1.2.1函数的概念(一)

§1.2.1函数的概念
(1)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中 目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的 高度(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律 2 是h=130t-5t .
§1.2.1函数的概念
(1)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中 目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的 高度(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律 是h=130t-5t2
§1.2.1函数的概念
1.请回忆在初中我们学过那些函数？ 答:正比例函数：y =kx (k≠0) ； 反比例函数： y k (k 0) x 一次函数：y =kx＋b (k≠0) 二次函数：y =ax2+bx+c (a≠0)
§1.2.1函数的概念
2.什么是函数（初中定义） 一般地,设在一个变化过程中有两个 变量x、y,如果对于x的每一个值,y都有唯 一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是 x的函数. 从上面概念知道：可以用函数描述变 量x，y之间的依赖关系。下面我们将 进一步的学习函数及其构成要素。 首先请看这几例子：
义域的交集. ⑥当函数y=f(x)是用表格给出时,函数的定义 域是指表格中实数的集合. ⑦当函数y=f(x)是用图象给出时,函数的定义域 是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合.
§1.2.1函数的概念
5.设 A { x | 0 ≤ x ≤ 2}, B { x | 1 ≤ y ≤ 2}. 下图表示从A到B的函数是( D)
§1.2.1函数的概念
【2】下列图象具有函数关系的是__和__. A D
y o x y o x y o 1 x
A
y o 1 x
B
y o x
C
y 1 o
-1
x
D
E
F
§1.2.1函数的概念
(设a, b为实数,且a<b)
闭区间:满足a≤x≤b的实数x的集合,记作 [a,b] 开区间:满足a＜x＜b的实数x的集合,记作 (a , b)
区间
(a,b) (a,b] [a,b) [a,b] (-∞ , +∞ ) [a , + ∞ )
名称
开区间 半开半闭区间
a＜x＜b { x | a ＜x ＜b }
闭区间
R x≥a x≤b x＞a x＜b
{ x | x ≤b }
{ x | x ＞a } { x | x ＜b }
(－∞ , b ]
(a,+∞) (－∞ , b )
根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}. 对于数集A中的每一个时刻t,按照图中的曲 线,在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.
(3)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民 生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量 越高.下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情 况表明, “八五”计划以来我国城镇居民的生 活质量发生了显著变化.
§1.2.1函数的概念
1.函数定义: 2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 3.区间的表示
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【2】下面函数中,哪个与函数 y = x 是同 一个函数? 2
(1) y ( x )
3
2
(3) y
x
3
(4) y
(2) y x x
x
2
分析:只需看其定义域和对应关系是否一致. (1)定义域不合题意:{x|x≥ 0};
“八五”计划以来城镇居民家庭恩格尔系数变化情况
时间
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997 1998
1999
2000
2001
恩格 尔系 53.8 数(%)
52.9
50.1
49.9
49.9
48.646.444.541.939.2
37.9
§1.2.1函数的概念
(3) 数 集 A={1991,1992,1993,1994,…,2001}, B={53.8％,52.9％,50.1 ％, …,39.2％,37.9 ％}且 数集A中的每一个时间(年份)按表格,在数集B 中都有唯一的恩格尔系数与之对应. 以上三个实例有那些公共的特点？
注意:函数值f(a)表示当x=a时函数ƒ(x)的值, 是一个常数;而f(x)是自变量的函数,它是一个变 量.
§1.2.1函数的概念
如何确定函数的定义域?
