第十章 机械振动与电磁振荡
理论力学 第十章振动
k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
机械振动和电磁振荡
特点： 特点：
有平衡点，且具有重复性。 有平衡点，且具有重复性。
周期性振动—在 时间内运动状态能完全重复 时间内运动状态能完全重复。 •• 周期性振动 在 T时间内运动状态能完全重复。 非周期性振动—在 时间内运动状态不能完全重复 时间内运动状态不能完全重复。 非周期性振动 在 T时间内运动状态不能完全重复。
取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为： 解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为： 其中A=0.12m, T=2s, ω = 2π T = π (s ) 其中 初始条件： 初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得 可得
−1
φ0 = ±π 3 0.12cosφ0 = 0.06 据初始条件 v0 = −ωAsinφ0 > 0, 得 φ0 = −π 3
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 由初始条件确定 (2)周期和频率 (2)周期和频率 周期：物体作一次完全运动所经历的时间。 周期：物体作一次完全运动所经历的时间。
x = Acos(ωt +φ0 ) = Acos[ω(T + t) +φ0 ]
f = −(h + y)ρSg + mg = −yρSg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为: 船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
ω=
因 得:
ρSg
m
m T= = 2π ω ρgS
2π
m = ρSh,
h T = 2π g
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系: 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:
弹簧振子： 连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和 弹簧振子： 一个不发生形变的物体系统。 一个不发生形变的物体系统。
第十章机械振动和电磁振荡
A ? x02 ? (v0 ? ?
v0
? x0
? ? ?
在 ? π 到 ? π 之间，通常 ? 0 存在两个值，可根据
v0 ? ?? Asin?0 进行取舍。
三、谐振动的旋转矢量图示法 ?
旋转矢量:一长度等于振幅 A的矢量 A在纸平面
内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的 角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。
?
?
2x
?
0
k m
?
?
2
动力学特征
4.简谐振动的运动学特征 :
位移： x ? Acos( ? t ? ? 0 )
速度：
v?
dx dt
?
? ? Asin( ? t ? ? 0 )
加速度： a
?
d2 x d t2
?
??
2 Acos(? t ?
? 0 )=
?
?
2x
——物体的加速度与位移成正比而方向相反，物 体的位移按余弦规律变化。
x = 0.12cos(πt - π 3) m
若用旋转矢量法求解 ?0 ，根据初始条件可画出 振幅的初始位置，如下图所示。 从而可得 ?0 ? ? π 3
O
x
f0
A
ω
(2) 由(1)求得的简谐振动表达式得
v ? d x ? ? 0.12πsin( πt ? π 3) m?s?1 dt
a ? d v ? ? 0.12π2 cos(πt ? π 3) m?s?2 dt
解: (1)取平衡位置为坐标原点 ,谐振动方程写为
x ? Acos(? t ? ?0 )
其中A=0.12 m,T=2 s, ? ? 2π ? π s?1
T
机械振动和电磁振荡
010203定义稳态受迫振动和非稳态受迫振动。
类型应用振荡频率电感线圈振荡的频率与电感量、电阻和电容有关，通过调节这些参数可以改变振荡频率。
振荡原理电感线圈中，当电流发生变化时，会产生感应电动势来阻碍电流的变化，从而产生振荡。
应用振荡电路是许多电子设备中的重要组成部分，如信号发生器、无线电等。
电感线圈振荡电磁场振荡电磁波传播电磁波传播原理电磁波的特性应用单摆模型描述物体在平衡位置附近往复运动的模型，可以用于描述机械振动和某些电磁振荡。
单摆的周期公式是 T =2π√(L/g)，其中L是悬摆的长度，g是重力加速度。
