微商及解析函数
微分方程基本概念介绍
微分方程基本概念介绍微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或称微商）之间的关系的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
本文将就微分方程的基本概念进行介绍。
一、微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。
二、微分方程的类型1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶导数，最高阶数为1；2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二阶导数，最高阶数为2；3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0；4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)；5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程，如y' = y²。
三、解微分方程的方法1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分；2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解；3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解；4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解；5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解；6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。
四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。
第二章解析函数演示文稿
第一节 导数
充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处
满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
第二章解析函数演示文稿
优选第二章解析函数
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某
点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为 函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
第一节 导数
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z) 在区域B内可导
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1 2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处 处不可导
可导必连续
第一节 导数
求导法则
d dz
1
2
d1
dz
d2
dz
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
第二节 解析函数
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析 函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
微商的概念及其计算
这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导. 30
4. 对数函数 y ln x (x 0)
lim y lim ln(x x) ln x
x0 x x0
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
x x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
(ln x) 1
x
31
例8
y loga x (a 0, x 0) , 求y .
(3)
u( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
v(
x)
v2 ( x)
( v(x) 0)
36
在证明这些公式时, 用到下列表达式：
u u(x x) u(x)
u(x x) u(x) u
37
(1) 证明 (u(x) v(x)) u(x) v(x)
(u(x) v(x)) lim (u(x x) v(x x)) (u(x) v(x))
x0 x x0
x
6
二.导数的概念
1. 导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
x)
1 x ln
a
ae
(ln x) 1 x
33
5. 指数函数 y ax (a 0)
lim y lim a xx a x a x lim ax 1
-解析函数的概念
[ f ( z z ) f ( z )] 0 , 因此必有 lim 即 0 0
z 0
z z 0
lim f ( z ) f ( z ) 0
所以， 可导一定连续。
3 求导法则 求导公式与法则： C ) 0 , 其中 C 为常数。 (1) (
n 1 为正整数。 z) nz , 其中 n (2) ( n
