(完全)弹性碰撞后的速度公式

如何巧记弹性碰撞后得速度公式

一、“一动碰一静”得弹性碰撞公式

问题:如图１所示,在光滑水平面上,质量为ｍ１得小球,以速度v1与原来静止得质量为m ２得小球发生对心弹性碰撞,试求碰撞后它们各自得速度？

图１

设碰撞后它们得速度分别为ｖ1'与v2＇,在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能(动能)守恒定律得:

m1ｖ1=ｍ1v1'+ｍ2v2＇①

②

由①③

由②④

由④/③⑤

联立①⑤解得

⑥

⑦

上面⑥⑦式得右边只有分子不同,但记忆起来容易混。为此可做如下分析:当两球碰撞至球心相距最近时,两球达到瞬时得共同速度ｖ共,由动量守恒定律得:

m1v1= (ｍ1+m2) v共

解出ｖ共=m1v1 /(m1＋m2)。而两球从球心相距最近到分开过程中,球ｍ２继续受到向前得弹力作用，因此速度会更大,根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即,而这恰好就是⑦式,因此⑦式就可上述推理轻松记住,⑥式也就不难写出了。如果⑥式得分子容易写成ｍ2-ｍ１,则可根据质量m１得乒乓球以速度ｖ1去碰原来静止得铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此ｖ１'应当就是负得(ｖ1＇<０）,故分子写成m1－ｍ2才行。在“验证动量守恒定律”得实验中，要求入射球得质量ｍ１大于被碰球得质量m2,也可由⑥式解释。因为只有m1＞ｍ２，才有v１'＞０。否则,若v1＇＜0,即入射球m1返回，由于摩擦,入射球ｍ1再回来时速度已经变小了，不再就是原来得v1＇了。

另外，若将上面得⑤式变形可得:,即碰撞前两球相互靠近得相对速度v1-0等于碰撞后两球相互分开得相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。

二、“一动碰一动”得弹性碰撞公式

问题:如图2所示,在光滑水平面上，质量为ｍ1、m2得两球发生对心弹性碰撞,碰撞前速度分别为v1与v２,求两球碰撞后各自得速度？

图2

设碰撞后速度变为v1'与v2',在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得:

m１v1+m２v2＝m1v1'+m2ｖ2'①

②

由①③

由②④

由④/③⑤

由③⑤式可以解出

⑥

⑦

要记住上面⑥⑦式更就是不容易得,而且推导也很费时间。如果采用下面等效得方法则可轻松记住。m１、m2两球以速度v１与ｖ２发生得对心弹性碰撞,可等效成m１以速度v1去碰静止得m2球,再同时加上ｍ２球以速度碰静止得ｍ1球。因此由前面“一动碰一静”得弹性碰撞公式,可得两球碰撞后各自得速度+；+,即可得到上面得⑥⑦式。

另外,若将上面得⑤式变形可得：,即碰撞前两球相互靠近得相对速度v1- v２等于碰撞后两球相互分开得相对速度。由此可轻松记住⑤式,再结合①式可解得⑥⑦式。

例题:如图3所示，有大小两个钢球，下面一个得质量为m2,上面一个得质量为m1,ｍ2=３m1。它们由地平面上高h处下落。假定大球在与小球碰撞之前，先与地面碰撞反弹再与正下落得小球碰撞,而且所有得碰撞均就是弹性得,这两个球得球心始终在一条竖直线上,则碰后上面m1球将上升得最大高度就是多少？

图３

解法1:

设两球下落h后得速度大小为v1,则

v12=２gｈ①

选向上为正方向,m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度－v１下落得m1球发生弹性碰撞,设m1与ｍ２两球碰撞后瞬间得速度分别变为ｖ1＇与ｖ2',在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能(动能)守恒定律得:

m1（－ｖ１）+m2ｖ１＝m1ｖ1'＋m2v2＇②

③

将m２＝３m１代入,得

2ｖ1=v１＇＋3v2'④

⑤

由④⑤式消去v２＇得：

即

故解出v1'=v1(舍去,因为该解就就是m1球碰前瞬间得速度）

v1＇=2v1 ⑥

设碰后上面球m１上升得最大高度为h',则

０－v1'２=-2gh'⑦

联立①⑥⑦式解出ｈ'=４ｈ。

解法2：

在解法1中，列出②③式后,可根据前面介绍得用等效法得到得“一动碰一动”得弹性碰撞公式，求出m1球碰撞后瞬间得速度ｖ1'。

选向上为正方向,m1、m2两球分别以速度－ｖ1与v1发生对心弹性碰撞,可等效成m1以速度－v1去碰静止得m2球,再同时加上m2球以速度ｖ1碰静止得m1球。因此m1球碰撞后得速度＋

将m２＝3m1代入得v１'=2ｖ1。

以下同解法１。

解法3:

在解法１中,列出②③式后,也可根据前面介绍得用等效法得到得“一动碰一动”得弹性碰撞公式,求出m２球碰撞后瞬间得速度v2'。

选向上为正方向，m1、ｍ2两球以速度－ｖ1与v1发生得对心弹性碰撞，可等效成m1以速度-ｖ1去碰静止得m2球,再同时加上m2球以速度v１碰静止得ｍ１球。因此碰撞后ｍ２球得速度

+

将ｍ2＝3m１代入解得v２＇=0。

从m１球开始下落到m1球上升得最大高度,对ｍ1、m２两球组成得系统,由能量守恒得: (m1＋m2)gｈ= m１ｇh＇

故解出h＇=4h。

解法4：

设两球下落h后得速度大小为v１,则

v1２=２gh ①

选向上为正方向，ｍ2球与地面碰撞后以速度ｖ1反弹并与正在以速度-v1下落得m1球发生弹性碰撞,若以m2球为参考系,则m１球以相对m２球为-2v１得速度去碰静止得m2球，由“一动碰一静”得弹性碰撞公式得:

由于碰前ｍ2球对地得具有向上得速度ｖ1,

故碰后m1球对地得速度为:＋ v1=2v1。

以下同解法１。

上面得解法1属于常规得数学解法,求解比较麻烦，用时间也比较长而且容易出错。而解法２、3、4直接应用巧记得到得弹性碰撞速度公式求解,简单而不易出错,就是比较好得选择。

二、知识归纳、总结:

(一)弹性碰撞与非弹性碰撞

１、碰撞

碰撞就是指相对运动得物体相遇时,在极短得时间内它们得运动状态发生显著变化得过程。

２、碰撞得分类(按机械能就是否损失分类)

(1）弹性碰撞：如果碰撞过程中机械能守恒,即为弹性碰撞。

(2)非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒得碰撞。

3、碰撞模型

相互作用得两个物体在很多情况下皆可当作碰撞处理,那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题,求解得关键都就是“速度相等”,具体分析如下:

(1）如图所示,光滑水平面上得Ａ物体以速度ｖ去撞击静止得B物体,A、B两物体相距最近时,两物体速度必定相等，此时弹簧最短,其压缩量最大。

(２)如图所示,物体Ａ以速度v0滑到静止在光滑水平面上得小车B上，当A在B上滑行得距离最远时,A、B相对静止,A、B两物体得速度必定相等。

(3)如图所示,质量为M得滑块静止在光滑水平面上,滑块得光滑弧面底部与桌面相切,一个质量为m得小球以速度v0向滑块滚来,设小球不能越过滑块,则小球到达滑块上得最高点时(即小球竖直方向上得速度为零)，两物体得速度肯定相等(方向为水平向右)。

(二)对心碰撞与非对心碰撞

１、对心碰撞

碰撞前后物体得速度都在同一条直线上得碰撞，又称正碰。

2、非对心碰撞

碰撞前后物体得速度不在同一条直线上得碰撞。