在不同的星球或不同的重力场中，单摆的周期会发生变化，因此可以用来测量重力场的变化。
弹簧质量模型弹簧质量模型的振动方程是 m(d^2x/dt^2) = -kx，其中m 是质量块的质量，k是弹簧的弹性系数。
解这个方程可以得到振动的频率和振幅，从而可以描述物体的振动特性。
描述一个质量块在弹性力作用下运动的模型，可以用于描述机械振动和某些电磁振荡。
电感线圈模型描述电感线圈在电磁场中运动的模型，可以用于描述某些电磁振荡。
电感线圈的动态方程是d^2i/dt^2 + R(di/dt) + (1/L) *(Li) = 0，其中i是电流，R是电阻，L是电感。
解这个方程可以得到电流的时间变化，从而可以描述电磁振荡的特性。
简谐振动的数学公式简谐振动的数学公式简谐振动的特点简谐振动的描述阻尼振动的数学公式阻尼振动的描述阻尼振动的数学公式阻尼振动的特点03受迫振动的特点受迫振动的数学公式01受迫振动的描述02受迫振动的数学公式1电感线圈振荡的数学公式23电感线圈在电流变化时会产生感应电动势，从而产生振荡。
电感线圈振荡的描述i=Icos(ωt+φ)，其中I为电流幅度，ω为角频率，φ为初相位。
电感线圈振荡的数学公式电感线圈的振荡频率由电路阻抗决定，与电源频率无关。
电感线圈振荡的特点机械振动在工程中的应用机器运转机械振动可以提高机器的运转效率和精度，如振动筛、振动电机等。
程守洙《普通物理学》(第5版)辅导系列-课后习题-第10章 机械振动和电磁振荡【圣才出品】
解得：
。
（2）当物体跳离平板时，物体受平板支持力为零。由（1）的结果可知，当振幅增大
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时物体将于最高处跳离平板，即 FN1＝0，所以有
，解得
。
10-6
图 10-5 所示的提升运输设备，重物的质量为 1.5×104 kg，当重物以速度
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第 10 章 机械振动和电磁振荡
10-1 一小球与轻弹簧组成的系统，按
的规律振动，式中 t 以 s 为单位，x 以 m 为单位。试求： （1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值； （2）t＝1 s、2 s、10 s 等时刻的相位各为多少? （3）分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
。 物体所受力大小为：
，又
。 ，故
方向与位移的方向相反，即指向平衡位置。
（3）由于
，因此有
，解得
位置运动到 x＝12 cm 处所需最少时间为： （4）由简谐运动物体的运动学方程可知，在 x 12cm 处
，又 。
，因此由起始
物体的速度为：
物体的动能为： 物体的势能为： 所以谐振动系统的机械能为：
。
4 / 27
＝15 m/min 匀速下降时，机器发生故障，钢丝绳突然被轧住。此时，钢丝绳相当于劲
度系数 k＝5.78×106 N/m 的弹簧。求因重物的振动而引起钢丝绳内的最大张力。
图 10-5
解：根据题意可知，机器发生故障时，重物与钢丝绳组成简谐振动系统，则有：
简谐运动系统的固有频率为： 谐振动速率的最大值为： 谐振动的振幅为： 重物在最低处时，受钢丝绳的拉力 T 和重力 mg 的合力方向向上，此时的拉力有最大
第十章机械振动和电磁振荡振动
x
F v
A
F
2
二、描述简谐振动的特征量
x(t)=Acos( t+ )
1、振幅 A (离开原点的最大距离) 2、振动圆频率 2 1 2 周期T T 3、相位 (1) ( t + )是 t 时刻的相位 (2) 是t =0时刻的相位 — 初相
3
解析法
x A o -A
x
2
x2
x1
2
t
0 A2
1
A1 x
超前、落后以小于 的 相位角来判断！！！
2 1
0 A1
x
7
例、振子的振动周期为12s，振子由平衡位置到正向最 大位置处所需的最短时间是多少？振子经历上述过程的 一半路程所需最短时间是多少？ 解： 旋转矢量转过的角度为 2 最短时间为： t2 x T 2 2 3s t 2 4 T 振子经历上述过程的一半路程时 t 1 旋转矢量转过的角度为 x 6 于是： T 6 6 1s t 3 2 12 T
8
例.一谐振动的振动曲线如图所示.求、以及振动方程 x 解：t = 0时x0 A v 0 0
t =1时
x1 0
3
2
π
A
3
x
A 2
A 0
1.0 t
Φ1 =ωt1 + j =ω × 1 π =π 3 2 π 5 x = A cos (6 πt 3 )
π Φ1 = 2
v1 0
第十章 机械振动和电磁振荡 振动：
物理量 (如位移、电流 等)在某一数值附近 反复变化。 机械振动 振 动 电磁振荡
{
受迫振动 自由振动
第十章 机械振动和电磁振荡
M = −mgl sin θ
sin θ = θ −
θ
3
3!
