无约束问题的最优化条件

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第3章 无约束最优化方法 3-1 最速下降法 3-2 牛顿法

第3章 无约束最优化方法 3-1 最速下降法 3-2 牛顿法
2
1
u f ( x)u m u
T 2
2
u R
n


则从任意的初始点 x 0 出发,阻尼牛顿法产 生的迭代点列 满足: (1)当 x k 为有穷点列时,其最后一个点 为 f ( x) 的唯一极小点。 (2)当 x k 为无穷点列时,收敛到 f ( x) 的
第3.2节 Newton法及其改进
第3.1节 最速下降法(Steepest Method)



对于最速下降法的几点说明 (1)第2.6节中介绍的关于下降算法的收敛 性定理对最速下降法都是成立的 。 (2)目标函数在负梯度方向下降得最快只 是局部性质。 (3)锯齿现象 (4)改进策略:在计算的开始阶段使用最 速下降法,在迭代数次后,改用其他算法。
本节的主要内容:
(1)牛顿法的基本思想
(2)阻尼牛顿法
(3)带保护措施的阻尼牛顿法
(4)吉尔-默里稳定牛顿法
(5)信赖域方法(一)
第3.2节 Newton法及其改进

(1)牛顿法的基本思想: * 在目标函数f ( x)的极小点 x 的近似点 x k 附近将 f ( x) 二阶Tayler展开,用展开的二次 函数去逼近 f ( x),将这个二次函数的极小点 * x 作为 的一个新的近似点 x k 1 ,依次下去, 用一系列二次函数的极小点 xk 1 去逼近 f ( x) 的极小点 x * 。
第3.2节 Newton法及其改进
设 f ( x)二次连续可微,则 f ( x) 在 x k 处的二次 近似为: 1 T f ( x) qk ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2 令

第八章 无约束多维问题的最优化方法

第八章 无约束多维问题的最优化方法

5 共轭梯度法
共轭梯度法的迭代公式
设从xk出发,沿dk=-gk 方向作一维搜索到 xk+1点,并算 出xk+1点的梯度方向gk+1。由于gk+1 是沿等直面在该点的法 线方向,而dk是沿等直面在该点的切线方向,故(dk)Tgk+1= 0,即 gk+1Tgk=0,gk+1 与 gk 正交。 为了在 gk+1 和 gk 构成的正交系中确定共轭方向dk+1,令 dk+1 = -gk+1+k dk 即把共轭方向dk+1看成-gk+1与 dk的线性组合,k 为待定 系数。要使dk+1与dk 共轭,就应使 (dk+1)TGdk =0 而 (dk+1)TGdk =(-gk+1+kdk)TGdk =(-gk+1 kgk)TG(-gk ) =gk+1TGgk+k gkTGgk =0
T
0 T 4 100 1 50
T
1 1 2 2 4 0 100 0 4 100 50 2 f x 0

0 0
T
对照梯度法和牛顿法迭代公式,可以看出只相差一项 海赛矩阵的逆矩阵。因此,牛顿法是对梯度法的进一步修 正。事实上,梯度法是对目标函数f(x)在点xk的一阶(线性) 近似,而牛顿法是对f(x)在点xk 的二阶(二次)近似。
2 最速下降法
(1) 最速下降法以负梯度方向作为搜索方向并作一维搜索,因 此又称为“梯度法”,属于求导数的间接法。它的基本思想早 在1847年就已提出。尽管它本身不再被认为是一种有效的方法, 但它是许多优化方法尤其是二次收敛方法的基础。 各点的梯度一般各不相同,因此“最速下降方向”仅对某 一点附近而言,它具有局部性质。 当作一维搜索时,搜索方向是与目标函数等值线相切的, 而切点的梯度方向是与等值线正交的。因此,相邻两次搜索方 向相互垂直,搜索路径呈严重的“之”字形,特别是目标函数 接近二次型时更为明显。 可以利用梯度矢量在极值点为零这一重要性质设立收敛准 则 f(x*)