( y y ) 2 ( x x ) i y 2 xi lim x 0 x i y
y 0
y 2ix lim x 0 x iy
y 0
由于
y 2ix lim 2 i, x0 x iy
y0
y 2ix lim i x0 x iy
。 A z 在 z 0 处的微分， 记作 dw ，即 dw
f( z )在 z 0 可导，则必在 z 0 因此，一个函数 w
f ( z ) z 。 可微，且 dz 0
反之，设函数在 z 0 处可微，则 w A z ( z ) z
w A lim ( z ) A ,即 因此 lim z 0 z 0 z
第二章
解析函数
§1
解析函数的概念
一 复变函数的导数与微分 二 解析函数的概念
一 复变函数的导数与微分
1 导数的定义
z0 为 设函数 w f( z )定义在区域 D 内， z 不出 D 的范围， 如果极限 D中的一点。 点 z 0
定义
f ( z z ) f ( z ) 0 0 lim z 0 z f( z )在 z 0 处是可导的，而称这 存在，则说函数 w
数在一个区域 D 上每一点处都是解析的，则称函数为
解析函数的判定
解析函数的判定中的特定函数定义解析函数的判定中的特定函数，通常指的是一类用于从给定的输入中提取特定信息的函数。
这些函数能够解析复杂的输入数据，识别出关键信息，并将其提取成易于理解和处理的形式。
特定函数的定义可以根据应用场景的不同而有所差异，但它们通常都具有以下几个特点：1.输入：特定函数接受输入数据作为参数。
输入数据可以是文本、文件、网络请求等各种形式的数据。
2.解析：特定函数会对输入数据进行解析，识别出其中的关键信息。
解析过程可以基于规则、模式、正则表达式、机器学习等方法进行。
3.提取：特定函数将解析出的关键信息从输入数据中提取出来，并以特定的数据结构进行表示。
例如，可以将信息提取成字符串、数字、列表、字典等形式。
4.输出：特定函数将提取到的信息作为返回值输出，以供后续的处理、分析或展示使用。
用途特定函数在各种领域和应用中都有广泛的用途。
以下列举几个常见的应用场景：1.网络爬虫：特定函数可以从网页中提取出需要的数据，例如标题、正文内容、链接等。
这对于搜索引擎、数据分析、舆情监测等应用非常重要。
2.日志分析：特定函数可以从日志文件中解析出有用的信息，例如时间戳、请求URL、错误信息等。
这对于故障排查、性能优化、安全监控等方面非常有帮助。
3.自然语言处理：特定函数可以从文本数据中提取出实体、关系、主题等信息，例如命名实体识别、关键词抽取、情感分析等。
这对于文本挖掘、机器翻译、智能客服等应用非常关键。
4.数据清洗：特定函数可以从混乱或不规范的数据中提取出需要的字段，例如清洗电子邮件地址、手机号码、日期时间等。
这对于数据预处理、数据集成、数据挖掘等任务非常重要。
工作方式特定函数的工作方式通常包括以下几个步骤：1.输入数据获取：特定函数从外部获取输入数据，可以是用户输入、文件读取、网络请求等方式。
2.数据解析：特定函数对输入数据进行解析，识别出其中的关键信息。
解析过程可以包括模式匹配、正则表达式匹配、机器学习算法等。
《数学物理方法》第三讲导数&解析函数
如果
f ( z) ∂u ∂v ∂v ∂u +i = −i ∂x ∂x ∂y ∂y
点可导， 在z点可导，以上两极限必须存在且彼此相等，即： 点可导 以上两极限必须存在且彼此相等，
∂u ∂v ∂v ∂u = =− & ∂x ∂y ∂x ∂y
--------数学物理方法第三讲--------
两条件合称柯 西—黎曼条件 黎曼条件
常用的求导公式： 常用的求导公式：
d ω1 d ω2 d (ω1 + ω2 ) = + dz dz dz dω1 d ω2 d (ω1ω2 ) = ω2 + ω1 dz dz dz
d n z = nz n +1 dz
d z e = ez dz d sin z = cos z dz
d cos z = − sin z dz d 1 ln z = dz z
数学物理方法第三讲
导数&解析函数（ 学时 学时） 导数 解析函数（2学时） 解析函数
导数
定义： 上定义的单值函数， 定义：设函数 ω = f ( z )是区域 B 上定义的单值函数，即对于 值与之对应， 区域 B 上的每一个 z 值，有且只有一个 ω 值与之对应，若在
∆ω f ( z + ∆z ) = lim ∆z →0 ∆z ∆z →0 ∆z 存在， 趋近于0的方式无关 的方式无关， 存在，并且与 ∆z 趋近于 的方式无关，则称 ω = f ( z )在 z 点 可导（或单演）， ），此极限叫做函数 点的导数（ 可导（或单演），此极限叫做函数 f ( z ) 在 z 点的导数（或 lim
B 上的某点 z ，限
df 微商），以 表示。 微商），以 f '( z ) 或 ）， 表示。 dz
二级微商法计算公式
二级微商法计算公式
二级微商法计算公式是指在二级微商行业中，通过一定的计算方法来确定收益和成本的公式。
这样可以帮助微商们更好地了解自己的经营状况，做出正确的决策。
在二级微商法中，最基本的公式是利润=收入-成本。
通过这个公式，微商们可以计算出每笔交易的利润，并根据利润来评估产品的盈利能力。
除了利润公式外，还有其他一些常用的计算公式。
比如，销售额=单价*数量，用来计算某个产品或服务的销售额。
还有毛利润率=（销售额-成本）/销售额*100%，用来评估产品的盈利能力。
在实际应用中，微商们可以根据自己的经营情况和需要，灵活运用这些公式。
比如，可以通过调整单价和数量来提高销售额和利润。
同时，还可以通过降低成本来提高毛利润率，从而获得更好的经营效果。
二级微商法计算公式是微商们在经营过程中用来计算收益和成本的公式。
通过合理运用这些公式，微商们可以更好地了解自己的经营状况，做出正确的决策，从而获得更好的经营效果。
第四节微商与微分