+
θ
5
5!
− ... ≈ θ
(θ 很小时) 很小时)
M = −mglθ
2
由转动定律 令
d θ M mglθ g = =− =− θ 2 2 dt J ml l
ω2 = g l
T = 2π ω = 2π g l
振动表达式： θ = θ m cos(ωt + ϕ 0 ) 振动表达式： 由初始条件求得。 角振幅 θm 和初相 ϕ0由初始条件求得。 当θ 不是很小时： 不是很小时： 很小时 单摆周期T与角振幅的关系为 单摆周期 与角振幅的关系为
t
-A1
较早达到正最大， 若 0<ϕ 20-ϕ 10<π，则 x2比x1较早达到正最大，称x2 落后)。 比x1超前 (或x1比x2落后 。 或
x
A1 A2
x1 x2
x2超前于 1 超前于x t
O
- A2 -A1
v = vm cos(ωt +ϕ0 + ) 2
π
a = am cos(ωt +ϕ0 ±π )
π
x t=0.5 = 0.12cos(0.5 − π
π
3 dx π v t=0.5 = = −0.12π sin( π t − ) t=0.5 = −0.189( m ) /s dt t=0.5 3 π dv 2 2 a t=0.5 = = −0.12π cos(π t − ) t=0.5 = −1.024 (m ) /s dt t=0.5 3
2π
x
O
ω
, ω= 2πν
t
3. 相位（phase）： ωt + ϕ0 ）— 描述振动状态 相位（ ） （ 初相位（ 初相位（initial phase） ：ϕ0 ） 相位差： 相位差： ∆ϕ = (ω 2 t + ϕ20 ) - (ω1t + ϕ10) 对两同频率的谐振动 ∆ϕ = ϕ20 - ϕ10 初相差 对两同频率的谐振动 同频率
第十章 机械振动和电磁振荡
x
A
A2
a
t t2 t1
A
0
b
v
tb
o
t
A
A ta A
2
x
π Δ 3
π 3 1 Δt T T 2π 6
16
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示 它们间步调上的差异.（解决振动合成问题） x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
解 （ 1）
am a x A
T 2π
2
0.314s
am a x 20s1 A
34
（2）通过平衡位置的动能；
Ek ,m a x
（3）总能量；
1 1 2 mvm a x m 2 A2 2.0 103 J 2 2
3 2 . 0 10 J E Ek,m a x
o
v A sin t
A 2
x
0.26m s
1
（负号表示速度沿x轴负方向）
21
解: A＇
v0 tan ＇ 1 x0 o π 4 π 3π A＇ ＇ 或 4 4 π 4 因为v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇
1
x
2 0
v
2 0 2
T
2π
1 ω2πν T
9
注意
m 弹簧振子周期： T 2π k
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有 关，常称为固有周期和固有频率。
10
5. 常数A和的确定
x A cos( t ) v A sin( t )
36
37
x Ae
机械振动知识
0 — 固有频率， — 阻尼因子
则运动方程写为
d2x dx 2 2 0 x 0 dt dt 2
第十章 机械振动
与微分方程对应的特征方程为
2 2 02 0
特征根为
2 02
1. 阻尼振动
若阻尼较小，即 2 < 02 则
j 02 2 j
1 2 1 2 2 kx kA cos ( t 0 ) 2 2
Ep
系统的动能和势能都随时间周期变化，当位移最大时，势 能达到最大，动能为零；过平衡位置时，动能最大，势能为 零。动能和势能的幅值相等。
第十章 机械振动
系统的总能量
1 2 1 E E K E p kA m 2 A 2 2 2
T
0
第十章 机械振动
§10-2 阻尼振动
在恢复力和阻力共同作用下的振动为阻尼振动，系统的 能逐渐衰减，振幅不断减小，最终停止。
当运动速度不太大时，阻力与速度成正比
f dx dt
—阻尼系数
运动方程
dx d2 x kx m 2 dt dt
k 令 0 , 2 m m
的相差为 2n。
相位概念的重要性还在于比较两个振动的步调： = 2n，两个振动完全同步调，称这两个振动同相； = 2n +1，两个振动完全反步调，称这两个振动反相。