最优化计算方法(工程优化)第4章

最优化计算方法(工程优化)第4章
f (x*) 0, 2 f x 正定,则 x 为 f (x) 的严格局部极小
点。
如果 2 f x 负定,则 x 为 f (x) 的严格局部极大点。
无约束优化的最优性条件----凸优化的一阶条件
定理(一阶充要条件)
设 f : Rn R 是凸函数且在 x 处连续可微,则 x 为 f (x)的全局极小点的充要条件是 f (x*) 0.
f (x p) f (x)+f (x)T p o( )
P是什么方向时,函数值 f (x p) 下降最快?也就是
p是什么方向时,f (x)T p 取得最小值?
f (x)T p f (x) p cos(f (x), p)
当 cos(f (x), p) 1 时,f (x)T p 最小,最小值为
令 f x 0, 即:
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 1 0
x22
2x2
0
得到驻点: 1 1 1 1
x1
0 ,
x2
2 ,
x3
0
,
x4
2
.
无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵:
2
f
x
2x1
0
0
2
x2
2
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
2 0
0 2
的行列式小于0;
x1, x4是鞍点;
2
f
x2
2 0
0
2
是正定矩阵;
x2 是极小点;
2
f
x3
2 0
0 2
是负定矩阵;
x3 是极大点。
• 对某些较简单的函数,这样做有时是可行的;

最优化方法 powell法求解无约束优化问题

最优化方法 powell法求解无约束优化问题

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称powell法求解无约束优化问题
所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
附录1:源程序
附录2:实验报告填写说明
1.实验项目名称:要求与实验教学大纲一致。

2.实验目的:目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。

3.实验原理:简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4.实验环境:实验用的软、硬件环境。

5.实验方案(思路、步骤和方法等):这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。

对于创新性实验,还应注明其创新点、特色。

6.实验过程(实验中涉及的记录、数据、分析):写明具体实验方案的具体实施步骤,包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7.实验结论(结果):根据实验过程中得到的结果,做出结论。

8.实验小结:本次实验心得体会、思考和建议。

9.指导教师评语及成绩:指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。

最优化方法第六讲 无约束(多维)最优化

最优化方法第六讲 无约束(多维)最优化

step4. 若 || f ( xk1) || ,停止,x* xk1 ;
否则,令 k : k 1, 转step 2 。
14
➢算法框图
给定初始点x0和精度 || f ( x0 ) ||
停止,输出x1


| x1 x0 |
是 停止,输出x0
否 否
2 f (x0) 0
计算x1
x0
f ( x0 ) 2 f (x0)
1
13 62
x2
x1
1d 1
(
36 , 31
8 31
)T
7
三、最速下降法的特点
1.性质. 设 f ( x) 有一阶连续偏导数,若 步长 满足 k
f ( xk d k ) min f ( xk d k )
k
则有 f ( xk d k )T d k 0。 k
证明:令 ( ) f ( xk d k ),所以
5
一、梯度法(最速下降法):
1. 搜索方向:d k f ( xk ) ,也称为最速下降方向;
2. 搜 索 步 长: k 取 最 优 步 长, 即 满 足
f (xk
kd k )
min
f
(xk
d k ) 。
二、梯度法算法步骤:
1. 给定初始点 x1 Rn ,允许误差 0, 令k 1。
2. 计算搜索方向 d k f ( xk ) ;
Step3. 令 xk 1 xk kd k , 其中tk : f ( xk kd k ) min f ( xk d k )。
24
Step 4. 判断 xk 1 是否满足终止准则: yes: 计算 stop, 则x* : xk1
No : 转 step 5 。

无约束问题的最优化条件

无约束问题的最优化条件

即,在算法每次迭代中,求解信赖域子问题:
1 T min (d ) f ( xk ) g k d d Gk d 2
(k ) T
s.t
d hk
在信赖域算法中,信赖域半径 hk 采用自适应方式调整, 若
(k )
(d ) 与 f ( xk d ) 近似程度好,则 hk 尽可能取大,
T (0)
2)方向
d
(0)
(G( x )) f ( x ) 1, 3 2
(0) 1 (0)
T
3)求最优步长
x
(0) dFra bibliotek(0)代入目标函数得:
(1)
1 0 3 3 0 2 2
(0)
三、最速下降算法收敛性定理
定理 5 设 f C1 (一阶连续可微), S x f ( x ) f ( x0 )


