八年级的培优初中几何中的最短路径与最值问题.doc

初二几何中的最短路径与最值问题

例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）

L

B

A

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短．

例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

A

O

N

M

例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

B

河 流

练习1：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

C

B

O

A

练习2：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

草 地

河

流

B

D

C

D

例：如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程.

B

A

例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）

A．5cm B．cm C．4cm D．3cm

B

A

例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）

A．4.8 B．C．5 D．

例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．

例：如图，在一个长AB为10米，宽为AD为5米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块是底面边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．

例：如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。（顺带探索PE+PC的最大值、PE PC

的最大值与最小值。）

E

P

D

例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),求四边形ABCD 周长的最短值 。

例：如图，在边长为6的菱形ABCD 中,∠ABC=60°,E 、F 分别为BD 、BC 上运动,求EF+EC 的最小值。

E

D

C

A

例：如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P 分别为AB,BC,AC 上动点,求PE+PF 最小值。

F

E

P

例：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO ，BO 上有两动点Q ，R ，求△PQR 周长的最小值。

Q P

B

A 45°

练习：如图，∠AOB=30°，角内有一动点P ，PO=6，M 、N 分别射线在AO ，BO 上运动求△PMN 周长的最小值。

M

A

P

练习1：如图所示，在正方形ABCD 中AC=10，△ABE 为等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角

线AC上有一点P，当P在何处时PD＋PE的值最小，并求这个最小值？

P

E

D

C B

A

练习2、如下左图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，求△APD中边AP上的高。

P D

B

A

练习3、如上右图，已知AB=10，P是线段AB上任一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边三角形APC和BPD，则CD的最小值为。

D

C

P B

A

练习4、如下图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P 在直线MN上运动,则PB

PA 的最大值等于.

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