第十章 机械振动
四. 简谐振动的旋转矢量表示
旋转矢量的一个空间特定位置，代表振动的一个特定状 态。例如：
过平衡点向负方向运动
第十章 机械振动
任一时刻， L 上的自感电动势和 C 上的电压分别为
L L
dI dt UC q C
复旦赵海滨 大学物理B 机械振动和电磁振荡-1
0
3
2A v0 0 2
2. x0
0
3 4
x0 v0 a0 x0 v0 a0
M
x0 v0 a0 x0 v0 a0
3A 3. x0 v0 0 2
5 0 6 4. x0 0 v0 0
O
t
0
A
X
0
2
x
例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初 始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相 位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置 所需要的最短时间。 解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限
0
3
（2）从x=-0.03m处且向向x轴负方向运动到平衡位置，意 味着旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满 足
3 2 5 t 2 3 6 5 5
t 6
6
0.83s
简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
(1) 动能
1 1 2 Ek m m 2 A2 sin 2 ( t 0 ) 2 2 1 kA2 sin 2 ( t 0 ) 2
M =-Pm Bsin
当摆角很小时 sin
O
M Pm B Il 2 B
根据转动定律:
2
d Il 2 B 0 2 dt J
d M J J 2 dt
2
B
I
O’
可见微小摆动时，线圈在其平衡位置附近作简谐振动， 振动的园频率和周期分别为：
Il B J
1 1 d x 2 kxl = ml 3 l dt 2 2 dx kx 3 + = 0 2 dt m
高二物理电磁振荡整理知识点
高二物理电磁振荡整理知识点电磁振荡是高中物理中重要的内容之一，也是电磁学的基础。
在本文中，我们将对高二物理电磁振荡的知识点进行整理和总结，以供学生复习和巩固。
1. 电磁场的概念电磁场是指电荷或电流所产生的空间中存在的物理量，它包括电场和磁场两部分。
电场是由电荷产生的作用力，在空间中可以用电场线表示；磁场是由电流产生的作用力，在空间中可以用磁感线表示。
电磁场的性质主要有强度、方向和分布等。
2. 电磁振荡的基本概念电磁振荡是指在电磁场中，电磁波或者电磁信号以一定的频率在空间中传播的现象。
其基本特点包括振幅、频率、周期和波长等。
电磁振荡可以通过电磁波方程模型来进行描述，其中包括电场和磁感应强度的变化规律。
3. 电磁振荡的物理量在电磁振荡中，有一些重要的物理量需要了解。
(1) 振幅：振幅是指电磁振荡的最大偏移量，表示波的振动幅度。
(2) 频率：频率是指电磁波在单位时间内的振动次数，通常用赫兹(Hz)来表示。
(3) 周期：周期是指电磁波振动完成一个完整的周期所需的时间，通常用秒(s)来表示。
(4) 波长：波长是指电磁波振动完成一个完整的波长所需的距离，通常用米(m)来表示。
4. 电磁振荡的类型电磁振荡可以分为两种类型，即机械振荡和电磁振荡。
(1) 机械振荡：机械振荡是指由于机械系统的周期性运动而产生的振动。
例如，弹簧振子、单摆等都属于机械振荡。
(2) 电磁振荡：电磁振荡是指由于电磁场的周期性变化而产生的振动。
典型的例子包括电磁波、交流电等。
5. 电磁振荡的应用领域电磁振荡的应用非常广泛，涉及电信、无线通信、雷达、电磁感应等众多领域。
(1) 电信领域：电磁振荡在电信领域中被广泛应用，可以用于传输和接收信息。
(2) 无线通信领域：无线通信是指不通过物理连接的方式进行信息传输，电磁振荡可以实现无线通信的传输和接收。
(3) 雷达领域：雷达是宇航和军事等领域中常用的一种目标检测和测距的设备，它利用电磁波的速度和反射来实现对目标的探测。
程守洙《普通物理学》(第6版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第10章 机械振动和电磁振荡
（3）振动频率 振动频率是指单位时间内物体所作的完全振动的次数，用 v 或 f 表示，单位为赫[兹]， 符号是 Hz.