有界,则由最速下降法得到的迭代点列 xk 具有如下性质: 1) 数列 f ( xk ) 严格单调下降; 2) xk 的任何极限点(聚点) x 都是 f ( x ) 的驻点,
T k 1
d k 0
5.3 牛顿法
自动化学院
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f ( x ) 的近似极小点。
设 xk 是当前迭代点, 2 f ( xk ) 正定,
1 f ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2 1 (k ) T Q ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2

拉格朗日乘子法公式约束优化无约束优化

拉格朗日乘子法公式约束优化无约束优化

拉格朗日乘子法公式约束优化无约束优化拉格朗日乘子法是一种常用于求解约束优化问题的数学方法。

通过引入拉格朗日乘子,将约束条件与目标函数统一起来,将原问题转化为一个无约束优化问题。

本文将介绍拉格朗日乘子法的基本原理和公式,并以实际问题为例,演示其具体应用过程。

1. 拉格朗日乘子法的基本原理在求解最优化问题时,常常会伴随着一些约束条件。

如果我们将这些约束条件直接作为目标函数的一部分进行求解,会使问题变得复杂且难以处理。

拉格朗日乘子法通过引入拉格朗日乘子,将约束条件转化为目标函数的一部分,从而将问题转化为一个无约束优化问题。

拉格朗日乘子法的基本思想是,在目标函数后面添加一个乘以约束条件的拉格朗日乘子的项,构建一个新的被称为拉格朗日函数的函数。

然后,通过对拉格朗日函数进行求导,将约束条件转化为一个等式。

通过求解该等式,可以得到最优解。

2. 拉格朗日乘子法的公式拉格朗日乘子法的公式可以通过以下步骤进行推导:(1) 假设有一个最优化问题:Maximize (或Minimize) f(x)Subject to g(x) = 0(2) 引入拉格朗日乘子λ,构建拉格朗日函数:L(x, λ) = f(x) + λ * g(x)(3) 对拉格朗日函数进行求导,并令其导数为零:∇L(x, λ) = 0(4) 根据求导得到的等式,得到一组方程:∂f/∂x = -λ * ∂g/∂xg(x) = 0(5) 求解这组方程,得到x和λ的取值。

3. 拉格朗日乘子法的应用举例为了更好地理解拉格朗日乘子法的应用,我们将以一个实际问题为例进行演示。

假设我们有一个优化问题:求解函数 f(x) = x^2 的最大值,同时满足约束条件 g(x) = x - 1 = 0。

根据拉格朗日乘子法,我们可以构建拉格朗日函数:L(x, λ) = x^2 + λ * (x - 1)然后,对拉格朗日函数进行求导,得到一组方程:∂L/∂x = 2x + λ = 0∂L/∂λ = x - 1 = 0解这组方程,可以得到λ = -2 和 x = 1。

非线性规划-无约束问题的最优化方法

非线性规划-无约束问题的最优化方法

f x( ) + l e1 = 3( + l ) + 2? 22 1
1
(
)
2
32 = 3( + l ) + 17 1
2
fl ' = 0 ? l 1
- 1
轾 轾 1 1 犏 犏 2 1 x( ) = x( ) + l e1 = 犏 + (- 1)犏 = 2 0 犏 犏 犏 犏 3 0 臌 臌
轾 0 犏 犏 ? f x(2) 2 犏 犏 3 臌
第 二 节 最
二、最速下降法的算法步骤
速 下
降 法
第1步:给定初始点 x(0),及终止误差 e > 0 ,令k =0 第2步:求梯度向量的范数 Ñ f (x(k )) 若 ? f (x(k )) 停止计算,输出x e ,停止计算,输出 (k)作为极小点的近
p( ) = - f x( )
k k
似值,否则转到下一步。 似值,否则转到下一步。 第3步:构造负梯度方向
第 一 节
一、基本思想


