完全弹性碰撞

§3－7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞

一、碰撞（Collision ） 1．基本概念：

碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相对较短的时间内发生强烈相互作用的过程。

碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态发生明显的变化。

碰撞过程一般都非常复杂，难于对过程进行仔细

分析。但由于我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生碰撞的物体系来说，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用动量、角动量以及能量守恒定律对有关问题求解。 2．特点：

1）碰撞时间极短

2）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒

3）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计 3．碰撞过程的分析：

讨论两个球的碰撞过程。碰撞过程可分为两个过程。开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为恢复阶段。整个碰撞过程到此结束。 4．分类：根据碰撞过程能量是否守恒

1）完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）； 2）非弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）；

3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）。

二、完全弹性碰撞（Perfect Elastic Collision ）

在碰撞后，两物体的动能之和（即总动能）完全没有损失，这种碰撞叫做完全弹性碰撞。

解题要点：动量、动能守恒。

问题：两球m 1，m 2对心碰撞，碰撞前

速度分别为2010,v v ，碰撞后速度变为21,v v

动量守恒

2021012211v m v m v m v m +=+ （1） 动能守恒 2

20221012222112

1212121v m v m v m v m +=+ （2）

由（1） ()()22021011v v m v v m -=- （3）

由（2） ()()

2

2

2202210211v v m v v m -=- （4）

由(4)/(3) 202101v v v v +=+

或 122010v v v v －－= （5） 即碰撞前两球相互趋近的相对速度v 10-v 20等于碰撞后两球相互分开的相对速度v 2-v 1。由（3）、（5）式可以解出：

()()2110

1201222

12021021122m m v m v m m v m m v m v m m v ++-=

++-=

讨论：

21m m =，则102v v =，201v v =，两球碰撞时交换速度

020=v ，21m m <<则101v v －≈，02=v ，1m 反弹，即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。 若m 2<

三、完全非弹性碰撞（Perfect Inelastic Collision ）

如两物体在碰撞后以同一速度运动（即它们相碰后不再分开），这种碰撞叫做完全非弹性碰撞。

解题要点：动量守恒。

碰撞后系统以相同的速度运动v v v ==21

动量守恒 ()v m m v m v m 21202101+=+ 所以 2

120

2101m m v m v m v ++=

动能损失为

()()()2201021112

212202210122

12121v v m m m m v m m v m v m E -+=

+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆＝

四、非完全弹性碰撞

两物体碰撞时，由于非保守力作用，致使机械能转换为热能、声能、化学能等其他形式的能量，或者其他形式的能量转换为机械能，这种碰撞就叫做非弹性碰撞。

解题要点：动量守恒、能量守恒。

由于压缩后的物体不能完全恢复原状而有部分形变被保留下来，因此系统的动量守恒而动能不守恒。 实验表明，压缩后的恢复程度取决于碰撞物体的材料。牛顿总结实验结果，提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度v 2-v 1与碰撞前两球的接近速度v 10-v 20之比为以定值，比值由两球材料的性质决定。该比值称为恢复系数（Coefficient of Restitution ），用e 表示，即

20

101

2v v v v e --=

由上式可见：e =0，v 2=v 1，为完全非弹性碰撞；

e =1，v 2=v 1= v 10-v 20，为完全弹性碰撞； 0

()()2

110

1201222

120

210211)1()1(m m v m e v em m v m m v m e v em m v +++-=

+++-=

例题：如图所示，质量为1kg 的钢球，系在长为l =的绳子的一端，绳子的另一端固定。把绳子拉至水平位置后将球由静止释放，球在最低点与质量为5kg 的钢块作完全弹性碰撞。求碰撞后钢球升高的高度。 解：本题分三个过程：

第一过程：钢球下落到最低点。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。 mgl mv =2

02

1 (1)

第二过程：钢球与钢块作完全弹性碰撞，以钢球和钢块为系统，动能和动量守恒。

22202

1

2121MV mv mv += (2) MV mv mv +=0 (3)

第三过程：钢球上升。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。

mgh mv =2

2

1 (4) 由(2)、(3)可得

()

2

220MV v v m ＝- (5)

()MV v v m =-0 (6) (6)/(5)，得 V v v =+0

代入(2) ()v v M mv mv ++=00 因而 0v M m M m v ⎪⎭

⎫

⎝⎛+-= (7)

(4)/(1)，得

l h

v v =202

(8)

(7)代入(8) l M m M m h 2

⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=

代入数据，得 m 356.08.051512

=⨯⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=h