（4）角频率 角频率是指物体在 2π 秒时间内所作的完全振动次数，也称圆频率，用 ω 表示，单位 是 rad/s.
对于弹簧振子，
，所以弹簧振子的周期和频率为
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.
角谐振动表达式
θ＝θmcos（ωt＋φ0）
式中，θm 是最大角位移，即角振幅，φ0 为初相位，它们均由初始条件决定.
（2）复摆
图 10-1-5 复摆 ①复摆是指一个可绕固定轴 O 摆动的刚体，又称物理摆. ②设复摆绕 O 轴的转动惯量为 J，摆角很小时，根据转动定律得
周期为
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其中，矢量 的长度即振动的振幅 A，矢量旋转的角速度 ω 为振动的角频率，矢量与 Ox 轴的夹角 φ 为振动的相位，而 t＝0 时矢量与 x 轴的夹角 φ0 为初相位.
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图 10-1-3 用旋转矢量表示两个谐振动的相位差 4．几种常见的谐振动 （1）单摆
图 10-1-1 谐振动中的位移、速度、加速度与时间的关系
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台
④若在振动的起始时刻，即在 t＝0 时，物体的初位移为 x0、初速度为 υ0，则可求得
振动物体在 t＝0 时的位移 x0 和速度 υ0 称为振动的初始条件． 2．描述谐振动的特征量 （1）振幅 振幅是指作谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A. （2）周期 周期是指完成一次完整振动所经历的时间，用 T 来表示.
用机械振动类比理解电磁振荡
用机械振动类比理解电磁振荡★疑难辨析★对电磁振荡的机制，课本上的分析是基于电容器充放电和电感器自感，这个分析思路理解起来有些复杂，但似乎也只能如此。
不过，我们都会发现，电磁振荡现象中，电容器极板上的电荷量和通过电感器的电流，一个按正弦规律变化，另一个按余弦规律变化，这和机械振动中振子的位移和速度的变化规律很相似，那么，机械振动与电磁振荡运动学上的相似，是不是还有更根本的动力学上的相似？电磁振荡可不可以类比机械振动来理解呢？基于这个想法，笔者做了一些尝试性思考，供大家参考。
一、振动与波的关系类比从振动和波的关系来看，机械振动与机械波，电磁振荡与电磁波，有着相似的关系。
1、波是振动的传播机械波是机械振动在介质中的传播，时空中周期性振动的物理量是介质中质点的位移x 和速度v ；电磁波是电磁振动的传播，时空中周期性振动的物理量是电磁场的电矢量E 和磁矢量B 。
2、波的产生都需要振动的波源机械波的波源，是振动的质点，比如弹簧振子、声带、音叉、琴弦等；电磁场的波源，是震荡的电荷，比如振荡电路、分子、原子甚至原子核等。
二、弹簧振子模型与LC 振荡电路类比由数学知识可知，方程结构上的相似，会导致相同形式的解，要类比研究机械振动和电磁振荡，首先应该从运动方程角度找到两者的相似性。
1、运动方程类比弹簧振子偏离平衡位置的位移为x ，则振子的速度为x v t ∆=∆，振子的加速度为v a t∆=∆，振子的动力学方程为kx a m =-，或者写成v kx t m∆=-∆，或者22d d x kx t m =-；LC 振荡电路中电容器极板上的电荷量为q ，通过电感线圈的电流i 就是电容器的充放电电流，有q i t∆=∆，对电感器，有自感电动势为i e L t ∆=-∆，导线电阻不计时，有电容器两极板间的电压u e =，且有q =Cu ，则电流对时间的变化率为q i e u C t L L L ∆=-=-=-∆，或者22d d q q C t L =-，此即电磁振荡的动力学方程。
谐振动
(ωt
+
ϕ0
)
Ekmin = 0
Epmax, Epmin, Ep 情况同动能
(3) 机械能
E
=
Ek
+
Ep
=
1 kA2 2
简谐振动系统机械能守恒
B、由起始能量求振幅
E = 1 kA2 ⇒ A = 2E = 2E0
2
k
k
H.M.Qiu
谐E
振
子
的
动
能 、o
势 能
x
及
总
能 量
o
Ek
Ep
E = 1 kA2
2
Ep = Ek
A=
x02
+
υ
2 0
ω2
ϕ0
=
⎛ arctan ⎜
⎝
−
υ0 ω x0
⎞ ⎟ ⎠
H.M.Qiu
思考 (1) 将单摆拉到与竖直角度为ϕ0后，放手任其 摆动，则ϕ0是否就是其初周相？为什么？ (2) 单摆的角速度是否就是谐振动的圆频率？