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
xo
x
不可导
点
4. 微商的计算
原料
基本初等函数 的微商公式
加工
四则运算 复合运算
微商法则
产品
初等函数 的微商
基本初等函数的微商公式
（1）常值函数 y c '
c' 0 （2） y xn : 其中 n 是正整数
(xn ) ' nxn1 （3）正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u ' x2 ' cos u 2x 2x cos x2
例13
设
f
x
x sin
0,
1 x
,
x0 x0
当 x 0 时，函数 f x 是可导的：
f
'x
sin
1 x
1 x
1.1 向量函数课件
x1 y1 z1 2、 a // b a b 0 x2 y2 z2
3、 a, b , c共面 (abc ) (a b ) c 0
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相关定理
定理1. 已知两个非零向量 a {x1 , y1 , z1}, x y z b {x2 , y2 , z2}, 则 a, b 共线的充要条件是 x y z 定理2. 已知三个非零向量 a {x1 , y1 , z1}, b {x2 , y2 , z2}, c {x3 , y3 , z3} ，则 a, b, c 共面的
的数量积的坐标表达式
则 a, b
a b x1 y1 x2 y2 x3 y3
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四、向量的向量积
定义2 两个向量 a 和 b 的叉积 （也称为向量积） 是一个向量,记作 a b ,并由下述规则确定： （1） a b a b sin(a, b ) （2） a b 的方向规定为: 注： a b 既垂直于 a 又垂 直于 b ,并且按顺序 a , b , a b 符
1
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或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
或 e 单位向量： 模为1的向量. ea M M
零向量： 模为0的向量. 0
1
2
定义. 如果两个向量的模相等且方向相，那么 叫做相等向量.记为 a b
形式微商的基本公式
形式微商的基本公式导数（微商）的表达式：f'(x_0)=\frac{df}{dx}|_ {x=x_0}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} 。
也即是对于已知函数f(x) ，求其在 x=x_0 处导数值的求解等价于上述双侧极限的求解。
类似地可以定义左右导数，函数在一点可导的充要条件是其左右导数都存在且相等。
若初等函数在其定义域内可导，则其导函数仍是初等函数。
\Rightarrow 导函数在对应定义域内连续。
可导与连续的关系：可导一定连续，连续不一定可导。
（可导说明导数值是个有限值， \Delta x趋于零时， f(x_0+\Delta x) 和 f(x_0) 可以无限接近；相当于可导给出了极限下两个无穷小之间的关系，这已经是默认了极限下“它们都是无穷小了”。
而连续只要求导数的分子部分极限下是个无穷小，反过来考虑，仅凭分子极限下是个无穷小这样的条件无法直接导出它与另一个极限下为无穷小的数在极限下比值存在。
）微商的四则运算：加减：[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g(x) ；乘法：[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ；乘法推广：\prod_{i=1}^nu_i(x))'=\sum_{i=1}^nu_1(x)u_2(x)\cdot s u_i'(x)\cdots u_n(x) 除法：当 g(x)\ne0 时，有\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x )g'(x)}{[g(x)]^2} 。
复合函数微商：\frac{dg(f(x))}{dx}=g'(f(x))f'(x) 或\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}(y=f(x ),z=g(y))反函数的微商： y=f(x),x=g(y)f'(x_0)=\frac{1}{g'(y_0)} 或f'(x_0)=\frac{1}{g'(f(x_0))}一个函数在一点的导数恰好等于其反函数在对应点的导数的倒数。
微积分：微商的运算法则
(arctan
x )
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x2
二、函数的和、差、积、商的微商法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv) uv uv,
例1y
( x 1)(x 2) , (3 x)(4 x)
求y.
解 等式两边取对数
ln y 1 [ln( x 1) ln( x 2) 2 ln(3 x) ln(4 x)]
两边对x求导
1
y
1 [
1
1
1
1 ]
y 2 x1 x2 3 x 4 x
y 1 (x 1)(x 2) 2 (3 x)(4 x)
x
)
1 cos
x 1(cos cos2 x
x)
sin x
secx tan x.
cos2 x
(secx) sec x tan x
同理
(cot
x)
1 sin2
x
csc2
x
(cscx) csc x cot x.
