与_________ AD 是对应边， 这说明ΔABD≌_______， ∠CAD 是对应角。 ∠BAD与_________ A
B
D
C
练习2：图中所示的是两个全等的五边形，指出它们 的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的 a、b、c、d、e、α 、β 各字母所表示的值
解：a=12，b=10，c=8，d=5 , e=11 ,α=90 ,β=115
。
。
练习3：如图所示，四边形ABCD中，AB//CD， AD//BC，AC与BD相交于O，AE丄BD与E，CF丄BD与F， D） 则图中全等的三角形共有 （A
图 24.1.3
由此我们知道，全等多边形的特征是：
对应边、对应角分别相等
全等多边形的识别方法：对应边、对应角分别相 等的两个多边形全等。
三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应 角分别相等。同样，若两个三角形的边、角分别对应相等，那么 这两个三角形全等。
学一学
例：
如图所示：ΔABE≌ΔACD，∠ B 和∠ C是对应角： A
2、全等图形的特征：对应边、对应角 分别相等：
3、能识别全等图形。
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3.2 图形的全等
一、学习目标：
1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形.
2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
3.掌握全等多边形性质与识别方法，全等三角形的性质.
4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题.
二、学习重点:
全等多边形的性质与识别方法；全等三角形的性质应用.
三、学习难点:
平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
四、学习设计:
(一)引入
观察教材 P73 图 3-21几组图形。
(二)学习过程
阅读课本P73-75填空：_________________两个图形就是全等图形。
全等图形的________和______都相同。
下面，我们看看图形的运动对全等图形有何影响?
活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形，先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无重叠)；再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠)；然后将原图形沿形外某格线对称；最后将这些图形剪下来，将其叠合.你能发现什么?通过这个活动过程，说明了什么问题?
说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动，位置发生了变化，但形状和大小却没有改变，图形运动前后的两个图形是全等的；反过来，也就是说，两个全等的图形经过图形运动一定能重合.
请你说说什么是全等多边形?什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?你认为全等多边形有何特征?
全等多边形对应边、对应角分
别相等.
如图1，四边形ABCD与四边形
EFGH全等，可记为四边形ABCD≌四
边形 EFGH，请指出对应顶点、对
应角、对应边.
全等多边形的识别方法：如果两
个多边形对应边、对应角分别相等，那么这两
个多边形全等.
三角形是特殊的多边形，所以，全等三角
形的对应边、对应角分别相等；如果两个三角
形的___________、__________分别相等，那
么这两个多边形全等.
例1 如图2，已知将△ABC绕其顶点A顺
时针方向旋转
20°后得到△ADE.
(1)△ABC与△ADE的关系如何?
(2)求∠BAD的度数.
分析：将△ABC绕其顶点A旋转得到△ADE，故△ADE是由△ABC旋转得到的，若将△ADE 逆时针方向旋转20°，则能与△ABC重合，所以△ABC与△ADE是全等的. 由学生自主思考、分析解答.
探索：请同学们将两张纸叠起来，剪下两个全等三角形，然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上，从平移、旋转、对称几个方面进行摆放，看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系?并画出这些位置关系的代表性图形.。