ϕ0不是初周相，是振动物体的角位移 单摆的角速度？ 单摆的圆频率？
H.M.Qiu
=
1 mω2A2 2
sin2(ωt
+ϕ0)
=
1 2
kA2
sin 2
(ωt
+ ϕ0
)
H.M.Qiu
简谐振动的能量
∫ (1)
动能
Ek
=
1 2
kA2
sin2 (ω t
+ϕ0 )
Ek
=
1 T
t +T t
E k dt
=
1 4
kA2
大学物理机械振动
大学物理机械振动 篇一：大学物理——机械振动 第十章 机械振动 基本要求 1．掌握简谐振动的基本概念和描述简谐振动的特征量的意义及相互关系。
2．掌握和熟练应用旋转 矢量法分析与解决有关简谐振动的问题。
3．掌握简谐振动的动力学与运动学特征，从而判定一个运动是否为简谐振动。
4．理解简谐振动的 能量特征，并能进行有关的计算。
5．理解两个同振动方向、同频率的简谐振动的合成。
6．了解同振动方向不同频率的简谐振动的合成和相互垂直的两个振动的合成。
7．了解频谱分析、阻尼振动与受迫振动。
8．了解混沌的概念和电磁振荡。
10-1 简谐振动 一． 弹簧振子 ?? f??kx１． 弹性力：2．运动学特征： dxdt 22 特征方程： 2 ??x?0 式中 ?2?K m 其解： x?Acos(?t??) 二． 描述谐振动的物理量 １． ２． 振幅：A 角频率：?? km ３． 频率：?? ? 2?2? ４． ５． ６． 三． 周期：T? ? 相位：?t?? 初相位：? 谐振动中的速度和加速度 v? dxdt??A?sin(?t??)?vmcos(?t??? ? 2 ) a? dvdt ? dxdt 2 2 ??A? 2 cos(?t??)?amcos(?t????) 四． 决定?,A,?的因素 1．? 决定于振动系统，与振动方式无关； 2．A,?决定于初始条件： v0 22 公式法: A?分析法： x0? 2 ? ，??arctg(? v0 ?x0 ) x0?Acos? ? cos?? x0Av0 ??1,?2 { ?0(1,2 象限）?0(3,4 象限） v0??Asin??sin??? 六．谐振动的能量 Ek? 1212mv 2 A? ? 1212 m?Asin(?t??)2 2 222 Ep? kx 2 ?kAcos(?t??)?12 12 12 m?Acos(?t??) 222 E?Ek?Ep? kA 2 ? ?Am 22 Ek? 1T ?0 T 12 m?Asin(?t??)dt? 222 14 mA? 22 ? 14 kA 2 Ep?Ek 例１． 已知 t?0 时 x0? 例２． 已知 t?0 时 x0?0,v0?0,求?思考： １． 地球， M,R 已知， 中间开一遂道； 小球 m， 从离表面 h 处掉入隧道， 问， 小球是否作谐振动？ ２． 复 摆问题（I,m,lc 已知） d?dt 22 A2,v0?0,求? ? mglI c ??0 ３． 弹簧串、并联 串联： 1k?1k1 ?1k2 并联：k?k1?k2 10-2 谐振动的旋转矢量表示法 一、幅矢量法 1. 2. 作 x 轴，O 为平衡位置； ? A 在 x 轴上的投影点 P 作谐振动： x?Acos(?t??) 3. T? O ? A 以角速度?旋转一周，P 正好来回一次： 2? P P0 ? 二、参考圆法 1. 2.三、相位差 1. 同频率、同方向的两谐振动的相位差就是它们的初相差，即：????2??1 2. 超前与落后 例 1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A?12cm，周期 T?2s，t?0 时，位移为 6cm 且向 x 正方向运动，求： 1) 初位相及振动方程； 2) t?0.5s 时，物体的位置、速度和加速度； 3) x0??6cm 处，向 x 轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的最 短时间； 例 2. 设有一音叉的振动为谐振动，角频率为??6.28?10s 2 ?1 以 O 为原点，A 为半径作圆，x 轴； 在图上根据已知求未知 ，音叉尖端的 振幅 A?1mm。
第10章 机械振动和电磁振荡
运动；e t反映了阻尼对振幅的影响。
x 阻尼振动位移时间曲线
A
A0e t
O
T A
t ( 0)
阻尼振动的准周期性 减幅振动
阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不 是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。