例4 求函数y log a x(a 1, a 0)的导数。
解 loga
解
y f (2x )2x ln 2 f ( x ) 1 . 2x
五、其它微商法
1、隐函数微商法
定义：若变量x、y之间的函数关系是由 一个方程F( x, y) 0所确定，则称 这种函数为隐函数。
方法： 把y看成是x的函数，在方程两边 直接对x求微商就行。
例 1方程 x3 2xy y5 0确定了
微积分的基本介绍
微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。
因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。
所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。
就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。
这个概念是成功的。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
《高等数学》课件2-1微商的概念
03 可导函数的拐点满足一阶导数变号，二阶导数不 为零。
导数的计算方法
定义法
通过导数的定义公式计算导数。
链式法则
对于复合函数的导数，使用链式法则进行计算。
乘积法则
对于两个函数的乘积的导数，使用乘积法则进行计算。
幂函数求导法则
对于幂函数的导数，使用幂函数求导法则进行计算。
微积分基本定理的应用非常 广泛，它可以用来计算定积 分、解决一些微分方程以及 证明一些重要的数学定理。
微积分的应用实例
在物理学中，微积分被广泛应用于解决力学、热学、光学等问题，例如计算物体运动的速度和加速度 、求解热传导方程等。
在工程学中，微积分是解决各种实际问题的必备工具，例如在电路分析、流体动力学、控制理论等领域 中，都需要用到微积分的知识。
在具体运算中，微商的符号表 示可以与其他数学符号进行运
算，如乘法、加法等。
微商的符号表示形式简洁明了 ，能够直观地反映函数在某一
点处的变化趋势。
微商的几何意义
微商在几何上表示曲线在某一 点处的切线斜率。
若函数在某一点处可导，则该 点处存在切线，切线的斜率即
为函数在该点的微商。
对于不可导的函数，微商无法 给出切线斜率的具体值，但在 可导区间内，微商可以描述函 数在该点附近的局部变化趋势 。
04
微商与积分的关系
导数与积分的关系
01
导数是函数在某一点的变化率，而积分则是一种求和运算 ，两者在概念上存在明显差异。
02
导数和积分在微积分中具有密切的联系，通过微积分基本定理， 我们可以将一个函数的积分转化为其导数的积分之和，从而将求
积分的问题转化为求导数的问题。
数学物理方法第一章解析函数1.3微商及解析函数
一、微商及微分：
x 0 lim x 0 x i y y 0 x 1 lim x 0 x i y y 0
1.3 微商及解析函数
z z
f lim z 0 z
∴ f ( z) Re z， 在复平面处处不可导。
2 2
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
例 已知 v( x, y ) x y, 求解析函数 f ( z ) u iv
（1）用全微分法
u u v v du dx dy dx dy dx dy x y y x u d ( x y) c x y c
解析函数图例
1.3 微商及解析函数
1.3 微商及解析函数
1.3 微商及解析函数
小结 一、微商及微分：
1、微商： 2、微分：
1.3 微商及解析函数
Δf f ( z ) lim Δz 0 Δz dw f ( z )dz
3、 求导、微分法则： 4. 可导的必要条件 5.可导的充分条件：
问：(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导？N (2)可否用求导公式判断函数是否可导？Y
二、解析函数：
1. 定义：
1.3 微商及解析函数
若w f(z) 在z 0 点及 N(z 0 , ε） 可导，则称 w f(z) 在z 0点解析。 若w f(z) 在区域内处处可导，则称 w f(z) 在区域内解析。
u v
1 v
1 u
一、微商及微分：
5.可导的充分条件：
1.3 微商及解析函数
(1) u x ,u y ;v x ,v y 均连续 (2) u,v 满足C R条件
解析函数
充分条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x x0 y y0
lim
f ( z) u iv v u lim i y y 0 z iy y y
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
柯西—黎曼条件的应用
(d)
g ( z) 0
f g ( z )
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
kx
的趋向得到不同的值，故原函数在z0=0 处不可导。 本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，仍然可 能不可导．那么C-R条件还需加上什么条件才能保 证函数可导呢？因此需要讨论可导的充分必要条件 .
