数理方程第12讲勒让德多项式

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勒让德多项式

勒让德多项式[编辑]维基百科，自由的百科全书伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。

数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。

勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。

当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。

当方程满足|x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。

并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ±1 点亦有有界解。

这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。

勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：目录 [隐藏]1 正交性2 部分实例3 在物理学中的应用4 其他性质4.1 奇偶性4.2 递推关系5 移位勒让德多项式6 分数阶勒让德多项式7 参见8 外部链接9 参考文献正交性[编辑]勒让德多项式的一个重要性质是其在区间−1 ≤x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：其中δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。

事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。

之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题：其中本征值λ对应于原方程中的n(n+1)。

部分实例[编辑]下表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式：n12345678910头6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：在物理学中的应用[编辑]在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开：其中和分别为位置向量和的长度，为两向量的夹角。

勒让德多项式具有正交性

伯努利·巴勒·德多项式（Hermite polynomial）是一类具有独特正交性质的多项式。

这类多项式于1805年由法国数学家丹尼尔·伯努利·巴勒（Daniel Bernoulli）提出，其中最简单的为偶多项式。

伯努利·巴勒·德多项式主要应用在数学物理中，特别是在统计力学领域，也是重要的数学物理函数的基础。

普通的德多项式不具有正交性，但伯努利·巴勒·德多项式具有正交性。

伯努利·巴勒·德多项式具有两个特点：一是伯努利·巴勒·德多项式相互之间是正交关系，并且可以满足伯努利·巴勒·德多项式的正交性；二是伯努利·巴勒·德多项式的系数是递推的，即由更低阶的伯努利·巴勒·德多项式的系数递推出更高阶的伯努利·巴勒·德多项式的系数。

正交性是指在一个空间中，向量之间的正交关系，它的性质比正交多项式的正交好，正交多项式的性质只满足正交矩阵的性质，但不满足反正交多项式的正交性。

而伯努利·巴勒·德多项式的特点是可以满足反正交多项式的正交性，这类多项式在实践中已经被广泛应用，尤其在以多项式构建基础数据库方面用途术语。

伯努利·巴勒·德多项式的函数具有许多深刻的数学性质。

它的正交性和递推式可以极大地简化和确定函数的属性。

因此，正交多项式最为强大的优点之一是可以非常精确地描述和表达复杂的函数。

它可以用来预测并解决各种物理问题，其中包括量子物理和反应力学等。

从一定程度上讲，伯努利·巴勒·德多项式的函数更加准确和稳定，它具有更强硬的特性和性能。

综上所述，伯努利·巴勒·德多项式具有独特的正交性质。

它可以准确地表达复杂的函数，在实践中已经有广泛的应用，尤其是在统计力学，量子物理和反应力学等领域。

勒让德多项式递推公式证明

勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。

本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。

以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。

以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。

以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。

以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。

递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。

我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。

勒让德多项式的微分表达式

勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式是一种多项式的特殊形式，它的函数形式是可以用来表示微分表达式的。

它是由著名数学家勒让德几何学家首先提出的，由他十九世纪晚期提出的“笛卡尔方程”演变而来。

在几何学领域，勒让德多项式用来表达曲面函数的导数。

它可以用来表示二维和三维空间中的曲面，也称为曲面变换，因为它具有多种类型的函数生成的曲面的几何性质。

其形式如下：f（x，y）=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2+a6x2y+…该多项式中的a0，a1，a2，a3等参数都是曲面上随着x、y变化而变化的常数值。

这些参数对曲面变换有重要作用，因此在使用勒让德多项式时必须将其正确地估计出来。

另一方面，勒让德多项式也可以用来表示微分表达式，它的函数形式如下：f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…该函数的导数是多项式的系数的变化，它可以用来求出函数的斜率。

对于勒让德多项式，为了求得它的导数，可以采用微积分的方法。

该方法可以帮助我们求出多项式的导数。

具体的，我们可以把勒让德多项式的函数式化为整数多项式，然后依次进行微积分计算，以获得该多项式的微分表达式。

例如，当x = 1时，从勒让德多项式可推算出其函数式为：f（x）=3+2x+x2+x3因此，对于上述函数，可以得出其导数为：f′（x）=2+2x+3x2从上面得出的结果可以看出，我们可以通过微积分的方法来解决勒让德多项式的微分表达式。