位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期， 有
t 0 0
t
0
2
t 0
t
0
3
2
x A, v 0
x 0, v A
x A, v 0
x 0, v A
[练习2] 已知t=0时刻，物体位于A/2处且向x轴正方向运动， 求其初相位。
2.旋转矢量法
旋转矢量法：
x0 A
sin 0
v0
A
tan 0
v0
x0
（10-8b）
对给定的振动系统，频率由系统本身性质决定，与初 始条件无关；振幅和初相与初始条件有关。
[练习1] 物体按 x Acos(t 0 )作简谐振动，试问相
位为0，π/2，π，3π/2时，物体的运动状态如何?
解： x Acos(t 0 ) v Asin(t 0 )
§10-1 谐振动
一、谐振动的特征 研究对象（建立理想模型）
弹簧振子
k
平衡位置
mm
oA
一、谐振动的特征 研究对象（建立理想模型）
一、谐振动的特征
1.动力学特征
弹簧振子
k
Fx
m
A o A
x
由胡克定律可知： F kx
机械振动和电磁振荡.
4．理解两个同方向、同频率谐振动的合成规律，以
及合振动振幅极大和极小的条件。
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§10-1 谐振动
一、简谐振动的特征及其表达式
简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位 移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
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弹簧振子： 连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和 一个不发生形变的物体系统。
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6、已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程 为 y A cos(t 3 / 4) ．与之对应的振动曲线是
y A o (A) A y A t (B) o A t (C) y A o A (D) t y
t
o
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求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法 （三）旋转矢量法
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什么是振动？
•振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
力学量（如位移、速度） 电磁量（如I 、V、 E、 B）
模型 （弹簧振子）
推广
如何研究振动？
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§10-0 教学基本要求
1．掌握描述谐振动和简谐波动的各物理量（特别是 位相和位相差）的物理意义及各量的相互关系。 2．掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。 3．掌握谐振动的基本特征。能根据给定的初始条件 建立一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。理 解谐振动的能量及其特点。
相位究竟是什么东西？ 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动 步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
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第十章 机械振动和电磁振荡
ϕ0 = π/3
ω
o
1、进行运动学分析，位移、速度和加速度任一个满足 、进行运动学分析，位移、 与时间的余弦或正弦函数关系， 即为简谐振动。 与时间的余弦或正弦函数关系， 即为简谐振动。 2、进行力学分析，物体所受合外力与其位移大小成正比， 、进行力学分析，物体所受合外力与其位移大小成正比， 方向与位移方向相反， 物体即做简谐振动。 方向与位移方向相反， 物体即做简谐振动。
2.简谐振动的特征及其表达式 简谐振动的特征及其表达式 弹簧振子的振动