定理
设函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f (z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与 v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足CauchyRiemann(柯西—黎曼)方程
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , r r v 1 du r r d
三、解析函数的概念
1、定义 若函数w=f (z)在点z0的及其邻域内处处可导，则称函 数w=f (z)在点z0处解析。 若函数w=f (z)在区域D内处处可导，则称函数w=f (z) 在区域D内解析，或称f (z)是区域D内的解析函数。 若w=f (z)在点z0不解析，则称点z0为w=f (z)的奇 点。
第三章第三节解析函数的Taylor展开
取极限z趋于z0，则由于级数在CR内的任一闭区域中一致收敛，故 有a0 = b0。 逐项微商，再取极限z趋于z0，又得a1 = b1，如此继续，即可证得
ak bk , k 0,1, 2,......
k 0
z z0
k
k 0
f k z0 k!
z z0 k
ak
1
2 i
f CR1 z0 k1d
f k z0
k!
(3.3.4)
(二) 解析函数Taylor展开的唯一性
给定一个在圆CR内解析的函数，则它的Taylor展开
是唯一的，即展开系数ak是完全确定的。
证：假定有两个Taylor级数在圆CR内都收敛到同一个解析函数f(z)
z不等于0时，各个单 值分支互相独立，各 自是一个单值函数， 可比照单值函数的展 开方法加以展开。
自己推导结果
ln z n2i z 1 z 12 z 13 ...... z 1 1.
2
3
........................................................... 3.3.10
§3.3 解析函数的Taylor展开
(一) 解析函数Taylor展开的定理 (二) 解析函数Taylor展开的唯一性 (三) 解析函数Taylor展开的应用举例
第二节：幂级数之和在收敛圆内部为解析函数。 问题：如何把一个解析函数展开为幂级数？ (一) 定理
设函数f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的
任意z点，f(z)可展开为幂级数， f z ak z z0 k ,
f
1. 解析函数
第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程
第一章 复变函数及其导数
§1.1 复数及运算
§1.2 复变函数
§1.3 复变函数的导数
§1.4 解析函数 §1.5* 多值函数 §1.6* 平面标量场
§1.1 复数及运算
• （一）复数的概念：
x1 y2 x2 y1 2 y1 y2 4. 除法运算：两个复数相除 z1 x1x2 i 2 2 2
等于它们的模相除，幅角 相减； 5. 共轭运算：复数z=x+iy的 共轭复数为z*=x-iy
z2
x2 y2 x2 y2 r 1 cos(θ1 θ2) isin(θ1 θ2) r2 r1 exp[i(θ1 θ2)] r2
Argf '(z0)
w=f(z)
df (z0 ) dz (t0 ) d dt t t0 dz dt
B. 保角映射：z平面上的两条相交的参 数曲线C1和C2，经过函数w=f(z)映射到 w平面上，则曲线f(C1)和f(C2)的夹角保 持不变。
C1 C2
C. 导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的 任何曲线在z0的伸缩率.
个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
zz 2z z 2 例1. 求lim 的极限。 2 z 1 z 1
z 例2. 证明极限 lim 不存在。 z 0 z
•
（二）复变函数的连续性
1. 我们称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果它满足
A. f(z0)存在； B. lim f(z)存在; C. lim f(z) f(z0).
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小结
一、微商及微分：
1、微商： 2、微分：
f (z) lim Δf Δz 0 Δz
dw f (z)dz
5.解析函数的物理解释：
以平面静电场为例（也适合于其他标量场）：电势
(x,y)在平面的无源即无电荷区域满足二维拉氏方程
2
x2
2
y 2
0
则由解析函数的性质，可由一解析函数
f(z) u iv来描绘该电场称为复势。
解析函数图例
1.3 微商及解析函数
1.3 微商及解析函数
1.3 微商及解析函数
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
2.必要条件：由解析定义和可导必要条件可得：…
3.充分条件：由解析定义和可导充分条件可得：…
例 证明： f (z) ex (cos y i sin y)在复平面 解析，且f (z) f (z).