轮 换

认为最有利的搜索方向是各坐标轴的方向, 认为最有利的搜索方向是各坐标轴的方向,因此它轮流 按各坐标的方向搜索最优点。 按各坐标的方向搜索最优点。 过程:从某一个给定点出发,按第 个坐标轴 个坐标轴x 过程:从某一个给定点出发,按第i个坐标轴 i的方向搜 索时,假定有 个变量 则只有x 在变化,其余(n-1)个变量 个变量, 索时,假定有n个变量,则只有 i在变化,其余 个变量 都取给定点的值保持不变。这样依次从 做了n次单变 都取给定点的值保持不变。这样依次从x1到xn做了 次单变 量的一维搜索,完成了变量轮换法的一次迭代。 量的一维搜索,完成了变量轮换法的一次迭代。

无约束最优化问题的求解算法和应用

无约束最优化问题的求解算法和应用

无约束最优化问题的求解算法和应用随着科技的发展和应用领域的扩大,无约束最优化问题已经越来越成为一种关注的研究领域。

在现实生活中,无约束最优化问题的求解可以应用在多个方面,比如金融、医学、机械工程等等。

然而,在实际应用中,我们往往需要利用已经发展的优秀算法进行求解。

本文将会介绍无约束最优化问题的求解算法及其应用。

一、无约束最优化问题的概念无约束最优化问题指的是在一定的条件下,通过调整某些变量来最大或最小化指定的目标函数。

这些变量的调整需遵守一定的限制条件,并且通过各种数值分析方法,比如数值解析和计算机数值算法等技术来求解这样的问题。

无约束最优化问题的数学形式一般为:$$ \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) $$其中,$x \in \mathbb{R}^n$ 是 $n$ 维空间中的一个向量,$f(x)$ 则是目标函数,该函数需要满足一定的条件,比如连续、可微、凸等等。

当函数连续、可微的情况下,就能有效地应用求导法来求解这个问题。

二、基于梯度下降的算法在求解无约束最优化问题时,最常用的算法就是基于梯度下降的算法。

该算法通过沿着负梯度的方向一步步得逼近全局极小值。

算法的主要流程如下:1、初始化变量$x$,比如$x=0$;2、计算目标函数$ f(x)$ 的梯度 $\nabla f(x)$;3、计算下降方向 $p$,$p=-\nabla f(x)$;4、选择步长 $\alpha$,更新$x$ $x_{k+1} = x_{k} + \alpha p$;5、重复执行步骤2-4 进行更新,直到满足一定的终止条件为止。

这种方法的收敛性非常好,同时也比较容易实现。

在实际应用中,通常会将其与其他迭代方法组合使用,比如牛顿、拟牛顿等方法来提升其求解精度。

三、基于共轭梯度的算法基于梯度下降的算法虽然求解精度较好,但是当求解目标函数具有高度弱凸性质时,算法的收敛速度会相对较慢。

为了克服这类问题,研究人员往往会采用共轭梯度法。

第三章无约束问题的最优化方法

第三章无约束问题的最优化方法

赋以0.618。
2 ,
;并计算其对应
的函数值。 3)根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的 坐标点计算公式,需进行区间名称的代换,并在保留区间 中计算一个新的试验点及其函数值。
如果
令 b , , f f 记N0=0; 2 2 1 2 1 如果 ,则新区间= ,
2
2

图2-5 黄金分割法
• 黄金分割法要求插入两点: a1 a (1 )(b a), f1 f (a1 )
a2 a (b a), f 2 f (a2 )
黄金分割法的搜索过程:
1)给出初始搜索区间及收敛精度 2)按坐标点计算公式计算 1
,将
在搜索区间内[a,b] 任取两点a1、b1,令f1=f(a1), f2=f(b1) • (1)如f1<f2, 则缩小的新区间为[a,b1]; • (2)如f1>f2, 则缩小的新区间为[a1,b]; • (3)如f1=f2, 则缩小的新区间为[a1,b1]
f(b1) f(a1) f(a1) f(b1) f(a1) f(b1)
a
a1

b
a
a1
b1 b
a
a1
b1
b
§3.2 一维搜索方法
黄金分割法: • 黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对 函数除要求“单谷”外不作其他要求,甚至可以不连续。因此,这种 方法的适应面相当广。 • 黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法。 • 在搜索区间内[a,b]适当插入两点,将区间分成三段;利用区间消 去法,使搜索区间缩小,通过迭代计算,使搜索区间无限缩小,从而 得到极小点的数值近似解。 •