而勒让德多项式的应用广泛，它可以用于近似求解各种二阶和三阶的微分方程。

在物理学、机械工程、计算机科学等领域都可以使用勒让德多项式进行运算。

总之，勒让德多项式是一种有特殊含义的多项式，用于表示微分表达式。

它可以用来求解一些复杂的方程，并有在数学领域及其他许多领域的广泛应用。

勒让德多项式系数怎么计算

勒让德多项式系数怎么计算
勒让德多项式系数是指应用多元函数加以确定时所使用的系数。

最早的应用可
追溯到16世纪的计算机勒让德。

此后，这一概念被越来越广泛地应用于多元函数
理论中。

特别是利用计算机进行多元函数数据处理，亟待求解各类函数多项式系数，诸如求解多项式拟合及绘图等应用场合。

以多项式拟合为例，要求求解出系数，便必须先确定拟合时使用的函数形式。

一般来讲，当实验结果为n个点时，需要估计的拟合函数参数总数就等于n阶多项式的项数。

此外，我们还可以将多项式系数看作是函数的参数和参数的函数。

一旦将函数的参数和参数的函数建模，就可以将其应用于诸如数据拟合、回归分析等实际工程问题中。

由此可以看出，要求求解多项式系数时，我们必须首先确定多项式的阶数和拟
合函数的形式。

一旦完成了这些准备工作，就可以使用一些有效的数值计算方法来计算多项式系数，如拟牛顿迭代、牛顿插值、放射插值等等。

诸如此类的各类数值计算方法在数值分析的学科中都有着重要的地位，而互联网也提供了大量的实现这些算法的软件工具，使得我们可以更容易、更快速地求解出多项式系数。

勒让德多项式的微分表达式

勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式是很多数学领域中应用广泛的多项式，它的微分表达式是这个领域的重要组成部分。

本文将概述勒让德多项式的微分表达式，讨论其特点及应用。

勒让德多项式的定义
勒让德多项式是由英国数学家约翰勒让德在18th世纪提出的。

在数学上，它是一种形式如下的多项式：
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
其中，a0、a1、a2、a3…an是实数，n是正整数。

勒让德多项式的微分表达式
从数学角度来看，勒让德多项式的微分表达式是由它的各项构成的：
dPn(x)/dx = a1 + 2a2x + 3a3x2 + + nana-1xn-1 从这个公式可以清晰地看出，在求勒让德多项式的导数时，各项的系数a1,a2,a3…an也将会发生变化。

勒让德多项式的特点及应用
勒让德多项式是一种经典的数学函数，它在许多数学领域都应用得很广泛，同时它也具有一些独特的特点。

首先，勒让德多项式可以用来描述复杂的常量变化过程，例如如果需要描述某种曲线的方程，可以考虑勒让德多项式，因为它能够把该曲线表示出来。

其次，勒让德多项式的微分表达式也是它的一个重要特点，它的
微分表达式可以用来求解曲线某个点的斜率，也可以用来求解某个函数在某一点处的单位切线的斜率。

最后，勒让德多项式也可以用来研究物体在几何上的变形过程，例如用它来分析某个几何图形变形时的变化规律。

总结
本文介绍了勒让德多项式的定义，以及它的微分表达式，并讨论了其特点及应用。

勒让德多项式

数学物理方法于承斌泰山医学院第十六章勒让德函数球坐标系中求解物理方程,解函数是一类特殊函数,其形式为多项式，最早研究的是法国数学家勒让德，故称其为勒让德函数以及勒让德多项式。