①若f(x)是整式,则函数的定义域为R; ②若f(x)是分式,函数的分母不为零; ③偶次根式的被开方数非负; ④零的零次方没有意义; ⑤组合型函数的定义域是各个初等函数定
§1.2.1函数的概念
(1)A, B 都是非空数集； (2)f : A →B确定了集合A到集合B上的函数; (3)函数的定义域为 A；值域{f(x)|x∈A} B,而 值域{f(x)|x∈A}由定义域,对应关系确定; (4)符号y=f(x)的理解 ①x是自变量,它是对应关系所施加的对象； ②f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式, 可以是图象,表格, 也可以是文字描述; ③y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f 与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式. (5)常用函数符号: ƒ(x) ,g(x), h(x), F(x), G(x)等.
y 2 y y 2 1 1 y 2 1
2
1
0
1 2 x
0
2 x
0
2 x
0
1
2 x
A
B
C
D
模拟试验
函数
图象 y
O
y
定义域 x
值域
y kx b
(k 0)
R
R
(k 0)
y
k y x
o
x
{ x | x 0}
{ y | y 0}
4acb y ≥ 4a
y ax 2 bx c
(a 0)
o
x
R
{y
2
}
§1.2.1函数的概念
. 1.判断下列对应关系是否为函数？ 2 （1）x , x 0, x R
(2)定义域不合题意:{x|x≠0};
(3)y = x 定义域为R,满足题意;
(4)对应法则不合题意: y = |x|.
§1.2.1函数的概念
例1.求下列函数的定义域： 2 (1) y x x 1 定义域为 R (2) y 1 定义域为{x|x≠－1} x 1
(3) y x 3 x 2.
1 2 x 3x 2 x+ 2 ≥ 0,
x ≥ 2, 且x 1, 且x 2. 故函数的定义域为 { x | x ≥ 2, 且x 1, 且x 2} (7) y 1 x 2 x 2 1. (6) y 5 x x 5.
5 x ≥ 0, x 5. x 5 ≥ 0,
半开半闭区间:满足a＜x≤b或a≤x＜b的实数x 的集合,分别记作(a, b],[a, b).
实数集R记作 (-∞,+∞),
“∞”不是一个 数,表示无限大的变化趋势,因此 作为端点, 不用方括号.
§1.2.1函数的概念
(设a，b为实数,且a＜b) 不等式
a＜x≤b a≤x＜b a≤x≤b
集合
{ x | a ＜x ≤b } { x | a ≤x ＜b } { x | a ≤x ≤b } { x | x∈R } { x | x ≥a }
①若f(x)是整式,则函数的定义域为R; ②若f(x)是分式,函数的分母不为零; ③偶次根式的被开方数非负; ④零的零次方没有意义; ⑤组合型函数的定义域是各个初等函数定
义域的交集. ⑥当函数y=f(x)是用表格给出时,函数的定义 域是指表格中实数的集合. ⑦当函数y=f(x)是用图象给出时,函数的定义域 是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合.
§1.2.1函数的概念
例3.求函数值 (1)二次函数f (x) = x2+x-2, -2 当 x=0时的函数值, 表示为 f(0)=____; 0 x=-2时的函数值,表示为 f(-2)=___;
a2+a -2 f(a)=_________;
f(0) =-2. f(f(1))=_________ (2)已知h(x)=sinx , 则 1 2 h(30) ______; h(45) ______; 2 2
3 h(60) _____. 2
§1.2.1函数的概念
例3.求函数值
(3)已知
2x 3 f ( x) , 3x 4
1 3 则 f (0) ___, f (2) __ . 10 4
x 1, x 0, π+1 （）已知 f ( x ) , 4 x 0, 则f{f[f(-1)]}=____. 0, x 0.
• 思考以下问题: • (1) 炮弹飞行1秒、8秒时距地面多高？ • (2) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和集 合B表示出来。
A={t|0≤t≤26}
B={h|0≤h≤845}
• (3)对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系,在B中 是否都有唯一确定的高度h和它对应?
§1.2.1函数的概念
以上三个实例的共同特点是: 对于数 集A中的每一个x，按照某种对应关系f, 在数集B中都有唯一的y和它对应.
§1.2.1函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定 的对应关系f,使对于集合Ａ中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那 么就称ƒ:A→B为从集合A到集合Ｂ的一个函数 (function). 记作: y=f(x),xA. 其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函 数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做 函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值 域(range).