第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义

第四章  非线性规划  山大刁在筠 运筹学讲义

第四章 非线性规划教学重点:凸规划及其性质,无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法,约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。

教学难点:约束最优化问题的最优性条件。

教学课时:24学时主要教学环节的组织:在详细讲解各种算法的基础上,结合例题,给学生以具体的认识,再通过大量习题加以巩固,也可以应用软件包解决一些问题。

第一节 基本概念教学重点:非线性规划问题的引入,非线性方法概述。

教学难点:无。

教学课时:2学时主要教学环节的组织:通过具体问题引入非线性规划模型,在具体讲述非线性规划方法的求解难题。

1、非线性规划问题举例例1 曲线最优拟合问题已知某物体的温度ϕ 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系:312c t c c t e φ=++ (*)其中1c ,2c ,3c 是待定参数。

现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ,i=1,2,…,n 。

试确定参数1c ,2c ,3c ,使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。

∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1,R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==,如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP):⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数,称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=,其中,q n p n R R h R R g :,:,那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时,称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。

1无约束最优化问题的最优性条件

1无约束最优化问题的最优性条件

(2) 定理3.1.3仅仅是充分条件而非必要条件.
例 f ( x) x14 2x12 x22 x24
分析: x0=(0,0)T为其严格局部极小点. 但有
f
(
X
0
)
(0,0)T
,
2
f
(
X
0
)
0 0
0 0
.
无约束最优化问题的最优性条件
凸优化问题-----一阶充要条件
定理3.1.4 设 f x在 Rn上是凸函数且在x*处一阶 连续可微,则 x* 为 f x 的全局极小点的充要条件
Saddle Point
无约束最优化问题的最优性条件
一阶必要条件
f ( x* ) 0的几何意义:函数曲面在x*处的切平面是水平的.
所谓x*是鞍点,从直观上说曲面在x*处沿某方向 “向上弯曲”,而沿另一方向“向下弯曲”.
无约束最优化问题的最优性条件
二阶必要条件
定理3.1.2 若 x*为f x的局部极小点,且在 N x*
x1
2 0
0 2
,
2
f
x2
2 0
02 ,
2
f
x3
2 0
0 2
,
2
f
x4
2 0
0 2
.
无约束最优化问题的最优性条件
由于矩阵 2 f x1 ,2 f x4 不定,则
x1 , x4 不是极小点.
2 f x3 负定,则 x3 不是极小点,
实际上它是极大点.
2 f x2 正定,则 x2 是局部极小点.
第三章 最优性条件
无约束最优化问题的最优性条件 等式约束最优化问题的最优性条件 不等式约束最优化问题的最优性条件 一般约束最优化问题的最优性条件