弹簧振子：弹簧 物体系统 弹簧振子：弹簧—物体系统 平衡位置： 平衡位置：振动物体所受合外力 为零的位置 物体在平衡位置的两侧， 弹性恢复力和惯性两个因素互相 物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相 平衡位置的两侧 制约下，不断重复相同的运动过程 相同的运动过程。 制约下，不断重复相同的运动过程。 弹簧振子的振动方程 分析小球的受力，建立运动方程 分析小球的受力， 由胡克定律： 由胡克定律：
ω
o
ϕ1 = ±π ϕ2 = π/2 x ϕ3 = −π/2 ϕ4 = −π/3
研究质点的运动
已知一质点做简谐振动。 时的运动状态为过1/2 1/2最 已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态为过1/2最 大位移处且向位移的负方向运动。已知周期为T=2s， 大位移处且向位移的负方向运动。已知周期为T=2s，求 T=2s 再次通过1/2最大位移处且向位移的正方向运动的时刻。 再次通过1/2最大位移处且向位移的正方向运动的时刻。 1/2最大位移处且向位移的正方向运动的时刻
2π
,
1 1 ν= = T 2π
k m
1. T 和ν 由振动系统本身的性质(弹性 k 和惯性 m )决定。 由振动系统本身的性质( 决定
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第十章 机械振动与电磁振荡
高玉梅 编
姓名 学号 班级
一、选择题
1、下列表述正确的是（ ）
A 物体在某一位置附近来回往复的振动是简谐振动
B 质点受到恢复力（恒指向平衡位置的力）的作用，则该质点一定作简谐运动
C 小朋友拍皮球，皮球的运动是简谐运动
D 若某物理量Q 随时间t 的变化满足微分方程2220d Q Q dt
ω+=，则此物理量Q 按简谐运动的规律在变化（ω是由系统本身决定的）
2、如图所示，当简谐振子到达正最大位移处，恰有一泥块从正上方落到振子上，并与振子黏在一起，仍做简谐运动，则下述正确的是（ ）
A 、振动系统的总能量变大，周期变大
B 、振动系统的总能量不变，周期变大
C 、振动系统的总能量变小，周期变小
D 、振动系统的总能量不变，周期变小
3、把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为（ ）。
(A) θ。
(B) /2π。
(C) 0。
(D) π 。
4、一质点做简谐振动，周期为T ，但质点由平衡位置向ox 轴正方向运动时，由平衡位置运动到1/2最大位移处所需的最短时间为（ ）。
(A) 14T 。
(B) 112T 。
(C) 16T 。
(D)。
18
T 5、一简谐振动曲线图如图所示，则振动周期为（ ）。
(A) 2.62 s (B) 2.40 s
(C) 0.42 s (D) 0.382 s
6、一质点做简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为
/2A ，且向ox 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量图为（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
7、弹簧振子在水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为（ ）。
(A) (B) (C) (D)
2kA 2/2kA 2/4kA 0二、计算题
1、一质量为0.258m =kg 的物体，在弹性力作用下沿轴运动，弹簧的劲度系数。
（1）求振动的和圆频率ox 25/k N =m T ω；（2）如果振幅2A cm =，在时物体位于0t =01x cm =处，并沿轴反向运动，求初速和初相位ox 0v ϕ；（3）写出振动的表达式。
2、曲线图如图所示，已知振幅为A ，周期为T 。
当0t =时，0/2x A =，试求：
（1）该简谐振动的表达式；（2）a 、b 两点的相位；
（3）从时的位置运动到a 、b 两态所用的时间。
0t =
3、三个沿轴的简谐振动，其表达式依次为：ox ()13cos 3x t cm =，()24cos 32x t c π=+m ，()33cos 3x t c ϕ=+m 。
（1）若某质点同时参与第一、第二两个运动，试求它的合振动表达式；（2）若某质点同时参与第一、第三两个运动，试问当ϕ为何值时，该质点合振动最强烈？（3）若某质点同时参与第二、第三两个运动，试问当ϕ为何值时，该质点合振动最弱？。