§16.1 勒让德多项式的定义及表示16.1.1. 定义及级数表示oϕθr xyz勒让德方程0,21(1)2c n n ⋅+−x+ x+4(23)2(1)!(2)!(24)!,n n n n n −−−−,0,1,2,,m =⎢ 220(22)!()(1)2!()!(2)!l k l k l l k l k P x x k l k l k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−=−=−−−∑()l P x 221112122112(!)d d 1d (1)d d (1)d d (1)d d l ll l l l llll x l x x x x x x−−−−−⋅−⎢⎥⎣⎦⎡−−⋅⎢⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∫∫注意到lllx x x )1()1()1(2+−=−以1±=x 为l 级零点，故其(1)l −阶导数121d (1)d l ll x x −−−必然以1±=x 112121222111(1)d (1)d (1)d 2(!)d d l l l ll ll l x x N x l x x−+−+−−−−=∫再进行l 次分部积分，即得221222221(1)d (1)(1)d 2(!)d ll llll l x N x x l x−−−=−∫为一级零点，从而上式已积出部分的值为零lx )1(2−是l 2次多项式，其l 2阶导数也就是最高幂项lx2的l 2阶导数为)!2(l ．故12221(2)!(1)(1)(1)d 2(!)ll llll N x x xl −=−−+∫再对上式分部积分一次112112211111221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d 2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d 2(!)1ll l l l ll l l l l l N x x l x x x l l l l x x x l l −+−−−+−⎡⎤=−⋅−+−−+⎢⎥⎣⎦+=−⋅−−++∫∫容易看出已积出部分以1±=x 为零点．至此，分部积分的结果是使)1(−x 的幂次降低一次，)1(+x 的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．继续分部积分（计l 次），即得120222112121(2)!11(1)(1)(1)(1)d 2(!)122112(1)22121ll lll l l l l l N x x x l l l l x l l −+−−=−⋅−⋅⋅⋅−+++=⋅+=++∫ 故勒让德多项式的模为122+=l N l ),2,1,0( =l 且有112P ()P ()d 21l lx x x l −=+∫=2m P ++16.2.4. 勒让德多项式的递推公式利用母函数(16.1.13)对x求导, 勒让德多项式有以下的递推公式11(2)(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +−+=+−1(3)()()()n n n nP x xP x P x −′′=−1(4)'()()(1)()n n n P x xP x n P x +′′=++11(1)()'()2'()'()n n n n P x P x xP x P x +−=−+11(5)(21)()()()n n n n P x P x P x +−′′+=−21(6)(1)'()()()n n n x P x nxP x nP x −−=−1(7)(21)()'()'()nln n l l P x P x P x +=+=+∑例16.2. 1求积分11P ()P ()d l n I x x x x−=∫【解】利用递推公式（2）11(1)P ()(21)P ()P ()k k k k x k x x k x +−+=+−．(1)k ≥故有1111111111111P ()P ()d {[(1)P ()P ()]}P ()d 211 P ()P ()d P ()P ()d 2121l n l l n l n l n I x x x x l x l x x x l l lx x x x x x l l +−−−+−−−==++++=+++∫∫∫∫22 (1)412(1) (1)(23)(21)0 (1)nl n n n l n n n l n ⎧⎪=−−⎪⎪+==+⎨++⎪⎪⎪−≠±⎩例16.2. 2求积分1P ()d l I x x=∫【解】利用递推公式（5）11110011101111P ()d d[P ()P ()]2111[P ()P ()][P (0)-P (0)]2(120)1=1l l l l l l l l I x x x x l x x l l l P +−−+−+−==−+=−=+++∫∫112x 0(1)(0)(21)0(0)(0)n n n n P n P nP +−+=+−利用递推式：令=代入11(0)(0)1l l lP P l −+−=+(1)(21)!!21(22)k k l k k −−=++!!02l k =111001P ()d d 12x x x x l ===∫∫11000P ()d d 1x x x l ===∫∫⎧⎪=⎨⎪⎩例16.2. 3求积分1P ()d l Ix x x=∫【解】利用递推公式（5）1111001111011021012011P ()d d[P ()P ()]211[P ()P ()]|[P ()P ()]d 2121P (0)P (0)P (0)1[-] = -212(2)(1)1d 021d 13021(1)(23)!!2(22)!!l l l l l l l l l l k I x x x x x x l x x x x x x l l l l ll l x x l x x l l k k l k +−+−+−−+==−+=−−−++=−+++−======+−−=+∫∫∫∫∫k⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1101P ()d P (0)1∵l l x x l −=+∫112(0)(0)1(0)(0)1l l l l lP P l lP P l −+−−=+−=−例16.2. 4利用递推公式（2）可得如下结果；212021P ()P ()P ()33x x x x x ==+3212021P ()[P ()P ()]33x x x x x x x x x =⋅=⋅=⋅+3123P ()P ()55x x =+43142023841[P ()P ()]P ()P ()P ()553575x x x x x x x =+=++1()P x x=221()(31)2P x x =−331()(53)2P x x x =−4241()(35303)8P x x x =−+111()[(21)()()]1l l l P x l xP x lP x l +−=+++特别1()P x x=∵利用递推公式（2）P (cos )n θ，这时有0(cos )P (cos )n n n f C θθ+∞==∑θcos =x ,此时勒让德方程的解为在实际应用中,经常要作代换π21(cos )P (cos )sin d 2n n n C f θθθθ+=∫其中系数为结论1：设k 为正整数，可以证明：222222200212121232311P ()P ()P ()P ()P ()P ()k k k k k k k k k k x C x C x C x xC x C x C x −−−−−−−=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数()f x 为奇函数，则展开式的系数20n C =；若需展开的函数()f x 为偶函数，则展开式的系数.210n C +=0,1,2,3,n =⋅⋅⋅例16.2.6以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把3()234f x x x =++展开为广义傅里叶级数．【解】本例不必应用一般公式，事实上，()f x 是三次多项式，设它表示为3323012323021323234P ()111(31)(53)221335()()2222n nn x x C x C C x C x C x x C C C C x C x C x=++==⋅+⋅+⋅−+⋅−=−+−++∑比较同次幂即得到3210421, 0, , 455C C C C ====由此得到30132142344P ()P ()P ()55x x x x x ++=++例16.2.7将函数cos 2 (0π)θθ≤≤展开为勒让德多项式P (cos )n θ的形式【解】用直接展开法令cos x θ=，则由22cos 22cos 121x θθ=−=−我们知道：20121P ()1, P (), P ()(31)2x x x x x ===−可设200112221P ()P ()P ()x C x C x C x −=++10C =2202121(31)2x C C x −=+−由20,x x 项的系数，显然得出2041, 33C C ==−02021414cos(2)P ()P ()P (cos )P (cos )3333x x θθθ=−+=−+考虑到勒让德函数的奇偶性，显然。