最优化方法 总结

最优化方法 总结

最优化方法总结
最优化方法是一种用于求解最优化问题的数学工具和技术。

最优化问题是指在给定约束条件下寻找使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。

最优化方法主要分为两类:无约束优化和约束优化。

在无约束优化中,最优化方法包括:
1. 梯度下降法:通过不断迭代来寻找函数的最小值点,在每一步迭代中通过计算函数的梯度来确定下降的方向和步长。

2. 牛顿法:使用函数的一阶和二阶导数来近似估计最小值点,通过迭代计算来逐步逼近最小值点。

3. 拟牛顿法:使用函数的梯度信息来估计牛顿法的一阶导数信息,以减少计算二阶导数的复杂性。

4. 共轭梯度法:通过迭代来求解线性最小二乘问题,可以高效地求解大规模问题。

在约束优化中,最优化方法包括:
1. 等式约束优化:利用拉格朗日乘数法将等式约束转化为无约束优化问题,并使用无约束优化方法求解。

2. 不等式约束优化:使用罚函数、投影法或者序列二次规划等方法将不等式约束转化为无约束优化问题,并使用无约束优化方法求解。

3. 信赖域方法:通过构造信赖域来限制搜索方向和步长,以保证在搜索过程中满足约束条件。

4. 内点法:通过转化为等式约束问题,并使用迭代法来逐步逼近约束边界。

总体来说,选择适当的最优化方法取决于问题的性质和约束条件的类型。

不同的最优化方法有不同的优缺点,适用于不同的问题,因此需要在具体应用中进行选择和调整。

matlab无约束最优化函数有约束最优化函数

matlab无约束最优化函数有约束最优化函数

有约束最优化问题的一般描述为 min f (x),其中 xs.t.G ( x)0
x [x1, x2,L , xn ],该数学表示的含义即求取一组x,使得目标 函数f (x)为最小,且满足约束条件G(x) 0.记号s.t.是英文 suject to的缩写,表示x要满足后面的约束条件。 约束条件可以进一步细化为: 1.线性约束不等式:Ax b 2.线性等式约束:Aeq x beq 3.非线性不等式约束:Cx 0 4.非线性等式约束:Ceq 0 5.x的下界和上界:Lbnd x Ubnd
无约束最优化函数 有约束最优化函数
1 无约束最优化问题 2 有约束最优化问题 3 注意
1 无约束最优化问题 2 有约束最后化问题 3 注意
无约束优化问题的一般描述为:min f (x) x
其中x [x1, x2,L xn ]T ,该数学表达式的含义即求一组x, 使目标函数f (x)为最小。
fminunc命令与fminsearch都只能用于解决实数问题,求 得的结果也为局部最小值。
不同之处在于fminunc求极值目标函数必须连续; fminsearch求解的效率较低,但其可以求解非连续函数 极值。
1 无约束最优化问题最优化问题的一般描述为 min f (x),其中 xs.t.G ( x)0
1 无约束最优化问题 2 有约束最优化问题 3 注意
1 无约束最优化问题 2 有约束最优化问题 3 注意
fminsearch fminunc fminbnd fmincon
最大值问题 极小值问题
谢谢观赏
x [x1, x2,L , xn ],该数学表示的含义即求取一组x,使得目标 函数f (x)为最小,且满足约束条件G(x) 0.记号s.t.是英文 suject to的缩写,表示x要满足后面的约束条件。 约束条件可以进一步细化为: 1.线性约束不等式:Ax b 2.线性等式约束:Aeq x beq 3.非线性不等式约束:Cx 0 4.非线性等式约束:Ceq 0 5.x的下界和上界:Lbnd x Ubnd

4 无约束最优化方法-直接搜索法

4 无约束最优化方法-直接搜索法

7)收缩:当 fn+2≥ f
G
时,则需收缩。 ( =0.5)
若 fn+2 < fH,则取收缩点Xn+4 : Xn+4 = Xn+1 + (Xn+2 – Xn+1)
fn+4 = f (Xn+4 )
否则,以XH代替上式中的Xn+2 , 计算收敛点Xn+4 : Xn+4 = Xn+1 + (XH – Xn+1) fn+4 = f (Xn+4 )
坐标轮换法(变量轮换法、交替法、降维法)
• 基本思想
将 n 维 无 约 束 优 化 问 题 转 化 为 n 个 沿 坐 标 轴 方 向 ei (i=1, 2, … , n)的一维优化问题来求解,并记完成n次一 维搜索为一轮。若一轮搜索后未得到满足精度要求的最优点, 则继续下一轮迭代搜索。如此反复,直至得到满足精度要求 的最优点为止。在每一轮搜索中,每次迭代仅对 n元函数的 一个变量沿其坐标轴方向进行一维搜索,其余 n-1个变量均 保持不变,再依次轮换进行一维搜索的坐标轴,直至完成沿 n个坐标轴方向的n次一维搜索。
若满足,则结束迭代计算,并输出 X * = XL 和 f 否则,转下一步。 5)计算除XH点外的各点的“重心” Xn+1 ,即 Xn+1 = (∑Xi –XH) / n
*
=f
L
计算反射点: Xn+2 = 2Xn+1 –XH