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
4.解析函数的部分性质
若 f(z) u iv H ( )
e.g pn (z) a0 a2z nan zn1
一、微商及微分：
4. 可导的必要条件
u x
v y
v
u
x y
1.3 微商及解析函数
C-R条件
一、微商及微分：
1.3 微商及解析函数
注意: （1） C-R条件只是可导的必要条件，不是 充分条件
w f(z) 在区域内解析。
引入记号
f (z)H()
－表示f (z)在区域内解析。
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
注：（1）凡说解析都是指在某点或某区域解析
（2）函数在某点解析是比在某点可导严格得多的
条件，两者并不等价。
e.g. f (z) z , 在z 0点可导却不解析。
(3) f(z)在区域σ内解析和可导是完全等价的。 (4) f(z)的不解析之点称为奇点。 (5) 解析函数又称为正则函数或全纯函数。
（2） C-R条件的极坐标形式为：
u 1 v
v
1 u
一、微商及微分：
5.可导的充分条件：
(1)
u x ,u y ;v x ,v y
均连续
(2) u,v 满足C R条件
1.3 微商及解析函数
一、微商及微分：
1.3 微商及解析函数
注： 由C-R条件可得：
u
x v
i i
v
x v
dy
g(x)
u y g(x)
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
u
v
x g '(x) y 1, g (x) x c
u x - y c f (z) x - y c i(x y)
x iy i(x iy) c
z(1 i) c
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
一、微商及微分：
1、微商：
w f(z) 是 z点及 N(z, ε） 的单值函数，
若 lim Δf lim f z z f (z) 存在有限，
Δz Δz0
Δz0
Δz
则记 f (z) lim Δf ，称为f(z) 在z点的导数。 Δz0 Δz
一、微商及微分：
1.3 微商及解析函数
e.g f(z) z2
(z2) lim Δf lim (z z)2 z2
Δz Δz0
z0
z
lim (2z z)z 2z
z0
z
注意：（1） z 0的方式必须是任意的
(zn ) nzn1
在实函数中： f (x) lim f x0 x
x0
一、微商及微分：
而在复变函数中：
f (z) lim f z0 z
e.g f (z) Re z
1.3 微商及解析函数
z0
lim lim f
Re( z z) Re z
z0 z
z 0
z
lim lim
Re z
x
z0 z
z0 z
一、微商及微分：
lim f z0 z
lim
x0
y0
x x iy
0
lim
x0
y 0
x x iy
1
1.3 微商及解析函数
z
z
∴ f (z) Re z，在复平面处处不可导。
一、微商及微分：
1.3 微商及解析函数
注意：（2）可导必然连续，反之则未必； 如f (z) Re z x在“复平面”
中处处连续，但却处处不可导。 （3）可导与连续不同，由实部与虚部在
某一点连续，可以断定复变函数连续， 但是由实部与虚部在某点可导，并不 能判断函数可导；
e.g f (z) Re z
一、微商及微分：
2. 微分 若
w f (z)
记
dw f (z) dz
[or df f (z) dz]
则
f (z) dw ( df )
dz dz
1.3 微商及解析函数
-微分 -微商
一、微商及微分：
3. 求导、微分法则：
1.3 微商及解析函数
实函中求导、微分法则在此 皆实用。
[ f1(z) f2(z)] f1(z) f2(z) [ f1(z) f2(z)] f1(z) f2(z) f1(z) f2(z)
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
例 已知 v(x, y) x y, 求解析函数 f (z) u iv
（1）用全微分法
du u dx u dy v dx v dy dx dy x y y x
u d(x y) c x y c
（2）用积分微分求
u
udy y
g(x)
v x
f
( z )
y u
i
x u
x y
v y
i
u y
问：(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导？ (2)可否用求导公式判断函数是否存在？
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
1. 定义：
若w f(z) 在z0 点及 N(z0, ε） 可导，则称
w
f(z)
在z
点解析。
0
若w f(z) 在区域内处处可导，则称
Mathematical Methods in Physics 东北师范大学 物理学院
第一篇 复变函数论
Theory of Complex Variable Functions
第一章 解析函数论
Theory of Analytic Functions
东北师范大学 物理学院
§1.3 微商及解析函数
则 （1） u 0 , v 0 且由C-R连系着
（2） u v 0
（3） 已知u 或v 均可求出解析函数
（4） 解析函数的和、差、积、商仍为解析函数
问注：：若若f(zΔ) (xξ,(yx),y)0，iη即(x,yx2)2,且 Δy2ξ2 00，,Δ 0
能否 则称判断(x,fy()z为) 调H和(σ函)?数。