勒让德多项式是区间什么的正交函数

勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。

本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。

一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。

根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。

勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。

二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。

3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。

三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。

在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。

在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。

勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。

在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。

勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。

通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。

勒让德多项式的微分表达式

勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式是高等数学中一个非常重要的概念，它是一类特殊的多项式，有着优良的数学特性，并且在实际的科学研究中被广泛应用。

它的微分表达式也被广泛采用，因为它可以表示变量的变化，并且可以更直观地体现数学模型。

本文旨在介绍勒让德多项式的微分表达式，以期对勒让德多项式的微分表达式有更深入的了解。

首先，我们需要了解勒让德多项式的定义。

勒让德多项式是一类多项式，它以带有一定规律的系数表示，其标准形式为：a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0=0 其中，n是多项式的次数，a_n, a_{n-1}, a_{n-2},…, a_1, a_0是多项式的系数。

接下来，我们来讨论勒让德多项式的微分表达式，它可以通过对多项式的每项进行微分，并根据次数进行指数变化，来得到。

下面我们来看一个例子，如多项式f(x)=x^4+2x^2-3x+4，它的微分表达式可以表示为：f’(x)=4x^3+4x-3可以看到，所得到的微分表达式只有一项，并且是对原多项式每项的指数变化、系数变化的综合反映，其公式是：f’(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+(n-2)a_{n-2}x^{n-3}+... +2a_2x+a_1此外，我们还可以使用一些特殊的技巧来求解勒让德多项式的微分表达式。

首先，无论多项式有多少项，它们都可以被写作一阶分式的形式：f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)其中，a_n是多项式的系数，x_1, x_2,…, x_n是多项式中全部根的表达式，他们都可以由简化的过程得到。

按照这种形式，勒让德多项式的微分表达式可以很容易地算出。

最后，为了更直观地理解勒让德多项式的微分表达式，我们可以使用拉格朗日的偏微分法，通过对多项式的拉格朗日函数进行求导来计算多项式的微分表达式。

例如，f(x)=x^4+2x^2-3x+4应的拉格朗日函数是：L=x^4+2x^2-3x+4-l_x其中，l_x拉格朗日变量，他可以看成是多项式中的未知数，通过对拉格朗日函数进行求导可以得出：f’(x)=4x^3+4x-3这也就是我们最终求解的勒让德多项式的微分表达式了。

勒让德多项式及性质

例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数
f ( x) 2 x 3 3x 4 在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
1 1 2 P2 ( x) (3x 1) (3cos 2 1) 2 4 1 1 3 P3 ( x) (5x 3x) (5cos3 3cos ) 2 8 1 1 4 2 P4 ( x) (35x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15x) (63cos5 35cos3 30cos ) 8 128 1 1 P6 ( x) (231x6 315x4 105x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
前面已学：勒让德方程在x 1有自然边界条件： x 1 有限，从而构成 y 本征值问题，本征值是l (l 1), l 0,1, 2, 3..., 在l为整数条件下，勒让德方程的两个线性独立特解y ( x ) a0 y0 ( x ) a1 y1 ( x )之一退化为l次多项式。 z l为2k (偶数): a y ( x) ~
l 2n (n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( )
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
二、勒让德多项式
1、前几个勒让德多项式: （注意到 x cos ) P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 11.1
2、勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dx l