fn+2 = f (Xn+2 ) 当 f L ≤ fn+2 < fG 时,以Xn+2 代替XH , fn+2 代 替 fH ,构造新的单纯形,然后返回到 3)。

第三章非线性规划无约束问题的最优化方法

第三章非线性规划无约束问题的最优化方法

x0
0p 0
1.919877 还需要经过10次迭代才
能满足精度要求
0.003070
第三节 牛顿法
3. 牛顿法的缺点: 牛顿法要求初始解离最优解不远,若初始点选得离最优解太
远时,牛顿法并不能保证其收敛,甚至也不是下降方向。因此, 常将牛顿法与最速下降法结合起来使用。前期使用最速下降法, 当迭代到一定程度后,改用牛顿法,可得到较好的效果。 4. 修正牛顿法 基本思想: 保留了从牛顿法中选取牛顿方向作为搜索方向,摒弃其步长恒 为1的做法,而用一维搜索确定最优步长来构造算法。
2
2
0
2e2 2 3
00 21 0
03
f x3 9
第二节 最速下降法
再从x(3)点 出发,沿x3轴方向e3进行一维搜索:
0 x 3 e3 0
3
00 00 13
f x 3 e3
32
f' 0 x4 x3
3
3
0
3e3 0 0
f x4 0
第二节 最速下降法
因为 x 1
x 4 ,0故.0以1 x(4)点作为新的x(1) ,进行新一轮迭代。
0
1 33 22
f x0
p0
52 5
42
f' x0
p0 5 5 0
22
01
第三节 牛顿法
x1 x0
1 p0 3
2
3
f x1
14
12 2
0
30
12 1 2
2
f x1
所以选取 x* x 1
1 3 作为极小点。 2
第三节 牛顿法
6. 修正牛顿法的缺点: 修正牛顿法虽然比牛顿法有所改进,但也有不足之处:
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f
(x)
f
(xk ) f
(xk )T
(x
xk )
1 (x 2
xk )T 2
f
(xk )(x
xk )
Q(k) (x)
f
(xk ) f
(xk )T (x xk )
1 2
(
x
xk
)T
2
f
(xk )(x xk )

Q(k) (x) x
0
f
( xk
)
2
f
(
xk
)(
x
xk
)
0
x xk (2 f (xk ))1f (xk ) xk Gk1gk
k 满足:
f (xk
dk ) 0
T f (xk k dk )gdk 0
ห้องสมุดไป่ตู้
d
T k 1
gd
k
0
14
a
5.3 牛顿法
自动化学院
15
a
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f (x) 的近似极小点。
16
a
设 xk 是当前迭代点, 2 f (xk ) 正定,
5.1 无约束问题的 最优性条件
自动化学院
1
a
一、极小点的概念
1.局部极小点 2.严格局部极小点 3.全局(总体)极小点 4.严格全局(总体)极小点。 注:在非线性规划中,大多数算法都致力于求最优化 问题的局部极小点,一般求全局极小点极为困难,仅 当问题为凸规划时,局部极小为全局极小。
2
a
二、无约束问题最优性条件
的极小值,0.01,x(0)(0,0)T ,只迭代一次
解: f ( x ) [ ( 1 4 x 1 2 x 2 , 1 2 x 1 + 2 x 2 ] T , f ( x ( 0 ) ) ( 1 , 1 ) T
|| f(x(0))||2(12(1)2)22
x(1 )x(0 ) f(x(0 )) 0 0 1 1
17
a
牛顿迭代公式: xk 1 xk Gk1gk . 其中, Gk 2 f (xk ), gk f (xk )
18
a
例2:用牛顿法求 f(x ) x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2
的极小值, 0.01取初X 始 ( 0) 点 ( 0, 0) T
2) 计算 dk f (xk ) ,若 f (xk ) ,停,并令 x* xk ,否则转 3);
3) 由一维搜索确定步长因子k ,使得
f
(xk
kdk
)
min
0
f
(xk
dk
)
4) 令 xk1 xk k dk , k k 1,转 2)。
8
a
例1:用最速下降法求 f(x ) x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2
f (xk ) f (x*) ( 1)2 (1 n)2 xk x*
( 1)
其中 1 n G G1 ( 为矩阵 G 的条件数)。
13
a
五.算法特点
相邻两次迭代的搜索方向是正交的,迭代点列呈 锯齿形前进,迭代点越靠近最优解附近,目标函 数值下降的速度越慢,算法收敛速度慢。
Q dk1 f (xk1) f (xk k dk )
定理 1(一阶必要条件)若 x 是局部极小点,则 f (x) 0 。 定理 2(二阶必要条件)若 x 是局部极小点,则 f (x) 0 ,
2 f (x ) 0 。(半正定) 定理 3 (二阶充分条件) x 是局部极小点的充分条件是: f (x) 0 ,且 2 f (x ) 正定。 注:使 f (x) 0 的点 x 称为函数的驻点。驻点可以是极大
f( x ( 2 ) ) ( 0 .2 , 0 .2 ) T ,|| f( x ( 2 ) ) || 0 .2 8 2 8 f,L
10
a
二.算法终止标准
常用的算法终止准则有:
(1) xk1 xk ; (2) f (xk1) f (xk ) ;
f (xk )
(3) f (xk ) 。
11
a
三、最速下降算法收敛性定理
定理 5 设 f C1 (一阶连续可微), S x f (x) f (x0)
有界,则由最速下降法得到的迭代点列xk 具有如下性质: 1) 数列 f (xk ) 严格单调下降; 2) xk 的任何极限点(聚点) x 都是 f (x) 的驻点,
f (x ) 0 ,若 f (x) 为凸函数,则 x 为 f (x) 的最小值点。
9
a
代入目标函数得:
f(x ( 1 )) f(x (0 ) f(x (0 )) )2 2
令 df(x(1))/d0
0 1
x (1)
1
1
f(x (1 )) ( 1 , 1 )T ,|| f(x (1 ))||2 f
继续迭代,计算可得 d(1) 1 1,11 5,x(2) 10.2.8
➢ 最速下降法又称为负梯度法,由Cauchy于 1847年给出。是最为古老但又十分基本的一 种方法。
➢ 最速下降法解决的是具有连续可微的目标函 数的无约束极值问题。
➢ 优点:迭代过程简单,使用方便。
➢ 最速下降法的基本思想:从当前点xk出发寻找 使得目标函数下降最快的方向,即负梯度方向。
6
a
➢ 关于梯度的复习: ☺梯度是一个向量。n元函数f(x1 ,x2 ,…xn)在点x
处的梯度为: (f ,f ,...,f )T
x1 x2 xn
☺梯度的方向与函数f 的等值线的一个法线方 向相同,从较低的等值线指向较高的等值线。
☺梯度的方向就是函数f 的值增加最快的方向, 其相反方向就是函数值降低最快的方向。
7
a
算法步骤:
1) 给出初始点 x0 Rn ,允许误差 0 , k 0 ;
点,极小点或者鞍点。
3
a
定理 4 若 f (x) : Rn R 是连续可微的凸函数,则 x 是全局 极小点的充要条件是 f (x ) 0 。
证明:必要性由定理 1,充分性则由凸函数定义
f (x) f (x) f (x)T (x x) 可得。
4
a
5.2 最速下降法
自动化学院
5
a
一. 最速下降法
证明:......
12
a
四.最速下降法的收敛速度
定理 6 对极小化问题 min f (x) 1 xTGx ,其中 G 为 n n 对称正定 2
矩阵, 1, n 分别为 G 的最大与最小特征值。设 x* 是最优解,则最
速下降算法的收敛速度至少是线性的,且下面的界成立:
f (xk1) f (x*) ( 1)2 (1 n )2 , xk1 x* ( 1)
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