勒让德多项式的应用

第五章勒让德多项式的应用
19

3(2 x 2 1) 1 6 x 2 2 An Pn ( x),
n0
注意，由于6 x 2 2 是二次多项式，而且是偶函数，因此， A2 n1 0, (n 0,1,2, )
第五章勒让德多项式的应用
15

u (r , )

n 0
An r n Pn (cos )
勒让德多项式的应用
一函数按勒让德多项式展开按照斯图姆—刘维尔固有值理论，勒让德多项式Pn ( x) 组成区间 [-1,1]上的完备正交函数系(其构成了基), 对于定义在区间 [-1,1] 上具有一阶连续导数且分段连续的二阶导数的函数 f ( x) ，就可按这个固有函数系展开成绝对且一致收敛的级数（称为傅里叶—勒让德级数）： f ( x) cn Pn ( x), (1 x 1), (4.1)
2n d 2 n 1 2 2 n 1 x 1 dx dx x 0 0
1
第五章勒让德多项式的应用
5
2n 4n 1 d 2 n 2 2 c2 n 2 n x 1 2 2n ! dx 2 n 2
且v 0(r ).
类似于(1)的解法，可设：
v(r , )
A r
n n 0
n 0

n
Bn r n1 Pn (cos ),

当 r 时, v 趋于零，所以 An 0, (n 0,1, 2,), 即有
v(r , ) Bn r ( n 1) Pn (cos ),
11
附：证明
1 1 U d 1 2r cos r 2

勒让德多项式的微分表达式

勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式的微分表达式是一个有趣的数学概念，它可以帮助我们推导出一个多项式在特定点处的导数。

与其他数学概念一样，尽管看起来可能很复杂，但当我们深入研究之后，发现它其实非常简单。

本文将探讨勒让德多项式的定义、示例以及其微分表达式的定义，并介绍其中的一些重要概念。

首先，什么是勒让德多项式？它是一种特定的数学表达式，它的形式为：f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中a0、a1、a2……an均为常数。

这种表达式很常见，它是多项式的一种特殊形式，可以用来描述一组数据的形状和走势。

它的特点是每项的指数均以x的n次方开头，这也是它得名的由来。

其次，可以看一个具体的勒让德多项式案例，如下：f(x)=(1/2)x2+4x+7。

可以看出，它包含三个指数：(1/2)x2、4x和7。

它的最大指数可以使用下面的公式求得：n=2，因此其最大次幂为2。

再次，什么是勒让德多项式的微分表达式？它可以描述一个多项式在特定点处的导数，以上面的示例来说，这个表达式是：f(x)=x2+4。

在这里，f(x)表示函数f(x)在x点处的导数。

与勒让德多项式有关的概念也同样有趣，比如最大次幂，它可以用来找出在特定点处函数的导数。

此外，还有一些重要概念与勒让德多项式有关，例如“微分指数表”，它可以用来计算特定点处函数的导数。

这里，指数表包含两个特别的操作：常数乘法微分和指数微分。

前者可以使用如下公式计算：[f(x)]=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中a0、a1、a2……an均为常数。

而指数微分也有自己的公式：[f(x)]=a0+a1x+a2x2+…+an(xn)，其中a0、a1、a2……an均为常数。

最后，我们来看一下用勒让德多项式的微分表达式来求解特定点处函数的导数的实际案例。

假设我们的多项式为f(x)=(1/2)x2-2x+3，那么我们可以用以上公式来求出它在x=4处的导数：f(4)=2x+(-2)=2*4+(-2)=6，即该多项式在x=4处的导数为6。

勒让德多项式正交性推导

勒让德多项式正交性推导假设$f(x)$是一个多项式，其中次数最高的项的次数是$n$。

我们希望证明$f(x)$满足勒让德多项式正交性，即：$\forall x \in \mathbb{R}, \int_{-\infty }^{\infty }f(x)f(x)dx=1$我们首先把$f(x)$的根式改写成：$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$我们知道积分$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)f(x)dx$等于$a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2$。

因此，我们需要证明$a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2=1$。

我们可以用下面的方式进行证明：首先，我们假设$f(x)$是一个非负函数（即$f(x) \geq 0 \, \forall x \in \mathbb{R}$），这意味着$a_0 \geq 0$和$a_i \geq 0$（其中$i=1,2,...,n$）。

由于$f(x) \geq 0 \, \forall x \in \mathbb{R}$，我们可以将积分$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)f(x)dx$改写为：$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)f(x)dx= a_0^2+\int_{-\infty}^{\infty}a_1x^2f(x)dx+\int_{-\infty}^{\infty}a_2x^4f(x)dx +\int_{-\infty}^{\infty}a_3x^6f(x)dx+...+\int_{-\infty}^{\infty}a_nx^nf(x)dx$我们知道$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$是一个常数，因此我们可以将它写为：$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=C$，其中$C$是一个正的常数。

数理方程第12讲勒让德多项式

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